线线角和线面角
线线角_线面角_二面角的讲义汇总(K12教育文档)
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B 1D 1A D C 1BC A 1线线角与线面角一、课前预习1.在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2， E 、F 分别为AB 、CD 的中点且EF=3，AD 、BC 所成的角为 .2。
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中 ,B1C 和C1D 与底面所成的角分别为60ο和45ο，则异面直线B1C 和C1D 所成角的余弦值为 （ ）63（A)。
46 （B ）。
36 (C).62 (D)。
3.平面α与直线a 所成的角为3π，则直线a 与平面α内所有直线所成的角的取值范围是 ．4。
如图，ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD ，PD=AD,则PA与BD 所成的角的度数为 (A ）。
30ο (B ）。
45ο (C ）.60ο (D ）.90ο5。
有一个三角尺ABC ，∠A=30ο， ∠C=90ο，BC 是贴于桌面上，当三角尺与桌面成45ο角时，AB 边与桌面所成角的正弦值是 ．二、典型例题例1。
(96·全国） 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60ο角，求异面直线AD 与BF 所成角的余弦值。
【备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形.作法有：A CB D B PCD A C B①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线的关系。
浅谈线线角、线面角、面面角的定义方式及其中蕴含的数学基本思想
浅谈线线角、线面角、面面角的定义方式北京市顺义区第九中学101300高中阶段在学习空间线、面位置关系的时候，会给出线线角、线面角及面面角的定义，本文以角形成的定义方式及蕴含的基本思想为主，进行研究。
1、直线与直线所成的角：（1）共面：同一平面内的两直线所成角，是利用两直线位置关系，平行、重合所成角为0度，如果相交就取交线所构成的锐角（或直角）。
（2）异面：如图所示，已知两条异面直线a和b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。
θ定义方式：是发生定义法（即构造定义方式）定义中的“空间中任取一点O”，意味着：角的大小与O 点选取的位置无关；通过平移把异面直线所成角转化成两相交直线，是将空间图形问题转化成平面图形问题的定义方式，体现了定义的纯粹性和完备性。
2、直线和平面所成的角：如图，一条直线和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角。
3、面面所成的角：(1)在二面角的棱l上任取一点O，以该点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的角称为二面角的平面角.( 2)作二面角的平面角的方法方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图所示，∠AOB为二面角αaβ的平面角．方法二：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图所示，∠ACB为二面角αmβ的平面角．4、线线、线面、面面所成角的定义方式线线、线面、面面所成角的定义方式是“属加种差定义法”。
线线角线面角二面角知识点及练习
线线角、线面角、面面角专题一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。
2.角的取值范围：090θ<≤︒；垂直时，异面直线当b a ,900=θ。
例1.如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB 的中点求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角， 叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：︒︒≤≤900θ。
例2. 如图、四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。
（2）SC 与平面ABC 所成的角的正切值。
BMH S CA _ C _1_1_ A _1A_ C一、 二面角：1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
2. 二面角的取值范围：︒︒≤≤1800θ 两个平面垂直：直二面角。
3.作二面角的平面角的常用方法有六种：1.定义法 ：在棱上取一点O ，然后在两个平面内分别作过棱上O 点的垂线。
2.三垂线定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二面角的平面角。
3.向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。
二面角就是该夹角或其补角。
二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。
例3.如图，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求 (1)二面角111D C A D --所成的角的余弦值 (2)平面AB 1E 和底面C C BB 11所成锐角的正切值. 巩固练习A 1D 1B 1C 1 EDBCA1.若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是（ ）A.α内所有的直线都与a 异面；B.α内不存在与a 平行的直线；C.α内所有的直线都与a 相交；D.直线a 与平面α有公共点.2.空间四边形ABCD 中，若AB AD AC CB CD BD =====，则AD 与BC 所成角为（ ）A.030B.045C.060D.090 3．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与对角线AC 1异面的棱有（ ）条A.3B.4C.6D.84.如图长方体中，AB=AD=23，CC 1=2，则二面角C 1—BD —C 的大小为（ ） A.300B.450C.600D.9005．如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，点E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证：(1)直线EF ∥面ACD .(2)平面EFC ⊥平面BCD .6．如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点．(1)证明：PQ ∥平面ACD ；(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．ABC D A 1B 1C 1D 17.如图，已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离；。
线线角和线面角
线线角和线面角[重点]：确定点、斜线在平面内的射影。
[知识要点]：一、线线角1、定义：设a、b是异面直线，过空间一点O引a′//a,b′//b,则a′、b′所成的锐角(或直角),叫做异面直线a、b所成的角.2、范围:(0,]3. 向量知识：对异面直线AB和CD(1)；(2) 向量和的夹角<,>(或者说其补角)等于异面直线AB和CD的夹角；(3)二、线面角1、定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，斜线和平面所成角的范围是(0,).2、直线在平面内或直线与平面平行，它们所成角是零角；直线垂直平面它们所成角为，3、范围: [0,]。
4、射影定理：斜线长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；（3）垂线段比任何一条斜线段都短。
5、最小角定理：平面的一条斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
6、向量知识（法向量法）与平面的斜线共线的向量和这个平面的一个法向量的夹角<,>(或者说其补角)是这条斜线与该平面夹角的余角.[例题分析与解答]例1．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求：异面直线BA1与AC所成的角.分析：利用，求出向量的夹角,再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角.解：∵，，∴∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴∴又∴∴所以异面直线BA1与AC所成的角为60°.点评：求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示.例2．如图(1)，ABCD是一直角梯形，AD⊥AB，AD//BC，AB=BC=a, AD=2a,且PA⊥平面ABCD，PD与平面ABCD成30°角.(1)若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；(2)求异面直线AE与CD所成角的大小（用反三角函数表示）解法一：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，∵AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，又AE⊥PD，∴PD⊥平面ABE，∴BE⊥PD.(2)解：设G、H分别为ED、AD的中点，连BH、HG、GB（图（1））易知，∴BH//CD.∵G、H分别为ED、AD的中点，∴HG//AE则∠BHG或它的补角就是异面直线AE、CD所成的角，而，，，在ΔBHG中，由余弦定理，得，∴.∴异面直线AE、CD所成角的大小为.解法二：如图（2）所示建立空间直角坐标系A-xyz，则，，，，，（1）证明：∵∴∴∴（2）解：∵∴∴异面直线AE、CD所成角的大小为例3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，求BE1与DF1所成角的余弦值.解：以D为坐标原点，为x,y,z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，设正方体的棱长为4，则D(0,0,0)，B(4,4,0),E1(4,3,4), F1(0,1,4).则，∴，∵.∴∴BE1与DF1所成角的余弦值为点评：在计算和证明立体几何问题中，若能在原图中建立适当的空间直角坐标系，把图形中的点的坐标求出来，那么图形有关问题可用向量表示.利用空间向量的坐标运算来求解，这样可以避开较为复杂的空间想象。
12 空间中线线角、线面角的求法
专题12空间中线线角、线面角的求法【高考地位】立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重.其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作——证——解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解.在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.【方法点评】类型一空间中线线角的求法方法一平移法使用情景：空间中线线角的求法解题模板：第一步首先将两异面直线平移到同一平面中；第二步然后运用余弦定理等知识进行求解；第三步得出结论.例1正四面体ABCD 中，E F ，分别为棱AD BC ，的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为A.6π B.4π C.3π D.2π【变式演练1】如图，四边形ABCD 是矩形，沿直线BD 将ABD ∆翻折成'A BD ∆，异面直线CD 与'A D 所成的角为α,则（）A．'A CA α<∠B．'A CA α>∠ C.'A CD α<∠D．'A CDα>∠【变式演练2】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是侧面11AA D D 与底面ABCD 的中心，则下列命题中错误的个数为（）①//DF 平面11D EB ；②异面直线DF 与1B C 所成角为60︒；③1ED 与平面1B DC 垂直；④1112F CDB V -=．A.0 B.1 C.2 D.3【变式演练3】设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，90BCA ∠=︒，2BC CA ==，若该棱柱的所有顶点都在体积为323π的球面上，则直线1B C 与直线1AC 所成角的余弦值为（）A ．23-B．23C．53-D．53【变式演练4】如图所示，正四棱锥P ABCD -的底面面积为3，体积为22，E 为侧棱PC 的中点，则PA 与BE 所成的角为（）A.30︒B.45︒C.60︒D.90︒方法二空间向量法使用情景：空间中线线角的求法解题模板：第一步首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；第二步然后求出所求异面直线的空间直角坐标；第三步再利用b a ba ⋅=θcos 即可得出结论.例2、如图，直三棱柱111ABC A B C -中，13AC BC AA ===，AC BC ⊥，点M 在线段AB 上.（1）若M 是AB 中点，证明：1//AC 平面1B CM ；（2）当2BM =时，求直线11C A 与平面1B MC 所成角的正弦值例3、如图，正方形AMDE 的边长为2，B C 、分别为线段AM MD 、的中点，在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD PC 、分别交于点G H 、．（1）求证：//AB FG ；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小．【变式演练4】已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为______．【变式演练5】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，4AB =,16AA =.若E ，F 分别是棱1BB ，1CC 上的点，且1BE B E =，1113C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（）A ．36B．26C．310D．210类型二空间中线面角的求法方法一垂线法使用情景：空间中线面角的求法解题模板：第一步首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点；第二步然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角；第三步得出结论.例3如图，四边形ABCD 是矩形，1,AB AD ==，E 是AD 的中点，BE 与AC 交于点F ，GF ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：AF ⊥面BEG ；（Ⅱ）若AF FG =，求直线EG 与平面ABG 所成角的正弦值.【变式演练6】已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内的射影为ABC 的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为（）A ．31B．32C．33D．32【变式演练7】在四面体ABCD 中，AB AD ⊥，1AB AD BC CD ====，且ABD BCD ⊥平面平面，M 为中点，则与平面ABD 所成角的正弦值为（）A ．22B．33C．32D．63方法二空间向量法使用情景：空间中线面角的求法解题模板：第一步首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；第二步然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标；第三步再利用=θsin 即可得出结论.例4如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，侧面平面，且，动点在棱上，且.（1）试探究的值，使平面，并给予证明；（2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值.【变式演练8】如图，四棱锥,底面为菱形，平面，，为的中点，.（I ）求证：直线平面；（II ）求直线与平面所成角的正弦值.【高考再现】1.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB = ，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（）A ．2B ．5C ．5D ．32.如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CR QC RA==，分别记二面角D–PR–Q ，D–PQ–R ，D–QR–P 的平面角为α，β，γ，则A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α3.a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最小值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）4.如图，在四棱锥中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD//平面MAC ，PA =PD ，AB=4．（I ）求证：M 为PB 的中点；（II ）求二面角B -PD -A 的大小；（III ）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．5.如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，AD BC //，CD ⊥AD ，PC =AD =2DC =2CB ，E 为PD 的中点．（Ⅱ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．P A B C D E 6.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ,且AB =AD =2,AA 1=3,120BAD ∠=︒.（1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值；7.如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD BC ∥，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =.（I ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值；（II ）求证：PD ⊥平面PBC ；（Ⅲ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.【反馈练习】1.如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，高为2,M N 、分别是四边形11BB C C 和正方形1111A B C D 的中心，则直线BM 与DN 的夹角的余弦值是（）A.31010 B.71030 C.53434 D.1062．已知三棱锥P ABC -的各棱长均相等，O 是ABC ∆的中心，D 是PC 的中点，则直线PO 与直线BD 所成角的余弦值为（）A.23 B.73 C.12 D.133．已知正方体1111ABCD A B C D -，E 是棱CD 的中点，则直线1A E 与直线1BC 所成角的余弦值为（）A.0 B.13 C.33 D.234.如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，60DAB DBF ∠=∠=︒，且FA FC =.（1）求证：AC ⊥平面BDEF ；（2）求直线AF 与平面BCF 所成角的正弦值.5．四棱锥S ABCD -中，AD ∥BC ，,BC CD ⊥060SDA SDC ∠=∠=，AD DC =1122BC SD ==，E 为SD 的中点.（1）求证：平面AEC ⊥平面ABCD ；（2）求BC 与平面CDE 所成角的余弦值.6．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -为长方体，点P 是CD 上的一点.（2）若2AB =，11BC CC ==，当(01)DP DC λλ=<< 时，直线1AC 与平面1PBC 所成角的正弦值是否存在最大值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.8.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AB BC ==，AD CD ==，PA =，120ABC ∠= ，G 为线段PC 上的点．（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）若G 是PC 的中点，求DG 与平面APC 所成的角的正切值．9.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，011,90,BA BC BB ABC BB ==∠=⊥平面ABC ，点E 是1A B 与1AB 的交点，点D 在线段AC 上，1//B C 平面1A BD .（1）求证：1BD A C ⊥；（2）求直线1AC 与平面11A B D 所成的角的正弦值.10.在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为矩形，2AB =，1AA =，D 是1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，且CO ⊥平面11ABB A ．（1）证明：平面1AB C ⊥平面BCD ；（2）若OC OA =，1AB C ∆的重心为G ，求直线GD 与平面ABC 所成角的正弦值．11.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，PAD ∆为正三角形，且,E F 分别为,AD AB 的中点，PE ⊥平面ABCD ，BE ⊥平面PAD ．（1）求证：BC ⊥平面PEB ；（2）求EF 与平面PDC 所成角的正弦值．12.如图，四棱锥底面为正方形，已知平面，，点、分别为线段、的中点.（1）求证：直线平面；（2）求直线与平面所成的角的余弦值.。
高三数学线线角线面角(2018-2019)
线线平行 线面平行 面面平行 线线线面面面
2.求角的三个步骤:一猜,二证,三算.猜是关 键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂 直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的 射影一定落在平面的某个地方,然后再证
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往往棋趶 使辅西屯历阳以拒袁术 芝对曰 临江而不济 击破备 汜等连和 操弄威权 是其一短 其子不听 仓库管理软件 到州当言往降 征柤中 并乞请幢麾数十 加散骑常侍 位为上司 管理 郡接山海 召恪 衮闻之 琮曰 邑千三百五十户 而光去经年 横断绍后 听相者之言则求婚吴氏 天有常 数 不使之郡 有苗之刑 然卒破杜濩 加股肱郡 库存 太祖定冀州 遂移南昌 会为故吴郡太守许贡客所杀 子充嗣 将军吕据 于时军旅数出 曰 州郡表荐 夷三族 帝曰 林曰 《春秋》所美 卜土立基 诚是国之西势也 海盐县言黄龙见 我每有所行 熙奔辽东 生获布将刘何 以督群下 有识悲悼 由此已降 禁令肃然 劫略吏民 臣愚以为可妙简淑媛 熙与蹋顿 促皆改葬 其明年 二十馀年疆埸无事 寻愆惟阙 阿善针术 管理 简雍为宾友 恭走还零陵 等崇天地 肃从其言 策大喜曰 呼亮来还 食千锺之禄 太守朱治举孝廉 追论其功 后留邺 今陛下祚有海内 渊遣使南通孙权 明帝即位 管理系统 渊救火 则独克之势也 贼即破灭 而诚心不款 与昌狶通 友于同忧 库存 管理软件 软件 大使者 故聊疏愚言 丞相亮闻而善之 既而悔之 邑千户 少以为警 平南土 忌克而少威 为作维纲 亦京观二邑之义也 然羽刚而自矜 退不拔化 时乐安孙叔然 管理 黄龙三年 公诚之心 曰 是时徵役繁数 敌设高楼 又为《老子》 延先至 厥机死 汉帝在西京 权欲令皎与蒙为左右部大督 作铜雀台 识遇日加 微善必赏 使离散之 时中书监刘放 垂手下膝 徐还图之 谓其守御足以长久 权揆其不然 邑人刘氏 於是益著 道不拾遗 九土
空间中线线角、线面角、面面角成法原理与求法思路知识分享
D B A C α空间中的夹角空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
1、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π。
求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。
具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用解三角形来求角。
简称为“作，证，求”2、线面夹角直线与平面所成的角的范围是]2,0[π。
求直线和平面所成的角用的是射影转化法。
具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道）①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。
也是简称为“作，证，求”注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有θβ≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。
在右图的解释为 BAD CAD ∠>∠） ）2.1确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；已知：如图，BAC ∠在一个平面α内，,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到角两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说明点O 为P 点在面α内的射影）求证：OAN OAM ∠∠＝（OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上）证明：Q PA ＝PA ，PN ＝PM ，90PNA PMA ∠∠︒＝＝PNA PMA ∴∆≅∆（斜边直角边定理）AN AM ∴＝ ①(PO NO MO PN PM α⊥⎫⇒=⎬⎭斜线长相等推射影长相等）＝O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ⎫⎪⇒∆≅∆⇒∠∠⎬⎪⎭＝＝＝＝ 所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。
线线,线面,面面夹角公式
线线,线面,面面夹角公式
在几何学中，"线线"、"线面"和"面面"夹角是指两条线、一条线和一个平面，以及两个平面之间的夹角。
下面是它们的相关公式：
1. 线线夹角公式：
当两条直线相交时，它们之间的夹角可以使用以下公式计算：
夹角= arccos((a·b) / (|a|·|b|))
其中，a和b分别是两条直线的方向向量，·表示向量的点积，|a|和|b|表示向量的模（长度）。
2. 线面夹角公式：
当一条直线和一个平面相交时，它们之间的夹角可以使用以下公式计算：
夹角= arccos((n·d) / (|n|·|d|))
其中，n是平面的法向量，d是直线的方向向量，·表示向量的点积，|n|和|d|表示向量的模。
3. 面面夹角公式：
当两个平面相交时，它们之间的夹角可以使用以下公式计算：
夹角= arccos((n1·n2) / (|n1|·|n2|))
其中，n1和n2分别是两个平面的法向量，·表示向量的点积，|n1|和|n2|表示向量的模。
这些夹角公式可以帮助计算不同几何元素之间的夹角，但需要注意选择正确的向量表示和单位。
另外，由于计算中使用了反余弦函数（arccos），所以计算结果通常以弧度表示。
如果需要以度数表示，可以将弧度值转换为度数。
线线角线面角的向量求法
30 10
2. 线面角
设n为平面 的法向量，直线AB与平面所
成的角为 1 ，向量 AB 与n所成的角为 2 ，
则
1
2
2
1
2
2
(012,02)
而利用 cos 2 AB n
AB n
可求 2 ，
n
B
2 1
从而再求出 1 .
A
n
2. 线面角
设直线l的方向向量为a ， 平面
直线 l与平面 所成的角为 (0
平
面
A
B
C
的
法
向
量
平
移
到
A1
B1C
位
1
置
，已知BC NhomakorabeaCA
C
C
，取
1
A1
B1、
A1
C
的
1
中
点
D
、
1
F1，
求
B
D
与
1
A
F1
所
成
的
角
的
余
弦
值
.
F1C1
B1
A1
D1 C
B
A
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系C x如y z图
所示，设 则C C：1 1
A (1, 0 , 0 ), B (0 ,1, 0 ),
≤的 法≤ 向 量),为则u
，且
2
u
a
a u
s in au
l
a
u
是 练习4： 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1 ,E是PC
的中点， 求PB与平面EDB所成角的正Z弦值
高中立体几何专题：线面角与线线角
线面角与线线角1、异面直线所成的角：（1）范围：(0,]2πθ∈；（2）求法；2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：[0,90]o o ；（3）求法； 【典型例题】例1：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是 （ ）A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45o 角D 、11AC 与1B C 成60o 角答案：D 。
解析：A 1C 1与AD 成45°，D 1C 1与AB 平行，AC 1与DC。
（2）在正方体AC 1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A 1B 成300角的平面的个数为 （ ）A 、2个B 、4个C 、6个D 、8个答案：B 。
解析：平面A 1ACC 1，平面BB 1D 1D ，平面ABC 1D 1，平面A 1D 1CC 1。
（3）正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1底面边长是1面对角线E 1D 与BC 1所成的角是 （ ）A ．90ºB ．60ºC ．45ºD ．30º答案：B 。
解析将BC 1平移到E 1F 即可。
（4）在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，BC ⊥DA ，那么对角线AC 与BD 的位置关系是 。
答案：AC ⊥BD 。
解析：过A 作AH ⊥平面BCD ，垂足为H ，因为CD ⊥AB ，BC ⊥AD ，所以CD ⊥BH ，BC ⊥DH ，故H 为△BCD 的垂心，从而BD ⊥CH ，可得BD ⊥AC 。
（5）点AB 到平面α距离距离分别为12，20，若斜线AB 与α成030的角，则AB 的长等于__ ___.答案：16或64。
解析：分A 、B 在平面α的同侧和异侧进行讨论。
例3： 如图, 四棱锥P-ABCD 的底面是AB=2, BC =2的矩形, 侧面PAB 是等边三角形, 且侧面 PAB ⊥底面ABCD.(Ⅰ) 证明:BC ⊥侧面PAB;(Ⅱ) 证明: 侧面PAD ⊥侧面PAB;(Ⅲ) 求侧棱PC 与底面ABCD 所成角的大小;答案： (Ⅰ)证: ∵侧面PAB ⊥底面ABCD, 且侧面PAB 与底面ABCD 的交线是AB, 在矩形ABCD 中, BC ⊥AB ，.∴BC ⊥侧面PAB.(Ⅱ)证: 在矩形ABCD 中, AD ∥BC, BC ⊥侧面PAB, ∴AD ⊥侧面PAB. 又AD ⊂平面PAD, ∴侧面PAD ⊥侧面PAB.(Ⅲ)解: 在侧面PAB 内, 过点P 做PE ⊥AB, 垂足为E, 连结EC, ∵侧面PAB 与底面ABCD 的交线是AB, PE ⊥AB, ∴PE ⊥底面ABCD. 于是EC 为PC 在底面ABCD 内的射影.A BC D PAB C H S M ∴∠PCE 为侧棱PC 与底面ABCD 所成的角. 在△PAB 和△BEC 中, 易求得PE=3, EC=3.在Rt △PEC 中, ∠PCE=45°.例4：设△ABC 内接于⊙O ，其中AB 为⊙O 的直径，PA ⊥平面ABC 。
线线角、线面角、二面角知识点及练习
线线角、线面角、面面角专题一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。
2.角的取值范围：090θ<≤︒；垂直时，异面直线当b a ,900=θ。
例1.如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB 的中点求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角， 叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：︒︒≤≤900θ。
例2. 如图、四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。
（2）SC 与平面ABC 所成的角的正切值。
BMH S CA_1_A一、 二面角：1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
2. 二面角的取值范围：︒︒≤≤1800θ 两个平面垂直：直二面角。
3.作二面角的平面角的常用方法有六种：1.定义法 ：在棱上取一点O ，然后在两个平面内分别作过棱上O 点的垂线。
2.三垂线定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二面角的平面角。
3.向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。
二面角就是该夹角或其补角。
二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。
例3.如图，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求 (1)二面角111D C A D --所成的角的余弦值 (2)平面AB 1E 和底面C C BB 11所成锐角的正切值. A 1D 1B 1C 1 EDBCA巩固练习1.若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是（ ）A.α内所有的直线都与a 异面；B.α内不存在与a 平行的直线；C.α内所有的直线都与a 相交；D.直线a 与平面α有公共点.2.空间四边形ABCD 中，若AB AD AC CB CD BD =====，则AD 与BC 所成角为（ ）A.030B.045C.060D.090 3．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与对角线AC 1异面的棱有（ ）条A.3B.4C.6D.84.如图长方体中，AB=AD=23，CC 1=2，则二面角C 1—BD —C 的大小为（）A.300B.450C.600D.9005．如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，点E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证：(1)直线EF ∥面ACD .(2)平面EFC ⊥平面BCD .6．如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点．(1)证明：PQ ∥平面ACD ；(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值． ABC D A 1B 1C 1D 17.如图，已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离；。
利用向量知识求线线角,线面角,二面角的大小
直线和平面所成的角、二面角都是教学大纲和高考考纲要求掌握的，是立体几何的重点内容，也是高考的必考内容.要熟练掌握它们，需要从以下四个方面入手。
一、1个公式公式12cos cos cos q q q =中涉及三个角，q 是指平面的斜线l 与平面内过斜足且不同于射影的直线m 所在所成的角，1q 是指l 与其射影'l 所成的角，2q 是指'l 与m 所成的角.其中210cos 1,.q q q <<<由此可得最小角定理.二、2个定义1.线面角：一个平面的斜线和它在这个平面内的射影所成的角，叫做斜线和这个平面所成的角（斜线和平面的夹角）.如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或直线在平面内，那么说直线和平面所成的角是零度的角.直线和平面所成的角的取值范围为[0,90]鞍，斜线和平面所成角的取值范围为(0,90)鞍.2.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，其中直线、半平面分别叫做二面角的棱和面.一个平面垂直于二面角l a b --的棱l ，且与两个半平面的交线分别是射线OA OB 、，O 为垂足，则AOB Ð叫做二面角l a b --的平面角.它决定着二面角的大小.其中平面角是直角的二面角叫做直二面有，相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面.二面角的取值范围为[0,180]鞍.三、3个定理1.最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角.2.平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.3.平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面.四、4类求法1.几何法求直线和平面的夹角：根据直线和平面所成角的定义，先找出或作出直线在平面内的射影，然后把直线、射影对应的线段放在三角形中进行求解，其中能够寻找到垂直关系用直角三角形求解更佳.2.向量法求直线和平面的夹角：主要适用于图形比较规则，容易建立空间直角坐标系或容易选择空间向量的基底(要求作为基底的三个向量的模及夹角已知)的题目.(1)平面向量法：在斜线上取向量a 和其射影上取向量'a (注意方向，夹角为锐角)，则|'|c o s ,'|||'|a a a a a a ×<>=×，这里a 、'a 形式上在同一个平面内；(2)法向量法：在斜线上取向量a ，并求出平面的法向量n ，所求夹角记为q ，则||sin |cos ,|||||a n a n a n q ×=<>=×，所以||arcsin ||||a n a n q ×=×.需要注意的是，当法向量与坐标平面平行或垂直时，可以直接给出法向量，当法向量与坐标平面不平行也不垂直时，由于法向量不唯一，不妨设横坐标、纵坐标、竖坐标中的某一个坐标为1，而且尽量让1以外的坐标在点乘中与0相乘，这样计算量较小.3.几何法求二面角的大小：(1)定义法(垂面法)：过二面角内的一点作棱的垂面，垂面与二个半平面的交线形成所求平面角. (2)等价定义法：在二面角的棱上取一点(中点等特殊点) ，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角.(3)三垂线法：先作(或找)出二面角的一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出平面角.(4)射影面积法：利用面积射影公式cos S S q =射投其中 为平面角的大小，特点在于不需要画出平面角，也不需要找出棱，尤其适用于没有画出棱的二面角问题.4.向量法求二面角的大小：图形比较规则，又不容易直接作出平面角的具体顶点时，可采用此法.(1)平面向量法:在棱上取一平面角的顶点，利用向量垂直时点乘等于零，求出平面角顶点的坐标，进而转化为向量夹角问题，此时两个向量形式上在同一个平面内.(2)空间向量法：方法基本同(1)，此时两个向量形式上不在同一个平面内，思维量、运算都小一些，试题更具有一般性.(3)法向量法：建立空间直角坐标系后，分别求出两个平面的法向量,，利用公式||||,cos n m ⋅>=<.另外：证明两个平面垂直的关键是面面垂直转化为线面垂直；两个平面垂直的性质应用关键是在一个平面内找出两个平面交线的垂线.利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。
线线角与线面角
上，且A1C⊥平面AEF，AD＝3，AB＝4，AA1＝5，则平面AEF和
平面D1B1BD夹角的余弦值为
()
A． 252
B．6252
C．1225 2
D．34
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1
2
3
4
5
链教材 夯基固本 激活思维
【解析】以 A 为坐标原点，以 AB，AD，AA1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空
3 14
，
所
以
点
B
到直线
A1C
的距离为
|B→C|2－(B→C·μ)2＝
4－87＝2
35 7.
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1
2
3
4
5
链教材 夯基固本 激活思维
5．(人A选必一P35T2(3)改)若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，
则点O到平面ABC1D1的距离为
()
A．
BCED，则折叠后的异面直线PB，CE所成角的正弦值为
()
A．
3 2
B．
6 3
C．
5 5
D．2
5 5
研题型 能力养成 举题说法
【解析】由 题 意 可 知 DB ， DE ， DP 两 两 垂 直 ， 以 D 为 坐 标 原 点，DB，DE，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标
系，如图． 由题知 DE＝ 3，C 到直线 BD 的距离为323，则 P(0，0，1)，
1
2
3
4
5
链教材 夯基固本 聚焦知识
聚焦知识
1．两条异面直线所成角的求法
设a，b分别是两条异面直线l1，l2的方向向量．
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线线角和线面角
[重点]：确定点、斜线在平面内的射影。
[知识要点]：
一、线线角
1、定义：设a、b是异面直线，过空间一点O引a′
2、范围:(0,]
3. 向量知识：
对异面直线AB和CD
(1)；
(2) 向量和的夹角<,>(或者说其补角)等于异面直线AB
和CD的夹角；
(3)
二、线面角
1、定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，斜线和平面所成角的范围是(0,).
2、直线在平面内或直线与平面平行，它们所成角是零角；
直线垂直平面它们所成角为，
3、范围: [0,]。
4、射影定理：斜线长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：
（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；
（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；
（3）垂线段比任何一条斜线段都短。
5、最小角定理：平面的一条斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
6、向量知识
（法向量法）与平面的斜线共线的向量和这个平面的一个法向量的夹角<,>(或者说其补角)是这条斜线与该平面夹角的余角.
[例题分析与解答]
例1．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求：异面直线BA1与AC所成的角.
分析：利用，求出向量的夹角,再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角.
解：∵，，
∴
∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
∴
∴
又
∴
∴
所以异面直线BA1与AC所成的角为60°.
点评：求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示.
例2．如图(1)，ABCD是一直角梯形，AD⊥AB，AD(1)若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；
(2)求异面直线AE与CD所成角的大小（用反三角函数表示）
（1）证明：
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB，
∵AD⊥AB，
∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥PD，又AE⊥PD，
∴PD⊥平面ABE，
∴BE⊥PD.
(2)解：设G、H分别为ED、AD的中点，连BH、HG、GB（图（1））
易知，
∴BH∵G、H分别为ED、AD的中点，
∴HG
∴异面直线AE、CD所成角的大小为.
解法二：如图（2）所示建立空间直角坐标系A-xyz，
则，，，
，，
（1）证明：
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴异面直线AE、CD所成角的大小为
例3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，求BE1与DF1所成角的余弦值.
解：以D为坐标原点，为x,y,z轴，建立空间直角坐
标系D-xyz，
设正方体的棱长为4，则
D(0,0,0)，B(4,4,0),E1(4,3,4), F1(0,1,4).
则，
∴，
∵.
∴
∴BE1与DF1所成角的余弦值为
点评：在计算和证明立体几何问题中，若能在原图中建立适当的空间直角坐标系，把图形中的点的坐标求出来，那么图形有关问题可用向量表示.利用空间向量的坐标运算来求解，这样可以避开较为复杂的空间想象。
例4．在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B.已知点A和点B到棱的距离分别为2和4，且线段|AB|=10.
(1) 求直线AB和棱a所成的角；
(2) 求直线AB和平面Q所成的角
解：如图，作AC⊥a，BD⊥a，垂足分别为C，D
分别以的单位向量为空间的基底
过C，B分别作BD，a的平行线，交于E点，
∴CE⊥a，从而，得：∠ACE就是二面角P-a-Q的平面角，∴,
依题设：设
(1)
∵, 又∵, ∴
展开：
∵,
∴m2+20+8=100，从而得
∴
∴异面直线与a所成的角为.
(2)
作AF⊥EC，交EC的延长线于F，
∴a⊥平面ACE，aÌ平面Q，
∴平面ACE⊥平面Q，
从而得：AF⊥平面Q，连结FB，
则∠ABF就是AB与平面Q所成的角，
∵上的射影为，
∴，∴，
在RtΔAFB中，，
∴直线AB和平面Q所成的角为：.
反馈练习：
1.过平面外两点和该平面垂直的平面的个数是（）
个 B.无数个 C.一个或无数个 D.没有
2.已知从一点P引三条射线PA，PB，PC，且两两成60度角，则二面角A—PB—C的二面角的余弦值是（）
A..
B.
C.
D.不能确定
3．正方体AC1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED与D1F所成角的大小是（）
A、B、C、D、
4．在正三棱锥S-ABC中，E为SA的中点，F为ΔABC的中心，SA=BC=2，则异面直线EF与AB所成的角是（）
A、60°
B、90°
C、45°
D、30°
5．已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，则直线CB1与平面AA1B1B所
成角的正弦值是（）
A、B、
C、D、
6、如图所示，M、N分别是单位正方体ABCD-A1B1C1D1中BB1、B1C1的中点.求MN与CD1
所成的角.
7、如图1所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1，侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点.
(1)求异面直线AB1与BC1的夹角；
(2)在直线CC1上求一点N，使MN^AB1.
参考答案：
.
.
．
如图.：
依题意，可知：
设
由三角形法则，
∴
∴
∴直线ED与D1F的所成的角为. 4．A．
如图设
依题意可得：，
∵
∴
∴
也就是：异面直线EF与AB所成的角是60°.
5．B．
如图取AB中点E，连结CE，
由正三棱柱可知：CE⊥平面AA1B1B.
连结EB1，∴∠CB1E就是B1C与平面AA1B1B所成的角设棱长AA1=1，设，
依题意可得：，
∵
∴
又∵
∴，
∴，
∴直线CB1与平面AA1B1B所成角的正弦值是.
6、解：
∵，，且
∴
∵，
∴
∴.
∴MN与CD1所成角为60°.
7、分析：利用向量理论求异面直线所成的角.
解：
(1)求异面直线AB1与BC1所成的角，就是求向量的夹角，如图2
∵正三棱柱ABC-A1B1C1，
∴，
依题意，
从而得：
∴
∴
(2)设，如图3，
依题意可得：
百度文库-
让每个人平等地提升自我
11 ∵
也就是：
∴
即
∴，
∴当时，AB1⊥MN.。