线线角和线面角

线线角和线面角

[重点]：确定点、斜线在平面内的射影。

[知识要点]：

一、线线角

1、定义：设a、b是异面直线，过空间一点O引a′

2、范围:(0,]

3. 向量知识：

对异面直线AB和CD

(1)；

(2) 向量和的夹角<,>(或者说其补角)等于异面直线AB

和CD的夹角；

(3)

二、线面角

1、定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，斜线和平面所成角的范围是(0,).

2、直线在平面内或直线与平面平行，它们所成角是零角；

直线垂直平面它们所成角为，

3、范围: [0,]。

4、射影定理：斜线长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：

（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；

（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；

（3）垂线段比任何一条斜线段都短。

5、最小角定理：平面的一条斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内过斜足的直线所成的一切角中最小的角。

6、向量知识

（法向量法）与平面的斜线共线的向量和这个平面的一个法向量的夹角<,>(或者说其补角)是这条斜线与该平面夹角的余角.

[例题分析与解答]

例1．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求：异面直线BA1与AC所成的角.

分析：利用，求出向量的夹角,再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角.

解：∵，，

∴

∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，

∴

∴

又

∴

∴

所以异面直线BA1与AC所成的角为60°.

点评：求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示.

例2．如图(1)，ABCD是一直角梯形，AD⊥AB，AD(1)若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；

(2)求异面直线AE与CD所成角的大小（用反三角函数表示）

（1）证明：

∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥AB，

∵AD⊥AB，

∴AB⊥平面PAD，

∴AB⊥PD，又AE⊥PD，

∴PD⊥平面ABE，

∴BE⊥PD.

(2)解：设G、H分别为ED、AD的中点，连BH、HG、GB（图（1））

易知，

∴BH∵G、H分别为ED、AD的中点，

∴HG

∴异面直线AE、CD所成角的大小为.

解法二：如图（2）所示建立空间直角坐标系A-xyz，

则，，，

，，

（1）证明：

∵

∴

∴

∴

∵

∴

∴异面直线AE、CD所成角的大小为

例3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，求BE1与DF1所成角的余弦值.

解：以D为坐标原点，为x,y,z轴，建立空间直角坐

标系D-xyz，

设正方体的棱长为4，则

D(0,0,0)，B(4,4,0),E1(4,3,4), F1(0,1,4).

则，

∴，

∵.

∴

∴BE1与DF1所成角的余弦值为

点评：在计算和证明立体几何问题中，若能在原图中建立适当的空间直角坐标系，把图形中的点的坐标求出来，那么图形有关问题可用向量表示.利用空间向量的坐标运算来求解，这样可以避开较为复杂的空间想象。

例4．在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B.已知点A和点B到棱的距离分别为2和4，且线段|AB|=10.

(1) 求直线AB和棱a所成的角；

(2) 求直线AB和平面Q所成的角

解：如图，作AC⊥a，BD⊥a，垂足分别为C，D

分别以的单位向量为空间的基底

过C，B分别作BD，a的平行线，交于E点，

∴CE⊥a，从而，得：∠ACE就是二面角P-a-Q的平面角，∴,

依题设：设

(1)

∵, 又∵, ∴

展开：

∵,

∴m2+20+8=100，从而得

∴

∴异面直线与a所成的角为.

(2)

作AF⊥EC，交EC的延长线于F，

∴a⊥平面ACE，aÌ平面Q，

∴平面ACE⊥平面Q，

从而得：AF⊥平面Q，连结FB，

则∠ABF就是AB与平面Q所成的角，

∵上的射影为，

∴，∴，

在RtΔAFB中，，

∴直线AB和平面Q所成的角为：.

反馈练习：

1.过平面外两点和该平面垂直的平面的个数是（）

个 B.无数个 C.一个或无数个 D.没有

2.已知从一点P引三条射线PA，PB，PC，且两两成60度角，则二面角A—PB—C的二面角的余弦值是（）

A..

B.

C.

D.不能确定

3．正方体AC1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED与D1F所成角的大小是（）

A、B、C、D、

4．在正三棱锥S-ABC中，E为SA的中点，F为ΔABC的中心，SA=BC=2，则异面直线EF与AB所成的角是（）

A、60°

B、90°

C、45°

D、30°

5．已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，则直线CB1与平面AA1B1B所

成角的正弦值是（）

A、B、

C、D、

6、如图所示，M、N分别是单位正方体ABCD-A1B1C1D1中BB1、B1C1的中点.求MN与CD1

所成的角.

7、如图1所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1，侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点.

(1)求异面直线AB1与BC1的夹角；