金融学-货币的时间价值

即期年金FV
FV＝PMT（１＋ｉ）＋PMT （１＋ｉ）２＋·······＋PMT （１＋ｉ ）ｎ
n
PMT（1 i） （1 i)t1
t 1
PMT（1 i）n 1 (1 i) i
普通年金FV
FV PMT 1in 1 i
二、即期年金PV
PV PMT 1 (1 i)n (1 i) i
FV PV (1 i)n
40,000 (1 0.08)2
34293.55281
连续复利的现值公式
FV PV (1 APR / m)mn
PV FV e APRn
四、求内部收益率i（IRR）
FV PV * (1 i)n FV (1 i)n PV (1 i) n FV
PV i n FV 1
课堂练习
汤姆在30岁从医学院毕业并获得实习医生 资格，每年年薪25000美元。五年后结束 实习将获得年薪30万美元实际值。设其预 期寿命为80岁，他希望在生命剩余保持相 同的实际消费支出，他的当前和未来储蓄 为多少？设实际利率为3%。
700000
600000 500000 400000
fund HumanCap Capital
300000
200000
100000
0
35
45
55
65
-100000
Age
75
34
跨期预算约束
T
t 1
(
Ct
1 i
t
B
1 it
)
W0
R t 1
Yt
1 it
i = 实际利率 R = 距离退休年数 T = 余生年数 W0 = 初始财富 B = 留给子孙的遗产
年收益率为18%时有效收益率 （APR=18%，复利频率不等，计算EFF）
年收益率
复利次数
年有效收益率
18
1
18.00
18
2
18.81
18
4
19.25
18
12
19.56
18
52
19.68
18
365
19.72
复利次数
复利计算频率上升，有效收益率上升（上页 的例子）
当频率无限大时(连续复利)
EFF
普通年金的PV
PV
pmt
1 i1
pmt
1 i2
pmt
1 i3
pmt
1 in1
pmt
1 in
续前
PV
pmt i
*
1
1
1 in
其他参数的公式
pmt
PV *i
1 1 in
pmt
FV * i
1 in 1
ln1 PV *i
n
pmt
ln1 i
Real $
三、生命周期金融计划
Human Capital and Wealth
Lmim
1
km m
m
1
e
k
1
连续复利的终值公式
FV PV(1 APm R)mn
FV PV eAPRn
三、现值公式
FV PV *(1 i)n
两边除以(1 i)n可得:
PV
FV (1 i)n
FV
*(1 i)n
现值举例
你希望2年后获得 $40,000 ，收益率 预期为 8%， 现值 是多少?（你现在应 该存入多少钱？）
PV
内部收益率（IRR）举例
投资 $15,000， 10年后获得 $30,000。年 收益率是多少?
i n FV 1 PV
10
30000
1
10
2
1
1
210
1
15000
0.071773463
7.18%
五、投资回收期n
FV PV * (1 i ) n
FV (1 i ) n PV
ln FV ln (1 i) n n * ln 1 i PV
D0 (1 g) D0 (1 g)2 D0 (1 g)3 D0 (1 g)
(1 i)
(1 i)2
(1 i)3
(1 i)
D0 (1 g) D0(1 g)
1 i 1 i D0(1 g)
11 g i g
ig
1i 1i
D1 ig
永续年金案例：购房还是租赁
假设你以每年3万租房；同时可以以80万 购入100平米的二手房，购房物业费为每 月1.5元，假设已开始征收房产税为 1.2%，问购房还是租赁如何选择？
对银行CDs的投资， 利率3%，期限 5年.
投资额$1,500， 终值 是多少?
FV PV *(1 i)n $1500*(1 0.03)5 $1738.911111
n5
i
3%
PV 1,500
FV ?
Result 1738.911111
二、复利的频率
一家银行采取每个月复利一次年利率是 14.2% ，另一家银行是每半年复利一次 年利率是14.5%。问：应向哪家银行申请 贷款？
设某普通股股票刚刚支付了D0的红利，你 预测这一红利现金流将永久性按照每年的 固定增长率持续下去，即 g Dn Dn1
（n=1,2，……,∞）,你要求的收Dn益1 率为i。 由各年度红利折现可得普通股股票的期初 价格公式：
P0
D1 (1 i)
D2 (1 i)2
D3 (1 i)3
D (1 i)
35
四、永续年金 Perpetual Annuities
永远持续的年金。具有永远持续的现金流。 Recall the annuity formula:
PV
pmt i
*1
1
1 in
Let n -> infinity with i > 0
（零增长模型）
PV pmt i
不变增长模型
PV D1 i-g
ln(x / y) ln(x) ln(y) ln(x* y* z) ln(x) ln(y) ln(z)
ln(x y) ln(x)*ln(y)
投资$1的价值（复利）
假设10％投资收益率的未来价值:
1年
$1.1
2年
$1.21
3年
$1.331
4年
$1.4641
一、终值和现值的关系
Future Value of $1000
复利频率计算公式
EFF
1
km
m
-1
m
1 km
1
EF
1
Fm
m
km
m*
1
1
EFF m
1
复利的频率（续前）
14.2 和14.5都是APR，根据上页公式得到： 14.2 的EFF是15.1616 14.5 的EFF是15.0256 由此将APR换算为可以比较的EFF，然后
作出投资判断。此例中，选择较低利率 （EFF）15.0256的银行贷款为好。
n
ln
FV PV
ln 1 i
ln FV ln PV ln 1 i
第二节 终值和现值
时间线
系列现金流的FV
每年存入1000，利率10%，两年后拥有 多少？
0
1
2
1000 1000 ？
两种方法： 1.（1000×1.1+1000）×1.1 2. 1000×1.1×1.1+1000×1.1
系列现金流的PV
第三节 年金
年金：相同现金流 即期年金：现金流开始于期初 普通年金：现金流开始于期末
一、年金的FV
上例中： ຫໍສະໝຸດ Baidu.即期年金
FV=100×1.1^3+100×1.1^2+100×1.1 =100×（1.1^3+1.1^2+1.1） =364.10
2.普通年金 FV=100×1.1^2+100×1.1+100=331
FV PV * (1 i) n
FV w ith grow ths from -6% to +6%
3 ,5 0 0
3 ,0 0 0
2 ,5 0 0
2 ,0 0 0
1 ,5 0 0
1 ,0 0 0
500
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Y ea rs
6%
4%
2%
0%
-2 % -4 % -6 %
18
20
终值举例
第五章 货币的时间价值
Objective
解释复利及折现 投资决策的基本判定方法
1
Contents
1.单利和复利 2.终值和现值 3.年金
知识重点
一、利息相关（简要介绍） 二、货币的时间价值（重点） 三、案例
第一节 单利和复利
1.利息是让渡资本使用权而索取的补偿 或借款人支付给存款人超出本金部分的 报酬
2.利率=收益（利息）/本金 =机会成本水平+风险溢价水平
3.实际利率i、名义利率r、通胀预期p 1+i=(1+r)/(1+p) i=r-p
4.无风险利率Risk-free Interest Rate
是指将资金投资于某一项没有任何风 险的投资对象而能得到的利息率。
金融学中使用的对数的性质:
eln( x) x, x 0 ln(ex ) x ln( x y) ln( x) ln( y) ln( x y ) y ln( x)