大一高数上 PPT课件 第四章
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说明: 如果F(x)是f(x)的原函数，那么 的原函数， 说明 ①如果 是 的原函数 那么F(x)+C 也是 + 也是f(x)的原 的原 函数，其中 是任意常数 是任意常数． 函数，其中C是任意常数． 都是f(x)的原函数 的原函数， ②如果Φ(x)和F(x)都是 的原函数，则 如果Φ 和 都是 为某个常数)． Φ(x)−F(x)=C (C为某个常数 ． − = 为某个常数
2
= − 4cot x + C ．
4.2 换元积分法
直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的 不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分， 不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需 要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积 分的两大基本方法——换元积分法和分部积分法。 换元积分法和分部积分法。 分的两大基本方法 换元积分法和分部积分法 在微分学中， 在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的 方法，不定积分作为微分法的逆运算， 方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应 的方法。利用中间变量的代换， 的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的 积分法——换元积分法。通常根据换元的先后， 换元积分法。 积分法 换元积分法 通常根据换元的先后， 把换元法分成第一类换元和第二类换元。 把换元法分成第一类换元和第二类换元。
1 [ sin 2x + C]′ = cos 2x 2
说明结果正确
将上例的解法一般化： 将上例的解法一般化： 设 F ′( u) = f ( u), 则 f ( u)du = F ( u) + C . 如果 u = ϕ ( x )（可微） 可微）
∫
Q dF [ϕ ( x )] = f [ϕ ( x )]ϕ ′( x )dx
又由于F(x)是F ′(x)的原函数，所以 是 的原函数， 又由于 的原函数
Hale Waihona Puke BaiduC=1 C=0
2
x
C=−1.5 −
∫
或记作
F ′(x)dx=F(x)+C ， ．
3x2的积分曲线： 积分曲线：
∫ d F(x) =F(x)+C
结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆 互逆的 结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
1 5 +1 2
5 +1 2 + x
2 3 C = x x+ C ． 7
例7
− dx = ∫ x 3 dx = x3 x
4 − +1 x 3
注意
4 − +1 3
3 + C = −3 + C ． x
检验积分结果是否正确，只要把结果求导， 检验积分结果是否正确，只要把结果求导，看 其导数是否等于被积函数
f(x)dx ．
意 常 数
原函数， 原函数， F(x)+C +
∫积 f (被 x )dx = F积 ( x ) + C任 被
积 函 数 积 表 达 式
F(x)
分 变 量
f(x)的 的
1 3 例1 ∫ x dx x +C ． dx= 3 1 + 例2 ∫ dx =ln|x|+C ． x 2 例3 求积分 ∫ x xdx.
原函数存在定理： 原函数存在定理：
如果函数f(x)在区间 上连续，那么在区间 上存在可导函数 在区间I上连续 那么在区间I上存在可导函数 如果函数 在区间 上连续， F(x)，使对任一 x ∈I 都有 ， F ′(x)=f(x)． = ．
简言之：连续函数一定有原函数 简言之：连续函数一定有原函数. （2）原函数是否唯一？若不唯一，它们之间有 ）原函数是否唯一？若不唯一， 什么联系？ 什么联系？
由 F ( x )可导 ⇒ F ( x )在 x = 0处连续
⇒ C1 = C 2
（左、右极限存在且相等） 右极限存在且相等） 矛盾 f ( x ) 没有原函数
⇒ F ( x ) = C ⇒ F ′( 0 ) = 0
而已知 F ′( 0 ) = f ( 0) = 1 这说明
既然不是每一个函数都有原函数，那么我们自然 既然不是每一个函数都有原函数， 要问：具备什么条件的函数才有原函数？ 要问：具备什么条件的函数才有原函数？对此我们 给出如下的结论： 给出如下的结论：
y = f ( x ),
根据题意知
dy = 2x , 即 f ( x ) 是2 x 的一个原函数. 的一个原函数 dx 2 Q ∫ 2 xdx = x 2 + C , ∴ f ( x ) = x + C ,
由曲线通过点（ ， ） 由曲线通过点（1，2） ⇒ C = 1, 所求曲线方程为
y = x 2 + 1.
例 10
(e x −3cos x)dx = ∫ e xdx −3 ∫ cos x dx =e x −3sin x + C ． ∫
( 2e) x 2x ex +C = + C． 例 11 ∫ 2x ex dx = ∫ (2e )x dx = 1 + ln 2 ln(2e)
2 1 + x + x2 = x + ( 1 + x ) dx dx ∫ 例12 ∫ 2 2 x(1 + x ) x(1+ x ) 1 1 1 1 dx + ∫ dx =∫ ( + )dx = ∫ 2 2 x x 1+ x 1+ x = arctan x +ln | x | +C ．
不定积分的定义： 不定积分的定义：
定义2 在区间I上 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为 定义 在区间 上，函数 的带有任意常数项的原函数称为 f(x)(或f(x)dx )在区间 上的不定积分，记作 或 在区间I上的不定积分 在区间 上的不定积分，
∫
分 号
定义， 定义， f(x)的不定积分 的不定积分. 的不定积分
2
解
x 2 xdx = ∫ x dx ∫
5 2
x 2 7 = + C = x2 + C. 5 7 +1 2
5 +1 2
设曲线通过点（ ， ）， ），且其上任一点处的切线斜 例4 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜 率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程 解 设曲线方程为
积分曲线： 积分曲线： f(x)的原函数的图形称为 的原函数的图形称为f(x) 的原函数的图形称为 的积分曲线． 的积分曲线． 微分与积分的关系： 微分与积分的关系： 从不定积分的定义可知： 从不定积分的定义可知：
y
y=x3+C
2
C=2
1
1 0 1 1
d [ ∫ f(x)dx ]=f(x)， dx 或 d [ ∫ f(x)dx ]=f(x)dx ；
一、原函数与不定积分的概念
定义1 如果在区间I上 可导函数F(x)的导函数为 f(x)，即对 定义 如果在区间 上，可导函数 的导函数为 ， 任一x ， 任一 ∈I，都有 F ′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx， = 或 = ， 那么函数F(x)就称为 就称为f(x)(或f(x)dx)在区间 上的原函数． 在区间I上的原函数 那么函数 就称为 或 在区间 上的原函数． 例如，sin x 是cos x 的原函数． 的原函数． 例如， 又如当x 又如当 ∈(1，+∞ 时， ，+∞)时 [ln(x+ x − 1 )]′ = ′
第 四 章 不 定 积 分
4.1 不定积分的概念和性质
前面我们已经研究了一元函数微分学。 前面我们已经研究了一元函数微分学。但在科学 技术领域中，还会遇到与此相反的问题： 技术领域中，还会遇到与此相反的问题：即寻求一 个可导函数，使其导数等于一个已知函数。从而产 个可导函数，使其导数等于一个已知函数。 生了一元函数积分学。 生了一元函数积分学。积分学分为不定积分和定积 分两部分。 分两部分。 本章我们先从导数的逆运算引出不定积分的概念 然后介绍其性质，最后着重系统地介绍积分方法。 然后介绍其性质，最后着重系统地介绍积分方法。
2
1 x −1
2
，
所以 ln(x+ x 2 − 1 )是
1 x −1
2
在区间(1，+∞ 内的原函数 内的原函数． 在区间 ，+∞)内的原函数．
关于原函数的说明： 关于原函数的说明：
对原函数的研究须讨论解决以下两个问题 对原函数的研究须讨论解决以下两个问题 (1) 是否任何一个函数都存在原函数？ 是否任何一个函数都存在原函数？ 考察如下的例子
∴
∫ f [ϕ ( x )]ϕ ′( x )dx = F [ϕ ( x )] + C
µ
=−cos ∫ sin x dx =− x +C ，
(8) (9)
(10) (11)
∫ ∫
1 dx = ∫ sec 2x dx=tan x+C ， cos 2 x 1 dx = ∫ csc 2x dx=−cot x +C ， sin 2 x
dx=sec ∫ sec x tan x dx x +C ， ，
二、基本积分表 是常数)， 是常数 (1) ∫ k dx =k x +C (k是常数 ，
(2)
∫
(3) (4) (5) (6) (7)
∫ ∫ ∫ ∫
1 µ +1 x +C ， x dx = µ +1 1 dx =ln |x|+C ， + x 1 dx =arctan x +C ， 2 1+ x 1 dx =arcsin x +C ， 2 1− x cos x dx =sin x +C ，
( x 2 + 1)( x 2 − 1) + 1 x4 x4 −1+1 dx = ∫ dx dx= ∫ 例13 ∫ 2 2 2 1+ x 1+ x 1+ x 1 1 dx )dx = ∫ x 2dx − ∫ dx + ∫ = ∫ (x2 −1 + 2 2 1+ x 1+ x 1 3 = x −x + arctan x + C ． 3
(x (x −1)3 x 3 − 3x 2 + 3x − 1 dx dx = ∫ 例9 ∫ 2 2 x x 1 3 = ∫ (x −3 + − 2 )dx x x 1 1 = ∫ x dx −3 ∫ dx +3 ∫ dx − ∫ 2 dx x x 1 1 = x 2−3x +3 ln | x | + + C ． 2 x
三、不定积分的性质
性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和， 性质 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即
∫ [f(x)+g(x)]dx= ∫ f(x)dx+ ∫ g(x)dx．
性质2 求不定积分时， 性质 求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提 到积分号外面来， 到积分号外面来，即
一、第一类换元法
问题
∫ cos 2 xdx = sin 2 x + C ,
利用复合函数，设置中间变量. 解决方法 利用复合函数，设置中间变量
1 过程 令 t = 2 x ⇒ dx = dt , 2 1 1 1 ∫ cos 2 xdx = 2 ∫ cos tdt = 2 sin t + C = 2 sin 2 x + C .
∫ kf(x)dx=k ∫ f(x)dx (k 是常数，k ≠0)．
例8
∫
=∫
dx x (x2−5)dx = ∫ ( x
5 x 2 dx
5 2 −5
x
1 2 )d x
−∫
1 5 x 2 dx
=∫
5 x 2 dx
−5 ∫
1 x 2 dx
2 = 7
7 2 x 2 −5·
3
3 x 2 +C
10 2 3 = x x − x x +C． 7 3
例14
∫
tan 2 x dx = ∫ (sec 2x−1)dx= ∫ sec 2x dx − ∫ dx dx
= tan x − x + C ． x 1 例 15 ∫ sin dx = ∫ (1 −cos x)dx 2 2 1 dx = [ ∫ dx − ∫ cos x dx ] 2 1 = (x−sin x )+ C ． 2 1 1 dx = ∫ dx = 4 ∫ csc 2dx dx 例16 ∫ 2 2 x 2 x sin x sin cos 2 2 2
0 x ≠ 0 f ( x) = 1 x = 0
若存在可导函数 F ( x )使 F ′( x ) = f ( x ) 则由 f ( x ) 的定义 当x < 0时 F ′( x ) = f ( x ) = 0 ⇒ F ( x ) = C1
当x > 0时 F ′( x ) = f ( x ) = 0 ⇒ F ( x ) = C 2
∫ csc x cot x dx =−csc x +C
(12)
(13)
∫ e dx = e +C,
x
x
∫
ax a x dx = +C ， ln a
例5
∫
1 1 1 +C ． −3 x −3+1+C = − dx = ∫ x dx= − 3 +1 x3 2 x2
2
例6
∫x
∫
x dx = ∫
4
5 x 2 dx =
2
= − 4cot x + C ．
4.2 换元积分法
直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的 不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分， 不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需 要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积 分的两大基本方法——换元积分法和分部积分法。 换元积分法和分部积分法。 分的两大基本方法 换元积分法和分部积分法 在微分学中， 在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的 方法，不定积分作为微分法的逆运算， 方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应 的方法。利用中间变量的代换， 的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的 积分法——换元积分法。通常根据换元的先后， 换元积分法。 积分法 换元积分法 通常根据换元的先后， 把换元法分成第一类换元和第二类换元。 把换元法分成第一类换元和第二类换元。
1 [ sin 2x + C]′ = cos 2x 2
说明结果正确
将上例的解法一般化： 将上例的解法一般化： 设 F ′( u) = f ( u), 则 f ( u)du = F ( u) + C . 如果 u = ϕ ( x )（可微） 可微）
∫
Q dF [ϕ ( x )] = f [ϕ ( x )]ϕ ′( x )dx
又由于F(x)是F ′(x)的原函数，所以 是 的原函数， 又由于 的原函数
Hale Waihona Puke BaiduC=1 C=0
2
x
C=−1.5 −
∫
或记作
F ′(x)dx=F(x)+C ， ．
3x2的积分曲线： 积分曲线：
∫ d F(x) =F(x)+C
结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆 互逆的 结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
1 5 +1 2
5 +1 2 + x
2 3 C = x x+ C ． 7
例7
− dx = ∫ x 3 dx = x3 x
4 − +1 x 3
注意
4 − +1 3
3 + C = −3 + C ． x
检验积分结果是否正确，只要把结果求导， 检验积分结果是否正确，只要把结果求导，看 其导数是否等于被积函数
f(x)dx ．
意 常 数
原函数， 原函数， F(x)+C +
∫积 f (被 x )dx = F积 ( x ) + C任 被
积 函 数 积 表 达 式
F(x)
分 变 量
f(x)的 的
1 3 例1 ∫ x dx x +C ． dx= 3 1 + 例2 ∫ dx =ln|x|+C ． x 2 例3 求积分 ∫ x xdx.
原函数存在定理： 原函数存在定理：
如果函数f(x)在区间 上连续，那么在区间 上存在可导函数 在区间I上连续 那么在区间I上存在可导函数 如果函数 在区间 上连续， F(x)，使对任一 x ∈I 都有 ， F ′(x)=f(x)． = ．
简言之：连续函数一定有原函数 简言之：连续函数一定有原函数. （2）原函数是否唯一？若不唯一，它们之间有 ）原函数是否唯一？若不唯一， 什么联系？ 什么联系？
由 F ( x )可导 ⇒ F ( x )在 x = 0处连续
⇒ C1 = C 2
（左、右极限存在且相等） 右极限存在且相等） 矛盾 f ( x ) 没有原函数
⇒ F ( x ) = C ⇒ F ′( 0 ) = 0
而已知 F ′( 0 ) = f ( 0) = 1 这说明
既然不是每一个函数都有原函数，那么我们自然 既然不是每一个函数都有原函数， 要问：具备什么条件的函数才有原函数？ 要问：具备什么条件的函数才有原函数？对此我们 给出如下的结论： 给出如下的结论：
y = f ( x ),
根据题意知
dy = 2x , 即 f ( x ) 是2 x 的一个原函数. 的一个原函数 dx 2 Q ∫ 2 xdx = x 2 + C , ∴ f ( x ) = x + C ,
由曲线通过点（ ， ） 由曲线通过点（1，2） ⇒ C = 1, 所求曲线方程为
y = x 2 + 1.
例 10
(e x −3cos x)dx = ∫ e xdx −3 ∫ cos x dx =e x −3sin x + C ． ∫
( 2e) x 2x ex +C = + C． 例 11 ∫ 2x ex dx = ∫ (2e )x dx = 1 + ln 2 ln(2e)
2 1 + x + x2 = x + ( 1 + x ) dx dx ∫ 例12 ∫ 2 2 x(1 + x ) x(1+ x ) 1 1 1 1 dx + ∫ dx =∫ ( + )dx = ∫ 2 2 x x 1+ x 1+ x = arctan x +ln | x | +C ．
不定积分的定义： 不定积分的定义：
定义2 在区间I上 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为 定义 在区间 上，函数 的带有任意常数项的原函数称为 f(x)(或f(x)dx )在区间 上的不定积分，记作 或 在区间I上的不定积分 在区间 上的不定积分，
∫
分 号
定义， 定义， f(x)的不定积分 的不定积分. 的不定积分
2
解
x 2 xdx = ∫ x dx ∫
5 2
x 2 7 = + C = x2 + C. 5 7 +1 2
5 +1 2
设曲线通过点（ ， ）， ），且其上任一点处的切线斜 例4 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜 率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程 解 设曲线方程为
积分曲线： 积分曲线： f(x)的原函数的图形称为 的原函数的图形称为f(x) 的原函数的图形称为 的积分曲线． 的积分曲线． 微分与积分的关系： 微分与积分的关系： 从不定积分的定义可知： 从不定积分的定义可知：
y
y=x3+C
2
C=2
1
1 0 1 1
d [ ∫ f(x)dx ]=f(x)， dx 或 d [ ∫ f(x)dx ]=f(x)dx ；
一、原函数与不定积分的概念
定义1 如果在区间I上 可导函数F(x)的导函数为 f(x)，即对 定义 如果在区间 上，可导函数 的导函数为 ， 任一x ， 任一 ∈I，都有 F ′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx， = 或 = ， 那么函数F(x)就称为 就称为f(x)(或f(x)dx)在区间 上的原函数． 在区间I上的原函数 那么函数 就称为 或 在区间 上的原函数． 例如，sin x 是cos x 的原函数． 的原函数． 例如， 又如当x 又如当 ∈(1，+∞ 时， ，+∞)时 [ln(x+ x − 1 )]′ = ′
第 四 章 不 定 积 分
4.1 不定积分的概念和性质
前面我们已经研究了一元函数微分学。 前面我们已经研究了一元函数微分学。但在科学 技术领域中，还会遇到与此相反的问题： 技术领域中，还会遇到与此相反的问题：即寻求一 个可导函数，使其导数等于一个已知函数。从而产 个可导函数，使其导数等于一个已知函数。 生了一元函数积分学。 生了一元函数积分学。积分学分为不定积分和定积 分两部分。 分两部分。 本章我们先从导数的逆运算引出不定积分的概念 然后介绍其性质，最后着重系统地介绍积分方法。 然后介绍其性质，最后着重系统地介绍积分方法。
2
1 x −1
2
，
所以 ln(x+ x 2 − 1 )是
1 x −1
2
在区间(1，+∞ 内的原函数 内的原函数． 在区间 ，+∞)内的原函数．
关于原函数的说明： 关于原函数的说明：
对原函数的研究须讨论解决以下两个问题 对原函数的研究须讨论解决以下两个问题 (1) 是否任何一个函数都存在原函数？ 是否任何一个函数都存在原函数？ 考察如下的例子
∴
∫ f [ϕ ( x )]ϕ ′( x )dx = F [ϕ ( x )] + C
µ
=−cos ∫ sin x dx =− x +C ，
(8) (9)
(10) (11)
∫ ∫
1 dx = ∫ sec 2x dx=tan x+C ， cos 2 x 1 dx = ∫ csc 2x dx=−cot x +C ， sin 2 x
dx=sec ∫ sec x tan x dx x +C ， ，
二、基本积分表 是常数)， 是常数 (1) ∫ k dx =k x +C (k是常数 ，
(2)
∫
(3) (4) (5) (6) (7)
∫ ∫ ∫ ∫
1 µ +1 x +C ， x dx = µ +1 1 dx =ln |x|+C ， + x 1 dx =arctan x +C ， 2 1+ x 1 dx =arcsin x +C ， 2 1− x cos x dx =sin x +C ，
( x 2 + 1)( x 2 − 1) + 1 x4 x4 −1+1 dx = ∫ dx dx= ∫ 例13 ∫ 2 2 2 1+ x 1+ x 1+ x 1 1 dx )dx = ∫ x 2dx − ∫ dx + ∫ = ∫ (x2 −1 + 2 2 1+ x 1+ x 1 3 = x −x + arctan x + C ． 3
(x (x −1)3 x 3 − 3x 2 + 3x − 1 dx dx = ∫ 例9 ∫ 2 2 x x 1 3 = ∫ (x −3 + − 2 )dx x x 1 1 = ∫ x dx −3 ∫ dx +3 ∫ dx − ∫ 2 dx x x 1 1 = x 2−3x +3 ln | x | + + C ． 2 x
三、不定积分的性质
性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和， 性质 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即
∫ [f(x)+g(x)]dx= ∫ f(x)dx+ ∫ g(x)dx．
性质2 求不定积分时， 性质 求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提 到积分号外面来， 到积分号外面来，即
一、第一类换元法
问题
∫ cos 2 xdx = sin 2 x + C ,
利用复合函数，设置中间变量. 解决方法 利用复合函数，设置中间变量
1 过程 令 t = 2 x ⇒ dx = dt , 2 1 1 1 ∫ cos 2 xdx = 2 ∫ cos tdt = 2 sin t + C = 2 sin 2 x + C .
∫ kf(x)dx=k ∫ f(x)dx (k 是常数，k ≠0)．
例8
∫
=∫
dx x (x2−5)dx = ∫ ( x
5 x 2 dx
5 2 −5
x
1 2 )d x
−∫
1 5 x 2 dx
=∫
5 x 2 dx
−5 ∫
1 x 2 dx
2 = 7
7 2 x 2 −5·
3
3 x 2 +C
10 2 3 = x x − x x +C． 7 3
例14
∫
tan 2 x dx = ∫ (sec 2x−1)dx= ∫ sec 2x dx − ∫ dx dx
= tan x − x + C ． x 1 例 15 ∫ sin dx = ∫ (1 −cos x)dx 2 2 1 dx = [ ∫ dx − ∫ cos x dx ] 2 1 = (x−sin x )+ C ． 2 1 1 dx = ∫ dx = 4 ∫ csc 2dx dx 例16 ∫ 2 2 x 2 x sin x sin cos 2 2 2
0 x ≠ 0 f ( x) = 1 x = 0
若存在可导函数 F ( x )使 F ′( x ) = f ( x ) 则由 f ( x ) 的定义 当x < 0时 F ′( x ) = f ( x ) = 0 ⇒ F ( x ) = C1
当x > 0时 F ′( x ) = f ( x ) = 0 ⇒ F ( x ) = C 2
∫ csc x cot x dx =−csc x +C
(12)
(13)
∫ e dx = e +C,
x
x
∫
ax a x dx = +C ， ln a
例5
∫
1 1 1 +C ． −3 x −3+1+C = − dx = ∫ x dx= − 3 +1 x3 2 x2
2
例6
∫x
∫
x dx = ∫
4
5 x 2 dx =