初二下期末几何压轴题及解析
初二下期末几何压轴题及解析
初二下期末几何及解析1、以四边形ABCD 的边AB 、AD 为边分别向外侧作等边三角形ABF 和ADE ，连接EB 、FD ，交点为G ．（1）当四边形ABCD 为正方形时（如图1），E B 和FD 的数量关系是_____________；（2）当四边形ABCD 为矩形时（如图2），EB 和FD 具有怎样的数量关系?请加以证明；（3）四边形ABCD 由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD 是否发生变化?如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD 的度数．难度一般：证全等即可（第三问，图1中就能看出是45°。
） 解 （1）EB=FD 。
（2）EB=FD 。
证：∵△AFB 为等边三角形,∴AF=AB ，∠FAB=60°∵△ADE 为等边三角形，∴AD=AE ，∠EAD=60°,∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD即∠FAD=∠BAE,∴△FAD ≌△BAE,∴EB=FD（3）解：∵△ADE 为等边三角形，∴∠AED=∠EDA=60° ∵△FAD ≌△BAE ，∴∠AEB=∠ADF 设∠AEB 为x °，则∠ADF 也为x °于是有∠BED 为（60-x ）°，∠EDF 为（60+x ）° ∴∠EGD=180°-∠BED-∠EDF =180°-（60-x ）°-（60+x ）°=60°2、已知：如图，在□ABCD 中，点E 是BC 的中点， 连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，连接BF ． （1）求证：△ABE ≌△FCE ；（2）若AF =AD ，求证：四边形ABFC 是矩形．FA BC DE简单题证明：（1）如图1．在△ABE 和△FCE 中，∠1=∠2， ∠3=∠4，BE =CE ， ∴△ABE ≌△FCE ．（2）∵△ABE ≌△FCE ，∴AB =FC ．∵AB ∥FC ，∴四边形ABFC 是平行四边形． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ． ∵AF =AD ，∴AF =BC ．∴四边形ABFC 是矩形．3、已知：△ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠B =90°，AB =BC =1． （1）要在这张纸板上剪出一个正方形，使这个正方形的四个顶点都在△ABC 的边上．小林设计出了一种剪法，如图1所示．请你再设计出一种不同于图1的剪法，并在图2中画出来．（2）按照小林设计的图1所示的剪法来进行裁剪，记图1为第一次裁剪，得到1个正方形，将它的面积记为1S ，则1S =___________；余下的2个三角形中还按照小林设计的剪法进行第二次裁剪（如图3）， 得到2个新的正方形，将此次所得2个正方形的面积的和．记为2S ，则2S =___________；在余下的4个三角形中再按照小林设计的的剪法进行第三次裁剪（如图4），得到4个新的正方形，将此次所得4个正方形图EFA BCD 图AB C图图B图2CBA图14321EDC BAF的面积的和．记为3S；按照同样的方法继续操作下去……，第n次裁剪得到_________个新的正方形，它们的面积的和．nS=______________．（题外题：把你剪出的正方形的面积与图1中的正方形面积进行比较。
最新成都八年级下期末数学B卷几何压轴题汇编二(含答案)
最新成都八年级下期末数学B卷几何压轴题汇编二21．已知四边形ABCD为矩形，对角线AC、BD相交于点O，∠CDO＝30°．点E、F为矩形边上的两个动点，且∠EOF＝60°．（1）如图1，当点E、F分别位于AB、AD边上时．①求证：∠DOF＝∠AOE；②若∠OEB＝75°，求证：DF＝AE．（2）如图2，当点E、F同时位于AB边上时，若∠OFB＝75°，试探究线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由．22．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+n分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（4，0），点C为线段AB的中点．（1）求点B的坐标；（2）点P为直线AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线OC交于点Q，设点P的横坐标为m，△OPQ的面积为S，求S与m的函数解析式；（3）当点P在直线AB上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝4，E为对角线AC上的动点（点E不与A，C重合），连接BE，将射线EB绕点E逆时针旋转120°后交射线AD于点F．（1）如图1，当AE＝AF时，求∠AEB的度数；（2）如图2，分别过点B，F作EF，BE的平行线，且两直线相交于点G．i）试探究四边形BGFE的形状，并求出四边形BGFE的周长的最小值；ii）连接AG，设CE＝x，AG＝y，请直接写出y与x之间满足的关系式，不必写出求解过程．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+6交x轴于点A，交y轴于点B，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且AB＝BC．（1）求点C的坐标及直线BC的函数表达式；（2）点D（a，2）在直线AB上，点E为y轴上一动点，连接DE．（ⅰ）若∠BDE＝45°，求△BDE的面积；（ⅱ）在点E的运动过程中，以DE为边作正方形DEGF，当点F落在直线BC上时，求满足条件的点E 的坐标．25．已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE．（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG＝DE；（2）如图2，如果正方形ABCD的边长为，将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG ∥BD，BG＝BD．①求∠BDE的度数；②请直接写出正方形CEFG的边长的值．26．在平面直角坐标系xOy中，边长为6的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，直线y＝mx+2与OC，BC两边分别相交于点D，G，以DG为边作菱形DEFG，顶点E在OA边上．（1）如图1，当菱形DEFG的一顶点F在AB边上．①若CG＝OD时，求直线DG的函数表达式；②求证：△OED≌△BGF．（2）如图2，当菱形DEFG的一顶点F在AB边右侧，连接BF，设CG＝a，△FBG面积为S．求S与a 的函数关系式；并判断S的值能否等于1？请说明理由；（3）如图3，连接GE，当GD平分∠CGE时，m的值为．（直接写出答案）．27．等腰直角三角形OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB，点D为OA中点，DC⊥OB，垂足为C，连接BD，点M为线段BD中点，连接AM、CM，如图①．（1）求证：AM＝CM；（2）将图①中的△OCD绕点O逆时针旋转90°，连接BD，点M为线段BD中点，连接AM、CM、OM，如图②．①求证：AM＝CM，AM⊥CM；②若AB＝4，求△AOM的面积．28．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线BC交x轴负半轴于点C，∠BCA＝30°，如图①．（1）求直线BC的解析式．（2）在图①中，过点A作x轴的垂线交直线CB于点D，若动点M从点A出发，沿射线AB方向以每秒个单位长度的速度运动，同时，动点N从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动，直线MN与直线AD交于点S，如图②，设运动时间为t秒，当△DSN≌△BOC时，求t的值．（3）若点M是直线AB在第二象限上的一点，点N、P分别在直线BC、直线AD上，是否存在以M、B、N、P为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．29．如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．（1）如图②，若M为AD边的中点，①△AEM的周长＝cm；②求证：EP＝AE+DP；（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），△PDM的周长是否发生变化？请说明理由．30．矩形ABCO中，O（0，0），C（0，3），A（a，0），（a≥3），以A为旋转中心顺时针旋转矩形ABCO得到矩形AFED．（1）如图1，当点D落在边BC上时，求BD的长（用a的式子表示）；（2）如图2，当a＝3时，矩形AFED的对角线AE交矩形ABCO的边BC于点G，连接CE，若△CGE 是等腰三角形，求直线BE的解析式；（3）如图3，矩形ABCO的对称中心为点P，当P，B关于AD对称时，求出a的值，此时在x轴、y轴上是否分别存在M，N使得四边形EFMN为平行四边形，若存在直接写出M，N坐标，不存在说明理由．31．如图为正方形ABCD中，点M、N在直线BD上，连接AM，AN并延长交BC、CD于点E、F，连接EN．（1）如图1，若M，N都在线段BD上，且AN＝NE，求∠MAN；（2）如图2，当点M在线段DB延长线上时，AN＝NE，（1）中∠MAN的度数不变，判断BM，DN，MN之间的数量关系并证明；（3）如图3，若点M在DB的延长线上，N在BD的延长线上，且∠MAN＝135°，AB＝，MB＝，求DN．32．在正方形AMFN中，以AM为BC边上的高作等边三角形ABC，将AB绕点A逆时针旋转90°至点D，D点恰好落在NF上，连接BD，AC与BD交于点E，连接CD．（1）如图1，求证：△AMC≌△AND；（2）如图1，若DF＝，求AE的长；（3）如图2，将△CDF绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜90°），点C，F的对应点分别为C1、F1．连接AF1、BC1，点G是BC1的中点，连接AG．试探索是否为定值，若是定值，则求出该值；若不是，请说明理由．33．如图，等腰直角三角形OAB的三个定点分别为O（0，0）、A（0，3）、B（﹣3，0），过A作y轴的垂线l1．点C在x轴上以每秒的速度从原点出发向右运动，点D在l1上以每秒的速度同时从点A出发向右运动，当四边形ABCD为平行四边形时C、D同时停止运动，设运动时间为t．当C、D停止运动时，将△OAB沿y轴向右翻折得到△OAB1，AB1与CD相交于点E，P为x轴上另一动点．（1）求直线AB的解析式，并求出t的值．（2）当PE+PD取得最小值时，求PD2+PE2+2PD•PE的值．（3）设P的运动速度为1，若P从B点出发向右运动，运动时间为x，请用含x的代数式表示△P AE的面积．34．已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，D、E分别在BC、AC边上．（1）如图1，F是线段AD上的一点，连接CF，若AF＝CF；①求证：点F是AD的中点；②判断BE与CF的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0＜α＜90°），点F是AD的中点，其他条件不变，判断BE与CF的关系是否不变？若不变，请说明理由；若要变，请求出相应的正确结论．35．（1）如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，且交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF，且BE平分∠ABD．①求证：四边形BFDE是菱形；②直接写出∠EBF的度数．（2）把（1）中菱形BFDE进行分离研究，如图2，G，I分别在BF，BE边上，且BG＝BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH，并延长FH交ED于点J，连接IJ，IH，IF，IG．试探究线段IH与FH之间满足的关系，并说明理由；（3）把（1）中矩形ABCD进行特殊化探究，如图3，矩形ABCD满足AB＝AD时，点E是对角线AC 上一点，连接DE，作EF⊥DE，垂足为点E，交AB于点F，连接DF，交AC于点G．请直接写出线段AG，GE，EC三者之间满足的数量关系．36．已知正方形ABCD，探究以下问题：（1）如图1，点F在BC上，作FE⊥BD于点E，取DF的中点G，连接EG、CG，将△EGC沿直线EC 翻折到△EG′C，求证：四边形EGCG′是菱形；（2）如图2，点F是BC外一点，作FE⊥BC于点E，且BE＝EF，连接DF，取DF的中点G，将△EGC 沿直线EC翻折到△EG′C，作FM⊥CD于点M，请问（1）中的结论”四边形EGCG′是菱形”是否依然成立，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若图2中AB＝4，设BE长为x，四边形EGCG′的面积为S，请求出S关于x 的函数关系式，并说明理由．37．（1）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，当点B，E，F三点共线时，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时，求线段AF的长．38．如图1，直线y＝﹣x+6与y轴交于点A，与x轴交于点D，直线AB交x轴于点B，△AOB沿直线AB折叠，点O恰好落在直线AD上的点C处．（1）求OB的长；（2）如图2，F，G是直线AB上的两点，若△DFG是以FG为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；（3）如图3，点P是直线AB上一点，点Q是直线AD上一点，且P，Q均在第四象限，点E是x轴上一点，若四边形PQDE为菱形，求点E的坐标．39．如图，矩形ABCD中，∠BAC＝30°，对角线AC、BD交于点O，∠BCD的平分线CE分别交AB、BD 于点E、H，连接OE．（1）求∠BOE的度数；（2）若BC＝1，求△BCH的面积；（3）求S△CHO：S△BHE．参考答案21．已知四边形ABCD为矩形，对角线AC、BD相交于点O，∠CDO＝30°．点E、F为矩形边上的两个动点，且∠EOF＝60°．（1）如图1，当点E、F分别位于AB、AD边上时．①求证：∠DOF＝∠AOE；②若∠OEB＝75°，求证：DF＝AE．（2）如图2，当点E、F同时位于AB边上时，若∠OFB＝75°，试探究线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由．【解答】证明：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∠CDA＝90°，∴AO＝DO，∵∠CDO＝30°，∴∠ADO＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，∵∠EOF＝60°，∴∠EOF＝∠AOD，∴∠DOF＝∠AOE；②在OF上截取OH＝OE，连接DH，∵AO＝OD，∠DOF＝∠AOE，OE＝OH，∴△AOE≌△DOH（SAS），∴AE＝DH，∵∠OEB＝75°，∴∠AEO＝105°，∵∠AEO+∠EOF+∠OF A+∠DAB＝360°，∴∠AFO＝105°，∴∠DFH＝75°，∴∠DFH＝∠DHF，∴DF＝DH＝AE；（2）将△OAF绕点O顺时针旋转120°得到△OBN，连接NE．∴ON＝OF，∠NOF＝∠AOB＝120°，AF＝BN，∵∠AOB＝120°，∠EOF＝60°，∴∠BON+∠BOE＝∠AOF+∠BOE＝60°，∴∠EON＝∠EOF，∵OF＝ON，OE＝OE，∴△EOF≌△EON（SAS），∴∠OEF＝∠OEN，∵∠OFB＝75°，∠OBF＝30°，∴∠BOF＝75°，∴∠BOE＝75°﹣60°＝15°，∴∠FEO＝∠BOE+∠OBE＝45°，∴∠OEF＝∠OEN＝45°，∴∠NEB＝∠NEF＝90°，∵∠OBN＝∠OAF＝30°，∠OBE＝30°，∴∠EBN＝60°，∴∠ENB＝90°﹣60°＝30°，∴BN＝2BE，∵AF＝BN，∴AF＝2BE．22．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+n分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（4，0），点C为线段AB的中点．（1）求点B的坐标；（2）点P为直线AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线OC交于点Q，设点P的横坐标为m，△OPQ的面积为S，求S与m的函数解析式；（3）当点P在直线AB上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将点A的坐标代入y＝﹣x+n并解得：n＝3，故直线的表达式为：y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，故点B（0，3）；（2）点C为线段AB的中点，则由中点公式得，点C（2，），则直线OC的表达式为：y＝x，设点P（m，﹣m+3），则点Q（m，m），当点P在y轴右侧，且在点C右侧时，S＝PQ•|x P|＝（m+m﹣3）•m＝m2﹣m；当点P在y轴右侧，且在点C左侧时，S＝PQ•|x P|＝（﹣m+3﹣m）•m＝m﹣m2；当点P在y轴左侧时，同理可得：S＝m2﹣m；故S＝m2﹣m或S＝m﹣m2；（3）设P（m，﹣m+3），点N（s，t），而点O、B的坐标分别为（0，0）、（0，3）；①当OB是矩形的边时，则点P与点A重合，故点P（4，0），故点N（4，3）；②当OB是矩形的对角线时，由中点公式得：m+s＝0且﹣m+3+t＝3+0①，由矩形的对角线相等得：OB＝PN，即（m﹣s）2+（﹣m+3﹣t）2＝32②，联立①②并解得：，故点N（﹣，）；综上，点N的坐标为（4，3）或（﹣，）．23．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝4，E为对角线AC上的动点（点E不与A，C重合），连接BE，将射线EB绕点E逆时针旋转120°后交射线AD于点F．（1）如图1，当AE＝AF时，求∠AEB的度数；（2）如图2，分别过点B，F作EF，BE的平行线，且两直线相交于点G．i）试探究四边形BGFE的形状，并求出四边形BGFE的周长的最小值；ii）连接AG，设CE＝x，AG＝y，请直接写出y与x之间满足的关系式，不必写出求解过程．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，∠BAC＝∠DAC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∴∠EAF＝30°，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝75°，∵∠BEF＝120°，∴∠AEB＝120°﹣75°＝45°．（2）i）如图2中，连接DE．∵AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，AE＝AE，∴△BAE≌△DAE（SAS），∴BE＝DE，∠ABE＝∠ADE，∵∠BAF+∠BEF＝60°+120°＝180°，∴∠ABE+∠AFE＝180°，∵∠AFE+∠EFD＝180°，∴∠EFD＝∠ABE，∴∠EFD＝∠ADE，∴EF＝ED，∴EF＝BE，∵BE∥FG，BG∥EF，∴四边形BEFG是平行四边形，∵EB＝EF，∴四边形BEFG是菱形，∴当BE⊥AC时，菱形BEFG的周长最小，此时BE＝AB•sin30°＝2，∴四边形BGFE的周长的最小值为8．ii）如图2﹣1中，连接BD，DE，过点E作EH⊥CD于H．∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝BA，∠ABD＝60°，∵BG∥EF，∴∠EBG＝180°﹣120°＝60°，∴∠ABD＝∠GBE，∴∠ABG＝∠DBE，∵BG＝BE，∴△ABG≌△DBE（SAS），∴AG＝DE＝y，在Rt△CEH中，EH＝EC＝x．CH＝x，∴DH＝|4﹣x|，在Rt△DEH中，∵DE2＝EH2+DH2，∴y2＝x2+（4﹣x）2，∴y2＝x2﹣12x+48，∴y＝（0＜x＜12）．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+6交x轴于点A，交y轴于点B，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且AB＝BC．（1）求点C的坐标及直线BC的函数表达式；（2）点D（a，2）在直线AB上，点E为y轴上一动点，连接DE．（ⅰ）若∠BDE＝45°，求△BDE的面积；（ⅱ）在点E的运动过程中，以DE为边作正方形DEGF，当点F落在直线BC上时，求满足条件的点E 的坐标．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣2x+6交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（3，0），B（0，6），∴OA＝3，OB＝6，∵AB＝BC，OB⊥AC，∴OC＝OA＝3，∴C（﹣3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BC的解析式为y＝2x+6．（2）如图，取点Q（﹣1，3），连接BQ，DQ，DQ交AB于E．∵D（a，2）在直线y＝﹣2x+6上，∴2＝﹣2a+6，∴a＝2，∴D（2，2），∵B（0，6），∴QB＝＝，QD＝＝，BD＝＝2，∴BD2＝QB2+QD2，QB＝QD，∴∠BQD＝90°，∠BDQ＝45°，∵直线DQ的解析式为y＝﹣x+，∴E（0，），∴OE＝，BE＝6﹣＝，∴S△BDE＝××2＝．（3）如图，过点D作DM⊥OA于M，DN⊥OB于N．∵四边形DEGF是正方形，∴∠EDF＝90°，ED＝DF，∵∠EDF＝∠MDN＝90°，∴∠EDN＝∠DFM，∵DE＝DF，DN＝DM，∴△DNE≌△DMF（SAS），∴∠DNE＝∠DMF＝90°，EN＝FM，∴点F在x轴上，∴当点F与C重合时，FM＝NE＝5，此时E（0，7），同法可证，点F′在直线y＝4上运动，当点F′落在BC上时，E（0，﹣1），综上所述，满足条件的点E的坐标为（0，7）或（0，﹣1）．25．已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE．（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG＝DE；（2）如图2，如果正方形ABCD的边长为，将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG ∥BD，BG＝BD．①求∠BDE的度数；②请直接写出正方形CEFG的边长的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和CEFG为正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°．∴∠BCD+∠DCG＝∠GCE+∠DCG，∴∠BCG＝∠DCE．在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS）．（2）解：①连接BE．由（1）可知：BG＝DE．∵CG∥BD，∴∠DCG＝∠BDC＝45°．∴∠BCG＝∠BCD+∠GCD＝90°+45°＝135°．∵∠GCE＝90°，∴∠BCE＝360°﹣∠BCG﹣∠GCE＝360°﹣135°﹣90°＝135°．∴∠BCG＝∠BCE．∵BC＝BC，CG＝CE，在△BCG和△BCE中，，∴△BCG≌△BCE（SAS）．∴BG＝BE．∵BG＝BD＝DE，∴BD＝BE＝DE．∴△BDE为等边三角形．∴∠BDE＝60°．②延长EC交BD于点H，在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△BCG（SSS），∴∠BEC＝∠DEC，∴EH⊥BD，BH＝．∵BC＝CD＝，在Rt△BCD中由勾股定理，得∴BD＝＝＝2．∴CH＝1．在Rt△BHE中，由勾股定理，得EH＝，∴CE＝﹣1．∴正方形CEFG的边长为．26．在平面直角坐标系xOy中，边长为6的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，直线y＝mx+2与OC，BC两边分别相交于点D，G，以DG为边作菱形DEFG，顶点E在OA边上．（1）如图1，当菱形DEFG的一顶点F在AB边上．①若CG＝OD时，求直线DG的函数表达式；②求证：△OED≌△BGF．（2）如图2，当菱形DEFG的一顶点F在AB边右侧，连接BF，设CG＝a，△FBG面积为S．求S与a 的函数关系式；并判断S的值能否等于1？请说明理由；（3）如图3，连接GE，当GD平分∠CGE时，m的值为．（直接写出答案）．【解答】解：（1）①∵将x＝0代入y＝mx+2得；y＝2，∴点D的坐标为（0，2）．∵CG＝OD＝2，∴点G的坐标为（2，6）．将点G（2，6）代入y＝mx+2得：2m+2＝6．解得：m＝2．∴直线DG的函数表达式为y＝2x+2．②如图1，延长GF交y轴于点M，∵DM∥AB，∴∠GFB＝∠DMG，∵四边形DEFG是菱形，∴GF∥DE，DE＝GF，∴∠DMG＝∠ODE，∴∠GFB＝∠ODE，又∵∠B＝∠DOE＝90°，∴△OED≌△BGF（AAS）；（2）如图2所示：过点F作FH⊥BC，垂足为H，延长FG交y轴与点N．∵四边形DEFG为菱形，∴GF＝DE，GF∥DE．∴∠GNC＝∠EDO．∴∠NGC＝∠DEO．∴∠HGF＝∠DEO．在Rt△GHF和Rt△EOD中，，∴Rt△GHF≌Rt△EOD（AAS）．∴FH＝DO＝2．∴S△GBF＝GB•HF＝×2×（6﹣a）＝6﹣a．∴S与a之间的函数关系式为：S＝6﹣a．当s＝1时，则6﹣a＝1．解得：a＝5．∴点G的坐标为（5，6）．在△DCG中，由勾股定理可知；DG＝＝＝．∵四边形GDEF是菱形，∴DE＝DG＝．在Rt△DOE中，由勾股定理可知OE＝＝＝＞6．∴OE＞OA．∴点E不在OA上．∴S≠1．（3）如图3所示：连接DF交EG于点M，过点M作MN⊥y轴，垂足为N．又∵四边形DEFG为菱形，∴DM⊥GM，点M为DF的中点．∵GD平分∠CGE，DM⊥GM，GC⊥OC，∴MD＝CD＝4．∵由（2）可知点F的坐标为4，点D的纵坐标为2，∴点M的纵坐标为3．∴ND＝1．在Rt△DNM中，MN＝＝．∴点M的坐标为（，3）．设直线DM的解析式为y＝kx+2．将（，3）代入得：k+2＝3．解得：k＝．∴设直线MG的解析式为y＝﹣x+b．将（，3）代入得：﹣15+b＝3．解得：b＝18．∴直线MG的解析式为y＝﹣x+18．将y＝6代入得：﹣x+18＝6．解得：x＝．∴点G的坐标为（，6）．将（，6）代入y＝mx+2得：m+2＝6．解得：m＝．故答案为：．27．等腰直角三角形OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB，点D为OA中点，DC⊥OB，垂足为C，连接BD，点M为线段BD中点，连接AM、CM，如图①．（1）求证：AM＝CM；（2）将图①中的△OCD绕点O逆时针旋转90°，连接BD，点M为线段BD中点，连接AM、CM、OM，如图②．①求证：AM＝CM，AM⊥CM；②若AB＝4，求△AOM的面积．【解答】解：（1）证明：∵∠OAB＝90°，∴△ABD是直角三角形，∵点M是BD的中点，∴AM＝BD，∵DC⊥OB，∴∠BCD＝90°，∵点M是BD的中点，∴CM＝BD，∴AM＝CM；（2）①如图②，在图①中，∵AO＝AB，∠OAB＝90°，∴∠ABO＝∠AOB＝45°，∵DC⊥OB，∴∠OCD＝90°，∴∠ODC＝∠AOB，∴OC＝CD，延长CM交OB于T，连接AT，由旋转知，∠COB＝90°，DC∥OB，∴∠CDM＝∠TBM，∵点M是BD的中点，∴DM＝BM，∵∠CMD＝∠TMB，∴△CDM≌△TBM（ASA），∴CM＝TM，DC＝BT＝OC，∵∠AOC＝∠BOC﹣∠AOB＝45°＝∠ABO，∵AO＝AB，∴△OAC≌△BAT（SAS），∴AC＝AT，∠OAC＝∠BAT，∴∠CAT＝∠OAC+∠OAT＝∠BAT+∠OAT＝∠OAB＝90°，∴△CAT是等腰直角三角形，∵CM＝TM，∴AM⊥CM，AM＝CM；②如图③，在Rt△AOB中，AB＝4，∴OA＝4，OB＝AB＝4，在图①中，点D是OA的中点，∴OD＝OA＝2，∵△OCD是等腰直角三角形，∴DC＝CO＝＝，由①知，BT＝CD，∴BT＝，∴OT＝OB﹣TB＝3，在Rt△OTC中，CT＝＝2，∵CM＝TM＝CT＝＝AM，∵OM是Rt△COT的斜边上的中线，∴OM＝CT＝，∴AM＝OM，过点M作MN⊥OA于N，则ON＝AN＝OA＝2，根据勾股定理得，MN＝＝1，∴S△AOM＝OA•MN＝×4×1＝2．28．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线BC交x轴负半轴于点C，∠BCA＝30°，如图①．（1）求直线BC的解析式．（2）在图①中，过点A作x轴的垂线交直线CB于点D，若动点M从点A出发，沿射线AB方向以每秒个单位长度的速度运动，同时，动点N从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动，直线MN与直线AD交于点S，如图②，设运动时间为t秒，当△DSN≌△BOC时，求t的值．（3）若点M是直线AB在第二象限上的一点，点N、P分别在直线BC、直线AD上，是否存在以M、B、N、P为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴x＝0时，y＝2，y＝0时，x＝2，∴A（2，0），B（0，2），∴OB＝AO＝2，在Rt△COB中，∠BOC＝90°，∠BCA＝30°，∴OC＝2，∴C（﹣2，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，代入B，C两点的坐标得，，∴k＝，b＝2，∴直线BC的解析式为y＝x+2；（2）分别过点M，N作MQ⊥x轴，NP⊥x轴，垂足分别为点Q，P．（Ⅰ）如图1，当点M在线段AB上运动时，∵CN＝2t，AM＝t，OB＝OA＝2，∠BOA＝∠BOC＝90°，∴∠BAO＝∠ABO＝45°，∵∠BCO＝30°，∴NP＝MQ＝t，∵MQ⊥x轴，NP⊥x轴，∴∠NPQ＝∠MQA＝90°，NP∥MQ，∴四边形NPQM是矩形，∴NS∥x轴，∵AD⊥x轴，∴AS∥MQ∥y轴，∴四边形MQAS是矩形，∴AS＝MQ＝NP＝t，∵NS∥x轴，AS∥MQ∥y轴，∴∠DNS＝∠BCO，∠DSN＝∠DAO＝∠BOC＝90°，∴当DS＝BO＝2时，△DSN≌△BOC（AAS），∵D（2，+2），∴DS＝+2﹣t，∴+2﹣t＝2，∴t＝（秒）；（Ⅱ）当点M在线段AB的延长线上运动时，如图2，同理可得，当DS＝BO＝2时，△DSN≌△BOC（AAS），∵DS＝t﹣（+2），∴t﹣（+2）＝2，∴t＝+4（秒），综合以上可得，t＝秒或t＝+4秒时，△DSN≌△BOC．（3）存在以M、B、N、P为顶点的四边形是菱形：M（﹣2﹣2，2+4）或M（﹣2﹣4，2+6）或M（﹣2+2，2）．∵M是直线AB在第二象限上的一点，点N，P分别在直线BC，直线AD上，∴设点M（a，﹣a+2），N（b，b+2），P（2，c），点B（0，2），（Ⅰ）当以BM，BP为邻边构成菱形时，如图3，∵∠CBO＝60°，∠OBA＝∠OAB＝∠P AF＝45°，∴∠DBA＝∠MBN＝∠PBN＝75°，∴∠MBE＝45°，∠PBF＝30°，∴MB＝ME，PF＝AP，PB＝2PF＝AP，∵四边形BMNP是菱形，∴，解得，a＝﹣2﹣2，∴M（﹣2﹣2，2+4）（此时点N与点C重合），（Ⅱ）当以BP为对角线，BM为边构成菱形时，如图4，过点B作EF∥x轴，ME⊥EF，NF⊥EF，同（Ⅰ）可知，∠MBE＝45°，∠NBF＝30°，由四边形BMNP是菱形和BM＝BN得：，解得：a＝﹣2﹣4，∴M（﹣2﹣4，2+6），（Ⅲ）当以BM为对角线，BP为边构成菱形时，如图5，作NE⊥y轴，BF⊥AD，∴∠BNE＝30°，∠PBF＝60°，由四边形BMNP是菱形和BN＝BP得，，解得：a＝﹣2+2，∴M（﹣2+2，2）．综合上以得出，当以M、B、N、P为顶点的四边形是菱形时，点M的坐标为：M（﹣2﹣2，2+4）或M（﹣2﹣4，2+6）或M（﹣2+2，2）．29．如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．（1）如图②，若M为AD边的中点，①△AEM的周长＝6cm；②求证：EP＝AE+DP；（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），△PDM的周长是否发生变化？请说明理由．【解答】解：（1）由折叠知BE＝EM，∠B＝∠EMP＝90°．①△AEM的周长＝AE+EM+AM＝AE+EB+AM＝AB+AM．∵AB＝4，M是AD中点，∴△AEM的周长＝4+2＝6（cm）；②现证明EP＝AE+PD方法一：取EP的中点G，则在梯形AEPD中，MG为中位线，∴MG＝（AE+PD），在Rt△EMP中，MG为斜边EP的中线，∴MG＝EP，∴EP＝AE+PD．方法二：延长EM交CD延长线于Q点．∵∠A＝∠MDQ＝90°，AM＝DM，∠AME＝∠DMQ，∴△AME≌△DMQ．∴AE＝DQ，EM＝MQ．又∵∠EMP＝∠B＝90°，∴PM垂直平分EQ，有EP＝PQ．∵PQ＝PD+DQ，∴EP＝AE+PD．（2）△PDM的周长保持不变．设AM＝x，则MD＝4﹣x．由折叠性质可知，EM＝4﹣AE，在Rt△AEM中，AE2+AM2＝EM2，即AE2+x2＝（4﹣AE）2，整理得：AE2+x2＝16﹣8AE+AE2，∴AE＝（16﹣x2），又∵∠EMP＝90°，∴∠AME+∠DMP＝90°．∵∠AME+∠AEM＝90°，∴∠AEM＝∠DMP．又∵∠A＝∠D，∴△PDM∽△MAE．∴∴C△PDM＝C△MAE•＝（4+x）•＝8．∴△PDM的周长保持不变．30．矩形ABCO中，O（0，0），C（0，3），A（a，0），（a≥3），以A为旋转中心顺时针旋转矩形ABCO得到矩形AFED．（1）如图1，当点D落在边BC上时，求BD的长（用a的式子表示）；（2）如图2，当a＝3时，矩形AFED的对角线AE交矩形ABCO的边BC于点G，连接CE，若△CGE 是等腰三角形，求直线BE的解析式；（3）如图3，矩形ABCO的对称中心为点P，当P，B关于AD对称时，求出a的值，此时在x轴、y轴上是否分别存在M，N使得四边形EFMN为平行四边形，若存在直接写出M，N坐标，不存在说明理由．【解答】解：（1）如图1，在矩形ABCO中，∠B＝90°当点D落在边BC上时，BD2＝AD2﹣AB2，∵C（0，3），A（a，0）∴AB＝OC＝3，AD＝AO＝a，∴BD＝；（2）如图2，连接AC，∵a＝3，∴OA＝OC＝3，∴矩形ABCO是正方形，∴∠BCA＝45°，设∠ECG的度数为x，∴AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE＝45°+x，①当CG＝EG时，x＝45°+x，解得x＝0，不合题意，舍去；②当CE＝GE时，如图2，∠ECG＝∠EGC＝x∵∠ECG+∠EGC+∠CEG＝180°，∴x+x+（45°+x）＝180°，解得x＝45°，∴∠AEC＝∠ACE＝90°，不合题意，舍去；③当CE＝CG时，∠CEG＝∠CGE＝45°+x，∵∠ECG+∠EGC+∠CEG＝180°，∴x+（45°+x）+（45°+x）＝180°，解得x＝30°，∴∠AEC＝∠ACE＝75°，∠CAE＝30°如图3，连接OB，交AC于点Q，过E作EH⊥AC于H，连接BE，∴EH＝AE＝AC，BQ＝AC，∴EH＝BQ，EH∥BQ且∠EHQ＝90°∴四边形EHQB是矩形∴BE∥AC，设直线BE的解析式为y＝﹣x+b，∵点B（3，3）在直线上，则b＝6，∴直线BE的解析式为y＝﹣x+6；（3）①∵点P为矩形ABCO的对称中心，∴P（，），∵B（a，3），∴PB的中点坐标为：（a，），∴直线PB的解析式为y PB＝x，∵当P，B关于AD对称，∴AD⊥PB，∴直线AD的解析式为：y＝﹣x+，∵直线AD过点（a，），∴＝﹣a2+，解得：a＝±3，∵a≥3，∴a＝3；②存在M，N；理由：∵a＝3，∴直线AD的解析式为y＝﹣x+9，∴∠DAO＝60°，∴∠DAB＝30°，连接AE，∵AD＝OA＝3，DE＝OC＝3，∴∠EAD＝30°，∴A，B，E三点共线，∴AE＝2DE＝6，∴E（3，6），F（，），设M（m，0），N（0，n），∵四边形EFMN是平行四边形，∴，解得：，∴M（，0），N（0，）．31．如图为正方形ABCD中，点M、N在直线BD上，连接AM，AN并延长交BC、CD于点E、F，连接EN．（1）如图1，若M，N都在线段BD上，且AN＝NE，求∠MAN；（2）如图2，当点M在线段DB延长线上时，AN＝NE，（1）中∠MAN的度数不变，判断BM，DN，MN之间的数量关系并证明；（3）如图3，若点M在DB的延长线上，N在BD的延长线上，且∠MAN＝135°，AB＝，MB＝，求DN．【解答】解：（1）如图1，过N作GK⊥BC，交AD于G，交BC于K，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠ADB＝45°，∴GK⊥AD，∴∠AGN＝∠EKN＝90°，∵△BNK是等腰直角三角形，∴BK＝NK，∵AD＝DC＝GK，∴AG＝BK，在Rt△AGN和Rt△NKE中，∴Rt△AGN≌Rt△NKE（HL），∴∠ANG＝∠NEK，∵∠ENK+∠NEK＝90°，∴∠ANG+∠ENK＝90°，∴∠ANE＝90°，∴△ANE是等腰直角三角形，∴∠MAN＝45°；（2）MN2＝DN2+BM2，理由如下：如图，将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△ADH，连接NH，∴△ABM≌△ADH∴AM＝AH，∠MAB＝∠DAH，∠ABM＝∠ADH，BM＝DH∵∠ABD＝∠ADB＝45°∴∠ABM＝∠ADH＝135°∴∠NDH＝90°，∵∠MAD＝∠BAD+∠MAB＝∠MAH+∠DAH∴∠MAH＝∠BAD＝90°∵∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠HAN＝45°，且AM＝AH，AN＝AN∴△AMN≌△AHN（SAS）∴MN＝NH，∵在Rt△DHN中，NH2＝DN2+DH2，∴MN2＝DN2+BM2，（3）如图3，过A作AK⊥AM，且AK＝AM，连接MK、KB、KN，∵AB＝∴BD＝AB＝2，∴MD＝BD+BM＝3∵∠KAM＝∠BAD＝90°，∴∠KAB＝∠DAM，且AB＝AD，AK＝AM∴△BAK≌△DAM（SAS），∴DM＝BK＝3，∠ABK＝∠ADM＝45°，∴∠NBK＝45°+45°＝90°，∵∠MAN＝135°，∠KAM＝90°，∴∠NAK＝135°＝∠MAN，∵AN＝AN，∴△AKN≌△AMN（SAS），∴NK＝MN设DN＝x，则MN＝3+x，在Rt△NBK中，由勾股定理得：（2+x）2+（3）2＝（3+x）2，解得：x＝2∴DN＝232．在正方形AMFN中，以AM为BC边上的高作等边三角形ABC，将AB绕点A逆时针旋转90°至点D，D点恰好落在NF上，连接BD，AC与BD交于点E，连接CD．（1）如图1，求证：△AMC≌△AND；（2）如图1，若DF＝，求AE的长；（3）如图2，将△CDF绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜90°），点C，F的对应点分别为C1、F1．连接AF1、BC1，点G是BC1的中点，连接AG．试探索是否为定值，若是定值，则求出该值；若不是，请说明理由．【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形AMFN是正方形，∴AM＝AN∠AMC＝∠N＝90°∴△AMC，△AND是Rt△∵△ABC是等边三角形∴AB＝AC∵旋转后AB＝AD∴AC＝AD∴Rt△AMC≌Rt△AND（HL）．（2）解：如图2中，过E作EG⊥AB于G，在BC找一点H，连接DH，使BH＝HD．设AG＝x，则AE＝2x，GE＝x．易得△GBE是等腰直角三角形∴BG＝EG＝x，∴AB＝BC＝（+1）x，易得∠DHF＝30°∴HD＝2DF＝2，HF＝3，∴BF＝BH+HF＝2+3，∵Rt△AMC≌Rt△AND（HL）∴易得CF＝DF＝∴BC＝BF﹣CF＝2+3﹣＝3+，∴（+1）x＝3+，∴x＝∴AE＝2x＝2．（3）结论：＝．理由：如图3中，延长F1G到M，延长BA交F1C1的延长线于N，使得GM＝F1G，则△GMB≌△GF1C1，∴BM＝F1C1＝DF1，∠BMG＝∠GF1N，∴BM∥F1N，∴∠MBA＝∠N，∵∠NAO＝∠OF1D＝90°，∠AON＝∠DOF1，∴∠N＝∠ADF1∴∠ABM＝∠ADF1，∵AB＝AD，∴△ABM≌△ADF1（SAS），∴AM＝AF1，∠MAB＝∠DAF1，∴∠MAF1＝∠BAD＝90°，∴△AMF1是等腰直角三角形，∴AG⊥MF1，AG＝GF1，∴AF1＝AG∴＝．33．如图，等腰直角三角形OAB的三个定点分别为O（0，0）、A（0，3）、B（﹣3，0），过A作y轴的垂线l1．点C在x轴上以每秒的速度从原点出发向右运动，点D在l1上以每秒的速度同时从点A出发向右运动，当四边形ABCD为平行四边形时C、D同时停止运动，设运动时间为t．当C、D停止运动时，将△OAB沿y轴向右翻折得到△OAB1，AB1与CD相交于点E，P为x轴上另一动点．（1）求直线AB的解析式，并求出t的值．（2）当PE+PD取得最小值时，求PD2+PE2+2PD•PE的值．（3）设P的运动速度为1，若P从B点出发向右运动，运动时间为x，请用含x的代数式表示△P AE的面积．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（0，3），B（﹣3，0）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x+3．设t秒后，四边形ABCD为平行四边形，依题意，得：3+t＝（+）t，解得：t＝2．（2）作点E关于x轴的对称点E′，连接E′D交x轴于点P，此时PE+PD取得最小值，如图1所示．由（1）可知：点C的坐标为（，0），点D的坐标为（3+，3）．∵AB∥CD，∴设直线CD的解析式为y＝x+c，将C（，0）代入y＝x+c，得：0＝+c，解得：c＝﹣，∴直线CD的解析式为y＝x﹣．同理，可求出直线AB′的解析式为y＝﹣x+3．联立直线CD，AB′的解析式成方程组，得：，解得：，∴点E的坐标为（，），∴点E′的坐标为（，），∴PD2+PE2+2PD•PE＝（PD+PE）2＝E′D2＝（3+﹣）2+（3﹣）2＝24﹣3．（3）分两种情况考虑，如图2所示．①当0≤x≤6时，S△P AE＝S△P AB′﹣S△PEB′＝×3（6﹣x）﹣×（6﹣x）＝（6﹣x）；当x＞6时，S△P AE＝S△P AB′﹣S△PEB′＝×3（x﹣6）﹣×（x﹣6）＝（x﹣6）．综上所述：△P AE的面积S△P AE＝．34．已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，D、E分别在BC、AC边上．（1）如图1，F是线段AD上的一点，连接CF，若AF＝CF；①求证：点F是AD的中点；②判断BE与CF的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0＜α＜90°），点F是AD的中点，其他条件不变，判断BE与CF的关系是否不变？若不变，请说明理由；若要变，请求出相应的正确结论．【解答】（1）①证明：如图1，∵AF＝CF，∴∠1＝∠2，∵∠1+∠ADC＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠3＝∠ADC，∴FD＝FC，∴AF＝FD，即点F是AD的中点；②BE＝2CF，BE⊥CF．理由如下：∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，在△ADC和△BEC中，∴△ADC≌△BEC，∴AD＝BE，∠1＝∠CBE，而AD＝2CF，∠1＝∠2，∴BE＝2CF，而∠2+∠3＝90°，∴∠CBE+∠3＝90°，∴CF⊥BE；（2）仍然有BE＝2CF，BE⊥CF．理由如下：延长CF到G使FG＝CF，连接AG、DG，如图2，∵AF＝DF，FG＝FC，∴四边形ACDG为平行四边形，∴AG＝CD，AG∥CD，∴∠GAC+∠ACD＝180°，即∠GAC＝180°﹣∠ACD，∴CD＝CE＝AG，∵△DEC绕点C顺时针旋转α角（0＜α＜90°），∴∠BCD＝α，∴∠BCE＝∠DCE+∠BCD＝90°+α＝90°+90°﹣∠ACD＝180°﹣∠ACD，∴∠GAC＝∠ECB，在△AGC和△CEB中，∴△AGC≌△CEB，∴CG＝BE，∠2＝∠1，∴BE＝2CF，而∠2+∠BCF＝90°，∴∠BCF+∠1＝90°，∴CF⊥BE．35．（1）如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，且交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF，且BE平分∠ABD．①求证：四边形BFDE是菱形；②直接写出∠EBF的度数．（2）把（1）中菱形BFDE进行分离研究，如图2，G，I分别在BF，BE边上，且BG＝BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH，并延长FH交ED于点J，连接IJ，IH，IF，IG．试探究线段IH与FH之间满足的关系，并说明理由；（3）把（1）中矩形ABCD进行特殊化探究，如图3，矩形ABCD满足AB＝AD时，点E是对角线AC 上一点，连接DE，作EF⊥DE，垂足为点E，交AB于点F，连接DF，交AC于点G．请直接写出线段AG，GE，EC三者之间满足的数量关系．【解答】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，OB＝OD，∴∠EDO＝∠FBO，在△DOE和△BOF中，，∴△DOE≌△BOF，∴EO＝OF，∵OB＝OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形EBFD是菱形．②∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠EBD，∵EB＝ED，∴∠EBD＝∠EDB，∴∠ABD＝2∠ADB，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠ADB＝30°，∠ABD＝60°，∴∠ABE＝∠EBO＝∠OBF＝30°，∴∠EBF＝60°．（2）结论：IH＝FH，且IH⊥FH．理由：如图2中，延长BE到M，使得EM＝EJ，连接MJ．∵四边形EBFD是菱形，∠B＝60°，∴EB＝BF＝ED，DE∥BF，∴∠JDH＝∠FGH，在△DHJ和△GHF中，，∴△DHJ≌△GHF，∴DJ＝FG，JH＝HF，∴EJ＝BG＝EM＝BI，∴BE＝IM＝BF，∵∠MEJ＝∠B＝60°，∴△MEJ是等边三角形，∴MJ＝EM＝NI，∠M＝∠B＝60°在△BIF和△MJI中，，∴△BIF≌△MJI，∴IJ＝IF，∠BFI＝∠MIJ，∵HJ＝HF，∴IH⊥JF，∵∠BFI+∠BIF＝120°，∴∠MIJ+∠BIF＝120°，∴∠JIF＝60°，∴△JIF是等边三角形，在Rt△IHF中，∵∠IHF＝90°，∠IFH＝60°，∴∠FIH＝30°，∴IH＝FH，IH⊥FH．（3）结论：EG2＝AG2+CE2．理由：如图3中，将△ADG绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，∵∠F AD+∠DEF＝90°，∴AFED四点共圆，∴∠EDF＝∠DAE＝45°，∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠EDC＝45°，∵∠ADF＝∠CDM，∴∠CDM+∠CDE＝45°＝∠EDG，在△DEM和△DEG中，，∴△DEG≌△DEM，∴GE＝EM，∵∠DCM＝∠DAG＝∠ACD＝45°，AG＝CM，∴∠ECM＝90°∴EC2+CM2＝EM2，∵EG＝EM，AG＝CM，∴GE2＝AG2+CE2．36．已知正方形ABCD，探究以下问题：（1）如图1，点F在BC上，作FE⊥BD于点E，取DF的中点G，连接EG、CG，将△EGC沿直线EC 翻折到△EG′C，求证：四边形EGCG′是菱形；（2）如图2，点F是BC外一点，作FE⊥BC于点E，且BE＝EF，连接DF，取DF的中点G，将△EGC 沿直线EC翻折到△EG′C，作FM⊥CD于点M，请问（1）中的结论”四边形EGCG′是菱形”是否依然成立，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若图2中AB＝4，设BE长为x，四边形EGCG′的面积为S，请求出S关于x 的函数关系式，并说明理由．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴∠DCF＝90°．∵G为线段DF的中点，∴CG＝DF．∵FE⊥BD，∴∠FED＝90°，∵G为线段DF的中点，∴EG＝DF，∴CG＝EG．∵将△EGC沿直线EC翻折到△EG′C，∴CG＝CG′，EG＝EG′，∴四边形EGCG′四条边相等，∴四边形EGCG′是菱形．（2）（1）中的结论”四边形EGCG′是菱形”依然成立．证明：在图2中，连接BG，GM，如图所示．∵FE⊥BC于点E，且BE＝EF，∴△BEF为等腰直角三角形，∴∠EBF＝45°．∵四边形ABCD为正方形，∴∠DBE＝45°，∴∠DBF＝∠DBE+∠EBF＝90°．∵G为线段DF的中点，∴BG＝DF．∵FM⊥CD于点M，∴∠DMF＝90°，∵G为线段DF的中点，∴MG＝DF，∴BG＝MG．∵FE⊥BC，FM⊥CD，∴四边形EFMC为矩形，∴EF＝CM．∴BE＝EF＝MC．∵BG＝GD，MG＝GD，∴∠DBG＝∠BDG，∠GMD＝∠GDM，∵∠DBC＝∠CDB＝45°，∴∠GBE＝∠DBC﹣∠DBG＝45°﹣∠BDG，∠GMC＝∠GDM＝∠CBD﹣∠BDG＝45°﹣∠BDG，∴∠GBE＝∠GMC．。
初二数学压轴几何证明题(含答案)
1.四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC．(1)如图1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及的值；(2)将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，若BE=1，AB=，当E，F，D三点共线时，求DF的长及tan∠ABF的值．解：（1）EG⊥CG，=，理由是：过G作GH⊥EC于H，∵∠FEB=∠DCB=90°，∴EF∥GH∥DC，∵G为DF中点，∴H为EC中点，∴EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC），即GH=EH=HC，∴∠EGC=90°，即△EGC是等腰直角三角形，∴=；（2）解：结论还成立，理由是：如图2，延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，∵在△EFG和△HDG中∴△EFG≌△HDG（SAS），∴DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，∴EF∥DH，∴∠1=∠2=90°-∠3=∠4，∴∠EBC=180°-∠4=180°-∠1=∠HDC，在△EBC和△HDC中∴△EBC≌△HDC．∴CE=CH，∠BCE=∠DCH，∴∠ECH=∠DCH+∠ECD=∠BCE+∠ECD=∠BCD=90°，∴△ECH是等腰直角三角形，∵G为EH的中点，∴EG⊥GC，=，即（1）中的结论仍然成立；（3）解：连接BD，∵AB=，正方形ABCD，∴BD=2，∴cos∠DBE==，∴∠DBE=60°，∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=15°，∴∠ABF=45°-15°=30°，∴tan∠ABF=，∴DE=BE=，∴DF=DE-EF=-1．解析：（1）过G作GH⊥EC于H，推出EF∥GH∥DC，求出H为EC中点，根据梯形的中位线求出EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC），推出GH=EH=BC，根据直角三角形的判定推出△EGC是等腰直角三角形即可；（2）延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，证△EFG≌△HDG，推出DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，求出∠EBC=∠HDC，证出△EBC≌△HDC，推出CE=CH，∠BCE=∠DCH，求出△ECH是等腰直角三角形，即可得出答案；（3）连接BD，求出cos∠DBE==，推出∠DBE=60°，求出∠ABF=30°，解直角三角形求出即可．2.已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图1放置，使点E在BC 上，取DF的中点G，连接EG，CG．(1)延长EG交DC于H，试说明：DH=BE．(2)将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°，连接DF，取DF中点G(如图2)，莎莎同学发现：EG=CG且EG⊥CG．在设法证明时他发现：若连接BD，则D，E，B三点共线．你能写出结论“EG=CG且EG⊥CG”的完整理由吗？请写出来．(3)将图1中△BEF绕B点转动任意角度α(0＜α＜90°)，再连接DF，取DF的中点G(如图3)，第2问中的结论是否成立？若成立，试说明你的结论；若不成立，也请说明理由．（1）证明：∵∠BEF=90°，∴EF∥DH，∴∠EFG=∠GDH，而∠EGF=∠DGH，GF=GD，∴△GEF≌△GHD，∴EF=DH，而BE=EF，∴DH=BE；（2）连接DB，如图，∵△BEF为等腰直角三角形，∴∠EBF=45°，而四边形ABCD为正方形，∴∠DBC=45°，∴D，E，B三点共线．而∠BEF=90°，∴△FED为直角三角形，而G为DF的中点，∴EG=GD=GC，∴∠EGC=2∠EDC=90°，∴EG=CG且EG⊥CG；（3）第2问中的结论成立．理由如下：连接AC、BD相交于点O，取BF的中点M，连接OG、EM、MG，如图，∵G为DF的中点，O为BD的中点，M为BF的中点，∴OG∥BF，GM∥OB，∴四边形OGMB为平行四边形，∴OG=BM，GM=OB，而EM=BM，OC=OB，∴EM=OG，MG=OC，∵∠DOG=∠GMF，而∠DOC=∠EMF=90°，∴∠EMG=∠GOC，∴△MEG≌△OGC，∴EG=CG，∠EGM=∠OCG，又∵∠MGF=∠BDF，∠FGC=∠GDC+∠GCD，∴∠EGC=∠EGM+∠MGF+∠FGC=∠BDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=45°+45°=90°，∴EG=CG且EG⊥CG．解析：（1）由∠BEF=90°，得到EF∥DH，而GF=GD，易证得△GEF≌△GHD，得EF=DH，而BE=EF，即可得到结论．（2）连接DB，如图2，由△BEF为等腰直角三角形，得∠EBF=45°，而四边形ABCD为正方形，得∠DBC=45°，得到D，E，B三点共线，而G为DF的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EG=GD=GC，于是∠EGC=2∠EDC=90°，即得到结论．（3）连接AC、BD相交于点O，取BF的中点M，连接OG、EM、MG，由G为DF的中点，O为BD的中点，M为BF的中点，根据三角形中位线的性质得OG∥BF，GM∥OB，得到OG=BM，GM=OB，而EM=BM，OC=OB，得到EM=OG，MG=OC，又∠DOG=∠GMF，而∠DOC=∠EMF=90°，得∠EMG=∠GOC，则△MEG≌△OGC，得到EG=CG，∠EGM=∠OCG，而∠MGF=∠BDF，∠FGC=∠GDC+∠GCD，所以有∠EGC=∠EGM+∠MGF+∠FGC=∠BDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=45°+45°=90°．3.已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图①放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连接EG、CG．(1)探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明；(2)将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°，再连接DF，取DF中点G(如图②)，问(1)中的结论是否仍然成立．证明你的结论；(3)将图①中△BEF绕B点转动任意角度(旋转角在0°到90°之间)，再连接DF，取DF的中点G(如图③)，问(1)中的结论是否仍然成立，证明你的结论．解：（1）EG=CG且EG⊥CG．证明如下：如图①，连接BD．∵正方形ABCD和等腰Rt△BEF，∴∠EBF=∠DBC=45°．∴B、E、D三点共线．∵∠DEF=90°，G为DF的中点，∠DCB=90°，∴EG=DG=GF=CG．∴∠EGF=2∠EDG，∠CGF=2∠CDG．∴∠EGF+∠CGF=2∠EDC=90°，即∠EGC=90°，∴EG⊥CG．（2）仍然成立，证明如下：如图②，延长EG交CD于点H．∵BE⊥EF，∴EF∥CD，∴∠1=∠2．又∵∠3=∠4，FG=DG，∴△FEG≌△DHG，∴EF=DH，EG=GH．∵△BEF为等腰直角三角形，∴BE=EF，∴BE=DH．∵CD=BC，∴CE=CH．∴△ECH为等腰直角三角形．又∵EG=GH，∴EG=CG且EG⊥CG．（3）仍然成立．证明如下：如图③，延长CG至H，使GH=CG，连接HF交BC于M，连接EH、EC．∵GF=GD，∠HGF=∠CGD，HG=CG，∴△HFG≌△CDG，∴HF=CD，∠GHF=∠GCD，∴HF∥CD．∵正方形ABCD，∴HF=BC，HF⊥BC．∵△BEF是等腰直角三角形，∴BE=EF，∠EBC=∠HFE，∴△BEC≌△FEH，∴HE=EC，∠BEC=∠FEH，∴∠BEF=∠HEC=90°，∴△ECH为等腰直角三角形．又∵CG=GH，∴EG=CG且EG⊥CG．解析：（1）首先证明B、E、D三点共线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明EG=DG=GF=CG，得到∠EGF=2∠EDG，∠CGF=2∠CDG，从而证得∠EGC=90°；（2）首先证明△FEG≌△DHG，然后证明△ECH为等腰直角三角形．可以证得：EG=CG且EG ⊥CG．（3）首先证明：△BEC ≌△FEH ，即可证得：△ECH 为等腰直角三角形，从而得到：EG=CG 且EG ⊥CG ．已知，正方形ABCD 中，△BEF 为等腰直角三角形，且BF 为底，取DF 的中点G ，连接EG 、CG ．（1）如图1，若△BEF 的底边BF 在BC 上，猜想EG 和CG 的数量关系为______；（2）如图2，若△BEF 的直角边BE 在BC 上，则（1）中的结论是否还成立？请说明理由；（3）如图3，若△BEF 的直角边BE 在∠DBC 内，则（1）中的结论是否还成立？说明理由．解：（1）GC=EG ，（1分）理由如下：∵△BEF 为等腰直角三角形， ∴∠DEF=90°，又G 为斜边DF 的中点， ∴EG=DF ， ∵ABCD 为正方形， ∴∠BCD=90°，又G 为斜边DF 的中点，∴CG= DF ， ∴GC=EG ；（2）成立．如图，延长EG 交CD 于M ，∵∠BEF=∠FEC=∠BCD=90°，∴EF ∥CD ，∴∠EFG=∠MDG ，又∠EGF=∠DGM ，DG=FG ，∴△GEF ≌△GMD ，∴EG=MG ，即G 为EM 的中点．∴CG 为直角△ECM 的斜边上的中线，∴CG=GE= EM ；（3）成立．取BF 的中点H ，连接EH ，GH ，取BD 的中点O ，连接OG ，OC ．∵CB=CD ，∠DCB=90°，∴CO= BD1 2 1 21212．∵DG=GF，∴GH∥BD，且GH= BD，OG∥BF，且OG= BF，∴CO=GH．为等腰直角三角形．∵△BEF∴EH= BF∴EH=OG．∵四边形OBHG为平行四边形，∴∠BOG=∠BHG．∵∠BOC=∠BHE=90°．∴∠GOC=∠EHG．∴△GOC≌△EHG．∴EG=GC．此题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质．要求学生掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角形的中位线与第三边平行且等于第三边的一半．掌握这些性质，熟练运用全等知识是解本题的关键．解析：（1）EG=CG，理由为：根据三角形BEF为等腰直角三角形，得到∠DEF为直角，又G为DF中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得到EG为DF的一半，同理在直角三角形DCF中，得到CG也等于DF的一半，利用等量代换得证；（2）成立．理由为：延长EG交CD于M，如图所示，根据“ASA”得到三角形EFG与三角形GDM 全等，由全等三角形的对应边相等得到EG与MG相等，即G为EM中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EG与CG相等都等于斜边EM的一半，得证；（3）成立．理由为：取BF的中点H，连接EH，GH，取BD的中点O，连接OG，OC，如图所示，1212因为直角三角形DCB中，O为斜边BD的中点，根据斜边上的中线等于斜边的一半得到OC等于BD 的一半，由HG为三角形DBF的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，得到GH等于BD一半，OG等于BF的一半，又根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EH等于BF的一半，根据等量代换得到OG与EH相等，再根据OBHG为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边相等，对角相等，进而得到∠GOC与∠EHG相等，利用“SAS”得到△GOC与△EHG全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证．。
初二期末几何压轴题答案详解课件
首先分析题目给出的条件，明确所 涉及的三角形和四边形，然后根据 性质和判定定理进行推理，最后得 出结论。
角度与线段的计算题
总结词
考察角度和线段的计算
详细描述
这类题目通常涉及角度和线段的计算，需要学生掌握角度和线段的 计算公式，并能够灵活运用。
解题方法
首先根据题目给出的条件，明确所涉及的角度和线段，然后根据计 算公式进行计算，最后得出结论。
初二期末几何压轴题 答案详解课件
目录
• 几何压轴题概述 • 常见几何压轴题类型与解题方法 • 几何压轴题的解题技巧与注意事项 • 学生常见问题与解答 • 练习与巩固 • 总结与展望
01
几何压轴题概述
几何压轴题的定义与特点
定义
几何压轴题通常指在期末考试中难度较大、分值较高、考察学生综合运用几何 知识能力的题目。
解题方法
首先分析题目给出的条件，明确所涉及的折叠和旋转，然后根据性质 和判定定理进行推理，最后得出结论。
03
几何压轴题的解题技巧与 注意事项
解题技巧：如何快速找到解题突破口
仔细审题
理解题目的要求和条件，明确解题的目标。
寻找关键信息
从题目中提取关键信息，如特殊角、特殊图 形等。
利用已知条件进行推导
注重实践应用
将所学的几何知识应用到实际生活中，加深对知 识的理解，提高自己的实践能力。
3
提前预习下一学期的学习内容
提前了解下一学期的学习内容，做好预习工作， 为新的学习做好准备。
THANKS
感谢观看
答案与解析： 答案+解析 答案与解析： 答案+解析
练习题二：填空题
01
填空题一： 题 目内容
02
期末考试勾股定理与几何翻折压轴题专项训练—2023-2024学年八年级数学下学期(人教版)(解析版)
期末考试勾股定理与几何翻折压轴题专项训练【例题精讲】例1．（三角形翻折问题）如图，在Rt ABC △中，9086ABC AB BC ∠=︒==，，，分别在AB AC ，边上取点E F ，，将AEF △沿直线EF 翻折得到A EF '△，使得点A 的对应点A '恰好落在CB 延长线上，当60EA B '∠=︒时，AE 的长为 ，当A F AC '⊥时，AF 的长为 ．【答案】 32− 407【分析】由折叠的性质可得AE A E '=，先求出30A EB '∠=︒，从而可得1122A B A E AE ''==，再由勾股定理可得BE AE =，最后由AE BE AB +=，进行计算即可；令A F '交AB 于G ，连接CG ，由折叠的性质可得：A EA F '∠=∠，AFE A FE '∠=∠，AEF A EF '∠=∠，AF A F '=，由A F AC '⊥得出90A FA A FC ''∠=∠=︒，45AFE A FE '∠=∠=︒，证明()ASA A FC AFG '≌得到CF FG =，设CF FG x ==，则10AF x =−，AG ，根据1122ACG S AC FG AG BC =⋅=⋅建立方程，解方程即可得出CF 的长，即可求解．【详解】解：由折叠的性质可得：AE A E '=，90ABC ∠=︒，18090A BE ABC '∴∠=︒−∠=︒，60EA B '∠=︒，9030A EB EA B ''∴∠=︒−∠=︒，1122A B A E AE ''∴==，BE AE∴==，AE BE AB+=，8AE AE∴=，32AE∴=−如图，令A F'交AB于G，连接CG，A F AC'⊥，90A FA A FC''∴∠=∠=︒，由折叠的性质可得：A EA F'∠=∠，AFE A FE'∠=∠，AEF A EF'∠=∠，AF A F'=，90AFE A FE'∠+∠=︒，45AFE A FE'∴∠=∠=︒，设A EA Fα'∠=∠=，则45FEB AFEα∠=∠=+︒，180135AEF FEB A EFα'∴∠=︒−∠=︒−=∠，()13545902A EB A EF BEFααα''∴∠=∠−∠=︒−−︒+=︒−，902EA B A EBα''∴∠=︒−∠=，FA C EA B EA F Aα'''∴∠=∠−∠==∠，在A FC'和AFG中，CA F AA F AFA FC AFG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠''⎩'，()ASAA FC AFG'∴≌，CF FG∴=，在Rt ABC△中，9086ABC AB BC∠=︒==，，，10AC∴，设CF FG x==，则10AF x=−，AG∴==1122ACGS AC FG AG BC=⋅=⋅，106x∴⋅=，整理得：271809000x x+−=，即29014400749x⎛⎫+=⎪⎝⎭，9012077x∴+=±，解得：307x=或30x=−（不符合题意，舍去），307CF∴=，30401077AF AC CF∴=−=−=，故答案为：32−407．【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．例2．（坐标系中折叠问题）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCO的边OC OA、分别在x轴、y轴上，6AB=，点E在边BC上，将长方形ABCO沿AE折叠，若点B的对应点F 恰好是边OC的三等分点，则点E的坐标是．【答案】⎛−⎝⎭或(−【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，由折叠的性质可得6AF AB==，BE EF=，90AFE B∠=∠=︒，再分当点F靠近点C时，24CF OF==，，当点F靠近点O 时，则42CF OF==，，两种情况利用勾股定理先求出OA的长，进而得到BC的长，设出CE 的长，进而得到EF的长，在Rt EFC△中，由勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：在长方形ABCO 中，6CO AB ==，90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒， 由折叠的性质可得6AF AB ==，BE EF =，90AFE B ∠=∠=︒，F 恰好是边OC 的三等分点，∴当点F 靠近点C 时，24CF OF ==，，在Rt AFO V中，OA =，∴BC OA ==设CE x =，则BE EF x ==，在Rt EFC △中，由勾股定理得到222EF CF CE =+，∴()2222xx =+，解得x =，∴点E的坐标是⎛− ⎝⎭； 当点F 靠近点O 时，则42CF OF ==，，在Rt AFO V中，OA ==∴BC OA ==设CE x =，则BE EF x ==，在Rt EFC △中，由勾股定理得到222CF CE =+，∴()2224x x =+，解得x =∴点E的坐标是(−；综上所述，点E的坐标是⎛− ⎝⎭或(−，故答案为：⎛− ⎝⎭或(−．例3．（四边形折叠问题）如图，已知矩形ABCD ，4AB =，5BC =，点P 是射线BC 上的动点，连接AP ，AQP △是由ABP 沿AP 翻折所得到的图形．(1)当点Q 落在边AD 上时，QC = ；(2)当直线PQ 经过点D 时，求BP 的长；(3)如图2，点M 是DC 的中点，连接MP 、MQ ．①MQ 的最小值为 ；②当PMQ 是以PM 为腰的等腰三角形时，请直接写出BP 的长．【答案】(2)2BP =或8BP =(3) 2.9BP =或4BP =或10BP =【分析】（1）根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可；（2）分点P 在线段BC 上，点P 在线段BC 的延长线上，两种情况，进行讨论求解；（3）①连接AM ，勾股定理求出AM 的长，折叠求出AQ 的长，根据MQ AM AQ ≥−，求出最小值即可；②分PM MQ =和PM PQ =两种情况，再分点P 在线段BC 上，点P 在线段BC 的延长线上，进行讨论求解即可．【详解】（1）解：当点Q 落在边AD 上时，如图所示，∵矩形ABCD ，4AB =，5BC =，∴4,5CD AB AD BC ====，90BAD B BCD ADC ∠=∠=∠=∠=︒，∵翻折，∴4,90AQ AB AQP B ==∠=∠=︒，∴1DQ AD AQ =−=，在Rt CDQ △中，CQ ==（2）当直线PQ 经过点D 时，分两种情况：当点P 在线段BC 上时，如图：∵翻折，∴4AQ AB ==，90AQP B ∠=∠=︒，BP PQ =，∴90AQD ∠=︒，∴3DQ ==，设BP PQ x ==，则：5PC BC BP x =−=−，3DP DQ PQ x =+=+，在Rt PCD △中，222DP CP CD=+，即：()()222345x x +=+−，∴2x =；∴2BP =；②当P 在线段BC 的延长线上时：∵翻折，∴4,90AQ AB Q B ==∠=∠=︒，BP PQ =，∴3DQ ==，设BP PQ x ==，则：5PC BP BC x =−=−，3DP PQ DQ x =−=−，在Rt PCD △中，222DP CP CD =+，即：()()222345x x −=+−，∴8x =；∴8BP =；综上：2BP =或8BP =；（3）①连接AM ，∵M 是CD 的中点， ∴122DM CM CD ===，∴AM =∵翻折，∴4AQ AB ==，∵MQ AM AQ ≥−，∴当,,A Q M 三点共线时，MQ 的值最小，即：4MQ AM AQ =−=4；②当PM PQ =时，如图：∵翻折，∴BP PQ PM ==，设BP x =，则：,5PM x CP BC BP x ==−=−，在Rt PCM 中，222PM CM PC =+，即：()22225x x =+−，解得： 2.9x =，即： 2.9BP =；当PM QM =，点P 在线段BC 上时，如图：∵,QM PM DM CM ==，90D C ∠=∠=︒，∴()HL MDQ MCP ≌，∴CP DQ =，点Q 在AD 上，由（1）知：1DQ =，∴1CP DQ ==，∴4BP BC CP =−=；当点P 在BC 的延长线上时：如图：此时点M 在AP 上，连接BM ，∵翻折，∴BM MQ PM ==，∵MC BP ⊥，∴210BP BC ==；综上： 2.9BP =或4BP =或10BP =．质，综合性强，难度大，属于压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．【模拟训练】1．如图，在长方形ABCD 中，点E 是AD 的中点，将ABE 沿BE 翻折得到FBE ，EF 交BC 于点H ，延长BF DC 、相交于点G ，若8DG =，10BC =，则DC = ．【答案】258【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，连接EG ，根据点E 是AD 的中点得DE AE EF ==，根据四边形ABCD 是长方形得90D A ∠=∠=︒，根据将ABE 沿BE 翻折得到FBE 得90BFE D A ∠=∠=∠=︒，利用HL 证明Rt Rt EFG EDG △≌△，得8FG DG ==，设DC x =，则8CG DG DC x =−=−，8BG BF FG AB FG DC FG x =+=+=+=+，在Rt BCG V △中，根据勾股定理得，222CG BC BG +=，进行计算即可得．【详解】解：如图所示，连接EG ，∵点E 是AD 的中点，∴DE AE EF ==，∵四边形ABCD 是长方形，∴90D A ∠=∠=︒，∵将ABE 沿BE 翻折得到FBE ，∴90BFE D A ∠=∠=∠=︒在Rt EFG △和Rt EDG △中，EF ED EG EG =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL EFG EDG V V ≌，∴8FG DG ==，设DC x =，则8CG DG DC x =−=−，8BG BF FG AB FG DC FG x =+=+=+=+，在Rt BCG 中，根据勾股定理得，222CG BC BG +=，∴222(8)10(8)x x −+=+，解得258x =，故答案为：258．2．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，254AB =，154=AC ，点D 是AB 边上的一个动点，连接CD ，将BCD △沿CD 折叠，得到CDE ，当DE 与ABC 的直角边垂直时，AD 的长是 ．【答案】154或54【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，分DE BC ⊥和DE AB ⊥两种情况进行求解即可得到答案，根据题意，正确画出图形是解题的关键．【详解】解：如图，当DE BC ⊥时，延长ED 交BC 于点F ，CE 与AB 相交于点M ，∵EF BC ⊥，∴90EFC EFB ∠=∠=︒，∴90E ECF ∠+∠=︒，由折叠得，B E ∠=∠，CE CB =，MCD FCD ∠=∠，∴90B ECF ∠+∠=︒，∴90CMB ∠=︒，即C M A B ⊥，∵90ACB ∠=︒，254AB =，154=AC ，∴5BC ==， ∵1122ABC S AC BC AB CM ==△，∴11512552424CM ⨯⨯=⨯⨯，解得3CM =，∴4BM =，∵90CFD CMD FCD MCD CD CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AAS CFD CMD ≌，∴3CF CM ==，DF DM =，∴532BF BC CF =−=−=，设DF DM x ==，则4BD x =−，在Rt BFD 中，222DF BF BD +=，∴()22224x x +=−， 解得32x =， ∴35422BD =−=， ∴25515424AD AB BD =−=−=；当DE AB ⊥时，如图，设DE 与AC 相交于点M ，由折叠可得，BCD ECD ∠=∠，DE DB =，ED BD =，5EC BC ==，∵DE AB ⊥，90ACB ∠=︒，∴DE BC ∥，∴EDC BCD ∠=∠，∴EDC ECD ∠=∠，∴5ED EC ==，∴5BD ED ==， ∴255544AD AB BD =−=−=；综上，AD 的长是154或54， 故答案为：154或54．3．如图，等边三角形ABC 中，16AB BD AC =⊥，于点D ，点E F 、分别是BC DC 、上的动点，沿EF 所在直线折叠CEF △，使点C 落在BD 上的点C '处，当BEC '△是直角三角形时，BE 的值为 ．【答案】24−或323【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，折叠的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．由等边三角形的性质可得30DBC ∠=︒，分9090BEC BC E ''∠=︒∠=︒，两种情况讨论，由直角三角形的性质即可求解．【详解】解：ABC 是等边三角形，BD AC ⊥，30,DBC ∴∠=︒ 由折叠的性质可得：,CE C E '=若90,BEC ∠'=︒且30,C BE ∠'=︒,2,BE E B E C C ∴='''=16,BE CE BC +==16,CE +=8,E E C C ∴'==24BE ∴=−若90,30,E C B E C B ∠'=︒='∠︒2,,BE E B C E C ∴'''=16,BE CE BC +==16,3CE E C =='∴ 32.3BE ∴=故答案为∶ 24−323．4．如图，在ABC 中，120ACB ∠=︒，8AC =，4BC =，将边BC 沿CE 翻折，使点B 落在AB 上的点D 处，再将边AC 沿CF 翻折，使点A 落在CD 的延长线上的点A '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段FA '的长为 ．【答案】【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．过点A 作AH BC ⊥交BC 的延长线于H ，由直角三角形的性质可求142HC AC ==，AH =AB 的长，由面积法可求CE 的长，由折叠的性质可求90BEC DEC ∠=∠=︒，BCE DCE ∠=∠，ACF DCF ∠=∠，然后再求解即可．【详解】解：如图，过点A 作AH BC ⊥，交BC 的延长线于H ，120ACB ∠=︒，ACB H HAC ∠=∠+∠，30HAC ∴∠=︒，142HC AC ∴==，AH ==，448BH ∴=+=，AB ∴1122ACB S BC AH AB CE =⨯⨯=⨯⨯，4CE ∴=，CE ∴，将边BC 沿CE 翻折，使点B 落在AB 上的点D 处，再将边AC 沿CF 翻折，90BEC DEC ∴∠=∠=︒，BCE DCE ∠=∠，ACF DCF ∠=∠，1602ECF ACB ∴∠=∠=︒，30CFE ∴∠=︒，EF ∴，在Rt BCE中，BE ===，AF AB EF BE ∴=−−==FA AF '∴==故答案为：5．如图，点D 是ABC 的边AB 的中点，将BCD △沿直线CD 翻折能与ECD 重合，若4AB =，2CD =，1AE =，则点C 到直线AB 的距离为 ．【答案】【分析】连接BE ，延长CD 交BE 于点G ，作CH AB ⊥于点H ，如图所示，由折叠的性质及中点性质可得AEB △为直角三角形，且G 为BE 中点，从而CG BE ⊥，由勾股定理可得BE的长，再根据2ABC BDC S S =△△，即11222AB CH CD BG ⋅=⨯⋅，从而可求得CH 的长．【详解】解：连接BE ，延长CD 交BE 于点G ，作CH AB ⊥于点H ，如图所示，由折叠的性质可得：BD ED =，CB CE =，∴CG 为BE 的中垂线， ∴12BG BE =，∵点D 是AB 的中点，4AB =，2CD =，1AE =， ∴122BD AD AB ===，CBD CAD S S =，AD DE =，∴DBE DEB ∠=∠，DEA DAE ∠=∠，∵180EDA DEA DAE ∠+∠+∠=︒，即22180DEB DEA ∠+∠=︒，∴90DEB DEA ∠+∠=︒，即90BEA ∠=︒，∴BE∴12BG BE ==， ∵2ABC BDCS S =△△， ∴11222AB CH CD BG ⋅=⨯⋅，∴422CH =⨯，∴CH ，∴点C 到直线AB 的距离为．故答案为：．【点睛】本题考查翻折变换，线段中垂线的判定，等腰三角形的性质，点到直线的距离，直角三角形的判定，勾股定理，利用面积相等求相应线段的长，解题的关键是得出CG 为BE 的中垂线，2ABC BDC S S =△△．6．如图，在ABC 中，90,A AB AC ∠=︒==D 为AC 边上一动点，将C ∠沿过点D 的直线折叠，使点C 的对应点C '落在射线CA 上，连接BC '，当Rt ABC '△的某一直角边等于斜边BC '长度的一半时，CD 的长度为 ．【答案】 或 【分析】由翻折得，12CD CC '=，分三种情况：①当点C '在边AC 上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时；②当点C '在CA 的延长线上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时；③当点C '在CA 的延长线上，且12AB BC '=（即2BC AB '==时，分别根据勾股定理求出AC '的长，再求出CC '的长即可 【详解】解：由翻折得，12CD CC '=，分三种情况：①当点C '在边AC 上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时，90,A AB AC ∠=︒==∴由勾股定理得，222BC AC AB ''−=，即222(2)AC AC ''−=，AC '∴=CC '∴CD ∴；②当点C '在CA 的延长线上，且12AC BC ''=（即2BC AC ''=）时，同理得AC 'CC '∴CD ∴；③当点C '在CA 的延长线上，且12AB BC '=（即2BC AB '==由勾股定理得，222AC BC AB ''=−，即22218AC '=−=，AC '∴=CC '∴CD ∴=，0>，CD AB ∴>，此时点D 不在边AC 上，不符合题意，舍去，综上，当Rt ABC '△的某一直角边等于斜边BC '长度的一半时，CD 的长度为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查图形的翻折变换（折叠问题），勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用折叠的性质及勾股定理是解答本题的关键，同时要注意分类思想的运用．7．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，P 为斜边AB 上的一动点（不包含A ，B 两端点），以CP 为对称轴将ACP △翻折得到A CP '，连结BA '．当A P AB '⊥时，BA '的长为 ．【答案】【分析】当A P AB '⊥时，过点C 作CD AB ⊥于D ，可知125CD =，95AD =，得出PDC △为等腰直角三角形，得到PD CD =，求出PA '和BP 的长，利用勾股定理即可求出BA '的长．【详解】过点C 作CD AB ⊥于D ，在Rt ADC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，∴5AB = ∵1122AC BC AB CD ⨯=⨯，125CD ∴=，在Rt ADC 中，3AC =∴95AD ==，当A P AB '⊥时，如图由折叠性质可知12∠=∠，PA PA '=，又1290A PA '∠=∠+∠=︒145∠=∠2=︒∴，又2390∠+∠=︒，345∴∠=︒，23∴∠=∠，125PD CD ∴==，又PA PD AD =+，12921555PA ∴=+=，又PA PA '=，215PA '∴=，又BP AB PA =−，214555BP ∴=−=，在Rt BPA '△中，90BPA ∠='︒，222BP PA BA ∴='+，2224214575525BA ⎛⎫⎛⎫'∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，BA '∴=，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．8．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 为AB 上一点，连接DC ，将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，连接AE ，若AE CE =，4BC =，则D 到CE 的距离是 ．【答案】2【分析】本题考查等腰直角三角形中的折叠问题，涉及等边三角形判定与性质，勾股定理应用、面积法等知识．设BE 交CD 于G ，过E 作EF BC ⊥交BC 延长线于F ，根据将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，AC BC =，AE CE =，可得ACE △是等边三角形，即知60ACE ∠=︒，而90ACB ∠=︒，故150BCE ∠=︒，30ECF ∠=︒，可得75BCD ECD ∠=∠=︒，122EF CE ==，CF =BE =15CBE ∠=︒，可得90BGC ∠=︒，即CG BE ⊥，从而12BG BE GE ===，由勾股定理得CG ，在Rt BDG △中，DG ，即得CD DG CG =+，由面积法可得D 到CE 的距离是2． 【详解】解：设BE 交CD 于G ，过E 作EF BC ⊥交BC 延长线于F ，如图：将BDC 沿DC 翻折，得到EDC △，4BC CE ∴==，BCD ECD ∠=∠，AC BC =，AE CE =，AC BC CE AE ∴===，ACE ∴是等边三角形，60ACE ∴∠=︒，90ACB ∠=︒，150BCE ∴∠=︒，30ECF ∠=︒，75BCD ECD ∴∠=∠=︒，122EF CE ==，CF =在Rt BEF △中，BE ==BCE 中，BC CE =，150BCE ∠=︒，15CBE ∴∠=︒，18090BGC BGC BCD ∴∠=︒−∠−∠=︒，即CG BE ⊥，12BG BE GE ∴==，CG ∴===，45ABC ∠=︒，15CBE ∠=︒，30DBG ∴∠=︒，在Rt BDG△中，DG =，CD DG CG ∴=+=，设D 到CE 的距离是h ，2DCE S CE h DC GE ∆=⋅=⋅，324DC GE h CE ⋅∴===，故答案为：2．9．在生活中、折纸是一种大家喜欢的活动、在数学中，我们可以通过折纸进行探究，探寻数学奥秘．【纸片规格】三角形纸片ABC ，120ACB ∠=︒，CA CB =，点D是底边AB 上一点．【换作探究】(1)如图1，若6AC =，AD =CD ，求CD 的长度；(2)如图2，若6AC =，连接CD ，将ACD 沿CD 所在直线翻折得到ECD ，点A 的对应点为点.E 若DE 所在的直线与ABC 的一边垂直，求AD 的长；(3)如图3，将ACD 沿CD 所在直线翻折得到ECD ，边CE 与边AB 交于点F ，且DE BC ∥，再将DFE △沿DF 所在直线翻折得到DFG ，点E 的对应点为点G ，DG 与CE 、BC 分别交于H ，K ，若1KH =，请直接写出AC 边的长．【答案】(1)(2)3或(3)3【分析】（1）作CE AB ⊥于E ，求得30A B ==︒∠∠，从而得出132CE AC ==，AE AC =进而得出DE AE AD =−=（2）当DE AB ⊥时，连接AE ，作CG AB ⊥于G ，依次得出45DAE DEA ∠=∠=︒，304575CAE CAD DAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，75CEA CAE ∠=∠=︒，30ACE ∠=︒，15ACD DCE ∠=∠=︒，45CDG CAB DAC ∠=∠+∠=︒，从而DG CG =，进一步得出结果；当ED AC ⊥时，设ED 交AC 于点W CE ，交AB 于V ，可推出90AVC ∠=︒，60ACE ∠=︒，从而30ACD DCE ∠=∠=︒，进一步得出结果；当DE BC ⊥时，可推出180ACB BCE ∠+∠=︒，从而90ACD DCE ∠=∠=︒，进一步得出结果；（3）可推出CKH 和CDH △及CHK 是直角三角形，且30HCK ∠=︒，30HDF ∠=︒，45DCH ∠=︒，进一步得出结果．【详解】（1）解：如图1，作CE AB ⊥于E ，90AEC ∴∠=︒，CA CB =，120ACB ∠=︒，30A B ∴∠=∠=︒，132CE AC ∴==，AE =，DE AE AD ∴=−==CD ∴=；（2）解：如图2，当DE AB ⊥时，连接AE ，作CG AB ⊥于G ，由翻折得：AD DE =，CAD CED =∠∠，AC CE =，45DAE DEA ∠∠∴==︒，304575CAE CAD DAE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，75CEA CAE ∴∠=∠=︒，30ACE ∴∠=︒，15ACD DCE ∴∠=∠=︒，45CDG CAB DAC ∴∠=∠+∠=︒，DG CG ∴=，由（1）知：3CG =，AG =3AD AG DG ∴=−=；如图3，当ED AC ⊥时，设ED 交AC 于点W CE ，交AB 于V ，90E ACE ∴∠+∠=︒，E A ∠=∠，90A ACE ∴∠+∠=︒，90AVC ∴∠=︒，60ACE∴∠=︒，30ACD DCE∴∠=∠=︒，ACD A∴∠=∠，AD CD∴=，3CV =，CD∴=，AD CD∴==如图4，当DE BC⊥时，30E A∠=∠=︒，60BCE∴∠=︒，180ACB BCE∴∠+∠=︒，90ACD DCE∴∠=∠=︒，AD∴=，综上所述：3AD=或（3）解：如图5，∵DE BC ∥，30B C ∠=∠=︒，30BCF E ∴∠=∠=︒，30EDF B ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，90ACE ∴∠=︒，1452ECD ACD ACE ∴∠=∠=∠=︒，将DFE △沿DF 所在直线翻折得到DFG ，30GDF EDF ∴∠=∠=︒，60EDG ∴∠=︒，90CHK EHD ∴∠=∠=︒，DH CH ∴=1FH ∴==，1CF CH FH ∴=+，3AC ∴==．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形．10．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为线段BC 延长线上一点，以AD 为腰作等腰直角DAF △，使90DAF ∠=︒，连接CF ．(1)请判断CF 与BC 的位置关系，并说明理由；(2)若8BC =，4CD BC =，求线段AD 的长；(3)如图2，在（2）的条件下，将DAF △沿线段DF 翻折，使点A 与点E 重合，连接CE ，求线段CE 的长．【答案】(1)CF BC ⊥，理由见解析(2)(3)【分析】（1）证明()SAS ABD ACF △≌△，则ADB AFC ∠=∠，如图1，记AD CF 、的交点为O ，根据180FAO AFO AOF DCO CDO COD ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，AOF COD ∠=∠，可得90FAO DCO ∠=∠=︒，进而可得CF BC ⊥；（2）如图2，过A 作AH BC ⊥于H ，则142BH CH AH BC ====，6DH =，由勾股定理得，AD =（3）由翻折的性质可知，DE AD =，45EDF ADF ∠=∠=︒，90ADE ∠=︒，如图3，过A 作AM BC ⊥于M ，过E 作EN BC ⊥于N ，证明()AAS ADM DEN ≌，则46DN AM EN DM ====，，6CN =，由勾股定理得，CE =计算求解即可．【详解】（1）解：CF BC ⊥，理由如下：∵等腰直角DAF △，90DAF ∠=︒，∴AD AF =，又∵90BAC ∠=︒，∴BAC CAD DAF CAD ∠+∠=∠+∠，即BAD CAF ∠=∠，∵AB AC =，BAD CAF ∠=∠，AD AF =，∴()SAS ABD ACF △≌△，∴ADB AFC ∠=∠，如图1，记AD CF 、的交点为O ，∵180FAO AFO AOF DCO CDO COD ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，AOF COD ∠=∠，∴90FAO DCO ∠=∠=︒，∴CF BC ⊥；（2）解：∵8BC =，4CD BC =，∴2CD =，如图2，过A 作AH BC ⊥于H ，∵ABC 是等腰直角三角形， ∴142BH CH AH BC ====，∴6DH =，由勾股定理得，AD =∴线段AD 的长为（3）解：由翻折的性质可知，DE AD =，45EDF ADF ∠=∠=︒，∴90ADE ∠=︒，如图3，过A 作AM BC ⊥于M ，过E 作EN BC ⊥于N ，∴90AMD DNE ∠=︒=∠，同理（2）可知，4AM =，6MD =，∵90ADM EDN EDN DEN ∠+∠=︒=∠+∠，∴ADM DEN ∠=∠，∵90AMD DNE ∠=︒=∠，ADM DEN ∠=∠，AD DE =，∴()AAS ADM DEN ≌，∴46DN AM EN DM ====，，∴6CN =，由勾股定理得，CE =，∴线段CE 的长为【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质是解题的关键．11．如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5AC =，12BC =，点D 为BC 边上一动点，将ACD 沿直线AD 折叠，得到AFD △，请解决下列问题．(1)AB =______；当点F 恰好落在斜边AB 上时，CD =______；(2)连接CF ，当CBF V 是以CF 为底边的等腰三角形时，请在图2中画出相应的图形，并求出此时点F 到直线AC 的距离；(3)如图3，E 为边BC 上一点，且4，连接EF ，当DEF 为直角三角形时，CD = ．（请写出所有满足条件的CD 长）【答案】(1)13，103(2)画图见解析，600169(3)52或或5或10【分析】（1）根据勾股定理可得AB 的长，再利用等积法求出CD 即可；（2）过点F 作FG AC ^，交CA 的延长线于G ，首先由等积法求出CH 的长，再根据勾股定理求出AH 的长，再次利用等积法可得FG 的长；（3）分90DEF ∠=︒或90EDF ∠=︒或90EFD ∠=︒分别画出图形，从而解决问题．【详解】（1）解：在Rt ABC △中，由勾股定理得，13AB ，当点F 落在AB 上时，由折叠知，CD DF =， ∴111222AC CD AB DF AC BC ⋅+⋅=⋅，51360CD CD ∴+=，103CD ∴=，故答案为：13，103；（2）过点F 作FG AC ^，交CA 的延长线于G ，BC BF =，AC AF =，AB ∴垂直平分CF ， 由等积法得6013AC BC CH AB ⋅==，在Rt ACH 中，由勾股定理得，2513AH ===， 1122ACF S AC FG CF AH =⋅=⋅△，6025260013135169CF AH FG AC ⨯⨯⋅∴===；（3）当90DEF ∠=︒时，当点D 在CE 上时，作FH AC ⊥于H ，则4HF CE ==，5AF AC ==，3AH ∴=，2CH EF AC AH ∴==−=，设CD x =，则4DE x =−，在Rt EDF 中，由勾股定理得，222(4)2x x =−+， 解得52x =，52CD ∴=， 当点D 在EB 上时，同理可得538CH AC AH =+=+=，设CD DF x ==，则4DE x =−，在Rt EDF 中，由勾股定理得，222(4)8x x −+=，解得10x =，10CD ∴=，当90DFE ∠=︒时，由勾股定理得AE设CD DF x ==，则520x +=，x ∴，CD ∴=；当90FDE ∠=︒时，则45ADC ADF ∠=∠=︒，5CD AC ∴==，综上：52CD =或或5或10，故答案为：52或或5或10．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了翻折的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，利用等积法求垂线段的长是解题的关键．。
八年级下册数学期末压轴题汇总(含解析)
（近三年）长春市八年级下数学期末压轴题（23.24题）长春市绿园区2020.7八下数学期末试题：24.(10分)如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=10，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AD 向终点D 速运动，作PQ ⊥BC 于Q ，当点P 不与点F 重合时，设四边形PQEF 的面积为S ，点P 的运动时间为t(秒)(1)当点P 与点D 重合时，求t 的值(2)用含t 的代数式表示线段PF (3)求S 与t 之间的函数关系式(4)当四边形PQEF 的对角线互相垂直时，直接写出的值24.(12分)如图，在平面直角坐标系中，A(-2，1)，B(1，1).直线y =kx +3与y 轴相交于点C(1)在平面直角坐标系中标记出点C 的位置(2)当直线y =kx +3与直线y =2x 平行时，k 的值为；(3)当直线y =kx +3恰好经过点A 时，求直线y =kx +3的函数关系式；(4)当直线y =kx +3与线段AB 有公共点时，直接写出k 的取值范围。
B A PFDQE C01234-1-2-3-4xyAB -2-3-41234-1答案：23.(1)由题意，得2t =10(1分)t =5(2分)(2)当0≤t <25时，PF =5-2t 当25<t ≤5时，PF =2t -5(5分)(3)当0≤t <25时，S =20-8t当25<t ≤5时，S =8t -20(8分)(4)t =21或t =29(10分)评分说明:第(2)问写成PF =∣5-2t ∣或PF=∣2t -5∣扣1分第(2)间写成当0≤t ≤25一时，PF =5-2t 当25<t ≤5时，PF =2t -5不扣分第(2)、(3)问两个关系式各1分，取值范围共1分24.(1)点C 标记在(0，3)的位置(2分)(2)2(4分)(3)把(-2，1)代入y =kx +3得1=-2k +3(6分)解，得k =1(8分)∴y =x +3(10分)(4)k ≤-2或k ≥1(12分)评分说明:第(1)问只要位置标记正确即可给分长春市朝阳区2020.7数学八下期末试题23.(10分)如图在Rt ∆ABC 中∠C =90º，过点A 作线段AD 平行射线BC ，AB=10，BC=6，AD=15。
2024八年级下册期末压轴题集训(原卷版)
2024八年级下册期末压轴题集训一（原卷版）1、我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题．如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．（1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝，S2＝；写出利用图形的面积关系所得到的公式：（用式子表达）；（2）请依据（1）得到的公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1；（3）请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．2、如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB上，AD＝AE，连接DE，BD，点F，P，G别为DE，BD，BC的中点．（1）线段PF与PG的数量关系是，位置关系是；（2）把△ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，连接PF，PG，FG，判断△FPG的形状，并说明理由；（3）若AD＝3，AB＝7，△ADE绕点A在平面内旋转过程中，请直接写出△FPG的面积取得最大值时BD的长．3、经调研发现，目前市场上有A，B两种类型的笔记本比较畅销．某超市计划最多投入6900元购进A，B两种类型的笔记本共500本，其中B型笔记本的进货单价比A型笔记本的进货单价多3元；用2400元购进A型笔记本与用3000元购进B型笔记本的数量相同．（1）求A，B两种类型笔记本的进货单价；（2）若A型笔记本每本的售价定为16元，B型笔记本每本的售价定为20元，该超市计划购进A型笔记本m本，两种类型的笔记本全部销售后可获利润为y元．①请直接写出y与m之间的函数关系式为：；②该超市如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？4、在等边△ABC中，AB＝6，点D是射线CB上一点，连接AD．（1）如图1，当点D在线段CB上时，在线段AC上取一点E，使得CE＝BD，求证：AD＝BE；（2）如图2，当点D在CB延长线上时，将线段AD绕点A逆时针旋转角度θ（0°＜θ＜180°）得到线段AF，连接BF，CF．①当AF位于∠BAC内部，且∠DAF恰好被AB平分时，若BD＝2，求CF的长度；②如图3，当θ＝120°时，记线段BF与线段AC的交点为G，猜想DC与AG的数量关系，并说明理由．5、如图，已知函数y1＝﹣x+b，y2＝mx﹣1，其中y1的图象经过点（3，0）．（1）当y1＞0时，x的取值范围是；（2）当x＞2时，对于x的每一个值，都有y1＜y2，求m的取值范围；（3）若m＝1，，求A、B的值．6、如图，△ABC是等边三角形，，点F是∠BAC的平分线上一动点，将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到AE，连接CF、EF．（1）尺规作图：在AF的上方找点D，使得DE⊥AF且DE＝AC；（2）在（1）的条件下，连接CD、DF．①求证：AE+CD＞AC；②求证：△CDF是等边三角形；③当△DEF是等腰三角形时，求AF的长度？7、【探索发现】“旋转”是一种重要的图形变换，图形旋转过程中蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决几何问题的常用方法．如图1，在正方形ABCD中，点E在AD上，点F在CD上，∠EBF＝45°．某同学进行如下探索：第一步：将△ABE绕点B顺时针旋转90°，得到△CBG，且F、C、G三点共线；第二步：证明△BEF≌△BGF；第三步：得到∠AEB和∠FEB的大小关系，以及AE、CF、EF之间的数量关系；请完成第二步的证明，并写出第三步的结论．【问题解决】如图2，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，将△ABP绕点B顺时针旋转，旋转角度小于90°，得到△A'BP'，当P、A′、P′三点共线时，这三点所在直线与CD交于点Q，要求使用无刻度的直尺与圆规找到Q点位置，某同学做法如下：连接AC，与BP交于点O，以O为圆心，OB为半径画圆弧，与CD相交于一点，该点即为所求的点Q．请证明该同学的做法．（前面【探索发现】中的结论可直接使用，无需再次证明）【拓展运用】如图3，在边长为2的正方形ABCD中，点P在AD上，BP与AC交于点O，过点O作BP的垂线，交AB于点M，交CD于点N，设AP+AB＝x（2≤x≤4），AM＝y，直接写出y关于x的函数表达式．8、如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．（1）求证：BE＝DE；（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．9、【探究发现】如图①，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F．求证：四边形AFCE是菱形；（2）【类比应用】如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD，BC于点E，F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D'，若AB＝3，BC＝4，求四边形ABFE的周长；（3）【拓展延伸】如图③，直线EF分别交平行四边形ABCD的边AD，BC于点E，F，将平行四边形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D'，若，BC＝4，∠C＝45°，求EF的长．10、阅读材料：在数轴上，x＝2表示一个点；在平面直角坐标系中，x＝2表示一条直线；以二元一次方程x+y＝2的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y＝﹣x+2的图象，它也是一条直线．如图1，在平面直角坐标系中，不等式x≤2表示一个平面区域，即直线x＝2及其左侧的部分；如图2，不等式y≤﹣x+2也表示一个平面区域，即直线y＝﹣x+2及其下方的部分．请根据以上材料回答问题：（1）图3阴影部分（含边界）表示的是（填写不等式）表示的平面区域；（2）如图4，请求出表示阴影部分平面区域（含边界）的不等式组；（3）如图5，点A在x轴上，点B的坐标为（0，1），且∠ABO＝60°，点P为△ABO内部一点（含边界），过点P分别作PC⊥OA，PD⊥AB，PE⊥BO，垂足分别为C，D，E，若PC≤PE≤PD，则所有点P组成的平面区域的面积为．11、【课本重现】已知：如图1，D，E分别是等边△ABC的两边AB，AC上的点，且AD＝CE．若BE，CD交于点F，则∠EFD＝°；【迁移拓展】如图2，已知点D是等边△ABC的AB边上一点，点E是AC延长线上一点，若AD＝CE，连接ED，EB．求证：ED＝EB；【拓展延伸】如图3，若点D，E分别是等边三角形ABC的边BA，AC延长线上一点，且连接DE，以DE为边向右侧作等边△DEF，连接AF，求△ADF的面积．12、【综合与实践】生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，上面的图案常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．（1）如图1，在▱ABCD中，AB＝2，AD＝3，∠BAD＝60°，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线AD方向平移而成，其中，平移的距离是.同理，再进行一次切割平移，可得图3，即图4可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成．我们可以用若干个如图4所示的图形，平面镶嵌成如图5的图形，则图5的面积是．（2）小明家浴室装修，在墙中央留下了如图6所示的空白，经测量可以按图7所示，全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌．小明调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六边形瓷砖便宜40元；用500元购买正三角形瓷砖与用2500元购买正六边形瓷砖的数量相等．①请问两种瓷砖每块各多少元？②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小明的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要元．13、在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是射线AB上的动点，AE垂直于直线CD于点E，交直线BC于点F．（1）【探索发现】如图①，若点D在AB的延长线上，点E在线段CD上时，请猜想CF，BD，AB之间的数量关系为；（2）【拓展提升】如图②，若点D在线段AB上（不与点A，B重合），试猜想CF，BD，AB之间的数量关系，并说明理由；（3）【灵活应用】当AB＝3，时，直接写出线段BD的长为．14、如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为（﹣2，﹣1）．（1）将△ABC向上平移6个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）以（0，﹣1）为对称中心，画出△ABC关于该点对称的△A2B2C2；（3）经探究发现，△A1B1C1和△A2B2C2成中心对称，则对称中心坐标为；（4）已知点P为x轴上不同于O、D的动点，当P A+PC＝时，∠OPC＝∠DP A．15、问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边△ABC的边BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE．（1）【猜想证明】试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明；（2）【探究应用】如图2，点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE，若B、D、E三点共线，求证：EB平分∠AEC；（3）【拓展提升】如图3，若△ABC是边长为2的等边三角形，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE．点D在运动过程中，△DEC的周长最小值＝（直接写答案）．。
北师大版八年级下册数学期末几何压轴题专练(含答案)
八下数学期末复习专题几何压轴题专练1．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与点BC重合），以AD 为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，△DAE＝△BAC，连接CE.设△BAC＝α，△DCE＝β.（1）求证：△DAB△△EAC.（2）当点D在线段BC上运动时，①α＝50°，则β＝°.②猜想α与β之间的数量关系，并对你的结论进行证明.（3）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上运动时，猜想α与β之间的数量关系，并对你的结论给出证明.2．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB＝3，AD＝4.（1）如图1，当△DAG＝30°时，求BE的长；（2）如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长；（3）如图3，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，直接写出BE的长. 3．如图（1）如图1，在□ABCD中，AE平分△BAD交CD边于点E，已知AB=5cm，AD=3cm，则EC等于cm。
（2）如图2，在□ABCD中，若AE，BE分别是△DAB，△CBA的平分线，点E在DC边上，且AB=4，则▱ABCD的周长为。
（3）如图3，已知四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，若AF，BE分别是△DAB，△CBA的平分线。
求证：DF=EC（4）在（3）的条件下，如果AD=3，AB=5，则EF的长为。
4．已知,在▱ABCD中, AB⊥BD, AB＝BD, E为射线BC上一点,连接AE交BD 于点F．（1）如图1,若点E与点C重合,且AF=√5,求AB的长;（2）如图2,当点E在BC边上时,过点D作DG⊥AE于G,延长DG交BC于H,连接FH．求证: AF=DH+FH;（3）如图3,当点E在射线BC上运动时,过点D作DG⊥AE于G, M为AG 的中点,点N在BC边上且BN=1,已知AB=5√2,请直接写出MN的最小值．5．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，AC＝a，BC＝b，a＞b，点P是边AB上一点，连接CP，将△ACP沿CP翻折得到△QCP．（1）若PQ△AB，由折叠性质可得△BPC＝°；（2）若a＝8，b＝6，且PQ△AB，求C到AB的距离及BP的长；（3）连接BQ，若四边形BCPQ是平行四边形，直接写出a与b之间的关系式．6．如图，在平行四边形ABCD中，AB△AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC 绕点O顺时针旋转一个角度α(0°<α≤90°)，分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF.（1）如图1，在旋转的过程中，写出线段AF与EC的数量关系，并证明；（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并说明理由；（3）若AB＝1，BC＝√5，求当α等于多少度时，BF＝DF？7．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=4，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A1B1C，其中点A，B的对应点分别为点A1，B1.连接AA1，BB1交于点D.（1）如图1，当点A1落在BC的延长线上时，求线段AB1的长；（2）如图2，当△ABC旋转到任意位置时，求证：点D为线段AA1中点；（3）若△A1B1C从图1的位置绕点C继续顺时针旋转α（0°<α≤90°），当直线AB与直线A1B1相交构成的4个角中最小角为30°时，求α的值.8．如图①，在平行四边形ABCD中，AD＝BD＝2，BD△AD，点E为对角线AC上一动点，连接DE，将DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，连接BF．（1）求证BF＝AE；（2）如图②，若F点恰好落在AC，求OF的长；（3）如图③，当点F落在△OBC的外部，构成四边形DEMF时，求四边形DEMF 的面积.9．如图（1）如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，证明线段BC，DC，EC之间满足的等量关系;（2）如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明结论;（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°若BD＝12，CD＝4，求AD的长.10．把△ABC绕着点A逆时针旋转α，得到△ADE.（1）如图1，当点B恰好在ED的延长线上时，若α=60°，求△ABC的度数；（2）如图2，当点C恰好在ED的延长线上时，求证：CA平分△BCE；（3）如图3，连接CD，如果DE=DC，连接EC与AB的延长线交于点F，直接写出△F的度数（用含α的式子表示）.11．如图1，在平面直角坐标系中.直线y=−12x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90∘得到CD，此时点D 恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC△ △CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标及△BCD平移的距离；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上.是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐；若不存在，请说明理由．12．在等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，AB=2．（1）如图①，点E为AD的中点，则点E到AB的距离为；（2）如图②，点M为AD上一动点，求12AM+MC的最小值．（3）（问题解决）如图③，A，B两地相距600km，AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，中转站M应修在使AM=（千米）处．13．已知Rt△ABC中，△BAC=90°，AB=AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE△AE，过点B作BD△AE，交AE的延长线于D．（1）如图1，求证BD=AE；（2）如图2，点H为BC中点，分别连接EH，DH，求△EDH的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点M为CH上的一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D作DG△FH，交FH的延长线于点G，若GH：FH=6：5，△FHM 的面积为30，△EHB=△BHG，求线段EH的长．14．阅读下面材料，并解决问题：（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求△APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′△△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出△APB ＝；（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图②，△ABC中，△CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且△EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；（3）能力提升如图③，在Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝1，△ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且△AOC＝△COB＝△BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．15．在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，且AB=AC，AD=AE.（1）如图1，如果点D在BC上，且BD=4，CD=3，求DE的长；（2）如图2，AD与BC相交于点N，点D在BC下方，连接BD，且AD⊥BD，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，点M是CA延长线上一点，且CM=AF，求证：CF=AN+MN；（3）如图3，若AD=AB，△ADE绕着点A旋转，取DE中点M，连接BM，取BM中点N，连接AN，点F为BC中点，连接DN，若DN恰好经过点F，请直接写出DF:DN:AN的值.16．如图1，△ABC是直角三角形，△ACB＝90°，点D在AC上，DE△AB于E，连接BD，点F是BD的中点，连接EF，CF.（1）EF和CF的数量关系为；（2）如图2，若△ADE绕着点A旋转，当点D落在AB上时，小明通过作△ABC和△ADE斜边上的中线CM和EN，再利用全等三角形的判定，得到了EF和CF的数量关系，请写出此时EF和CF的数量关系；（3）若△AED继续绕着点A旋转到图3的位置时，EF和CF的数量关系是什么？写出你的猜想，并给予证明.17．我们定义：如图1、图2、图3，在ΔABC中，把AB绕点A顺时针旋转α(0∘<α<180∘)得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′，当α+β=180∘时，我们称ΔAB′C′是ΔABC的“旋补三角形”，ΔAB′C′边B′C′上的中线AD叫做ΔABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”.图1、图2、图3中的ΔAB′C′均是ΔABC的“旋补三角形”.（1）①如图2，当ΔABC为等边三角形时，“旋补中线” AD与BC的数量关系为：AD=BC；②如图3，当∠BAC=90∘，BC=8时，则“旋补中线” AD长为.（2）在图1中，当ΔABC为任意三角形时，猜想“旋补中线” AD与BC的数量关系，并给予证明.18．在平行四边形ABCD中，∠BAD的角平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在（图25-1）中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图25-2），求∠BDG的度数；（3）若∠ABC=120°，FG//CE，FG=CE，分别连接BD、DG（如图25--3），直接写出∠BDG的度数．19．在△ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将过点A的直线l绕点A旋转，交射线CD于点E，BF△l于点F，DG△l于点G，连接OF，OG．（1）如图①当点E与点C重合时，请直接写出线段OF，OG的数量关系；（2）如图②，当点E在线段CD上时，OF与OG有什么数量关系？请证明你的结论；（3）如图③，当点E在线段CD的延长线上时，上述的结论是否仍成立？请说明理由．20．如图，在平行四边形ABCD中，AB△AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF.（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE＝OF；（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；（3）若AB＝1，BC＝√5，且BF＝DF，求旋转角度α的大小.21．如图1，在Rt△ABC中，△A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD ＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点.（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值.22．如图，已知函数y=﹣12x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=x的图象交于点M，点M的横坐标为2．（1）求点A的坐标；（2）在x轴上有一动点P（a，0）（其中a＞2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y=﹣12x+b和y=x的图象于点C、D．①若OB=2CD，求a的值；②是否存在这样的点P，使以B、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案与解析1．【答案】（1）证明：∵△DAE＝△BAC，∴△CAD﹣△DAE＝△CAD﹣△BAC，∴△CAE＝△BAD，在△DAB和△EAC中，{AB=AC∠BAD=∠CAF AD=AE∴△DAB△△EAC（SAS）（2）解：①130；②α+β＝180°，理由：由（1）知，△DAB△△EAC，∴△ABC＝△ACE，在△ABC中，AB＝AC，△BAC＝α，∴△ABC＝△ACB＝12（180°﹣△BAC）＝12（180°﹣α）＝90°﹣12α，∴β＝△ACB+△ACE＝△ACB+△ABC＝90°﹣12α+90°﹣12α＝180°﹣α，∴α+β＝180°（3）解：β＝α；理由：∵△DAE＝△BAC，∴△DAE﹣△BAE＝△BAC﹣△BAE，∴△CAE＝△BAD，在△DAB和△EAC中，{AB=AC∠BAD=∠CAB AD=AE∴△DAB△△EAC（SAS），∴△ABD＝△ACE，在△ABC中，AB＝AC，△BAC＝α，∴△ABC＝△ACB＝12（180°﹣△BAC）＝12（180°﹣α）＝90°﹣12α，∴△ACE＝△ABD＝180°﹣△ABC＝180°﹣（90°﹣12α）＝90°+12α，∴β＝△ACE﹣△ACB＝90°+ 12α﹣（90°﹣12α）＝α.2．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴△BAD＝90°，∵△DAG ＝30°，∴△BAG ＝60°由折叠知，△BAE ＝12△BAG ＝30°， 在Rt△BAE 中，△BAE ＝30°，AB ＝3，∴BE ＝√3（2）解：如图4，连接GE ，∵E 是BC 的中点，∴BE ＝EC ，∵△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，∴BE ＝EF ，∴EF ＝EC ，∵在矩形ABCD 中，∴△C ＝90°，∴△EFG ＝90°，∵在Rt△GFE 和Rt△GCE 中，{EG =EG EF =EC∴Rt△GFE△Rt△GCE （HL ），∴GF ＝GC ；设GC ＝x ，则AG ＝3+x ，DG ＝3﹣x ，在Rt△ADG 中，42+（3﹣x ）2＝（3+x ）2，解得x ＝43. （3）解：BE ＝323．【答案】（1）2（2）12（3）证明：∵在▱ABCD 中，CD△AB ，∴△DFA=△FAB.又∵AF是△DAB的平分线∴△DAF=△FAB，∴△DAF=△DFA，∴AD=DF，同理可得EC=BC.∵AD=BC，∴DF=EC（4）14．【答案】（1）解：如图1中，∵AB⊥BD,∴∠ABD=90°,∵AB=BD,∠BAD=45°,∴∠BDA=∠BAD=45°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴E、C重合时BF=12BD=12AB,在RtΔABF中,∵AF2=AB2+BF2,∴(√5)2=(2BF)2+BF2,∴BF=1, AB=2,∴AB=2;（2）证明：如图2中，在AF上截取AK=HD,连接BK,∵AB⊥BD, DG⊥AE,∴∠ABF=∠FGD=90°,∵∠AFD=∠ABF+∠2=∠FGD+∠3, ∠ABF=∠FGD=90°,∴∠2=∠3,在ABK和ΔDBH中, {AB=BD ∠2=∠3 AK=HD,∴ΔABK≅ΔDBH,∴BK=BH, ∠6=∠1,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD//BC,∴∠4=∠1,由（1）知∠4=45°,∴∠l=∠6=45°,∴∠5=∠ABD−∠6=45°,∠5=∠1,在ΔFBK和ΔFBH中, {BF=BF ∠5=∠1 BK=BH,∴ΔFBK≅ΔFBH,∴KF=FH,∵AF=AK+KF，∴AF=DH+FH；（3）解：MN的最小值为√149−52．5．【答案】（1）45（2）解：如图，作CH△AB于H由翻折的性质可知：△APC=△QPC∵CH△AB，△BPC=45°∴CH=PH在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=√82+62=10∵12⋅AB ⋅CH =12⋅AC ⋅BC ，即 5CH =24 ∴CH= 245； （3）解：如图:连接BQ由翻折的性质可得：PA=PQ ，△QPC=△APC∵四边形BCPQ 是平行四边形∴PQ=BC=PA=b ，PQ//BC ，∴△QPC+△PCB=180°∵△BPC+△APC=180°∴△PCB=△BPC∴PB=BC=b∴AP=PB=b ，AB=2b ，在Rt△ABC 中，则有（2b ）2=a 2+b 2∴a 2=3b 2∵a>0.b>0，∴a= √3b ．6．【答案】（1）解：AF=CE.理由如下：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD // CB ，OA=OC.∴△FAO=△ECO.在 △AOF 和 △COE 中，∵{∠AOF =∠COE,OA =OC,∠FAO =∠ECO,∴△AOF ≌△COE(ASA) .∴AF=CE.（2）解：当旋转至90°时，四边形ABEF为平行四边形.理由如下：∵△AOF= 90°，△BAC= 90°，∴AB //EF.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，即AF//BE.∴四边形ABEF为平行四边形（3）解：当α等于45度时，BF＝DF.理由如下：∵AB=1，BC= √5，AB△AC，∴AC= √BC2−AB2=√(√5)2−12=2.∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=12AC=12×2=1，BO=DO.∴OA=AB=1.点O在线段BD的垂直平分线上.∴△ABO为等腰直角三角形.∴△AOB= 45°.当F在线段BD的垂直平分线上时，BF=DF，∴FO垂直平分BD.∴△BOF=90°.∴∠AOF=∠BOF−∠AOB=90°−45°=45°，即α=45°.∴当α等于45度时，BF＝DF.7．【答案】（1）解：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=4，∴∠ACB=45°，AC=√AB2+BC2=√42+42=4√2.∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A1B1C，∴∠A1CB1=45°，B1C=BC=4.∴∠ACB1=180°−∠ACB−∠A1CB1=90°.∴AB1=√AC2+B1C2=√(4√2)2+42=4√3（2）证明：过点A1作A1E//AB交BB1的延长线于点E，∴∠ABD=∠DEA1.∵B1C=BC，∴∠CBB1=∠CB1B.∵∠ABC=∠A1B1C=90°，∴∠ABD+∠CBB1=∠CB1B+∠A1B1E=90°.∴∠A1B1E=∠ABD=∠DEA1.∴A1B1=A1E.∵AB=A1B1，∴AB=A1E.∵∠ADB=∠A1DE，∴△ADB≅△A1DE.∴AD=∠A1D.∴点D为线段AA1中点（3）解：如图3，当直线AB与直线A1B1相交于点A上方，延长BC交A1B1于点E，∵∠ABC=90°，∠P=30°，∴∠PEB=60°.∵∠CA1B1=45°，∴∠A1CE=∠PEB−∠CA1E=15°.如图4，当直线AB与直线A1B1相交于点A下方，延长BC交A1B1的延长线于点E，∵∠ABC=90°，∠P=30°，∴∠PEB=60°.∵∠A1B1C=90°，∴∠B1CE=∠A1B1C−∠PEB=30°.∴∠A1CE=∠B1CE+∠A1CB=75°.∴当直线AB与直线A1B1相交构成的4个角中最小角为30°时，α的值为15°或75°.8．【答案】（1）证明：根据旋转的性质可得，DE=DF，△EDF=90°∵BD△AD∴△ADB=90°∴△ADE=△BDF∵AD=BD∴△ADE△△BDF∴BF=AE（2）过点D 作DG△AC 于点G ，∵DE=DF ，△EDF=90°∴△DEF=△DFE=45°，△DEA=135°根据（1）可得，△ADE△△BDF∴△BFD=△DEA=135°，AE=BF∴△BFO=90°∵四边形ABCD 为平行四边形∴OB=OD∴△DGO△△BFO∴DG=BF ，OF=OG∴DG=EG=AE=BF设DG=a （a ＞0），则AG=2a在直角三角形ADG 中，∵AG 2+DG 2=AD 2∴（2a ）2+a 2=22解得a=2√55 ∴OF=OG=12×2√55=√55（3）过点D 作DN△AC 于点N ，将△DEN 绕点D 逆时针旋转90°得到△DFH ，∴DH=DN ，△DNE=△DH=90°，△DEN=△DFG∵△DEF=△FME=90°∴△DEM+△DFM=180°∴△DFH+△DFM=180°∴点H ，点F ，点M 三点共线∵△DHF=△DNM=△FMN=90°∴四边形DNMG 为矩形∵DN=DH∴四边形DNMH 为正方形∴S 四边形DEMF=S 四边形DNMH=（2√55）2=459．【答案】（1）解：∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE∵Rt△ABC中AB=AC∴∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE(SAS)∴DB=EC∴BC=DC+DB=DC+EC（2）解：连结CE∵Rt△ABC与Rt△ADE中AB＝AC，AD＝AE∴∠B=∠ACE=45°，DE2=AD2+AE2=2AD2，∵由（1）同理可得△ABD≌△ACE∴DB=EC,∠ABD=∠ACE=45°∴∠ECD=90°∴Rt△ECD中，DE2=EC2+CD2=BD2+CD2∴2AD2=BD2+CD2（3）解：过点A作AE⊥AD，且AE=AD，连结DE,CE∵∠ABC=∠ACB=45°∴AB⊥AC,AB=AC∵AE⊥AD,AE=AD∴由（1）同理可得△ABD≌△ACE∴DB=EC=12∵∠ADC=45°∴∠EDC=∠ADC+∠ADE=90°∴DE=√CE2−CD2=√122−42=8√2∴等腰直角△ADE中AD=810．【答案】（1）解：∵α=60°，△ABC△△ADE，∴ AD=AB，△ABC=△ADE.∴ △ABD=△DAB=60°.∴ △ABC=△ADE=△DAB+△ABD=120°.（2）解：∵ AC=AE,△EAC= α，∴ △E=△ACE.∵ △ABC△△ADE，∴ △ACB=△E.∴ △ACB=△ACE.∴ CA平分△BCE.（3）解：△F= 90°−α.如下图：延长AD交EF于点G，则根据图形旋转的性质得，△GAF=α，∵△ABC△△ADE∴AC=AE，∴△AEC为等腰三角形，在△AED和△ACD中，{AE=AC DE=CD AD=AD，∴ △AED △ △ACD（SSS），∴ △DAE=△DAC，∴ AD平分△EAC，∵△AEC为等腰三角形，∴AG△EF，即△AGF=90°，∴∠EAF=3∠CAF=32α，∴∠F=180°−∠GAF−∠AGF=90°−α.11．【答案】（1）证明：∵∠BOC=∠BCD=∠CED=90∘，∴∠OCB+∠DCE=90∘，∠DCE+∠CDE=90∘，∴∠BCO=∠CDE，∵BC=CD，∴△BOC△ △CED．（2）解：∵△BOC△ △CED，∴OC=DE=m，BO=CE=3，∴D(m+3,m)，把D(m+3,m)代入y=−12x+3得到，m=−12(m+3)+3，∴2m=−m−3+6，∴m=1，∴D(4,1)，∵B(0,3)，C(1,0)，∴直线BC的解析式为y=−3x+3，设直线B′C′的解析式为y=−3x+b，把D(4,1)代入得到b=13，∴直线B′C′的解析式为y=−3x+13，∴C′(133,0)，∴CC′=103，∴△BCD平移的距离是103个单位．（3）点Q的坐标为(3,32)或(5,12)或(−3,92).12．【答案】（1）√34（2）解：如图，作CN⊥AB，垂足为N，此时12AM+MC最小，最小值等于CN，∵在正三角形ABC中，AB=BC=AC=2，∠ANC=90°，∴AN=1，由勾股定理得，CN=√3由（1）知，MN=12AM∴MN+CM=12AM+MC=CN=√3，即12AM+MC的最小值为√3（3）( 480−120√3 )13．【答案】（1）证明：∵CE△AE，BD△AE，∴△AEC＝△ADB＝90°，∵△BAC＝90°，∴△ACE+CAE＝△CAE+△BAD＝90°，∴△ACE＝△BAD，在△CAE与△ABD中{∠ACE=∠BAD ∠AEC=∠ADB AC=AB∴△CAE△△ABD（AAS），∴AE＝BD；（2）解：连接AH∵AB＝AC，BH＝CH，∴△BAH＝12∠BAC=12×90°=45°，△AHB＝90°，∴△ABH＝△BAH＝45°，∴AH＝BH，∵△EAH＝△BAH﹣△BAD＝45°﹣△BAD，△DBH＝180°﹣△ADB﹣△BAD﹣△ABH＝45°﹣△BAD，∴△EAH＝△DBH，在△AEH与△BDH中{AE=BD∠EAH=∠DBH AH=BH∴△AEH△△BDH（SAS），∴EH＝DH，△AHE＝△BHD，∴△AHE+△EHB＝△BHD+△EHB＝90°即△EHD＝90°，∴△EDH ＝△DEH ＝ 180°−90°2=45° ；（3）解：过点M 作MS△FH 于点S ，过点E 作ER△FH ，交HF 的延长线于点R ，过点E 作ET△BC ，交HR 的延长线于点T ．∵DG△FH ，ER△FH ，∴△DGH ＝△ERH ＝90°，∴△HDG+△DHG ＝90°∵△DHE ＝90°，∴△EHR+△DHG ＝90°，∴△HDG ＝△HER在△DHG 与△HER 中{∠HDG =∠HER ∠DGH =∠ERH DH =EH∴△DHG△△HER （AAS ），∴HG ＝ER ，∵ET△BC ，∴△ETF ＝△BHG ，△EHB ＝△HET ，△ETF ＝△FHM ，∵△EHB ＝△BHG ，∴△HET ＝△ETF ，∴HE ＝HT ，在△EFT 与△MFH 中{∠ETF =∠FHM ∠EFT =∠MFH EF =FM，∴△EFT△△MFH （AAS ），∴HF ＝FT ，∴HF·MS 2=FT·ER 2， ∴ER ＝MS ，∴HG＝ER＝MS，设GH＝6k，FH＝5k，则HG＝ER＝MS＝6k，HF·MS 2=5k·6k2=30，k＝√2，∴FH＝5 √2，∴HE＝HT＝2HF＝10 √2．14．【答案】（1）150°（2）解：如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，△CAE′＝△BAE，△ACE′＝△B，△EAE′＝90°，∵△EAF＝45°，∴△E′AF＝△EAE′-△EAF=45°，∴△EAF＝△E′AF，在△EAF和△E′AF中，{AE=AE′∠EAF=∠E′AFAF=AF∴△EAF△△E′AF（SAS），∴E′F＝EF，∵△CAB＝90°，AB＝AC，∴△B＝△ACB＝45°，∴△E′CF＝45°+45°＝90°，由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，即EF2＝BE2+FC2．（3）解：如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，∵在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AC＝1，△ABC＝30°，∴AB＝2，∴BC＝√AB2−AC2=√3，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，△ABC=30°，∴△A′BC＝△ABC+60°＝30°+60°＝90°，∵△C＝90°，AC＝1，△ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，∴△BOO′是等边三角形，∴BO＝OO′，△BOO′＝△BO′O＝60°，∵△AOC＝△COB＝△BOA＝120°，∴△COB+△BOO′＝△BO′A′+△BO′O＝120°+60°＝180°，∴C、O、A′、O′四点共线，在Rt△A′BC中，A′C＝√BC2+A′B2=√(√3)2+22=√7，∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝√7．15．【答案】（1）解：连接EC，又AB=AC，AD=AE，∴BD=CE=4，∠ACE=∠ABC，∵∠ABC+∠ACB=90°∴∠ACE+∠ACB=90°∴△ACE是直角三角形，∴DE=√CD2+CE2=√32+42=5；（2）解：∵∠BAD+∠DAC=90°,∠EAC+∠DAC=90°∴∠BAD=∠EAC∵{AB=AC∠BAD=∠EACAD=AE∴△BAD≅△CAE(SAS)∴∠ABD=∠ACE∵AD⊥BD∴∠BAD=90°−∠ABD∵∠BAC=90°∴∠DAC=90°−∠BAD∴∠DAC=∠ABD∴∠ACF=∠DAC∴AD//CF过点A作AP//BC交FC于点P，∴四边形ANCP是平行四边形∴AN=CP，NC=AP∵AP//BC∴∠FAP=∠ABC=45°{PA=NC∠PAF=∠NCM AF=CN∴△PAF≅△NCM(SAS)∴MN=PF∴AN+MN=CP+FP=CF；（3）DF:DN:AN=1:2:216．【答案】（1）EF＝CF（2）EF＝CF（3）解：猜想，EF＝CF，理由：如图3中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，EN，FN.∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF△AD，MF＝12AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF△AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，△FMA＝△ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，△AED＝90°，∴EN＝12AD＝AN＝ND，同理CM＝12AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，△AEN＝△EAN，△MCA＝△MAC，∵△MAC＝△EAN，∴△AMC＝△ANE，又∵△FMA＝△ANF，∴△ENF＝△FMC，∵AM＝FN，AM＝CM，∴CM＝NF，在△MFC和△NEF中，{MF=EN∠FMC=∠ENFMC=NF，∴△MFC△△NEF（SAS），∴FE＝FC.17．【答案】（1）12；4（2）解：结论：AD=12BC.理由：如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接B′M，C′M，∵B′D=DC′，AD=DM，∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴AC′=B′M=AC，∵∠BAC+∠B′AC′=180∘，∠B′AC′+∠AB′M=180∘，∴∠BAC=∠MB′A，∵AB=AB′，∴ΔBAC≅ΔAB′M，∴BC=AM，∴AD=12BC.18．【答案】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB△CD，AD△BC∴△BAF=△F，△DAF=△CEF又∵AE平分△BAD∴△BAF=△DAF∴△F=△CEF∴CE=CF（2）如图，连接CG、BG.∵ABCD是平行四边形，△ABC＝90°∴平行四边形ABCD是矩形∴AB=DC，AB△DC，AD△BC，△BAD＝△ADC=△BCD＝△ECF＝90° ∴△F=△BAE，△DBC=△ADB∵△BAD＝90° ，△BAE＝12△BAD=45°∴AB=BE，△F=△BAE=45°∴CE=CF∴BC=BE+EC=AB+CF=CD+CF=DF又∵G 是EF 的中点，△ECF ＝90° ,CE=CF∴CG=FG=12EF,△ECG=12△ECF=45° ∴△ECG=△F∴△DFG△△BCG∴△FDG ＝△CBG ，DG=BG∴△DBG=△BDG∵△DBC=△ADB,△FDG ＝△CBG∴△DBC+△CBG=△ADB+△FDG即△DBG=△ADB+△FDG∴△BDG=△ADB+△FDG又∵△BDG+（△ADB+△FDG ）=90°∴△BDG=12△ADC=45° （3）如图，连接GB 、GE 、GC 。
八年级数学下册期末压轴题带答案
1． (1)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.求证：CE=CF；(2)如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用(1)的结论证明：GE=BE+GD.(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积.2.如图，已知等腰Rt△ABC和△CDE，AC=BC,CD=CE，连接BE、AD，P为BD中点，M为AB中点、N为DE中点，连接PM、PN、MN.（1）试判断△PMN的形状，并证明你的结论；（2）若CD=5，AC=12，求△PMN的周长.3.已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转．（1）①当E点旋转到DA的延长线上时（如图1），△ABE与△ADG的面积关系是：．②当E点旋转到CB的延长线上时（如图2），△ABE与△ADG的面积关系是：（2）当正方形AEFG旋转任意一个角度时（如图3），（1）中的结论是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由．（3）已知△ABC，AB=5cm，BC=3cm，分别以AB、BC、CA为边向外作正方形（如图4），则图中阴影部分的面积和的最大值是 cm2．4.一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M 放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=a．（1）如图1，两个三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为，周长为；（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为，周长为；（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1，图2的位置，如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证．5.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．答案1.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，∵∠ADC=90°，∴∠FDC=90°.∴∠B=∠FDC，∵BE=DF，∴△CBE≌△CDF(SAS).∴CE=CF.(2)证明：如图2，延长AD至F，使DF=BE，连接CF.由(1)知△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF.∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°.∵CE=CF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG.∴GE=GF，∴GE=GF=DF+GD=BE+GD.(3)解：如图3，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G.在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A=∠B=90°，又∵∠CGA=90°，AB=BC，∴四边形ABCG为正方形.∴AG=BC.…∵∠DCE=45°，根据(1)(2)可知，ED=BE+DG.…∴10=4+DG，即DG=6.设AB=x，则AE=x﹣4，AD=x﹣6，在Rt△AED中，∵DE2=AD2+AE2，即102=(x﹣6)2+(x﹣4)2.解这个方程，得：x=12或x=﹣2(舍去).…∴AB=12.∴S梯形ABCD=0.5(AD+BC)•AB=0.5×(6+12)×12=108.即梯形ABCD的面积为108.…2.解：（1）①∵正方形ABCD和正方形AEFG有公顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转，E点旋转到DA的延长线上，∴AE=AG，AB=AD，∠EAB=∠GAD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴△ABE的面积=△ADG的面积；②作GH⊥DA交DA的延长线于H，如图2，∴∠AHG=90°，∵E点旋转到CB的延长线上，∴∠ABE=90°，∠HAB=90°，∴∠GAH=∠EAB，在△AHG和△AEB中，∴△AHG≌△AEB，∴GH=BE，∵△ABE的面积=0.5EB•AB，△ADG的面积=0.5GH•AD，∴△ABE的面积=△ADG的面积；（2）结论仍然成立．理由如下：作GH⊥DA交DA的延长线于H，EP⊥BA交BA的延长线于P，如图3，∵∠PAD=90°，∠EAG=90°，∴∠PAE=∠GAH，在△AHG和△AEP中，∴△AHG≌△AEP（AAS），∴GH=BP，∵△ABP的面积=0.5EP•AB，△ADG的面积=0.5GH•AD，∴△ABP的面积=△ADG的面积；（3）∵AB=5cm，BC=3cm，∴AC==4cm，∴△ABC的面积=0.5×3×4=6（cm2）；根据（2）中的结论得到阴影部分的面积和的最大值=△ABC的面积的3倍=18cm2．故答案为相等；相等；18．3.解：（1）∵AM=MC=AC=a，则∴重叠部分的面积是△ACB的面积的一半为0.25a2，周长为（1+）a．（2）∵重叠部分是正方形∴边长为0.5a，面积为0.25a2，周长为2a．（3）猜想：重叠部分的面积为0.25a2．理由如下：过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G设MN与AC的交点为E，MK与BC的交点为F∵M是△ABC斜边AB的中点，AC=BC=a∴MH=MG=0.5a又∵∠HME+∠HMF=∠GMF+∠HMF，∴∠HME=∠GMF，∴Rt△MHE≌Rt△MGF∴阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积∵正方形CGMH的面积是MG•MH=0.5a×0.5a =0.25a2,∴阴影部分的面积是0.25a2．4.（1）证明：∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,∴AF=AG,∠FAG=90°，∵∠EAF=45°,∴∠GAE=45°，在△AGE与△AFE中，，∴△AGE≌△AFE（SAS）；（2）证明：设正方形ABCD的边长为a.将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,连结GM．则△ADF≌△ABG，DF=BG．由（1）知△AEG≌△AEF，∴EG=EF．∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，∴a﹣BE=a﹣DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°，∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2，∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，∴EF2=ME2+NF2；（3）解：EF2=2BE2+2DF2．如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，即2（DF2+BE2）=EF2。
(完整word版)初二下期末几何压轴题及解析
初二下期末几何及分析1、以四边形ABCD的边 AB、 AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和 ADE，连结 EB、 FD，交点为G．（1）当四边形 ABCD为正方形时（如图 1 ）， EB 和 FD 的数目关系是 _____________ ；（2）当四边形 ABCD为矩形时（如图 2）， EB和 FD拥有如何的数目关系 ?请加以证明；（ 3）四边形 ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD能否发生变化 ?假如改变，请说明原因；假如不变，请在图 3 中求出∠ EGD的度数．难度一般：证全等即可（第三问，图 1 中就能看出是45°。
）解（ 1） EB=FD。
（2）EB=FD。
证：∵△ AFB为等边三角形, ∴ AF=AB，∠ FAB=60°∵△ ADE为等边三角形，∴ AD=AE，∠ EAD=60° , ∴∠ FAB+∠ BAD=∠EAD+∠BAD 即∠ FAD=∠ BAE,∴△ FAD≌△ BAE,∴ EB=FD（3）解：∵△ ADE为等边三角形，∴∠ AED=∠ EDA=60°∵△ FAD≌△ BAE，∴∠ AEB=∠ ADF设∠ AEB为 x°，则∠ ADF也为 x°于是有∠ BED为（ 60-x ）°，∠ EDF为（ 60+x）°∴∠ EGD=180°- ∠ BED-∠EDF=180°- （ 60-x ）° - （ 60+x）° =60°2、已知：如图，在□ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，连结 AE 并延伸交 DC 的延伸线于点 F ，连结 BF．（1）求证：△ ABE≌ △ FCE；（2）若 AF=AD ，求证：四边形 ABFC 是矩形．简单题证明：（ 1）如图 1．在△ ABE 和△ FCE 中，∠ 1=∠2，∠ 3=∠ 4， BE=CE，∴△ ABE≌△ FCE ．（2）∵△ ABE≌△ FCE ，∴ AB=FC ．∵AB∥ FC，∴四边形 ABFC 是平行四边形．∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD =BC．∵AF=AD ，∴ AF=BC．∴四边形 ABFC 是矩形．A DB CEFA D1B3CE42F图 13、已知： △ ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠ B=90°， AB=BC=1．（ 1）要在这张纸板上剪出一个正方形，使这个正方形的四个极点都在 △ ABC 的边上．小林设计出了一种剪法，如图 1 所示．请你再设计出一种不一样于图 1 的剪法，并在图 2 中画出来．AAAADEDE DECBC BCBFCBFF图 4图 1图 2图 3（ 2）若依据小林设计的图 1 所示的剪法来进行裁剪，记图 1 为第一次裁剪，获得 1 个正方形，将它的面积记为 S 1 ，则 S 1 =___________；余下的 2 个三角形中还依据小林设计的剪法进行第二次裁剪（如图 3），获得 2 个新的正方形，将此次所得2 个正方形的面积的和 ．记为 S 2 ，则 S 2 =___________；在余下的 4 个三角形中再依据小林设计的的剪法进行第三次裁剪（如图 4），获得 4 个新的正方形，将此次所得4 个正方形的面积的和 记为S 3 ；依据相同的方法持续操作下去 ，第 n 次裁剪获得 _________个新的正方形，它们的面积． 的和A． S n =______________ ．（题外题：把你剪出的正方形的面积与图1 中的正方形面积进行比较。
八年级数学下册 中心对称图形-平行四边形综合压轴(50题12个考点)(解析版)
专题05中心对称图形-平行四边形综合压轴（50题12个考点）一．三角形中位线定理（共1小题）1．（2022秋•东平县期末）如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE＝，AB＝4，则AC的值为（）A．6B．C．7D．8【答案】C【解答】解：如图，延长BD，交AC于F，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠ADF＝90°，在△ABD和△AFD中，，∴△ABD≌△AFD（ASA），∴BD＝DF，AF＝AB＝4，∵BE＝CE，∴CF＝2DE＝3，∴AC＝AF+CF＝4+3＝7，故答案为：C．二．平行四边形的性质（共3小题）2．（2023春•辛集市期末）如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E 的运动时间是（）A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s【答案】C【解答】解：在▱ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝8cm，如图，过点D作DG⊥AB于点G，∵∠A＝45°，∴△ADG是等腰直角三角形，∴AG＝DG＝AD＝8，过点F作FH⊥AB于点H，得矩形DGHF，∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH，∵EF＝10cm，∴EH＝＝6cm，由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm，∴GE＝AE＝AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE+EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm，∴2t﹣2＝22﹣t，解得t＝8，当F点在E点左侧时，由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm，∴GE＝AE﹣AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE﹣EH＝（2t﹣8）﹣6＝（2t﹣14）cm，∴2t﹣14＝22﹣t，解得t＝12，∵点E到达点B时，两点同时停止运动，∴2t≤22，解得t≤11．∴t＝12不符合题意，舍去，∴EF的长为10cm时点E的运动时间是8s，故选：C．3．（2023•六安模拟）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD ＝AB；③S▱ABCD＝AC•CD；④S四边形OECD＝S△AOD，其中成立的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】见试题解答内容【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，OB＝OD，∴∠DAE＝∠AEB，∠BAD＝∠BCD＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB∴△ABE为等边三角形，∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝BE＝AE，∵AB＝BC，∴EC＝AE，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠CAD＝30°，故①正确；∵∠BAD＝120°，∠CAD＝30°，∴∠BAC＝90°，∴BO＞AB，∴OD＞AB，故②错误；∴S▱ABCD＝AB•AC＝AC•CD，故③正确；∵∠BAC＝90°，BC＝2AB，∴E是BC的中点，：S△BCD＝1：4，∴S△BEO：S△BCD＝3：4，∴S四边形OECD：S▱ABCD＝3：8，∴S四边形OECD：S▱ABCD＝1：4，∵S△AOD＝S△AOD，故④正确．∴S四边形OECD故选：C．4．（2023春•叙州区期末）如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O，以AB、A O为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1，以AB，AO1为邻边作平行四边形AO1C2B……依此类推，则平行四边形AO2022C2023B的面积为cm2．【答案】．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO，BO＝DO，DC∥AB，DC＝AB，＝S△ABC＝S矩形ABCD＝×20＝10（cm2），∴S△ADC＝S△BCO＝S△ABC＝×10＝5（cm2），∴S△AOB＝×5＝（cm2），∴＝S△AOB∴＝＝（cm2），＝＝（cm2），＝＝（cm2），……∴平行四边形AO n C n+1B的面积为，∴平行四边形AO2022C2023B的面积为（cm2），故答案为：．三．平行四边形的判定与性质（共2小题）5．（2023•莆田模拟）如图，在△ABD中，AD＜AB，点D在直线AB上方，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，点B，D的对应点分别是C，E，将线段BD绕着点B顺时针旋转90°得到线段BF，点D的对应点是F，连接BE，CF．当∠DAB的度数从0°逐渐增大到180°的过程中．四边形BFCE的形状依次是：平行四边形→______→平行四边形．画线处应填入（）A．菱形→矩形→正方形B．矩形→菱形→正方形C．菱形→平行四边形→矩形D．矩形→平行四边形→菱形【答案】D【解答】解：∵△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，∴△ABD≌△ACE，BD＝BF，∠CAB＝∠DAE＝90°，∠DBF＝90°，∴CE＝BD＝BF，AE＝AD，∠ACE＝∠ABD，①当∠DAB逐渐变大，B、D、E三点共线之前时，如图，∵∠COE＝∠AOB，∴∠CEO+∠CEO＝∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠OBD+∠ABD，又∵∠ACE＝∠ABD，∴∠CEO＝∠OAB+∠OBD＝90°+∠OBD，∴∠CEB+∠EBF＝90°+∠OBD+90°+∠OBD＝180°，∴BF∥CE，又∵BF＝CE，∴四边形BFCE是平行四边形；②当B、D、E三点共线且D在B、E之间时，∵∠DAE＝90°，AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED＝45°，∴∠ADB＝135°＝∠AEC，∴∠DEC＝90°，又∵∠DBF＝90°，∴BF∥CE，又∵BF＝CE，∴四边形BFCE是平行四边形，又∵∠DEC＝90°，∴四边形BFCE是矩形；③当∠DAB逐渐变大，B、D、E三点共线，∠DAB＝135°之前时，∵∠CEB+∠EBF＝∠CEA+∠AEB+∠ABE+∠ABD+∠DBF＝∠ADB+（∠AEB+∠ABE）+∠ABD+∠DBF＝（∠ADB+∠ABD）+（∠AEB+∠AE）+∠DBF＝180°﹣∠ADB+180°﹣∠EAB+90°＝180°×2+90°﹣（∠DAB+∠EAB）＝180°×2+90°﹣（360°﹣∠DAE）＝180°×2+90°﹣360°+∠DAE＝90°+∠DAE＝180°，∴BF∥CE，又∵BF＝CE，∴四边形BFCE是平行四边形，④当∠DAB＝135°时，∴∠EAB＝360°﹣∠DAE﹣∠DAE＝135°＝∠DAB，又∵AD＝AE，AB＝AB，∴△ADB≌△AEB（SAS），∴BD＝BE＝CE，由③同理可证∠CEB+∠EBF＝180°，∴BF∥CE，又∵BF＝CE，∴四边形BFCE是平行四边形，又∵BE＝CE，∴四边形BFCE是菱形；当∠DAB＝135°后时，由③同理可证∠CEB+∠EBF＝180°，∴BF∥CE，又∵BF﹣CE，∴四边形BFCE是平行四边形．当∠DAB的度数从0°逐渐增大到180°的过程中，四边形BFCE的形状依次是：平行四边形→矩形一平行四边形一菱形一平行四边形．故选：D．6．（2023春•尤溪县期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③＝1．正确的个数是（）∠DFE＝110°；④S四边形AEFDA．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解答】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，32+42＝52，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，故①正确；∵△ABD，△ACE都是等边三角形，∴∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAE＝150°，∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC，在△ABC与△DBF中，，∴△ABC≌△DBF（SAS），∴AC＝DF＝AE＝4，同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），∴AB＝EF＝AD＝3，∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③错误；过A作AG⊥DF于G，如图所示：则∠AGD＝90°，∵四边形AEFD是平行四边形，∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，∴AG＝AD＝，∴S▱AEFD＝DF•AG＝4×＝6，故④错误；∴正确的个数是2个，故选：B．四．菱形的性质（共2小题）7．（2023•平房区二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为AB的＝中点，点F在OD上，DF＝OF，连接EF交OA于点G，若OG＝1，连接CE，S△BEC12，则线段CE的长为3．【答案】3．【解答】解：作EM⊥OA于M，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥OA，OD＝OB，OA＝OC，∴EM∥OB，∴AM：MO＝AE：EB，∵AE＝BE，∴AM＝OM，∴EM是△ABO的中位线，∴EM＝，∵DF＝OF，∴OF＝OD，∴EM＝OF，∵∠MEG＝∠OFG，∠MGE＝∠OGF，∴△EMG≌△FOG（AAS），∴MG＝OG＝1，∴OM＝2OG＝2，∴OA＝2OM＝4，∴AC＝2OA＝8，∵AE＝BE，∴△BAC的面积＝2×△BEC的面积＝2×12＝24，∴AC•OB＝24，∴OB＝6，∴EM＝OB＝3，∵CM＝OM+OC＝2+4＝6，∴CE＝＝3．故答案为：3．8．（2023春•泗水县期末）如图，在菱形ABCD中，∠ADB＝60°，点E，F分别在AD，C D上，且∠EBF＝60°．（1）求证：△ABE≌△DBF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由．【答案】（1）见解答；（2）△BEF是等边三角形，理由见解答．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∵∠ADB＝60°∴△ADB是等边三角形，△BDC是等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝∠A＝∠BDC＝60°，∵∠ABD＝∠EBF＝60°，∴∠ABE＝∠DBF，在△ABE和△DBF中，，∴△ABE≌△DBF（ASA）．（2）解：结论：△BEF是等边三角形．理由：∵△ABE≌△DBF，∴BE＝BF，∵∠EBF＝60°，∴△EBF是等边三角形．五．菱形的判定（共1小题）9．（2023春•桂林期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝12cm，AB＝18cm，CD＝23cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线B﹣C﹣D向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）用含t的式子表示PB．（2）当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四（3）只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱形，则点Q的运动速度应为多少？【答案】（1）PB＝（18﹣t）cm；（2）当t＝s或12s时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形；（3）当Q点的速度为5.2cm/s时，四边形PBCQ为菱形．【解答】解：（1）由于P从A点以1cm/s向B点运动，∴t s时，AP＝t×1＝t cm，∵AB＝18cm，∴BP＝AB﹣AP＝（18﹣t）cm；（2）过B点作BN⊥CD于N点，∵AB∥CD，∠ADC＝90°，∴四边形ACNB是矩形，∴BN＝AD＝12cm，AD＝DN＝18cm，∵CD＝23cm，∴CN＝CD﹣CN＝5cm，∴Rt△BNC中，根据勾股定理可得：BC＝＝＝13cm，则Q在BC上运动时间为13÷2＝6.5s，∵BC+CD＝23+13＝36cm，∴Q运动时间最长为36÷2＝18s，∴6.5s≤t≤18s时，Q在CD边上，此时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种①四边形PQCB是平行四边形，如图所示：∵AB∥CD即PB∥CQ，∴只需PB＝CQ即可，由（1）知：PB＝（18﹣t）cm，∵Q以2cm/s沿沿折线B﹣C﹣D向终点D运动，∴运动时间为t s时，CQ＝2t﹣BC＝（2t﹣13）cm，∴18﹣t＝2t﹣13，解得：t＝s；②四边形ADQP是平行四边形，如图所示：同理∵AP∥DQ，∴只需AP＝DQ，四边形ADQP是平行四边形，由（1）知：AP＝t cm，点DQ＝CD+CB﹣2t＝（36﹣2t）cm，∴36﹣2t＝t，解得：t＝12s，综上所述：当t＝s或12s时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形；（3）设Q的速度为x cm/s，由（2）可知：Q在CD边上，此时四边形PBCQ可为菱形，∵PB∥CQ，∴只需满足PB＝BC＝CQ即可，由（1）知：PB＝（18﹣t）cm，由（2）知：CQ＝（xt﹣13）cm，BC＝1cm，∴18﹣t＝13，xt﹣13＝13，解得：t＝5s，x＝5.2cm/s，∴当Q点的速度为5.2cm/s时，四边形PBCQ为菱形．六．菱形的判定与性质（共1小题）10．（2023•郧西县模拟）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：如图，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：连接DF，∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝5，∵四边形ADCF是菱形，∴S＝AC•DF＝10．七．矩形的性质（共3小题）11．（2023春•定州市期中）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH 的长度为（）A．B．C．D．2【答案】C【解答】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC，∵E，F分别是边AB，BC的中点，AB＝6，BC＝10，∴AE＝AB＝×6＝3，CF＝BC＝10＝5，∵AD∥BC，∴∠DHP＝∠FHC，在△PDH与△CFH中，，∴△PDH≌△CFH（AAS），∴PD＝CF＝5，CH＝PH，∴AP＝AD﹣PD＝5，∴PE＝＝＝，∵点G是EC的中点，∴GH＝EP＝，故选：C．12．（2023秋•锦江区校级期中）如图，长方形ABCD中，AD＝2AB＝8，点E、F分别为线段AD、BC上动点，且AE＝CF，点G是线段BC上一点，且满足BG＝2，四边形AEF B关于直线EF对称后得到四边形A′EFB′，连接GB′，当AE＝3时，点B′与点D重合，在运动过程中，线段GB′长度的最大值是2+2．【答案】3；2+2．【解答】解：当B与点D合时，如图：由于对称：BF＝B′F＝DF FC＝AE，设AE＝x，则CF＝x，DF＝BF＝8﹣x，在Rt△CDF中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2；∴x＝3，则AE＝3；如图：取EF中点O，∵AE＝CF，由题意知，无论EF如何变动，EF经过点O，连接B′O、OG、OB，在△B′OG中B′G＜OB′+OG，∵四边形AEFB关于EF对称得到四边形A′EFB′，∴OB＝OB′，故只有当B′、O、G三点共线时、GB′长度最大，此时GB'＝B′O+OG＝OB+OG，过点O作OH⊥BC，AD＝2AB＝8，CD＝AB＝4，∴在Rt△OBH中，OH＝CD＝2，BH＝BC＝4，∴OB＝＝2，∵在Rt△OGH中OH＝2，GH＝BH﹣BG＝2，∴OG＝＝2，∴GB'＝2+2，故答案为：3；2+2．13．（2023秋•丰城市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，点Q是坐标平面内的任意一点．若以O，D，P，Q为顶点的四边形是边长为5的菱形时，则点Q的坐标为（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）．【答案】（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）．【解答】解：∵A（10，0），C（0，4），∴OC＝AB＝4，BC＝OA＝10，∵点D是OA的中点，∴OD＝5，①如图1所示，以OP为对角线，点P在点D的左侧时，PD＝OD＝5，过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝OC＝4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：，∴OE＝OD﹣DE＝5﹣3＝2，∴点P的坐标为（2，4），此时，点Q的坐标为（﹣3，4）；②如图2所示，以OQ为对角线，点P在点D的左侧时，OP＝OD＝5．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△POE中，由勾股定理得：，∴点P的坐标为（3，4），此时，点Q的坐标为（8，4）；③如图3所示，以OP为对角线，点P在点D的右侧时，PD＝OD＝5，过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：，∴OE＝OD+DE＝5+3＝8，∴点P的坐标为（8，4），此时，点Q的坐标为（3，4）；综上所述，点Q的坐标为（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）；故答案为：（﹣3，4）或（8，4）或（3，4）．八．矩形的判定（共1小题）14．（2022春•泰山区校级期中）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO＝FO；（2）当CE＝12，CF＝10时，求CO的长；（3）当O点运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠BCE＝∠ACE＝∠OEC，∠OCF＝∠FCD＝∠OFC，∴OE＝OC，OC＝OF，∴OE＝OF；（2）∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECF＝∠ACB+∠ACD＝×180°＝90°，∴Rt△CEF中，EF＝＝＝2，又∵OE＝OF，∴CO＝EF＝；（3）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，证明：∵AO＝CO，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，由（2）可得∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．九．正方形的性质（共27小题）15．（2022秋•汝州市期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG，下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°，其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．①②④D．①②③【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，∵E，F分别是AB，BC的中点，∴BE＝AB，CF＝BC，∴BE＝CF，在△CBE与△DCF中，，∴△CBE≌△DCF（SAS），∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；∵∠BCE+∠ECD＝90°，∴∠ECD+∠CDF＝90°，∴∠CGD＝90°，∴CE⊥DF，故②正确；∴∠EGD＝90°，延长CE交DA的延长线于H，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，∴△AEH≌△BEC（AAS），∴BC＝AH＝AD，∵AG是斜边的中线，∴AG＝DH＝AD，∴∠ADG＝∠AGD，∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，∴∠AGE＝∠CDF．故③正确；∵CF＝BC＝CD，∴∠CDF≠30°，∴∠ADG≠60°，∵AD＝AG，∴△ADG不是等边三角形，∴∠EAG≠30°，故④错误；故选：D．16．（2023秋•福田区期中）如图，正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A 作AE的垂线交DE于点P，若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①EB⊥ED；②点B+S△APB＝；④S正方形ABCD＝2．其中正到直线DE的距离为；③S△APD确结论的序号是（）A．①③④B．①②③C．②③④D．①②③④【答案】A【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝ADC＝90°，∵AE⊥AP，∴∠EAP＝90°，∴∠BAE+∠BAP＝∠BAP+∠DAP＝90°，∴∠BAE＝∠DAP，∵AE＝AP＝1，∴△ABE≌△ADP（SAS），∴∠AEB＝∠APD，BE＝DP，∵△AEP是等腰直角三角形，∴∠AEP＝∠APE＝45°，EP＝AE＝，∴∠APD＝180°﹣∠APE＝180°﹣45°＝135°，∴∠AEB＝135°，∴∠BED＝∠AEB﹣∠AEP＝135°﹣45°＝90°，∴EB⊥ED，∴①正确；∴BE＝＝＝1＝AE，∴②不正确；∵△ABE≌△ADP，＝S△ADP，∴S△ABE∵∠BAP＝90°，AE＝AP＝1，PB＝，∴EP＝，∠AEP＝45°，∵∠AEB＝135°，∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，+S△APB＝S△AEB+S△APB＝S△AEP+S△EPB＝AE×AP+EP×BE＝×1×1+×∴S△APD×1＝，∴③正确；如图，过点B作BO⊥AE，交AE的延长线于点O，则∠O＝90°，∵∠BEO＝180°﹣∠AEB＝180°﹣135°＝45°，∴△BOE是等腰直角三角形，∴OE＝OB＝BE＝，∴AO＝AE+OE＝1+，在Rt△ABO中，∵AB2＝AO2+OB2＝（1+）2+（）2＝2+，＝AB2＝2+；∴S正方形ABCD∴④正确；故选：A．17．（2023秋•呈贡区期中）如图，正方形ABCD和长方形AEFG的面积相等，且四边形B EFH也是正方形，欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：BH2＝CH×GH．设AB ＝a，CH＝b．若ab＝5，则图中阴影部分的周长是（）A．6B．8C．10D．20【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD，四边形BEFH为正方形，AB＝a，CH＝b，∴BC＝AB＝CD＝a，BE＝BH＝EF＝BC﹣CH＝a﹣b，AE＝AB+BE＝a+a﹣b＝2a﹣b，＝AB2＝a2，∴S正方形ABCDS长方形AEFG＝AE•EF＝（2a﹣b）（a﹣b）＝2a2﹣3ab+b2，∵正方形ABCD和长方形AEFG的面积相等，∴a2＝2a2﹣3ab+b2，整理得：a2+b2＝3ab，∴（a+b）2＝5ab，∵ab＝5，∴（a+b）2＝5×5，∴a+b＝5，∴阴影部分的周长为：2（CD+CH）＝2（a+b）＝10．故选：C．18．（2023秋•深圳月考）如图，在正方形ABCD中，点P为BD延长线上任一点，连接PA．过点P作PE⊥PA，交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F．下列结论：①PA＝PE；②BD＝3PF；③CE＝2PD；④若BP＝BE，则PF＝（+1）DF．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：如图1，在EF上取一点G，使FG＝FP，连接BG、PG，∵EF⊥BP，∴∠BFE＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠FBC＝∠ABD＝45°，∴BF＝EF，在△BFG和△EFP中，，∴△BFG≌△EFP（SAS），∴BG＝PE，∠PEF＝∠GBF，∵∠ABD＝∠FPG＝45°，∴AB∥PG，∵AP⊥PE，∴∠APE＝∠APF+∠FPE＝∠FPE+∠PEF＝90°，∴∠APF＝∠PEF＝∠GBF，∴AP∥BG，∴四边形ABGP是平行四边形，∴AP＝BG，∴AP＝PE；故①正确；连接CG，由（1）知：PG∥AB，PG＝AB，∵AB＝CD，AB∥CD，∴PG∥CD，PG＝CD，∴四边形DCGP是平行四边形，∴CG＝PD，CG∥PD，∵PD⊥EF，∴CG⊥EF，即∠CGE＝90°，∵∠CEG＝45°，∴CE＝CG＝PD；故③错误；连接AC交BD于O，如图3：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOP＝90°＝∠PFE，∵∠APO＝90°﹣∠OPE＝∠PEF，AP＝PE，∴△AOP≌△PFE（AAS），∴OA＝PF，∵OA＝BD，∴PF＝BD，即BD＝2PF，故②错误；设PF＝m，DF＝n，则BD＝2m，∴BF＝BD+DF＝2m+n，BP＝BF+PF＝3m+n，∵∠DBC＝45°，∠BFE＝90°，∴BE＝BF＝2m+n，若BP＝BE，则3m+n＝2m+n，∴m＝n＝（+1）n，即PF＝（+1）DF，故④正确，故选：B．19．（2022秋•雁塔区校级期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，B C的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为（）A．B．1C．D．2【答案】C【解答】解：连接AG并延长交CD于M，连接FM，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°，∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，∵G为DE的中点，∴GE＝GD，在△AGE和MGD中，，∴△AGE≌△MGD（AAS），∴AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，∴CM＝CD＝2，∵点H为AF的中点，∴GH＝FM，∵F为BC的中点，∴CF＝BC＝2，∴FM＝＝2，∴GH＝，故选：C．20．（2023•温州模拟）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边分别向外作正方形，连接EH，GH，连接EG交AB于点K，当∠EHG＝90°时，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：以A为原点，以AB边所在直线为x轴建立如图所示坐标系：设AB＝c，AC＝b，BC＝a，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴a2+b2＝c2，过E作EQ⊥x轴于Q，过H作HP⊥x轴于P，∵四边形ACDE与四边形BCMH都是正方形，∴∠EAC＝∠CBH＝90°，AC＝AE＝b，BC＝BH＝a，∴∠EAQ+∠BAC＝90°，∠HBP+∠ABC＝90°，∵∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠EAQ，∠BAC＝∠HBP，∴Rt△EAQ∽Rt△ABC∽Rt△BHP，∴，，即，，∴AQ＝，EQ＝，HP＝，BP＝，∴AP＝AB+BP＝c+＝，∴E（﹣，），H（，），∵四边形BABGF是正方形，∴AB＝BG＝FG，BG⊥x轴，∴G（c，﹣c），当∠EHG＝90°时，在Rt△EHG中，由勾股定理可得：EH2+GH2＝EG2，∴（+）2+（﹣）2+（﹣c）2+（+c）2＝（+c）2+（﹣﹣c）2，整理可得：（a﹣b）（2a2+b2）＝﹣ab（a+b），∴2a3+ab2﹣2a2b﹣b3＝﹣a2b﹣ab2，∴（a2+b2）（2a﹣b）＝0，∵a、b是三角形的边长，∴a＞0，b＞0，∴a2+b2≠0，∴2a﹣b＝0，∴b＝2a，∵a2+b2＝c2，∴c2＝5a2，∵EQ∥BC，∴，即，∴，故选：D．21．（2023春•新吴区期末）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正确的是（）A．②③④B．①②③C．①②④D．①③④【答案】B【解答】解：①过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，故①正确；②∵矩形DEFG为正方形；∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确；③根据②得AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，∴∠ACG＝90°，∴AC⊥CG，故③正确；④当DE⊥AC时，点C与点F重合，∴CE不一定等于CF，故④错误，综上所述：①②③正确．故选：B．22．（2023春•西平县期中）如图，正方形ABCD边长为12，里面有2个小正方形，各边的顶点都在大正方形的边上的对角线或边上，它们的面积分别是S1，S2，则S1+S2＝（）A．68B．72C．64D．70【答案】A【解答】解：如图，由正方形的性质，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45°，所以，四个角所在的三角形都是等腰直角三角形，∵正方形的边长为12，∴AC＝12，∴两个小正方形的边长分别为×12＝4，×12＝6，∴S1+S2＝（4）2+62＝32+36＝68．故选：A．23．（2023•光山县校级三模）如图，正方形OABC中，点A（4，0），点D为AB上一点，且BD＝1，连接OD，过点C作CE⊥OD交OA于点E，过点D作MN∥CE，交x轴于点M，交BC于点N，则点M的坐标为（）A．（5，0）B．（6，0）C．（，0）D．（，0）【答案】C【解答】解：∵OABC是正方形，A（4，0），∴OA＝OC＝AB＝4，∠AOC＝∠OAB＝90°，∵BD＝1，∴AD＝3，D（4，3），∵CE⊥OD，∴∠DOE＝90°﹣∠CEO＝∠OCE，在△COE和△OAD中，，∴△COE≌△OAD（ASA），∴OE＝AD＝3，∴E（3，0），设直线CE为y＝kx+b，把C（0，4），E（3，0）代入得：，解得，∴直线CE为y＝﹣x+4，由MN∥CE设直线MN为y＝﹣x+c，把D（4，3）代入得：﹣+c＝3，解得c＝，∴直线MN为y＝﹣x+，在y＝﹣x+中，令y＝0得﹣x+＝0，解得x＝，∴M（，0），故选：C．方法二：∵CE⊥OD，CE∥MN，∴OD⊥MN，∴∠ADM＝90°﹣∠ODA＝∠AOD，∵∠DAO＝90°＝∠MAD，∴△DAO∽△MAD，∴＝，∵点A（4，0），BD＝1，∴OA＝4＝AB，AD＝AB﹣BD＝3，∴＝，解答AM＝，∴OM＝OA+AM＝4+＝，∴M（，0），故选：C．24．（2023•鄞州区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别为边BC、CD上一点，且OE⊥OF，连接EF．若，则E F的长为（）A．2B．2+C．+1D．3【答案】A【解答】解：在正方形ABCD中，AC和BD为对角线，∴∠AOB＝∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，OB＝OC，∵∠AOE＝150°，∴∠BOE＝60°；∵OE⊥OF，∴∠EOF＝∠BOC＝90°，∴∠BOE＝∠COF＝60°，∴△BOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴△OEF是等腰直角三角形；过点F作FG⊥OD，如图，∴∠OGF＝∠DGF＝90°，∵∠ODC＝45°，∴△DGF是等腰直角三角形，∴GF＝DG＝DF＝，∵∠AOE＝150°，∴∠BOE＝60°，∴∠DOF＝30°，∴OF＝2GF＝，∴EF＝OF＝2．故选：A．25．（2023•淮南二模）如图，在△BCP中，BP＝2，PC＝4，现以BC为边在BC的下方作正方形ABCD并连接AP，则AP的最大值为（）A．B．6C．D．【答案】D【解答】解：将△ABP绕点B逆时针旋转90°得△BCE，连接PE，则△BPE是等腰直角三角形，AP＝CE，∴PE＝BP＝2，在△CPE中，CE≤PE+CP，∴CE的最大值为2+4，即AP的最大值为2+4，故选：D．26．（2023春•平桥区期末）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，点E是BC边上的动点，连接OE并延长交AB的延长线于点P，过点O作OQ⊥OP交CD于点F，交BC延长线于点Q，连接PQ．若点E恰好是OP中点时，则PQ的长为（）A．2B．C．D．【答案】D【解答】解：作OH⊥AB于H，∵四边形ABCD是正方形，∴△OBC和△OAB是等腰直角三角形，∴∠BOP+∠EOC＝90°，∵OQ⊥OP，∴∠QOC+∠EOC＝90°，∴∠BOP＝∠COQ，∵∠ABO＝∠OCB＝45°，∴∠OBP＝∠OCQ＝135°，∵OB＝OC，∴△OBP≌△OCQ（ASA），∴PO＝QO，∴△OPQ是等腰直角三角形，∵OH⊥AB，EB⊥AB，∴BE∥OH，∴PB：BH＝PE：OE，∵OE＝PE，∴PB＝BH，∵△OAB是等腰直角三角形，OH⊥AB，∴OH＝BH＝AB＝×2＝1，∴PB＝BH＝1，∴PH＝PB+BH＝2，∴OP＝＝＝，∴PQ＝PO＝．故选：D．27．（2023春•江阴市期末）如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝12，BE＝4，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为（）A．8B．8C．8D．12【答案】C【解答】解：过点D作DH∥MN，交AB于点H，过点E作EG∥MN，过点M作MG∥NE，两直线交于点G，连接AG，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠B＝∠BAD＝90°，∵AB＝12，BE＝4，∴AE＝＝＝4，∵DH∥MN，AB∥CD，∴四边形DHNM是平行四边形，∴DH＝MN，∵MN⊥AE，DH∥MN，EG∥MN，∴DH⊥AE，AE⊥EG，∴∠BAE+∠AHD＝90°＝∠AHD+∠ADH，∠AEG＝90°，∴∠BAE＝∠ADH，在△ABE和△DAH中，，∴△ABE≌△DAH（ASA），∴DH＝AE＝4，∴MN＝DH＝AE＝4，∵EG∥MN，MG∥NE，∴四边形NEGM是平行四边形，∴NE＝MG，MN＝EG＝AE＝4，∴AM+NE＝AM+MG，∴当点A，点M，点G三点共线时，AM+NE的最小值为AG，∴AG＝＝＝8．故选：C．28．（2023春•徐州期中）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A、O、E在同一直线l上，且EF＝，AB＝4，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AD⊥CF；③CF＝；④四边形ABDO的面积与正方形ABCO的面积相等．其中正确的结论为（）A．①②③④B．①②C．①②③D．①③④【答案】C【解答】解：过D作DN⊥AE于N，延长BC交直线DN于M，连接CD，如图：∵四边形ABCO、四边形DEFO是正方形，∴∠AOC＝90°＝∠COE，∠DOE＝45°，∴∠COD＝45°，故①正确，∵∠AOC＝90°＝∠FOD，∴∠AOD＝135°＝∠COF，又OA＝OC，OD＝OF，∴△AOD≌△COF（SAS），∴∠ADO＝∠CFO，AD＝CF，∵∠DKS＝∠FKO，∴∠DSK＝∠FOK＝90°，∴AD⊥CF，故②正确；∵四边形DEFO是正方形，∴△DON是等腰直角三角形，∵EF＝＝DO，∴DN＝ON＝DO＝1，∵∠MNO＝∠NOC＝∠OCM＝90°，∴四边形NOCM是矩形，∴MN＝OC＝AB＝4，CM＝ON＝1∴DM＝MN﹣DM＝1，BM＝BC+CM＝5，在Rt△BDM中，BD＝，∴CF＝BD＝，故③正确；＝BC•DM＝×2×3＝1.5，S△CDO＝OC•ON＝×4×1＝2，∵S△BCDS△CDO，∴S△BCD≠≠S△BCT，∴S△DTO≠S正方形ABCO，故④错误，∴S四边形ABDO∴正确的有①②③，故选：C．29．（2022秋•郑州期末）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，EF，OC交于点G．下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③DF2+BE2＝OG•OC；④正方形ABCD的面积是四边形CEOF面积的4倍．其中正确的结论是（）A．①②③B．①②③④C．①②④D．③④【答案】C【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，∵∠EOF＝90°，∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，∴∠COE＝∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；②由①全等可得OE＝OF，∴∠OEF＝∠OCF＝45°，∠OGE＝∠CGF，∴△OGE∽△FGC，故②正确；④由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，∴正方形ABCD的面积是四边形CEOF面积的4倍，故④正确；③∵△COE≌△DOF，∴CE＝DF，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD，∴BE＝CF，在Rt△ECF中，CE2+CF2＝EF2，∴DF2+BE2＝EF2，∵∠OCE＝∠OEG＝45°，∠EOG＝∠COE，∴△EOG∽△COE，∴＝，∴OG•OC＝EO2≠EF2，∴DF2+BE2≠OG•OC，故③不正确；综上所述，正确的是①②④，故选：C．30．（2023秋•西安期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，N是A O的中点，点M在边BC上，且BM＝3，P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠N PM时，PM+PN的值为5．【答案】5．【解答】解：设PM与AC相交于点Q，∵在正方形ABCD中，AB＝4，∴AC＝AB＝4，AC⊥BD，∠ABC＝90°，∴∠NOP＝∠QOP＝90°，∵O为AC中点，∴0A＝0C＝2，∵N为OA的中点，∴ON＝，∵对角线BD平分∠NPM，∴∠NPO＝∠QPO，∵PO＝PO，∴△NPO≌△QPO，∴OQ＝ON＝，PQ＝PN，∠PNO＝∠PQO，∴NQ＝2，CQ＝OC﹣CQ＝，∴∵AB＝4，BM＝3，∴CM＝1，∴，∴，∵∠ACB＝∠QCM＝45°，∴△CMQ～△CBA，∴∠CMQ＝∠CBA＝90°，∴∠PNO＝∠PQO＝∠CQM＝45°，∴MQ＝CM＝1，∠NPQ＝180°﹣∠PNO﹣∠PQO＝90°，∴PQ2+PN2＝NQ2，即2，∴PQ＝PN＝2，∴PM+PN＝PQ+MQ+PN＝2+1+2＝5．31．（2023秋•重庆月考）如图，正方形ABCD的边长为4，E为DC边上一点，DE＝3，连接AE，过D作AE的垂线交AE于点F，交BC于点G，则FG的长为．【答案】．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为4，∴AB＝CD＝4，∠ADC＝∠C＝90°，∴∠ADF+∠CDG＝90°，又∵DF⊥AE，∴∠ADF+∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠CDG，在△ADE和△DCG中，，∴△ADE≌△DCG（ASA），∴DG＝AE，在Rt△ADE中，AD＝4，DE＝3，由勾股定理得：AE＝＝5，∴DG＝AE＝5，＝AE•DF＝AD•DE，由三角形的面积得：S△ADE∴AE•DF＝AD•DE，∴5•DF＝4×3，∴DF＝，∴FG＝DG﹣DF＝5﹣＝，故答案为：．32．（2023•增城区一模）如图，点E在正方形ABCD外，连结AE、BE、DE，过点A作AE 的垂线交DE于点F．若AE＝AF＝4，BF＝10，则下列结论：①△AFD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为3；④S△ABF+S△ADF＝40．其中正确的结论是①②③④．（填写所有正确结论的序号）【答案】①②③④．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵AF⊥AE，∴∠FAE＝∠BAE+∠BAF＝90°，∵∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝90°，∴∠BAE＝∠DAF，又∵AE＝AF，∴△AFD≌△AEB（SAS），故①正确；∴∠AFD＝∠AEB，∵∠AEB＝∠AEF+∠BEF，∠AFD＝∠AEF+∠FAE，∴∠BEF＝∠FAE＝90°，即EB⊥ED，故②正确；过点B作BP⊥AE，交AE的延长线于P，则BF的长即点B到直线AE的距离，∵AE＝AF＝4，∠FAE＝90°，∴FE＝8，∠AEF＝∠AFE＝45°，在Rt△BEF中，FB＝10，FE＝8，∴BE＝6，∵EB⊥ED，BP⊥AP，∴∠EPB＝∠PBE＝45°，∴BP＝EP＝3，故③正确；连接BD，S△AFD+S△AFB＝S△AEB+S△AFB＝S△AEF+S△BEF＝×4×4+×6×8＝40，故④正确；综上，正确结论的序号是①②③④，故答案为：①②③④．33．（2023秋•余江区期中）如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：ED＝EF；（2）若AB＝2，，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，求∠EFC的度数．【答案】（1）见解答；（2）2；（3）∠EFC＝120°或30°．【解答】（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），∴EF＝ED，（2）解：如图2中，在Rt△ABC中．AC＝AB＝2，∵EC＝，∴AE＝CE，∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝．（3）解：①当DE与AD的夹角为30°时，点F在BC边上，∠ADE＝30°，则∠CDE＝90°﹣30°＝60°，在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：∠EFC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，②当DE与DC的夹角为30°时，点F在BC的延长线上，∠CDE＝30°，如图3所示：∵∠HCF＝∠DEF＝90°，∠CHF＝∠EHD，∴∠EFC＝∠CDE＝30°，综上所述，∠EFC＝120°或30°．34．（2023•歙县校级模拟）如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）连接MN，△BMN是等边三角形吗？为什么？（2）求证：△AMB≌△ENB；（3）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②如图②，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：△BMN是等边三角形．理由如下：如图①，∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，∴BM＝BN，∠MBN＝60°，∴△BMN是等边三角形；。
八年级下数学压轴题及问题详解
八年级下数学压轴题1．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）2．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF=CD；（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．3．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．4．如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点D作DF⊥DE，与BC延长线交于点F．连接EF，与CD边交于点G，与对角线BD交于点H．（1）若BF=BD=，求BE的长；（2）若∠ADE=2∠BFE，求证：FH=HE+HD．5．如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于Q．探究：设A、P两点间的距离为x．（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出函数自变量x的取值围；（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置．并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由．6．Rt△ABC与Rt△FED是两块全等的含30°、60°角的三角板，按如图（一）所示拼在一起，CB与DE重合．（1）求证：四边形ABFC为平行四边形；（2）取BC中点O，将△ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图（二）中△A′B′C′位置，直线B'C'与AB、CF分别相交于P、Q两点，猜想OQ、OP长度的大小关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，指出当旋转角至少为多少度时，四边形PCQB为菱形？（不要求证明）7．如图，在正方形ABCD中，点F在CD边上，射线AF交BD于点E，交BC的延长线于点G．（1）求证：△ADE≌△CDE；（2）过点C作CH⊥CE，交FG于点H，求证：FH=GH；（3）设AD=1，DF=x，试问是否存在x的值，使△ECG为等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．8．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．9．如图，已知▱ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE=AD．（1）求证：△ADG≌△FDM．（2）猜想AB与DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想．10．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE 的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M．（1）求证：∠BFC=∠BEA；（2）求证：AM=BG+GM．11．如图所示，把矩形纸片OABC放入直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x、y 轴的正半轴上，连接AC，且AC=4，（1）求AC所在直线的解析式；（2）将纸片OABC折叠，使点A与点C重合（折痕为EF），求折叠后纸片重叠部分的面积．（3）求EF所在的直线的函数解析式．12．已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E．（1）求点B的坐标；（2）求直线AE的表达式；（3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．（4）若将已知条件“AE平分∠BAO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域．13．如图，直线l1的解析表达式为：y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）求△ADC的面积；（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．14．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x 轴与y轴上，已知OA=6，OB=10．点D为y轴上一点，其坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；（2）①求△OPD的面积S关于t的函数解析式；②如图②，把长方形沿着OP折叠，点B的对应点B′恰好落在AC边上，求点P的坐标．（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、B、C的坐标分别是A（﹣5，1），B（﹣2，4），C（5，4），点D在第一象限．（1）写出D点的坐标；（2）求经过B、D两点的直线的解析式，并求线段BD的长；（3）将平行四边形ABCD先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？并求出平行四边形ABCD与四边A1B1C1D1重叠部分的面积．16．如图，一次函数的图象与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC，（1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限有一点P（a，）；试用含有a的代数式表示四边形ABPO的面积，并求出当△ABP的面积与△ABC的面积相等时a的值；（3）在x轴上，是否存在点M，使△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2018年06月17日梧桐听雨的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共16小题）1．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：AH=AB；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）【解答】解：（1）如图①AH=AB．（2）数量关系成立．如图②，延长CB至E，使BE=DN．∵ABCD是正方形，∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°，在Rt△AEB和Rt△AND中，，∴Rt△AEB≌Rt△AND，∴AE=AN，∠EAB=∠NAD，∵∠DAN+∠BAN=45°，∴∠EAB+∠BAN=45°，∴∠EAN=45°，∴∠EAM=∠NAM=45°，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM．∴S△AEM=S△ANM，EM=MN，∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，∴AB=AH．（3）如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°．分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD，由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD．设AH=x，则MC=x﹣2，NC=x﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2=MC2+NC2∴52=（x﹣2）2+（x﹣3）2（6分）解得x1=6，x2=﹣1．（不符合题意，舍去）∴AH=6．2．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF=CD；（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，且∠BAD=∠BAC=30°，∵△AED是等边三角形，∴AD=AE，∠ADE=60°，∴∠EDB=90°﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，∵ED∥CF，∴∠FCB=∠EDB=30°，∵∠ACB=60°，∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=30°，∴∠ACF=∠BAD=30°，在△ABD和△CAF中，，∴△ABD≌△CAF（ASA），∴AD=CF，∵AD=ED，∴ED=CF，又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=CD．（2）解：△AEF和△ABC的面积比为：1：4；（易知AF=BF，延长EF交AD于H，△AEF的面积=•EF•AH=•CB•AD=••BC•AD，由此即可证明）（3）解：成立．理由如下：∵ED∥FC，∴∠EDB=∠FCB，∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB∴∠AFC=∠BDA，在△ABD和△CAF中，∴△ABD≌△CAF（AAS），∴AD=FC，∵AD=ED，∴ED=CF，又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=DC．3．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，∵∠ADC=90°，∴∠FDC=90°．∴∠B=∠FDC，∵BE=DF，∴△CBE≌△CDF（SAS）．∴CE=CF．（2）证明：如图2，延长AD至F，使DF=BE，连接CF．由（1）知△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF．∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．∵CE=CF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG．∴GE=GF，∴GE=GF=DF+GD=BE+GD．（3）解：如图3，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A=∠B=90°，又∵∠CGA=90°，AB=BC，∴四边形ABCG为正方形．∴AG=BC．…（7分）∵∠DCE=45°，根据（1）（2）可知，ED=BE+DG．…（8分）∴10=4+DG，即DG=6．设AB=x，则AE=x﹣4，AD=x﹣6，在Rt△AED中，∵DE2=AD2+AE2，即102=（x﹣6）2+（x﹣4）2．解这个方程，得：x=12或x=﹣2（舍去）．…（9分）∴AB=12．∴S梯形ABCD=（AD+BC）•AB=×（6+12）×12=108．即梯形ABCD的面积为108．…（10分）4．如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点D作DF⊥DE，与BC延长线交于点F．连接EF，与CD边交于点G，与对角线BD交于点H．（1）若BF=BD=，求BE的长；（2）若∠ADE=2∠BFE，求证：FH=HE+HD．【解答】（1）解：∵四边形ABCD正方形，∴∠BCD=90°，BC=CD，∴Rt△BCD中，BC2+CD2=BD2，即BC2=（）2﹣（BC）2，∴BC=AB=1，∵DF⊥DE，∴∠ADE+∠EDC=90°=∠EDC+∠CDF，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中，∵，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE=CF=BF﹣BC=﹣1，∴BE=AB﹣AE=1﹣（﹣1）=2﹣；（2）证明：在FE上截取一段FI，使得FI=EH，∵△ADE≌△CDF，∴DE=DF，∴△DEF为等腰直角三角形，∴∠DEF=∠DFE=45°=∠DBC，∵∠DHE=∠BHF，∴∠EDH=∠BFH（三角形的角和定理），在△DEH和△DFI中，∵，∴△DEH≌△DFI（SAS），∴DH=DI，又∵∠HDE=∠BFE，∠ADE=2∠BFE，∴∠HDE=∠BFE=∠ADE，∵∠HDE+∠ADE=45°，∴∠HDE=15°，∴∠DHI=∠DEH+∠HDE=60°，即△DHI为等边三角形，∴DH=HI，∴FH=FI+HI=HE+HD．5．如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于Q．探究：设A、P两点间的距离为x．（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出函数自变量x的取值围；（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置．并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由．【解答】解：（1）PQ=PB，（1分）过P点作MN∥BC分别交AB、DC于点M、N，在正方形ABCD中，AC为对角线，∴AM=PM，又∵AB=MN，∴MB=PN，∵∠BPQ=90°，∴∠BPM+∠NPQ=90°；又∵∠MBP+∠BPM=90°，∴∠MBP=∠NPQ，在Rt△MBP≌Rt△NPQ中，∵∴Rt△MBP≌Rt△NPQ，（2分）∴PB=PQ．（2）∵S四边形PBCQ=S△PBC+S△PCQ，∵AP=x，∴AM=x，∴CQ=CD﹣2NQ=1﹣x，又∵S△PBC=BC•BM=•1•（1﹣x）=﹣x，S△PCQ=CQ•PN=（1﹣x）•（1﹣x），=﹣+，∴S四边形PBCQ=﹣x+1．（0≤x≤）．（4分）（3）△PCQ可能成为等腰三角形．①当点P与点A重合时，点Q与点D重合，PQ=QC，此时，x=0．（5分）②当点Q在DC的延长线上，且CP=CQ时，（6分）有：QN=AM=PM=x，CP=﹣x，CN=CP=1﹣x，CQ=QN﹣CN=x﹣（1﹣x）=x﹣1，∴当﹣x=x﹣1时，x=1．（7分）．6．Rt△ABC与Rt△FED是两块全等的含30°、60°角的三角板，按如图（一）所示拼在一起，CB与DE重合．（1）求证：四边形ABFC为平行四边形；（2）取BC中点O，将△ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图（二）中△A′B′C′位置，直线B'C'与AB、CF分别相交于P、Q两点，猜想OQ、OP长度的大小关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，指出当旋转角至少为多少度时，四边形PCQB为菱形？（不要求证明）【解答】（1）证明：∵△ABC≌△FCB，∴AB=CF，AC=BF．∴四边形ABFC为平行四边形．（2）解：OP=OQ，理由如下：∵OC=OB，∠COQ=∠BOP，∠OCQ=∠PBO，∴△COQ≌△BOP．∴OQ=OP．（3）解：90°．理由：∵OP=OQ，OC=OB，∴四边形PCQB为平行四边形，∵BC⊥PQ，∴四边形PCQB为菱形．7．如图，在正方形ABCD中，点F在CD边上，射线AF交BD于点E，交BC的延长线于点G．（1）求证：△ADE≌△CDE；（2）过点C作CH⊥CE，交FG于点H，求证：FH=GH；（3）设AD=1，DF=x，试问是否存在x的值，使△ECG为等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DA=DC，∠1=∠2=45°，DE=DE，∴△ADE≌△CDE．（2）证明：∵△ADE≌△CDE，∴∠3=∠4，∵CH⊥CE，∴∠4+∠5=90°，又∵∠6+∠5=90°，∴∠4=∠6=∠3，∵AD∥BG，∴∠G=∠3，∴∠G=∠6，∴CH=GH，又∵∠4+∠5=∠G+∠7=90°，∴∠5=∠7，∴CH=FH，∴FH=GH．（3）解：存在符合条件的x值此时，∵∠ECG＞90°，要使△ECG为等腰三角形，必须CE=CG，∴∠G=∠8，又∵∠G=∠4，∴∠8=∠4，∴∠9=2∠4=2∠3，∴∠9+∠3=2∠3+∠3=90°，∴∠3=30°，∴x=DF=1×tan30°=．8．在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．【解答】（1）证明：如图1，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，∴∠CEF=∠F．∴CE=CF．（2）解：连接GC、BG，∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=45°，∵∠DCB=90°，DF∥AB，∴∠DFA=45°，∠ECF=90°∴△ECF为等腰直角三角形，∵G为EF中点，∴EG=CG=FG，CG⊥EF，∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC，∴BE=DC，∵∠CEF=∠GCF=45°，∴∠BEG=∠DCG=135°在△BEG与△DCG中，∵，∴△BEG≌△DCG，∴BG=DG，∵CG⊥EF，∴∠DGC+∠DGA=90°，又∵∠DGC=∠BGA，∴∠BGA+∠DGA=90°，∴△DGB为等腰直角三角形，∴∠BDG=45°．（3）解：延长AB、FG交于H，连接HD．∵AD∥GF，AB∥DF，∴四边形AHFD为平行四边形∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°∴△DAF为等腰三角形∴AD=DF，∴CE=CF，∴平行四边形AHFD为菱形∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，∴BH=GF在△BHD与△GFD中，∵，∴△BHD≌△GFD，∴∠BDH=∠GDF∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°9．如图，已知▱ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE=AD．（1）求证：△ADG≌△FDM．（2）猜想AB与DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAF=∠DFA，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠DFA，∴AD=FD，∵DE⊥BC，DH⊥AB，∴∠ADG=∠FDM=90°，在△ADG和△FDM中，，∴△ADG≌△FDM（ASA）．（2）AB=DG+EC．证明：延长GD至点N，使DN=CE，连接AN，∵DE⊥BC，AD∥BC，∴∠ADN=∠DEC=90°，在△ADN和△DEC中，，∴△ADN≌△DEC（SAS），∴∠NAD=∠CDE，AN=DC，∵∠NAG=∠NAD+∠DAG，∠NGA=∠CDE+∠DFA，∴∠NAG=∠NGA，∴AN=GN=DG+CE=DC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∴AB=DG+EC．10．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE 的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M．（1）求证：∠BFC=∠BEA；（2）求证：AM=BG+GM．【解答】证明：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴∠BFC=∠BEA；（2）连接DG，在△ABG和△ADG中，，∴△ABG≌△ADG（SAS），∴BG=DG，∠2=∠3，∵BG⊥AE，∴∠BAE+∠2=90°，∵∠BAD=∠BAE+∠4=90°，∴∠2=∠3=∠4，∵GM⊥CF，∴∠BCF+∠1=90°，又∠BCF+∠BFC=90°，∴∠1=∠BFC=∠2，∴∠1=∠3，在△ADG中，∠DGC=∠3+45°，∴∠DGC也是△CGH的外角，∴D、G、M三点共线，∵∠3=∠4（已证），∴AM=DM，∵DM=DG+GM=BG+GM，∴AM=BG+GM．11．如图所示，把矩形纸片OABC放入直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x、y 轴的正半轴上，连接AC，且AC=4，（1）求AC所在直线的解析式；（2）将纸片OABC折叠，使点A与点C重合（折痕为EF），求折叠后纸片重叠部分的面积．（3）求EF所在的直线的函数解析式．【解答】解：（1）∵=，∴可设OC=x，则OA=2x，在Rt△AOC中，由勾股定理可得OC2+OA2=AC2，∴x2+（2x）2=（4）2，解得x=4（x=﹣4舍去），∴OC=4，OA=8，∴A（8，0），C（0，4），设直线AC解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线AC解析式为y=﹣x+4；（2）由折叠的性质可知AE=CE，设AE=CE=y，则OE=8﹣y，在Rt△OCE中，由勾股定理可得OE2+OC2=CE2，∴（8﹣y）2+42=y2，解得y=5，∴AE=CE=5，∵∠AEF=∠CEF，∠CFE=∠AEF，∴∠CFE=∠CEF，∴CE=CF=5，∴S△CEF=CF•OC=×5×4=10，即重叠部分的面积为10；（3）由（2）可知OE=3，CF=5，∴E（3，0），F（5，4），设直线EF的解析式为y=k′x+b′，∴，解得，∴直线EF的解析式为y=2x﹣6．12．已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E．（1）求点B的坐标；（2）求直线AE的表达式；（3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．（4）若将已知条件“AE平分∠BAO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域．【解答】解：（1）对于y=﹣x+6，当x=0时，y=6；当y=0时，x=8，∴OA=6，OB=8，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB=10，则A（0，6），B（8，0）；（2）过点E作EG⊥AB，垂足为G（如图1所示），∵AE平分∠BAO，EO⊥AO，EG⊥AG，∴EG=OE，在Rt△AOE和Rt△AGE中，，∴Rt△AOE≌Rt△AGE（HL），∴AG=AO，设OE=EG=x，则有BE=8﹣x，BG=AB﹣AG=10﹣6=4，在Rt△BEG中，EG=x，BG=4，BE=8﹣x，根据勾股定理得：x2+42=（8﹣x）2，解得：x=3，∴E（3，0），设直线AE的表达式为y=kx+b（k≠0），将A（0，6），E（3，0）代入y=kx+b得：，解得：，则直线AE的表达式为y=﹣2x+6；（3）延长BF交y轴于点K（如图2所示），∵AE平分∠BAO，∴∠KAF=∠BAF，又BF⊥AE，∴∠AFK=∠AFB=90°，在△AFK和△AFB中，∵，∴△AFK≌△AFB，∴FK=FB，即F为KB的中点，又∵△BOK为直角三角形，∴OF=BK=BF，∴△OFB为等腰三角形，过点F作FH⊥OB，垂足为H（如图2所示），∵OF=BF，FH⊥OB，∴OH=BH=4，∴F点的横坐标为4，设F（4，y），将F（4，y）代入y=﹣2x+6，得：y=﹣2，∴FH=|﹣2|=2，则S△OBF=OB•FH=×8×2=8；（4）在Rt△AOE中，OE=x，OA=6，根据勾股定理得：AE==，又BE=OB﹣OE=8﹣x，S△ABE=AE•BF=BE•AO（等积法），∴BF==（0＜x＜8），又BF=y，则y=（0＜x＜8）．13．如图，直线l1的解析表达式为：y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）求△ADC的面积；（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）由y=﹣3x+3，令y=0，得﹣3x+3=0，∴x=1，∴D（1，0）；（2）设直线l2的解析表达式为y=kx+b，由图象知：x=4，y=0；x=3，，代入表达式y=kx+b，∴，∴，∴直线l2的解析表达式为；（3）由，解得，∴C（2，﹣3），∵AD=3，∴S△ADC=×3×|﹣3|=；（4）△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，△ADC高就是点C到直线AD的距离，即C纵坐标的绝对值=|﹣3|=3，则P到AD距离=3，∴P纵坐标的绝对值=3，点P不是点C，∴点P纵坐标是3，∵y=1.5x﹣6，y=3，∴1.5x﹣6=3x=6，所以P（6，3）．14．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x 轴与y轴上，已知OA=6，OB=10．点D为y轴上一点，其坐标为（0，2），点P从点A 出发以每秒2个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；（2）①求△OPD的面积S关于t的函数解析式；②如图②，把长方形沿着OP折叠，点B的对应点B′恰好落在AC边上，求点P的坐标．（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵OA=6，OB=10，四边形OACB为长方形，∴C（6，10）．设此时直线DP解析式为y=kx+b，把（0，2），C（6，10）分别代入，得，解得则此时直线DP解析式为y=x+2；（2）①当点P在线段AC上时，OD=2，高为6，S=6；当点P在线段BC上时，OD=2，高为6+10﹣2t=16﹣2t，S=×2×（16﹣2t）=﹣2t+16；②设P（m，10），则PB=PB′=m，如图2，∵OB′=OB=10，OA=6，∴AB′==8，∴B′C=10﹣8=2，∵PC=6﹣m，∴m2=22+（6﹣m）2，解得m=则此时点P的坐标是（，10）；（3）存在，理由为：若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，①当BD=BP1=OB﹣OD=10﹣2=8，在Rt△BCP1中，BP1=8，BC=6，根据勾股定理得：CP1==2，∴AP1=10﹣2，即P1（6，10﹣2）；②当BP2=DP2时，此时P2（6，6）；③当DB=DP3=8时，在Rt△DEP3中，DE=6，根据勾股定理得：P3E==2，∴AP3=AE+EP3=2+2，即P3（6，2+2），综上，满足题意的P坐标为（6，6）或（6，2+2）或（6，10﹣2）．15．如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、B、C的坐标分别是A（﹣5，1），B（﹣2，4），C（5，4），点D在第一象限．（1）写出D点的坐标；（2）求经过B、D两点的直线的解析式，并求线段BD的长；（3）将平行四边形ABCD先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？并求出平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积．【解答】解：（1）∵B（﹣2，4），C（5，4），∴BC=5﹣（﹣2）=5+2=7，∵A（﹣5，1），∴点D的横坐标为﹣5+7=2，∴点D的坐标为（2，1）；（2）设直线BD的解析式为y=kx+b，将B（﹣2，4）、D（2，1）代入得：，解得，∴经过B、D两点的直线的解析式为y=﹣x+，过B点作AD的垂线，垂足为E，则BE=4﹣1=3，DE=2﹣（﹣2）=2+2=4，在Rt△BDE中，BD===5；（3）∵▱ABCD向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，∴A1（﹣4，0），B1（﹣1，3），C1（6，3）D1（3，0），∴重叠部分的底边长7﹣1=6，高为3﹣1=2，∴重叠部分的面积S=6×2=12．16．如图，一次函数的图象与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC，（1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限有一点P（a，）；试用含有a的代数式表示四边形ABPO的面积，并求出当△ABP的面积与△ABC的面积相等时a的值；（3）在x轴上，是否存在点M，使△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）分别令y=0和x=0，得一次函数y=x+1的图象与x轴．y轴的交点坐标分别是A（，0），B（0，1），即OA=，OB=1，∴AB==2∵△ABC为等边三角形，∴S△ABC=；（2）如图1，S△AOB=，S△AOP=，S△BOP=|a|•OB=﹣．∴S四边形ABPO=S△AOB+S△BOP=，而S△ABP=S四边形ABPO﹣S△APO，∴当S△ABP=S△ABC时，=，解得a=﹣；（3）如图2，满足条件的点M有4个：M1（﹣，0），M2（﹣2，0），M3（，0），M4（+2，0）．。
八年级下册数学压轴题(含答案)
八年级下册数学压轴题(含答案)四边形AOBC的对角线互相平分，且相等，故为菱形；又因为OC经过翻折后落在AB上，且AC与x轴垂直，故OC垂直于AB，故AO=OC=OB=BC，故AOBC是一个菱形；3)设点P的坐标为(x,y)，则BPC为直角三角形，且BP=PC，又因为BP在y轴下方，故y<0，且BP与BC垂直，故BP的斜率为-2；设BP的解析式为y=-2x+b，且B点坐标为(0,-5)，则有b=-5；又因为BP=PC，故PC的解析式为y=2x+b，且C点坐标为(a,0)，代入得a=5；又因为XXX在BC下方，故y<0，代入得y=-2x-5；代入BP的解析式得x=5/3，代入得y=-25/3；故存在点P(5/3,-25/3)，使△BCP为等腰直角三角形。
题目：在平面直角坐标系中，已知点A(0,0)，B(5,0)，C(0,5√2)，D从A出发沿AC方向以1m/s的速度向C匀速运动，同时点E从B出发沿BA方向以√2m/s的速度向A匀速运动。
当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动。
设点D，E运动的时间是t(0<t≤10)秒。
过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，DF。
1)求BE和CD的长度。
2)试说明，无论t为何值，四边形ADEF都是平行四边形。
3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由。
解法：1)由题意可知，BE=√2t，CD=t，故BE=√2t，CD=t。
2)如图所示，由题意可得，∠C=90°，∠A=45°，故∠B=45°。
又因为EF⊥BC，所以∠EFB=90°，∠FEB=45°，所以BE=EF。
又因为AE=√2t，DE=CD，所以DE=√2t。
因此，四边形ADEF的对角线相等，且相互平分，所以ADEF是平行四边形。
3)如图所示，当EF⊥BC时，由勾股定理可知，DE²=DF²+EF²，即(√2t)²=(t+BE)²+(5√2-BF)²。
八年级下册数学期末压轴题专辑(含解析,)
八年级下册数学期末压轴题专辑（含解析）1.如图，ON 为∠AOB 中的一条射线，点P 在边OA 上，PH ⊥OB 于H ，交ON 于点Q ，PM ∥OB 交ON 于点M, MD ⊥OB 于点D ，QR ∥OB 交MD 于点R ，连结PR 交QM 于点S 。
（1）求证：四边形PQRM 为矩形； （2）若OP=12PR ，试探究∠AOB 与∠BON 的数量关系，并说明理由。
（1）证明：∵PH ⊥OB ，MD ⊥OB ，∴PH ∥MD ，∵PM ∥OB ，QR ∥OB ，∴PM ∥QR ，∴四边形PQRM 是平行四边形， ∵PH ⊥OB ，∴∠PHO=90°，∵PM ∥OB ，∴∠MPQ=∠PHO=90°，∴四边形PQRM 为矩形； （2）∠AOB=3∠BON ．理由如下： ∵四边形PQRM 为矩形，∴PS=SR=SQ=12PR ，∴∠SQR=∠SRQ ， 又∵OP=12PR ，∴OP=PS ，∴∠POS=∠PSO ， ∵QR ∥OB ，∴∠SQR=∠BON ，在△SQR 中，∠PSO=∠SQR+∠SRQ=2∠SQR=2∠BON ，∴∠POS=2∠BON ， ∴∠AOB=∠POS+∠BON=2∠BON+∠BON=3∠BON ，即∠AOB=3∠BON ． 2.如图，矩形OABC 在平面直角坐标系内（O 为坐标原点），点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 的坐标分别为（ ，点E 是BC 的中点，点H 在OA 上，且AH=12，过点H 且平行于y 轴的HG 与EB 交于点G ，现将矩形折叠，使顶点C 落在HG 上，并与HG 上的点D 重合，折痕为EF ，点F 为折痕与y 轴的交点。
（1）求∠CEF 的度数和点D 的坐标； （2）求折痕EF 所在直线的函数表达式；（3）若点P 在直线EF 上，当△PFD 为等腰三角形时，试问满足条件的点P 有几个？请求出点P 的坐标，并写出解答过程。
最新成都八年级下期末数学B卷几何压轴题汇编一(含答案)
最新成都八年级下期末数学B卷几何压轴题汇编一一．解答题（共60小题）1．如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED 和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．（1）将▱ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段，；S矩形AEFG：S▱ABCD＝．（2）平行四边形ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF＝5，EH＝12，求AD的长．（3）如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB＝8，CD＝10，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD、BC的长．2．如图1，矩形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，且点C（6，10），点D（0，2），点P为矩形AC、CB两边上的一个点．（1）当点P与C重合时，求直线DP的函数解析式；（2）如图②，当P在BC边上，将矩形沿着OP折叠，点B对应点B'恰落在AC边上，求此时点P的坐标．（3）是否存在P使△BDP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC的顶点A（10，0）、C（2，4），点D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动．（1）求点B的坐标；（2）若点P运动速度为每秒2个单位长度，点P运动的时间为t秒，当四边形PCDA是平行四边形时，求t的值；（3）当△ODP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．4．分层探究（1）问题提出：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF，解题思路：把△ABE绕点A逆时针旋转度至△ADG，可使AB与AD重合．由∠FDG＝ADG+∠ADC＝180°，则知F、D、G三点共线，从而可证△AFG≌（），从而得EF＝BE+DF，阅读以上内容并填空．（2）类比引申：如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．探究：若∠B、∠D都不是直角，当∠B、∠D满足什么数量关系时，仍有EF＝BE+DF？（3）联想拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，并且∠DAE＝45°．猜想BD、CE、DE的数量关系，并给出理由．5．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．（1）证明平行四边形ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连接BG、CG、DG，如图2所示，①求证：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长．6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），将x轴绕点A逆时针旋转30°得直线l，直线l交y轴于点B，过点B作直线l的垂线交x轴于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）线段AB，BC的中点分别是D，E，点F在x轴上，且以点D，E，C，F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；（3）在平面直角坐标系内是否存在两个点，使以这两点及点A，B为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有这两点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C（不与点O重合）．将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA，OB相交于点D，E．（1）如图1，当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时，求证：OD+OE＝OC；（2）如图2，当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，线段OD，OE与OC之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不需证明．8．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于点C，且△ABC面积为10．（1）求点C的坐标及直线BC的解析式．（2）如图1，设点F为线段AB中点，点G为y轴上一动点，连接FG，以FG为边，点G为直角顶点向右侧作Rt△FGQ，且FG：GQ＝1：2，在G点的运动过程中，当顶点Q落在直线BC上时，求点G 的坐标．（3）如图2，若M为线段BC上一点，且满足S△AMB＝S△AOB，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在△ABC中，AC＝BC＝12，∠ACB＝120°，点D是AB边上一动点，连接CD，以CD为边作等边△CDE．（1）如图1，若∠CDA＝45°，求CD的长．（2）如图2，点D在AB边上移动过程中，连接AE，取AE的中点F，连接CF．①求证：BC⊥CF．②如图3，连接DF，过点D作DG⊥BC于点G，将△CFD沿CF翻折得△CFD′，连接AD′，求出当AD′取最小值时，DG的长．10．如图1，直线y＝﹣2x+b（b为常数）交x轴的正半轴于点A（2，0）．交y轴正半轴于点B．（1）求直线AB的解析式；（2）点C是线段AB中点，点P是x轴上一点，点Q是y轴上一点，若以A、C、P、Q为顶点的四边形恰好是平行四边形，请直接写出点P的坐标；（3）如图2，若点P是x轴负半轴上一点，设点P的横坐标为t，以AP为底作等腰△APM（点M在x 轴下方），过点A作直线l∥PM．过点O作OE⊥AM于E，延长EO交直线l于点F，连接PF、OM，若2∠PFO+∠AFE＝180°，请用含t的代数式表示△PMO的面积．11．在正方形ABCD中，线段EF交对角线AC于点G．（1）如图1，若点E、F分别在AB、CD边上，且AE＝CF，求证：FG＝EG；（2）如图2，若点E在AB边上，点F在BC边的延长线上，且AE＝CF．（1）中结论是否依然成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，连接DG并延长交BC于点H，若BH＝5，BE＝12．求正方形ABCD的面积．12．（1）如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD为BC边上的中线．延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为BC的中点，E、F分别在边AB、AC上，且DE⊥DF，若BE＝2，CF＝5，求EF的长．（3）如图3，四边形ABCD中，∠A＝90°，∠D＝120°，E为AD中点，F、G分别边AB、CD上，且EF⊥EG，若AF＝4，DG＝，求GF长．13．如图1，将矩形OABC放在直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，点A在y轴上，OA＝4，OC＝8．把矩形OABC沿对角线OB所在直线翻折，点C落到点D处，OD交AB于点E．（1）求点E坐标．（2）如图2，过点D作DG∥BC，交OB于点G，交AB于点H，连接CG，试判断四边形BCGD的形状，并说明理由．（3）在（2）的条件下，点M是坐标轴上一点，直线OB上是否存在一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由．14．已知点E，F分别是平行四边形ABCD的边BC，CD上的点，∠EAF＝60°．（1）如图1，若AB＝2，AF＝5，点E与点B，点F与点D分别重合，求平行四边形ABCD的面积；（2）如图2，若AB＝BC，∠B＝∠EAF＝60°，求证：AE＝AF；（3）如图3，若BE＝CE，CF＝3DF，AB＝4，AF＝6，求AE的长度．15．如图1，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B．（1）求△AOB的面积；（2）如图2，直线AC交y轴负半轴于点C，AB＝BC，P为线段AB（不含A，B两点）上一点，过点P 作y轴的平行线交线段AC于点Q，设点P的横坐标为t，线段PQ的长为d，求d与t之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，M为线段CA延长线上一点，且AM＝CQ，在直线AC上方的直线AB上是否存在点N，使△QMN是以QM为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，以B为顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，连接AF与CE相交于点G，连接DG．（1）求证：CE⊥AF；（2）求证：AG+CG＝DG；（3）连接CF，当EG：AG：FG＝1：2：5，且S正方形ABCD＝100时，求DG的长和△BCF的面积．17．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB：y＝﹣x+3与直线CD：y＝kx﹣2相交于点M（4，a），分别交坐标轴于点A、B、C、D，点P是线段CD延长线上的一个点，△PBM的面积为15．（1）求直线CD解析式和点P的坐标；（2）在（1）的条件下，平面直角坐标系内存在点N，使得以点B、N，M、P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标；（3）如图2，当点P为直线CD上的一个动点时，将BP绕点B逆时针旋转90°得到BQ，连接PQ与OQ．点Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成直线的解析式，以及OQ的最小值．18．如图，在矩形ABCO中，OA＝8，OC＝6，D，E分别是AB，BC上一点，AD＝2，CE＝3，OE与CD 相交于点F．（1）求证：OE⊥CD；（2）如图2，点G是CD的中点，延长OG交BC于H，求CH的长．19．如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB＝45°，AB＝3，点D是BC上一点，作DE⊥AD交射线AC于E，DF平分∠ADE交AC于F．（1）求证：AB•CF＝BD•CD；（2）如图2，当∠AED＝75°时，求CF的长；（3）若CD＝2BD，求．20．如图1，▱ABCD在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0）、B（0，4）、C（3，2），点G是对角线AC的中点，过点G的直线分别与边AB、CD交于点E、F，点P是直线EF上的动点．（1）求点D的坐标和S四边形BEFC的值；（2）如图2，当直线EF交x轴于点H（5，0），且S△P AC＝S四边形BEFC时，求点P的坐标；（3）如图3，当直线EF交x轴于点K（3，0）时，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以P、A、Q、C为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．解答题（共30小题）1．如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED 和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．（1）将▱ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段AE，GF；S矩形AEFG：S▱ABCD＝1：2．（2）平行四边形ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF＝5，EH＝12，求AD的长．（3）如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB＝8，CD＝10，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD、BC的长．【解答】解：（1）根据题意得：操作形成的折痕分别是线段AE、GF；由折叠的性质得：△ABE≌△AHE，四边形AHFG≌四边形DCFG，∴△ABE的面积＝△AHE的面积，四边形AHFG的面积＝四边形DCFG的面积，∴S矩形AEFG＝S▱ABCD，∴S矩形AEFG：S▱ABCD＝1：2；故答案为：AE，GF，1：2；（2）∵四边形EFGH是矩形，EF＝5，EH＝12，∠FEH＝90°，∴FH＝＝＝13，由折叠的性质得：DH＝NH，AH＝HM，CF＝FN，∴CF＝AH，∴AD＝DH+AH＝HN+FN＝FH＝13；（3）有以下三种基本折法：①折法1中，如图4所示：由折叠的性质得：AD＝BG，AE＝BE＝AB＝4，CF＝DF＝CD＝5，GM＝CM，∠FMC＝90°，∵四边形EFMB是叠合正方形，∴BM＝FM＝4，∴GM＝CM＝＝＝3，∴AD＝BG＝BM﹣GM＝1，BC＝BM+CM＝7；②折法2中，如图5所示：由折叠的性质得：四边形EMHG的面积＝梯形ABCD的面积，AE＝BE＝AB＝4，DG＝NG，NH＝CH，BM＝FM，MN＝MC，∴GH＝CD＝5，∵四边形EMHG是叠合正方形，∴EM＝GH＝5，正方形EMHG的面积＝52＝25，∵∠B＝90°，∴FM＝BM＝＝3，设AD＝x，则MN＝FM+FN＝3+x，∵梯形ABCD的面积＝（AD+BC）×8＝2×25，∴AD+BC＝，∴BC＝﹣x，∴MC＝BC﹣BM＝﹣x﹣3，∵MN＝MC，∴3+x＝﹣x﹣3，解得：x＝，∴AD＝，BC＝﹣＝．③折法3中，如图6所示，作GM⊥BC于M，则E，G分别为AB，CD的中点，则AH＝AE＝BE＝BF＝4，CG＝CD＝5，正方形的边长EF＝GF＝，GM＝FM＝4，CM＝＝3，∴BC＝BF+FM+CM＝11，FN＝CF＝7，DH＝NH＝8﹣7＝1，∴AD＝5．2．如图1，矩形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，且点C（6，10），点D（0，2），点P为矩形AC、CB两边上的一个点．（1）当点P与C重合时，求直线DP的函数解析式；（2）如图②，当P在BC边上，将矩形沿着OP折叠，点B对应点B'恰落在AC边上，求此时点P的坐标．（3）是否存在P使△BDP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵C（6，10），∴OA＝6，OB＝10，设此时直线DP解析式为y＝kx+b，把D（0，2），C（6，10）分别代入，得，解得，则此时直线DP解析式为y＝x+2；（2）设P（m，10），则PB＝PB′＝m，如题干图2，∵OB′＝OB＝10，OA＝6，∴AB′＝＝8，∴B′C＝10﹣8＝2，∵PC＝6﹣m，∴m2＝22+（6﹣m）2，解得m＝，则此时点P的坐标是（，10）；（3）存在，理由为：若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑，如下图，①当BD＝BP1＝OB﹣OD＝10﹣2＝8，在Rt△BCP1中，BP1＝8，BC＝6，根据勾股定理得：CP1＝＝2，∴AP1＝10﹣2，即P1（6，10﹣2）；②当BP2＝DP2时，此时P2（6，6）；③当DB＝DP3＝8时，在Rt△DEP3中，DE＝6，根据勾股定理得：P3E＝＝2，∴AP3＝AE+EP3＝2+2，即P3（6，2+2），综上，满足题意的P坐标为（6，6）或（6，2+2）或（6，10﹣2）．3．如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC的顶点A（10，0）、C（2，4），点D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动．（1）求点B的坐标；（2）若点P运动速度为每秒2个单位长度，点P运动的时间为t秒，当四边形PCDA是平行四边形时，求t的值；（3）当△ODP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．【解答】解：如图1，过C作CE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA＝BC，OA∥BC，∵A，C的坐标分别为（10，0），（2，4），∴OA＝10，OE＝AF＝2，∴BC＝10，∴B（12，4）；（2）设点P运动t秒时，四边形PCDA是平行四边形，由题意得：PC＝10﹣2t，∵点D是OA的中点，∴OD＝BC＝AD＝OA＝5，∵四边形PCDA是平行四边形，∴PC＝AD，即10﹣2t＝5，∴t＝，∴当t＝秒时，四边形PCDA是平行四边形；（3）如图2，①当PD＝OD＝5时，过P作PE⊥OA于E，则PE＝4，∴DE＝3，∴P1（8，4），当点P与点C重合时，PD＝OD＝5；②当PD＝OP时，过P作PF⊥OA于F，则PF＝4，OF＝，∴P3（，4）；③当PO＝OD＝5时，过P作PG⊥OA于G，则PG＝4，∴OG＝3，∴P2（3，4），综上所述：当△ODP是等腰三角形时，点P的坐标为（8，4），（，4），（3，4），（2，4）．4．分层探究（1）问题提出：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF，解题思路：把△ABE绕点A逆时针旋转90度至△ADG，可使AB与AD重合．由∠FDG ＝ADG+∠ADC＝180°，则知F、D、G三点共线，从而可证△AFG≌△AFE（SAS），从而得EF＝BE+DF，阅读以上内容并填空．（2）类比引申：如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．探究：若∠B、∠D都不是直角，当∠B、∠D满足什么数量关系时，仍有EF＝BE+DF？（3）联想拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，并且∠DAE＝45°．猜想BD、CE、DE的数量关系，并给出理由．【解答】解：（1）∵AB＝AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∴∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠F AG，∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDG＝180°，∴点F、D、G共线，在△AFE和△AFG中，，∴△AFG≌△AFE（SAS），∴EF＝FG，即EF＝BE+DF，故答案为：90，△AFE，SAS；（2）当∠B+∠D＝180°时，EF＝BE+DF，如图2∵AB＝AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，∴∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠F AG，∵∠ADC+∠B＝180°，∴∠FDG＝180°，∴点F、D、G共线，在△AFE和△AFG中，，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG，即EF＝BE+DF，故答案为：∠B+∠D＝180°；（3）猜想：DE2＝BD2+EC2，证明：把△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，连接DE′，如图3，∴△ACE≌△ABE′，∴BE′＝CE，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠CAE＝∠E′AB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，∴E′B2+BD2＝E′D2，又∵∠DAE＝45°，∴∠BAD+∠EAC＝45°，∴∠E′AB+∠BAD＝45°，即∠E′AD＝45°＝∠EAD，在△ADE′和△ADE中，，∴△ADE′≌△ADE（SAS），∴BE′＝DE，∴DE2＝BD2+CE2．5．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．（1）证明平行四边形ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连接BG、CG、DG，如图2所示，①求证：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长．【解答】解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△DGC≌△BGE（SAS）；②∵△DGC≌△BGE，∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；（3）方法一：如图3中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝8，AD＝14，∴BD＝2，∴DM＝BD＝．方法二：过M作MH⊥DF于H，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形，∴∠CEF＝45°，∴∠AEB＝∠CEF＝45°，∴BE＝AB＝8，∴CE＝CF＝14﹣8＝6，∵MH∥CE，EM＝FM，∴CH＝FH＝CF＝3，∴MH＝CE＝3，∴DH＝11，∴DM＝＝．6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），将x轴绕点A逆时针旋转30°得直线l，直线l交y轴于点B，过点B作直线l的垂线交x轴于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）线段AB，BC的中点分别是D，E，点F在x轴上，且以点D，E，C，F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；（3）在平面直角坐标系内是否存在两个点，使以这两点及点A，B为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有这两点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，∵点A的坐标为（﹣2，0），∴OA＝2，由旋转得：∠BAO＝30°，Rt△ABO中，∴OB＝2，AB＝4，∴B（0，2），∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴BC＝，AC＝2BC＝，∴OC＝﹣2＝，∴C（，0），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+2；（2）分两种情况：①如图2，四边形DECF是平行四边形，∵A（﹣2，0），B（0，2），∴AB的中点D（﹣，1），同理得BC的中点E（，1），∵C（，0），∴F（﹣，0）；②如图3，四边形DEFC是平行四边形，同理得：F（2，0）；综上，点F的坐标为（﹣，0）或（2，0）；（3）在平面直角坐标系内存在两个点，使以这两点及点A，B为顶点的四边形是正方形，有两种情况：①如图4，AB为边，存在正方形ABNM和正方形ABPQ，过M作MG⊥x轴于G，∵∠MAB＝90°＝∠MAG+∠BAO＝∠BAO+∠ABO，∴∠ABO＝∠MAG，∵∠AGM＝∠AOB＝90°，AM＝AB，∴△MGA≌△AOB（AAS），∴MG＝AO＝2，AG＝OB＝2，∴M（﹣2﹣2，2），同理得N（﹣2，2+2），P（2，2﹣2），Q（2﹣2，﹣2），②如图5，AB为正方形的对角线，过点P作MN∥x轴交y轴于N，过A作AM⊥MN于M，∵AB＝4，四边形APBQ是正方形，∴AP＝BP＝2，∵∠AMP＝∠BNP＝90°，∠P AM＝∠BPN，∴△AMP≌△PNB（AAS），∴PN＝AM＝ON，设PN＝m，则BN＝2+m，Rt△BPN中，由勾股定理得：PB2＝PN2+BN2，∴（2）2＝m2+（2+m）2，∴（m+1）2＝3，解得：m1＝﹣1，m2＝﹣﹣1（舍），∴P（1﹣，1﹣），同理得：Q（﹣1﹣，1+）；综上，这两点的坐标为（﹣2﹣2，2），（﹣2，2+2）或（2，2﹣2），（2﹣2，﹣2）或（1﹣，1﹣），（﹣1﹣，1+）．7．如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C（不与点O重合）．将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA，OB相交于点D，E．（1）如图1，当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时，求证：OD+OE＝OC；（2）如图2，当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，线段OD，OE与OC之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不需证明．【解答】解：（1）∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝30°，∵CD⊥OA，∴∠ODC＝90°，∴∠OCD＝60°，∴∠OCE＝∠DCE﹣∠OCD＝60°，在Rt△OCD中，OD＝OC•cos30°＝OC，同理：OE＝OC，∴OD+OE＝OC；（2）（1）中结论仍然成立，理由：如图2，过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠FCG＝120°，同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，∴OF+OG＝OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF＝CG，∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，∴∠DCF＝∠ECG，∴△CFD≌△CGE（ASA），∴DF＝EG，∴OF＝OD+DF＝OD+EG，OG＝OE﹣EG，∴OF+OG＝OD+EG+OE﹣EG＝OD+OE，∴OD+OE＝OC；（3）结论为：OE﹣OD＝OC，理由：如图3，过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠FCG＝120°，同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，∴OF+OG＝OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF＝CG，∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，∴∠DCF＝∠ECG，∴△CFD≌△CGE（ASA），∴DF＝EG，∴OF＝DF﹣OD＝EG﹣OD，OG＝OE﹣EG，∴OF+OG＝EG﹣OD+OE﹣EG＝OE﹣OD，∴OE﹣OD＝OC．8．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于点C，且△ABC面积为10．（1）求点C的坐标及直线BC的解析式．（2）如图1，设点F为线段AB中点，点G为y轴上一动点，连接FG，以FG为边，点G为直角顶点向右侧作Rt△FGQ，且FG：GQ＝1：2，在G点的运动过程中，当顶点Q落在直线BC上时，求点G 的坐标．（3）如图2，若M为线段BC上一点，且满足S△AMB＝S△AOB，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（0，4），△ABC面积＝×AC×OB＝×AC×4＝10，解得：AC＝5，故点C（3，0），将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+4…①；（2）设点G（0，m），点F为线段AB中点，则点F（﹣1，2），①当点G在y轴上方时，过点G作x轴的平行线MN，过点F、Q分别作y轴的平行线分别交MN于点M、N，∵∠MGF+∠GFM＝90°，∠MGF+∠NGQ＝90°，∴∠NGQ＝∠GFM，∠GNQ＝∠FMG＝90°，∴△GNQ∽△FMG，∴，即，故：GN＝2m﹣4，QN＝2，故点Q（2m﹣4，m﹣2），将点Q的坐标代入y＝﹣x+4并解得：m＝，故点G的坐标为（0，）；②当点G在y轴下方时，同理可得：点G（0，2）（舍去）；故点G（0，）；（3）设N为线段BC上一点且S△ANB＝S△AOB，则ON∥AB，则直线ON的表达式为：y＝2x…②，联立①②并解得：x＝，故点N（，），∵S△AMB＝S△ANB，∴M为NB的中点，∴M（，），同理直线AM的表达式为：y＝x+，设点E（m，m+），点D（n，0），①当BC是平行四边形的边时，点B向右平移3个单位向下平移4个单位得到C，同样点E（D）向右平移3个单位向下平移4个单位得到D（E），则m+3＝n，m+﹣4＝0或m﹣3＝n，m++4＝0，解得：n＝或n＝﹣；②当BC是平行四边形的对角线时，由中点公式得：m+n＝3，m++4＝0，解得：n＝，故点D的坐标为：（，0）或（﹣，0）或（，0）．9．如图，在△ABC中，AC＝BC＝12，∠ACB＝120°，点D是AB边上一动点，连接CD，以CD为边作等边△CDE．（1）如图1，若∠CDA＝45°，求CD的长．（2）如图2，点D在AB边上移动过程中，连接AE，取AE的中点F，连接CF．①求证：BC⊥CF．②如图3，连接DF，过点D作DG⊥BC于点G，将△CFD沿CF翻折得△CFD′，连接AD′，求出当AD′取最小值时，DG的长．【解答】解：（1）过点C作CH⊥AB于H，∵AC＝BC＝12，∠ACB＝120°，∴∠A＝30°＝∠B，又∵CH⊥AB，∴CH＝AC＝6，∵∠CDA＝45°，∴∠CDH＝∠DCH＝45°，∴CH＝DH＝6，∴CD＝＝＝6；（2）①延长AC至点N，使CN＝AC，连接EN，∵△CDE是等边三角形，∴CD＝CE，∠DCE＝60°，∵∠ACB＝120°，∴∠BCG＝60°＝∠DCE，∴∠DCB＝∠ECG，又∵AC＝BC＝CG，CD＝CE，∴△GCE≌△BCD（SAS），∴∠G＝∠B＝30°，EG＝BD，∵点F是AE的中点，∴AF＝EF，又∵AC＝CG，∴CF∥EG，CF＝EG，∴∠ACF＝∠G＝30°，∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝90°，∴BC⊥CF；②由（2）可知：CF＝EG，EG＝BD，BC⊥CF，∵DG⊥BC，∠B＝30°，∴DG＝BD，CF∥DG，∴DG＝CF，∴四边形CFDG是平行四边形，又∵CF⊥BC，∴四边形CFDG是矩形，∴∠CFD＝90°，∵将△CFD沿CF翻折得△CFD′，∴∠CFD＝∠CFD'＝90°，DF＝D'F，∴∠D'F A＝∠EFD，又∵AF＝EF，∴△AFD'≌△EFD（SAS），∴DE＝AD'，∵△CDE是等边三角形，∴CD＝DE＝AD'，∴当CD⊥AB时，CD有最小值，即AD'有最小值，此时，∠B＝30°，CD⊥AB，∴CD＝BC＝6，BD＝CD＝6，∴DG＝BD＝3．10．如图1，直线y＝﹣2x+b（b为常数）交x轴的正半轴于点A（2，0）．交y轴正半轴于点B．（1）求直线AB的解析式；（2）点C是线段AB中点，点P是x轴上一点，点Q是y轴上一点，若以A、C、P、Q为顶点的四边形恰好是平行四边形，请直接写出点P的坐标；（3）如图2，若点P是x轴负半轴上一点，设点P的横坐标为t，以AP为底作等腰△APM（点M在x 轴下方），过点A作直线l∥PM．过点O作OE⊥AM于E，延长EO交直线l于点F，连接PF、OM，若2∠PFO+∠AFE＝180°，请用含t的代数式表示△PMO的面积．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣2x+b（b为常数）交x轴的正半轴于点A（2，0），∴0＝﹣4+b，∴b＝4，∴直线AB解析式为：y＝﹣2x+4；（2）∵直线y＝﹣2x+4（b为常数）交y轴正半轴于点B，∴点B（0，4），∵点C是线段AB中点，∴点C（1，2），∵点P是x轴上一点，点Q是y轴上一点，∴设点P（x，0），点Q（0，y），当AC为边时，若四边形ACQP是平行四边形时，∴CQ∥AP，CQ＝AP，∴y＝2，∴CQ＝1＝AP，∴点P（1，0），若四边形ACPQ是平行四边形时，∴AP与CQ互相平分，∴，∴x＝﹣1，∴点P（﹣1，0），当AC为对角线时，若四边形APCQ是平行四边形时，∴AC与PQ互相平分，∴，∴x＝3，∴点P（3，0）；综上所述：点P坐标为（1，0）或（﹣1，0）或（3，0）；（3））∵△AMP是等腰三角形，MP＝MA，∴∠MAP＝∠MP A，设∠MAP＝α，∵直线l∥MP，∴∠F AP＝∠MP A＝α，∴∠F AE＝2α，∵FE⊥AM，∴∠FEA＝90°，∴∠AFE＝90°﹣2α，又∵∠NFP+∠PFO+∠AFE＝180°，2∠PFO+∠AFE＝180°，∴∠NFP＝∠PFO＝（180°﹣∠AFE）＝[180°﹣（90°﹣2α）]＝45°+α，又∵∠NFP＝∠FP A+∠F AP，∴45°+α＝∠FP A+α，∴∠FP A＝45°，过点P作PN⊥x轴于点P，交直线l于点N，过点M作MQ⊥x轴于点Q，交直线l于点T，如图2所示，∴∠NP A＝90°，∴∠FPN＝45°，在△NFP和△OFP中，∴△NFP≌△OFP（ASA）∴NP＝OP，∵PN∥MT，MP∥直线l，∴四边形NPMT是平行四边形，∴NP＝MT，又∵∠TAQ＝∠MAQ，AQ＝AQ，∠AQT＝∠AQM，∴PN＝MT＝2MQ＝2QT，∵点P的横坐标为t，点P是x轴负半轴上一点，∴QM＝﹣t，OP＝﹣t，∴△PMO的面积＝×（﹣t）×（﹣t）＝t2．11．在正方形ABCD中，线段EF交对角线AC于点G．（1）如图1，若点E、F分别在AB、CD边上，且AE＝CF，求证：FG＝EG；（2）如图2，若点E在AB边上，点F在BC边的延长线上，且AE＝CF．（1）中结论是否依然成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，连接DG并延长交BC于点H，若BH＝5，BE＝12．求正方形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠EAG＝∠FCG，又∵∠FGC＝∠AGE，AE＝CF，∴△CFG≌△AEG（AAS），∴FG＝EG；（2）（1）中结论依然成立．理由如下：如图2，过点E作EM⊥AB交AC于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB＝45°，∠ABC＝90°，∴∠MAE＝∠AME＝45°，∴AE＝EM，又∵AE＝FC，∴EM＝CF，∵∠AEM＝∠ABC，∴ME∥CF，∴∠MEG＝∠GFC，又∵∠MGE＝∠FGC，∴△MEG≌△CFG（AAS），∴EG＝FG；（3）解：如图3，连接DE，DF，EH，∵正方形ABCD中，∠DAE＝∠DCB＝90°，DC＝AD，∴∠DAE＝∠DCF＝90°，又∵AE＝CF，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴DE＝DF，由（2）知EG＝GF，∴DG⊥EF，∴DH是EF的中垂线，∴EH＝FH，∵BE＝12，BH＝5，∴EH＝＝＝13，∴FH＝13，设AE＝x，则CF＝x，∴AB＝CB＝12+x，∴CH＝7+x，∴FH＝CF+CH＝x+7+x＝2x+7，∴2x+7＝13，∴AB＝15，∴正方形ABCD的面积为225．12．（1）如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD为BC边上的中线．延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是1＜AD＜4．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为BC的中点，E、F分别在边AB、AC上，且DE⊥DF，若BE＝2，CF＝5，求EF的长．（3）如图3，四边形ABCD中，∠A＝90°，∠D＝120°，E为AD中点，F、G分别边AB、CD上，且EF⊥EG，若AF＝4，DG＝，求GF长．【解答】解：（1）如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，∵AD为BC边上的中线，∴BD＝CD，∵∠BDE＝∠ADC，∴△EDB≌△ADC（SAS），∴BE＝AC＝3，△ABE中，AB＝5，∴AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即5﹣3＜AE＜5+3，∴2＜AE＜8，∵AE＝2AD，故答案为：1＜AD＜4；（2）如图2，延长ED至G，使DG＝ED，连接FG，CG，同理得：△BED≌△CGD（SAS），∴CG＝BE＝2，∠B＝∠DCG，∴AB∥CG，∴∠A+∠FCG＝180°，∵∠A＝90°，∴∠FCG＝90°，Rt△FCG中，CF＝5，∴FG＝＝＝，∵ED＝DG，ED⊥DF，∴EF＝FG＝；（3）如图3，延长FE至P，使EP＝FE，连接DP，PG，同理得：△F AE≌△PDE（SAS），∴PD＝AF＝4，∠PDE＝∠A＝90°，∵FE⊥EG，FE＝EP，∴FG＝PG，延长PD，过G作GH⊥PD于H，∵∠EDG＝120°，∠EDH＝90°，∴∠GDH＝30°，∵DG＝2，∴GH＝＝，DH＝GH＝3，∴PG＝＝＝2，∴GF＝PG＝2．13．如图1，将矩形OABC放在直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，点A在y轴上，OA＝4，OC＝8．把矩形OABC沿对角线OB所在直线翻折，点C落到点D处，OD交AB于点E．（1）求点E坐标．（2）如图2，过点D作DG∥BC，交OB于点G，交AB于点H，连接CG，试判断四边形BCGD的形状，并说明理由．（3）在（2）的条件下，点M是坐标轴上一点，直线OB上是否存在一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形OABC是矩形，∴AB＝OC＝8，AB∥OC，∴∠ABO＝∠BOC，由翻折可知，∠BOC＝∠BOD，∴∠EOB＝∠EBO，∴EO＝BE，设AE＝x，则EB＝EO＝8﹣x，在Rt△OAE中，∵∠OAE＝90°，∴OA2+AE2＝OE2，∴42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，∴E（3，4）．（2）如图2中，四边形BCGD是菱形．∵DG∥BC，∴∠DGB＝∠CBG，由翻折的性质可知，∠CBG＝∠DBG，BC＝BD，∴∠DGB＝∠DBG，∴DG＝BD＝BC，∵DG∥BC，∴四边形BCGD是平行四边形，∵BD＝BC，∴四边形BCGD是菱形．（3）当点N与G重合，点M与A重合，四边形DM1ON1是平行四边形，∵DH＝＝，∴EH＝＝＝，∴AH＝3+＝，∴D（，），N1（，），当四边形ODN1M是平行四边形时，N1（，），当四边形ODN2M2是平行四边形时，N2（），当四边形ODM1N3是平行四边形时，N3（（﹣，﹣），当四边形ODM4N4是平行四边形时，N4（﹣，﹣）综上所述，满足条件的点N的坐标为N1（，），N2（，），N3（（﹣，﹣），N4（﹣，﹣）．14．已知点E，F分别是平行四边形ABCD的边BC，CD上的点，∠EAF＝60°．（1）如图1，若AB＝2，AF＝5，点E与点B，点F与点D分别重合，求平行四边形ABCD的面积；（2）如图2，若AB＝BC，∠B＝∠EAF＝60°，求证：AE＝AF；（3）如图3，若BE＝CE，CF＝3DF，AB＝4，AF＝6，求AE的长度．【解答】（1）解：过点B作BH⊥AD于H，如图1所示：在Rt△ABH中，∠BAD＝60°，∴∠ABH＝30°，∵AB＝2，∴AH＝1，BH＝＝＝，∴S▱ABCD＝AD×BH＝AF×BH＝5×＝5；（2）证明：连接AC，如图2所示：∵AB＝BC，∠B＝∠EAF＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AC，∴四边形ABCD是菱形，∴∠ACF＝∠ACB＝60°，∴∠B＝∠ACF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE＝AF；（3）解：延长AE交DC延长线于P，过点F作FG⊥AP于G，如图3所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B＝∠ECP，在△ABE和△PCE中，，∴△ABE≌△PCE（ASA），∴AE＝PE，PC＝AB＝CD＝4，∵CF＝3DF，∴CF＝3，∴PF＝7，在Rt△AFG中，AF＝6，∠EAF＝60°，∴∠AFG＝30°，∴AG＝AF＝3，FG＝＝＝3在Rt△PFG中，由勾股定理得：PG＝＝＝，∴AP＝AG+PG＝3+，∴AE＝PE＝AP＝．15．如图1，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B．（1）求△AOB的面积；（2）如图2，直线AC交y轴负半轴于点C，AB＝BC，P为线段AB（不含A，B两点）上一点，过点P 作y轴的平行线交线段AC于点Q，设点P的横坐标为t，线段PQ的长为d，求d与t之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，M为线段CA延长线上一点，且AM＝CQ，在直线AC上方的直线AB上是否存在点N，使△QMN是以QM为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵y＝﹣x+m交x轴于点A（4，0），∴0＝﹣×4+m，解得m＝3，∴直线AB解析式为y＝﹣x+3，令x＝0，y＝3，B（0，3）；∵A（4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，∵∠AOB＝90°，∴＝＝6；（2）∵OA＝4，OB＝3，∴AB═＝5＝BC，∴OC＝2，∴点C（0，﹣2），设直线AC解析式为y＝kx+n，∴，∴，∴直线AC解析式为y＝x﹣2，∵P在直线y＝﹣x+3上，∴可设点P（t，﹣t+3），∵PQ∥y轴，且点Q在y＝x﹣2上，∴Q（t，t﹣2），∴d＝（﹣t+3）﹣（t﹣2）＝﹣t+5（0＜t＜4）；（3）过点M作MG⊥PQ于G，∴∠QGM＝90°＝∠COA，∵PQ∥y轴，∴∠OCA＝∠GQM，∵CQ＝AM，∴AC＝QM，在△OAC与△GMQ中，，∴△OAC≌△GMQ（AAS），∴QG＝OC＝2，GM＝OA＝4，过点N作NH⊥PQ于H，过点M作MR⊥NH于点R，∴∠MGH＝∠RHG＝∠MRH＝90°，∴四边形GHRM是矩形，∴HR＝GM＝4，可设GH＝RM＝k，∵△MNQ是等腰直角三角形，∴∠QNM＝90°，NQ＝NM，∴∠HNQ+∠HQN＝90°，∠HNQ+∠RNM＝90°，∴∠RNM＝∠HQN，∴△HNQ≌△RMN（AAS），∴HN＝RM＝k，NR＝QH＝2+k，∵HR＝HN+NR，∴k+2+k＝4，∴k＝1，∴GH＝NH＝RM＝1，∴HQ＝3，∵Q（t，t﹣2），∴N（t+1，t﹣2+3）即N（t+1，t+1），∵N在直线AB：y＝﹣x+3上，∴t+1＝﹣（t+1）+3，∴t＝1，∴P（1，），N（2，）．16．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，以B为顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，连接AF与CE相交于点G，连接DG．（1）求证：CE⊥AF；（2）求证：AG+CG＝DG；（3）连接CF，当EG：AG：FG＝1：2：5，且S正方形ABCD＝100时，求DG的长和△BCF的面积．【解答】（1）证明：设AF交BE于J．∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∵△EBF是等腰直角三角形，∴BE＝BF，∠EBF＝∠ABC＝90°，∴∠FBA＝∠EBC，∴△FBA≌△EBC（SAS），∴∠AFB＝∠BEC，∵∠FJB＝∠EJG，∴∠EGJ＝∠FBJ＝90°，∴CE⊥AF．（2）证明：如图，过点D作DM⊥GA的延长线于M，过点D作DN⊥CG于N．∵∠M＝∠MGN＝∠DNG＝90°，∴四边形DMGN是矩形，∴∠DMN＝∠ADC＝90°，∴∠ADM＝∠CDN，∵∠M＝∠DNC＝90°，DA＝DC，∴△DMA≌△DNC（AAS），∴DM＝DN，AM＝CN，∴四边形DMGN是正方形，∴GM＝GN＝DM＝DN，。
八年级数学下册专题11一次函数几何压轴训练(原卷版)
专题11 一次函数几何压轴训练1．（2023秋•东阳市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点B，A，直线OC⊥AB，垂足为点C，D为线段OA上一点（不与端点重合），过点D 作直线l∥x轴，交直线AB于点E，交直线OC点F．（1）求线段OC的长；（2）当DE＝EF时，求点D的坐标；（3）若直线l过点C，点M为线段OC上一点，N为直线l上的点，已知OM＝CN，连结AN，AM，求线段AN+AM的最小值．2．（2023秋•和平县期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，直线AB：y＝kx+与直线AC：y＝﹣2x+b交于点A，两直线与x轴分别交于点B（﹣3，0）和C （2，0）．（1）求直线AB和AC的表达式．（2）点P是y轴上一点，当P A+PC最小时，求点P的坐标．（3）如图2，点D为线段BC上一动点，将△ABD沿直线AD翻折得到△ADE，线段AE 交x轴于点F，若△DEF为直角三角形，求点D坐标．3．（2023秋•槐荫区期末）如图，直线和直线l2与x轴分别相交于A，B两点，且两直线相交于点C，直线l2与y轴相交于点D（0，﹣4），OA＝2OB．（1）求出直线l2的函数表达式；（2）E是x轴上一点，若S△ABC＝2S△BCE，求点E的坐标；（3）若F是直线l1上方且位于y轴上一点，∠ACF＝2∠CAO，判断△BCF的形状并说明理由．4．（2023秋•巴中期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，直线BC与x轴负半轴交于点C，且CO＝2AO．（1）求线段AC的长；（2）动点P从点C出发沿射线CA以每秒1个单位的速度运动，连接BP，设点P的运动时间为t（秒），△BPO的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，在线段BC上是否存在点D，连接DP，使得△BDP是以BP为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．5．（2023秋•金牛区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+b与x轴、y轴分别交于点A、点B，S△AOB＝4，点C（3，m）是直线AB上一点，在直线AB左侧过点C的直线交y轴于点D，交x轴于点E．（1）求m和b的值；（2）当∠ACD＝45°时，求直线CD的解析式；（3）如图2，在（2）的条件下，过C作CM⊥x轴，在直线AC上一点P，直线CD上一点Q，直线CM上一点H，当四边形AHQP为菱形时，求P点的坐标．6．（2023秋•咸阳期末）如图，已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象与x 轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B（0，8）．（1）求该一次函数的表达式；（2）点C为点B上方y轴上的点，在该一次函数的图象上是否存在点P，使得以点P、B、C为顶点的三角形与△OAB全等？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2023秋•历城区期末）如图1，直线AB：y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A（3，0），B两点，点A沿x轴向右平移3个单位得到点D．（1）分别求直线AB和BD的函数表达式．（2）在线段BD上是否存在点E，使△ABE的面积为，若存在，求出点E坐标；若不存在，说明理由．（3）如图2，P为x轴上A点右侧的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当点P运动时，点K的位置是否发生变化？如果不变请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．8．（2023秋•江门期末）如图所示，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a，b满足+（a﹣4）2＝0．（1）a＝，b＝；（2）如图1，若点C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；（3）如图2，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交x轴于点N，当点M在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求出该式子的值．9．（2023秋•简阳市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+8分别与x 轴、y轴交于A、B两点，过点B作BC⊥AB交x轴于点C．（1）求点C的坐标；（2）点D为直线AB上一点，且∠DCA＝∠DAC，求直线CD的解析式；（3）若点Q是x轴上一点，连接BQ，将△ABQ沿着BQ所在直线折叠，当点A落在y 轴上时，求点Q的坐标．10．（2023秋•天桥区期末）如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．（1）请写出点A坐标，点B坐标，直线BC的函数解析式；（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．①若△PQB的面积为，求点Q的坐标；②点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，直接写出P的坐标．11．（2023秋•万州区期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+4的图象与x轴，y轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点．（1）求直线AC的解析式；（2）如图2，若点M是直线AC上的一动点，当S△ABM＝2S△AOC时，求点M的坐标；（3）将直线AB向右平移3个单位长度得到直线l，若点E为平移后直线l上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点F，使以点A、C、E、F为顶点，AE为边的四边形为菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．12．(2023秋•盐都区期末）如图，直线AB：y＝x+b分别与x、y轴交于A，B两点，点A的坐标为（−4，0），过点B的直线交x轴正半轴于点C，且OB：OC＝4：3．（1）求直线BC的函数表达式；（2）在x轴上方是否存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等．若存在，画出△ABD，并求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点P是y轴上的一点，连接CP，将△BCP沿直线CP翻折，当点B的对应点B′恰好落在x轴上时，请直接写出此时直线CP的函数表达式．13．（2023春•阳江期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+5与y轴交于点A，直线l2与x轴、y轴分别交于点B（﹣4，0）和点C，且与直线l1交于点D（2，m）．（1）求直线l2的解析式；（2）若点E为线段BC上一个动点，过点E作EF⊥x轴，垂足为F，且与直线l1交于点G，当EG＝6时，求点G的坐标；（3）若在平面上存在点H，使得以点A，C，D，H为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点H的坐标．14．(2023春•潮阳区期末）如图，直线y＝x﹣3交x轴于A，交y轴于B，（1）求A，B的坐标和AB的长（直接写出答案）；（2）点C是y轴上一点，若AC＝BC，求点C的坐标；（3）点D是x轴上一点，∠BAO＝2∠DBO，求点D的坐标．15．（2023春•武穴市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，直线l2：y＝3x﹣6与x轴交于点D，与l1相交于点C．（1）求点D的坐标；（2）在y轴上一点E，若S△ACE＝S△ACD，求点E的坐标；（3）直线l1上一点P（1，3），平面内一点F，若以A、P、F为顶点的三角形与△APD 全等，求点F的坐标．16．（2023春•淅川县期末）如图，已知直线y＝kx+b经过A（6，0）、B（0，3）两点．（1）求直线y＝kx+b的解析式；（2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上．①求点C和点D的坐标；②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q坐标，否则说明理由．17．（2023春•拜泉县期末）综合与探究．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两条邻边分别在x轴、y轴上，对角线，点B的坐标为B（2a，a）．（1）A，C．（2）把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D，F，E，求直线DE的解析式（问题（1）中的结论可直接使用）．（3）若点M在y轴上，则在平面直角坐标系中的x轴及x轴的下方，是否存在这样的点N，使得以A、D、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2023春•唐县期末）（1）基本图形的认识：如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连结AE、DE，求证：△AED是等腰直角三角形．（2）基本图形的构造：如图2，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），连结AB，过点A在第一象限内作AB的垂线，并在垂线截取AC＝AB，求点C的坐标；（3）基本图形的应用：如图3，一次函数y＝﹣2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC交x轴于点D，且∠CAB＝45°，求点D的坐标．19．（2023春•新罗区期末）数形结合作为一种数学思想方法，数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”．例如：在我们学习数轴的时候，数轴上任意两点，A表示的数为a，B表示的数为b，则A，B两点的距离可用式子|a﹣b|表示．研一研：如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A（a，0）、点B（0，b），且a、b满足（a﹣6）2+|b﹣4|＝0．（1）直接写出以下点的坐标：A（，0），B（0，）．（2）若点P、点Q分别是y轴正半轴（不与B点重合）、x轴负半轴上的动点，过Q作QC∥AB，连接PQ．已知∠BAO＝34°，请探索∠BPQ与∠PQC之间的数量关系，并说明理由．（3）已知点D（3，2）是线段AB的中点，若点H为y轴上一点，且，求S△AHD＝S△AOB，求点H的坐标．20．（2023春•红安县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+8分别交x轴，y 轴于点A，B，点A（8，0）．直线l2：经过线段AB的中点Q，分别交x轴，y 轴于点C，D．（1）请直接写出k的值；（2）请求出直线l2的解析式；（3）点P（t，0）为x轴上一动点，过点P作PE∥y轴交l1，l2于点E，F；①当EF＝2EP时，求t的值．②连接BC，当∠OBC＝∠ABF时，求t的值．21．（2023春•樊城区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b的图象与x轴，y轴交于A，B；与直线y2＝kx交于P（2，1），且PO＝P A．（1）求点A的坐标；（2）求函数y1，y2的解析式；（3）点D为直线y1＝ax+b上一动点，其横坐标为t（t＜2），DF⊥x轴于点F，交y2＝kx于点E，且DF＝2EF，求点D的坐标；（4）在（3）的条件下，如果点D在第一象限内，过点P的直线y＝mx+n将四边形OBDE 分为两部分，两部分的面积分别设为S1，S2．若≤2，直接写出m的取值范围．22．（2023春•松北区期末）如图，直线y＝x+10交x轴于点A，交y轴于点B，直线y＝kx+b 过点A，交y轴于点C，且C为线段OB的中点．（i）求k、b的值；（2）点P为线段AC延长线上一点，连接PB，设点P的横坐标为t，△P AB的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点D在线段AO的延长线上，连接CD、PD，且，点E在AD上，且∠DPE＝45°，过点C作CF∥PE，交x轴于点F，若AF＝DE，求P点的坐标．23．（2023春•碑林区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+b与x轴，y轴分别交于A、B两点．直线交线段AB于点C（1，m），且S△AOB＝2S△BOC．（1）求b的值；（2）若点D是y轴上一点，点E为平面上一点，是否存在以点A，B，D，E为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点E的坐标，若不存在请说明理由．24．（2023春•台江区期末）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为直线AB上的一个动点，过点P分别作PF⊥x轴于点F，PE⊥y轴于点E，如图所示．（1）若点P为线段AB的中点，求OP的长；（2）若四边形PEOF为正方形时，求点P的坐标；（3）点P在AB上运动过程中，EF的长是否有最小值，若有，求出这个最小值；若没有，请说明理由．25．（2023春•舞阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于点D、C，直线AB与y轴交于点B（0，﹣3），与直线CD交于点A（m，3）．（1）求直线AB的解析式；（2）点E是射线CD上一动点，过点E作EF∥y轴，交直线AB于点F．若以O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标；（3）设P是射线CD上一点，在平面内是否存在点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．26．(2023秋•新都区期末）如图所示，直线l1：y＝x﹣1与y轴交于点A，直线l2：y＝﹣2x ﹣4与x轴交于点B，直线l1与l2交于点C．（1）求点A，C的坐标；（2）点P在直线l1上运动，求出满足条件S△PBC＝S△ABC且异于点A的点P的坐标；（3）点D（2，0）为x轴上一定点，当点Q在直线l1上运动时，请直接写出|DQ﹣BQ|的最大值．27．(2023秋•金华期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线l2平行于y轴，交直线l1于点D，点P是直线l2上一动点（异于点D），连接P A、PB．（1）直线l1的表达式为，点D的坐标为；（2）设P（2，m），当点P在点D的下方时，求△ABP的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；（3）当△ABP的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，请直接写出点C 的坐标．28．(2023秋•新都区校级期末）如图，已知直线y＝x﹣2分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线OG：y＝kx（k＜0）交AB于点D．（1）求A，B两点的坐标；（2）如图1，点E是线段OB的中点，连接AE，点F是射线OG上一点，当OG⊥AE，且OF＝AE时，在x轴上找一点P，当PE+PD的值最小时，求出△APE的面积；（3）如图2，若k＝﹣2，过B点BC∥OG，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使∠OBM+∠OBC＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．29．(2023春•巴中期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+10与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一直线交x轴正半轴于点C，且△ABC面积为60．（1）求点C的坐标及直线BC的表达式；（2）若M为线段BC上一点，直线AM把△ABC的面积分成两部分，这两部分的面积之比为1：2，求M的坐标；（3）当△ABM的面积为20时，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．30．(2023春•湘潭县期末）如图，长方形OABC，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝10，OC＝6，在AB上取一点M使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点．（1）求B'点的坐标；（2）求折痕CM所在直线的表达式；（3）求折痕CM上是否存在一点P，使PO+PB'最小？若存在，请求出最小值，若不存在，请说出理由．。
初中数学八下期末考试几何综合压轴题
八下期末考试几何综合压轴题1、如图，已知△ABC 是等边三角形，AB ＝8，M 为AC 中点，D 为BC 边上一动点，将AD 绕点A 逆时针旋转60°得到AE ，连接CE 、DE 、ME ．（1）求证：CD ＋CE ＝CA ；（2）求出点M 到CE 所在直线距离；（3）当ME ＝72时，求CE 的值．2、在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 为AB 中点，点E 是AC 上一点．连接DE ，过D 作DF ⊥DE 交BC 点于F ，连接EF ．（1）如图1，EF 与CD 相交于点G ：①来证：AE ＝CF ；②当AD ＝CE ，AC ＝6时，求DG ；（2）如图2，点M 为BC 上一点，且∠CME ＝2∠ADE ，AE ＝2，CE ＝5，求EM 的长．3、如图，AC为▱ABCD的对角线，∠BAC＝90°，CE平分∠ACB，F为射线BC上一点．（1）如图1，F在BC延长线上，连接AF与CD交于点G，若AC＝8，CD＝6；①当G为CD中点时，求证：CF＝BC；②当CF＝CA时，求CG长度；（2）如图2，F在线段BC上，连接AF与CE交点于H，若∠D＝3∠ACE，FA＝FC，试探究AD，AC，AH三条线段之间的数量关系，并说明理由．4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，M为AB中点，D为射线AB上一动点，在CD右侧作等边△CDE，直线DE与直线CB交于点F．（1）如图1，当点D与点M重合时，求证：CE＝BE；（2）如图2，当点D在线段AM上（不包括端点A，M），CE＝BE是否仍然成立，请说明理由；（3）点D在射线AB运动过程中，当△BEF为等腰三角形时，请直接写出∠ABE的度数．5、已知点E是正方形ABCD的边CD上的动点，连接AE，过点A作AF⊥AE，交CB 的延长线于点F．（1）如图1，求证：FB＝ED；（2）点G为正方形ABCD的对角线BD上一点，连接AG，GC，GF，且GC＝GF．①如图2，求∠GFA的度数；②如图3，过点G作MH//AE，分别交AF，AB，DC于点M，N，H．若AB＝3，BF＝1，求MH的长．6、已知在 ABC中，∠ECF的两边与 ABC的边AB从左至右依次交于点E，F，且∠ECF＝12∠ACB．（1）如图1，若AC＝BC，∠ACB＝90°，将△ACE绕点C逆时针旋转90°后，得到 BCG，连接FG．求证： ECF≌ GCF；（2）如图2，若AC＝BC，∠ACB＝120°，BF＝3，AE＝2，求线段EF的长；（3）如图3，若∠ACB＝90°，AC＝25，BC＝5，设AE＝y，BF＝x（0＜x＜1），请用含x的代数式表示y（直接写出结果，不必写解答过程）．7、如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB上和AD的延长线上，且BE＝DF，连接EF、CE、CF，G为EF的中点，连接BG．（1）若CE＝2，求FE的长；（2）连接AC，求证：BG垂直平分AC；（3）如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB上和AD的延长线上，且BE＝DF，连接EF，G为EF的中点，连接BG、CG，过F作FH//DC交CB的延长线于H，那么（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明，若不成立，请说明理由．8、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝BO＝12，将矩形ABCD 翻折，使得B与D重合，A的对应点为A ，折痕为EF，连接B A ，DF．（1）求证：四边形BFDE是菱形；（2）若M，N为矩形边上的两个动点，且运动过程中，始终保持∠MON＝60°不变，请回答下列两个问题：①如图2，当点M在边BC上，点N在边CD上，ON与ED交于点G，请猜想EO、EM、EG三条线段的数量关系，并说明理由；②如图3，若M，N都在BC边上，将△ONM沿ON所在直线翻折至 ONP，取线段CD 的中点Q，连接PQ，则当PQ最短时，求PM的长．9、在学习了图形的旋转知识后，某数学兴趣小组对教材中有关图形旋转的问题进行了进一步探究．（1）问题梳理，问题呈现：如图1，点D 在等边A B C 的边B C 上，过点C 画A B 的平行线l ，在l 上取C E B D ，连接A E ，则在图1中会产生一对旋转图形．请结合问题中的条件，证明：A B D A C E △≌△；（2）初步尝试：如图2，在A B C 中，A B A C ，点D 在B C 边上，且B D D C ，将A B D ♀沿某条直线翻折，使得A B 与A C 重合，点D 与B C 边上点F 重合，再将A C F 沿A C 所在直线翻折，得到A C E ，则在图2中会产生一对旋转图形．若30B A C ，6A D ，连接D E ，求A D E 的面积；（3）深入探究：如图3，在A B C 中，60A C B ，75B A C ，6A C ，点D 是边B C 上的任意一点，连接A D ，将线段A D 绕点A 按逆时针方向旋转75°，得到线段A E ，连接C E ，求线段C E 长度的最小值．10、如图1，四边形A B C D 是正方形，点E 在边A B 上任意一点（点E 不与点A ，点B 重合），点F 在A D 的延长线上，B E D F ．（1）求证：C E C F ；（2）如图2，作点D 关于C F 的对称点G ，连接B G 、C G 、D G ，D G 与C F 交于点P ，B G 与C F 交于点H ．与C E 交于点Q ．①若20B C E ，求C H B 度数；②用等式表示线段C D ，G H ，B H 之间的数量关系，并说明理由．。
八年级下压轴 50题(含答案及解析)
29．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E．
（1）求证：∠BFC＝∠BEA；
（2）求证：AM＝BG+GM．
9．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点M．点G是线段CE上一点，且CO＝CG．
（1）若OF＝4，求FG的长；
（2）求证：BF＝OG+CF．
10．（1）如图①，两个正方形的边长均为3，求三角形DBF的面积．
①当t＝秒时，以A、P、E、D、为顶点可以构成平行四边形．
②在P点运动过程中，是否存在以B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线y＝﹣ x+b过点C．
13．如图，菱形ABCD中，点E、M在AD上，且CD＝CM，点F为AB上的点，且∠ECF＝ ∠B．
（1）若菱形ABCD的周长为8，且∠D＝67.5°，求△MCD的面积；
（2）求证：BF＝EF﹣EM．
14．如图1，矩形OABC摆放在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝3，OC＝2，过点A的直线交矩形OABC的边BC于点P，且点P不与点B、C重合，过点P作∠CPD＝∠APB，PD交x轴于点D，交y轴于点E．
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初二下期末几何压轴题及解析-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初二下期末几何及解析1、以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，连接EB、FD，交点为G．（1）当四边形ABCD为正方形时（如图1），E B和FD的数量关系是_____________；（2）当四边形ABCD为矩形时（如图2），EB和FD具有怎样的数量关系?请加以证明；（3）四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD是否发生变化?如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD的度数．难度一般：证全等即可（第三问，图1中就能看出是45°。
）解（1）EB=FD 。
（2）EB=FD。
证：∵△AFB为等边三角形,∴AF=AB，∠FAB=60°∵△ADE为等边三角形，∴AD=AE，∠EAD=60°,∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD即∠FAD=∠BAE,∴△FAD≌△BAE,∴EB=FD（3）解：∵△ADE为等边三角形，∴∠AED=∠EDA=60°∵△FAD≌△BAE，∴∠AEB=∠ADF设∠AEB为x°，则∠ADF也为x°于是有∠BED为（60-x）°，∠EDF为（60+x）°∴∠EGD=180°-∠BED-∠EDF=180°-（60-x）°-（60+x）°=60°2、已知：如图，在□ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AF=AD，求证：四边形ABFC是矩形．简单题证明：（1）如图1．FAB CDE4321EDCBAF在△ABE 和△FCE 中，∠1=∠2， ∠3=∠4，BE =CE ， ∴△ABE ≌△FCE ．（2）∵△ABE ≌△FCE ，∴AB =FC ． ∵AB ∥FC ，∴四边形ABFC 是平行四边形． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ． ∵AF =AD ，∴AF =BC ．∴四边形ABFC 是矩形．3、已知：△ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠B =90°，AB =BC =1．（1）要在这张纸板上剪出一个正方形，使这个正方形的四个顶点都在△ABC 的边上．小林设计出了一种剪法，如图1所示．请你再设计出一种不同于图1的剪法，并在图2中画出来．（2）若按照小林设计的图1所示的剪法来进行裁剪，记图1为第一次裁剪，得到1个正方形，将它的面积记为1S ，则1S =___________；余下的2个三角形中还按照小林设计的剪法进行第二次裁剪（如图3），得到2个新的正方形，将此次所得2个正方形的面积的和．记为2S ，则2S =___________；在余下的4个三角形中再按照小林设计的的剪法进行第三次裁剪（如图4），得到4个新的正方形，将此次所得4个正方形的面积的和．记为3S ；按照同样的方法继续操作下去……，第n 次裁剪得到_________个新的正方形，它们的面积的和．n S =______________．（题外题：把你剪出的正方形的面积与图1中的正方形面积进行比较。
）图1EFA BCD 图2ABC图3图4B图2CBA本题相当于中考12题的简单题 解：（1）如图2； -------------1分（2）14，18，12n -，112n +． ----------6分4、已知：如图，平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的边长为4，它的顶点A 在x 轴的正半轴上运动，顶点D 在y 轴的正半轴上运动（点A ，D 都不与原点重合），顶点B ，C 都在第一象限，且对角线AC ，BD 相交于点P ，连接OP ． （1）当OA =OD 时，点D 的坐标为______________， ∠POA =__________°；（2）当OA <OD 时，求证：OP 平分∠DOA ； （3）设点P 到y 轴的距离为d ，则在点A ，D 运动的过程中，d 的取值范围是________________．（第二问：如果点P 到OP “所平分的角”的两边的距离相等，即可。
）（第二问的题外题：当OA ＞OD 时，求证：OP 平分∠DOA ；） 解：（1）(0,，45；证明：（2）过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ∵四边形ABCD 是正方形， ∴PD =PA ，∠DPA =90°． ∵PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ， ∴∠PMO =∠PNO =∠PND =90°．∵∠NOM =90°，∴四边形NOMP 中，∠NPM =90°．∴∠∵∠1=∠DPA －∠NPA ，∠2=∠NPM －∠NPA ，∴∠1=∠2． 在△DPN 和△APM 中， ∠PND =∠PMA ，∠1=∠2，PD =PA ， ∴△DPN ≌△APM ． ∴PN =PM ． ∴OP 平分∠DOA ．（3）2d <≤ -5、已知：如图，平面直角坐标系xOy 中，矩形顶点A ，C 的坐标分别为（4,0），（0,3）．将△翻折，得到△DCA ，且DA 交CB 于点E ． （1）求证：EC =EA ； （2）求点E 的坐标；（3）连接DB ，请直接写出．．．．四边形DCAB 的周长和面积．（第二问，有坐标，用代数法勾股定理可得CE=AE 的长）（第三问的证明：过D 做DM ⊥AC 于M ，过B 做BN ⊥CA 于N ，则由相似可得，DM=BN=梯形的高（能求出具体数），CM=AN （具体数）还看得DB=MN （具体数）这样即可求出周长，有可求出面积。
）证明：（1）如图1．∵△OCA 沿直线CA 翻折得到△DCA ， ∴△OCA ≌△DCA ． ∴∠1=∠2． ∵四边形OABC 是矩形，∴OA ∥CB ． ∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴EC =EA ． 解：（2）设CE = AE =x ．∵点A ，C 的坐标分别为（4,0），（0,3），∴OA =4，OC =3． ∵四边形OABC 是矩形，∴CB =OA =4，AB =OC =3，∠B =90°． 在Rt △EBA 中，222EA EB BA =+， ∴222(4)3x x =-+．解得 258x =． ∴点E 的坐标为(25,38)． （3）625，19225． 6、已知：△ABC 的两条高BD ，CE 交于点F ，点M ，N 分别是AF ，BC 的中点，连接ED ，MN ．（1）在图1中证明MN 垂直平分ED ；（2）若∠EBD =∠DCE =45°（如图2），判断以M ，E ，N ，D 为顶点的四边形的形状，并证明你的结论．第一问，连接EM ，EN ，DM ，DN ，利用三角形斜边中线等于斜边一半得，ME=MD ，NE=ND ，所以点M 、N 都在线段ED 的垂直平分线上。
（有△ADF ≌△BDC ，得AF=BC ，（还得∠MDA=∠NDB ，证直角时用），进而得菱形，再证一直角得正方形，）（1）证明：连接EM ，EN ，DM ，DN ．（如图2） ∵BD ，CE 是△ABC 的高， ∴BD ⊥AC ，CE ⊥AB ．∴∠BDA =∠BDC =∠CEB =∠CEA =90°． ∵在Rt △AEF 中，M 是AF 的中点，∴EM =12AF ． 同理，DM =12AF ，EN =12BC ，DN =12BC ． ∴EM =DM ， EN =DN ．∴点M ，N 在ED 的垂直平分线上．∴MN 垂直平分ED ． （2）判断：四边形MEND 是正方形． 证明：连接EM ，EN ，DM ，DN ．（如图3） ∵∠EBD =∠DCE =45°，而∠BDA =∠CDF =90°， ∴∠BAD =∠ABD =45°，∠DFC =∠DCF =45°．∴AD =BD ，DF =DC ．NMA BCD EFMFE DCBA图24312ABCD EF M图3在△ADF和△BDC中，AD=BD，∠ADF=∠BDC，（Rt∠）DF=DC，∴△ADF≌△BDC．∴AF=BC，∠1=∠2．∵由（1）知DM=12AF=AM，DN=12BC=BN，∴DM=DN，∠1=∠3，∠2=∠4．∴∠3=∠4．∵由（1）知EM=DM，EN=DN，∴DM=DN=EM=EN．∴四边形MEND是菱形．∵∠3+∠MDF=∠ADF=90°，∴∠4+∠MDF=∠NDM=90°．∴四边形MEND是正方形．7、（6分）如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，联结BP、BH。
（1）求证：∠APB＝∠BPH；（2）求证：AP＋HC＝PH；（3）当AP＝1时，求PH的长。
第一问，设∠EPB=∠EBP=m，则∠BPH=90°-m，∠PBC=90°-m，所以∠BPH=∠PBC，又因为∠APB=∠PBC，所以，∠APB=∠BPH。
第二问的题外题：将此题与北京141之东城22和平谷24 放在一起，旋转翻折共同学习；此题中用旋转把△ABP 绕点B 顺时针旋转90°不能到达目的，于是延BP 翻折，翻折后的剩余部分△BQH 与△BCH 也可全等，即可到达目的，还有意外收获：证得∠PBH=45°。
第三问，代数方法的勾股定理。
（1）证明：∵PE ＝BE ，∴∠EPB ＝∠EBP ， 又∵∠EPH ＝∠EBC ＝90°，∴∠EPH －∠EPB ＝∠EBC －∠EBP 。
即∠BPH ＝∠PBC 。
又∵四边形ABCD 为正方形，∴AD ∥BC ， ∴∠APB ＝∠PBC 。
∴∠APB ＝∠BPH 。
（2分） （2）证明：过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q ， 由（1）知，∠APB ＝∠BPH ， 又∵∠A ＝∠BQP ＝90°，BP ＝BP ， ∴△ABP ≅△QBP ，∴AP ＝QP ，BA ＝BQ 。
又∵AB ＝BC ，∴BC ＝BQ 。
又∵∠C ＝∠BQH ＝90°，BH ＝BH ，∴△BCH ≅△BQH ，∴CH ＝QH ，∴AP ＋HC ＝PH 。
（4分）（3）由（2）知，AP ＝PQ ＝1，∴PD ＝3。
设QH ＝HC ＝x ，则DH ＝x -4。
在Rt △PDH 中，222PH DH PD =+，即()()222431x x -+=+，解得4.2=x ，∴PH ＝3.4（6分）8、（6分）如图，在△ABC 中，AC ＞AB ，D 点在AC 上，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连结EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若∠EFC ＝60°，联结GD ，判断△AGD 的形状并证明。