第一型曲面积分
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第一型曲面积分【高等数学PPT课件】
a2 h2
0
思考: 若 是球面
出的上下两部分, 则
dS z
(
0
)
dS z
(
4 a ln a
h
)
被平行平面 z =±h 截
z
h o
y x h
例2. 计算
其中 是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
z
解: 设 1, 2 , 3, 4分别表示 在平面 1
Σ
Σ
Ò x d S
x Σ
Ò d S
Σ
Dxz
一投： 将曲面 向 xoz 面投影，得 Dxz .
二代： f ( x, y, z) : y y( x, z) f ( x, y( x, z), z);
三换：
dS
1
y
2 x
(
x,
z
)
yz2( x, z)
dxdz;
3. 若曲面 ： x x( y, z) 则
f ( x, y, z)dS f [ x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2 dydz.
上的部分, 则 o
原式 =
Σ1 Σ2 Σ3 Σ4
xyz dS
1 x
1y
x yz d S
Σ4
4 : z 1 x y,
(x,
y)
Dxy
:
0
0
y
x
1 1
x
1
1 x
3 x dx y(1 x y) dy
Σ
Σ1
• 线性性质.
第二章第二节第一型曲面积分doc
第18 章 曲面积分第二节 第一类型曲面积分1、 第一类型曲面积分的定义问题：设∑是3R 中一张有面积的曲面，∑上按面密度)(p ρρ=分布着某种物质，问如何求出分布在∑上物质的总质量？沿用以前用过的作法，将∑分成若干小块n S S S ,,,21 ，并在每一小块i S 上任意取定一点i p ，这时小块i S 上的质量)()(i i i S p m σρ≈，n i ,,2,1 =。
于是曲面片∑上的质量就近似地等于)()(1i ini S pσρ∑= 。
当我们把曲面片∑无限细分时，上面的和式的极限就可以定义为展布在曲面片∑上物质的质量M ，即)()(lim1i ini S pM σρ∑==。
以上的实例引导出下面的第一类型曲面积分的定义。
定义18.2 设∑是3R 中一张可求面积的曲面片，f 是定义在∑上的函数,分割T 把∑分成若干更小的曲面片n S S S ,,,21 。
定义分割T 的宽度为},,2,1,max{||||n i diamS T i ==，在每一小片i S 上任意取定一点i p ，如果和数)()(1i i ni S p f σ∑=当0||||→T 时有有限的极限，并且其极限值不依赖于分割及点ip 在iS上的选择，那么称这个极限值为函数f 沿曲面∑的第一型曲面积分，记作σd f ⎰∑，或dSf ⎰⎰∑。
2、 第一类型曲面积分的计算公式由曲面面积元素的表达式dudv r r d v u ||||⨯=σ，或从定义出发，求出右端的极限，便可得出第一型曲面积分的计算公式：（1） 设正则曲面∑有参数向量方程)),(),,(),,((),(v u z v u y v u x v u r r ==，∆∈),(v u ，f 是定义在∑上的连续函数，则σd f ⎰∑dudvr r v u z v u y v u x f v u ||||)),(),,(),,((⨯=⎰⎰∆dudvF EG v u z v u y v u x f ⎰⎰∆-=2)),(),,(),,((；（2） 当曲面∑是由显式D y x y x z ∈=),(),,(ϕ表达时，其中D 是有面积的平面区域，)(1D C ∈ϕ，f 是定义在∑上的连续函数，则有σd f ⎰∑dxdyzx y x y x f D⎰⎰∂∂+∂∂+=22)()(1)),(,,(ϕϕϕ。
第一型曲面积分
|| T || 为分割 T 的细度，即为诸
Si 中的最大直径.
定义1 设 S 是空间中可求面积的曲面,
f 为( x, y, z)
定义在 S 上的函数. 对曲面 S 作分割 T, 它把 S 分成
n 个小曲面块 Si (i 1, 2, L , n), 以 Si 记小曲面块
Si 的面积, 分割 T 的细度
D
其中
E xu2 yu2 zu2 , F xu xv yu yv zuzv , G xv2 yv2 zv2 .
例2 计算
I z dS , 其中 S 为 S
螺旋面(图22-3)的一部分:
z
x ucos v,
S
:
y
u sin
v,
(u,v)
D
,
2
z v,
O
(a, 0, 0)
I f ( x, y, z)dS .
(1)
S
于是, 前述曲面块的质量可由第一型曲面积表示为:
特别地, 当
块 S 的面积.
m ( x, y, z)dS . S
f ( x, y, z) 1 时,曲面积分
dS 就是曲面
S
二、第一型曲面积分的计算
第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.
定理 22.1
z
例1 计算
S z dS , 其中 S
h
是球面 x2 y2 z2 a2 被
平面 z h (0 h a) 所截
O
a
x
y
得的顶部 (图22-1).
图 22 1
解 曲面 S 的方程为 z a2 x2 y2 , 定义域 D 为
圆域 x2 y2 a2 h2 . 由于
1 zx2 zy2
第一型曲面积分(北工大)课件
曲面积分的微分定理
总结词
曲面积分的微分定理是指在进行第一型曲面 积分时，如果被积函数是某个标量场的梯度 函数，那么积分结果等于该标量场在积分区 域上的增量。
详细描述
微分定理的具体形式是：如果被积函数是某 个标量场u的梯度函数 grad u，那么第一型 曲面积分的结果等于该标量场在积分区域上 的增量。这个定理可以用于计算某些物理量 （如力、势能等）在某个区域上的分布情况 。
总结词
圆柱面是三维空间中以直线为轴线，以实数r为半径的曲面。
详细描述
圆柱面的一型曲面积分可以通过将圆柱面分割成若干个小曲面片，然后计算每个小曲面片的面积，最 后求和得到。具体计算过程中，需要利用圆柱面坐标系进行坐标变换，将圆柱面上的点映射到直角坐 标系中，以便进行积分计算。
圆锥面
总结词
圆锥面是三维空间中以点为中心，以直 线为轴线，以实数r为半径的曲面。
05
曲面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分的应用举例
曲面的面积计算
总结词
利用第一型曲面积分计算曲面的面积
详细描述
在几何学中，曲面面积的计算是一个常见的 问题。通过第一型曲面积分，我们可以将曲 面分成若干个小曲面元，然后计算这些小曲 面元的面积，最后求和得到整个曲面的面积
。
流体流速的计算
要点一
总结词
利用第一型曲面积分计算流体在曲面上的流速
参数方程的转换
在某些情况下，曲面可能已经给出了直角坐标方程，但为了 计算方便，我们需要将其转换为参数方程。转换的方法是通 过消去直角坐标方程中的平方项，将其化为参数方程的形式 。
面积元素的确定
面积元素的定义
面积元素是微小的曲面面积，用于计算曲面积分。在第一型曲面积分中，面积 元素与曲面的法向量有关。
4 第一型曲面积分
§4 第一型曲面积分
第一型曲面积分的概念 第一型曲面积分的计算
一 第一型曲面积分的概念
实例
是光滑的, 若曲面 Σ 是光滑的 , 它的面密度为连续
求它的质量. 函数ρ( x , y , z ) , 求它的质量.
所谓曲面光滑即曲 面上各点处都有切 平面, 平面,且当点在曲面 上连续移动时, 上连续移动时,切平 面也连续转动. 面也连续转动.
1. 若 面Σ: 曲
则
Σ
z = z(x, y)
∫∫ f ( x , y , z )dS
=
∫∫
D xy
′x 2 + z′y 2 dxdy; f [ x , y , z ( x , y )] 1 + z
定理: 定理 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 ∑ 上连续 则曲面积分 上连续,
z
Σ
o x Dxy
Σ
y + z = 5 被柱面 x + y = 25 所截得的部分.
2 2
解 积分曲面 Σ：z = 5 − y ,
投影域 ： Dxy = {( x , y ) | x 2 + y 2 ≤ 25}
2 2
与上半球面 z = a2 − x2 − y2 的 解: 锥面 z = x + y 交线为 为上半球面夹于锥面间的部分, 设∑1 为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的 投影域为 Dxy = { ( x, y) x2 + y2 ≤ 1 a2 }, 则 2
I = ∫∫ (x2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ y2 ) dS
∑1
I = ∫∫ (x2 + y2) dS
∑1
= ∫∫
Dx y
(x + y )
第一型曲面积分的概念 第一型曲面积分的计算
一 第一型曲面积分的概念
实例
是光滑的, 若曲面 Σ 是光滑的 , 它的面密度为连续
求它的质量. 函数ρ( x , y , z ) , 求它的质量.
所谓曲面光滑即曲 面上各点处都有切 平面, 平面,且当点在曲面 上连续移动时, 上连续移动时,切平 面也连续转动. 面也连续转动.
1. 若 面Σ: 曲
则
Σ
z = z(x, y)
∫∫ f ( x , y , z )dS
=
∫∫
D xy
′x 2 + z′y 2 dxdy; f [ x , y , z ( x , y )] 1 + z
定理: 定理 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 ∑ 上连续 则曲面积分 上连续,
z
Σ
o x Dxy
Σ
y + z = 5 被柱面 x + y = 25 所截得的部分.
2 2
解 积分曲面 Σ：z = 5 − y ,
投影域 ： Dxy = {( x , y ) | x 2 + y 2 ≤ 25}
2 2
与上半球面 z = a2 − x2 − y2 的 解: 锥面 z = x + y 交线为 为上半球面夹于锥面间的部分, 设∑1 为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的 投影域为 Dxy = { ( x, y) x2 + y2 ≤ 1 a2 }, 则 2
I = ∫∫ (x2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ y2 ) dS
∑1
I = ∫∫ (x2 + y2) dS
∑1
= ∫∫
Dx y
(x + y )
第一型曲面积分计算方法
第一型曲面积分计算方法第一型曲面积分是数学中的一个重要概念，它是对曲面上某个向量场在曲面上的积分。
在实际应用中，第一型曲面积分被广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
本文将介绍第一型曲面积分的定义、计算方法以及应用。
一、第一型曲面积分的定义第一型曲面积分是对曲面上某个向量场在曲面上的积分。
具体来说，设曲面S是一个光滑的有向曲面，其方程为r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))，其中(u,v)∈D是S的参数域，f(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))是一个向量场，则第一型曲面积分的定义为：∬Sf·dS=∬Df(r(u,v))·|ru×rv|dudv其中，f(r(u,v))表示向量场在曲面上某一点的值，|ru×rv|表示曲面元素的面积，dudv表示参数域D上的面积元素。
二、第一型曲面积分的计算方法计算第一型曲面积分的方法有两种：参数化计算法和向量场计算法。
1. 参数化计算法参数化计算法是通过将曲面S的参数域D映射到一个矩形区域上，然后将曲面积分转化为二重积分来计算。
具体来说，设曲面S的参数方程为r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))，其中(u,v)∈D，D是一个矩形区域，则第一型曲面积分可以表示为：∬Sf·dS=∬Df(r(u,v))·|ru×rv|dudv其中，|ru×rv|表示曲面元素的面积，它可以表示为：|ru×rv|=|(∂x/∂u,∂y/∂u,∂z/∂u)×(∂x/∂v,∂y/∂v,∂z/∂v)|dudv然后，将向量场f(r(u,v))表示为f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))=(P(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),Q(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) ,R(x(u,v),y(u,v),z(u,v)))，将|ru×rv|代入上式，得到：∬Sf·dS=∬DP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy其中，P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)分别是向量场f(x,y,z)在x、y、z 方向上的分量。
第一型曲面积分
第一型曲面积分
一、第一型曲面积分的概念
定义1：设S是空间中可求面积的曲面，f(x,y,z)为定义在S上的函数，对曲面S作分割T，它把S分成n个小区面块Si (i=1,2,...,n).以ΔSi记小曲面块Si的面积，分割T的细度||T||=max(Si) (i=1,2,...,n),在Si上任取一点（）（ξi,ζi,ηi）(i=1,2,...,n),若极限lim||T||→b0∑inf(ξi,ηi,ζi)ΔSi存在，且与分割T及(ξi,ηi,ζi) (i=1,2,...,n)的取法无关，则称此极限为f(x,y,z)在S的第一型曲面积分，记作∫∫f(x,y,z)dS .
注：当f(x,y,z)≡1时，曲面积分∫∫dS就是曲面块S的面积。
二、第二型曲面积分的计算
定理22.1：设有光滑曲面，：S：z=z(x,y),(x,y)∈D为S上的连续函数，f(x,y,z)
为S上的连续函数，则：∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(x,y,z(x,y))1+zx2+zy2dxdy .
第一型曲面积分公式。
eg1:计算∫∫dSz ,其中S是球面x2+y2+z2=a2 ,被平面z=1(0<h<a)所截的顶部。
解：曲面S的方程为z=a2−x2−y2 ,定义域D为圆域x2+y2≤a2−h2 ,由于
1+zx2+zy2=aa2−x2−y2
由第一型曲面积分公式得，∫∫dSz=∫∫1a2−x2−y2∗aa2−x2−y2dxdy=∫02πdθ∫0a2−h2aa2−r2rdr
=2πalnah
注意：(1)有哪位定义域为圆域，所以采用参数坐标来做，令x=rcos θ,y=rsinθ ;。
第一型曲面积分的计算
y
d 1 S z x 2 z 2 y d 2 x d ， d xoy d D xy y x
∵ 关 于 xo面 z对 称 ， 而yz2x2， 被 积 函 数 中 x,yy都 z是 y的 奇 函 数 ，
∴ x y y 0 ， ∴ z d ( x d y z S y ) d z x S z S 。 x
x 2 d y2 S z24 1x 2 d y2 S z24D ya z2 1z2
a dyd
a2y2
a 1
h1
4a
0
a2y2dy0a2z2dz
4 a (ar y )a c (1 a sirn z) c h t 4 a a 1 n arh c 2 t aa rh n .ct
20dx x 2
y x D 21 d y 21 dx x2D 2 x 2ydy
00
41(2x2)2 3dx41x3dx
30
30
x 2sint 16 4co4stdt1 5 .
30
33 2
习 题 三 （ P 1 8 7 ）
4 .求 曲 线 A B 的 方 程 ， 使 图 形 O A B D 绕
D
解 ： 抛 物 线 y x 2 把 D 分 为 两 个 子 区 域 ： y
D 1 { x ,y ( )x 1 ,x 2 y 2 } ， 2
ห้องสมุดไป่ตู้
D 2 { x ,y ( )x 1 ,0 y x 2 } 。 D1 y x 2
yx2 yx2, (x,y)D1 -1
设 光 滑 曲 面 的 方 程 为 z z (x ,y )， 在 x面 y 上 的 投 影 区 域 为 D x， y 函 数 z (x ,y )在 D x上 y有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 若 f(x ,y ,z )在 上 连 续 ， 则 有
d 1 S z x 2 z 2 y d 2 x d ， d xoy d D xy y x
∵ 关 于 xo面 z对 称 ， 而yz2x2， 被 积 函 数 中 x,yy都 z是 y的 奇 函 数 ，
∴ x y y 0 ， ∴ z d ( x d y z S y ) d z x S z S 。 x
x 2 d y2 S z24 1x 2 d y2 S z24D ya z2 1z2
a dyd
a2y2
a 1
h1
4a
0
a2y2dy0a2z2dz
4 a (ar y )a c (1 a sirn z) c h t 4 a a 1 n arh c 2 t aa rh n .ct
20dx x 2
y x D 21 d y 21 dx x2D 2 x 2ydy
00
41(2x2)2 3dx41x3dx
30
30
x 2sint 16 4co4stdt1 5 .
30
33 2
习 题 三 （ P 1 8 7 ）
4 .求 曲 线 A B 的 方 程 ， 使 图 形 O A B D 绕
D
解 ： 抛 物 线 y x 2 把 D 分 为 两 个 子 区 域 ： y
D 1 { x ,y ( )x 1 ,x 2 y 2 } ， 2
ห้องสมุดไป่ตู้
D 2 { x ,y ( )x 1 ,0 y x 2 } 。 D1 y x 2
yx2 yx2, (x,y)D1 -1
设 光 滑 曲 面 的 方 程 为 z z (x ,y )， 在 x面 y 上 的 投 影 区 域 为 D x， y 函 数 z (x ,y )在 D x上 y有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 若 f(x ,y ,z )在 上 连 续 ， 则 有
§6.5第一型曲面积分的计算
记d max 1 k n
的直径
k
，k的面积记为Ak .
如果不论将如何分割，点M
k
如何选取，
k
n
当d 0时， f (Mk )Ak有确定的极限，则称 k 1
函数f 在曲面上可积，极限值为f 在上的
第一型曲面积分,即
n
f
( x,
y, z)dA
lim
d 0
k 1
f (k ,k , k )Ak
( x, y) Dx y
A Dxy
Fx2 Fy2 Fz2 dxdy. Fz
例1.求球面 x2 y2 z2 a2在 z b部分的面积(a b 0).
az
S
b
y
x
二. 第一型曲面积分的概念
定义 设是一个分片光滑曲面，函数f 在上有定义.
将任意分割成n个小部分（k k 1,2,L ,n),
'(面积A')
的一个法向量：{0, 0,1}
'的一个法向量：{zx , zy ,1}
| cos |
1
1
z
2 x
z
2 y
x
dAA 11zzx2x2zz2y2yd
o
y
Dxy
P(x, y)
曲面的面积元素
结论： 1.设光滑曲面 的方程为 z z( x, y)，Dxy是在 xy平面上的投影区域， 的面积为A，则
y
x
Dxy
例3.计算 ( x2 y2 z2 )dA,其中是由 x 0, y 0, x2 y2 z2 1 ( x 0, y 0)所围成的闭曲面.
z
2 1
y
x 3
§6.5 第一型曲面积分的计算
一.曲面的面积
第一类曲面积分
性 1
D
xdS x 1 1dxdy 0
O
x
y
2
D
14
3 : x2 y2 1 将投影域选在 xOz面上 z
注 y 1 x2 分成左、右两片
(左右两片投影相同)
对 称 性
xdS xdS xdS
3
31
32
2 xdS 2 x
在曲面上 对面积的曲面积分 或
第一类曲面积分.记为 f ( x, y, z)dS. 即
n
f ( x, y, z)dS
lim
0
i 1
f (i ,i , i )Si
积分曲面 被积函数 曲面元素
如曲面是 闭曲面,则积分为 M ( x, y, z)d S
z
h o
y x h
23
例3. 计算
其中 是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
z
解: 设 1, 2 , 3 , 4 分别表示 在平面 1
上的部分, 则 o
原式 =
1
2
3
4
x yz dS
1 x
1y
x yz d S 4 4 : z 1 x y,
a dxdy Dxy a2 x2 y2
a 2 d 0
a2 h2 rd r
0
a2 r2
2
a
1 ln(a2 2
r2)
a2 h2
0
22
思考: 若 是球面 出的上下两部分, 则
dS z
第一型曲面积分
4
420
例7 计算 xdS , 其中 是圆柱面 x2 y2 1,
平面z x 2及z 0 所围成的空间立体的表面.
解
1
2
3
其中1：z 0 , 2：z x 2,
3： x2 y2 1. 投影域D1：x2 y2 1
D yz
x xu,v,
2) 当曲面 由参数方程
y
y u, v ,
u,v D
z
z
u,
v
,
给出时, dS EG F2 dudv,
其中
F
E xu2 yu2 zu2 , xu xv yu yv zu zv ,
G xv2 yv2 zv2 ,
adxdz
右 z z Dzx a 2 x 2 z 2
Dzx : x2 z2 a2 , z h z
h z0x
h
0
y
x
解2：用参数方程
x a sin cos
y
a
sin
sin
z a cos
(0
2
,0
arccos
h )
a
易得：dS EG F 2dd a2 sindd
1
1
z
2 x
z
2 y
故
1
z
2 x
z
2 y
是曲面法线与
z轴夹角的余弦
的倒数.
解 化作 xy 的二重积分
第一型曲面积分
解1: : z
x2
y2， D :
x2
y2
2x
z 0
dS= 1 zx2 zy2dxdy 2dxdy,
原式 ( xy y x2 y2 x x2 y2 ) 2dxdy o
D1
Dxy
x
2
2
d
2cos ( 2 sin cos 2 sin 2 cos )d
A）
0
y2
0
y
1
y
1
y
(C) 0 dy y f ( x, y)dx. (D) 0 dy y f ( x, y)dx;
o
x
3.I
1
dy
2y
f (x, y)dx
3
dy
3 y f (x, y)dx,则交换积分次序后为( C )
0
0
1
0
4
A. dx
x 2
0
5!! 15 5 31
例3. 计算
其中 是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
z
解: 设 1, 2, 3, 4分别表示 在平面 1
上的部分, 则 o
原式 = 1 2 3 4 xyz dS
1 x
1y
4 xyz d S
4 : z 1 x y,
Dxy
简述为：一代、二换、三投影
代：将曲面的方程代入被积函数
换：换面积元 dS
投影：将曲面投影到坐标面得投影区域
例1
计算
S
1 z
dS
,
其中 S
z h
微积分 第一类曲面积分
2
所围四面体整个边界曲
求 例3、
xyz dS , : z x
y ( 0 z 1 ).
2
求 例4、
xdS , : x
2
y
2
1, z x 2 及 z 0 .
所围成空间立体的表面
四、数量值函数在几何形体上的积分及物理应用综述
1、几何形体上的积分 定积分、第一类曲线积分 重积分、第一类曲面积分
dm
J
dm
y
转动惯量： 引力：
Fx
Ix
J
3
y dm , I
2
J
x dm
2
J
G ( x x 0 ) r
dm , F y
J
G ( y y 0 ) r
3
dm , F z
J
G ( z z 0 ) r
3
dm
例5、求密度为常数
的质心坐标及对
f ( x , y , z ) dS
D yz
f [ x ( y , z ), y , ] 1 x y x dydz z
2 2
求 例1、
( x y z ) dS , : y z 5 被 x
2
y
2
25 所截部分 .
求 例2、
xyzdS , : x 0 , y 0 , z 0 , x y z 1 面.
（2）近似：
第 i 个小曲面质量 m i ( i , i , i ) S i .
所围四面体整个边界曲
求 例3、
xyz dS , : z x
y ( 0 z 1 ).
2
求 例4、
xdS , : x
2
y
2
1, z x 2 及 z 0 .
所围成空间立体的表面
四、数量值函数在几何形体上的积分及物理应用综述
1、几何形体上的积分 定积分、第一类曲线积分 重积分、第一类曲面积分
dm
J
dm
y
转动惯量： 引力：
Fx
Ix
J
3
y dm , I
2
J
x dm
2
J
G ( x x 0 ) r
dm , F y
J
G ( y y 0 ) r
3
dm , F z
J
G ( z z 0 ) r
3
dm
例5、求密度为常数
的质心坐标及对
f ( x , y , z ) dS
D yz
f [ x ( y , z ), y , ] 1 x y x dydz z
2 2
求 例1、
( x y z ) dS , : y z 5 被 x
2
y
2
25 所截部分 .
求 例2、
xyzdS , : x 0 , y 0 , z 0 , x y z 1 面.
（2）近似：
第 i 个小曲面质量 m i ( i , i , i ) S i .
第二讲 第一型曲面积分
2.第一型曲面积分的计算
S
1 yx2 yz2 dxdz
xz
S
1 x y2 xz2 dydz.
yz
如果 z z x , y 在光滑曲面 (S) 上连续，且具有一阶连续
偏导数，则
f ( x, y, z)d S
f [ x, y, z( x, y)]
1
z
2 x
z
2 y
d
x
d
曲面面积微元
dS
rx
ry
dxdy
曲面面积为
S
dS
rx
ry
dxdy
: z z x, y
S
( )
r r x, y x, y, z x, y
rx
1,
0,
z x
,
0,1,
z y
rx
ry
i 1
j 0
k zx
0 1 zy
1
z
2 x
z
2 y
S rx ry d x d y
且每个子曲面的面积为 S k k 1 , 2 , , n
（2）任取 M k S k 做乘积 f M k S k
n
（3）做和 f M k S k k 1
记 d m a x 1 k n
Sk
（4）如果无论怎样分，无论点怎样取，上述和式趋于同一个值，
n
f
S
M
2
2 d
5
(5
cos
)d
125
2.
0
0
例3 求质量均匀分布的半径为R的球面对其直径的转动惯量.
解 上半球面 S1 : z R2 x 2 y 2 dIz 2 x2 y2 dS
S
1 yx2 yz2 dxdz
xz
S
1 x y2 xz2 dydz.
yz
如果 z z x , y 在光滑曲面 (S) 上连续，且具有一阶连续
偏导数，则
f ( x, y, z)d S
f [ x, y, z( x, y)]
1
z
2 x
z
2 y
d
x
d
曲面面积微元
dS
rx
ry
dxdy
曲面面积为
S
dS
rx
ry
dxdy
: z z x, y
S
( )
r r x, y x, y, z x, y
rx
1,
0,
z x
,
0,1,
z y
rx
ry
i 1
j 0
k zx
0 1 zy
1
z
2 x
z
2 y
S rx ry d x d y
且每个子曲面的面积为 S k k 1 , 2 , , n
（2）任取 M k S k 做乘积 f M k S k
n
（3）做和 f M k S k k 1
记 d m a x 1 k n
Sk
（4）如果无论怎样分，无论点怎样取，上述和式趋于同一个值，
n
f
S
M
2
2 d
5
(5
cos
)d
125
2.
0
0
例3 求质量均匀分布的半径为R的球面对其直径的转动惯量.
解 上半球面 S1 : z R2 x 2 y 2 dIz 2 x2 y2 dS
21-2第一类曲面积分
( x u 2 y u 2 z u 2 ) ( x v 2 y v 2 z v 2 ) ( x u x v y u y v z u z v ) 2 , n 与 z 轴夹角的余弦则为
§21.2 第一类曲面积分的计算
cos(n ,z)(x,y)W (u ,v) 1
§21.2 第一类曲面积分的计算
平面 i , 并在 i 上取出一小块 A i , 使得 A i 与 S i 在
x y 平面上的投影都是 i (见下图).
在点 M
附
i
z S:zf(x,y)
Mi
Ai
Si
O
x
D
i
近用切平面 A i 代替小
曲面片S i , 从而当 d
充分小时, 有
n
n
SSi Ai,
表示，其中 x (u ,v ),y (u ,v ),z (u ,v )在 D 上具有连续的 一阶偏导数,且
((u y,,v z)) 2 ((u z,,x v)) 2 ((x u ,,v y)) 20,
§21.2 第一类曲面积分的计算
b
f(x)
4 dx f(x)
a0
11ff2y2((2xx))d
y f(x)
4bf(x)1f2(x)d x1 1 d t
y2 ,
f2(x)y2
1zx 2z2 y
f2(x)f2(x)f2(x)
f2(x)y2
.
不妨设 f(x ) 0 ,x [a ,b ],则
§21.2 第一类曲面积分的计算
b f(x)
S2d x a f(x)
f2(x)f 2(fx 2 )( x)yf22(x)d y
§21.2 第一类曲面积分的计算
cos(n ,z)(x,y)W (u ,v) 1
§21.2 第一类曲面积分的计算
平面 i , 并在 i 上取出一小块 A i , 使得 A i 与 S i 在
x y 平面上的投影都是 i (见下图).
在点 M
附
i
z S:zf(x,y)
Mi
Ai
Si
O
x
D
i
近用切平面 A i 代替小
曲面片S i , 从而当 d
充分小时, 有
n
n
SSi Ai,
表示，其中 x (u ,v ),y (u ,v ),z (u ,v )在 D 上具有连续的 一阶偏导数,且
((u y,,v z)) 2 ((u z,,x v)) 2 ((x u ,,v y)) 20,
§21.2 第一类曲面积分的计算
b
f(x)
4 dx f(x)
a0
11ff2y2((2xx))d
y f(x)
4bf(x)1f2(x)d x1 1 d t
y2 ,
f2(x)y2
1zx 2z2 y
f2(x)f2(x)f2(x)
f2(x)y2
.
不妨设 f(x ) 0 ,x [a ,b ],则
§21.2 第一类曲面积分的计算
b f(x)
S2d x a f(x)
f2(x)f 2(fx 2 )( x)yf22(x)d y
第一型曲面积分
类似地，第一型曲面积分：
dS 投影d
转化为二重积分
重积分的应用一节已给出：当曲面z=z(x,y)向xOy平面上 的投影时有 d 2 2 dS 1 z x z y d cos γ 将曲面积分中的dS用dσ 表示,将z用x,y表示，得
D xy
2 2 f [ x , y , z ( x , y )] 1 z z dx f ( x , y , z ) dS d ; x y
由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知：
xdS ydS zdS xydS yzdS xzdS0,
由坐标的轮换对称性知：
1 2 2 2 x dS y dS z dS 3 ( x y z )dS ,
, ΔS ,…, ΔS ΔS n n
1 2 n
( i ,i , i )Si 取极限:求质量的精确值M= lim 0
其中, 表示 n 小块曲面的直径的最大值
i 1
n
一、第一型曲面积分的定义
设曲面是光滑的, 函数 f (x, y, z)在上有界, 把分成n小块Si (Si同时也表示第i小块曲面的面积), 设点(i , i , i )为Si上任意
是 球 面： x 2 y 2 z 2 R 2 。
解： I ( ax by cz d ) 2 dS
(a x b y c z d 2abxy 2bcyz 2acxz
2 2 2 2 2 2 2
2adx 2bdy 2cdz)dS
称性。 设Σ对称于xoy （或yoz,或zox ）坐标面. 若 f（x,y,z )关于z（或 x，或 y)是奇函 则 f ( x , y , z )dS 0 数 若 f（x,y,z )关于z（或x，或y）是偶函数 ,Σ1是Σ位于对称坐标面一侧的部分，则 f ( x, y, z )dS 2 f ( x, y, z )dS
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二、第一型曲面积分的计算
第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.
定理22.1 设有光滑曲面
S : z z( x , y ) , ( x , y ) D ,
f ( x , y , z ) 为 S 上的连续函数, 则
S
2 f ( x , y , z )dS f ( x , y , z ( x , y )) 1 z x z 2 dxdy . y D
(2)
( 定理证明与曲线积分的定理20.1相仿, 不再详述. )
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例1 计算
S
1 dS , 其中 S z
a
x
z
h
是球面 x 2 y 2 z 2 a 2 被
O
平面 z h (0 h a ) 所截 得的顶部 (图22-1).
2
y
图 22 1
2 2
解 曲面 S 的方程为 z a x y , 定义域 D 为
a 2 h2
0
a r dr 2 2 a r r dr 2 2 a r
2 a 2 h2 0
πa ln(a r )
2
a 2aπ ln . h
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例2 计算
( xy zx yz )dS ,
S
z
其中 S 为圆锥面 z
x2 y2
O
被圆柱面 x 2 y 2 2ax 所割 下的部分 (图22-2). 解 对于圆锥面 z 有
EG F 2 1 u 2 .
然后由公式 (3) 求得:
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I v 1 u dudv vdv
2 0 D
2π
a
0
1 u 2 du
1 u 2 2 2 1 u ln u 1 u 2 2 0
2
a
a 1 a 2 ln a 1 a 2 .
质量分布的密度函数为 ( x , y , z ). 试导出曲面块 S
的重心和转动惯量公式. 2. 试讨论第一型曲面积分的轮换对称性. 3. 给出第一型曲面积分的中值定理, 并加以证明.
4. 模仿定理 20.1 的证明, 写出定理 22.1 的证明.
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r d
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2πa
πa
a
2a 2 r 2 a2 r 2
0
r dr
a2
0
a2 8 4 2 a t dt πa . 2 3 a t
(解法二 ) S 的参数方程为
x a sin cos , y a sin sin , z cos , ( , ) [0, π] [0, 2π].
2
例3 计算曲面积分 J ( y 2 z 2 )dS , 其中 S 是球面
S
x y z a .
2 2 2 2
解 ( 解法一) 记
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S1 : z a x y , x y a ;
2 2 2 2 2 2
S2 : z a 2 x 2 y 2 , x 2 y 2 a 2 .
1 i n
S i 上任取一点 ( i ,i , i ) ( i 1, 2, , n), 若存在极限
||T ||0
lim
f ( , ,
i 1 i i
n
i
)S i I ,
且与分割 T 及 ( i ,i , i ) 的取法 无关, 则称此极限为
f ( x , y , z ) 在 S 上的第一型曲面积分, 记作
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I f ( x , y , z )dS .
S
(1)
于是, 前述曲面块的质量由第一型曲面积分表示为:
m ( x , y f ( x , y , z ) 1 时,曲面积分 dS 就是曲面
S
块 S 的面积.
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§1 第一型曲面积分
第一型曲面积分的典型物理背景是求物 质曲面的质量. 由于定积分、重积分、第一 型曲线积分与第一型曲面积分它们同属 “黎曼积分”，因此具有相同实质的性质.
一、第一型曲面积分的概念
二、第一型曲面积分的计算
一、第一型曲面积分的概念
类似第一型曲线积分, 当质量分布在某一曲面块 S， 且密度函数 ( x , y, z ) 在 S上连续时，曲面块 S 的质 量为极限
π 2 π 2
2 a cos t
0
r 3 dr
(sin t cos t sin t cos t )cos 4 tdt
5
8 2a
π 4 2 0
64 cos tdt 2a 4 . 15
对于由参量形式表示的光滑曲面
x x( u, v ), S : y y( u, v ), ( u, v ) D , z z ( u, v ),
I ( xy zx yz )dS
S
2
D( xy )
xy ( x y ) x 2 y 2 dxdy .
用二重积分的极坐标变换,
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I 2 (sin t cos t sin t cos t )dt 4 2a
π 4 2 π 2
根据计算公式 (2), 并使用极坐标变换, 可得
J ( y 2 z 2 )dS ( y 2 z 2 )dS
S1 S2
2
2
x y a
2
a 0
a(a 2 x 2 )
2
a2 x2 y2
2π 2 2 0
dxdy
2
2a dr
a r cos a2 r 2
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例2 计算 I z dS , 其中 S 为
S
螺旋面(图22-3)的一部分:
x u cos v , S : y u sin v , ( u, v ) D , z v,
z
2
S
O
(a ,0,0)
0 u a , D: 0 v 2π.
由于 S 关于平面 x y 对称, 且在对称点 ( x , y , z ) 与
( y, x , z ) S 处有 f ( x , y, z ) g( y , x , z ), 因此
f ( x, y, z )dS g( x, y, z )dS ,
S 2 2 S
x 2dS z 2dS . 即 x dS y dS . 类似地, 有
按 (3) 式计算如下:
E a 2 cos 2 cos 2 a 2 cos 2 sin 2 a 2 sin 2 a 2 ,
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F a 2 sin cos sin cos a sin cos sin cos 0 ,
2
G a 2 sin 2 sin 2 a 2 sin 2 cos 2 a 2 sin 2 ,
EG F 2 a 4 sin2 a 2 sin ;
J (a 2 sin 2 sin 2 a 2 cos 2 ) a 2sin d d
S S
S
S
由此得到
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2 ( y z )dS ( x 2 y 2 z 2 )dS 3S S
2 2
2 2 2 2 8 4 a dS a S a . 3 S 3 3
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复习思考题
1. 设可求面积的曲面 S 的方程为
z z( x , y ), ( x , y ) D,
D
a
4
0 d 0 (sin cos cos )sin d
2 2 2
2
2a
4
0
2π
1 8 4 2 2 sin cos d πa . 3 3
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(解法三) 令
f ( x , y, z ) x 2 , g( x , y , z ) y 2 , ( x , y, z ) S .
x 2 y 2 a 2 h2 . 由于 圆域
1 zx z y
2 2
a a2 x2 y2
,
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因此由公式 (2) 求得 dS a z a 2 x 2 y 2 dxdy S D
d
0 2π a 2 h2 0
2 a
||T ||0
lim ( i , i , i )S i ,
i 1
n
其中 T { S1 , S2 , ...,Sn } 为曲面块的分割，S i 表
( 示小曲面块 S i 的面积， i ,i , i ) 为 S i 中任意一点，
|| T || 为分割 T 的细度，即为诸 S i 中的最大直径.
解 先求出
x
图 22 3
y
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2 2 2 E x u yu z u
cos 2 v sin 2 v 1,
F xu xv yu yv zu zv u sin v cos v u sin v cos v 0 ,
G xv2 yv2 zv2 u2 sin 2 v u2 cos 2 v 1 1 u2 ;
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在 S 上第一型曲面积分的计算公式则为
f ( x , y, z )dS