三维图形变换.ppt

o
z
x' = ρsin(α+θ) = x*cosθ + z*sinθ
y' = y
z' = ρcos(α+θ) = z*cosθ- x*sinθ
7
3. 旋转变换 －绕坐标轴旋转
(x’, y’, z’)
y
(x, y, z)
绕Z轴旋转 此时，Z坐标不变，X，Y坐 标相应变化。
y
x
θα
o
x
z
x' = ρcos(α+θ) = x*cosθ - y*sinθ
y
步骤(3)：绕y轴旋转，使直线与z轴重合，
此刻P’2的坐标已变为P’’2(a,0,d1)，可知：
α
uuur uur
cos uPu2ur'' • uuuzr d1
x
P2 '' uz
a2 d12
z
uuur uur P2 '' uz
uur uy
•
uuur P2 ''
uur uz
sin
uur uy
•
(a)P
2
´´(a,0,d1)
sin
a
a2 b2
令d2 =(a2+b2+c2)1/2， 则变换矩阵为:
c2
R
y
(α)
=
d1
a
/ d2 0 / d2 0
0 1 0 0
-a / d2 0
d1 / d2 0
0
0
0 1
16
绕任意轴旋转 －绕直线P1P2旋转θ角
步骤(4)：绕z轴旋转θ角，变换矩阵为:
x轴
从y轴到z轴
y轴
从z轴到x轴
z
z轴
从x轴到y轴
x
这样定义旋转方向的原因是为了保 证所用的旋转矩阵是相同的。
10
3. 旋转变换 －绕任意轴旋转
求绕任意直线旋转的矩阵的原则：
任意变换的问题
基本几何变换的组合
饶任意直线旋转的问题
绕坐标轴旋转的组合
11
绕任意轴旋转 －点绕直线P1P2旋转θ
角
4
2. 缩放变换
设一个点沿x，y，z轴缩放的比例分别为Sx，Sy，Sz，则缩放变 换矩阵可表示为：
Sx 0 0 0
S3 (Sx ,
Sy
,
Sz
)
0 0
0
Sy 0 0
0 Sz 0
0
0
1
x ' y ' z ' 1T S3(Tx ,Ty ,Tz ) •x y z 1T
当|Sx|,|Sy|,|Sz|分别大于1时，为物体的放大；小于1时，为缩 小变换；
cos -sin 0
RZ
(
)
sin
0
cos
0
0 1
0
0
0
0
0
0
1
y
θ x
z
17
绕任意轴旋转 －绕直线P1P2旋转θ角
步骤(5)，执行步骤(3)的逆变换，变换矩阵为Ry(-α)； 步骤(6)，执行步骤(2)的逆变换，变换矩阵为Rx(-φ)； 步骤(7)，执行步骤(1)的逆变换，变换矩阵为T3(x1,y1,z1)。
与xoz平面重合。可知：
cos c
b2 c2
z
sin b
b2 c2
1
设d1=(b2+c2)1/2，则 变换矩阵为:
RX
(
)
0 0
0
y
a φ c
P´2(a, b, c) bx
P´´2
0
0 0
c / d1 b / d1 0
b / d1 0
c / d1 0
0 1
15
绕任意轴旋转 －绕直线P1P2旋转θ角
平移变换
点(x,y,z)沿x轴方向平移Tx距离， 沿y轴方向平移Ty距离，沿
z轴方向平移Tz距离， 变成点(x´,y´,z´)，这一变换过程的变
换矩阵为:
1 0 0 Tx
T3
(Tx
,
Ty
,
Tz
)
0 0
0
1 0 0
0 1 0
Ty
Tz 1
Tx Tz Ty
x ' y ' z ' 1T T3(Tx ,Ty ,Tz ) •x y z 1T
13
绕任意轴旋转 －绕直线P1P2旋转θ角
步骤(1)：把点P1(x1,y1,z1)移 至原点，变换矩阵为：
y
P1
P2
z
P'1
1 0 0 x1
T3
(
x1,
y1,
z1
)
0 0
0
1 0 0
0 1 0
y1
z1 1
P'2 x
14
绕任意轴旋转 －绕直线P1P2旋转θ角
步骤(2)：绕x轴旋转，使直线
cos
1T
0
-sin
0
0 sin
10
0 cos
00
0 x
0
y
0 z
1
1
Rz ( )
绕z轴旋转：
cos -sin 0 0 x
x'
y'
z'
1 T
sin
cos
0
0 0 1
0
y
0 z
0
0
0
1
1
9
3. 旋转变换 －旋转的方向
旋转角度为θ时，点的旋转方向：
y
旋转轴 相应的旋转方向
θ
(y,z) α
o
y
z
x' = x
y' = ρcos(α+θ) = y*cosθ- z*sinθ
z' = ρsin(α+θ) = y*sinθ+z*cosθ
6
3. 旋转变换 －绕坐标轴旋转
y
(x’, y’, z’)
(x, y, z)
绕Y轴旋转 此时，Y坐标不变，X，Z坐 标相应变化。
z
x
α
θ
x
综上，绕直线P1P2旋转θ角的变换矩阵为： R(θ)= T3(x1,y1,z1) Rx(-φ) Ry(-α) Rz(θ) Ry(α) Rx(φ) T3(-x1,y1,-z1)
y
P1
P2
y P´2(a, b, c)
a
z
P'1
P'2 x
z
c
bx
来自百度文库
y α
y
P´´2
x
θ
z
x
z
P´´2
12
绕任意轴旋转 －绕直线P1P2旋转θ角
绕直线P1P2旋转θ角的过程可分解为下列步骤：
1. 把点P1 (x1, y1, z1)移至原点； 2. 绕x轴旋转，使直线与xoz平面重合； 3. 绕y轴旋转，使直线与z轴重合； 4. 绕z轴旋转θ角； 5. 执行步骤(3)的逆变换； 6. 执行步骤(2)的逆变换； 7. 执行步骤(1)的逆变换；
当|Sx|,|Sy|,|Sz|皆等于1时，即为恒等变换； 当Sx，Sy，Sz分别小于0时，作相应坐标平面的镜面变换。 5
3. 旋转变换 －绕坐标轴旋转
y
(x’, y’, z’)
绕X轴变换
(x, y, z) 空间上的立体绕X轴旋
转时，立体上各点的X坐标
不变，只是Y、Z坐标发生
相应的变化。
z
x
(y',z')
第6章 三维图形变换
1
6.2 几何变换
6.2.1 二维几何变换 6.2.2 三维几何变换
2
6.2.2 三维几何变换
1. 平移变换 2. 缩放变换 3. 旋转变换 4. 变形变换 5. 对称变换
3
1. 平移变换
每个三维点(x,y,z)对应于一个齐次坐标[x,y,z,1]。所有的三 维变换都可通过乘以一个4×4的变换矩阵来进行。
y' = ρsin (α+θ) = x*sinθ+ y*cosθ
z' = z 8
3. 旋转变换 －绕坐标轴旋转 RX ( )
绕x轴旋转：
1 0 0 0 x
x' y'
z'
1T 0
cos
-sin
0
y
0 sin cos 0 z
0 0
0
1
1
Ry ( )
绕y轴旋转：
x'
y'
z'