三维图形变换.ppt
三维变换及三维观察
x
y
y
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 s
x
y
z
x s s
y s
式中s≥1 时，图形整体缩小；
0<s<1时，图形整体放大；
s<0时，图形关于原点做对称等比变换， 当-1<s<0时，图形关于原点做对称整体放大；
当s<-1，图形关于原点做对称整体缩小。
需要注意的是，由于使用的三维坐标系一般是右手坐标系， 因此当沿坐标轴往坐标原点看过去时，沿逆时针方向旋转 的角为正向旋转角，如图所示，即满足右手法则，大拇指 指向旋转轴的正方向，四指转的方向为旋转正方向。反向 旋转将旋转角取负值即可。
三维基本几何变换——旋转变换
绕Z轴旋转时，三维物体的z坐标
保持不变，而x,y坐标发生变化，
三维基本几何变换——旋转变换
z
y X
图7-3 三维旋转的方向与角度
17
三维基本几何变换——旋转变换
三维旋转变换可以分解为多次的二维旋转变换。分别取x,y, z为旋转轴，绕每个旋转轴的三维旋转可以看成是在另外两
个坐标轴组成的二维平面上进行的二维旋转变换，而将二
维旋转变换组合起来，就可得到总的三维旋转变换。
T
1 RZ
cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) 0 0 0 0
37
三维复合变换
同二维复合变换类似，三维复合变换是指图形作一次以上的变
换。三维复合变换也具有同样的齐次坐标计算形式，变换结果
是每次变换矩阵的乘积。
P' P T P (T1 T2 T3 Tn )
三维图像投影变换——平行投影
三维图像投影变换——平⾏投影（2）平⾏投影【太阳光线产⽣的投影为平⾏投影】如果把透视【投影的中⼼】移⾄【⽆穷远处】，则各【投影线】成为【相互平⾏】的直线，这种投影法称为平⾏投影。
平⾏投影可以根据投影⽅向与投影⾯的夹⾓分成两类：正投影和斜投影1>正投影根据投影⾯与坐标轴的【夹⾓】⼜可分为：三视图和正轴侧图当投影⾯与某⼀坐标轴【垂直】时，得到的投影为三视图，投影⽅向和这个坐标轴的⽅向⼀致；否则得到的投影为正轴侧图。
『1』.三视图1.主视图——>XOZ⾯（也称为V⾯）为投影⾯由投影变换前后三维物体上点到主视图点的关系，变换矩阵为：由三维物体到主视图的投影变换矩阵表⽰为：[x' y' z' 1]=[x y z 1]•T v=[x 0 z 1]2.侧视图——>YOZ⾯（也称为W⾯）为投影⾯由投影变换前后三维物体上点到侧视图点的关系，变换矩阵为：为使侧视图与主视图都画在⼀个平⾯内，就要使W⾯绕Z轴正转90°，即应有⼀个旋转变换，其变换矩阵为：为使主视图和侧视图有⼀定的间距，还要使W⾯沿负X⽅向平移⼀段距离-X o，其变换矩阵为：——>俯视图的投影变换矩阵为：3.俯视图——>XOY⾯（也称为H⾯）为投影⾯由投影变换前后三维物体上点到俯视图点的关系，变换矩阵为：由三维物体到主视图的投影变换矩阵表⽰为：[x' y' z' 1]=[x y z 1]•T h=[x y 0 1]为使俯视图与主视图都画在⼀个平⾯内，就要使H⾯绕X轴顺时针转90°，即应有⼀个旋转变换，其变换矩阵为：为使主视图和俯视图有⼀定的间距，还要使H⾯沿Z⽅向平移⼀段距离-Z o，其变换矩阵为：——>俯视图的投影变换矩阵为：【三视图的计算】a.确定三维物体上【各点】的位置坐标；b.引⼊齐次坐标，求出所做变换相应的【变换矩阵】；c.将所作变换⽤矩阵表⽰，通过【运算】求得三维物体上各点经变换后的点的坐标值；d.由变换后得到的⼆维点【绘出】三维物体投影后的三视图。
图形变换的三种方式课件
实例2
在平面几何中，将三角形ABC沿垂直 方向向上平移2个单位，得到三角形 A'B'C'。
03
旋转变换
旋转变换的定义
01
旋转变换是指通过旋转一定角度 ，将图形从一个位置移动到另一 个位置的变换方式。
02
旋转变换通常以一个点为中心， 将图形围绕该点进行旋转。
旋转变换的性质
旋转变换不改变图形 的大小和形状，只改 变其方向和位置。
在计算机图形学中，旋转变换是常用的图形变换手段之一，用于实现图形的旋转动画、旋转 视图等效果。
04
缩放变换
缩放变换的定义
缩放变换是指通过改变图形中所有点的坐标值，使其在x轴或y轴方向上扩大或缩 小，从而改变图形的大小。
缩放变换可以分为两种类型：均匀缩放和非均匀缩放。均匀缩放是指图形在x轴 和y轴方向上同时扩大或缩小，而非均匀缩放是指图形在x轴和y轴方向上缩放的 比例不同。
旋转变换可以应用于 平面图形和三维图形 。
旋转变换具有旋转不 变性，即旋转前后图 形的性质保持不变。
旋转变换的实例
• 以直角坐标系为例，旋转变换可以用矩阵表示，例如绕原点逆 时针旋转θ角度的变换矩阵为
旋转变换的实例
``` [ cosθ sinθ
sinθ cosθ ]
旋转变换的实例
```
在几何图形中，旋转变换可以用于旋转三角形、矩形、圆形等基本图形，以及旋转复杂的组 合图形。
状和大小变化。
在计算机图形学中，缩放变换被 广泛应用于图像处理和动画制作 等领域，例如调整图片大小、改
变视频的播放速度等。
在建筑设计领域，通过缩放变换 可以模拟建筑物的实际尺寸和比 例，以便更好地进行设计和规划
。
6.2三维图形投影变换技术1
P(x,y,z)
（x y z 1）*
0 1 0
=（x’y’z’1）
0 0 1 0 0 0 0 1
平行投影方向为Y轴 投影面为 平行投影方向为 轴，投影面为o-xz面， 面
则空间中任意一点P(x,y,z)投影到 投影到o-xz面上获 则空间中任意一点 投影到 面上获 得点P’(x’,y’,z’)的关系是 得点 的关系是
•x’=x •y’=y •z’=0 用矩阵表示： 用矩阵表示：
1 0 0 0 0
（x y z 1）*
三维坐标
0 1 0
=（x’y’z’1）
投影后的 二维坐标
0 0 0 0 0 0 0 1
变换矩阵
•投影方向：x轴，投影面 面 投影方向： 轴 投影面yz面 投影方向 •投影方向：y轴，投影面 面 投影方向： 轴 投影面xz面 投影方向 •投影矩阵为多少？ 投影矩阵为多少？ 投影矩阵为多少
投影视点E-观察者的眼睛 投影面xy面 透视投影(投影视点 观察者的眼睛 投影面 面) 投影视点 观察者的眼睛,投影面
投影方法：从视点E经过形体的各个点，向投影平 投影方法 视点 经过形体的各个点， 经过形体的各个点
画射线，这些射线和投影面o-xy的交点形成投影像 的交点形成投影像 面画射线，这些射线和投影面 的交点 （也就是具有真实立体感的二维图形）。
前面讲的内容解决了如何在计算机中定义一个立体形体， 前面讲的内容解决了如何在计算机中定义一个立体形体 ，下面 我们来解决第二个问题： 我们来解决第二个问题：
•如何将三维形体作为二维图像 如何将三维形体作为二维图像 如何将三维形体作为二 •在图像显示器等输出装置上 在图像显示器等输出装置上 在图像显示器 •表示出来？ 表示出来？ 表示出来
图形变换与裁剪课件
计算机图形设计中的应用
图像处理
通过图形变换和裁剪技术，对图像进 行缩放、旋转、剪切等操作，实现图 像的优化和美化。
3D模型渲染
虚拟现实和增强现实
在虚拟现实和增强现实应用中，图形 变换和裁剪技术用于创建逼真的虚拟 场景和增强现实元素。
利用图形变换和裁剪技术，渲染3D模 型，制作出逼真的三维效果图和动画。
提高变换的效率
减少不必要的变换
在图形处理中，尽量减少不必 要的变换操作，特别是那些不
会改变图像内容的变换。
使用合适的变换算法
选择高效的变换算法，如矩阵 乘法、仿射变换等，可以大大 提高变换的效率。
并行计算
利用多核处理器或GPU进行并 行计算，可以加快变换过程。
缓存和重用
将已经计算过的变换结果缓存 起来，避免重复计算，提高变
虚拟现实和增强现实中的应用
场景渲染
通过图形变换和裁剪技术，渲染 虚拟现实和增强现实场景，提供
沉浸式的体验。
交互设计
利用图形变换和裁剪技术，设计虚 拟现实和增强现实的交互方式，提 高用户体验。
实时跟踪
通过图形变换和裁剪技术，实现虚 拟现实和增强现实的实时跟踪，提 高虚拟物体的真实感和动态效果。
05 图形变换与裁剪的优化 技巧
计算机图形设计中的图形变换与裁剪案例
要点一
计算机图形设计中的图形变换
要点二
计算机图形设计中的裁剪技术
在计算机图形设计中，图形变换被广泛应用于创建复杂的 二维和三维图像。例如，通过将图像进行旋转、平移和缩 放等操作，可以创造出富有创意的艺术作品。
在计算机图形设计中，裁剪技术用于确定图像的可见部分。 通过裁剪，可以只显示图像的一部分，或者将图像的一部 分隐藏起来，以达到特定的视觉效果。
计算机图形学--第八讲 图形的三维几何变换
3
变换通式
空间点[x y z] 的四维齐次坐标 [X Y Z H]表示
三维空间点的变换为 [x y z 1] T = [x’ y’ z’ 1]
变换前点的坐标 三维图形的变换矩阵
变换后点的坐标
三维图形变换矩阵通式为4 x 4 方阵
a b c p
T = d
e
5.关于Y轴对称
特点： y 值不变，zx坐标符号改变
[x y z 1] T = [-x y -z 1]
6.关于Z轴对称
特点： z值不变，xy坐标符号改变
[x y z 1] T = [-x -y z 1]
5.3 图形的三维几何变换—三维基本变换(13)
对称变换示意图
17
5.3 图形的三维几何变换—三维基本变换(14)
(x’, y’, z’)
x = xcos −ysin
y = xsin +ycos
z = z
矩阵运算的表达式为
z
cos sin 0 0
x
y
z 1 = x
y
z
1
−
sin
0
cos
0
0
0
1 0
0
0 0 1
y
(x, y, z)
x
10
5.4 图形的三维几何变换-三维基本变换(7)
绕X轴旋转
与二维图形的组合变换一样, 三维立体图形也可通过 三维基本变换矩阵, 按一定顺序依次相乘而得到一个 组合矩阵(称级联), 完成组合变换。
三维组合平移、组合旋转和组合比例变换与二维组合 平移、组合旋转和组合比例变换具有类似的规律。
19
5.3 图形的三维几何变换—三维复合变换(2)
三维坐标变换
z
2E F 2A B x
2024/9/5
z
3
H
1
G
Dy
C
1
x
图7-6 比例变换
1 y
13
(2)整体比例变换
1 0 0 0
TS
0 0
1 0
0 1
0 0
0
0
0
s
2024/9/5
14
3. 旋转变换
z
y
X
图7-7 旋转变换的角度方向
2024/9/5
15
(1)绕z轴旋转
cos sin 0 0
TRZ
sin
53
将α值代入(7-1)式得到正二测图的投影变换矩阵：
2
T
2 0
2 sin
2
cos
0 0
0 0
2
2 0
2 sin
2 0
0 0
0 1
特点分析：
2024/9/5
54
7.3.2 斜投影
斜投影图，即斜轴测图，是将三维形体向一个单 一的投影面作平行投影，但投影方向不垂直于投 影面所得到的平面图形。 常用的斜轴测图有斜等测图和斜二测图。
Y
侧视图
Y
46
3. 俯视图 三维形体向xoy面（又称H面）作垂直投影得到俯视图， (1) 投影变换 (2)使H面绕x轴负转90° (3)使H面沿z方向平移一段距离-z0
Z
z
2024/9/5
主视图
O
y
X
俯视图
7-13 三维形体及其三视图
Y
侧视图
Y
47
x
4. 侧视图 获得侧视图是将三维形体往yoz面（侧面W）作垂直投影。 (1) 侧视图的投影变换 (2)使W面绕z轴正转90° (3)使W面沿负x方向平移一段距离x0
第5章图形变换2
2015/12/17
计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C)
23
5.3.1 投影变换分类(Projection transformation classification) 在投影变换中，观察平面称为投影面(projection plane )。 将三维图形投影到投影面上，有两种基本的投影方式，即平 行 投 影 (parallel projection) 和 透 视 投 影 (perspective projection)。在平行投影中，图形沿平行线变换到投影面上； 对透视投影，图形沿收敛于某一点的直线变换到投影面上， 此点称为投影中心(center of projection)，相当于观察点，也 称为视点(viewing position)。投影线与投影面相交在投影面 上形成的图象即为三维图形的投影。 平行投影和透视投影区别在于透视投影的投影中心到投 影面之间的距离是有限的，而平行投影的投影中心到投影面 之间的距离是无限的。当投影中心在无限远时，投影线互相 平行，所以定义平行投影时，给出投影线的方向就可以了， 而定义透视投影时，需要指定投影中心的具体位置。
计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C)
18
5.2.4 对称变换(Reflection) 三维对称变换可以是关于给定对称轴的或者是关 于给定对称平面的变换。关于给定对称轴的对称变换 等价于绕此轴旋转 180°，可以直接使用已讨论过的 相对于轴线的旋转变换公式。关于给定对称平面的对 称变换其最简单的是对称于坐标平面的变换。比如， 空间一点 P(x,y,z) 对XY 坐标平面对称变换时，只需改 变z 坐标的正负号，其它两坐标不变，因此，其变换 的矩阵表示为：
计算机图形学-第三章-变换及裁剪
(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条 直线
xh hx
yh
hy
zh h
7
齐次坐标的作用
1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵 运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐 标系变换到另一坐标系的有效方法。
2. 便于表示无穷远点。
例如：（x h, y h, h)，令h等于0
25
3 规格化设备坐标系 用于用户的图形是定义在用户坐标系里，
而图形的输出定义在设备坐标系里，它依赖于 基体的图形设备。由于不同的图形设备有不同 的设备坐标系，且不同设备间坐标范围也不尽 相同， 例如：分辨率为1024*768的显示器其屏幕坐标的 范围：x方向为0~1023，y方向为0~767，分辨 率为640*480的显示器，其屏幕坐标范围为：x 方向0~639，y方向0~479
y 1)，则
1 0 0
P'x' y' 1 x y 1 0 1 0 x
Tx1
Ty1
1
y 1Tt1
经第二次平移变换后的坐标为P*(x* y* 1)
P * x *
y * 1 x'
y'
1
1 0
0 0 1 0
Tx
2
Ty 2
1
1 0 0 1 0 0
x y 1 0 1 0 0 1 0 x y 1 Tt1Tt2
44
关于透视投影
一点透视投影
两点透视投影
三点透视投影
45
内容
二维变换 三维变换 裁剪
二维线裁剪 二维多边形裁剪 文本裁剪 三维裁剪 关于三维变换与裁剪
46
三维变换流程图
三维空间几何坐标变换矩阵ppt课件
7.3 三维坐标变换 几何变换：在一个参考坐标系下将物体从一个 位置移动到另一个位置的变换。 坐标变换： 一个物体在不同坐标系之间的坐标 变换。如从世界坐标系到观察坐标系的变换； 观察坐标到设备坐标之间的变换。再如，对物 体造型时，我们通常在局部坐标系中构造物体， 然后重新定位到用户坐标系。
22
19
利用这一结果，则绕任意轴旋转的变换矩阵可表示为：
y
P2 •
P1 • x
z
yA
• P’2
P• ’1
x
z
其中旋转轴A=[ax,ay,az]为
传统的方法通过绕坐标轴旋转变换的乘积表示绕任意轴旋 转的变换。与之相比，这种方法更直观。
20
7.2.4 三维变换矩阵的功能分块
（1）三维线性变换部分 （2）三维平移变换部分 （3）透视变换部分 （4）整体比例因子
y y
y
z
x
z
xz
(a)
xz (b)
(d) x
(c)
12
2. 绕任意轴旋转的变换
(1)平移物体使旋转轴通过坐标原点;
y
y
P2 •
• P’2
P1 •
P• ’1
x
xz
z
(1)
(2)旋转物体使旋转轴与某个坐标轴(如z轴)重合;
(3)关于该坐标轴进行指定角度的旋转;
y
y
P• ’1
x
P2’’•
z
(2)
P• ’1 P2’’•
中的元素添入相应的位置中，即
9
(1) 绕z轴正向旋转 角，旋转后点的z坐标值不变, x、y 坐标的变化相当于在xoy平面内作正 角旋转。
(2)绕x轴正向旋转 角，旋转后点的x坐标值不变， Y、z坐标的变化相当于在yoz平面内作正 角旋转。
三维图形几何变换
3.1.2 三维图形几何变换三维几何变换包括平移、旋转和变比。
三维几何变换可以表示为公式，或三维齐次坐标和4×4变换矩阵的乘积。
下面分别以公式，矩阵乘积和简记符号来描述三维几何变换。
并记变换前物体的坐标为x,y,z；变换后物体的坐标为x′，y′，z′。
一、平移设Tx,Ty,Tz是物体在三个坐标方向上的移动量，则有公式：x′＝x＋T xy′＝y＋T yz′＝z＋T z矩阵运算表达为：［x′ y′ z′ 1］＝［x y z 1］简记为：T(Tx,Ty,Tz)二、旋转旋转分为三种基本旋转：绕z轴旋转，绕x轴旋转，绕y轴旋转。
在下述旋转变换公式中，设旋转的参考点在所绕的轴上，绕轴转θ角，方向是从轴所指处往原点看的逆时针方向(图3.5(a),(b))。
1 绕z轴旋转的公式为：x′＝xcosθ－ysinθy′＝xsinθ＋ycosθz′＝z矩阵运算的表达为：［x′ y′ z 1］＝［x y z 1］简记为R z(θ)。
2 绕x轴旋转的公式为：x′＝xy′＝ycosθ－zsinθz′＝ysinθ＋zcosθ矩阵运算的表达为：［x′ y′ z′ 1］＝［x y z 1］简记为R x(θ)2 绕y轴旋转的公式为：x′＝zsinθ＋xcosθy′＝yz′＝zcosθ－xsinθ矩阵的运算表达式为：［x′ y′ z′ 1］＝［x y z 1］简记为Ry(θ)。
如果旋转所绕的轴不是坐标轴，而是一根任意轴，则变换过程变显得较复杂。
首先，对物体作平移和绕轴旋转变换，使得所绕之轴与某一根标准坐标轴重合。
然后，绕该标准坐标轴作所需角度的旋转。
最后，通过逆变换使所绕之轴恢复到原来位置。
这个过程须由7个基本变换的级联才能完成。
设旋转所绕的任意轴为p1, p2两点所定义的矢量。
旋转角度为 (图3.6)。
这7个基本变换是：1 T(－x1,－y1,－z1)使p1点与原点重合(图3.6(b))；2 R x(α)，使得轴p1p2落入平面xoz内(图3.6(c))；3 R y(β)，使p1p2与z轴重合(图3.6(d));4 R z(θ)，执行绕p1p2轴的θ角度旋转(图3.6(e))；5 R y(－β)，作3的逆变换；6 R x(－α)，作2的逆变换；7 T(x1,y1,z1)作1的逆变换。
计算机图形学2010_06三维图形变换
第六章 三维图形变换第一节 三维图形变换基础一、三维坐标系xyzxyz右手坐标系左手坐标系三维图形学中习惯上通常是采用右手坐标系。
xy 平面对应于视平面，z 轴垂直于视平面，指向视平面之外。
二、三维齐次坐标及变换矩阵三维图形变换也是基于矩阵运算进行。
矩阵运算的维数被扩展为四维。
三维坐标点采用4元齐次坐标表示：(x , y , z , 1)，三维坐标与三维齐次坐标的相互转换如下：三维坐标(x , y ,z )——齐次坐标(x , y ,z , 1) 齐次坐标(x , y ,z , h )——二维坐标(x /h , y /h ,z /h ) 变换矩阵则为4X4的矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s nm kr j i h q f e d p c b a 其中：平移变换第二节 三维几何变换一、三维基本变换 1. 平移变换⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1010000100001nmk T )1,,,()1,,,(n z m y k x T z y x +++=⋅2. 比例变换)1,,,()1,,,(1000000000000jz ey ax T z y x j e a T =⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 3. 旋转变换三维的基本旋转变换分为三种，即绕三个坐标轴的旋转变换。
(1)绕z 轴旋转γ角旋转后z 值不变，x,y 值将发生改变，x,y 值的计算公式与平面旋转相同，即：zz y x y y x x ='+='-='γγγγcos sin sin cos 则变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1000010000cos sin 00sin cos γγγγT 有：)1,1,cos sin ,sin cos ()1,,,(γγγγy x y x z y x +-=T(2)绕x 轴旋转α角则旋转后x 的坐标值不变，y 和z 的坐标值将改变，相当于在yz 平面上绕平面原点进行旋转变换。
平面转转变换的公式为：ααααcos sin sin cos y x y y x x +='-='对应而来，这里y 对应于x ，z 对应y ，有：ααααcos sin sin cos z y z z y y +='-='则变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10000cos sin 00sin cos 00001ααααT )1,cos sin ,sin cos ,()1,,,(ααααz y z y x z y x +-=T(3)绕y 轴旋转β角这时，z 对应于x ，x 对应于y 。
三维图形的几何变换讲课文档
先平移后旋转
先旋转后平移
第二十三页，共64页。
三、三维图形的几何变换
三维图形的变换是二维图形变换的简单扩展，变换的 原理还是把齐次坐标点(x,y,z,1)通过变换矩阵变换成新 的齐次坐标点(x’,y’,z’,1)，即
x ' y ' z '1 x y z 1 T
其中T为三维基本(齐次)变换矩阵：
1 0 0
T1
0
1
0
c / a 0 1
第十四页，共64页。
（2）将直线与平面图形一起按逆时针反向旋转
θ=arctan(-b/a)，使直线与轴重合。即作旋转变换。
cos sin 0
T2
sin
cos
0
0
0 1
第十五页，共64页。
（3）将旋转之后的图形对y轴作对称变换，相当于对y轴 进行对称变换。其变换矩阵为：
透视投影的图形与眼睛观察景物的原理及效果是一致的， 因而常用于图形的真实效果显示。由于平行投影后直线 间的平行关系不变，因而它常用于三维图形交互和生成 工程图的视图。
第三十四页，共64页。
投影变换分类:
正交投影 正平行
正等测投影
投影
平行 投影
正轴测 投影
正二测 正三测
斜平行 斜等测
投
投影
影
斜二测
一点透视
1001 0001
1000 窗口
0000
0101 0100
1010 0010 0110
第四十四页，共64页。
对线段的两端点分别进行编码。然后根据线段两端点编 码就能方便地判断出线段相对于窗口的位置关系：
第四十五页，共64页。
计算机图形学三维图形变换
主视图变换矩阵
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
Tv
0 0
0 0
0 1
0
0
0 0
0
0
பைடு நூலகம்
0
0
1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0
0
0
1
0
0 0 1
0
0 0 1
俯视图变换矩阵
1 0 0 0 1
0
0 0 1 0 0 0
TH
0 0
1 0
0 0
0 0 0 0
cos(90) sin(90)
三维图形变换
基本几何变换
基本几何变换都是相对于原点和坐标
轴进行的几何变换，有平移、缩放和 旋转等。在以下的讲述中，均假设用
p(x, y, z) 表示三维空间上一个未被变 换的点，而该点经过某种变换后得到 的新点用 p'(x', y', z') 表示。
平移变换
平移是指将点沿直线路径从一个坐标位置移动 到另一个坐标位置的一个重定位过程。
0 1
0
0
0 0
0 0 0 1 0 0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0 0 1
0 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0
0
Rx ( )
0
c
d b
b
d c
0
0
dd
0 0 0 1
Ry ( )
d 0 a 0
Ry
(
)
0
a
1 0
0 d
《维图形变换》课件
DirectX是微软公司开发的一套多媒体应用程序编 程接口（API），主要用于游戏和多媒体应用程序 的开发。它包含了一系列用于渲染图形、处理声 音、输入设备等的组件。
硬件加速
DirectX充分利用了计算机的硬件资源，特别是显 卡和声卡，来提高渲染和音频处理的速度。这使 得DirectX在性能上具有优势。
云计算与大数据技术
云计算和大数据技术将为维图形变换提供更强大的计算能力和数据处理 能力，使得大规模的图形计算和数据处理成为可能，进一步拓展维图形 变换的应用领域。
对课程内容的反思与建议
课程内容深度与广度
建议在课程内容上增加一些高级主题和案例，以帮助学生 更好地理解和掌握维图形变换的原理和应用。
实践环节的加强
维图形变换的优化
性能优化
减少冗余计算
通过减少不必要的计算和 重复计算，提高程序运行 效率。
使用缓存机制
将计算结果缓存起来，避 免重复计算，提高运行速 度。
优化数据结构
选择合适的数据结构，以 便更高效地存储和访问数 据。
渲染优化
使用合适的渲染算法
选择适合图形变换的渲染算法，如双缓冲技术、多重采样抗锯齿 等。
图形变换的实现
在DirectX中，图形变换同样通过矩阵运算实现。 与OpenGL不同的是，DirectX使用固定管线渲染 ，这意味着开发者需要编写特定的代码来处理图 形的渲染过程。
游戏开发
由于DirectX在游戏开发领域的广泛应用，许多知 名的游戏引擎都支持DirectX，使得开发者能够快 速地构建高质量的游戏。
WebGL实现
WebGL简介
图形变换的实现
跨平台兼容性
实时渲染
WebGL（Web Graphics Library）是一种基于OpenGL ES 2.0的图形渲染API，用于在 Web浏览器中创建3D图形。 它不需要任何插件，即可在浏 览器中实现高性能的3D渲染。
图形图像三维变换
视点坐标系
投影变换
设备变换
规格化设备 坐标系
屏幕坐标系
5
三维变换中的各种坐标系
6
场景坐标系和模型变换
几何场景建立于世界坐标系中 场景中的具体物体与局部坐标系相联系
局部坐标系可以简化物体的定义 物体=｛标准体素，变换｝
造型变换：
物体从局部坐标系到世界坐标系的变换 三维线性和非线性变换
二维变换：将定义在视窗中的规格化设备坐 标转换到以像素为单位的屏幕坐标
扫描转换：将连续的几何物体转换为离散的 光栅表示
50
视窗变换
X分量的变换
x xvmin x ' xwmin xvmax xvmin xwmax xwmin
x'
xwmin
xwmax xvmax
xwmin xvmin
V N UP N UP
U VN
得到两个向量 U=(Ux,Uy,Uz) 和V=(Vx,Vy,Vz)， 然后单位化。
16
视点坐标系的交互建立
四个矢量C、U、V、N组成了视点坐标系 由世界坐标系到视点坐标系的取景变换：
u Ux Uy Uz 0 1 0 0 Cx x
v
V x
Vy
Vz
0 u
0
v
0 n
0 1
U W
,
V W
,
N W
u n/d
,
v n/d
,
d
up , vp , d
24
关于透视投影
一点透视投影
两点透视投影
三点透视投影
25
规格化设备坐标和设备变换
在投影平面上，有一个矩形区域称为视窗
上图坐标系中vovxvy的矩形和“视域四棱锥” 图中的矩形
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与xoz平面重合。可知：
cos c
b2 c2
z
sin b
b2 c2
1
设d1=(b2+c2)1/2，则 变换矩阵为:
RX
(
)
0 0
0
y
a φ c
P´2(a, b, c) bx
P´´2
0
0 0
c / d1 b / d1 0
b / d1 0
c / d1 0
0 1
15
绕任意轴旋转 －绕直线P1P2旋转θ角
•
(a)P
2
´´(a,0,d1)
sin
a
a2 b2
令d2 =(a2+b2+c2)1/2， 则变换矩阵为:
c2
R
y
(α)
=
d1
a
/ d2 0 / d2 0
0 1 0 0
-a / d2 0
d1 / d2 0
0
0
0 1
16
绕任意轴旋转 －绕直线P1P2旋转θ角
步骤(4)：绕z轴旋转θ角，变换矩阵为:
y' = ρsin (α+θ) = x*sinθ+ y*cosθ
z' = z 8
3. 旋转变换 －绕坐标轴旋转 RX ( )
绕x轴旋转：
1 0 0 0 x
x' y'
z'
1T 0
cos
-sin
0
y
0 sin cos 0 z
0 0
0
1
1
Ry ( )
绕y轴旋转：
x'
y'
z'
cos
1T
0
-sin
0
0 sin
10
0 cos
00
0 x
0
y
0 z
1
1
Rz ( )
绕z轴旋转：
cos -sin 0 0 x
x'
y'
z'
1 T
sin
cos
0
0 0 1
0
y
0 z
0
0
0
1
1
9
3. 旋转变换 －旋转的方向
旋转角度为θ时，点的旋转方向：
y
旋转轴 相应的旋转方向
cos -sin 0
RZ
(
)
sin
0
cos
0
0 1
0
0
0
0
0
0
1
y
θ x
z
17
绕任意轴旋转 －绕直线P1P2旋转θ角
步骤(5)，执行步骤(3)的逆变换，变换矩阵为Ry(-α)； 步骤(6)，执行步骤(2)的逆变换，变换矩阵为Rx(-φ)； 步骤(7)，执行步骤(1)的逆变换，变换矩阵为T3(x1,y1,z1)。
o
z
x' = ρsin(α+θ) = x*cosθ + z*sinθ
y' = y
z' = ρcos(α+θ) = z*cosθ- x*sinθ
7
3. 旋转变换 －绕坐标轴旋转
(x’, y’, z’)
y
(x, y, z)
绕Z轴旋转 此时，Z坐标不变，X，Y坐 标相应变化。
y
x
θα
o
x
z
x' = ρcos(α+θ) = x*cosθ - y*sinθ
y
步骤(3)：绕y轴旋转，使直线与z轴重合，
此刻P’2的坐标已变为P’’2(a,0,d1)，可知：
α
uuur uur
cos uPu2ur'' • uuuzr d1
x
P2 '' uz
a2 d12
z
uuur uur P2 '' uz
uur uy
•
uuur P2 ''
uur uz
sin
uur uy
综上，绕直线P1P2旋转θ角的变换矩阵为： R(θ)= T3(x1,y1,z1) Rx(-φ) Ry(-α) Rz(θ) Ry(α) Rx(φ) T3(-x1,y1,-z1)
x轴
从y轴到z轴
y轴
从z轴到x轴
z
z轴
从x轴到y轴
x
这样定义旋转方向的原因是为了保 证所用的旋转矩阵是相同的。
10
3. 旋转变换 －绕任意轴旋转
求绕任意直线旋转的矩阵的原则：
任意变换的问题
基本几何变换的组合
饶任意直线旋转的问题
绕坐标轴旋转的组合
11
绕任意轴旋转 －点绕直线P1P2旋转θ
角
θ
(y,z) α
o
y
z
x' = x
y' = ρcos(α+θ) = y*cosθ- z*sinθ
z' = ρsin(α+θ) = y*sinθ+z*cosθ
6
3. 旋转变换 －绕坐标轴旋转
y
(x’, y’, z’)
(x, y, z)
绕Y轴旋转 此时，Y坐标不变，X，Z坐 标相应变化。
z
x
α
θ
x
第6章 三维图形变换
1
6.2 几何变换
6.2.1 二维几何变换 6.2.2 三维几何变换
2
6.2.2 三维几何变换
1. 平移变换 2. 缩放变换 3. 旋转变换 4. 变形变换 5. 对称变换
3
1. 平移变换
每个三维点(x,y,z)对应于一个齐次坐标[x,y,z,1]。所有的三 维变换都可通过乘以一个4×4的变换矩阵来进行。
4
2. 缩放变换
设一个点沿x，y，z轴缩放的比例分别为Sx，Sy，Sz，则缩放变 换矩阵可表示为：
Sx 0 0 0
S3 (Sx ,
Sy
,
Sz
)
0 0
0
Sy 0 0
0 Sz 0
0
0
1
x ' y ' z ' 1T S3(Tx ,Ty ,Tz ) •x y z 1T
当|Sx|,|Sy|,|Sz|分别大于1时，为物体的放大；小于1时，为缩 小变换；
平移变换
点(x,y,z)沿x轴方向平移Tx距离， 沿y轴方向平移Ty距离，沿
z轴方向平移Tz距离， 变成点(x´,y´,z´)，这一变换过程的变
换矩阵为:
1 0 0 Tx
T3
(Tx
,
Ty
,
Tz
)
0 0
0
1 0 0
0 1 0
Ty
Tz 1
Tx Tz Ty
x ' y ' z ' 1T T3(Tx ,Ty ,Tz ) •x y z 1T
y
P1
P2
y P´2(a, b, c)
a
z
P'1
P'2 x
z
c
bx
y α
y
P´´2
x
θ
z
x
z
P´´212Fra bibliotek绕任意轴旋转 －绕直线P1P2旋转θ角
绕直线P1P2旋转θ角的过程可分解为下列步骤：
1. 把点P1 (x1, y1, z1)移至原点； 2. 绕x轴旋转，使直线与xoz平面重合； 3. 绕y轴旋转，使直线与z轴重合； 4. 绕z轴旋转θ角； 5. 执行步骤(3)的逆变换； 6. 执行步骤(2)的逆变换； 7. 执行步骤(1)的逆变换；
当|Sx|,|Sy|,|Sz|皆等于1时，即为恒等变换； 当Sx，Sy，Sz分别小于0时，作相应坐标平面的镜面变换。 5
3. 旋转变换 －绕坐标轴旋转
y
(x’, y’, z’)
绕X轴变换
(x, y, z) 空间上的立体绕X轴旋
转时，立体上各点的X坐标
不变，只是Y、Z坐标发生
相应的变化。
z
x
(y',z')
13
绕任意轴旋转 －绕直线P1P2旋转θ角
步骤(1)：把点P1(x1,y1,z1)移 至原点，变换矩阵为：
y
P1
P2
z
P'1
1 0 0 x1
T3
(
x1,
y1,
z1
)
0 0
0
1 0 0
0 1 0
y1
z1 1
P'2 x
14
绕任意轴旋转 －绕直线P1P2旋转θ角
步骤(2)：绕x轴旋转，使直线