高考数学总复习 课时作业34 新人教版

高考数学总复习 课时作业34 新人教版
1．方程x 2
＋y 2
＋ax ＋2ay ＋2a 2
＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( ) A ．a <－2或a >2
3
B ．－2
3<a <0
C ．－2<a ≤0
D ．－2<a <2
3
答案 D
解析 方程x 2
＋y 2
＋ax ＋2ay ＋2a 2
＋a －1＝0
转化为(x ＋a 2)2＋(y ＋a )2
＝－34
a 2－a ＋1，
所以若方程表示圆，则有－34a 2
－a ＋1>0.
∴3a 2
＋4a －4<0⇒－2<a <23
.
2．过点P (0,1)与圆x 2
＋y 2
－2x －3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是
( ) A ．x ＝0 B ．y ＝1 C ．x ＋y －1＝0 D ．x －y ＋1＝0
答案 C
解析 依题意得所求直线是经过点P (0,1)及圆心(1,0)的直线，因此所求直线方程是x ＋
y ＝1，即x ＋y －1＝0，选C.
3．圆心在抛物线x 2
＝2y (x >0)上，并且与抛物线的准线及y 轴均相切的圆的方程是 A ．x 2＋y 2
－x －2y －14＝0
B ．x 2
＋y 2
＋x －2y ＋1＝0 C ．x 2
＋y 2
－x －2y ＋1＝0 D ．x 2＋y 2
－2x －y ＋14＝0
答案 D
解析∵圆心在抛物线上， ∴设圆心(a ，a 2
2
)．
∴圆的方程为(x －a )2
＋(y －a 2
2)2＝r 2
.
∴x 2
＋y 2
－2ax －a 2
y ＋a 2＋a 4
4
－r 2
＝0.
对比A 、B 、C 、D 项， 仅D 项x 、y 前系数符合条件．
4．如果圆的方程为x 2
＋y 2
＋kx ＋2y ＋k 2
＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为 A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－1,0) D ．(0，－1)
答案 D
解析r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2
，
当k ＝0时，r 最大．
5．设A (0,0)，B (1,1)，C (4,2)，若线段AD 是△ABC 外接圆的直径，则点D 的坐标是 A ．(－8,6) B ．(8，－6) C ．(4，－6) D ．(4，－3)
答案 B
解析 线段AB 的垂直平分线x ＋y －1＝0与线段AC 的垂直平分线2x ＋y －5＝0的交点即圆心(4，－3)，直径为10，易得点D 的坐标为(8，－6)．
6．若曲线C ：x 2
＋y 2
＋2ax －4ay ＋5a 2
－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为
( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，－1) C ．(1，＋∞) D ．(2，＋∞)
答案 D
解析 曲线C 的方程可化为(x ＋a )2
＋(y －2a )2
＝4，其圆心为(－a,2a )，要使得圆C 的所有的点均在第二象限内，则圆心(－a,2a )必须在第二象限，从而有a >0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C 的半径，易知圆心到纵坐标轴的最短距离为|－a |，则有|－a |>2，故a >2，选D.
7．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)，且被x 轴分成两段弧长之比为2，则圆的方程为
( )
A ．(x ±
33)2＋y 2
＝43
B ．(x ±
33)2＋y 2＝1
3
C ．x 2
＋(y ±33)2＝4
3
D ．x 2
＋(y ±
33)2＝1
3
答案 C
解析 方法一 (待定系数法)设出圆的方程求解．
方法二 (排除法)由圆心在y 轴上，则排除A 、B ，再由过(1,0)，故半径大于1，排除D.
8．在平面直角坐标系中，动点M (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，
y －1≥0，
动点Q 在曲线(x －
1)2＋y 2
＝12
上，则|MQ |的最小值为
( ) A. 2 B.32
2
C ．1－
22
D.5－1
2
答案 C
解析 作出平面区域，由图形可知|MQ |的最小值为1－
22
.
9．若圆(x －a )2
＋(y －a )2
＝8上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是
( ) A ．(－3，－1)∪(1,3) B ．(－3,3)
C ．[－1,1]
D ．(－3，－1]∪[1,3)
答案 A
解析a ≥0时，若存在两点到原点距离为 2. ∴圆上距原点最近点d <2，最远点32<d <5 2. ∴最近点(a －2，a －2)，最远点(a ＋2，a ＋2)． ∴
a －2
2
＋a －2
2
<2，32<a ＋2
2
＋a ＋2
2
<5 2.
∴a ∈(1,3)．
同理a <0时有a ∈(－3，－1)． 综上a ∈(－3，－1)∪(1,3)．
10．已知圆心(a ，b )(a <0，b <0)在直线y ＝2x ＋1上的圆，其圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径，在y 轴上截得的弦长为25，则圆的方程为
( )
A ．(x ＋2)2
＋(y ＋3)2
＝9 B ．(x ＋3)2
＋(y ＋5)2
＝25 C ．(x ＋6)2
＋(y ＋73)2＝499
D ．(x ＋23)2＋(y ＋73)2＝49
9
答案 A
解析 由圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径知，所求圆与x 轴相切，由题意得圆的半径为|b |，则圆的方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＝b 2
.由于圆心在直线y ＝2x ＋1上，得b ＝2a ＋1 ①，
令x ＝0，得(y －b )2＝b 2－a 2，此时在y 轴上截得的弦长为|y 1－y 2|＝2b 2－a 2
，由已知，得
2b
2
－
a 2
＝25，即b 2
－a 2
＝5 ②，由①②得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－2，
b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2
3，b ＝7
3
(舍去)．所以，
所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y ＋3)2
＝9.故选A.
11．已知圆C 的圆心在曲线y ＝2
x
上，圆C 过坐标原点O ，且分别与x 轴、y 轴交于A 、B
两点，则△OAB 的面积是
( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8
答案 C
解析 设圆心C 的坐标是(t ，2
t
)．∵⊙C 过坐标原点，
∴|OC |2＝t 2
＋4t
2.
设圆C 的方程是(x －t )2
＋(y －2t )2＝t 2＋4t
2.
令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4
t
.
∴B 点的坐标为(0，4
t
)；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t .
∴A 点的坐标为(2t,0)，∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×|4
t |×|2t |＝4，即OAB 的面积为4.
12．(2013·衡水调研)从原点O 向圆：x 2＋y 2
－6x ＋274＝0作两条切线，切点分别为P 、Q ，
则圆C 上两切点P 、Q 间的劣弧长为________．
答案 π
解析 如图，圆C ：(x －3)2＋y 2
＝94，
所以圆心C (3,0)，半径r ＝3
2
.
在Rt △POC 中，∠POC ＝π
6.
则劣弧PQ 所对圆心角为2π
3.
弧长为23π×3
2
＝π.
13．已知两点A (－1,0)、B (0,2)，点P 是圆(x －1)2
＋y 2
＝1上任意一点，则△PAB 面积的最大值与最小值是________．
答案12(4＋5)，1
2
(4－5)
解析 如图所示，圆心(1,0)到直线AB ：2x －y ＋2＝0的距离为d ＝
45
，故圆上的点P 到
AB 的最大值是
45
＋1，最小值是
45
－1.又|AB |＝5，所以△PAB 面积的最大值和最小值分别
是2＋
52和2－52
. 14．一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，求此圆的方程．
答案x 2
＋y 2
－2x －6y ＋1＝0或x 2
＋y 2
＋2x ＋6y ＋1＝0
解析 方法一 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，且与y 轴相切， ∴设所求圆的圆心为C (3a ，a )，半径为r ＝3|a |. 又圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27， 圆心C (3a ，a )到直线y ＝x 的距离为d ＝|3a －a |12＋12
. ∴有d 2
＋(7)2
＝r 2
. 即2a 2
＋7＝9a 2
，∴a ＝±1. 故所求圆的方程为
(x －3)2
＋(y －1)2
＝9或(x ＋3)2
＋(y ＋1)2
＝9. 方法二 设所求的圆的方程是(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
， 则圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离为|a －b |
2
.
∴r 2＝(|a －b |2)2＋(7)2
.
即2r 2
＝(a －b )2
＋14.①
由于所求的圆与y 轴相切，∴r 2
＝a 2
.② 又因为所求圆心在直线x －3y ＝0上， ∴a －3b ＝0.③ 联立①②③，解得
a ＝3，
b ＝1，r 2＝9或a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.
故所求的圆的方程是
(x －3)2
＋(y －1)2
＝9或(x ＋3)2
＋(y ＋1)2
＝9. 方法三 设所求的圆的方程是x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，
圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12
D 2＋
E 2
－4F .
令x ＝0，得y 2
＋Ey ＋F ＝0.
由圆与y 轴相切，得Δ＝0，即E 2
＝4F .④
又圆心(－D 2，－E
2)到直线x －y ＝0的距离为|－D 2＋E
2|
2
，
由已知，得⎝
⎛⎭⎪
⎪⎫
|－D 2＋E 2|22＋(7)2＝r 2
，
即(D －E )2
＋56＝2(D 2
＋E 2
－4F )．⑤ 又圆心(－D 2，－E
2)在直线x －3y ＝0上，
∴D －3E ＝0.⑥ 联立④⑤⑥，解得
D ＝－6，
E ＝－2，
F ＝1或D ＝6，E ＝2，F ＝1.
故所求圆的方程是x 2
＋y 2
－6x －2y ＋1＝0 或x 2
＋y 2
＋6x ＋2y ＋1＝0.
15．已知实数x 、y 满足x 2
＋y 2
－2y ＝0. (1)求2x ＋y 的取值范围；
(2)若x ＋y ＋c ≥0恒成立，求实数c 的取值范围． 答案 (1)1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5 (2)c ≥2－1
解析 (1)方法一 圆x 2
＋(y －1)2
＝1的参数方程为 ⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝cos θ，
y ＝1＋sin θ，
∴2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1.
∵－5≤2cos θ＋sin θ≤5， ∴1－5≤2x ＋y ≤5＋1.
方法二 2x ＋y 可看作直线y ＝－2x ＋b 在y 轴的截距，当直线与圆相切时b 取最值，此时
|2×0＋1－b |
5
＝1. ∴b ＝1±5，∴1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5.
(2)∵x ＋y ＝cos θ＋1＋sin θ＝2sin(θ＋π
4)＋1，
∴x ＋y ＋c 的最小值为1－2＋c . ∴x ＋y ＋c ≥0恒成立等价于1－2＋c ≥0. ∴c 的取值范围为c ≥2－1.
16．在以O 为原点的直角坐标系中，点A (4，－3)为△OAB 的直角顶点，已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于0.
(1)求AB →
的坐标；
(2)求圆x 2
－6x ＋y 2
＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程． 答案 (1)(6,8) (2)(x －1)2
＋(y －3)2
＝10
解析 (1)设AB →＝(x ，y )，由|AB |＝2|OA |，AB →·OA →
＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
＋y 2
＝100，4x －3y ＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝6，
y ＝8
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－6，
y ＝－8.
若AB →
＝(－6，－8)，则y B ＝－11与y B >0矛盾． 所以⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－6，y ＝－8
舍去．即AB →
＝(6,8)．
(2)圆x 2
－6x ＋y 2
＋2y ＝0，即(x －3)2
＋(y ＋1)2
＝(10)2
，其圆心为C (3，－1)，半径r ＝10.
∵OB →＝OA →＋AB →
＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)， ∴直线OB 的方程为y ＝1
2
x .
设圆心C (3，－1)关于直线y ＝1
2x 的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧
b ＋1a －3＝－2，b －12＝12·a ＋3
2，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝3，
则所求的圆的方程为(x －1)2
＋(y －3)2
＝10.
1．在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2
＋2x ＋b (x ∈R)的图像与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C .
(1)求实数b 的取值范围； (2)求圆C 的方程；
(3)问圆C 是否经过定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．
解析 (1)显然b ≠0，否则，二次函数f (x )＝x 2
＋2x ＋b 的图像与两个坐标轴只有两个交点(0,0)，(－2,0)，这与题设不符．
由b ≠0知，二次函数f (x )＝x 2
＋2x ＋b 的图像与y 轴有一个非原点的交点(0，b )，故它与x 轴必有两个交点，从而方程x 2＋2x ＋b ＝0有两个不相等的实数根，因此方程的判别式4－4b >0，即b <1.
所以b 的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)．
(2)由方程x 2
＋2x ＋b ＝0，得x ＝－1±1－b .于是，二次函数f (x )＝x 2
＋2x ＋b 的图像与两个坐标轴的交点是(－1－1－b ，0)，(－1＋1－b ，0)，(0，b )．
设圆C 的方程为x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，因圆C 过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C 的方程，得
⎩⎨⎧
－1－1－b
2
＋D －1－1－b ＋F ＝0，
－1＋1－b 2
＋D －1＋1－b ＋F ＝0，
b 2
＋Eb ＋F ＝0.
又b ≠0，解上述方程组，得⎩⎪⎨⎪
⎧
D ＝2，
E ＝－b ＋1，
F ＝b ，
所以圆C 的方程为x 2
＋y 2
＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0. (3)圆C 过定点，证明如下：
假设圆C 过定点(x 0，y 0)(x 0，y 0不依赖于b )，将该点的坐标代入圆C 的方程， 并变形为x 2
0＋y 2
0＋2x 0－y 0＋b (1－y 0)＝0.(*)
为使(*)式对所有满足b <1(b ≠0)的b 都成立，必须有1－y 0＝0，结合(*)式得x 2
0＋y 2
0＋2x 0
－y 0＝0.
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 0＝0，y 0＝1或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 0＝－2，
y 0＝1.
经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆C 上． 因此，圆C 过定点．。