第二章线性方程组的直接解法总结
线性方程组直接解法
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算法 1.3 LU 分解
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8:
for k = 1 to n − 1 do for i = k + 1 to n do aik = aik /akk for j = k + 1 to n do aij = aij − aik akj end for end for end for
其中
li2 =
ai2
(1) (1)
, i = 3, 4, . . . , n.
a22
ln2 0 · · · 1
1 (1) 用 L− , 并将所得到的矩阵记为 A(2) , 则 2 左乘 A a11 a12 a13 (1) 0 a(1) 22 a23 0 0 a(2) 1 −1 −1 A(2) = L− 33 2 A = L2 L1 A = . . . . . . . . . (2) 0 0 an3
k=i+1
加上回代过程的运算量 O(n2 ), 总运算量为
2 3 n + O(n2 ) 3
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† 评价算法的一个主要指标是执行时间, 但这依赖于计算机硬件和编 程技巧等, 因此直接给出算法执行时间是不太现实的. 所以我们通常 是统计算法中算术运算 (加减乘除) 的次数.
† 在数值算法中, 大多仅仅涉及加减乘除和开方运算. 一般地, 加减运 算次数与乘法运算次数具有相同的量级, 而除法运算和开方运算次 数具有更低的量级.
· · · a1n (1) · · · a2n (2) · · · a3n . .. . · · · ann
(2)
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(k−1) • 依此类推, 假定 akk ̸= 0 (k = 3, 4, . . . , n − 1), 则我们可以构造一系 列的矩阵 L3 , L4 , . . . , Ln−1 , 使得 a11 a12 a13 · · · a1n (1) (1) 0 a(1) 22 a23 · · · a2n 0 0 a(2) · · · a(2) 1 −1 −1 L− · · · L L A = ≜ U → 上三角 33 3 n n−1 2 1 . . . .. . . . . . . . (n−1) 0 0 0 · · · ann
解线性方程组的直接方法
解线性方程组的直接方法一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组最常用的方法之一、它通过一系列的消元操作，将线性方程组转化为阶梯型方程组，从而求解未知数的值。
1.确定线性方程组的阶数和未知数的个数。
设线性方程组中有n个未知数。
2.将线性方程组写成增广矩阵的形式。
增广矩阵是一个n行n+1列的矩阵，其中前n列是线性方程组的系数矩阵，第n+1列是等号右边的常数。
3.通过初等行变换（交换行、数乘行、行加行）将增广矩阵化为阶梯型矩阵。
具体步骤如下：a.首先，找到第一个非零元素所在的列，将它所在的行视为第一行。
b.将第一行的第一个非零元素（主元）变成1，称为主元素。
c.将主元所在列的其他元素（次元素）变为0，使得主元所在列的其他元素只有主元素是非零的。
d.再找到第一个非零元素所在的列，将它所在的行视为第二行，并重复上述步骤，直到将增广矩阵化为阶梯型矩阵。
4.根据阶梯型矩阵求解未知数的值。
具体步骤如下：a.从最后一行开始，依次求解每个未知数。
首先，将最后一行中非零元素所在的列作为含有该未知数的方程，将该未知数的系数设为1b.将含有该未知数的方程中其他未知数的系数设为0，并对其他方程进行相应的变换，使得该未知数所在列的其他元素都为0。
c.重复上述步骤，直到求解出所有未知数的值。
高斯消元法的优点是简单易懂、容易实现，但当线性方程组的系数矩阵接近奇异矩阵时，计算精度可能会降低。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是解线性方程组的另一种直接方法。
它通过对系数矩阵求逆，然后与常数矩阵相乘，得到未知数的值。
1.确定线性方程组的阶数和未知数的个数。
设线性方程组中有n个未知数。
2.将线性方程组写成矩阵方程的形式，即Ax=b，其中A是一个n阶方阵，x和b分别是n维列向量。
3.求系数矩阵A的逆矩阵A^-1a. 首先，计算系数矩阵A的行列式det(A)。
b. 判断det(A)是否为0，如果det(A)=0，则该线性方程组无解或有无穷多解；如果det(A)≠0，则系数矩阵A可逆。
线性方程组直接解法
在求解线性规划问题时，高斯消元法 可以用于求解单纯形表中的方程组，
从而得到最优解。
矩阵求逆
通过高斯消元法可以将一个可逆矩阵 化为单位矩阵，从而求出其逆矩阵。
计算机图形学
在计算机图形学中，高斯消元法可以 用于求解三维变换矩阵，实现图形的 旋转、平移等操作。
2023
PART 03
克拉默法则
REPORTING
2023
PART 02
高斯消元法
REPORTING
高斯消元法的基本思想
通过对方程组的增广矩阵进行初等行 变换，将其化为行阶梯形矩阵，然后 逐步回代求解未知数。
高斯消元法的基本思想是将方程组中 的未知数逐一消去，从而得到一个易 于求解的三角形方程组。
高斯消元法的步骤
将方程组的增广矩阵写出来， 并对其进行初等行变换，化为 行阶梯形矩阵。
未来研究方向
高性能计算
随着计算资源的不断发展，研究如何 在高性能计算环境中更有效地应用直 接解法和迭代解法具有重要意义。
预处理技术
研究更有效的预处理技术，以 改善迭代解法的收敛性和稳定 性。
并行化与分布式计算
探索并行化和分布式计算技术 在解线性方程组中的应用，以 提高计算效率和可扩展性。
自适应算法
开发能够自适应地选择最合适 算法和参数的线性方程组求解 器，以提高求解效率和精度。
2023
THANKS
感谢观看
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REPORTING
从行阶梯形矩阵中，选取一个 主元，通过行变换将主元所在 的列的其他元素消为0。
重复上述步骤，直到所有未知 数都被消去，得到一个上三角 形方程组。
从上三角形方程组中，逐个回 代求解未知数。
第二章 线性方程组的直接解法
a i(kk ) l ik = ( k ) a kk a ( k +1) = a ( k ) − l a ( k ) ij ik kj ij ( k +1) = 0 a ik b ( k +1) = b ( k ) − l b ( k ) i ik k i
( i = k + 1, ⋯ , n ) ( i , j = k + 1, ⋯ , n ) ( i = k + 1, ⋯ , n ) ( i = k + 1, ⋯ , n )
定理2 定理2.1 高斯消元法消元过程能进行到底的充要条件是系 n- 阶顺序主子式不为零； Ax=b 能用高斯消元 数阵A的 数阵 A 的 1 到 n-1 阶顺序主子式不为零 ； Ax=b能用高斯消元 法解的充要条件是A的各阶顺序主子式不为零 的各阶顺序主子式不为零. 法解的充要条件是 的各阶顺序主子式不为零.
(i=2,3,⋯,k) )
(i ) 显然, Di ≠ 0 ↔ a ii ≠ 0 , 可知,消元过程能进行到底的充 显然, 可知, 要条件是D 要条件是 i≠0 ,(i=1,2,⋯,n-1),若要回代过程也能完成,还应 , 若要回代过程也能完成, 加上D ｜ ｜ ,综合上述有: 加上 n=｜A｜≠0,综合上述有:
⋯
( a kkk )
⋮
( a nkk )
⋯ a 1(1 ) b1(1 ) n (2) (2) ⋯ a 2 n b2 ⋯ ⋯ ⋯ (k ) (k ) ⋯ a kn b k ⋯ ⋮ ⋮ (k ) (k ) ⋯ a nn b n
7
结束
本次消元的目的是对框内部分作类似第一次消元的处 ( (k 消掉第k+1到第 个方程中的 k项,即把 akk ) ,k到 ank ) 化 到第n个方程中的 理,消掉第 到第 个方程中的x +1 为零.计算公式如下: 为零.计算公式如下:
解线性方程组的直接法
a23x3 a33x3
a24x4 a34x4
b2 b3
a41x1 a42x2 a43x3 a44x4 b4
增广矩阵 a11 a12 a13 a14
A
a21
a22 a23
a24
a31
a32 a33
a34
a41 a42 a43 a44
b1
b2
b3
b4
32
计算3个消元因子(乘子向量)
-3x1 + x2 + 3x3 + 2x4 =6
1 2 1 4 13
1 2 1 4 13
2 0 4 3 28 4 2 2 1 20 -3 1 3 2 6
-主元行＊2 -主元行＊4 -主元行＊-3
0 –4 2 -5 2 0 –6 –2 –15 -32 0 7 6 14 45
24
1 2 1 4 13
0 –4 2 -5 2
消元过 程
回代：x4=2,x3=4,
x2=-1,x1=3
25
有回代的高斯消去法
(Gaussian Elimination with Back Substitution)
如果A是NN非奇异矩阵（存在A-1），则存 在 线性方程组UX=Y与线性方程组AX=B等价，这 里U 是上三角矩阵，并且akk0。当构造出U和Y后， 可用回代法求解UX=Y，并得到方程组的解X。
16
➢ 高斯消元法： 思 首先将A化为上三角阵 ，再回代求解。
路
=
17
4 初等变换(Elementary Transformation) 下列三种变换可使一个线性方程组变换成另一
个等价的线性方程组 交换变换：对调方程组的两行 比例变换：用非零常数乘方程组的某一行 替换变换：将方程组的某一行乘一个常数再加到
解线性方程组的直接解法的实验总结与反思
解线性方程组的直接解法的实验总结与反思
线性方程组是线性代数的另一核心考点。
考试中，线性方程组的内容往往以解答题的形式出现，分值为11分，2016年数学一考了一道大题，11分，2017年也考察了一道大题，11分。
往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容。
但也不会简单到仅考方程组的计算，还需灵活运用，比如2014年的线性代数第一道解答题，解矩阵方程，而且系数矩阵是不可逆的，这是考研以来第一次这样考，最后归结为求三个非齐次线性方程组通解。
(整理)线性方程组的直接法
第二章线性方程组的直接法在近代数学数值计算和工程应用中，求解线性方程组是重要的课题。
例如，样条插值中形成的关系式，曲线拟合形成的法方程等，都落实到解一个元线性方程组，尤其是大型方程组的求解，即求线性方程组（2.1）的未知量的数值。
（2.1）其中ai j，bi为常数。
上式可写成矩阵形式Ax = b，即（2.2）其中，为系数矩阵，为解向量，为常数向量。
当detA=D0时，由线性代数中的克莱姆法则，方程组的解存在且惟一，且有为系数矩阵的第列元素以代替的矩阵的行列式的值。
克莱姆法则在建立线性方程组解的理论基础中功不可没，但是在实际计算中，我们难以承受它的计算量。
例如，解一个100阶的线性方程组，乘除法次数约为（101·100！·99），即使以每秒的运算速度，也需要近年的时间。
在石油勘探、天气预报等问题中常常出现成百上千阶的方程组，也就产生了各种形式方程组数值解法的需求。
研究大型方程组的解是目前计算数学中的一个重要方向和课题。
解方程组的方法可归纳为直接解法和迭代解法。
从理论上来说，直接法经过有限次四则运算，假定每一步运算过程中没有舍入误差，那么，最后得到方程组的解就是精确解。
但是，这只是理想化的假定，在计算过程中，完全杜绝舍入误差是不可能的，只能控制和约束由有限位算术运算带来的舍入误差的增长和危害，这样直接法得到的解也不一定是绝对精确的。
迭代法是将方程组的解看作某种极限过程的向量极限的值，像第2章中非线性方程求解一样，计算极限过程是用迭代过程完成的，只不过将迭代式中单变量换成向量而已。
在用迭代算法时，我们不可能将极限过程算到底，只能将迭代进行有限多次，得到满足一定精度要求的方程组的近似解。
在数值计算历史上，直接解法和迭代解法交替生辉。
一种解法的兴旺与计算机的硬件环境和问题规模是密切相关的。
一般说来，对同等规模的线性方程组，直接法对计算机的要求高于迭代法。
对于中等规模的线性方程组，由于直接法的准确性和可靠性高，一般都用直接法求解。
线性方程组的直接解法
(0) b1 (1)式变为A( 0) x b 则 (0) bn
b( 0)
a 0 0
(0) 11
a
a
(0) 12 (1) 22
(1) an 2
x1 b a x 2 b ( 1 ) b (1) x a nn n n a
2 3 2 n O( n ) 3
Gauss消去法工作量为
回代
求解三角形方程组(2), 得求解公式:
( n 1) b n x ( n 1) n ann n ( k 1) ( k 1) ( b a xj) k kj j k 1 ( k 1) xk a kk
( k－ 1) 设akk 0,以第k行为基础, 将以后各行中 ( k－ 1) 的aik ( i k 1, , n)化为0.
( k 1) ( k 1) 计算 lik aik / akk (i k 1, ..., n)
10
(0) a1 n (1) a2 n ( k 1) akn ( k 1) ann
2 5 1
0.1000 104 0.2000 10
0.1000104 0
0.1000 10 0.1000 10 r 210 r 0.1000 10 0.3000 10
0.100010 0.2000106 0.100010 0.2000106
(0) 1n (1) 2n
12
将(1)式化为(2)式的过程称为消元过程.
Gauss消去法的消元过程算法
线性方程组的解法知识点总结
线性方程组的解法知识点总结在数学中，线性方程组是研究线性关系的重要工具。
解决线性方程组的问题有助于我们理解和应用线性代数的基本知识。
本文将总结线性方程组的解法，包括高斯消元法、矩阵的逆和克拉默法则。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的常见方法。
它通过逐步消去未知数，将方程组化简为上三角形式，并利用回代求解未知数的值。
步骤：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中矩阵的最后一列是常数列。
2. 选取一个基准元素，通常选择矩阵的左上角元素或者第一列的首个非零元素。
3. 通过初等行变换，将基准元素下方的元素转化为零，从而将方程组化为上三角形式。
4. 从最后一行开始，通过回代求解未知数的值。
高斯消元法的优点是能够很好地处理大规模的线性方程组，但其缺点是计算量较大，并且可能需要进行主元交换。
二、矩阵的逆矩阵的逆也是解决线性方程组的重要方法。
对于一个非奇异方阵（可逆矩阵），我们可以通过求解逆矩阵来得到线性方程组的解。
步骤：1. 将线性方程组写成矩阵形式，其中系数矩阵为一个非奇异方阵。
2. 判断系数矩阵是否可逆。
如果可逆，则计算系数矩阵的逆矩阵。
3. 将方程组的常数列构成一个列矩阵，记为向量b。
4. 计算未知数向量x的值，即x = A^(-1) * b，其中A^(-1)为系数矩阵的逆矩阵。
矩阵的逆方法适用于已知系数矩阵可逆的情况，且计算矩阵的逆矩阵需要考虑到矩阵的性质和运算法则。
三、克拉默法则克拉默法则是一种解决线性方程组的特殊方法，适用于方程组的系数矩阵为方阵并且可逆的情况。
它利用行列式的性质来求解未知数的值。
步骤：1. 将线性方程组写成矩阵形式，并记为Ax = b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量。
2. 求解系数矩阵的行列式，记为det(A)。
3. 分别将系数矩阵每一列替换为常数向量b，得到新的矩阵A1到An。
4. 分别求解A1到An的行列式，得到d1到dn。
5. 根据克拉默法则，未知数向量x的值为x = (d1/det(A),d2/det(A), ..., dn/det(A))。
数值分析-线性方程组的直接解法
算法 Gauss(A,a,b,n,x)
1. 消元 For k=1,2, … , n-1 1.1 if akk=0 , stop; 1.2 For i=k+1,k+2, …, n 1.2.1 l ik=aik /akk => aik 1.2.2 For j=k+1，k+2, … ,n ai j -aik ak j =>aij 1.2.3 bi -aik bk=> bi 2. 回代 2.1 bn / an=>xn; 2.2 For i=n-1,n-2, …, 2,1 2.2.1 bk => S 2.2.2 For j=k+1，k+2, … ,n S –akj xj =>S 2.2.3 S/ akk => xk a1 1 a1 2 a13 a2 1 a2 2 a23
线性方程组的直接解法
刘 斌
线性方程组的直接解法
§1 Gauss消去法 1.1 顺序Gauss消去法
1.2
§2 2.1 2.2 2.3
列主元Gauss消去法
Gauss消去法的矩阵运算 Doolittle分解法 平方根法
直接三角分解方法
2.4
追赶法
引入
在科学计算中，经常需要求解含有n个未知量 的n个方程构成的线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 (1) an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
(1) a12 ( 2) a22 0
(1) (1) a13 a1 n ( 2) ( 2) a23 a2 n ( 3) ( 3) a33 a3 n
0
数值分析第二章解线性方程组的直接方法
a2(22) x2 ... a2(2n) xn b2(2) ,
..............
an(nn) xn bn(n) .
对此方程组进行回代，就可求出方程组的解.
xn
xiΒιβλιοθήκη bn(n) (bi(i )
an(nn) ,
n
ai(ji ) x
j i 1
j
)
ai(ii ) ,
i n 1,n 2,,1.
x3 x3
1 1
4x1 2x2 2x3 3
消去后两个方程中的x1得
x1
2 x2 5 x2
x3 1 2x3 2
6x2 6x3 1
再消去最后一个方程的x2得
x1
2 x2 5 x2
x3 1 2x3 2
42 5
x3
7 5
消元结束.
x1
1 2
经过回代得解:
x2
1 3
互换, 因而程序比较复杂, 计算时间较长.
• 列主元素法的精度虽然稍低于全主元素法, 但其
计算简单, 工作量大为减少, 且计算经验与理论实
践均表明, 它与全主元素法同样具有良好的数值稳
定性.
• 列主元素法是求解中小型稠密线性方程组的最好
方法之一.
27
§2 直接三角分解法
Gauss消元法的矩阵表示
a12
a13
a 1 0 a21 a22 a23 a21 aa11 a22 aa12 a23 aa13
b 0 1 a31 a32 a33 a31 ba11 a32 ba12 a33 ba13
28
n=3时Gauss消元法的矩阵表示
a11 a12 a13 A a21 a22 a23
线性代数方程组的直接解法赖志柱
第二章线性代数方程组的直接解法教学目标：1.了解线性代数方程组的结构、基本理论以及相关解法的发展历程；2.掌握高斯消去法的原理和计算步骤，理解顺序消去法能够实现的条件，并在此基础上理解矩阵的三角分解（即LU分解），能应用高斯消去法熟练计算简单的线性代数方程组；3.在理解高斯消去法的缺点的基础上，掌握有换行步骤的高斯消去法，从而理解和掌握选主元素的高斯消去法，尤其是列主元素消去法的理论和计算步骤，并能灵活的应用于实际中。
教学重点：1. 高斯消去法的原理和计算步骤；2. 顺序消去法能够实现的条件；3. 矩阵的三角分解（即LU分解）；4. 列主元素消去法的理论和计算步骤。
教学难点：1. 高斯消去法的原理和计算步骤；2. 矩阵的三角分解（即LU分解）；3. 列主元素消去法的理论和计算步骤。
教学方法：教具：引言在自然科学和工程技术中，许多问题的解决常常归结为线性方程组的求解，有的问题的数学模型中虽不直接表现为线性方程组，但它的数值解法中将问题“离散化”或“线性化”为线性方程组。
例如，电学中的网络问题、船体数学放样中建立三次样条函数问题、最小二乘法用于求解实验数据的曲线拟合问题、求解非线性方程组问题、用差分法或有限元法求解常微分方程边值问题及偏微分方程的定解问题，都要导致求解一个或若干个线性方程组的问题。
目前，计算机上解线性方程组的数值方法尽管很多，但归纳起来，大致可以分为两大类：一类是直接法（也称精确解法）；另一类是迭代法。
例如线性代数中的Cramer法则就是一种直接法，但其对高阶方程组计算量太大，不是一种实用的算法。
实用的直接法中具有代表性的算法是高斯（Gauss）消元法，其它算法都是它的变形和应用。
在数值计算历史上，直接法和迭代法交替生辉。
一种解法的兴旺与计算机的硬件环境和问题规模是密切相关的。
一般说来，对同等规模的线性方程组，直接法对计算机的要求高于迭代法。
对于中、低阶（200n ）以及高阶带形的线性方程组，由于直接法的准确性和可靠性高，一般都用直接法求解。
线性方程组的解法与应用知识点总结
线性方程组的解法与应用知识点总结线性方程组是数学中的重要概念，它在各个领域中都有着广泛的应用。
解决线性方程组的问题需要掌握一系列的解法和相关知识点。
本文将对线性方程组的解法和应用进行总结，并给出一些例子来说明其实际应用。
一、解线性方程组的基本方法1. 列主元消元法：列主元消元法是解决线性方程组最常用的方法之一。
其基本思想是通过将方程组化为阶梯型或最简形，进而求解方程组的解。
2. 高斯-约当消元法：高斯-约当消元法是解决线性方程组的另一种常用方法。
它与列主元消元法不同，是以行出发进行消元，最终将方程组化为最简形。
3. 矩阵方法：矩阵方法是一种便捷的解线性方程组的方法。
通过将线性方程组的系数矩阵进行相应运算，可以得到方程组的解。
二、线性方程组的应用1. 工程问题中的线性方程组：在线性方程组的解法中，工程问题是其中的重要应用之一。
例如，在电路分析中，可以通过列主元消元法或矩阵方法解决多个电路元件之间的关系，进而求解未知电流或电压。
2. 经济模型中的线性方程组：经济学中的模型通常涉及到多个未知数之间的关系，而这些关系可以用线性方程组来表示。
通过解决线性方程组，可以得到经济模型的平衡解，以便进行相关的经济分析。
3. 自然科学中的线性方程组：自然科学中的许多问题都可以通过线性方程组的方法求解。
例如，在化学反应中，可以通过解线性方程组来确定各个物质的摩尔浓度；在物理学中，可以通过线性方程组来描述多个物体之间的相互作用。
4. 数据分析中的线性方程组：在数据分析中，线性方程组也有着广泛的应用。
例如，在回归分析中，可以通过解线性方程组来确定自变量与因变量之间的线性关系；在最小二乘法中，可以通过解线性方程组来拟合数据并进行预测。
以上仅仅是线性方程组在实际应用中的一些典型例子，事实上，线性方程组在各个学科中都有着重要的地位，解决实际问题时经常涉及到线性方程组的分析与求解。
总结：通过本文的总结，我们了解了解线性方程组的基本解法和常见应用。
(完整版)2.1,2.2线性方程组的直接法
第二章线性方程组的直接法一、 教学目标及基本要求通过对本章的学习，使学生掌握线性方程组的直接法求解。
二、 教学内容及学时分配本章主要介绍线性方程组的直接法。
具体内容如下：第 第31-32学时讲授内容：追赶法、误差分析。
三、 教学重点难点1. 教学重点：消去法、追赶法。
2. 教学难点：消去法。
四、 教学中应注意的问题多媒体课堂教学为主。
适当提问，加深学生对概念的理解。
五、正文直接法所谓直接法，就是经过有限步算术运算，可求出方程组精确解的方法（若计算过程中没有舍入差）。
但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的 近似解，如何避免舍入误差的增长是设计直接法时必须考虑的问题。
本章将介绍这类方法中最基本的高斯（Gauss ）消去法和矩阵分解法。
由于其准确性和可靠性，这类方法是解除稠 密线性方程组的有效方法。
最近直接法在求解较高阶稀疏线性方程组方面也取得了较大的进 展。
§2.1 消去法1约当消去法例1运用消去法求解方程组4x 1 2X 2 5X 34 (1)X 1 2X 2 71）将方程（1）的第一个方程中 X 1的系数化为1,并从方程组（1）的其余方程中消去 X 1 , 得:29-30学时讲授内容：消去法。
2x 1 x 2 3x3 1(7)x 1 0.5X 2 1.5x 3 0.54 X 2 X 32 （2）2.5X 21 .5X 3 6.52）将（2）中的第二个方程中 X 2的系数化为1,从其余方程中消去 X 2X 1 1 .375X 3 0.75X 2 0.25X 3 0.5（3）0.875X 3 5.25最后将方程（3）中第三个方程中X 3的系数化为1，从其余方程中消去X 3X 1 9 X 21 X 36上述算法就是所谓的约当消去法， 特点：每一步仅在一个方程中保留某个变元，而从其余各个方程中消去这个变元，最后，每个方程都变为仅含一个变元的形式， 从而得出所求的解。
第二章解线性方程组的直接方法总结
本章讨论n元线性方程组
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a x a x ... a x b 21 1 22 2 2n n 2 ................................................ a n1 x1 a n 2 x2 ... a nn xn bn
i -1 i -1 i -1 i -1
xi 1 , xi 2 ,
xi bi
, xn 已全部计算出,则
i 1
i 1
ai i 1 xi 1
ain xn
i 1
aii
i 1
。
因此,回代公式为: n 1 n 1 xn bn ann i 1 i 1 xi bi i 1 ai ii11 xi 1 ain xn aii , i n 1, , 2,1
4 1 2 1 3 1 2
1 7 2 1 0 3 3 3 0 1.5 0.5 3.5
x3 5 1 5 x2 3 3 x3 3 3 3 5 3 4
若矩阵A非奇异,即det(A)≠0,则方程组(2.1)有唯一解。 所谓直接解法是指，若不考虑计算过程中的舍入误差， 经过有限次算术运算就能求出线性方程组的精确解的方法。 但由于实际计算中舍入误差的存在，用直接解法一般也只 能求出方程组的近似解。 Cramer法则是一种不实用的直接法，下面介绍几种实 用的直接法。
我们来叙述消 xk 的情况,在消
x1 , x2 , , xk 1 后的增广矩阵为:
0 a11 0 k 1 b 0 0 a12
第2章解线性方程组的直接方法5_6
~ ~ ~ = ∏ uii ⋅ ukk = det Ak −1 ⋅ u kk det Ak
i =1
k −1
~ = det Ak > 0 u kk det Ak −1
(记 det A0 = 1)
以上 k = 1 ,2 , ⋯ , n
2
因此 ~ u11 ~ U= ~ u11 =
4. 解LTx = y:
4.1 xn = yn / ann
4.2 for i=n-1,n-1,…,1 do
xi = ( yi −
k = i +1
∑a
n
ki k
x ) / aii
11
例1.
用平方根法解对称正定方程组
6 7 5 x1 9 7 13 8 x2 = 10 5 8 6 x 9 3
事实上,对称正定方程组也可以用顺序Gauss消去法求解 而不必加入选主元步骤
16
§2.6
对角占优矩阵: 对角占优矩阵
追赶法(Thomas算法 算法) 追赶法 算法 补充
i = 1 ,2 ,⋯ , n
若矩阵A = ( aij )n× n 满足
|aii |> ∑|aij |
j =1 j ≠i
n
则称A为严格对角占优矩阵. 若矩阵A = ( aij )n× n 满足
|aii | ∑|aij | ≥
j =1 j ≠i
n
i = 1 ,2 ,⋯ , n
17
则称A为弱对角占优矩阵.
有一类方程组,在今后要学习的插值问题和边值问题中 有一类方程组 在今后要学习的插值问题和边值问题中 有着重要的作用,即三对角线方程组 其形式为: 即三对角线方程组,其形式为 有着重要的作用 即三对角线方程组 其形式为
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解 step1
消元
4 x 1 5 x 2 x 3 11 x 2 x x 0 2 3 1
r2 2r1 r3 1 2 r1
2 4 1
1 5 2
7 1 11 1 0 1
3 )r2
2 0 0
1 1 7 3 3 3 2.5 0.5 3.5
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由上例可以看出,为提高算法的数值稳定性, 应选取绝对值 尽可能大的元素作主元. 按列部分选主元的消去法也称列主元消去法。
设已用列主元消去法完 成k 1步消元(1 k n 1) 方程组变为A( k 1) x b( k 1) , 此时增广矩阵为
第二章 线性方程组的直接解法
/* Direct Methord for Solving Linear Systems */
第一节 第二节
第三节
Gauss消去法 直接三角分解方法
方程组的性态与误差估计
1 上一页 下一页 返回
I. 在自然科学与工程技术中，很多问题的解
决常常归结为解线性方程组的问题：
如电学中的网络问题，机械和建筑结构的设计和 计算等。
定义
称第k步消元时保留的第k 个方程为主方程,其首项
( k 1) 系数akk 为第k步的主元.
顺序消去法的缺点为：
1. 当主元akk(k -1)=0时, 消元过程不能继续进行；
2. 当akk (k -1) ≠0时, 虽然消元过程可以进行, 但若
akk (k -1) ≈0时, 计算 lik a
( k n 1, n 2,
,1)
定理
若A的所有顺序主子式 /* determinant of leading principal
submatrices */ 均不为0，则高斯消元无需换行即可进行到底，
得到唯一解。
1 存在，则可通过逐次消 注：事实上，只要 A 非奇异，即 de t(Ai ) ... A ... ... 元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出唯一解。 a i 1 ... a ii
直接法（通过有限步计算得到精确解，适用于低
阶、大型带型阵） 迭代法（通过逐次迭代逼近得到近似解，适用于 大型稀疏、非带型阵，第五章内容）
基本解法
Ann Cramer x b 法则、消元法。 求解线性方程组： 对此方程组进行求解有两种方法：采用
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
严重失真.
( k 1) ik
/a
( k 1) kk 时,
会出现很
小的数作除数的现象,使舍入误差增大,导致解的
15 上一页 下一页 返回
二、主元素消去法
例2 解方程组
x1 x2 1.00001 0.00001 x2 3 2 x1
用Gauss消去法计算：
/* 精确解为 x1 1, x2
§1
Gauss消去法
思 首先将A化为上三角阵 /* upper-triangular matrix */， 路 再回代求解 /* backward substitution */。
=
一、 高斯顺序消去法 是一种古老的求解线性方程组的方法, 按自然顺序进 行消元的方法.
6 上一页 下一页 返回
例1 解方程组 2 x 1 x 2 x 3 7
1 */
2 5 1
0.1000 104 0.2000 10
0.1000104 0
0.1000 10 0.1000 10 r 210 r 0.1000 10 0.3000 10
0.100010 0.2000106 0.100010 0.2000106
( k 1) a k ,k 1 (k ) ak 1,k 1
, n)
A( k )
a (0) 11
(0) a12
( k 1) a kk
(k ) an ,k 1
(0) a1 n ( k 1) a kn (k ) ak 1,n (k ) a nn
计算量大
则方程组有唯一解：x1
A1 A
, , xn
An A
其中Ak是将 A 的第 k 列元素依次换成常数项b1,…,bn得到的行列式。
对于20阶的线性方程组, 若用Cramer法则求解, 其乘、除运算 次数为9.7*1020, 用一亿次/秒的计算机, 要30.8万年！若用高斯消去 法进行数值求解，乘、除运算只需约3060次。 5
得同解方程组 2 x 1 x 2 x 3 7 3 x 2 3 x 3 － 3 2 x 3 － 6
7 上一页 下一页 返回
r3 ( 2.5
2 0 0
1 3 0
1 3 2
7 3 6
Step2
对上三角形方程进行回代求解, 得
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然后用第i 行减去第 k行乘以 lik ,即
a
(k) ij
a
( k 1) ij
lik a
( k 1) kj
， ( j k 1, ..., n)
( k 1 ) bi( k ) bi( k1) lik bk
(i k 1, k 2,
6 x 3 2 3 x 2 ( 3 3 x 3 ) / 3 2 x (7 x x ) / 2 1 2 3 1
同解方程组: 2 x 1 x 2 x 3 7 3 x 2 3 x 3 －3 2 x 3 －6
设第k 1步计算已完成,即已计算出与 (1)式等价的方 程组A( k 1) x b( k 1) , 其中A( k 1)具有形式
(0) a11 (0) a12 (1) a22 (0) a1 n (1) a2 n ( k 1) akn ( k 1) ann
(0) b1 (1)式变为A( 0) x b 则 (0) bn
b( 0)
a 0 0
(0) 11
a
a
(0) 12 (1) 22
(1) an 2
x1 b a x 2 b ( 1 ) b (1) x a nn n n a
D D a kk
ann 0
F
消 元 过 程
D D a nn ak ,n1 (ak ,n1
n j k 1
输出失败信息 ,停
k n, n 1, ,1
akj a jn ) / akk ,
回代过程
14 上一页 下一页 返回
输出a k ,n1(即xk )(k 1,, n),系数行列式D, 结束
13 上一页 下一页 返回
a11
... a1i
高斯顺序消去法流程图
输入方程阶数n, 增广矩阵a(n, n 1), k 1, D 1
akk 0 F i k 1,, n,
k=k+1
aik aik / akk
输出失败信息 ,停
j k 1,, n, n 1, aij aij aik akj
11 上一页 下一页 返回
Step 3：继续上述过程, 且设 aii（i-1）≠0(i=1,2,…,n-1),直 到完成第 n-1 次消元, 最后得到与 A(0)x=b(0) 等价的三角 形方程组 A(n-1)x=b(n-1).
A( n1) x b( n1)
(2)
(0) 1 (1) 2
a
下面我们来一般性地讨论求解n阶线性方程组的 高斯顺序消去法.
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消元
( 0) 令A( 0) A (aij )nn ,b ( 0 )
(0) (0) (0) (0) a11 a12 a1 b n 1 (0) (0) A A , b b (0) (0) (0) (0) a a a n2 nn n1 bn ( 0) ( 0) (0) 0 ，计算因子 li 1 ai 1 / a11 (i 2, ..., n) Step 1：设 a11 将增广矩阵/* augmented matrix */ 第 i 行 li1 第1行，得到 与(1)式等价的方程组
12 上一页 下一页 返回
将(1)式化为(2)式的过程称为消元过程.
回代
求解三角形方程组(2), 得求解公式:
( n 1) b n x ( n 1) n ann n ( k 1) ( k 1) ( b a xj) k kj j k 1 ( k 1) xk a kk
回代求解x2 1, x1 0 ? 若将1， 2两行互换得
0.200010 0.100010 0.300010 r2 0.5105 r1 0.100010－4 0.100010 0.100010 0.200010 0.100010 0.300010 x2 1, x1 1 0 0.100010 0.100010 16
若 A 0, 解存在且唯一.
Cramer(克莱姆)法则
定理：如果线性方程组 a11 x1 a1n xn b1 a x a x b nn n n n1 1 的系数行列式非零，即
a11 a1n | A | 0 an1 ann