递推关系的应用

递推方法的应用

【知识提纲】

一、递推

如果前一件事与后一件事存在确定的关系，那么，就可以从某一（几）个初始条件出发逐步递推，得到任一时刻的结果，用递推的方法解题，与数学归纳法（但不用预知结论），无穷递降法相联系，关键是找出前号命题与后号命题之间的递推关系。

用递推的方法计数时要抓好三个环节： （1）设某一过程为数列()f n ，求出初始值(1),(2)f f 等，取值的个数由第二步递推的需要决定。

（2）找出()f n 与(1)f n -，(2)f n -等之间的递推关系，即建立函数方程。 （3）解函数方程()f n

二、应用

例1、平面上有2009个圆，其中任意两个圆相交于两点，任意三个圆都不共点，试问这2009个圆把平面分成多少个部分？

思考：试问n 条直线最多能将平面分成多少部分？又n 个平面最多将空间分成多少个部分？

例2、如图,为美化环境,某地决定在一个大型广场建一个同心圆形花坛,花坛分为两部分,中

间小圆部分种植草坪,周围的圆环分为n(n≥3,n∈

)部分;现将红、黄、蓝三种不同

颜色的花种植在圆环中的各部分,要求三种花色齐全且相邻两部分花色不同.设圆环分为n 部分时,共有

种种法;例如

= 6,=18,则(1)=_________;(2)将

用含有

的式子表示为_____(n≥3,n∈

).

例3、函数f(x)＝x 2－2x －3.定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P(4,5)、Q n (x n ，f(x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标．

(1)证明：2≤x n

例4、给定正整数)2(≥n n 按下列方式构成倒立三角形表，第一行依次写上数1,2,3，…，

n ,在每行的每相邻两个数的下方写上这两个数之和，

得到第二行的数（比上一行少一个数）， 依次类推，最后一行（第n 行）只有一个数，例如n =6时数表如图所示。记k m a ,表示第m 行第k 个数（)n m ≤。

则（1）若n =7时，=1,7a __________. (2)若n =2012时，=1,2012a

__________.

1 2 3 4 5 6 3 5 7 9 11 8 12 16 20 20 28 36 48 64 112

第4题

例5、已知有足够多个11⨯的正方形和12⨯的多米诺骨牌，设n 是大于3的整数，问：拼成n ⨯3的长方形有多少种不同的方法，其中多米诺骨牌较长的边与长方形边长为3的边平行，且任意两块多米诺骨牌均不相邻。

例6、桌面上有)100(>n n 个杯子，杯口全部向上，按如下规则对杯子进行操作：第1次任意翻动其中1个杯子，第2次任意翻动其中两个杯子，……,第m

次任意翻动其中m 个杯子，每次操作都是把杯口的方向由原来的向上（或向下）改向下（或向上），求证：翻动100次后，杯口向下的个数必为偶数个

同步训练（3）递推方法的应用

1、如图1－3所示，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等，设OA n ＝a n ，若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．

2、已知数列{}n x 满足,...),5,4,3)((2

1

,22112=+==

--n x x x x x n n n 若2lim =∞→n n x ，则

=1x ________．

3、若数列{}n a a a ,...,,21使得每一个i a )10,...,2,1(=i ，要么是1，要么是-1，且没有连续三项都是1，则这样的数列的个数为________．

4、一个凸六边形，它的任意三条对角线不交于一点，则所有对角线的交点个数为________．

5、数列{}n a 中，4

1

,111++==+n n n a a a a ，则99a =________．

6、一个递增数列{}n a （0>n a ）具有以下性质：对于任意*

∈N n ,均有n n n a a a +=++12，

且,1207=a 则8a 的值为________．

7、设在数列{}

n a 中，4

1

1≠

=a a ，且⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+=+为奇数）（为偶数）n a n a a n n n 41(2

1

1，记,...,3,2,1(,41

12=-=-n a b n n 则∑=∞→n

k k n b 1

lim =________．

8、数列,...,,210a a a ，满足[]{}

,1

,310n n n a a a a +==+其中[]{}n n a a ,分别表示n a 的整数部分和分数部分，则=2009a ________．

9、如图1－11，从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x 于点Q 1(0,1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.现从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n ，记P k 点的坐标为(x k,0)(k ＝1,2，…，n )．

(1)试求x k 与x k －1的关系(2≤k ≤n )； (2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |.