第二章 一维定态问题
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第二章 一维定态问题
一 内容提要
1 几个重要的一维定态问题
[1] 一维无限深势阱 {0
,00
)(≤≥<<∞
=x a x a x x V ,3,2,122
2
22=μπ=
n a n E n
∞≥≤<<π⎩
⎨⎧=ψx x a x a x n a x n ,000
s i n 2)( [2] 一维线性谐振子
2221)(x x V μω= ,3,2,1)2
1
(=ω
+=n n E n
)()(222
1
x H e N x n x n n α-=ψ [其中 !
2n N n n πα=
μω
=
α ] [3] 定轴转动子
I
L H
2ˆˆ2ϕ=
I
m E n 22
2 =
),3,2,1,0(21 =π
=
ψϕ
m e im n
2 一维定态问题的性质 设)()(*
x V x V =
[1] 如果)(x ψ是定态S.eq 的解，那么)(x *
ψ也是定态S.eq 的解。 [2] 如果)()(x V x V -= 则)(x -ψ也是定态S.eq 的解。
[3] 如果)(x V 是x 的连续函数，那么)(x ψ和)('
x ψ也是连续的；
如果)(x V 为阶梯形方势⎩⎨⎧><=a x V a x V x V 2
1)(且12V V -有限，
那么)(x ψ和)('x ψ也是连续的； 如果∞→-12V V 时，那么)(x ψ连续而)('
x ψ不连续；
二 例题讲解 1 设粒子处于一维无限深势阱中，{0
,00
)(≤≥<<∞
=x a x a x x V ， 证明处于能量本征态)(x n ψ的粒子，)6
1(12)(2/2222
π
-=-=n a x x a x
讨论
∞→n 的情况，并与经典力学计算结果比较。
证明：2sin
2)(020
2
a dx a x n x a dx x x x a
a
n =π=ψ=⎰⎰ )6
1(124)()(2220
22
2
2
2
2
π-=-
ψ=-=-⎰n a a dx x x x x x x a
n 经典情况下，在区域),0(a 中粒子处于dx 范围中的几率为
a
dx
则 20a a dx x x a
==⎰ 320
22a a dx x x a
==⎰ 1243)(2222
22a a a x x x x =-=-=- 2 设粒子处于一维无限深势阱中，粒子的波函数为)()(x a Ax x -=ψ，A 为归一化常数。 [1] 求A ；[2] 粒子处于能量本征态a
x n a
x n π=ψsin 2)(的几率n P 。
解：[1] 由归一化条件
⎰⎰
+∞
∞
-=-=ψa
dx x a Ax dx x 0
2
2
1)]([)( 得530
a A = 所以)(30
)(5x a x a
x -=ψ [2] )(x ψ用)(x n ψ展开，)()(x c x n
n
ψ
=ψ∑
)c o s 1(15
4)()(3
3π-π
=ψψ=⎰
n n dx x x c n n 2662
])1(1[240n n
n n c P --π=
= 999.0])1(1[2402
16
1≈--π
=P 这表明)(x ψ与)(1x ψ的几率几乎相同。
3设粒子处于一维无限深势阱中的基态)1(=n ，设0=t 时势阱宽突然变为a 2，粒子的波
函数来不及改变，即a
x
a x x π=
ψ=ψsin 2)()0,(1 问 [1] )0,(x ψ是否还是能量本征态？ [2] 粒子处于能量1E 的几率。
解：[1] 加宽后的一维无限深势阱的能量本征值和本征态分别是：
2
2
228a n n μπ=ε )0(2s i n 1)(a x a
x n a x n <<π=
ϕ
这表明)0,(x ψ不是能量本征态。 当2=n 时 12E =ε [2] 将)0,(x ψ按照)(x n ϕ展开∑ϕ
=
ψ)()0,(x c x n
n
dx x x dx x x dx x x c a
a
n a
n
n )0,()()0,()()0,()(20
*
ψϕ+ψϕ
=ψϕ=
⎰⎰⎰+∞
∞-
=
dx x x a
n )0,()(0
ψϕ⎰ 得2
1
2=
c 所以粒子处于2ϕ上能量为12E =ε，出现的几率为2/12
2
=c
4 计算能量0>E 的粒子穿透δ势垒)()(0x V x V δ= )0(0>V 的透射系数。 解：相应的定态S.eq 为
)()()](2[02
2
2x E x x V dx d ψ=ψδ+μ- （1） 其解为：⎩⎨⎧><+=ψ-00
)(x Ce
x Be e x ikx
ikx
ikx （2） 其中：222
E k μ= 波函数在0=x 处必须满足的连续条件得：
波函数值连续： C B =+1 （3）
波函数的一阶导数是不连续的，对（1）两边作积分运算
)0(00→ε⎰ε
+ε
-dx
得：
)0(2)0()0(02''ψμ
=
ψ-ψ-+V （4） 即： C V B C ik 022)1(
μ
=+- （5）
由（3）、（5）两式解得： 2
011
k V i C μ+
=
（6） 于是透射系数 2
20422022
2
211
11// E V k V C
k C k j j T μ+
=μ+=
=μ
μ=
=
入
透 （7）
反射系数为：T R -=1 （8）
x