高等代数与解析几何(三)期末考试华中师大

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《高等代数与解析几何(下) 》期末考试试卷(A 卷)

6．(10 分) 用非退化线性替换将二次型
化为标准型．
q(x1, x2 , x3 ) = x12 − 2x1x3 + x22 + 2x2 x3 − x32
7．（13 分）设V1 与V2 分别是齐次线性方程组 x1 + x2 + + xn = 0 与 x1 = x2 = = xn
的解空间,证明 K n = V1 ⊕V2 .
5 5 λ+7 5 5 λ+7故特征向量为 Nhomakorabea2 和 3.
………………5 分
⎛ −1⎞ ⎛ −1⎞
当 λ1
=
−2 时，特征向量η1
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
,η2
=
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
.
⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎜⎝ 1 ⎟⎠
………………2 分
⎛ −1⎞
当 λ2
=
3 时，特征向量η3
=
⎜ ⎜
−1⎟⎟ .
⎜⎝ 1 ⎟⎠
………………2 分
命题共 2 页第 1 页
三．解答题：（共 80 分）
⎛3 5 5⎞
1．(15 分)
设
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎝
5 −5
3 −5
5
⎟ ⎟
，问矩阵
A 是否可以相似于一个对角矩阵,若可
−7 ⎟⎠
以,求一个可逆矩阵T ,使T −1AT 为对角形矩阵.
2．(10 分) 求单叶双曲面 x2 + y2 − z2 = 1上过点（-3，-2，4）的直母线的方程． 9 4 16
矩
阵.
4. n 维线性空间V 的线性变换 A 在某个基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是 A

华中师大《高等数学》练习测试题库及答案（可编辑）

华中师大《高等数学》练习测试题库及答案华中师范大学网络教育《高等数学》练习测试题库及答案一.选择题1.函数y 是()A.偶函数B.奇函数 C 单调函数D 无界函数2.设fsincosx+1,则fx为()A 2x-2B 2-2xC 1+xD 1-x3.下列数列为单调递增数列的有()A.0.9 ,0.99,0.999,0.9999B.,,,C.fn,其中fnD.4.数列有界是数列收敛的()A.充分条件B. 必要条件C.充要条件D 既非充分也非必要5.下列命题正确的是( )A.发散数列必无界B.两无界数列之和必无界C.两发散数列之和必发散D.两收敛数列之和必收敛6.()A.1B.0C.2D.1/27.设e 则kA.1B.2C.6D.1/68.当x1时,下列与无穷小(x-1)等价的无穷小是( )A.x-1B. x-1C.x-1D.sinx-19.fx在点xx0处有定义是fx在xx0处连续的()A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件10、当|x|1时,y ()A、是连续的B、无界函数C、有最大值与最小值D、无最小值11、设函数f(x)(1-x)cotx要使f(x)在点:x0连续,则应补充定义f(0)为()A、 B、e C、-eD、-e-112、下列有跳跃间断点x0的函数为()A、 xarctan1/xB、arctan1/xC、tan1/xD、cos1/x13、设fx在点x0连续,gx在点x0不连续,则下列结论成立是( )A、fx+gx在点x0 必不连续B、fx×gx在点x0必不连续须有C、复合函数f[gx]在点x0必不连续D、在点x0必不连续14、设fx 在区间- ∞,+ ∞上连续,且fx0,则a,b满足()A、a>0,b>0B、a>0,b<0C、a<0,b>0D、a<0,b<015、若函数fx在点x0连续,则下列复合函数在x0也连续的有( )A、B、 C、tan[fx]D、f[fx]16、函数fxtanx能取最小最大值的区间是下列区间中的( )A、[0,л]B、(0,л)C、[-л/4,л/4]D、(-л/4,л/4)17、在闭区间[a ,b]上连续是函数fx有界的()A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件18、fafb <0是在[a,b]上连续的函fx数在(a,b)内取零值的( )A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件19、下列函数中能在区间0,1内取零值的有( )A、fxx+1B、fxx-1C、fxx2-1D、fx5x4-4x+120、曲线yx2在x1处的切线斜率为( )A、k0B、k1C、k2D、-1/221、若直线yx与对数曲线ylogx相切,则( )A、eB、1/eC、exD、e1/e22、曲线ylnx平行于直线x-y+10的法线方程是( )A、x-y-10B、x-y+3e-20C、x-y-3e-20D、-x-y+3e-2023、设直线yx+a与曲线y2arctanx相切,则a( )A、±1B、±л/2C、±л/2+1D、±л/2-124、设fx为可导的奇函数,且f`x0a, 则f`-x0( )A、aB、-aC、|a|D、025、设y? ,则y’|x0( )A、-1/2B、1/2C、-1D、026、设ycossinx,则y’|x0()A、-1B、0C、1D、不存在27、设yfx ?1+X,yf[fx],则y’|x0( )A、0B、1/ ?2C、1D、 ?228、已知ysinx,则y10( )A、sinxB、cosxC、-sinxD、-cosx29、已知yx?x,则y10( )A、-1/x9B、1/ x9C、8.1/x9D、 -8.1/x930、若函数fxxsin|x|,则( )A、f``0不存在B、f``00C、f``0 ∞D、 f``0 л31、设函数yyfx在[0,л]内由方程x+cosx+y0所确定,则|dy/dx|x0()A、-1B、0C、л/2D、 232、圆x2cosθ,y2sinθ上相应于θл/4处的切线斜率,K( )A、-1B、0C、1D、 233、函数fx在点x0连续是函数fx在x0可微的( )A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件34、函数fx在点x0可导是函数fx在x0可微的( )A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件35、函数fx|x|在x0的微分是( )A、0B、-dxC、dxD、不存在36、极限的未定式类型是( )A、0/0型B、∞/∞型C、∞ -∞D、∞型37、极限的未定式类型是()A、00型B、0/0型C、1∞型D、∞0型38、极限( )A、0B、1C、2D、不存在39、xx0时,n阶泰勒公式的余项Rnx是较xx0 的( )A、(n+1)阶无穷小B、n阶无穷小C、同阶无穷小D、高阶无穷小40、若函数fx在[0, +∞]内可导,且f`x >0,xf0 <0则fx在[0,+ ∞]内有()A、唯一的零点B、至少存在有一个零点C、没有零点D、不能确定有无零点41、曲线yx2-4x+3的顶点处的曲率为( )A、2B、1/2C、1D、042、抛物线y4x-x2在它的顶点处的曲率半径为( ) A、0B、1/2 C、1D、243、若函数fx在(a,b)内存在原函数,则原函数有()A、一个B、两个C、无穷多个D、都不对44、若∫fxdx2ex/2+C( )A、2ex/2B、4 ex/2C、ex/2 +CD、ex/245、∫xe-xdx ( D )A、xe-x -e-x +CB、-xe-x+e-x +CC、xe-x +e-x +CD、-xe-x -e-x +C46、设P(X)为多项式,为自然数,则∫Pxx-1-ndx( )A、不含有对数函数B、含有反三角函数C、一定是初等函数D、一定是有理函数47、∫-10|3x+1|dx( )A、5/6B、1/2C、-1/2D、148、两椭圆曲线x2/4+y21及x-12/9+y2/41之间所围的平面图形面积等于( )A、лB、2лC、4лD、6л49、曲线yx2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是( )A、лB、6л/15C、16л/15D、32л/1550、点(1,0,-1)与(0,-1,1)之间的距离为( )A、B、2 C、31/2 D、 21/251、设曲面方程(P,Q)则用下列平面去截曲面,截线为抛物线的平面是( )A、Z4B、Z0C、Z-2D、x252、平面xa截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c21所得截线为( )A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、两相交直线53、方程0所表示的图形为( )A、原点(0,0,0)B、三坐标轴C、三坐标轴D、曲面,但不可能为平面54、方程3x2+3y2-z20表示旋转曲面,它的旋转轴是( )A、X轴B、Y轴C、Z轴D、任一条直线55、方程3x2-y2-2z21所确定的曲面是( )A、双叶双曲面B、单叶双曲面C、椭圆抛物面D、圆锥曲面56、设函数f(x)=—— ,g(x)=1-x,则f[g(x)]= ( )x 1 1 1A.1- ——B.1+ ——C. ————D.x x x 1- x 157、x→0 时,xsin——+1 是 ( ) x A.无穷大量 B.无穷小量 C.有界变量D.无界变量58、方程2x+3y=1在空间表示的图形是 ( ) A.平行于xoy面的平面 B.平行于oz轴的平面 C.过oz轴的平面 D.直线59、下列函数中为偶函数的是( ) A.y=e^x B.y=x^3+1C.y=x^3cosxD.y=ln│x│60、设f(x)在(a,b)可导,a〈x_1〈x_2〈b,则至少有一点ζ∈(a,b)使( )A.f(b)-f(a)=f'(ζ)(b-a)B.f(b)-f(a)=f'(ζ)(x2-x1)C.f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(b-a)D.f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(x2-x1)61、设f(X)在 X=Xo 的左右导数存在且相等是f(X)在 X=Xo 可导的 ( ) A.充分必要的条件 B.必要非充分的条件 C.必要且充分的条件 D既非必要又非充分的条件二、填空题1、求极限 x2+2x+5/x2+1( )2、求极限 [x3-3x+1/x-4+1]( )3、求极限x-2/x+21/2( )4、求极限 [x/x+1]x( )5、求极限 1-x1/x ( )6、已知ysinx-cosx,求y`|xл/6()7、已知ρψsinψ+cosψ/2,求dρ/dψ| ψл/6( )8、已知fx3/5x+x2/5,求f`0( )9、设直线yx+a与曲线y2arctanx相切,则a( )10、函数yx2-2x+3的极值是y1()11、函数y2x3极小值与极大值分别是( )12、函数yx2-2x-1的最小值为()13、函数y2x-5x2的最大值为( )14、函数fxx2e-x在[-1,1]上的最小值为( )15、点(0,1)是曲线yax3+bx2+c的拐点,则有b()c()16、∫xx1/2dx ( )17、若F`xfx,则∫dFx ( )18、若∫fxdxx2e2x+c,则fx19、d/dx∫abarctantdt()20、已知函数fx在点x0连续, 则a( )21、∫02x2+1/x4dx( )22、∫49 x1/21+x1/2dx( )23、∫031/2a dx/a2+x2()24、∫01 dx/4-x21/2()25、∫л/3лsinл/3+xdx( )26、∫49 x1/21+x1/2dx27、∫49 x1/21+x1/2dx( )28、∫49 x1/21+x1/2dx( )29、∫49 x1/21+x1/2dx( )30、∫49 x1/21+x1/2dx( )31、∫49 x1/21+x1/2dx( )32、∫49 x1/21+x1/2dx( )33、满足不等式|x-2|<1的X所在区间为34、设fx [x] +1,则f(л+10)()35、函数Y|sinx|的周期是 ()36、ysinx,ycosx直线x0,xл/2所围成的面积是 ()37、 y3-2x-x2与x轴所围成图形的面积是 ( )38、心形线ra1+cosθ的全长为( )39、三点(1,1,2),(-1,1,2),(0,0,2)构成的三角形为 ( )40、一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离,则该点的轨迹方程是 ()41、求过点(3,0,-1),且与平面3x-7y+5z-120平行的平面方程是()42、求三平面x+3y+z1,2x-y-z0,-x+2y+2z0的交点是43、求平行于xoz面且经过(2,-5,3)的平面方程是 ( )44、通过Z轴和点(-3,1,-2)的平面方程是 ( )45、平行于X轴且经过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程是( )46、函数y=arcsin√1-x^2 + ——————的定义域为_________ √1-x^2_______________。

高等代数与解析几何习题答案

习题习题设A是一个"阶下三角矩阵。

证明：（1）如果A的对角线元素吗H勺（门=1,2,…/）,则A必可对角化；（2）如果A的对角线元素a ll=a22=-=a ll…f且A不是对角阵，则A不可对角化。

证明：（1）因为A是一个〃阶下三角矩阵，所以A的特征多项式为I 2E - A 1= （2 - ! ）（2 - «22）■ • （2 - 6/wj）,又因心工勺（/, j = 1,2, •••,/?）,所以人有" 个不同的特征值，即4有"个线性无关的特征向量，以这〃个线性无关的特征向量为列构成一个可逆阵P,则有厂虫卩为对角阵，故A必可对角化。

（2）假设A可对角化，即存在对角阵〃= 人. ，使得A与B相似，进而A与3有相同的特征值人,人,…人。

又因为矩阵A的特征多项式为Ixtf —A1=（几_°］］）“ ，所以= ■ ■ ■ = A lt =, 从|（［J / 、如B=如=如丘，于是对于任意非退化矩阵x ,都有、% >X"BX =X%EX =gE = B,而A不是对角阵，必有厂曲=3",与假设矛盾，所以A 不可对角化。

习题设“维线性空间V的线性变换”有$个不同的特征值入，易，…,入，匕是人的特征子空间（心1,2,…,s）。

证明：（1）叫+岭+…+匕是直和；（2）a可对角化的充要条件是V = %㊉匕㊉…㊉匕。

证明：(1)取岭+£+・•・ +匕的零向量0，写成分解式有a x +a 2 + -- + a x =0,其中 q e V ； J = 1,2,…,s 。

现用 6b[…,b分别作用分解式两边，可得印+色+…+ % = 0人 © + + ・・• + A s a s = 0 常匕+石么+・・・+町匕=0写成矩阵形式为‘1人( 、1(4S ，…心):J 人f 1由于人,人,…，人是互不相同的，所以矩阵3= 1零，即矩阵B 是可逆的，进而有(卬，色,aJBB" = (0,0,…,0)B" = (0,0,…,0), (a 「勺，…)=(0,0,…,0)。

华中师范大学微分几何期末考试高分题库全集含答案

37428--华中师范大学微分几何期末备考题库37428奥鹏期末考试题库合集单选题：（1）对于空间曲线Ｃ，“曲率为零”是“曲线是直线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件正确答案：D （2）对于空间曲线Ｃ，“挠率为零”是“曲线是直线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件正确答案：D （3）直线的曲率为 A.–１ B.０ C.１ D.２正确答案：B （4）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项 D.选择图中D选项正确答案：A （5）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项正确答案：C （6）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项正确答案：D （7）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项正确答案：C （8）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项正确答案：B （9）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项正确答案：D （10）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项正确答案：C （11）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项正确答案：B （12）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项正确答案：D （13）题面见图片：A.选择图中A选项B.选择图中B选项C.选择图中C选项D.选择图中D选项正确答案：A （14）。

2025届华中师大一附中高三数学第一学期期末达标测试试题含解析

2025届华中师大一附中高三数学第一学期期末达标测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( )A ．iB ．﹣2iC ．2iD ．﹣i2．函数2()1cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（） A ． B ．C ．D ．3．已知(0,)απ∈，且tan 2α=，则cos2cos αα+=（）A ．2535- B ．535- C ．535+ D ．2535+ 4．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为（） A ．B ．C ．D ．5．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，若6PA =，2AB =，则球O 的表面积为（）A ．163πB ．94π C ．6πD ．9π6．已知命题:p 若1a <，则21a <，则下列说法正确的是（） A ．命题p 是真命题 B ．命题p 的逆命题是真命题C ．命题p 的否命题是“若1a <，则21a ≥”D ．命题p 的逆否命题是“若21a ≥，则1a <”7．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表：黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年D ．早于公元前6000年8．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．69．复数的()12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A ．23B ．43C 23D 4311．设22(1)1z i i=+++（i 是虚数单位），则||z =（） A 2B ．1C ．2D 512．已知直线y =k (x +1)(k >0)与抛物线C 2:4y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |=2|FB |，则|FA | =（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三上学期十一月月度检测数学试卷

湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三上学期十一月月度检测数学试卷一、单选题1．已知集合22{|9200},{|log (3)1}A x x x B x x =-+≤=-<，则A B = （）A ．(,5)-∞B ．[4,5)C ．(,5]-∞D ．(3,5]2．若12iiz =-+-，则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知a 为单位向量，向量b 在向量a上的投影向量是2a ，且()4a b a l +^ ，则λ的值为（）A ．2B ．0C ．2-D ．1-4．已知6(1)(1ax -+展开式各项系数之和为64，则展开式中3x 的系数为（）A ．31B ．30C ．29D ．285．在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A ．30B ．36C ．60D ．726．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，图象上的所有点向左平移π12个单位长度得到函数()g x 的图象.若对任意的x ∈R 都有()()0g x g x +-=，则图中a 的值为（）A ．1-B ．C ．D ．7．已知数列{}n a 的通项公式21nn a =-，在其相邻两项k a ，1k a +之间插入2k 个()*3k ∈N ，得到新的数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n S ，则使100n S ≥成立的n 的最小值为（）A ．28B ．29C ．30D ．318．已知点1F 、2F 是椭圆()2222:10x y B a b a b+=>>的左、右焦点，点M 为椭圆B 上一点，点1F 关于12F MF ∠的角平分线的对称点N 也在椭圆B 上，若127cos 9F MF ∠=，则椭圆B 的离心率为（）A B ．3C ．1025D ．5二、多选题9．已知直线:20l mx y m -++=和圆22:(1)(2)9C x y -+-=相交于M ，N 两点，则下列说法正确的是（）A ．直线l 过定点(1,2)-B ．||MN 的最小值为3C ．CM CN ⋅的最小值为9-D ．圆C 上到直线l 的距离为32的点恰好有三个，则m =10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点1B ，2B ，3B ，…，n B 均在x 轴正半轴上，点1C ，2C ，3C ，…，n C 均在y 轴正半轴上.已知11OB =，122B B =，233B B =，…，1(2)n n B B n n -=≥，11OC =，122312(2)3n n C C C C C C n -====≥ ，四边形111OB D C ，222OB D C ，333OB D C ，…，n n n OB D C 均为长方形.当2n ≥时，记11n n n n n B B D C C --为第1n -个倒“L ”形，则（）A ．点n D 的纵坐标为213n +B ．点1D ，2D ，3D ，…，n D 均在曲线28199y x =+上C ．长方形n n n OB D C 的面积为(1)(21)6n n n ++D ．第10个倒“L ”形的面积为10011．如图，已知四面体ABCD 的各条棱长均等于2，E ，F 分别是棱A ，BC 的中点.G 为平面ABD 上的一动点，则下列说法中正确的有（）A ．三棱锥E AFC -B ．线段+CG GF 的最小值为3C ．当G 落在直线A 上时，异面直线EF 与AG 所成角的余弦值最大为3D ．垂直于EF 的一个面α，截该四面体截得的截面面积最大为1三、填空题12．无人酒店是利用人工智能与物联网技术为客人提供自助入住等服务的新型酒店，胜在科技感与新奇感.去某地旅游的游客有无人酒店和常规酒店两种选择.某游客去该地旅游，第一天随机选择一种酒店入住，如果第一天入住无人酒店，那么第二天还入住无人酒店的概率为0.8；如果第一天入住常规酒店，那么第二天入住无人酒店的概率为0.6，则该游客第二天入住无人酒店的概率为.13．在ABC V 中，3AB =，2AD DB = ，π3ACD ∠=，则BC 的最大值为.14．已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数m ，n 均有[()1][()1]()1f m f n f m n +⋅+=++，若(1)1f =，且0x <时，()0f x <，则关于x 的不等式()(2)3f x f x +->的解集为.四、解答题15．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA C C ⊥平面1,1ABC AB AC BC AA ====，1,2A B D =为AC 的中点.(1)证明：AC ⊥平面1A DB ；(2)求平面1A AB 与平面11ACC A 夹角的余弦值.16．红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y （个）和平均温度x （℃）有关.现收集了某地关于红蜘蛛的平均产卵数y 和平均温度x 的7组数据，得到如下散点图.(1)根据散点图，判断模型y bx a =+与e dx y c =（其中e 为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y 与平均温度x 的回归分析模型；（给出判断即可，不必说明理由）(2)由（1）的判断结果，求出y 关于x 的经验回归方程；(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22C ︒以下的年数占60%，对柚子的产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22C ︒至28C ︒的年数占30%，柚子的产量会下降20%；平均气温在28C ︒以上的年数占10%，柚子的产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出多种防害措施供果农选择.在每年价格不变且无虫害的情况下，某果园的年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益=年产值一防害费用）为目标，请为果农从以下3个方案中选择最佳防害方案，并说明理由.方案1：选择防害措施A ，可以防治各种气温的红蜘蛛虫害且不减产，费用是18万元；方案2：选择防害措施B ，可以防治22C ︒至28C ︒的红蜘蛛虫害，但无法防治28C ︒以上的红蜘蛛虫害，费用是10万元；方案3：不采取防虫害措施.附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，其回归直线 ˆy bxa =+ 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为121ni i i nii x ynx y b xnx==-=-∑∑，.ˆây bx=-x721ii x=∑71iii x y=∑71i ii x z=∑xyzln y5215177137142781.33.617．在数列{}中，已知11a =，121nn n a a +=+-.（1）求数列{}的通项公式n a ；（2）记()1n n b a n λ=+-，且数列{}的前n 项和为n S ，若2S 为数列{}n S 中的最小项，求λ的取值范围.18．已知抛物线24y x =，顶点为O ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点.(1)若||8AB =，求线段AB 中点到y 轴的距离；(2)设点G 是线段AB 上的动点，顶点O 关于点G 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值；(3)设D 为抛物线上的一点，过点D 作直线DM ，DN 分别交抛物线于M ，N 两点，作直线DP ，DQ 分别交抛物线于P ，Q 两点，且DM DN ⊥，DP DQ ⊥，设线段MN 与线段PQ 的交点为T ，求直线OT 斜率的取值范围.19．函数()1ln f x x x=-，()g x ax b =+．（1）若函数()()()h x f x g x =-在0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若直线()g x ax b =+是函数()1ln f x x x=-图象的切线，求a b +的最小值；（3）当0b =时，若()f x 与()g x 的图象有两个交点()11,A x y ，()22B x y ，，试比较21x x 与22e 的大小．（取e 为2.8，取ln 2为0.7 1.4）。

(完整)华中师范大学数学分析期末考试试题2

数学分析期末考试试题一、叙述题:（每小题6分，共18分）1、牛顿—莱不尼兹公式2、 ∑∞=1n n a收敛的cauchy 收敛原理3、全微分二、计算题：（每小题8分，共32分）1、40202sin lim x dt t x x ⎰→2、求由曲线2x y =和2y x =围成的图形的面积和该图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积。

3、求∑∞=+1)1(n nn n x 的收敛半径和收敛域，并求和4、已知z y x u = ，求yx u ∂∂∂2 三、（每小题10分，共30分）1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数 ∑∞=1!n n n n 2、讨论反常积分⎰+∞--01dx e x x p 的敛散性3、讨论函数列),(1)(22+∞-∞∈+=x n x x S n 的一致收敛性四、证明题（每小题10分，共20分）1、设)2,1(11,01 =->>+n n x x x n n n ，证明∑∞=1n n x 发散 2、证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0)点连续且可偏导,但它在该点不可微.,参考答案一、1、设)(x f 在连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则成立)()()(a F b F dx x f ba -=⎰ 2、,0.0>∃>∀N ε使得N n m >>∀，成立ε<+++++m n n a a a 213、设2R D ⊂为开集，],[b a D y x y x f z ∈=),(),,(是定义在D 上的二元函数，),(000y x P 为D 中的一定点，若存在只与点有关而与y x ∆∆,无关的常数A 和B ，使得)(22y x o y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆则称函数f 在点),(000y x P 处是可微的,并称y B x A ∆+∆为在点),(000y x P 处的全微分二、1、分子和分母同时求导316sin 2lim sin lim 54060202==→→⎰x x x x dtt x x x （8分) 2、、两曲线的交点为（0，0），（1，1)（2分）所求的面积为：31)(102=-⎰dx x x （3分）所求的体积为:103)(105ππ=-⎰dx x x （3分） 3、解：设∑∞=+=1)1()(n nn n x x f ，1)1(1)2)(1(1lim =+++∞→n n n n n ,收敛半径为1，收敛域 [-1，1］（2分）),10(),1ln(11)1()(121'<<---=+=∑∞=-x x x x n x x f n n )10(),1ln(11)()(0'<<--+==⎰x x x x dt t f x f x (3分) x =0级数为0，x =1，级数为1，x =-1,级数为1—2ln2(3分）4、解： y u ∂∂=z x x z y ln （3分）=∂∂∂y x u 2zx x x x zyz y 1ln 1+-（5分）三、1、解、有比较判别法，Cauchy,D’Alembert,Raabe 判别法等（应写出具体的内容4分）11)111(lim !)1()!1(lim -∞→+∞→=+-=++e n n n n n n n nn n （4分)由D’Alembert 判别法知级数收敛（1分） 2、解：⎰⎰⎰+∞----+∞--+=1110101dx e x dx e x dx e x x p x p x p （2分）,对⎰--101dx e x x p ，由于)0(111+→→---x e x x x p p 故p >0时⎰--101dx e x x p 收敛（4分）；⎰+∞--11dx e x x p ，由于)(012+∞→→--x e x x x p （4分)故对一切的p ⎰+∞--11dx e x x p 收敛,综上所述p >0,积分收敛3、解：221)(n x x S n +=收敛于x （4分）0)(sup lim ),(=-+∞-∞∈∞→x x S n x n 所以函数列一致收敛性（6分）四、证明题（每小题10分,共20分）1、证明:11123221213423-=-->=-n n n x x x x x x x x n n n )2(,112>->n x n x n （6分） ∑∞=-211n n 发散，由比较判别法知级数发散（4分) 2、证明:||||022xy y x xy≤+≤（4分）22)0,0(),(lim y x xy y x +→=0所以函数在（0，0）点连续，（3分)又00lim 0=∆→∆x x ,)0,0(),0,0(y x f f 存在切等于0，(4分）但22)0,0(),(lim y x y x y x ∆+∆∆∆→∆∆不存在,故函数在（0，0）点不可微（3分）。

湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024届高三年级高考考前素养卷(最后一卷)数学试卷+答案

2024届高三年级高考考前素养卷数学试题总分：150分，考试时间：120分钟命审题：数学核心素养小组一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.设复数23i i1iz -+=--，则z 的虚部是（）A.1B.-1C.iD.i-2.设双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若2FH FO a ×=uuu r （O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（）B.3C.23.若命题“[]1,3a $Î，()2220ax a x +-->”是假命题，则x 不能等于（）A.1- B.0C.1D.234.若函数()()sin 2f x x j =+（0πj <<）向左正移j 个单位后在区间π0,2éùêúëû上单调递增，则j =（）A.π3 B.π2C.π6D.2π35.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n S n ìüíýîþ是等差数列，且100S =，63218S S =+，则1a =（）A.1B.9- C.10D.10-6.如图，在ABC △中，90ACB Ð=°，1AC BC ==，D 是CB 边的中点，过点C 作CE AD ^于点E ，延长CE 交AB 于点F ，则BF =（）A.347.01229292929291223343031C C C C +++×××+=´´´´（）A.30231930- B.31232930- C.30231870- D.31232870-8.如图所示是一个以AB 为直径，点S 为圆心的半圆，其半径为4，F 为线段AS 的中点，其中C ，D ，E 是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半圆围成一个以S 为顶点的圆锥的侧面，则在该圆锥中下列结果正确的是（）A.CEF △为正三角形B.SA ^平面CEFC.//SD 平面CEFD.点D 到平面CEF 的距离为二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.设函数()321222f x x x x =-+，则下列结论正确的是（）A.存在实数0x 使得()()00f x f x =¢B.方程()3f x =有唯一正实数解C.方程()1f x =-有唯一负实数解D.()1f x =有负实数解10.已知随机事件A ，B 满足()()14P AB P AB ==，()1P A B +=，则下列结论正确的是（）A.()()P A P B = B.()34P A =C.()()P B A P B = D.()13P A B =11.设点()11,A x y （10x ¹）是抛物线24y x =上任意一点，过点A 作抛物线24x y =的两条切线，分别交抛物线24y x =于点()22,B x y 和点()33,C x y ，则下列结论正确的是（）A.()12128y y y y +=-B.1230y y y ++=C.12316y y y = D.直线BC 与抛物线24x y =相切三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知曲线()2ln x x a f x =+在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为π3，则a 的值为______.13.已知0x a <<，0y a <<，若有且只有一组数对();x y满足不等式+£，则实数a 的取值集合为______.14.在三棱锥中P ABC -，AB BC ==AB BC ^.记直线PA ，PC 与平面ABC 所成角分别为a ，b ，已知260b a ==°，当三棱锥P ABC -的体积最小时，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）在等差数列{}n a （*n ÎN ）中，1211a a +=，310a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若121n n n n b a a a ++=，数列的{}n b 前n 项和为n T ，证明1168n T <.16.（15分）如图1，在矩形ABCD 中，2AB =，BC =，将ABD △沿矩形的对角线BD 进行翻折，得到如图2所示的三棱锥A BCD -，且AB CD ^.图1图2（1）求翻折后线段AC 的长；（2）点M 满足2AM MD =uuuu r uuuu r，求CM 与平面ABD 所成角的正弦值.17.（15分）已知函数()2e e xf x ax =+-，a ÎR .（注：e 2.71828=×××是自然对数的底数）（1）若()f x 无极值点，求实数a 的取值范围；（2）当0x ³时，()31e 12f x x x ³+-+恒成立，求实数a 的取值范围.18.（17分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的半长轴的长度与焦距相等，且过焦点且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线0l ：220x y +-=与椭圆C 交于A ，B 两点，过点()2,3P 的直线交椭圆C 于E ，F 两点（E 在靠近P 的一侧）（ⅰ）求PE PF的取值范围；（ⅱ）在直线0l 上是否存在一定点M ，使EMA FMA Ð=Ð恒成立？若存在，求出M 点坐标；若不存在，请说明理由.19.（17分）泊松分布是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量X 的所有可能取值为0，1，2…，且()!kP X k e k l l -==，0,1,2,k =×××其中0l >，则称X 服从泊松分布，记作()X P l ~.（1）设()X P l ~，且()()12P X P X ===，求()2P X =；（2）已知当20n ³，00.05p <£时，可以用泊松分布()P np 近似二项分布(),B n p ，即对于(),X B n p ~，()Y P np ~，当k 不太大时，有()()P X k P Y k =»=.（ⅰ）已知甲地区共有100000户居民，每户居民每天有0.00010的概率需要一名水电工.试估计某天需要至少2名水电工的概率；（ⅱ）在（ⅰ）的基础上，已知乙地区共有200000户居民，每户居民每天有0.00004的概率需要一名水电工.试估计某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率.2024届高三年级高考考前素养卷数学试题参考答案总分：150分考试时间：120分钟命审题数学核心素小组一、单选题，本题共8小题，每小题5分、共40分：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.【答案】A【解析】()()()()1i 1i 1ii 1i 1i 1i z +++==-=--+-+，则i z =，虚部是1，选A.2.【答案】D【解析】∵22c os ,,os c FH FO FH FO FH FO b c FH FO b a ×=×=×==uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r ，∴222ca =，∴离心率e =3.【答案】C【解析】淘汰法或写出真命题，然后根据王元思想求出x 的取值范围.4.【答案】B【解析】函数()()sin 2f x x j =+向左平移j 个单位后为()()sin 23f x x j j +=+，当π0,2x éùÎêúëû时，[]233,π3x j j j +Î+，∵()()sin 23f x x j j +=+单调递增，且0πj <<，∴3π32j =，∴π2j =.5.【答案】B 【解析】设数列n S n ìüíýîþ的公差为d ，首项为1a ，∵63218S S =+，两边同除以6得：63363S S =+，∴33d =，解得1d =，又100S =，即1019010S a d =+=，解得19a =-，故选：B.6.【答案】C【解析】（方法一）设AF AB l =u uu r uur u ，∵AD CF ^，∴0AD CF ×=uuu r uuu r，∴()02AC AB AF AC +-=uuu r uuu ruuur uuu r ，∴()()0AC AB AB AC l +×-=uuu r uuu r uuu r uuu r ，∴()2210AB AC AB AC l l -×+-=uu uuu r uuu r uu r u r u ，∵1AC BC ==，∴21AC =uuu r ，22AB =uuu r ，1AB AC =×uuu r uuu r ，代入解得23l =，∴23AF AB =uuu r uuu r，∴13BF AB ==，故选C.（方法二）因为90ACB Ð=°，AC BC =，所以ABC △为等腰直角三角形，又因为1AC =，AD 为中线，所以1BC =，12CD BD ==，所以AD ===.因为CE AD ^，所以90CED Ð=°，所以AD CE AC CD ×=×，即AC CD CE AD ×==，所以DE ===过点F 作FH CB ^交CB 于点H ，所以90FHB Ð=°，因为tan DE FHFCB CE CHÐ==，设FH HB x ==，则1CHx =-，1x x=-，解得13x =，∴BF =.选C.7.【答案】B 【解析】∵()()()()()2929!112!29!12k C k k k k k k =×+´+-+´+()()()()23129!31!12!29!2!29!31303130k C k k k k +==×=+-+-´´.其中0,1,229k =×××××，∴01229292929291223343031C C C C +++×××+´´´´()310131233131313131312123230313031930C C C C C ---=++×××==´´，选B.8.【答案】C【解析】选项A ，该半圆围成的圆锥，如图所示，设圆锥底面半径为r ，则2π4πr =，∴2r =，∴4CE =，∵F 为AS 的中点，O 为AS 的中点，∴//FO SD ，且122SO CE ==，∴90CFE Ð=°，CEF △为等腰直角三角形，选项A 错误；选项B ，若SA ^平面CEF ，则90AFO Ð=°，直角CEF △中，2AO OF AF ===，∴60AFO Ð=°，选项B 错误；选项C ，∵//FO SD ，∴//SD 平面SAD ，选项C 正确；选项D ，∵CE AD ^，CE SO ^，∴CE ^平面SAD ，∴平面CEF ^平面SAD ，∴D 到直线FO 的距离即为D 到平面CEF 的距离，又∵//FO SD ，∴D 到直线FO 的距离等于O 到直线SD ，选项D 错误；故正确选项为C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.【答案】ABC【解析】由题意可知，函数()()()232211122442222f x x x x x x x x x =-+=-+=-，而()()()12322f x x x =--¢，结合图像易得.故正确选项为ABC.10.【答案】ABD【解析】∵()()()P A P AB P AB =+，∴()()()P AB P A P AB =-，∵()()()P B P AB P AB =+，∴()()()P AB P B P AB =-，∵()()P AB P AB =，∴()()()()P A P AB P B P AB -=-，∴()()P A P B =，故A 正确；∵()()()()1P A B P A P B P AB +=+-=，∴()()21P AB P A =-，又∵()()()14P AB P A P AB =-=解得()34P A =，()12P AB =，故B 正确；()()()()132243P AB P B A P B P A ==¸=¹，故C 不正确；()()()141433P ABP A B P B ==´=，故D 正确；综上，选ABD 11.【答案】BCD【解析】∵直线AB 的斜率为121222121212444y y y y k y y x x y y --===-+-，∴直线AB 的方程为()11124y y x x y y -=-+，即()212112144y y y y y y x x +--=-，∵2114y x =，∴直线AB 的方程为()12124y y y y y x -=+，联立24x y =，消y 得：()212121640y y x x y y +--=，∵直线AB 与抛物线24x y =相切，∴()21212Δ16160y y y y =++=，∴()121216y y y y +=，∴选项A 错误；同理可得()131316y y y y +=-，∴()()12121313y y y y y y y y +=+，∵10y ¹，∴()()122133y y y y y y +=+整理得()()231230y y y y y -++=，∵23y y ¹，∴1230y y y ++=，∴选项B 正确；由1230y y ++=可得123y y y +=-，代入()121216y y y y +=-得12316y y y =，∴选项C 正确；将直线BC 的方程与抛物线24x y =联立，同理可得()222323123Δ161616160y y y y y y y =++=-=，∴直线BC 与抛物线24x y =相切，∴选项D 正确：综上所述，正确选项为BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】1a =+【解析】：函数()2ln x f x x a =+的导数()12x f x x a =+¢(，∵函数f x )在x =1处的倾斜角为∴()π3，211f a =+=¢21a=，∴1a =+13.【答案】{}1【解析】如图所示，0x a <<，0y a <<，(),0A a ，(),B a a ，()0,C a ，(),P x y，PO PA PC PB PO PB PA PC OB AC =+++=+++³+=∵有且只有一组数对(),x y 满足不等式，∴1a =，a 的取值集合为{}1b ，且14.【答案】16π【解析】设点P 在平面ABC 内的投影为P ¢，因为直线PA ，PC 与平面ABC 所成角分别为a ，260b a ==°，则30a =°，根据线面夹角关系可知P P C ¢=，P P A ¢=¢，所以3P C P A ¢=¢线，建立如图所示直角坐标系.令(),P x y ，由阿波罗尼斯圆可知，投影P ¢在圆上运动，以AC 为x 轴，过AC 的中点O 作垂¢，由题可知()2,0A -，()0,2B ，()2,0C.则=，化简得225924x y æö-+=ç÷èø，可知P ¢在以5,02æöç÷èø为圆心，半径为32的圆上，当P C ¢最小时，P P ¢最小，即三棱锥P ABC -的体积最小，此时()1,0P ¢，min 352122P C ¢æö=--=ç÷èø，min P ¢=，P B ¢=∴P 点在底面ABC 上的射影P ¢在AC 上，且90APC Ð=o ，又90ABC Ð=o∴此时三棱锥P ABC -的外接球的球心为AC 的中点，外接球的半径122R AC ==，224π4π216πS R =×==球表面积四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1231110a a a +=ìí=î即11211210a d a d +=ìí+=î解得143a d =ìí=î，所以()()1143131n a a n d n n =+-=+-=+.所以数列{}n a 的通项公式为31n a n =+（2）∵31n a n =+，∴()()()1211313437n n n n b a a a n n n ++==+++（方法一）()()()1211313437n n n n b a a a n n n ++==+++11111631343437n n n n æö=×-×ç÷++++èø∴11111111831343437k n k n n T k k k k ==éùæöæö=---ç÷ç÷êú++++èøèøëûåå化简得：1111118434737n T n n éùæöæö=---ç÷ç÷êú++èøèøëû∴()()11116863437168n T n n =-<++（方法二）()()()()()121111313437343137n n n n b a a a n n n n n n ++éù===êú++++++êúëû1111111116343137631343437n n n n n n n æöæö=-=×-×ç÷ç÷+++++++èøèø∴111111111647710710101331343437n T n n n n éùæöæöæö=-+-+××××-×ç÷ç÷ç÷êú´´´´++++èøèøèøëû111111111628343716863437168n n n n æöæö=-×=-×<ç÷ç÷++++èøèø16.【解析】（1）由AB CD ^，BC CD ^，AB BC B =I ，AB ，BC Ì平面ABC ，可得CD ^平面ABC ，又AC Ì平面ABC ，则AC^在RtACD △中，根据勾股定理，AC ===（2）如图，过A 点作AE BC^于点E ，由（1）可知，平面BCD ^平面ABC ，交于BC ，∴AE ^平面BCD ，∵AC =2AB =，BC =，∴ABC △为直角三角形，∴AB AC AE BC×==如图，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作AE 的平行线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系则A æççè，()0,B ，()2,0,0D ，有2,AD æ=ççèuuur ，()2,BD =-uuur ，1233CM CA AM CAAD æ=+=+=ççèuuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r设平面ABD 的法向量(),,m x y z =u r，则2020m AD x z m BD x ì×==ïíï×=-=îu r uuu r u r uuur ，令x =m =u r；于是，cos ,m =u r 故CM 与平面ABD .17.【解析】（1）（方法一）易知()e 2xf x ax =+¢，由()f x 无极值点可知，()f x ¢无变号零点，令e 20x ax +=（*），显然0a =时，（*）无零点，此时()f x 无极值点，满足题意；故（*）可变形得1e 2xx a=-，令()e xx g x =，原问题等价于()g x 的图像与12y a=-无相交交点，又()()1exx g x -¢=，则(),1x Î-¥，()0g x ¢>，()g x 单调递增；()1,x Î+¥，()0g x ¢<，()g x 单调递减；又x ®-¥，()f x ®-¥；x ®+¥，()0f x ®；()11ef =；故112e a -³，解得e02a -£<，综上，e2a -££（方法二）构建()()g x f x =¢，则()e 2xg x a=+¢①当0a >时，()0g x ¢>当x ÎR 时恒成立，()g x 在R 上单调递增，因为121e 102ag a -æö-=-<ç÷èø，()010g =>，所以()g x 有一个零点，即为()f x 的一个极值点；②当0a =时，()0g x >当x ÎR 时恒成立，即()f x 无极值点；③当0a <时，当()ln 2x a <-，()0g x ¢<；当()ln 2x a >-，()0g x ¢>，所以()g x 在()(),ln 2a -¥-单调递减，在()()ln 2,a -+¥上单调递增，故()()()()min ln 222ln 2g x g a a a a =-=-+-，若()min 0g x <，则()1ln 20a -+->即e2a <-.当0x <时，()0g x >，当0x >时，()()()()22ln 242ln 222ln 2g a a a a a a a éù-=+-=----ëû，设()ln s t t t =-，e 2t >，故()10t s t t-=>¢，故()s t 在e ,2æö+¥ç÷èø上为增函数，故()e ee e ln l ln 202222s t s æö>=-=-+>ç÷èø，故()22ln 20a a a éù---->ëû，故当()()ln 20g a -<时，()g x 有两个零点，此时()f x 有两个极值点.当()()ln 20g a -³时，()0g x ³当x ÎR 时恒成立，即()f x 无极值点；综上所述：e02a -££（2）（方法一）由()31e 12f x x x ³+-+可知，321e 12x x ax x ³-++，即3211e 12x x ax x -æö³-++ç÷èø，令()321e 112x x x ax x j -æö=-++-ç÷èø，易知()00j =，则()()()()()211e 2342e 22122x x x x x a x a x x x a j --¢=--+++=----，若210a +£，即12a £-时，则()0,2x Î，()0x j ¢>，()x j 单调递增，()()00x j j >=，不符合题意；若0212a <+<，即1122a -<<时，则()0,21x a Î+，()0x j ¢<，()x j 单调递减，()21,2x a Î+，()0x j ¢>，()x j 单调递增，()2,x Î+¥，()0x j ¢<，()x j 单调递减，又()00j =，故令()2232217e 42e 2221102e a a j ---æö=´-´++-=£ç÷èø，解得27e 4a -³，即27e 142a -£<，若212a +³，即12a ³时，则()0,2x Î，()0x j ¢<，()x j 单调递减，()2,21x a Î+，()0x j ¢>，()x j 单调递增，()21,x a Î++¥，()0x j ¢<，()x j 单调递减故令()()()()3221121212121112a a ea a a a j -+æö+=+-´++++-ç÷èø()()2132112a e a a -+æö=++-ç÷èø记()()()2132112a h a ea a -+æö=++-ç÷èø，则()()()221e 210a h a a -+¢=--£恒成立，故当12a ³时，()214102eh a h æö£=-<ç÷èø，即()210a j +£，即对于任意12a ³，()0x j £恒成立，综上所述，27e 4a -³（方法二）①当0x =时，不等式恒成立，可得a ÎR ；②当0x >时，可得3211e 2x x x a x ++-³恒成立，设()3211e 2xx x h x x ++-=，则()()()()332233112e 22e 222x x x x x x x x x x h x x x¢æöæö-+---+-+--ç÷ç÷èøèø==()()()()()2233112e 12e 22122x xx x x x x x x x x xæö-----+-+-+ç÷èø==.可设()21e 12x m x x x =---，可得()e 1x m x x =--¢，设()e 1xk x x =--，()e 1xk x ¢=-，由0x >，可得()0k x ¢>恒成立，可得()k x 在()0,+¥递增，()m x ¢在()0,+¥递增，所以()()00m x m ¢>=¢，即()0m x ¢>恒成立，即()m x 在()0,+¥递增，所以()()00m x m >=，再令()0h x ¢=，可得2x =，当02x <<时，()0h x ¢>，()h x 在()0,2递增；2x >时，()0h x ¢<，()h x 在()2,+¥递减，所以()()2max 7e 24h x h -==，所以27e 4a -³，综上可得a 的取值范围是27e ,4éö-+¥÷êëø.18.【解析】（1）222231a c ab bc a =ìì==ïïÞ=íí=ïï=îî，则C ：22143x y +=.（2）设直线EF ：23x my m =+-，()11,E x y ，()22,F x y 联立22143x y +=，得()21222221221812343412273634m m y y m my t y m m y y m ì-+=ïï+++=Þí-ï=ï+î，122212216243424481634m x x m m m x x m -ì+=ïï+í-+ï=ï+î且()()22144482319228820m m m m D =--+=-->，则()0,2m Îⅰ）则()()()2121212122112121862333393y y y y y y PEPFy y PF PE y y y y y y -+++---+=+=---++222222222222181218122736186234343421632273618123334933434m m m m m m m m m m m m m m m m m æö----+-ç÷++++èø==-+×--++-+++设()322,8m t +=Î，则()22211016162,163332124PE PFt PFPE t t tæù+=-+×=-+×Îçúèû-++-.则1,13PEPF éöÎ÷êëø.ⅱ）设()00,M x y ，则0022x y =-.设直线EM ，FM ：()100y k x x y =-+，()200y k x x y =-+，由EMA FMA Ð=Ð，则A 到直线EM ，FM 的距离相等，代入000122MA y k x -==--，化简得()12124340k k k k -+-=.则01020102010201024340y y y y y x y y x y x x x x x x æö----××-×+-=ç÷----èø，通分并整理得()()()()20012120001201243223y y y y y y x y y x x m x y y éùé-++--++--+ëëû]()212001212240my y x x x x x x éù+--++=ëû.代入得()()2220000002221812273616244322223343434m m m m m y y y y y y m m m m æö---é-×+-×-×-×+-ç÷ê+++ëèø()()2222002222181227361624244816242222034343434m m m m m m m m y y m m m m ùéù----+×+×----+=úêú++++ûëû.化简得()()02530m m y --=.故035y =.则43,55M æöç÷èø.（注：其他解法对照给分）19.【解析】：（1）由()()13P X P X ===得3ee 6ll l l --=，解得l =.故()23e P X ===.（2）（ⅰ）设1X 为甲地区某天需要的水电工数目，则10,1,2,X =×××，且()1100000,0.00010X B ~.因为110000020n =³，100.000100.05p <=£，111000000.0001010n p =´=，所以()()111110110ee !!kk n p n p P X k k k --=»=.那么，某天至少需要2名水电工的概率约为()()()10101011121011e 10e 111e P X P X P X ---³=-=-=»--=-（ⅱ）设2X 为乙地区某天需要的水电工数目，则20,1,2,X =×××，且()2200000,0.00004X B ~.因为220000020n =³，200.000040.05p <=£，222000000.000048n p =´=，所以()()2222828ee !!kk n p n p P X k k k --=»=.于是()()()()1212120,kki i P X X k P Xi X k i P X i P X k i ==+====-===-åå()()()1181080!!108e e e 108!!!!!i k kki k ii i k k i i k i k i k i -----==-»=--åå()1818180e e 18108108e !!!k kk i i k ik i C k k k ----===+=å.那么，某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率约为()()()()1212121231012P X X P X X P X X P X X +³=-+=-+=-+=181818181e 18e 162e 1181e ----»---=-.。

华中师范大学高等代数试卷 2007

华中师范大学2007 –2008学年第一学期期末考试试卷B11022234300542113A--⎛⎫⎪-⎪=⎪-⎪-⎝⎭的迹为（ C ）A 2-;B 1-;C 0;D 1.2．空间中曲面方程为2222221x y za b c+-=则它是（ B ）A 椭球面;B 单叶双曲面;C 双叶双曲面;D 椭圆抛物面.3下面叙述错误的是（ C ）A. 一个n阶实对称阵为正定阵的充分必要条件是它的正惯性指数等于n;B. 一个n阶实对称阵为正定阵的充分必要条件是它的所有特征根是正的;C．一个n阶实对称阵为正定阵的充分必要条件是它的n个顺序主子式1,,det0,1,,1,,mA m nm⎛⎫≥=⎪⎝⎭;D. 正定矩阵的合同矩阵也是正定的.4. 设204060402A⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,下列是矩阵A的特征向量的是:（ A ）A (101)T -; B(12)T; C (201T; D(0,0,1)T .1．已知1P AP B -=, ()f x 为一个k 次多项式, 那么1()P f A P -=()f B .2．设矩阵142034043A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭, 则A 的伴随矩阵*A 的三个特征为 .3．空间上的仿射坐标变换公式为:111213111121321222322122233132333313233''det 0'x r r r x t r r r y r r r y t r r r z r r r z t r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=+≠ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，. 4. 空间上的二次曲面方程为: (,1)01T T Q L X X L k ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 那么它的欧式不变量为: 123,,,det T Q L L k λλλ⎛⎫⎪⎝⎭.1．用欧式坐标变化化平面二次曲线:22245416140x xy y x y +++++=为标准形.2. 二次型123121323(,,)242f x x x x x x x x x =++, 求: (i) 写出二次型对应的实对称矩阵f A ;(ii) 求可逆矩阵P , 使得1f P A P -为实对称矩阵f A 的标准形; (iii) 求以上二次型的正、负惯性指数, 并判定二次型的正、负定性.解：(i) 012101.210f A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(ii)下面用合同变换化该是对称矩阵为标准型如下：11111111222222229339331122222222111012100113110213110101010101010101010210001210001210001213110200110000001012001100004⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→---→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭→----11111111222220011000001210041210000100000010010011002⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎫⎛⎫⎪ ⎪→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭故1212100P ⎫-⎪=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (iii)正惯性指数是1，负惯性指数是2，此二次型既非正定亦非负定.1．证明: 21()12!(1)!!n nx x x f x x n n -=+++++- 没有重因式.证：21'()1,2!(1)!n x x f x x n -=++++- 所以21gcd(((),'())gcd(()'(),'())gcd(,1) 1.2!(1)!n nx x f x f x f x f x f x x x n -=-=++++=-因此()f x 没有重根. 2．设1121A ⎛⎫=⎪-⎝⎭, 求极小多项式()A m λ, 并且证明 323210A A A -+ 可逆. 解：2212211()3(210,0.()() 3.()det A E A A A f f f f f f f λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ--∆=-==-=+-+≠≠=∆=-===A 3232i i i i 321i 又故m 且的特征值为则(A)=3A -2A +10A 的特征值为()=3-2+10,i=1,2.即(A)=3A -2A +10A 的特征值为(则(A)=()0f λ≠132(故3A -2A +10A 可逆.3．设,A C 为n 阶正定矩阵, 设B 是矩阵方程AZ ZA C +=的唯一解. 证明:(1) B 是对称矩阵;(2) B 是正定矩阵.五、证明题：（每题12分，共12分）设A 为n 阶实可逆矩阵, 证明:(i)存在正交矩阵P 和上三角矩阵T 使得A PT =; (ii)存在一个三角矩阵T 使得A T T '=.证：把A 的n 个列向量记作1,,n αα ，则它们是线性无关向量组（是n R 的基底）对他们做正交化：1111,,(1),2,.,j j i jj i i i i j n βααββαβββ-==⎧⎪⎨=-=⎪⎩∑再做标准化：,1,.(2)jj jj n βγβ==以1,n γγ 为列向量做矩阵1(,),n P γγ= 则是正交矩阵。

华中师《高等代数(进阶)》期末复习题

(单选题)1.
A: 选择图中A选项
B: 选择图中B选项
C: 选择图中C选项
D: 选择图中D选项
正确答案: B
(单选题)2.题目见图片
A: 选择图中A选项
B: 选择图中B选项
C: 选择图中C选项
D: 选择图中D选项
正确答案: B
(单选题)3.下列命题错误的是 ______。

A: 对称方阵只能与对阵方阵合同。

B: E 与 -E 在复数域上合同，但在实数域上不合同。

C: 若 A 与 B 合同，则存在唯一的满秩阵 C，使得 B=C'AC D: 二次型 f=X'AX 经过满秩线性变换后，秩不变。

正确答案: C
(单选题)4.题目见图片
A: 选择图中A选项
B: 选择图中B选项
C: 选择图中C选项
D: 选择图中D选项
正确答案: A
(单选题)5.题目见图片
A: 选择图中A选项
B: 选择图中B选项
C: 选择图中C选项
D: 选择图中D选项
正确答案: B
(单选题)6.题目见图片
A: 选择图中A选项
B: 选择图中B选项
C: 选择图中C选项。

华师大期末数学试卷及答案

一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是：A. $ f(x) = x^2 - 2x + 3 $B. $ f(x) = -x^2 + 2x + 1 $C. $ f(x) = 2x - 3 $D. $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1 $2. 设 $ a > 0 $，则下列不等式中正确的是：A. $ a^2 + b^2 > 2ab $B. $ a^2 + b^2 \geq 2ab $C. $ a^2 - b^2 > 2ab $D. $ a^2 - b^2 \geq 2ab $3. 已知 $ \cos \alpha = \frac{1}{2} $，则 $ \sin 2\alpha $ 的值为：A. $ \frac{\sqrt{3}}{2} $B. $ \frac{1}{2} $C. $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $D. $ -\frac{1}{2} $4. 函数 $ y = \log_2 x $ 的图象上一点 $ P $ 的坐标为 $ (2, 1) $，则点 $ P $ 关于直线 $ y = x $ 的对称点 $ Q $ 的坐标为：A. $ (1, 2) $B. $ (2, 1) $C. $ (4, 2) $D. $ (2, 4) $5. 下列复数中，是纯虚数的是：A. $ 3 + 4i $B. $ 1 - 2i $C. $ 2i $D. $ -i $二、填空题（每题5分，共20分）6. 设 $ \sin \alpha = \frac{3}{5} $，则 $ \cos 2\alpha $ 的值为______。

7. 已知 $ \sqrt{3} \sin \alpha + \cos \alpha = 2 $，则 $ \tan \alpha $ 的值为______。

华中师范大学数理方法期末考试试卷4答案

2. 对于拉普拉斯变换，试证明两函数的卷积的像函数等于它们各自的像函数的乘积。 f1 (t ) * f 2 (t ) = F1 ( p )F2 ( p )
证 f1 (t ) * f 2 (t ) = ①
∫
∞
0
∞ e - pt ∫ f1 (t - τ ) f 2 (τ )dτ dτ 0
1 l n = 0 : C = dx = 0 l 2 2 l nxπ 2 l l nxπ C = ∫0 x cos dx = ∫0 xd sin n l l l nπ l
=
2 nxπ [ x sin nπ l
|l0
l sin nxπ dx ] − ∫0 l
=
2l nxπ cos 2 2 l n π
|l0 =
2l n [( −1) − 1] 2 2 n π
(2 k +1)2 π 2 a 2t (2 k +1) xπ cos l2 l
− l 4l ∞ 1 ∑ u ( x, t ) = − e 2 π 2 k =0 (2 k +1)2
2.. 已知半径为 a 的球面上的电势分布为 f (θ , ϕ ) = sin 2 θ cos 2 ϕ − 1 ，求此球内、外无自由电荷空间中的电势分布。 2 1 1 解： f (θ , ϕ ) = sin 2 θ cos 2 ϕ − 1 = − − P2 ( cos θ ) + P22 ( cos θ ) cos 2ϕ 3 3 6 在球坐标系下三维拉普拉斯方程的解为：
2
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得分
评阅人
四、计算题：（共 2 题，每题 18 分，共 36 分）
1. 试用分离变量法求解下列定解问题
2 ∂u 2 ∂ u −a = 0 (0 < x < l , t > 0 ) 2 ∂ t ∂ x u x x = 0 = 0, u x x = l = 0 u ( x, 0) = x

高等代数与解析几何复习题

高等代数与解析几何复习题(总18页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-高等代数与解析几何复习题第一章矩阵一、填空题1.矩阵A 与B 的乘积AB 有意义，则必须满足的条件是。

2.设(),(),ij m s ij s n A a B b ⨯⨯==又()ij m n AB c ⨯=，问ij c = 。

3.设A 与B 都是n 级方阵，计算2()A B += , 2()A B -= ,()()A B A B +-= 。

4.设矩阵1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,试将A 表示为对称矩阵与反对称矩阵的和。

（注意：任意n 阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和）5.设(1,2,1)X =,(2,1,3)TY =-,201013122A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,计算XAY = 。

6.设向量()1,2,3,(1,1,1)T αβ==，则αβ= ，βα= 。

7.设矩阵2003A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则100A = 。

8.设矩阵200012035A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -= 。

9.设准对角矩阵1200A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()f x 是多项式，则()f A = 。

10.设矩阵123456789A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的秩()R A = 。

11.设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵, d A =,则=*A A 。

12.设*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则**_____________.AA A A ==13.矩阵123235471A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的秩为__________，A 的伴随矩阵*A = 。

14.设A 是3阶可逆方阵，B 是34⨯矩阵且()2R B =，则()R AB = 。

15.设102040203A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，B 是34⨯矩阵且()2R B =，则()R AB = 。

16.试写出n 阶方阵A 可逆的几个充分必要条件（越多越好）。

17.设矩阵123235471A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭，试写出行列式A 中(2,1)-元的代数余子式，A 中第三行元素的代数余子式之和= 。

高等代数与解析几何(三)期末考试试卷(A卷)(2007年1月)

（1）求 A 的特征矩阵；（2）求 A 的子式因子组；（3）求 A 的不变因子组；（4）求 A 的初等因子组；（5）求 A 的若当标准形.
2
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
.
3 1 0 2、矩阵 0 3 1 的初等因子组为 0 0 3
年级：
.
3、设 A 为向量空间 V 到 U 的线性映射，则 dim( Ker (A )) + dim(Im( A )) =
.
4、设 λE A 的初等因子组为 λ2 , λ , λ 1, (λ 1) 2 ，则 λE A 的不变因子组是 ____ ____________________________________ . 5、设 A 是复矩阵，如果 A 满足 , 则称 A 是正规矩阵 .

专业：
得分
评阅人
二、判断题：（共 5 题，每题 3 分，共 15 分，对的请打 “ √ ” ，错的请打 ” × ”）
院（系）：
1、设 A(λ ) 是 n 阶 λ —矩阵，则 A(λ ) 可逆当且仅当 A(λ ) 是有限个初等 λ —矩阵的乘积.（
）
1
2、正交变换的积还是正交变换. 3、对称变换的积还是对称变换.
5
6
期末考试试卷（期末考试试卷（A 卷）
课程名称高等代数与解析几何(三) 编号 83410005 任课教师樊、朱、刘题型分值得分填空题 15 判断题 15 计算题 50 证明题 20 总分 100