杆件的强度计算公式(优质特享)
轴向拉伸与压缩时杆件的强度计算
轴向拉伸与压缩时杆件的强度计算
一、极限应力 许用应力 安全因素
使材料丧失能力的应力称为极限应力，用 σ 0 表示。 构件在工作时所允许的最大应力称为许用应力，用 [σ ] 表示。 极限应力除以大于1的系数 n 得出许用应力，n 称为 安全因素。
[σ ] = 极限应力σ0
安全应力n
（6-1）
对于塑性材料，σ s 或 σ 0.2 是极限应力，因此许用应力为
G 的最大允许值。 解 (1)求各杆的轴力与y NhomakorabeaB
1
o 45o 30
2 C
FN1
o 45 o 30
FN2
x
G力的关系 取节点A 为研究对象，作
A
A
G
a) 图4-12
G
b)
出其受力图，如图4-12b所 示。由平衡方程
∑F
X
=0
FN 2 sin 30o − FN 1 sin 45o = 0
(1) (2)
BC 杆截面面积A2
(4)确定型钢号数
350 × 103 A2 ≥ = mm 2 = 3500mm 2 [σ BC ] 100 FN 2
查附录的型钢表，10号槽钢的截面面积为1274.8mm2 因为 1274.8mm2＞1093.75mm2
所以AC 杆用两根10号槽钢。 而20a号工字钢的截面面积为3550mm2 因为 1274.8mm2＞3550mm2
核斜拉杆C ′ 的强度（当载荷位于梁右端B 处时）。 D
D
解 （1）求 C ′ 杆所承受的最大外力 D
C′ C A
a)
取横梁AB 为研究对象，其受
B
力如图4-10c所示，由平面任意力系 的平衡方程
第5章_杆件强度与刚度计算
7
解：压板在A端铰支，B端受螺栓拉力N的作用，中
间受工件的反作用力Q作用。由静力平衡条件
∑MA=0，有： Q·l-Ｎ·2l=0
故
N=Q/2
现在取工件为研究对象，由于工件没有转动
趋势，作为工程运算，可以忽略工件与压板及工 件与V形铁之间的切向方向摩擦力，只是光滑接 触, 则接触面上只存在约束力R ，画出受力图， 由静力平衡条件∑Fy=0，得：
D3
16
(1 4 )
d D
43
5.4.2 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件
(1)圆轴扭转时的强度条件
τmax≤[τ]
圆轴上最 大转矩截
面
轴表面的 剪应力
max
Tn max W
[ ]
塑性材料：[τ]=(0.5～0.6)[σ] 脆性材料：[τ]=(0.8～1.0)[σ]
44
利用其强度条件,可以解决:
20
铆钉连接
螺栓连接
销轴连接
21
平键连接
22
(2)剪切构件的受力特点
构件受到等值、反向、作用线不重合 但相距很近的两个力作用。
(3)剪切构件的变形特点
构件上的两个力中间部分的相邻截 面产生错动。这种变形称为剪切变形， 发生相对错动的面称为剪切面。
剪切面总是平行于外力的作用线。
挤压面总是垂直于外力的作用线。
10
变形是固体材料的固有特性， 但过大的变形是工程上所不允许的，
因此，变形也是工程力学研究的重要内容之一。
11
(1)绝对变形和相对变形
1)绝对变形
设直杆的原始长度为L ，变形后的长 度为L1，直杆的长度变化即为：
L L1 L
不能表示 变形程度
杆件的强度计算公式
杆件的强度计算公式 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT杆件的强度、刚度和稳定性计算1.构件的承载能力，指的是什么答：构件满足强度、刚度和稳定性要求的能力称为构件的承载能力。
(1)足够的强度。
即要求构件应具有足够的抵抗破坏的能力，在荷载作用下不致于发生破坏。
(2)足够的刚度。
即要求构件应具有足够的抵抗变形的能力，在荷载作用下不致于发生过大的变形而影响使用。
(3)足够的稳定性。
即要求构件应具有保持原有平衡状态的能力，在荷载作用下不致于突然丧失稳定。
2.什么是应力、正应力、切应力应力的单位如何表示答：内力在一点处的集度称为应力。
垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力，用σ表示；相切于截面的应力分量称切应力或切向应力，用τ表示。
应力的单位为Pa。
1Pa=1N／m2工程实际中应力数值较大，常用MPa或GPa作单位1MPa=106Pa1GPa=109Pa3.应力和内力的关系是什么答：内力在一点处的集度称为应力。
4.应变和变形有什么不同答：单位长度上的变形称为应变。
单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。
单位横向长度上的变形称横向线应变，以ε/表示横向应变。
5.什么是线应变什么是横向应变什么是泊松比答：（1）线应变单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。
对于轴力为常量的等截面直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为l l∆=ε（4-2）拉伸时ε为正，压缩时ε为负。
线应变是无量纲（无单位）的量。
（2）横向应变拉(压)杆产生纵向变形时，横向也产生变形。
设杆件变形前的横向尺寸为a ，变形后为a 1，则横向变形为横向应变ε/为 a a∆=/ε（4-3）杆件伸长时，横向减小，ε/为负值；杆件压缩时，横向增大，ε/为正值。
因此，拉(压)杆的线应变ε与横向应变ε/的符号总是相反的。
（3）横向变形系数或泊松比试验证明，当杆件应力不超过某一限度时，横向应变ε/与线应变ε的绝对值之比为一常数。
扭转杆件的强度、刚度计算
12.3 扭转杆件的强度、刚度计算对受扭转的杆件，除了强度要求外，通常刚度也要同时考虑。
受扭杆件危险点均为纯剪切应力状态。
对纯剪切应力状态，可以证明，与第一强度理论对应的强度条件为≤（12-4）与第三、四强度理论对应的强度条件为≤（12-5）≤（12-6）式中，[τ]为许用切应力，它与许用正应力之间的关系为脆性材料[ τ ] = （0.8 ~ 1）[ σ ]塑性材料[ τ ] = （0.5 ~ 0.6）[ σ ]例12-4一钢传动轴如图12-4a所示，转速n = 208rpm，主动轮B的输入功率P=6kW，两个从动轮A、CB的输出功率分别为P A = 4kW，P c = 2kW。
已知：轴的许用应力[σ] = 60MPa，许用单位扭转角[ϕ]=1︒/m，切变模量G = 80GPa，试设计轴的直径d。
解：1．计算外力偶矩，绘扭矩图。
用截面法及扭矩符号的规定，得AB、BC段的扭矩分别为T AB = 183.6N·mT BC = -91.8N·m根据以上计算结果，作扭矩图如图12-4b所示2．按强度条件设计轴的直径由扭矩图可见，最大扭矩为T max = 183.6N·m，危险截面为AB段各横截面。
危险点在危险截面上周边各个点，处于纯剪切应力状态。
根据最大切应力理论，强度条件应为≤≤得 d ≥3．按刚度条件设计轴的直径由刚度条件式（12-2），扭转刚度条件为ϕmax = ≤[ ϕ]≤[ϕ]得d≥为了同时满足强度及刚度要求，应在以上两计算结果中取较大值作为轴的直径，即轴的直径应大于或等于34mm，可取d = 34mm。
例12-5实心圆轴横截面上的扭矩T = 5kN·m。
轴的许用应力[ ] = 87MPa，试按强度设计轴的直径D。
若将轴改为空心圆轴，且内外直径之比，试设计截面尺寸。
并比较实心圆轴和空心圆轴所需的材料用量。
解：本题按第四强度理论来设计。
对实心愿轴，由强度条件式（12-6）≤即≤得D≥取D = 80mm。
杆件的强度计算
平均应力
循环特征
应力幅
杆件的强度计算
1.6 交变应力与疲劳失效
1.6.1 交变应力及其循环特征
2.交变应力分类 交变应力按其循环特征，可以分为对称循环和非对称循环两种类型。 交变应力的最大应力σmax与最小应力σmin大小相等，符号相反，即σmax＝ －σmin，其循环特征为r=－1，这种应力循环称为对称循环。 r≠－1的应力循环称为非对称循环。在非对称循环中，当σmin=0，r=0 时，这种应力循环称为脉动循环。静载荷可以看作交变应力的特殊情况， 其σmax＝σmin＝σm，σa＝0，r＝1。
工程力学
杆件的强度计算
1.1 拉压杆件的强度条件 1.2 连接件的强度条件 1.3 梁的正应力强度
返回
1.4 圆轴扭转的强度 1.5 圆轴弯扭组合变形的强度 1.6 交变应力与疲劳失效
杆件的强度计算
1.1 拉压杆件的强度条件
返回
由于拉、压杆横截面上的应力是均匀分布的，因此，对于等截面的拉、 压杆，其最大轴力所在的截面是危险截面，拉、压杆强度条件为
式中，FNmax为危险截面的轴力；A为危险截面的面积。
强度条件可解决以下三类强度计算问题： (1)校核强度。(2)设计截面尺寸。(3)确定许可载荷。
杆件的强度计算
1.2 连接件的强度条件
1.2.1 剪切的实用计算
如右图所示，构件的某一截面两侧受
到一对大小相等，方向相反，作用线相距
很近的横向外力F作用，此时构件的相邻两
杆件的强度计算
1.4 圆轴扭转的强度
返回
1.4.1 圆轴扭转时横截面上的切应力
如图(a)、(b)所示分别为实心圆轴和空心圆轴横截面上扭转切应力的分
布规律。
杆件地强度计算公式
杆件的强度、刚度和稳定性计算1.构件的承载能力，指的是什么？答：构件满足强度、刚度和稳定性要求的能力称为构件的承载能力。
(1)足够的强度。
即要求构件应具有足够的抵抗破坏的能力，在荷载作用下不致于发生破坏。
(2)足够的刚度。
即要求构件应具有足够的抵抗变形的能力，在荷载作用下不致于发生过大的变形而影响使用。
(3)足够的稳定性。
即要求构件应具有保持原有平衡状态的能力，在荷载作用下不致于突然丧失稳定。
2.什么是应力、正应力、切应力？应力的单位如何表示？答：内力在一点处的集度称为应力。
垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力，用σ表示；相切于截面的应力分量称切应力或切向应力，用τ表示。
应力的单位为Pa。
1 Pa=1 N／m2工程实际中应力数值较大，常用MPa或GPa作单位1 MPa=106Pa1 GPa=109Pa3.应力和内力的关系是什么？答：内力在一点处的集度称为应力。
4.应变和变形有什么不同？答：单位长度上的变形称为应变。
单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。
单位横向长度上的变形称横向线应变，以ε/表示横向应变。
5.什么是线应变？什么是横向应变？什么是泊松比？答：（1）线应变单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。
对于轴力为常量的等截面直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为l l∆=ε（4-2）拉伸时ε为正，压缩时ε为负。
线应变是无量纲（无单位）的量。
（2）横向应变拉(压)杆产生纵向变形时，横向也产生变形。
设杆件变形前的横向尺寸为a，变形后为a1，则横向变形为aaa-=∆1横向应变ε/为a a∆=/ε（4-3）杆件伸长时，横向减小，ε/为负值；杆件压缩时，横向增大，ε/为正值。
因此，拉(压)杆的线应变ε与横向应变ε/的符号总是相反的。
（3）横向变形系数或泊松比试验证明，当杆件应力不超过某一限度时，横向应变ε/与线应变ε的绝对值之比为一常数。
此比值称为横向变形系数或泊松比，用μ表示。
方形杆的扭转强度计算公式
方形杆的扭转强度计算公式引言。
在工程力学中，方形杆的扭转强度是一个重要的参数，它决定了材料在受到扭转力作用时的抗扭性能。
扭转强度的计算是工程设计中不可或缺的一部分，它可以帮助工程师确定材料的合适用途和设计结构的稳定性。
本文将介绍方形杆的扭转强度计算公式及其相关知识。
方形杆的扭转强度计算公式。
方形杆的扭转强度计算公式可以通过以下公式表示：T = k G θ / L。
其中，T表示扭转力，k表示形状系数，G表示剪切模量，θ表示扭转角度，L 表示杆的长度。
形状系数k是一个与杆的几何形状相关的参数，对于方形杆而言，其形状系数可以通过以下公式计算：k = 1.5 + 1.5 (d / b)。
其中，d表示杆的对角线长度，b表示杆的边长。
剪切模量G是一个描述材料抗扭性能的参数，它可以通过以下公式计算：G = E / (2 (1 + v))。
其中，E表示材料的弹性模量，v表示泊松比。
扭转角度θ是指在扭转过程中，杆的一端相对于另一端的旋转角度。
杆的长度L是指杆的长度。
以上公式是用来计算方形杆在受到扭转力作用时的扭转强度的基本公式。
通过这些公式，工程师可以计算出方形杆在不同扭转力下的变形情况，从而确定材料的合适用途和设计结构的稳定性。
相关知识。
在实际工程中，方形杆的扭转强度计算还需要考虑一些其他因素，例如材料的疲劳性能、温度影响、表面处理等。
这些因素都会对方形杆的扭转强度产生影响，因此在实际工程设计中，需要综合考虑这些因素。
此外，方形杆的扭转强度计算还需要考虑杆的端部支撑情况、杆的截面形状、杆的材料等因素。
这些因素都会对方形杆的扭转强度产生影响，因此在实际工程设计中，需要综合考虑这些因素。
结论。
方形杆的扭转强度计算是工程设计中一个重要的参数，它可以帮助工程师确定材料的合适用途和设计结构的稳定性。
通过合理计算方形杆的扭转强度，可以有效地预测材料在受到扭转力作用时的变形情况，从而保证工程结构的安全可靠性。
在实际工程设计中，需要综合考虑材料的疲劳性能、温度影响、表面处理、端部支撑情况、截面形状、材料等因素，以确保方形杆的扭转强度计算的准确性和可靠性。
03. 杆件的强度计算
Y 0
N BC sin G Q 0
l AC 1.5 sin 0.352 2 2 lBC 1.5 4
NBA
G+Q
N BC 56.8 kN
Amin N max
56.8 103 406m m2 140
求圆钢杆BC 的直径：
1 2 2 d Amin 406 mm 4
N max Amin 2 120 36 80 691200N
静力平衡条件
S S
Y 0
P 2 N cos 0
1271808N
cos
960 960 420
2 2
0.92
P 2 N cos 2 691200 0.92
出现两个剪切面的剪切。 （2）双剪切：
P/2 P/2 中间段 P/2 P/2 剪切力为P 剪切面面 积2倍 剪切力为P/2 剪切面面 积单倍
左右两段
P P/2 P/2
P
结论：无论用中间段还是左右段分析，结果是一样的。
三、挤压强度的工程计算
（参见“辅1”第09讲2）
1.挤压现象： 一般来讲，承受剪切的构件在发生剪切变形的同时都 伴随有挤压。
横截面积：
A 6 103 mm2
N
N
查表，Q235号钢的屈服极限为 s 240MPa
240 许用应力 60MPa ns 4
根据强度条件，有
s
N 10510 17.5MPa 60MPa 3 A 6 10
3
拉杆符合强度要求
例2 一悬臂力吊车，其结构
束，设约束反力为RA.RB.列方程：
Y 0, RA RB P 0
机械基础——第三章第三节 杆件的应力及强度计算
1、轴向拉压时的内力是轴力，轴力的正负是如何规定的？
FN F
轴力离开截面为正，反之为负。计算时先以正向假设。
复习提问
2、轴扭转时的内力是什么？内力的正负号如何确定？ 扭转轴的内力称为扭矩，用T表示。 正负用右手螺旋定则确定。
T
_
指向截面
计算时先以正向假设。
+
T 离开截面
复习提问
3、梁弯曲时的内力是什么？内力的正负号如何确定？ 弯曲内力有两类：剪力和弯矩
杆件的最大工作应力不超过材料在拉伸与压缩时的许用应力。 式中FN和A为危险截面上的轴力和横截面积。
例3-4 某铣床工作台进给油缸如图所示，缸内工作油压p＝ 2MPa，油缸内径D＝75mm，活塞杆直径d＝18mm，已知活 塞杆材料的许用应力[σ]＝50MPa，试求校核活塞杆的强度。 解：（1）活塞的轴力：
令：WP＝IP/R ，则上式可写成
式中：Wp为圆轴横截面的抗扭截面系数，单位：mm３。
对于直径为d的圆截面杆
对于空心圆杆，设内径为d，外径为D，α＝d/D
2、圆轴扭转强度
圆轴扭转时横截面上的最大工作切应力 τmax不得超过 材料的许用切应力[τ]，即
对于等截面圆轴，从轴的受力情况或由扭矩图可以确定 最大扭矩Tmax ，最大切应力τmax发生于Tmax所在截面的边缘 上。因而强度条件可改写为
对于空心梁，当其外径为D，外径为d，单位为m，α=d/D
2、梁弯曲强度
为了保证梁能安全工作，必须使梁横截面上的最大正应 力σmax不超过材料在弯曲时的许用正应用[σ ]，即：
作
业
P.76
3
，挤压面积 Aiy＝dδ ，则
综合上述计算结果，根据国家标准，销钉的直径选 取为d＝14mm 。
杆件的强度计算公式资料讲解
杆件的强度计算公式资料讲解杆件的强度、刚度和稳定性计算1.构件的承载能⼒，指的是什么？答：构件满⾜强度、刚度和稳定性要求的能⼒称为构件的承载能⼒。
(1)⾜够的强度。
即要求构件应具有⾜够的抵抗破坏的能⼒，在荷载作⽤下不致于发⽣破坏。
(2)⾜够的刚度。
即要求构件应具有⾜够的抵抗变形的能⼒，在荷载作⽤下不致于发⽣过⼤的变形⽽影响使⽤。
(3)⾜够的稳定性。
即要求构件应具有保持原有平衡状态的能⼒，在荷载作⽤下不致于突然丧失稳定。
2.什么是应⼒、正应⼒、切应⼒？应⼒的单位如何表⽰？答：内⼒在⼀点处的集度称为应⼒。
垂直于截⾯的应⼒分量称为正应⼒或法向应⼒，⽤σ表⽰；相切于截⾯的应⼒分量称切应⼒或切向应⼒，⽤τ表⽰。
应⼒的单位为Pa。
1 Pa=1 N／m2⼯程实际中应⼒数值较⼤，常⽤MPa或GPa作单位1 MPa=106Pa1 GPa=109Pa3.应⼒和内⼒的关系是什么？答：内⼒在⼀点处的集度称为应⼒。
4.应变和变形有什么不同？答：单位长度上的变形称为应变。
单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表⽰。
单位横向长度上的变形称横向线应变，以ε/表⽰横向应变。
5.什么是线应变？什么是横向应变？什么是泊松⽐？答：（1）线应变单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表⽰。
对于轴⼒为常量的等截⾯直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为l l?=ε（4-2）拉伸时ε为正，压缩时ε为负。
线应变是⽆量纲（⽆单位）的量。
（2）横向应变拉(压)杆产⽣纵向变形时，横向也产⽣变形。
设杆件变形前的横向尺⼨为a，变形后为a1，则横向变形为aaa-=1横向应变ε/为a a=/ε（4-3）杆件伸长时，横向减⼩，ε/为负值；杆件压缩时，横向增⼤，ε/为正值。
因此，拉(压)杆的线应变ε与横向应变ε/的符号总是相反的。
（3）横向变形系数或泊松⽐试验证明，当杆件应⼒不超过某⼀限度时，横向应变ε/与线应变ε的绝对值之⽐为⼀常数。
此⽐值称为横向变形系数或泊松⽐，⽤µ表⽰。
杆件的应力与强度计算
τ
max
σ/2
450 450
max 45
0 0
2
sin
2
τ
min
min 45
σ
= 0
2
σ/2
当α ＝900 时 说明緃向无正应力
轴向拉伸和压缩
三、强度计算
任何一种材料都存在一个能承受应力的上限，这个上 限称为极限应力，常用符号σo表示。 极限应力
受压区 z 中 受拉区 性 层 y 中性轴
由于荷载作用于梁的纵向对称面内，梁的变形沿纵向 对称，则中性轴垂直于横截面的对称轴。梁弯曲变形时， 其横截面绕中性轴旋转某一角度。
弯曲应力
梁中取出的长为dx的微段
1 2 1
2
o2 b 2
o1 o2 a b 1 dx 2
o1 a 1
变形后其两端相对转了d角
轴向拉伸和压缩
例 图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知 F=20kN； 斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15×15的方 截面杆。 A 1 45° C 2 B F 解：1、计算各杆件的轴力。 用截面法取节点B为研究对象
FN 1
y
FN 2 45° B
F
x
轴向拉伸和压缩
FN 1
FN 2
对于等截面直杆，最大正应力一定发生在轴力最大的截 面上。
max
FN max A
习惯上把杆件在荷载作用下产生的应力，称为工作应 力。 通常把产生最大工作应力的截面称为危险截面，产生 最大工作应力的点称为危险点。
对于产生轴向拉（压）变形的等直杆，轴力最大的截
面就是危险截面，该截面上任一点都是危险点。
一、应力的概念
2.杆件的强度、刚度和稳定性
第二章杆件强度、刚度和稳定的基本概念1．我们在计算或者验算结构构件时，一定要从三个方面来计算或者验算，即杆件的强度、刚度和稳定性。
2．杆件强度的基本概念：结构杆件在规定的荷载作用下，保证不因材料强度发生破坏的要求，称为强度要求。
即必须保证杆件内的工作应力不超过杆件的许用应力，满足公式σ＝N/A≤[σ]3. 刚度的基本概念：结构杆件在规定的荷载作用下，虽有足够的强度，但其变形不能过大，超过了允许的范围，也会影响正常的使用，限制过大变形的要求即为刚度要求。
即必须保证杆件的工作变形不超过许用变形，满足公式 f≤[f]。
梁的挠度变形主要由弯矩引起，叫弯曲变形，通常我们都是计算梁的最大挠度，简支梁在均布荷载作用下梁的最大挠度作用在梁中，且fmax＝5ql4/384EI。
由上述公式可以看出，影响弯曲变形（位移）的因素为：（1）材料性能：与材料的弹性模量E成反比。
（2）构件的截面大小和形状：与截面惯性矩I成反比。
（3）构件的跨度：与构件的跨度L的2、3或4次方成正比，该因素影响最大。
4. 杆件稳定的基本概念：在工程结构中，有些受压杆件比较细长，受力达到一定的数值时，杆件突然发生弯曲以致引起整个结构的破坏，这种现象称为失稳，也称丧失稳定性。
因此受压杆件要有稳定的要求。
两端铰接的压杆，临界力的计算公式：临界力的大小与下列因素有关：1)压杆的材料：同样大的截面，钢柱的 Pij 比混凝土大，混凝土柱的Pij 比木柱大，因为钢的弹性模量比混凝土的弹性模量大，混凝土的弹性模量比木材大。
2)压杆的截面形状与大小：截面大而导致惯性矩I大的不易失稳。
3)压杆的长度l0越大，临界力越小，越容易失稳。
4)压杆的支撑情况：当柱的一端固定，一端自由时：l0=2l当柱的一端固定，一端铰接时：l0=0.7l当柱的两端铰接时： l0=l当柱的两端固定时： l0=0.5l。
杆件的强度计算公式
杆件的强度、刚度和稳定性计算1.构件的承载能力，指的是什么答：构件满足强度、刚度和稳定性要求的能力称为构件的承载能力。
(1)足够的强度。
即要求构件应具有足够的抵抗破坏的能力，在荷载作用下不致于发生破坏。
(2)足够的刚度。
即要求构件应具有足够的抵抗变形的能力，在荷载作用下不致于发生过大的变形而影响使用。
(3)足够的稳定性。
即要求构件应具有保持原有平衡状态的能力，在荷载作用下不致于突然丧失稳定。
2.什么是应力、正应力、切应力应力的单位如何表示答：内力在一点处的集度称为应力。
垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力，用6表示；相切于截面的应力分量称切应力或切向应力，用T表示。
应力的单位为Pa。
21 Pa=1 N ／m2工程实际中应力数值较大，常用MPa或GPa作单位61 MPa=106Pa91 G P a=109P a3.应力和内力的关系是什么答：内力在一点处的集度称为应力。
4.应变和变形有什么不同答：单位长度上的变形称为应变。
单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以&表示。
单位横向长度上的变形称横向线应变，以& /表示横向应变。
5.什么是线应变什么是横向应变什么是泊松比答：（1）线应变单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以&表示。
对于轴力为常量的等截面直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为_1l（4-2 ）拉伸时&为正，压缩时&为负。
线应变是无量纲（无单位）的量。
（2）横向应变拉（压）杆产生纵向变形时，横向也产生变形。
设杆件变形前的横向尺寸为a,变形后为a i，则横向变形为a a1a横向应变& /为/ _aa（4-3 ）杆件伸长时，横向减小，& /为负值；杆件压缩时，横向增大，£/为正值。
因此，拉（压）杆的线应变& 与横向应变& /的符号总是相反的。
（3）横向变形系数或泊松比试验证明，当杆件应力不超过某一限度时，横向应变& /与线应变&的绝对值之比为一常数。
杆件的强度分析与计算
第九章杆件的强度分析与计算第一节概述一、构件的承载能力机械或机器的每一组成部分称为构件，它是机器的运动单元，为保证构件正常工作，构件应具有足够的能力负担所承受的载荷。
因此，构件应当满足以下要求：（一）、强度要求：构件在外力作用下应具有足够的抵抗破坏的能力。
在规定的载荷作用下构件不应被破坏,具有足够的强度。
例如，冲床曲轴不可折断；建筑物的梁和板不应发生较大塑性变形。
强度要求就是指构件在规定的使用条件下不发生意外断裂或塑性变形。
（二）、刚度要求：构件在外力作用下应具有足够的抵抗变形的能力。
在载荷作用下，构件即使有足够的强度，但若变形过大，仍不能正常工作。
例如，机床主轴的变形过大，将影响加工精度；齿轮轴变形过大将造成齿轮和轴承的不均匀磨损，引起噪音。
刚度要求就是指构件在规定的使用条件下不发生较大的变形。
（三）、稳定性要求：构件在外力作用下能保持原有直线平衡状态的能力。
承受压力作用的细长杆，如千斤顶的螺杆、内燃机的挺杆等应始终维持原有的直线平衡状态，保证不被压弯。
稳定性要求就是指构件在规定的使用条件下有足够的稳定性。
为满足以上三方面的要求，构件可选用较好的材料和较大的截面尺寸，但这与节约和减轻构件自相矛盾。
构件设计的任务就是在保证满足强度、刚度和稳定性要求的前提下，以最经济的方式，为构件选择适宜的材料、确定合理的形状和尺寸。
二、变形固体的基本假设由各种固体材料制成的制成的构件在载荷作用下将产生变形，称为变形固体或变形体。
为了便于理论分析和实际计算，对变形固体常采用的几个基本假设：（一）．连续性假设：假设在固体所占有的空间内毫无空隙地充满了物质。
实际上，组成固体的粒子之间存在空隙，但这种空隙极其微小，可以忽略不计。
于是可认为固体在其整个体积内是连续的。
基于连续性假设，固体内的一些物理量可用连续函数表示。
（二）．均匀性假设：均匀性假设是指材料的力学性能在各处都是相同的，与其在固体内的位置无关。
（三）．各向同性假设：即认为材料沿各个方向的力学性质是相同的。
建筑力学第四章_杆件的强度、刚度和稳定性计算
材料的力学性能 工程材料根据其断裂时发生变形的大小 分为脆性材料和塑性材料两大类。在常温、静
载条件下，这两种材料在拉伸和压缩时的力学性能 具有明显的差异。
1）低碳钢拉伸时的力学性能
标准试样（圆截面）
常 温 、 静 载
标准试样（矩形截面） 试样原始标距与原始横截面面积 l0 k A 关系者, 有为比例试样。 国际上使用的比例系数k的值为5.65。 若k 为5.65的值不能符合这一最小标距要求 时，可以采取较高的值（优先采用11.3值）。
zc
C II 3
y
zc
4030 4 cm
5、惯性半径 工程中因为计算需要，常将图形的惯性 矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积。
I y iy A, I z iz A
2
2
即：
iy
Iy A
,
Iz iz A
iy , iz ——惯性半径 （单位：m ）
z dz z
例：1、矩形。求
I y1
II y1
II
3
zc
A AI + AII
zc S y1 A
I II S y1 + S y1
3 20 (-1.5) + 3 17 (-3 - 8.5) AI + AII 3 20 + 3 17 -6.1cm
(2)求 I zc , I yc
1 1 3 I zc I + I 3 20 + 17 33 3 12 12
△A
I
应力表示了受力杆件某截面上一点的内力分 布疏密程度，内力集度.
F1 F2
应力就是单 位面积上的力
Fn
杆件的强度计算公式
杆件的强度计算公式1.应力：应力是杆件内部单位面积上的力，通常以帕斯卡（Pa）为单位。
应力被定义为负载除以横截面积。
在强度计算中，应力是一个重要的参数，用于评估杆件是否能够承受给定的负载。
2.截面形状：截面形状指的是杆件横截面的形状，如圆形、矩形、梯形等。
截面形状对杆件的强度计算有很大影响，因为不同的形状在承载能力方面具有不同的特点。
3.材料性质：杆件的材料性质包括弹性模量、屈服强度、抗拉强度等。
这些参数用于计算杆件在受力情况下的应力和应变，并评估其强度。
根据杆件的受力类型和计算方法的不同，强度计算公式可以有很多种形式。
以下是几个常见的强度计算公式示例：1.杆件的拉伸强度计算公式：拉伸强度=屈服强度/安全系数这个公式适用于纯拉伸情况下的杆件强度计算。
通常，设计中会采用一个安全系数，以确保杆件在实际应用中不会超过其屈服强度。
2.杆件的压缩强度计算公式：压缩强度=屈服强度/安全系数这个公式适用于纯压缩情况下的杆件强度计算。
与拉伸情况类似，设计中也会采用一个安全系数。
3.杆件的弯曲强度计算公式：弯曲强度=弯矩/抗弯矩弯曲强度计算涉及到杆件的几何形状和截面惯性矩等参数，以及杆件的材料性质。
通过计算弯矩和抗弯矩的比值，可以评估杆件在受弯应力作用下的强度。
此外，还有一些特殊情况下的杆件强度计算公式，如扭转、剪切、冲击等。
这些公式通常相对复杂，需要更详细的材料性质和截面形状参数。
需要注意的是，强度计算公式只是一种初步评估杆件承载能力的方法，它没有考虑杆件的缺陷、损伤和非均匀加载等因素。
因此，在实际工程中，还需要进行更为详细的强度分析和安全性评估，以确保杆件的可靠性和安全性。
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杆件的强度、刚度和稳定性计算1.构件的承载能力，指的是什么？答：构件满足强度、刚度和稳定性要求的能力称为构件的承载能力。
(1)足够的强度。
即要求构件应具有足够的抵抗破坏的能力，在荷载作用下不致于发生破坏。
(2)足够的刚度。
即要求构件应具有足够的抵抗变形的能力，在荷载作用下不致于发生过大的变形而影响使用。
(3)足够的稳定性。
即要求构件应具有保持原有平衡状态的能力，在荷载作用下不致于突然丧失稳定。
2.什么是应力、正应力、切应力？应力的单位如何表示？答：内力在一点处的集度称为应力。
垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力，用σ表示；相切于截面的应力分量称切应力或切向应力，用τ表示。
应力的单位为Pa。
1 Pa=1 N／m2工程实际中应力数值较大，常用MPa或GPa作单位1 MPa=106Pa1 GPa=109Pa3.应力和内力的关系是什么？答：内力在一点处的集度称为应力。
4.应变和变形有什么不同？答：单位长度上的变形称为应变。
单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。
单位横向长度上的变形称横向线应变，以ε/表示横向应变。
5.什么是线应变？什么是横向应变？什么是泊松比？答：（1）线应变单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。
对于轴力为常量的等截面直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为l l∆=ε（4-2）拉伸时ε为正，压缩时ε为负。
线应变是无量纲（无单位）的量。
（2）横向应变拉(压)杆产生纵向变形时，横向也产生变形。
设杆件变形前的横向尺寸为a，变形后为a1，则横向变形为aaa-=∆1横向应变ε/为a a∆=/ε（4-3）杆件伸长时，横向减小，ε/为负值；杆件压缩时，横向增大，ε/为正值。
因此，拉(压)杆的线应变ε与横向应变ε/的符号总是相反的。
（3）横向变形系数或泊松比试验证明，当杆件应力不超过某一限度时，横向应变ε/与线应变ε的绝对值之比为一常数。
此比值称为横向变形系数或泊松比，用μ表示。
εεμ/=（4-4）μ是无量纲的量，各种材料的μ值可由试验测定。
6.纵向应变和横向应变之间，有什么联系？答：当杆件应力不超过某一限度时，横向应变ε/与纵向应变ε的绝对值之比为一常数。
此比值称为横向变形系数或泊松比，用μ表示。
εεμ/=（4-4） μ是无量纲的量，各种材料的μ值可由试验测定。
7.胡克定律表明了应力和应变的什么关系？又有什么应用条件？答：它表明当应力不超过某一限度时，应力与应变成正比。
胡克定律的应用条件：只适用于杆内应力未超过某一限度，此限度称为比例极限。
8. 胡克定律是如何表示的？简述其含义。
答：（1）胡克定律内力表达的形式EA lF l N =∆（4-6） 表明当杆件应力不超过某一限度时，其纵向变形与杆件的轴力及杆件长度成正比，与杆件的横截面面积成反比。
（2）胡克定律应力表达的形式εσ⋅=E（4-7）是胡克定律的另一表达形式，它表明当应力不超过某一限度时，应力与应变成正比。
比例系数E 称为材料的弹性模量，从式(4-6)知，当其他条件相同时，材料的弹性模量越大，则变形越小，这说明弹性模量表征了材料抵抗弹性变形的能力。
弹性模量的单位与应力的单位相同。
EA 称为杆件的抗拉(压)刚度，它反映了杆件抵抗拉伸(压缩)变形的能力。
EA 越大，杆件的变形就越小。
需特别注意的是：(1)胡克定律只适用于杆内应力未超过某一限度，此限度称为比例极限(在第三节将作进一步说明)。
(2)当用于计算变形时，在杆长l 内，它的轴力F N 、材料E 及截面面积A 都应是常数。
9.何谓形心？如何判断形心的位置？答：截面的形心就是截面图形的几何中心。
判断形心的位置：当截面具有两个对称轴时，二者的交点就是该截面的形心。
据此，可以很方便的确定圆形、圆环形、正方形的形心；只有一个对称轴的截面，其形心一定在其对称轴上，具体在对称轴上的哪一点，则需计算才能确定。
10.具有一个对称轴的图形，其形心有什么特征？答：具有一个对称轴的图形，其形心一定在其对称轴上，具体在对称轴上的哪一点，则需计算才能确定。
11.简述形心坐标公式。
答:建筑工程中常用构件的截面形状，一般都可划分成几个简单的平面图形的组合，叫做组合图形。
例如T 形截面，可视为两个矩形的组合。
若两个矩形的面积分别是A 1和A 2，它们的形心到坐标轴z 的距离分别为y 1和y 2，则T 形截面的形心坐标为212211A A y A y A y C +⋅+⋅=更一般地，当组合图形可划分为若干个简单平面图形时，则有∑∑⋅=iii CAy A y（4-8） 式中y C ——组合截面在y 方向的形心坐标； A i ——组合截面中各部分的截面面积；y i ——组合截面中各部分的截面在y 方向的形心坐标。
同理可得∑∑⋅=iii CAz A z（4-9）12.何谓静矩？答：平面图形的面积A 与其形心到某一坐标轴的距离的乘积称为平面图形对该轴的静矩。
一般用S 来表示，即：Cy Cz z A S y A S ⋅=⋅=即平面图形对z 轴(或y 轴)的静矩等于图形面积A 与形心坐标y C (或z C )的乘积。
当坐标轴通过图形的形心时，其静矩为零；反之，若图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。
13.组合图形的静矩该如何计算？答：对组合图形，同理可得静矩的计算公式为⎪⎭⎪⎬⎫⋅=⋅=∑∑Ci i y Ci i z z A S y A S （4-10）式中A i 为各简单图形的面积，y Ci 、z Ci 为各简单图形形心的y 坐标和z 坐标。
(4-10)式表明：组合图形对某轴的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和。
14.何谓惯性矩？、圆形截面的惯性矩公式如何表示？答：截面图形内每一微面积dA 与其到平面内任意座标轴z 或y 的距离平方乘积的总和，称为该截面图形对z 轴或y 轴的惯性矩，分别用符号I z 和I y 表示。
即⎪⎩⎪⎨⎧==⎰⎰Ay A z dA z I dAy I 22（4-11）不论座标轴取在截面的任何部位，y 2和z 2恒为正值，所以惯性矩恒为正值。
惯性矩常用单位是m 4 (米4)或mm 4 (毫米4)。
15.试算出矩形、圆形的惯性矩。
答：（1）矩形截面⎰⎰-=⋅⋅==2232212h h Az bh dy b y dA y I图4-10 图4-11同理可求得123h b I y =对于边长为a 的正方形截面，其惯性矩为124a I I y z == （2）圆形截面图4-12图4-12所示圆形截面，直径为d ，半径为R ，直径轴z 和y 为其对称轴，取微面积dy y R dA ⋅-=222积分得圆形截面的惯性矩为：⎰⎰-==-==RRAz d R dy y R ydA y I 6442442222ππ同理可求得644d I y π=16.试说出平行移轴公式每个量的计算方法。
答：（1）平行移轴公式A a I I z z 21+= （4-12a ）同理得Ab I I y y 21+=(4-12b)公式4-12说明，截面图形对任一轴的惯性矩，等于其对平行于该轴的形心轴的惯性矩，再加上截面面积与两轴间距离平方的乘积，这就是惯性矩的平行移轴公式。
17.组合图形惯性矩的计算分哪几个步骤？答：组合图形对某轴的惯性矩，等于组成它的各个简单图形对同一轴惯性矩之和。
（1）求组合图形形心位置；（2）求组合图与简单图形两轴间距离；（3）利用平行移轴公式计算组合图形惯性矩。
18.低碳钢拉伸时，其过程可分为哪几个阶段？答：根据曲线的变化情况，可以将低碳钢的应力-应变曲线分为四个阶段：弹性阶段，屈服阶段，强化阶段，颈缩阶段。
19.为什么说屈服强度与极限强度是材料强度的重要指标？ 答：屈服强度与极限强度是材料强度的重要指标：(1)当材料的应力达到屈服强度σs 时，杆件虽未断裂，但产生了显著的变形，势必 影响结构的正常使用，所以屈服强度σs 是衡量材料强度的一个重要指标。
(2)材料的应力达到强度极限σb 时，出现颈缩现象并很快被拉断，所以强度极限σb 也是衡量材料强度的一个重要指标。
20.什么是试件拉断后的延伸率和截面收缩率？答：（1)延伸率：试件拉断后，弹性变形消失，残留的变形称为塑性变形。
试件的标距由原来的l 变为l 1，长度的改变量与原标距l 之比的百分率，称为材料的延伸率，用符号δ表示。
001100⨯-=l ll δ(4-14)（2)截面收缩率：试件拉断后，断口处的截面面积为A 1。
截面的缩小量与原截面积A 之比的百分率，称为材料的截面收缩率，用符号ψ表示。
001100⨯-=A A A ψ(4-15)21. 试比较塑性材料与脆性材料力学性能有何不同？答：塑性材料的抗拉和抗压强度都很高，拉杆在断裂前变形明显，有屈服、颈缩等报警现象，可及时采取措施加以预防。
脆性材料其特点是抗压强度很高，但抗拉强度很低，脆性材料破坏前毫无预兆，突然断裂，令人措手不及。
22.许用应力的涵义是什么？答：任何一种构件材料都存在着一个能承受应力的固有极限，称极限应力，用σ0表示。
为了保证构件能正常地工作，必须使构件工作时产生的实际应力不超过材料的极限应力。
由于在实际设计计算时有许多不利因素无法预计，构件使用时又必须留有必要的安全度，因此规定将极限应力σ0缩小n 倍作为衡量材料承载能力的依据，称为许用应力，以符号[σ]表示：[]n 0σσ=(4-16) n 为大于l 的数，称为安全因数。
23.轴向拉伸（压缩）正应力计算公式是什么？并解释每个量的物理意义。
答：如用A 表示杆件的横截面面积，轴力为F N ，则杆件横截面上的正应力为A F N=σ(4-17) 正应力的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。
24.轴向拉伸（压缩）杆的最大应力出现在什么截面？答：当杆件受几个轴向外力作用时，由截面法可求得最大轴力F Nmax ，对等直杆来讲，杆件的最大正应力算式为：A F N maxmax =σ(4-18) 最大轴力所在的横截面称为危险截面，由式4-18算得的正应力即危险截面上的正应力，称为最大工作应力。
25.简述轴向拉伸(压缩)的强度计算答：对于轴向拉、压杆件，为了保证杆件安全正常地工作，就必须满足下述条件[]σσ≤max(4-19)上式就是拉、压杆件的强度条件。
对于等截面直杆，还可以根据公式(4-18)改为[]σ≤A F N max(4-20)26.轴向拉伸（压缩）杆的强度条件可以解决哪三类问题？答：在不同的工程实际情况下，可根据上述强度条件对拉，压杆件进行以下三方面的计算： （1）强度校核如已知杆件截面尺寸、承受的荷载及材料的许用应力，就可以检验杆件是否安全，称为杆件的强度校核。
（2）选择截面尺寸如已知杆件所承受的荷载和所选用的材料，要求按强度条件确定杆件横截面的面积或尺寸，则可将式(4-20)改为[]σmaxN F A ≥(4-21) （3）确定允许荷载如已知杆件所用的材料和杆件横截面面积，要求按强度条件来确定此杆所能容许的最大轴力，并根据内力和荷载的关系，计算出杆件所允许承受的荷载。