第四章实数复习

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第4章实数全章复习与测试(解析版)-八年级数学

第4章实数全章复习与测试1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.一．近似数和有效数字（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．（3）规律方法总结：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．二．平方根（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．三．算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．四．非负数的性质：算术平方根（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．五．立方根（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．【规律方法】平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．六．计算器—数的开方正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．七．无理数（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．（2）、无理数与有理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，如等．（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）．（3）含有π的绝大部分数，如2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．八．实数（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．（2）实数的分类：实数：或实数：九．实数的性质（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．实数的倒数乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．十．实数与数轴（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．十一．实数大小比较实数大小比较（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．十二．估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．十三．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．一．近似数和有效数字（共4小题）1．（2022秋•丹徒区期末）小亮的体重为44.85kg，若将体重精确到1kg，则小亮的体重约为45kg．【分析】利用四舍五入法，即可将44.85kg精确到1kg．【解答】解：44.85≈45（精确到1），∴小亮的体重约为45kg，故答案为：45．【点评】本题考查的是近似数和有效数字，掌握近似数的概念、四舍五入的方法是解题的关键．2．（2022秋•邗江区校级期末）用四舍五入法得到的近似数为3.59万，精确到百位．【分析】根据近似数3.59万，可知9在百位上，然后即可写出近似数3.59万精确到哪一位．【解答】解：近似数3.59万精确到百位，故答案为：百．【点评】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确近似数的含义．3．（2022秋•常州期末）用四舍五入法把圆周率π＝3.1415926…精确到千分位得到的近似值是（）A．3.141B．3.142C．3.1415D．3.1416【分析】千分位即为小数点后第3为，用四舍五入法求得近似数即可．【解答】解：看千分位的后一位，是5，应该入1，四舍五入后，π≈3.142．故选：B．【点评】本题考查用四舍五入法求近似数，找对千分位是解题的关键．4．（2022秋•宿豫区期末）已知小明的身高为1.74m，若精确到0.1m，则小明的身高为 1.7m．【分析】把百分位上的数字4进行四舍五入即可．【解答】解：1.74m≈1.7m．故答案为：1.7m．【点评】本题考查近似数，解答本题的关键是会用四舍五入法求近似数的方法．二．平方根（共3小题）5．（2022秋•泗阳县期末）16的平方根是（）A．4B．±4C．2D．±2【分析】根据平方根的定义解答即可．【解答】解：∵（±4）2＝16，∴16的平方根是±4．故选：B．【点评】本题考查的是平方根，熟知如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根是解题的关键．6．（2023•沛县三模）64的平方根是±8．【分析】一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x即为a的平方根，据此即可求得答案．【解答】解：∵82＝64，（﹣8）2＝64，∴64的平方根为±8，故答案为：±8．【点评】本题考查平方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．7．（2022秋•常州期末）已知2（x﹣1）2＝18，求x的值．【分析】方程整理后，利用平方根的定义开方，即可求出x的值．【解答】解：∵（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3．∴x1＝4，x2＝﹣2．【点评】本题考查了利用平方根定义解方程，解题的关键是熟练掌握平方根定义．三．算术平方根（共2小题）8．（2022秋•玄武区期末）13的平方根是±；9的算术平方根是3．【分析】分别根据平方根及算术平方根的定义解答即可．【解答】解：13的平方根是±，9的算术平方根是3．故答案为：±，3．【点评】本题考查的是算术平方根，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x 叫做a的算术平方根．9．（2023•淮阴区模拟）计算：＝2．【分析】如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为，由此即可得到答案．【解答】解：＝2．故答案为：2．【点评】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．四．非负数的性质：算术平方根（共2小题）10．（2022秋•高邮市期末）若与（ab+6）2互为相反数，则a﹣b的值为5．【分析】根据偶次方、算术平方根的非负性以及相反数的定义求出a、b的值，再代入计算即可．【解答】解：∵与（ab+6）2互为相反数，∴，∴a﹣2＝0，ab+6＝0，解得a＝2，b＝﹣3，∴a﹣b＝2﹣（﹣3）＝5，故答案为：5．【点评】本题考查偶次方、算术平方根的非负性，理解算术平方根、偶次方的非负性以及相反数的定义是正确解答的前提．11．（2022秋•大丰区期末）若+（1﹣y）2＝0，则xy的平方根＝±2．【分析】非负数之和等于0时，各项都等于0，由此即可计算．【解答】解：∵+（1﹣y）2＝0，∴x﹣4＝0，1﹣y＝0，∴x＝4，y＝1，∴xy＝4，∴xy的平方根是±2．故答案为：±2．【点评】本题考查非负数的性质，关键是掌握：非负数之和等于0时，各项都等于0．五．立方根（共6小题）12．（2022秋•苏州期末）若a3＝1，则a的值为（）A．﹣1B．1C．±1D．0【分析】根据立方根的定义求解即可．【解答】解：∵a3＝1，∴a＝1．故选：B．【点评】本题考查求一个数的立方根．掌握如果x3＝a，那么x叫做a的立方根是解题关键．13．（2022秋•无锡期末）求下列各式中的x：（1）4x2＝25；（2）（x﹣1）3＝8．【分析】（1）先求得x2＝，然后依据平方根的性质求解即可；（2）先根据立方根的性质得到x﹣1＝2，然后解方程即可．【解答】解：（1）x2＝，∴x＝±．（2）由题意得：x﹣1＝2，∴x＝3．【点评】本题主要考查的是平方根立方根的性质，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键．14．（2022秋•无锡期末）已知一个正数的两个平方根分别为a和2a﹣6．（1）求a的值，并求这个正数；（2）求10a+7的立方根．【分析】（1）根据平方根的性质列出算式，求出a的值即可；（2）求出10a+7的值，根据立方根的概念求出答案．【解答】解：（1）由平方根的性质得，a+2a﹣6＝0，解得a＝2，∴这个正数为22＝4；（2）当a＝2时，10a+7＝27，∵27的立方根3，∴10a+7的立方根为3．【点评】本题考查了平方根和立方根的概念，熟练掌握平方根和立方根的概念是解题的基础．15．（2022秋•高新区校级月考）已知2x+3的算术平方根是5，5x+y+2的立方根是3，求x﹣2y+10的平方根．【分析】如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，由此即可计算．【解答】解：∵2x+3的算术平方根是5，∴2x+3＝52＝25，∴x＝11，∵5x+y+2的立方根是3，∴5x+y+2＝33＝27，∴5×11+y+2＝27，∴y＝﹣30，∴x﹣2y+10＝11﹣2×（﹣30）+10＝81∴x﹣2y+10的平方根是±＝±9．【点评】本题考查平方根，算术平方根，立方根的概念，关键是掌握平方根，算术平方根，立方根的定义．16．（2021秋•东台市月考）已知：3x+y+7的立方根是3，25的算术平方根是2x﹣y，求：（1）x、y的值；（2）x2+y2的平方根．【分析】根据立方根、算术平方根以及平方根的定义解决此题．【解答】解：（1）由题意得：＝3，．∴3x+y+7＝27且2x﹣y＝5．∴x＝5，y＝5．（2）由（1）可知：x＝5，y＝5．∴x2+y2＝52+52＝50．∴x2+y2的平方根是．【点评】本题主要考查立方根、算术平方根、平方根的定义以及解二元一次方程组，熟练掌握立方根、算术平方根、平方根的定义以及解二元一次方程组是解决本题的关键．17．（2022秋•亭湖区期末）（1）已知某数的平方根是a+3和2a﹣15，b的立方根是﹣2，求﹣b﹣a的平方根．（2）已知y＝+﹣8，求的值．【分析】（1）先依据平方根的性质得到a+3+2a﹣15＝0，然后依据立方根的性质得到b＝﹣8，然后代入计算，最后，再求平方根即可；（2）依据被开放数为非负数可得到x的值，从而得到y的值，然后代入计算即可．【解答】解：（1）∵某数的平方根是a+3和2a﹣15，b的立方根是﹣2，∴a+3+2a﹣15＝0，b＝﹣8，∴a＝4，∴﹣b﹣a＝8﹣4＝4，∴﹣b﹣a的平方根为±2．（2）∵y＝+﹣8，∴x＝24，y＝﹣8，∴＝＝4．【点评】本题主要考查的是立方根、平方根的性质，求得相关字母的值是解题的关键．六．无理数（共2小题）18．（2022秋•泗阳县期末）下列实数0，，π，，其中无理数共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】无理数是指无限不循环小数，包括三方面的数：①含π的，②一些有规律的数，③开方开不尽的数，根据以上内容判断即可．【解答】解：π，，是无理数．故选：B．【点评】本题考查了无理数的定义，注意：无理数是指无限不循环小数．19．（2022秋•溧水区期末）在实数0，，π，，，中，无理数有3个．【分析】无限不循环小数叫做无理数，它有三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，由此即可判断．【解答】解：0，＝2，π，，，中，无理数有π，，，共3个．故答案为：3．【点评】本题考查无理数，算术平方根，立方根，关键是掌握无理数的概念．七．实数与数轴（共1小题）20．（2022秋•大丰区期末）如图，数轴上点A表示的实数是（）A．﹣1B．C．+1D．﹣1【分析】先根据勾股定理求出斜边，再根据向右就用加法求解．【解答】解：∵＝，所以点A表示的数为：﹣1+，故选：A．【点评】本题考查了实数与数轴，掌握勾股定理是解题的关键．八．实数大小比较（共2小题）21．（2023•扬州）已知a＝，b＝2，c＝，则a、b、c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a【分析】一个正数越大，其算术平方根越大，据此进行判断即可．【解答】解：∵3＜4＜5，∴＜＜，即＜2＜，则a＞b＞c，故选：C．【点评】本题考查实数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．22．（2022秋•秦淮区期末）比较大小：＜．（填“＞”、“＜”或“＝”）．【分析】求出、+1的平方，比较出它们的平方的大小关系，即可判断出它们的大小关系．【解答】解：＝6，＝4+2，∵4+2＞4+2×1＝6，∴6＜4+2，∴＜．故答案为：＜．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个正实数，平方值大的，这个数也大．九．估算无理数的大小（共4小题）23．（2022秋•泗阳县期末）设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为3．【分析】先估算出的取值范围，进而可得出结论．【解答】解：∵9＜12＜16，∴3＜＜4，∴n＝3．故答案为：3．【点评】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．24．（2022秋•苏州期末）下列整数中，与最接近的是（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】由π﹣4＜0，结合二次根式的性质即可得出，从而可确定最接近的是1．【解答】解：∵π﹣4＜0，∴．∵4﹣π最接近1，∴与最接近的是1．故选：C．【点评】本题考查二次根式的性质．掌握是解题关键．25．（2022秋•溧水区期末）估计﹣1的值在（）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间【分析】首先得出4＜＜5，进而求出﹣1的值．【解答】解：∵＜＜，∴4＜＜5，∴﹣1的值在3到4之间．故选：C．【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是确定的范围．26．（2022秋•兴化市校级期末）材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5﹣2得来的，类比来看，是无理数，而1＜＜2，所以的整数部分是1，于是可用﹣1来表示的小数部分．材料2：若10﹣＝a+b，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足a＝10，b＝﹣．根据以上材料，完成下列问题：（1）的整数部分是4，小数部分是﹣4；（2）3+也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜3+＜b，求a+b的算术平方根．【分析】（1）根据完全平方数，进行计算即可解答；（2）先估算出的值的范围，从而估算出3+的值的范围，进而求出a，b的值，然后代入式子中进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵16＜17＜25，∴4＜＜5，∴的整数部分是4，小数部分是﹣4，故答案为：4，﹣4；（2）∵1＜3＜4，∴1＜＜2，∴4＜3+＜5，∵3+也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜3+＜b，∴a＝4，b＝5，∴a+b＝4+5＝9，∴a+b的算术平方根是3．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．一十．实数的运算（共3小题）27．（2023•苏州）计算：|﹣2|﹣+32．【分析】根据绝对值性质，算术平方根，有理数的乘方进行计算即可．【解答】解：原式＝2﹣2+9＝0+9＝9．【点评】本题考查实数的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．28．（2023•海州区二模）计算：．【分析】先计算乘方、零指数幂、化简二次根式，最后相加减．【解答】解：原式＝9+1﹣4＝6．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握平方、零指数幂、二次根式等知识点的运算．29．（2022秋•常州期末）计算：．【分析】直接利用算术平方根的性质以及立方根的性质、零指数幂的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝＝．【点评】本题主要考查了算术平方根的性质以及立方根的性质、零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．一．选择题（共10小题，满分27分）1．对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算※如下：a※b＝；例如3※2＝＝．那么5※7等于（）A．B．﹣4C．D．﹣3【分析】原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：5※7＝＝﹣，故选：A．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（3分）在实数﹣，0，，﹣3.14，，，﹣0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0），（π﹣3.14）0这8个实数中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】先计算得到＝2；（π﹣3.14）0＝1，然后根据无理数的定义得到在所给的8个数中只有，，﹣0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0）是无理数．【解答】解：＝2；（π﹣3.14）0＝1．在实数﹣，0，，﹣3.14，，，﹣0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0），（π﹣3.14）0这8个实数中，无理数有：，，﹣0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0），共3个．故选：C．【点评】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫无理数，常见表现形式有：开方开不尽的数，如等；无限不循环小数，如0.1010010001…等；字母表示，如π等．也考查了a0＝1（a≠0）．3．（3分）下列线段中，a＝5，b＝6，c＝3，d＝4，选择其中的三条能构成直角三角形的是（）A．a，b，c B．b，c，d C．a，c，d D．a，b，d【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：∵32+42＝52，∴C选项中的三条能构成直角三角形．故选：C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．4．（3分）若a，b为实数，且|a+1|+＝0，则﹣（﹣ab）2018的值是（）A．1B．2018C．﹣1D．﹣2018【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性求出a、b的值，再代入求出即可．【解答】解：∵|a+1|+＝0，∴a+1＝0，b﹣1＝0，∴a＝﹣1，b＝1，∴﹣（﹣ab）2018＝﹣[﹣（﹣1）×1）]2018＝﹣1，故选：C．【点评】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性、求代数式的值，能求出a、b的值是解此题的关键．5．（3分）已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根（）A．±2B．2C．4D．【分析】将代入解得，再求的算术平方根即可．【解答】解：∵是二元一次方程组的解，∴，由①得，n＝8﹣2m③，将③代入②得，m＝3，将m＝3代入③得，n＝2，∴2m﹣n＝2×3﹣2＝4，∴的算术平方根为，故选：D．【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系，会求算术平方根是解题的关键．6．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A．|a|＜|b|B．a＞b C．a＜﹣b D．|a|＞|b|【分析】据点的坐标，可得a、b的值，根据相反数的意义，有理数的减法，有理数的加法，可得答案．【解答】解：由点的坐标，得0＞a＞﹣1，1＜b＜2．A、|a|＜|b|，故本选项正确；B、a＜b，故本选项错误；C、a＞﹣b，故本选项错误；D、|a|＜|b|，故本选项错误；故选：A．【点评】本题考查了实数与数轴，利用点的坐标得出a、b的值是解题关键．7．（3分）的算术平方根是（）A．﹣4B．4C．2D．﹣2【分析】根据算术平方根，即可解答．【解答】解：＝4，4的算术平方根是2，故选：C．【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．8．（3分）如图，已知由16个边长为1的小正方形拼成的图案中，有五条线段PA，PB，PC，PD，PE，其中长度是无理数的有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【分析】根据勾股定理分别求出PA，PB，PC，PD，PE的长度即可求解．【解答】解：AP＝4，是有理数，PB＝，是无理数，PC＝，是有理数，PD＝，是无理数，PE＝，是无理数，∴长度是无理数的有3条，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，无理数，熟练掌握勾股定理以及无理数的判定是解题的关键．9．（3分）将一根长为17cm的筷子，置于内径为6cm高为8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为x cm，则x的取值范围是（）A．6≤x≤8B．7≤x≤9C．8≤x≤10D．9≤x≤11【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出x的取值范围．【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，∴x＝17﹣8＝9cm；当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD＝6cm，BD＝8cm，∴AB＝＝＝10cm，∴此时x＝17﹣10＝7cm，所以x的取值范围是7cm≤x≤9cm．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出x的值最大值与最小值是解题关键．10．（3分）实数a，b在数轴上表示如图，则（）A．a﹣b＜0B．|a|＜|b|C．a+b＞0D．a2b＜0【分析】根据数轴可得：a＜0＜b，|a|＞|b|，逐一判定即可解答．【解答】解：由数轴可得：a＜0＜b，|a|＞|b|，∴a﹣b＜0，a+b＜0，a2b＞0，故选：A．【点评】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是根据数轴确定a，b的范围．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．（3分）8的立方根为x，4是y+1的一个平方根，则x﹣y＝﹣13．【分析】根据平方根和立方根的概念求出x和y的值即可得出结论．【解答】解：∵8的立方根为x，4是y+1的一个平方根，∴x＝2，y+1＝16，即x＝2，y＝15，∴x﹣y＝2﹣15＝﹣13，故答案为：﹣13．【点评】本题主要考查平方根和立方根的知识，熟练掌握平方根和立方根的计算是解题的关键．12．（3分）320000精确到千位应记为 3.20×105；1.02×105有3个有效数字；5.204保留三个有效数字应记为 5.20．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于320000有6位，所以可以确定n＝6﹣1＝5．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．【解答】解：320000＝3.2×100000＝3.20×105，1.02×105有1、0、3三个有效数字；5.204保留三个有效数字应记为5.20．故答案为：3.20×105，3，5.20．【点评】此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．13．（3分）估计的大小约等于7或8（误差小于1）．【分析】由于49＜60＜64，则7＜＜8，当误差小于1时，可约等于7或8．【解答】解：∵49＜60＜64，∴7＜＜8，∴的大小约等于7或8（误差小于1）．【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．14．（3分）在下列数中：．有理数是 1.732，0.643，﹣（﹣1）2n（n为正整数），4+；无理数是﹣，|﹣|，1﹣．【分析】先计算得到|﹣|＝；﹣（﹣1）2n（n为正整数）＝﹣1；4+＝4﹣2＝2，然后根据有理数和无理数的定义得到在所给的数中1.732，0.643，﹣（﹣1）2n（n为正整数），4+是有理数；﹣，|﹣|，1﹣是无理数．【解答】解：|﹣|＝；﹣（﹣1）2n（n为正整数）＝﹣1；4+＝4﹣2＝2．在下列数中：，有理数是1.732，0.643，﹣（﹣1）2n（n为正整数），4+；无理数是﹣，|﹣|，1﹣．故答案为1.732，0.643，﹣（﹣1）2n（n为正整数），4+；﹣，|﹣|，1﹣．【点评】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫无理数，常见表现形式有：开方开不尽的数，如等；无限不循环小数，如0.1010010001…等；字母表示，如π等．15．（3分）数轴上有A、B、C三个点，B点表示的数是1，C点表示的数是，且AB＝BC，则A点表示的数是2﹣．【分析】设A点表示x，再根据数轴上两点间距离的定义即可得出结论．【解答】解：设A点表示x，∵B点表示的数是1，C点表示的数是，且AB＝BC，∴1﹣x＝﹣1．解得：x＝2﹣故答案为：2﹣．【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间距离公式是解答此题的关键．16．（3分）数轴上，表示﹣的点与表示3的点之间的距离是4．【分析】根据数轴上两点间的距离公式计算即可．【解答】解：数轴上，表示﹣的点与表示3的点之间的距离是：3﹣（﹣）＝4，。

第四章实数指数幂(1)精品教案

作业处理
1．将下列各根式写成分数指数幂的形式：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．
2．将下列各分数指数幂写成根式的形式：
(1) ；（2）；(3) ；(4) ．
板书设计
第四章实数指数幂
概念：
一般地，如果＞，那么叫做的次方根．
说明：
（1）当n为偶数时，正数的n次方根有两个，分别表示为和 ,其中叫做的次算数根；零的n次方根是零；负数的n次方根没有意义．
《数学》课程教案
课题
第四章
实数指数幂(1)
教学目标
（1）复习整数指数幂的知识；
（2）了解n次根式的概念；
（3）理解分数指数幂的定义。
课型
理论课
课时
2
教学重点
分数指数幂的定义；
教学难点
根式和分数指数幂的互化；
教学方法
传统式
教学过程
备注
第一课时
第四章实数指数幂
引入新授：
问题：
如果，则x=；x叫做9的；
解（1），，故；
（2），，故；
（3），，故．
例2将下列各根式写成分数指数幂的形式：
（1）；（2）；（3）．
分析要把握好形式互化过程中字母位置的对应关系，按照规定逆向进行形式的转化．
解（1），，故；
（2），，故；
（3），，故．
说明：将根式写成分数指数幂的形式或将分数指数幂写成根式的形式时，要注意规定中的m、n的对应位置关系，分数指数的分母为根式的根指数，分子为根式中被开方数的指数．
并且规定当时， =； =．
将整数指数幂的概念进行推广： =．
概念：
规定：，其中＞1．当为奇数时，；当为幂推广到有理数指数幂．

八年级数学上册期末复习4(第四章实数)

八年级数学上册期末复习+典型例题解析第四章实数1、平方根：⑴定义：一般地，如果x2=a(a≥0)，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。

⑵表示方法：正数a的平方根记做“a±”，读作“正、负根号a”。

⑶性质：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②零的平方根是零；③负数没有平方根。

2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

3、算术平方根：⑴定义：一般地，如果x2=a(a≥0)，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。

特别地，0的算术平方根是0。

⑵表示方法：记作“a”，读作“根号a”。

⑶性质：①一个正数只有一个算术平方根；②零的算术平方根是零；③负数没有算术平方根。

⑷注意a的双重非负性：.0,0≥≥aa⑸()()()()0,0,0222≤-=≥=≥=aaaaaaaaa4、立方根：⑴定义：一般地，如果x3=a那么这个数x就叫做a 的立方根（或三次方根）。

⑵表示方法：记作“3a”，读作“三次根号a”。

⑶性质：①一个正数有一个正的立方根；②一个负数有一个负的立方根；③零的立方根是零。

⑷注意：33aa-=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

⑸()aaa==33235、开立方：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。

6、实数定义与分类：⑴无理数：无限不循环小数叫做无理数。

理解：常见类型有三类：①开方开不尽的数：如7,39等；②有特定意义的数：如圆周率π，或化简后含有π的数，如π+8等；③有特定结构的数：如0.1010010001……等；(注意省略号)⑵实数：有理数和无理数统称为实数。

⑶实数的分类：①按定义来分②按符号性质来分整数(含0) 正有理数有理数分数正实数正无理数实数实数0无理数负实数负有理数负无理数7、实数比较大小法：理解：⑴正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；⑵数轴比较：数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；⑶绝对值比较法：两个负数，绝对值大的反而小。

⑷平方法：a、b是两负实数，若a2＞b2，则a＜b。

苏科版八上第四章实数复习(上课用)

例 1、 2 2 3 计算：［-3 ×2+3×(-2) -4×(-6)］÷［- ( 9) ］.
解：原式=［-9×2+3×(-8)+24］÷［-9］ =(-18-24+24)÷(-9) =2
例 2、 (2002年·北京海淀区)x、y是实数， 3x 4 +y2-6y+9=0，若axy-3x=y,则实数a的值是( A ) A.1/4 B.-1/4 C.7/4 D.-7/4
(3 y )
解下列方程：
不要遗漏
4 3 y 9
1 2 y 2 或y 3 3 3
9
3 2 3 125 (x ) 3 27
2 3 125 x 3 27
2 y 3 3
x 1
2 5 x 3 3
当方程中出现平方时，若有解，一般都有两个解
A
)
A.x≤2
4.若 A.x≤4
3
B. x≥2 C. 0 ≤x ≤ 2
D.任意实数
D
(4 x)3
=4-x成立,则x的取值范围是( C. 0 ≤x ≤ 4
)
B. x≥4
D.任意实数
8、已知
a - 2 b 3 0,
2
则（a b) 25
;
2
9、计算： 1 - x x 1 x 1 0 ;
性
质
0 负数
0
负数（一个）
开方是本身
求一个数的平方求一个数的立方根的运算叫开平根的运算叫开立方方
0,1
0
0,1,-1
(1)4的算术平方根是±2. (2)4的平方根是2.
(3)8的立方根是2.

(完整版)鲁教版七年级数学上册复习知识点总结

21DCBADCBA 鲁教版初二上数学知识点梳理第一章三角形⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC 用符号表示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示.注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义．⒉ 三角形的分类： (1)按边分类：(2)按角分类：⒊ 三角形的主要线段的定义：（1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线.2.BD=DC=BC.12注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部；③三角形三条中线交于三角形内部一点；④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线.2.∠1=∠2=∠BAC.12注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；三角形等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形三角形直角三象形斜三角形锐角三角形钝角三角形_C _BDCBA③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；④用量角器画三角形的角平分线．（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的高线.2.AD ⊥BC 于D.3.∠ADB=∠ADC=90°.注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；③三角形三条高所在直线交于一点．如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.4．三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．5. 三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180 ;（三角形的内角和定理）(2) 直角三角形的两个锐角互余.6．三角形的稳定性：三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性．注意：（1）三角形具有稳定性；（2）四边形没有稳定性.7．三角形全等：全等形：能够完全重合的图形叫做全等形.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.对应顶点、对应边、对应角：把两个全等的三角形重合到一起.重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.图5图6图7图8三角形全等的判定方法：1. 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）.2. 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.3. 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.4.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）.⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 S S S 全等形全等三角形应用边角边 S A S 判定角边角 A S A 角角边 A A S 斜边、直角边 H L 作图角平分线性质与判定定理三角形全等的应用：测距离要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

升学复习第四章-幂函数、指数函数、对数函数

（4）loga
n
1
M= logaM.
n
典例解析
例11.求下列对数的值：
(1)log64+log69；
(2)log2162；
(3)log672-log62；
(4)lg5+lg2.
知识聚焦
5.换底公式
logaN lgN
logbN= loga = lg (a>0且a≠1，b＞0且b≠1，N＞0).
函数时,图像只分布在第一象限.
知识聚焦
3.幂函数的图象与性质
(-2,4)
4
y=x3
(2,4)
y=x2
3
y=x
1
-6
-4
-2
(1,1)
-1
-2
-3
-4
(0,+∞)内都有定义,并且函数图象
y=x-1
2
(-1,-1)
（2）过定点：所有的幂函数在
y=x 2
(4,2)
2
(-1,1)
1
4
6
都通过点(1,1).
特别地，以10为底的对数函数y=lgx叫做常用对数函数
以e为底的对数函数y=lnx叫做自然对数函数.
知识聚焦
2
对数
函数
的图
象与
性质
解析式
对数函数y=log
a>1(真大整体大,真小整体小)
图
象
a
0<a<1(真大整体小,真小整体大)
y
o
x (a>0, a≠1)
y
（1, 0)
（2）正数的负分数指数幂的意义：
a
m
n
1m
an
n
1 ( a 0, m , n N , 且n 1)

第四章实数复习检测卷

第四章. 实数寒假复习济宁学院附属中学李涛考点一、无理数定义考点二、算术平方根，平方根考点三、立方根考点四、实数实数复习（四）一、选择题1. 下列实数: 32-，0，141592.3-，∙59.2，2π，25，3， 0．020020002……中,无理数有( )个．A.2B.3C.4D.52．25表示的是( )A.25的立方根B.25的平方根C.25的算术平方根D.5的算术平方根3、若73-x 有意义，则x 的取值范围是（）。

A 、x ＞37-B 、x ≥ 37- C 、x ＞37 D 、x ≥37 4.估算728-的值在 A 、7和8之间 B 、6和7之间C 、 3和4之间D 、2和3之间5、计算33841627-+-+的值是（）。

A 、1B 、±1C 、2D 、76、下列各组数中互为相反数的是………………………………（）Ａ. 2-与2)2(- Ｂ. 2-与38- Ｃ. 2-与21- Ｄ.2-与2 7、实数在数轴上的位置如图16--C ，那么化简2a b a --的结果是（）A.b a -2B.bC.b -D.b a +-28.若将三个数3-，7，11表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（）（A ）3- （B ）7 （C ）11 （D ）无法确定9. 某位老师在讲“实数”时，画了一个图（如图1），即“以数轴的单位线段为边做一个正方形，然后以O 为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x 轴上于一点A”。

则OA 单位长度，想一想：作这样的图可以说明什么？（）A.数轴上的点和有理数一一对应B.数轴上的点和实数一一对应C.D.不能说明什么10a =，则a 的取值范围是( )A . a ＞0B . a ≥0C . a ＜0D . a ≤0 11. 11的整数部分为3，小数部分为b ，则b 为( )A ．0.3B ．0.32C ．11－3D ．0.316 12．计算3332-+-得出结果为（）A.1B.－1C.325-D.532-二、填空题（把答案填在题中横线上）13．9的算术平方根是______，-271的立方根是，－3的相反数是________，绝对值是________.2的倒数是．14、=-2)4( .15、若m 、n 互为相反数，则n m +-7＝_________。

第四章实数章末复习

D. −
CC ）
3. （多选）（威海实验中学模拟）关于的叙述正确的是（
A. （）2＝8
B. 面积是8的正方形的边长是
C. 是有理数
D. 在数轴上可以找到表示的点
ABD ）
ABD
考点二：平方根与立方根
4. （铜仁中考）9的平方根是（
A. 3
B. －3
C ）
C. ±3
5. 若 − ＝5，则 x 的算术平方根是（ CC
（ − ）＋（ − ）－（ − ） .
◉答案解：由实数 a ， b 在数轴上的对应点的位置可知 a ＞ b ，0＜ a ＜1， b ＜－
1，所以 a － b ＞0， b －1＜0， a －1＜0.所以原式＝｜ a ｜＋｜ b ｜＋｜ a － b ｜
＋｜ b －1｜－｜ a －1｜＝ a － b ＋ a － b ＋1－ b ＋ a －1＝3 a －3 b .
思想二：分类讨论思想
21. 已知2 a ＋5与－3 a ＋25是一个数的平方根，求这个数.
◉答案解：当2 a ＋5与－3 a ＋25是这个数的同一个平方根时，2 a ＋5＝－3 a ＋
25，解得 a ＝4，则2 a ＋5＝13，所以这个数是132＝169；当2 a ＋5与－3 a ＋25是
这
个数的不同的平方根时，2 a ＋5＋（－3 a ＋25）＝0，解得 a ＝30，所以2 a ＋5＝
B. a ＝100 b
C. a ＝1000000 b
D. a ＝1000 b
16. （南充中考）计算：｜1－｜＋（π－）0＝
）

.
17. 计算.

（1）（－1）2024＋｜1－｜－

第四章实数(小结与思考)(复习课件)八年级数学上册(苏科版)

⊥ ，使 = (如图).以为圆心，长为半径作弧，交数轴正半
轴于点，则点所表示的数介于（ C ）
B
A. 和之间
B. 和之间
C. 和之间
D. 和之间
A
-1
O
1
2
3
4
考点分析
考点六
实数的大小比较
例比较下列各数的大小：
(1)
−

______
，
＜

(2)−_______−
解：(1)观察有理数a，b，c在数轴上对应
的点，可知：
b＜﹣a＜c＜﹣c＜a＜﹣b；
(2)|c|﹣|c+b|+|a﹣c|﹣|b+a|
＝﹣c+c+b+a﹣c+b+a
＝﹣c+2b+2a．
b
c 0
a
巩固练习
1.实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ D ）
A．a<-2
B．b<2
C．a>b
而. − . = . ，. − . = . ，
∵. > .
∴. 更接近0.75.
）
巩固练习
2.（2020·江苏宿迁）在△ABC中，AB=1，BC= ，下列选项中，可
以作为AC长度的是（ A ）
A．2
B．4
C．5
解：∵在△ABC中，AB=1，BC= ，
±
解：∵ = − + − + ，且根号下不能为负，
∴ − = ， − = ，
∴ = ，
∴ = ，
∴ + = ，
∴ + 的平方根是±.

第四章实数复习学案

课题第四章实数（复习学案）学习目标 1、了解无理数、实数、平方根、立方根的概念和意义，能按要求对实数进行分类。

2、会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根，并能进行相关的计算。

重、难点对实数进行分类，平方根、立方根的相关计算教师引导学习过程知识点一：平方根及算术平方根例1、求下列各数的平方根及算术平方根：（1）900 （2）1 （3）6449（4）14 练习一：1、求下列各数的平方根及算术平方根：（1）2.25,169, 0.81, 2.89 0.0009 （2） 410- ， 610- ， 971 ， 0 ， 11（3）121， 1.96， 106 0.04 2、求下列各式的值：（1）100 （2）144 （3）12125（4）01.0- （5） 225- （6）25142- 归纳、概括:1、一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即，那么这个正数x 就叫做a的，记为，读作。

特别地，我们规定0的算术平方根是2、负数a 可以有算术平方根？3、一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即，那么这个数x 就叫做a 的，记为，读作。

特别地，我们规定0的平方根是知识点二：立方根概念：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即，那么这个数x 就叫做a 的立方根（也叫做三次方根），0的立方根是例2：求下列各数的立方根：（1）-27 （2）1258（3）0.216 （4）-5 练习3、求下列各数的立方根：（1）0.001 （2）-1 （3）2161- (4)8000 (5)278(6)-512练习4、求下列各式的值：（1）38-3064.0 31258- ()339（2）3125.0； 364- ； 335 ； ()3316（3）38 ； 33)3(- ；()33125 327-知识点二：实数实数练习5：求下列各数填入相应的集合内：3737737773.0,0,948-5-722320225-741233，，，，，，，，，，π···（相邻两3之间7的个数逐个加1） 4， 32 ，327- ，0.31，-π， ..51.0（1）有理数集合：﹛ ┉﹜ （2）无理数集合：﹛ ┉﹜ （3）正实数集合：﹛ ┉﹜ （4）负实数集合：﹛ ┉﹜ 相反数，倒数，绝对值练习6：写出下列各数的相反数、倒数、绝对值：（1）-5 （2）1-π （3）3278（4）实数a （a ≠0）四、联系拓广例题3：1、已知a 的平方根为3b-1和b+5，则a= ，a 的立方根是 2、若x -2+y 2=0，则x+y= 变式练习3. 某数的平方根为a+3和2a-15，则a=已知|x-1|+(y+3)2+z y x ++=-0,则x= y= z=4．已知m 的平方根是k +1和2k ﹣2，则k= ． 5．若x 、y 为实数，且|x +y |+=0，则的值为．6．若+|b +1|=0，则a 2018+b 2019= ．7.如图，在数轴上点A 表示的实数是． 8.如图，数轴上点C 表示的数为．9.如图，CB=1，OC=2，且OA=OB ，BC ⊥OC ，则点A 在数轴上表示的实数是．例题4：解下列方程：10.2a =________ 2a()a =________． ()ax 2=（－7）2，则x =______．11．计算：（1﹣）0﹣（﹣）﹣2= ． 12．计算：= ．13．计算：（x ﹣1）0+（）﹣2﹣=14．计算：（π+1）0+|﹣|﹣2﹣2= ． 15．计算：（）﹣1﹣（﹣1）0= 16．计算：22+|﹣1|﹣= ．17．计算： ﹣（）﹣1+|1﹣|= ．18．计算：﹣= ．19．计算：（）﹣3=4)3(92=-y 0835273=+-）（x。

八上期末复习第四章《实数》难题专练(无答案)

八上期末复习第四章《实数》难题专练一、解答题1.(一)已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的算术平方根等于它本身，p是平方+m2的值．(二)已知正数x的两个不同的根等于本身的实数，求p2019+cd+a+bπ3=4.求x−2y+2的值．平方根分别是a+3和2a−15，且√x+y−22.已知数轴上点A表示的数是−√2，点B表示的数是1，点C在点B的右侧，且点C到点B的距离与点A到点B的距离相等，求点C所表示的数．3.如图，直径为1个单位长度的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合.(所有结果保留π)(1)若圆从原点沿数轴向左滚动一周，圆上与原点重合的点Q到达点Q′，设点Q′表示的数为a．①求a的值;②求−(a−√16)−π的算术平方根．(2)若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次运动的情况记录如下：+2，−1，+3，−4，−3．①第几次滚动后，点Q距离原点最近⊕第几次滚动后，点Q距离原点最远⊕②当圆片结束运动时，点Q运动的路程共有多少⊕此时点Q所表示的数是多少⊕4.已知：△ABC为等边三角形，BC交y轴于点D，A(a,0)，B(b,0)，且a、b满足a2+6a+9+√b−1=0．(1)如图1，求A、B的坐标及CD的长；(2)如图2，点P是AB延长线上一点，点E是CP右侧一点，CP=PE，且∠CPE=60°，连接EB，求证：BE=AP；(3)如图3，若点M在CA延长线上，点N在AB延长线上，且∠CMD=∠DNA，试求AN−AM的值．5.观察图，每个小正方形的边长均为1．(1)则图2中阴影部分的面积是，边长是，并在图1数轴上作出表示阴影正方形边长的点．(2)已知a为阴影正方形边长的小数部分，b为√11的整数的部分，求：①a，b的值；②(a+b)2的算数平方根．6.如图1，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．(1)拼成的正方形的面积是______，边长是______．(2)把10个小正方形组成的图形纸(如图2)，剪开并拼成正方形．①请在4×4方格图内画出这个正方形．②以小正方形的边长为单位长度画一条数轴，并在数轴上画出表示−√10的点．(3)这种研究和解决问题的方式，主要体现了______的数学思想方法．A.数形结合B.代入C.换元D.归纳7.如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示−√2，设点B所表示的数为m．(1)实数m的值是_____．(2)求|m+1|+|m−1|的值；(3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与√d−4互为相反数，求2c+3d的平方根．8.阅读下面的文字，解答问题．大家知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于1<√2<2，所以√2的整数部分为1，将√2减去其整数部分1，差就是小数部分√2−1，根据以上的内容，解答下面的问题：(1)√5的整数部分是________，小数部分是________；(2)1+√2的整数部分是________，小数部分是________；若设2+√3整数部分是x，小数部分是y，求x−√3y的值．9.阅读与探究在第六章《实数》中，我们学习了平方根和立方根．下表是平方根和立方根的部分内容．平方根立方根定义一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，这就是说，如果x2=a，那么叫做a的平方根．一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x做a的立方根．运算求一个数a的平方根的运算，叫开平方，开平方与平方互为逆运算．求一个效a的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算．今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根． (1)填表与定义 ______．(2)思考与归纳求一个数a 的四次方根的运算叫做开四次方．开四次方和四次方互为逆运算． ①探究：81的四次方根是______．1681的四次方根是______．0的四次方根是______．−4______(填“有”或“没有”)四次方根． ②归纳：根据上述①中情况，类比平方根和立方根的特征，归纳四次方根的特征：______． ③总结：我们归纳四次方根的特征时，分了正数、0、负数三类进行研究，这种思想叫______；(填正确选项的代码)四次方根的特征是由81，1681，0等这几个特殊数的四次方根的特征归纳出来的，这种思想叫______(填正确选项的代码)A .类比思想 B.分类讨论思想 C.由一般到特殊的思想 D.由特殊到一般的思想 (3)巩固与应用类似于平方根和立方根，一个数a 的四次方根，用符号“±√a 4”表示，读作“正、负四次根号a ”，其中a 是被开方数，4是根指数．例如±√164表示16的四次方根，±√164=±2．①±√2564=______(将结果直接填到横线上)②比较大小：√3______√44(填“<”或“=”或“>”)10. 观察下列各式：1√2+1=√2−1(√2+1)(√2−1)=√2−11√3+√2=√3−√2(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2√4+√3=√4−√3(√4+√3)(√4−√3)=√4−√3回答下列问题：(1)利用你观察到的规律，化简√6+√5=___________；(2)按照规律猜想，第n(n>0)个等式：____________；(3)求下列式子值：1+√3+√3+√5+√5+√7+⋯⋯+√2017+√201911.细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题。

初中数学总复习知识点详解

初中数学总复习知识点详解第一章：实数★重点★ 实数的有关概念及性质,实数的运算 ☆内容提要☆一、重要概念 1．数的分类及概念数系表：说明：“分类"的原则：1）相称（不重、不漏）2）有标准2．非负数：正实数与零的统称.（表为:x ≥0）常见的非负数有：性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。

3．倒数： ①定义及表示法②性质：A 。

a ≠1/a （a ≠±1)；B 。

1/a 中，a ≠0；C.0＜a ＜1时1/a ＞1;a ＞1时，1/a ＜1;D 。

积为1。

4．相反数： ①定义及表示法②性质：A 。

a ≠0时，a ≠-a ；B 。

a 与—a 在数实数无理数(无限不循环小数)有理数正分数负分数正整数 0 负整数 (有限或无限循环性数) 整数分数正无理数负无理数 0 实数负数整数分数无理数有理数正数整数分数无理数有理数│a │2a a (a ≥0)(a 为一切实数)轴上的位置；C 。

和为0，商为—1。

5．数轴：①定义（“三要素”）②作用：A 。

直观地比较实数的大小；B.明确体现绝对值意义;C 。

建立点与实数的一一对应关系。

6．奇数、偶数、质数、合数(正整数-自然数）定义及表示:奇数:2n —1偶数：2n(n 为自然数）7．绝对值：①定义(两种）：代数定义：几何定义：数a 的绝对值顶的几何意义是实数a 在数轴上所对应的点到原点的距离。

②│a │≥0，符号“││”是“非负数”的标志;③数a 的绝对值只有一个；④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现,其关键一步是去掉“││"符号. 二、实数的运算1．运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）2．运算定律（五个-加法[乘法]交换律、结合律;［乘法对加法的] 分配律）3．运算顺序：A 。

高级运算到低级运算；B 。

（同级运算）从“左”到“右"（如5÷51×5）;C 。

苏科版八年级上册第四章实数章节提优微专题复习

苏科版八年级上册第四章实数章节提优微专题复习微专题一：非负数的灵活运用1.2m 的算术平方根一定是（）A.mB. -mC.|m|D.m2.若实数n m ，满足04|2|=-+-n m ，m ，n 恰好是等腰三角形ABC 两条边的长，则△ABC 的周长是（）A. 12B. 10C. 8D. 63.已知07|1|=++-b a ，则b a += .4.若x x -+-8181有意义，则3x 的值是 .5.当x 时，x x -+-33有意义；当x 时，3333x x -+-有意义.6.若62121--+-=x x y ，则xy = . 7.21++a 的最小值是，此事a 的值是 .8.（1）若3+-y x 与1-+y x 互为相反数，则2)(y x -的平方根为 .（2）已知82424--+-=x x y ，则35y x -的算术平方根为 .9.已知△ABC 的三边长分别为c b a ,,，且满足09612=+-+-b b a ，则c 的取值范围是 .10.（1）已知0)6(|5|2=-+-+xy y x ，试求22y x +的平方根.（2）已知22+m 的平方根是±4，13++n m 的平方根是±5，求n m 3+的平方根.11.已知3+-y x 与y x 2+互为相反数，求2020)(y x +的算术平方根.12.23-=x ，且03)12(2=-++-z x y ，求z y x +-的值.13.若0)33(|3|2=++-y x ，求2020)(xy 的值.微专题二：实数章节有关的概念题1.下列说法正确的是（）A.任何数都有两个平方根B.（-1）²的平方根是-1C.如果一个数有两个不相等的平方根D.如果一个数有两个不相等的平方根，那么这个数一定是正数2.下列说法正确的是（）A. 1的平方根是1B. ±4是16的算术平方根C.（-3）²的平方根是3D.5是25的算术平方根3.下列说法正确的是（）A.一个正数的平方根和立方根都只有一个B.0的平方根和立方根都是0C.1的平方根与立方根都是它本身D.一个数的立方根与其自身相等的数只有-14.下列命题中真命题的个数有（）①零是最小的实数；②数轴上的所有的点都表示实数；③无理数就是带根号的数；④不带根号的数都是有理数；⑤无限小数不能化成分数；⑥无限不循环小数是无理数.A.1个B. 2个C. 4个D. 5个5.下列说法中，不正确的是（）A.绝对值最小的实数是零B.算术平方根最小的实数是零C.平方最小的实数是零D.立方根最小的实数是零6.下列说法正确的个数是（）①两个无理数的和必是无理数；②两个无理数的积必是无理数；③无理数包括正无理数、0、负无理数；④实数与数轴上的点是一一对应.A.1B. 2C. 3D. 47.下列说法中，正确的是（）A.不带根号的数不是无理数B.8的立方根是±2C.绝对值是3的实数是3D.每个实数都对应数轴上的一个点8.下列命题中，正确的个数是（）①1的平方根是1；②1是1的算术平方根；③（-1）²平方根是-1；④0的算术平方根是它本身.A.1B. 2C. 3D. 49.下列说法中，正确的是（）A.-8是64的平方根，即8=64-B.8是（-8）²的算术平方根，即8-(2=)8C.5是25的平方根，即525=±D.±5是25的平方根，即525±=10.下列说法正确的是（）A.一个数的立方根一定比这个数小B.一个数的算术平方根一定是正数C.一个正数的立方根有两个D.一个负数的立方根只有一个，且仍为负数 11.下列说法中，错误的有（）①负数没有立方根；②1的立方根与平方根都是1；③38的平方根是2±； ④252128183=+=+.A. 1B. 2C. 3D. 4 12.下列说法正确的是（）A.实数的绝对值都是正数B.没有绝对值最大的数，也没有绝对值最小的数C.无理数与无理数的积一定是有理数D.无理数的相反数还是无理数微专题三：实数的估算问题1.若103<<a ，则下列结论中正确的是（）A. 31<<aB.41<<aC.32<<aD.42<<a2.下列各数中，小于2-的数是（） A. 5- B.3- C.2- D.1-3.试比较3752，，的大小正确的是（） A.3752<< B.5723<< C.5273<< D.2753<<4.下列正数中，与1310-最接近的是（）A. 4B.5C.6D.75.若b a <-<71，且b a ,是两个连续整数，则b a +的值是（）A. -1B. -2C. -3D. -4 6.51+最接近的整数是（）A. 4B. 3C. 2D. 17.已知553322===c b a ，，，则下列大小关系正确的是（） A.c b a >> B.a b c >> C.c a b >> D.b c a >>8.已知无理数8,7,6,5，其中在2126218++与之间的都（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个9.已知a 是17的整数部分，b 是17的小数部分，那么23)4()(++-b a 值是 .10.已知139+和139-的小数部分分别是a 和b ，则b a +的相反数的立方根为 .11.（1）如果5的小数部分为a ，13小数部分为b ，求5-+b a 的值.（2）已知y x +=+310，其中x 是整数，且10<<y ，求y x -的相反数.微专题四：实数章节易错题 1.81的平方根是（）A.±3B. 3C. ±9D. 92.16的平方根是（）A. ±4B. 4C. ±2D. 23.把19547精确到千位的近似数是 .4.64的立方根是；25的算术平方根的立方根是 .5.29）（-的平方根是；81的平方根是 .6.若a a -=-2)2(2，则a 的取值范围是 .7. 近似数2100.5⨯精确到位；由四舍五入法得到的近似数32.14万精确到了位.8.（1）对398.153取近似值，精确到百分位是，精确到个位是 .（2）近似数0.020精确到；近似数41010.3⨯精确到位.（3）2.595精确到百分位是；23560用科学记数法表示并精确到千位是 .微专题五：实数章节重点题型1.如图，c b a ,,分别是数轴上点A ，B ，C 所对应的实数.试化简：||)(||332c b b a b a c -+++-+= .2.若4)4(33-=-k k ，则1-k 的平方根为 .3.如图c b a ,,分别是数轴上点A ，B ，C 所对应的实数，试化简：332)(||b a c a b ++--.4. 已知一个正数的两个平方根分别为m m +-362和，则9-m 的立方根是 .5. 在△ABC 中，AB=10，AC=5，若BC 边上的高等于3，则BC 边的长为 .6.若实数a 满足a a-=-1，则a 的值为 .7.如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B ，D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC ，EC.已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x .（1）用含x 的代数式表示CE AC +的长；（2）请问AC+CE 的值是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由.（3）根据（2）中的规律和结论，请直接写出代数式16)24(922+-++x x 的最小值为 .。

初中数学总复习分章节测试题与答案(完整版)

2012年第一章有理数的概念一、选择题：1．下列命题中，正确的是（）Ａ有限小数是有理数Ｂ无限小数是无理数Ｃ数轴上的点与有理数一一对应Ｄ数轴上的点与实数一一对应2．四位同学画数轴如下图所示，你认为正确的是（）A B C D3．下列说法正确的是（） A 绝对值较大的数较大 B 绝对值较大的数较小 C 绝对值相等的两数相等 D 相等两数的绝对值相等4．若a 与b 互为相反数，则下列式子成立的是（） A 0=-b a B 1=+b a C 0=+b a D .0=ab5．数轴上原点和原点左边的点表示的数是（） A 负数 B 正数 C 正数或零 D 负数或零6．下列比较中，正确的是（）A331212-<<- B212313-<<- C 210->-> D 201-><- 7．a--是一个（）Ａ正数Ｂ负数Ｃ正数或零Ｄ负数或零8．下列命题中正确的是（）Ａ 3和－是互为相反数Ｂ 3和－3是互为倒数Ｃ绝对值为3的数是－3Ｄ－3的绝对值是39．数x 由四舍五入得到的近似数是35．0，数x 不可能是（）Ａ 35．049 Ｂ 34．974Ｃ 35．052 Ｄ 34．95910．若a 为实数，下列代数式中，一定是负数的是（）Ａ 2a - Ｂ 2)1(+-a Ｃ a - Ｄ )1(+--a11．若)(21++n m b a ·)(35212b a b a m n =-，则n m +的值为（）Ａ 1 Ｂ 2 Ｃ 3 Ｄ－312．据6月4日《苏州日报》报道，今年苏州市商品房销售量迅速增加，1～4月商品房销售金额高达1 711 000 00O 元，这个数用科学计数法表示是（）A 1.711×610B 1.711×910C 1.711×1010D 1711×61013．在0，1-，1，2的四个数中，最小的数是（） A. 0 B 1- C 1 D. 214．张玲身高h ，由四舍五入后得到的近似数为1.5米，正确表示h 的值是（） A 1.43米 B 1.56米 C 1.41≤ h ≤ 1.51 D 1.41≤ h <1.55 二、填空题：14．2001年3月，国家统计局公布我国总人口为129533万人．如果以亿为单位保留两位小数，可以写成约为____________亿人；15．计算：)3()20()100(---⨯-＝；16．2)1(-的相反数是_______；17．已知5,10=-=b a ，代数式)(b a --的值是； 18．如果ba b a ><<,0,0，那么0____b a -；如果ba b a <<<,0,0，那么___b a -0；19．21的倒数的相反数的3次幂等于；20．把3729000-用科学记数法可表示为； 21．41030.3⨯有个有效数字，它精确到位； 22．方程275=+x 的解的2003次幂是； 23．若0<m ，则_____=+m m ，若0>m ，则______=+m m ，若0=m ，则______=+m m ；24．0)4(|3||2|2=+-+-++z y x ，则.____=+zy x x 25．观察下列算式：21＝2；22＝4；23＝8；24＝16；25＝32；26＝64；27＝128；28＝256；……通过观察，用你所发现的规律写出811的末位数字是；26．已知：1＋3＝22；1＋3＋5＝32；1＋3＋5＋7＝42；1＋3＋5＋7＋9＝52； ……… 根据前面各式的规律，可猜测：1＋3＋5＋7＋…＋_____12=+n ；27．观察下列等式：41314313121321211211－＝；－＝；－＝⨯⨯⨯; ……。

实数(单元复习)标准教案

实数(单元复习)标准教案第一章：实数的概念与分类一、教学目标：1. 理解实数的定义及其分类；2. 掌握有理数和无理数的特点；3. 能够正确区分各种实数类型。

二、教学内容：1. 实数的定义；2. 有理数的概念及其分类；3. 无理数的概念及其分类；4. 实数的性质。

三、教学重点与难点：1. 实数的分类；2. 有理数与无理数的区别；3. 实数的性质。

四、教学方法：1. 讲授法：讲解实数的定义、分类及性质；2. 案例分析法：分析具体案例，引导学生理解实数的分类；3. 讨论法：组织学生讨论实数的性质。

五、教学步骤：1. 引入实数的概念，让学生回顾实数的定义；2. 讲解有理数的概念及其分类，让学生通过实例理解有理数的性质；3. 讲解无理数的概念及其分类，让学生通过实例理解无理数的性质；4. 组织学生讨论实数的性质，总结实数的特点；5. 布置练习题，巩固所学内容。

第二章：实数的运算一、教学目标：1. 掌握实数的运算方法；2. 能够熟练进行实数运算；3. 理解实数运算的性质。

二、教学内容：1. 实数的加减乘除运算；2. 实数的乘方与开方运算；3. 实数运算的性质。

三、教学重点与难点：1. 实数运算的规则；2. 实数运算的性质。

四、教学方法：1. 讲授法：讲解实数的运算方法及性质；2. 练习法：让学生通过练习题巩固实数运算的方法；3. 小组合作法：组织学生分组讨论实数运算的问题。

五、教学步骤：1. 复习实数的运算方法，让学生回顾加减乘除运算的规则；2. 讲解实数的乘方与开方运算，让学生理解乘方与开方的意义；3. 组织学生进行实数运算的练习，让学生熟练掌握运算方法；4. 讲解实数运算的性质，让学生理解运算的规律；5. 布置练习题，巩固所学内容。

第三章：实数与函数一、教学目标：1. 理解实数与函数的关系；2. 掌握函数的定义及性质；3. 能够运用实数解决函数问题。

二、教学内容：1. 实数与函数的关系；2. 函数的定义及其性质；3. 函数的图像与实数的关系。

高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数 4.1.1 实数指数幂及其运算学案(含解析)新人教B版

4.1.1 实数指数幂及其运算学习目标1.理解n 次方根及根式的概念.正确运用根式的运算性质进行根式运算.2.学会根式与分数指数幂之间的相互转化,掌握用有理指数幂的运算性质化简求值.自主预习1.有理指数幂(1)一般地,a n中的a 称为 ,n 称为 .(2)一般地,给定大于1的正整数n 和实数a ,如果存在实数x ,使得 ,则x 称为a 的n 次方根.①0的任意正整数次方根均为 ,记为 .②正数a 的偶数次方根有两个,它们互为 ,其中正的方根称为a 的 ,记为 ,负的方根记为 ;负数的偶数次方根在实数范围内 .③任意实数的奇数次方根都有且只有一个,记为 .而且正数的奇数次方根是一个 ,负数的奇数次方根是一个 .(3)当√a n 有意义的时候,√n n称为 ,n 称为 ,a 称为 . 一般地,根式具有以下性质:①(√n n )n=a.②√n n n ={n ,当n 为奇数时,|n |,当n 为偶数时.(4)一般地,如果n 是正整数,那么:当√n n有意义时,规定n 1n = ;当√a n没有意义时,称n 1n 没有意义.对于一般的正分数n n,也可作类似规定,即n nn = = .但值得注意的是,这个式子在n n不是既约分数(即m ,n 有大于1的公因数)时可能会有歧义.负分数指数幂:若s 是正分数,a s有意义且a ≠0时,规定a -s= . (5)有理数指数幂的运算法则:a s a t= ,(a s )t= ,(ab )s= . 点拨(1)在(√a n )n 中,当n 为奇数时,a ∈R;当n 为偶数时,a ≥0.但在√n n n中,a ∈R . (2)分数指数幂n nn 不可以理解为n n个a 相乘. 2.实数指数幂一般地,当a>0且t 是时,a t 是一个确定的实数.因此,当a>0时,t 为时,可以认为实数指数幂a t都有意义.课堂探究例1 用根式的形式表示下列各式(x>0). (1)n 25;(2)n -53.要点归纳在实数指数幂的化简与计算中,分数指数幂的形式在应用上比较方便.而在求函数的定义域时,根式形式较容易观察出各式的取值范围.故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容,要切实掌握.变式训练1 用根式表示n -12n 23(x>0,y>0).例2 计算下列各式的值:(1)√√3103√93; (2)52+√3×125-√33.变式训练2 把下列根式化成分数指数幂的形式,其中a>0,b>0. (1)√n 65; (2)√3; (3)√n 3n 24; (4)√(-n )6.要点归纳指数的概念从整数指数扩充到有理数指数后,当a ≤0时,n nn 有时有意义,有时无意义.如(-1)13=√-13=-1,但(-1)12就不是实数了.为了保证在nn 取任何有理数时,n nn 都有意义,所以规定a>0.当被开方数中有负数时,幂指数不能随意约分.例3 化简下列各式: (1)5n -23n 12(-14n -1n 12)(-56n 13n -16);(2)n +n -1+2n 12+n -12.变式训练3 化简:(18)-12×(-76)0+80.25×√24+(√23×√3)6.核心素养专练1.化简√a √a 3= . 2.已知3a=2,3b=15,则32a-b= .3.√(-6)33+√(√5-4)44+√(√5-4)33= .4.求值:(1)(√2-1)0+(169)-12+(√8)-43;(2)0.027-13-(-16)-2+2560.75-13+(19)0.5.化简:√n 72√n -33÷√√n -83√n 153÷√√n -3√n -13.参考答案自主预习1.(1)底数指数 (2)x n=a ①0 √0n=0②相反数 n 次算数根 √n n -√n n没有意义③√n n 正数负数(3)根式根指数被开方数 (4)√n n (√n n)n √n n n1n n(5)a s+ta sta sb s2.无理数任意实数课堂探究例1 (1)√n 25(2)√3变式训练1√23√n例2 (1)3 (2)25变式训练2 (1)n 65(2)n -23(3)n 34n 12(4)a 3例3 (1)24n 16(2)n 12+n -12变式训练3 110+2√2 核心素养专练1.√n2.203.-64.(1)2 (2)325.n 16第1课时学习目标通过复习初中知识,引入分数指数幂和根式的概念,通过对有理数指数幂n n n(a>0,a ≠1;m ,n 为整数,且n>0)、实数指数幂a x (a>0,a ≠1;x ∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质.自主预习自主预习,阅读课本第3~4页完成下列练习,识记相关概念性质.复习整数指数幂的运算法则:a m a n = ,(a m )n = ,(ab )m = ,a -n= . 如果x 2=a ,那么x 叫做a 的平方根;分情况讨论:当a>0,a=0,a<0时,a 的平方根的情况. 如果x 3=a ,那么x 叫做a 的立方根.如:(±2)2=4, 就叫4的平方根,√9= ;33=27,3就叫27的 ,√83= .课堂探究任务一类比二次方根和三次方根,学生独立完成,给出四次方根和五次方根的定义思考并回答课本的问题:①(±3)4=81,±3就叫做81的次方根.②依此类推,若存在实数根,使得x n =a ,则x 称为a 的n 次方根.当√a n 有意义的时候,√n n称为根式,n 称为根指数,a 称为被开方数. 方程x n=a 根的情况如何分类呢? 当n 为奇数时,n 次方根情况如何?例如:①√273= ,√-273= .②记n 次方根x= . 当n 为偶数时,正数a 的n 次方根情况如何?例如:①(±3)4= ,81的4次方根就是 .②记n 次方根x= .思考下面两个问题1.根据n 次方根的定义,当n 为奇数时,是否对任意实数a 都存在n 次方根?n 为偶数呢?2.根式化简开偶次方根时应注意什么问题? 要点归纳1.0的任意正整数次方根均为0.2.正数a 的偶次方根有两个且它们互为相反数;负数的偶次方根在实数范围内不存在.3.任意实数的奇数次方根都有且只有一个. 学生举例并总结根式的性质-n (n <0).知识应用例1 (1)有下列几种说法:①16的4次方根是2;②√164的运算结果是±4;③当n 为大于1的奇数时,√n n对任意实数a 都有意义;④当n 为大于1的偶数时,√n n只有当a 大于等于0时才有意义,其中正确的是 .(2)求值化简:√(-n )33;√(-7)44;√(3-π)66;√(n -n )2(a<b ).任务二阅读课本第5页的“尝试与发现”,得出分数指数幂的定义及运算性质 (√n )2=a 1=(n 12)2能成为(a m )n =a mn的特例吗?√n √n =√nn 能成为a m b m=(ab )m的特例吗?m ,n 能是分数吗?可以是实数吗?观察(√5)2=51=(512)2,所以512应该是5的算术平方根.一般地,如果n 是正整数,那么:当√a n有意义时,规定n 1n=√a n; 当√n n没有意义时,称n 1n 没有意义. 规定n n n=√n n n(a>0,m ,n ∈N *,n>1);n -nn =n n n =√nn n (a>0,m ,n ∈N *,n>1).跟踪练习(1)将下列根式写成分数指数幂形式.√n n n= (a>0,m ,n ∈N *,n>1);√n 23= ;√n3= .(2)求值:6413;9-32.讨论:0的分数指数幂.任意实数指数幂的运算性质:a>0,b>0,α,β∈R .① ② ③任务三分数指数幂的运算例2 用分数指数幂的形式表示下列各式.a 3·√n = ,a 3·√a 23= ,√a √a = (式中a>0).例3 求值:2723;16-34;(614)32;(2549)-32. 变式训练化简:①√n 2√n (a>0);②√n (√n 25)2(x ≠0);③(n 23n 14)3;④(n 12+n 12)2.课堂练习1.√a 3·√-n 6的值为( )A.-√-nB.-√nC.√-nD.√n 2.625的4次方根是( ) A.5B.-5C.±5D.253.下列结论中,正确的命题的个数是( )①当a<0时,(a 2)32=a 3;②√n n n=|a|;③函数y=(x -2)12-(3x-7)0的定义域为(0,+∞);④(√a n )n 与√n n n相同.A.0B.1C.2D.34.求值:(1)√33·√34·√274;(2)√(8n3125n 3)46. 作业布置1.课本P 8练习A 第3,4题,练习B 第1题.2.整理笔记及上课讲的习题.核心素养专练1.√(-3)44的值是( ) A.3B.-3C.±3D.812.化简(√-n )2是( ) A.-bB.bC.±bD.1n3.化简√(n -n )66= .4.计算:(√-53)3= ;√34 .5.化简a+√(1-n )44的结果是( )A.1B.2a-1C.1或2a-1D.06.如果a ,b 都是实数,则下列实数一定成立的是( )A.√n 33+√n 2=a+bB.(√|n |+√n )2=a 2+b 2+2√nnC.√(n 2+n 2)44=a 2+b 2D.√n 2+2nn +n 2=a+b7.当8<x<10时,√(n -8)2-√(n -10)2= .8.若√n 2-2n +1+√n 2+6n +9=0,则y x= .9.若(|x|-1)-13有意义,则x ∈ . 10.化简:(1)(3649)32;(2)√n 2n √n 3n √nn 3.11.计算1612+(181)-0.25-(-12)0的值.12.若√n 2-2n +1=a-1,求a 的取值范围.13.化简下列各式.(1)√4-2√3; (2)√n +2√n -1.第2课时学习目标进一步掌握根式与分数指数幂的互化,及运用分数指数幂的性质化简与求值.自主预习复习根式的性质及分数指数幂的意义分数指数幂的意义n n =√n n n(a>0,m ,n ∈N *,n>1);n -n =n n n=√n n n (a>0,m ,n ∈N *,n>1). 任意实数指数幂的运算性质:a>0,b>0,α,β∈R .①② ③自我检测1.下列各式正确的是( )A.√(-3)2=-3B.√a 44=aC.√22=2D.√(-2)33=22.下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A.-√n =(-x )12(x>0) B.√y 26=n 13(y<0)C.n -34=√(1x )34(x>0)D.x -13=-√x 3(x ≠0)3.求值:2723+16-12-(12)-2-(827)-23.课堂探究任务一典型例题例1 求证:如果a>b>0,n 是大于1的自然数,那么n 1n>n 1n.推论:如果a>b>0,s 是正有理数,那么a s >b s. 利用例1的结论可以证明(课后练习) (1)如果a>1,s 为正有理数,那么a s>1,a -s<1; (2)如果a>1,s>t>0,s 与t 均为有理数,那么a s>a t. 应用:比较大小①21.5与23;②32.4与33.2;③335与1;④0.53与(12)√3. 任务二例2 计算下列各式的值.(1)√√3103√93;(2)52+√3×125-√33.跟踪练习1.(-338)-23+(0.002)-12-10×(√5-2)-1+(√2-√3)0.2.(0.064)-13-(-78)0+[(-2)3]-43+16-0.75.例3 (1)化简下列各式.①5n -23n 12(-14n -1n 12)(-56n 13n -16);②4n 23n -13÷(-23n -13n -13).(2)已知n 12+n -12=3,求下列各式的值:①a+a -1; ②a 2+a -2; ③n 32-n -32n 12-n -12.跟踪练习化简:(1)(2m 2n -35)10÷(-n 12n -3)6;(2)n +n -1+2n 12+n -12.任务三情境与问题国家统计局有关数据显示,我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年爆炸式增长:2013年为221.59亿元,2014年、2015年、2016年的年增长率分别为16.84%,14.06%,14.26%,你能根据这三个年增长率的数据,算出年平均增长率,并以2013年的经费支出为基础,预测2017年及以后各年的经费支出吗?提示年平均增长率的计算公式为,设年平均增长率与各增长p 1,p 2,…,p n 之间的关系,即p=√(1+p 1)(1+p 2)…(1+p n )n -1.课堂练习1.若n 12+n -12=√6,求n +n -1-1n 2+n -2-2的值. 2.若3x=a ,5x=b ,则45x=( ) A.a 2bB.ab 2C.a 2+bD.a 2+b 23.√-83的值是 .课堂作业1.利用例1的结论可以证明(课后练习): (1)如果a>1,s 为正有理数,那么a s >1,a -s<1; (2)如果a>1,s>t>0,s 与t 均为有理数,那么a s >a t. 2.课本P 13习题4-1A 第1,3题,4-1B 第1,2题.核心素养专练1.已知x 5=6,则x 等于( )A.√6B.√65C.-√65D.±√652.(√24)4运算的结果是( ) A.2B.-2C.±2D.不确定3.m 是实数,则下列式子中可能没有意义的是( ) A.√n 24B.√n 3C.√n 6D.√-n 54.下列各式化简错误的是( ) A.n -25n 13n 115=1 B.(a 6b -9)-23=a -4b 6C.(n 14n -13)(n 14n 23)(n -12n 23)=y D.-15n 12n 13n-3425n -12n 13n 54=-35ac5.下列根式、分数指数幂的互化中,正确的是( ) A.-√n =(-x )12(x ≠0) B.n -13=-√x 3C.(x y )-34=√(y x )34(x ,y ≠0) D.√n 26=n 13(y<0)6.化简:(1119)12-[3(π2)0]-1·(181)14+(5116)-0.25-13-(110)-1·0.02713.7.已知x=a -3+b -2,求√x 2-2a -3x +a -64的值.8.已知x+x -1=3,求下列各式的值:(1)x 12+n -12,(2)n 32+n -32.9.探究:当√n n n +(√n n)n =2a 时,实数a 和整数n 所应满足的条件.参考答案第1课时自主预习略课堂探究略课堂练习1.A2.C3.A4.(1)3√33 (2)425a 2b -2 核心素养专练略第2课时自主预习略自我检测1.C2.C3.3 课堂探究例1 求证:如果是a>b>0,n 是大于1的自然数,那么n 1n >n 1n . 证明:假设n 1n ≤n 1n ,即 n 1n <n 1n 或n 1n =n 1n .根据不等式的性质与根式的性质,得a<b 或a=b. 这都与a>b 矛盾,因此假设不成立,从而n 1n >n 1n . 推论:如果a>b>0,s 是正有理数,那么a s >b s .证明:设s=n n (m ,n 为正整数).因为a>b>0,所以n 1n >n 1n>0. 根据不等式的性质,得(n 1n )n>(n 1n )n>0. 所以n n n >n n n ,即a s >b s.应用:比较大小 ①< ②< ③> ④<例2 (1)3 (2)25 跟踪练习1.-1679 2.2716例3 (1)①24n 16 ②-6a(2)①7②47③8跟踪练习(1)210m17n12(2)n12+n-12课堂练习2.A3.-21.4核心素养专练略。

鲁教版(五四制)数学七年级上册第四章-实数复习检测

鲁教版七年级上册第四章-实数复习检测一、选择题1. 下列运算正确的是( )A. √9=±3 B. a 6÷a 2=a 3C. (ab 2)3=a 3b 6 D. 2a +3b =5ab2. 下列各数中，绝对值最小的数是( ) A. −5B. 12C. −1D. √23. 已知实数a ，b 满足：(a −b +3)2+√a +b −1=0，则a 2020+b 6等于( )A. 65B. 64C. 63D. 624. 在实数范围内定义运算“☆”：a ☆b =a +b −1，例如：2☆3=2+3−1=4.如果2☆x =1，则x的值是( )A. −1B. 1C. 0D. 25. 若√a +b −1+(b +2)2=0，则a 的值是( )A. 2B. −2C. 3D. −36. 下列实数是无理数的是( )A. 0B. 227C. √4D. −√−937. 已知a =(−23)−2,b =(√52)0,c =0.25−1，a ，b ，c 的大小关系是( )A. a >b >cB. b >a >cC. c >a >bD. c >b >a8. |3−π|+√(π−4)2的结果是( )A. 1B. −1C. 7D. −79. 一个正偶数的算术平方根是m ，则和这个正偶数相邻的下一个偶数的算术平方根是( )A. m +2B. m +√2C. √m 2+2D. √m +210. 下列实数中，无理数是( )A. 3.1415926B. −0.202002000C. √25D. √9311. 下列化简中错误的是( )①√16=4；②√93=3；③√(−3)2=3；④±√32=3；⑤√(−3)33=−3A. ②③B. ①④C. ②④D. ③⑤12. 已知|x|=3，y 2=25，且x >y ，那么x +y 等于( )A. 8B. −2C. 8或−2D. −8或−213. 估算√13−1的值在( )A. 0和1之间B. 1和2之间C. 2和3之间D. 3和4之间14. 估计√2(√8+1)的值应在( )A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间二、填空题15. √16的值是______；√64的立方根是______．16. 已知实数x ，y 满足√x −2+(y +1)2=0，则x y =______． 17. √10______3(选填“>”、“<”或“=”)18. 若|a −2|+√b −3=0，则a +b =______．19. 若一个正数的两个平方根分别为2a −7与−a +2，则a 等于______．三、计算题20. (1)计算：√9−(√5−π)0+(−1)2020 (2)已知：x 2−9=0，求x 的值(3)已知：(x −3)2=16，求x 的值 (4)已知：−8(x −3)3=27，求x 的值四、解答题21.求下列各式中的x：(1)2x2−1=9；(2)(x+1)3+27=0．22.(1)已知：2a+1的算术平方根是3，3a−b−1的立方根是2，求√20b+a3的值．(2)已知10+√3=x+y，其中x是整数，且0<y<1，求x−y+√3的算术平方根．23.若√2a−2与|b+2|互为相反数，求(a−b)2的平方根．24.判断下列说法是否正确：(1)√64的立方根是−2；(2)±3是27的立方根．李蕾认为(1)错误，(2)正确．请问李蕾的观点正确吗？如果不正确，请说明理由．答案1. 【答案】C2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】C8.【答案】A9.【答案】C 10.【答案】D 11.【答案】C 12.【答案】D 13.【答案】C 14.【答案】C 15.【答案】4 2 16.【答案】12 17.【答案】> 18.【答案】5 19.【答案】520.【答案】解：(1)原式=3−1+1=3；(2)x 2=9， x =±3； (3)x −3=±4， x −3=4或x −3=−4， x =7或−1； (4)(x −3)3=−278， x −3=−32 x =32．21.【答案】解(1)2x 2=10，x 2=5， x =±√5；(2)(x +1)3=−27， x +1=−3， x =−4．22.【答案】(1)解：∵2a +1的算术平方根是3，3a −b −1的立方根是2，∴2a +1=9，3a −b −1=8，解得：a =4，b =3，则原式=√643=4；(2)解：∵10+√3=x +y ，其中x 是整数，且0<y <1，1<√3<2， ∴x =11，y =10+√3−11=√3−1，则x −y +√3=11−√3+1+√3=12， ∴x −y +√3的算术平方根是2√3．23.【答案】解：∵√2a −2与|b +2|互为相反数，∴√2a −2+|b +2|=0， ∴2a −2=0，b +2=0， ∴a =1，b =−2，则(a −b)2=[1−(−2)]2=9，所以(a −b)2的平方根是±3．24.【答案】解：李蕾的观点不正确．理由如下：∵√64=8，∴√64的立方根即8的立方根为2，故(1)错误； 27的立方根是3，故(2)错误．。

第四章实数复习

第4章 实数全章复习与测试(解析版)-八年级数学

第四章 实数指数幂(1)精品教案

八年级数学上册 期末复习4(第四章 实数)