华师大版八年级数学下函数及其图像

华师大版八年级数学下《函数及其图像》知识点归纳

一．变量与函数

1．函数的定义：一般的，在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应，我们说x叫做自变量，y叫做因变量，y 叫做x的函数。

2．自变量的取值范围：

（1）能够使函数有意义的自变量的取值全体。

（2）确定函数自变量的取值范围要注意以下两点：一是使自变量所在的代数式有意义；二是使函数在实际问题中有实际意义。

（3）不同函数关系式自变量取值范围的确定：

①函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数。

②函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数。

③函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数。3．函数值：当自变量取某一数值时对应的函数值。这里有三种类型的问题：

（1）当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值。

（2）当已知函数值求自变量的值就是解方程。

（3）当给定函数值的一个取值范围，欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组。

二．平面直角坐标系：

1．各象限内点的坐标的特征：

（1）点p（x,y）在第一象限→x＞0,y＞0.

（2）点p（x,y）在第二象限→x＜0,y＞0.

（3）点p（x,y）在第三象限→x＜0,y＜0

（4）点p（x,y）在第四象限→x＞0,y＜0.

2．坐标轴上的点的坐标的特征：

（1）点p（x,y）在x轴上→x为任意实数，y=0

（2）点p（x,y）在y轴上→x=0,y为任意实数

3．关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标的特征：

（1）点p（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）.

（2）点p（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）.

（3）点p（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y）

4．两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征：

（1）点p（x,y）在第一、三象限夹角平分在线→x=y.

（2）点p（x,y）在第二，四象限夹角平分在线→x+y=0

5．与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征：

（1）位于平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同。

（2）位于平行于y轴的直线上的所有点的横坐标相同。

6．点到坐标轴及原点的距离：

（1）点p（x,y）到轴的距离为｜y︱.

（2）点p（x,y）到y轴的距离为∣x∣.

22（3）点p（x,y）到原点的距离为x?y

（4）同在x轴上的两点A（x1,0）与B（x2,0）之间的距离为AB=|x1-x2| （5）同在y轴上的两点C（0,y1）与D（0,y2）之间的距离为CD=|y1-y2|

三．函数的图像

函数图像上的点与其解析式的关系

1．函数图像上任意一点p﹙x,y﹚中的x、y满足函数关系式，满足函数关系式的一对对应值﹙x,y﹚都在函数的图像上。

2．判断点p﹙x,y﹚是否在函数图像上的方法，将这个点的坐标﹙x,y﹚代入函数关系式，如果满足函数关系式，那么这个点就在函数的图像上，如果不满足函数关系式，那么，这个点就不在函数的图像上。

四．一次函数

（一）一次函数的定义

1．定义:含有自变量的式子为一次整式，即形如式子y＝kx+b(其中k和b为常数，k≠0)叫做一次函数。正比例函数：在一次函数y=kx+b中如果b=0即变为y=kx(其中k≠0)，这样的函数叫做正比例函数。

2．注意：

（1）由一次函数和正比例函数的定义可知;

①函数是一次函数→解析式为y＝kx+b的形式。

②函数是正比例函数→解析式为y=kx的形式。

（2）一次函数解析式y=kx+b的结构特征：

①k≠0②x的次数是1③常数b为任意实数

（3）正比例函数解析式y=kx的结构特征

①k≠0②x的次数是1③常数b=0

3．说明：在y=kx+b中若k=0则y=b﹙b为常数﹚这样的函数叫做常数函数，它不是一次函数。

4．正比例函数与一次函数的关系：

正比例函数是一次函数的特例，一次函数包含正比例函数。

第页一次函数y=kx+b，当b=0时为正比例函数

一次函数y=kx+b，当b≠0时一般的一次函数

（二）一次函数的图像

1．一次函数图像的形状：

一次函数y=kx+b的图像是一条直线，通常称为直线y=kx+b

正比例函数y=kx的图像也是一条直线，称为直线y=kx

2．一次函数图像的主要特点:

一次函数y=kx+b的图像经过点﹙0，b﹚的直线，正比例函数y=kx+b的图像是经过原点﹙0，0﹚的直线注意：点﹙0，b﹚是直线y=kx+b与y轴的交点。

①当b＞0时，此时交点在y轴的正半轴上，

②当b＜0时，此时交点在y轴的负半轴上，

③当b=0时，此时交点在原点，这时的一次函数就是正比例函数。

3．一次函数图像的画法：

根据两点能画一条直线并且只能画一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图像时，只要先描出两点，在连成直线即可。

那么，先描出哪两点比较好呢？

选两点应以计算和描点简单为原则，一般来说，当b≠0时，一般的一次函数y=kx+b的图像，应选取b,0﹚；当b=0时，画正比例函数y=kx的图像，通常取﹙0，0﹚与k

22﹙1，k﹚两点，个别情况下可以做些变通，例如画函数y=x的图像，可以取﹙0，0﹚与﹙1，﹚两点，33它与两个坐标轴的交点﹙0，b﹚与﹙-

也可以取﹙0，0﹚与﹙3，2﹚两点。

4．直线y=kx+b与坐标轴的交点

（1）令x=0,则y=b所以直线y=kx+b与y轴的交点坐标为﹙0，b﹚

（2）令y=0,则kx+b=0所以x=-b k

b,0﹚注意：此时直线y=kx+b与x轴，y轴围成的三角形面积k所以直线

y=kx+b与x轴的交点坐标为﹙-S=1b×∣-∣×∣b∣2k

5．两直线在直角坐标系内的位置关系:

（1）两直线的解析式中当k相同时，其位置关系是平行，其中一条直线可以看作是另一条平移得到的，平移规律是“左减右加，上加下减”

（2）两直线的解析式中当b相同时，其位置关系是相交，交点坐标为﹙0，b﹚.

第页（三）一次函数的性质

1．正比例函数的性质

（1）当k＞0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大，直线y=kx 从左到右上升。

（2）当k＜0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小，直线y=kx 从左到右下降。

2．一次函数y=kx+b的性质

（1）当k＞0时，直线y=kx+b从左到右上升，此时y随x的增大而增大。

（2）当k＜0时，直线y=kx+b从左到右下降，此时y随x的增大而减小。

（3）当b＞0时，直线y=kx+b与y轴正半轴相交。

（4）当b＜0时，直线y=kx+b与y轴负半轴相交。