电容元件与电感元件

第六章 电容元件与电感元件

电路在任一时刻t 的相应与激励的全部过去历史有关，因此动态电路是有记忆的。由于动态元件的V AR 是对时间变量t 的微分或积分关系，所以动态电路需要用微分方程或积分方程来描述。

动态元件：电容元件、电感元件

动态电路：至少包含一个动态元件的电路。

6-1 电容元件

1、定义：一个二端元件，如果在任一时刻t ，它所存储的电荷和它的端电压 之间的关系可以用平面上的一条曲线来确定，则该二端元件称为电容元件。

线性时不变电容：平面上通过原点的一条直线，且不随时间变化。 电容元件的符号及线性电容的u-q 曲线

对于线性电容有

6-2 电容的伏安关系（V AR 关系）

若采用关联方向,V AR 关系为

讨论： 1、任何时刻i 与 成正比，即与电容电压的变化率成正比。 2、若电容电压为直流电压，则 ＝0，i =0。所以电容具有隔直作用。

3、在某一时刻t 时，电容电压的数值并不取决于该时刻的电流值，而是取

决于从－∞到t 所有时刻的电流值，也就是说与电流全部过去历史有关。

)()(t Cu t q

dt du dt du

为电容电压的初始值，它反映了电容初始时刻的储能状况。电容是一个记忆电流的记忆元件。

4、由于实际电路中，电流i 为有限值，即 为有限值，所以u 必为连续函数，电压值在某一时刻不能跃变，即

6-3 电容电压的连续性质和记忆性质

1、电容电压的连续性质： 若电容电流i(t)在闭区间〔ta 、tb 〕内为有界的，则电容电压uc(t)在开区间（ta 、tb ）内为连续的。特别是，对任何时间t ，且ta ＜t ＜tb ，

2、电容电压的记忆性质：

电容是一种记忆元件。通常只知道在某一时刻t0后作用于电容的电流情况，而对在此之前电容电流的情况并不了解。在求解具体电路时，给出或求解初始电压是必不可少的。

例：p15页，当u 为9.9V 时，作用过的脉冲数目是多少？

解：电容电压为

对节点a 由KCL 得：

)(0t u )

0()0(+-=u u )

()(+-=t u t u C

C ⎰=t

t id C t u 1

99.01)(ξ0)(,311==t u s t 且设其中μ50

99.0s

u i +=50

01.0s

u i =即s

u i 2=

即u 由0线性增长至0.099V 。

由此可知，每出现一个脉冲，u 将增加0.099V ，因此，当u=9.9V 时，已经历了100个脉冲的作用，即脉冲数目为100。 例2 p7页 求电容电流。

解：从0.2ms 到0.75ms 期间，电压的变化率

此期间电流为

A i s t s t 1.005.0243=⨯===期间，至在μμ⎰--⨯⨯-==⨯=661041036099.099.01)104(4V id C u s t ξμ时，故知在0.099V 064，电容电压维持在受控电流源相当于开路期间，至在===i s t s t μμV

u id C u u s t A i s t s t 099.02099.0)106(99.01)106()107(71.005.027*********

666⨯=+⨯=+⨯=⨯==⨯===-⨯⨯--⎰--ξμμμ时，

故知在期间，至在53104105.0200⨯-=⨯-=dt du A

dt

du C i 4.0-==

从0.75到1.25ms 期间

6-4 电容的储能

讨论：

1、p ＝u (t )i (t )，电压，电流用关联的参考方向，p 为正值元件吸收功率，p 为负值元件产生功率。

2、电容的功率有时为正，有时为负。所以，电容有时吸收功率，有时放出功率。

3、p ＝d w /d t ，电容的能量总是为正值。当吸收能量增长时，功率为正值；当放出能量减小时，功率为负值。

6-5 电感元件

1、定义：一个二端元件，如果在任一时刻t ，它的电流I(t)同它的磁链Ψ（t ）之间的关系可以用i-Ψ平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称为电感元件。如果i- Ψ平面上的特性曲线是一条通过原点的直线，且不随时间而变，此电感称为线性非时变电感。如果不加说明，电感都指线性非时变电感。

2、符号：

当磁链的参考方向与电流的参考方向符合右手螺旋定则时，磁链与电流的关系为：

6-6 电感的伏安关系

1、电感的V AR 关系

当电流、电压参考方向一致，且电流与磁链的参考方向符合右手螺旋法则时，由电磁感应定律可得：

5104⨯=dt

du

A dt

du

C

i 4.0=

=)

()(t Li t =ψ

对上式两边同时积分

其中i (t 0)电感电流的初始值，电感具有记忆电压的作用。 讨论：

1、在某一时刻电感的电压取决于该时刻电流的变化率。即u 与d i /d t 成正比。

2、当加以直流时，d i /d t =0，电感对直流起着短路的作用。

3、实际中u 为有限值，所以i (t )是连续函数，不能突变。

4、 必须在u 、i 为关联方向时才能使用，这样才能正确地反映愣

次定律。

当电压、电流参考方向关联时，若电流增长，di/dt ＞0，则电压u ＞0，a 端为高电位，这正是反抗电流增长所应有的感应电压的极性。

物理学中，感应电动势为

e 是指电压升，它的参考方向是指由“－”到“＋”的方向，而u 的参考方向是

由“＋”到“－”。它与e 的参考方向恰好相反。因此，对同一电流参考方向来说，e 与i 的参考方向一致以及u 与i 的参考方向一致时，必然有e=-u 。

6-7 电感电流的连续性质和记忆性质

1、连续性质：若电感电压u(t)在闭区间〔ta 、tb 〕内为有界的，则电感电流i L (t)在开区间（t a 、t b ）内为连续的。特别是，对任何时间t ，且t a ＜ t ＜t b ，

dt

di L dt d u ==ψξ

ξξ

ξξξξξd u L t i d u L d u L d u L t i t

t t

t t t ⎰⎰⎰⎰+=+==∞-∞-000)(1)()(1)(1)(1)(0)

()(+-=t i t i dt

di

L u =dt

di

L dt d e -=-

=ψdt

di

L u e -=-=)()(+-=t i t i L L