电容元件与电感元件

第六章 电容元件与电感元件电路在任一时刻t 的相应与激励的全部过去历史有关，因此动态电路是有记忆的。

由于动态元件的V AR 是对时间变量t 的微分或积分关系，所以动态电路需要用微分方程或积分方程来描述。

动态元件：电容元件、电感元件动态电路：至少包含一个动态元件的电路。

6-1 电容元件1、定义：一个二端元件，如果在任一时刻t ，它所存储的电荷和它的端电压 之间的关系可以用平面上的一条曲线来确定，则该二端元件称为电容元件。

线性时不变电容：平面上通过原点的一条直线，且不随时间变化。

电容元件的符号及线性电容的u-q 曲线对于线性电容有6-2 电容的伏安关系（V AR 关系）若采用关联方向,V AR 关系为讨论： 1、任何时刻i 与 成正比，即与电容电压的变化率成正比。

2、若电容电压为直流电压，则 ＝0，i =0。

所以电容具有隔直作用。

3、在某一时刻t 时，电容电压的数值并不取决于该时刻的电流值，而是取决于从－∞到t 所有时刻的电流值，也就是说与电流全部过去历史有关。

)()(t Cu t qdt du dt du为电容电压的初始值，它反映了电容初始时刻的储能状况。

电容是一个记忆电流的记忆元件。

4、由于实际电路中，电流i 为有限值，即 为有限值，所以u 必为连续函数，电压值在某一时刻不能跃变，即6-3 电容电压的连续性质和记忆性质1、电容电压的连续性质： 若电容电流i(t)在闭区间〔ta 、tb 〕内为有界的，则电容电压uc(t)在开区间（ta 、tb ）内为连续的。

特别是，对任何时间t ，且ta ＜t ＜tb ，2、电容电压的记忆性质：电容是一种记忆元件。

通常只知道在某一时刻t0后作用于电容的电流情况，而对在此之前电容电流的情况并不了解。

在求解具体电路时，给出或求解初始电压是必不可少的。

例：p15页，当u 为9.9V 时，作用过的脉冲数目是多少？解：电容电压为对节点a 由KCL 得：)(0t u )0()0(+-=u u )()(+-=t u t u CC ⎰=tt id C t u 199.01)(ξ0)(,311==t u s t 且设其中μ5099.0su i +=5001.0su i =即su i 2=即u 由0线性增长至0.099V 。

由此可知，每出现一个脉冲，u 将增加0.099V ，因此，当u=9.9V 时，已经历了100个脉冲的作用，即脉冲数目为100。

例2 p7页 求电容电流。

解：从0.2ms 到0.75ms 期间，电压的变化率此期间电流为A i s t s t 1.005.0243=⨯===期间，至在μμ⎰--⨯⨯-==⨯=661041036099.099.01)104(4V id C u s t ξμ时，故知在0.099V 064，电容电压维持在受控电流源相当于开路期间，至在===i s t s t μμVu id C u u s t A i s t s t 099.02099.0)106(99.01)106()107(71.005.027*********666⨯=+⨯=+⨯=⨯==⨯===-⨯⨯--⎰--ξμμμ时，故知在期间，至在53104105.0200⨯-=⨯-=dt du Adtdu C i 4.0-==从0.75到1.25ms 期间6-4 电容的储能讨论：1、p ＝u (t )i (t )，电压，电流用关联的参考方向，p 为正值元件吸收功率，p 为负值元件产生功率。

2、电容的功率有时为正，有时为负。

所以，电容有时吸收功率，有时放出功率。

3、p ＝d w /d t ，电容的能量总是为正值。

当吸收能量增长时，功率为正值；当放出能量减小时，功率为负值。

6-5 电感元件1、定义：一个二端元件，如果在任一时刻t ，它的电流I(t)同它的磁链Ψ（t ）之间的关系可以用i-Ψ平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称为电感元件。

如果i- Ψ平面上的特性曲线是一条通过原点的直线，且不随时间而变，此电感称为线性非时变电感。

如果不加说明，电感都指线性非时变电感。

2、符号：当磁链的参考方向与电流的参考方向符合右手螺旋定则时，磁链与电流的关系为：6-6 电感的伏安关系1、电感的V AR 关系当电流、电压参考方向一致，且电流与磁链的参考方向符合右手螺旋法则时，由电磁感应定律可得：5104⨯=dtduA dtduCi 4.0==)()(t Li t =ψ对上式两边同时积分其中i (t 0)电感电流的初始值，电感具有记忆电压的作用。

讨论：1、在某一时刻电感的电压取决于该时刻电流的变化率。

即u 与d i /d t 成正比。

2、当加以直流时，d i /d t =0，电感对直流起着短路的作用。

3、实际中u 为有限值，所以i (t )是连续函数，不能突变。

4、 必须在u 、i 为关联方向时才能使用，这样才能正确地反映愣次定律。

当电压、电流参考方向关联时，若电流增长，di/dt ＞0，则电压u ＞0，a 端为高电位，这正是反抗电流增长所应有的感应电压的极性。

物理学中，感应电动势为e 是指电压升，它的参考方向是指由“－”到“＋”的方向，而u 的参考方向是由“＋”到“－”。

它与e 的参考方向恰好相反。

因此，对同一电流参考方向来说，e 与i 的参考方向一致以及u 与i 的参考方向一致时，必然有e=-u 。

6-7 电感电流的连续性质和记忆性质1、连续性质：若电感电压u(t)在闭区间〔ta 、tb 〕内为有界的，则电感电流i L (t)在开区间（t a 、t b ）内为连续的。

特别是，对任何时间t ，且t a ＜ t ＜t b ，dtdi L dt d u ==ψξξξξξξξξd u L t i d u L d u L d u L t i tt tt t t ⎰⎰⎰⎰+=+==∞-∞-000)(1)()(1)(1)(1)(0)()(+-=t i t i dtdiL u =dtdiL dt d e -=-=ψdtdiL u e -=-=)()(+-=t i t i L L即电感电流不能跃变。

2、记忆性质：电感电流的初始值 反映了电感对t ＜t 0时的电压记忆作用。

6-8 电感的储能设电感上电压、电流参考方向关联，那么电感吸收功率dtdii L i dt di L t i t u t p ⋅=⋅=⋅=)()()(在t 1到t 2期间，能量为在上述过程中应用了i （-∞）＝0的假设条件。

例1：电感上电压u(t)的波形如图所示，求电感上电流i (t )并画出波形；t =3s 时电感L 吸收功率；Tt =4秒时电感L 上的储能。

解：根据u (t)波形写出函数表达式电压电流参考方向关联，分段计算0)0(=i⎰⎰=+=+=≤≤t t t d d u L i t i t 02041210)(1)0()(10ξξξξ41)1(=i)(0t iL ⎰∞-==≤td u Lt i t 0)(1)(0ξξ当 )108(1216412141343141)(1)1()(211211+-=-+=⎪⎭⎫⎝⎛-+=+=⎰⎰t t d d u L i t i t t t t ξξξξξξ21)4(-=t210121)(1)4()(444-=+-=+=≥⎰⎰t t d L d u L i t i t ξξξ根据各段i (t)表达式，电流、电压波形如图所示。

t =3s 时L 吸收的功率p (3)、t =4s 时L 上储能V t u t 313431)3(3-=⎪⎭⎫⎝⎛-==A t t i t 125)108(121)3(32-=+-== 21)4(-=iW i u p 365)3()3()3(=⋅=J Li W L 41)4(21)4(2==6-8电感、电容的串联和并联一、电感的串、并联 1、电感的模型2、电感的串联由41≤≤tdtdi L u = 得dtdi L dt di L L u u u =+=+=)(2121 分压关系3、电感并联由⎰∞-=td u Li ξξ)(1 得⎰∞-+=+=td u L L i i i ξξ)()11(2121令21111L L L += i L d u d u L i tt⋅==⎰⎰∞-∞-ξξξξ)()(1或分流关系i L L L Li L d u L i iL L L Li L d u L i tt 2112222121111)(11)(1+=⋅==+=⋅==⎰⎰∞-∞-ξξξξ二、电容的串、并联 1、电容的模型u L L L dt di L u 21111+==u L L L dt di L u 21222+==2、 电容的串联 由⎰∞-=td i Cu ξξ)(1 得⎰⎰∞-∞-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=tt d i C d i C C u u u ξξξξ)(1)(112121 其中21111C C C += 分压关系：u C C C Cu C u 212111+=⋅=u C C C Cu C u 211221+=⋅=。