电容元件与电感元件
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第六章 电容元件与电感元件
电路在任一时刻t 的相应与激励的全部过去历史有关,因此动态电路是有记忆的。由于动态元件的V AR 是对时间变量t 的微分或积分关系,所以动态电路需要用微分方程或积分方程来描述。
动态元件:电容元件、电感元件
动态电路:至少包含一个动态元件的电路。
6-1 电容元件
1、定义:一个二端元件,如果在任一时刻t ,它所存储的电荷和它的端电压 之间的关系可以用平面上的一条曲线来确定,则该二端元件称为电容元件。
线性时不变电容:平面上通过原点的一条直线,且不随时间变化。 电容元件的符号及线性电容的u-q 曲线
对于线性电容有
6-2 电容的伏安关系(V AR 关系)
若采用关联方向,V AR 关系为
讨论: 1、任何时刻i 与 成正比,即与电容电压的变化率成正比。 2、若电容电压为直流电压,则 =0,i =0。所以电容具有隔直作用。
3、在某一时刻t 时,电容电压的数值并不取决于该时刻的电流值,而是取
决于从-∞到t 所有时刻的电流值,也就是说与电流全部过去历史有关。
)()(t Cu t q
dt du dt du
为电容电压的初始值,它反映了电容初始时刻的储能状况。电容是一个记忆电流的记忆元件。
4、由于实际电路中,电流i 为有限值,即 为有限值,所以u 必为连续函数,电压值在某一时刻不能跃变,即
6-3 电容电压的连续性质和记忆性质
1、电容电压的连续性质: 若电容电流i(t)在闭区间〔ta 、tb 〕内为有界的,则电容电压uc(t)在开区间(ta 、tb )内为连续的。特别是,对任何时间t ,且ta <t <tb ,
2、电容电压的记忆性质:
电容是一种记忆元件。通常只知道在某一时刻t0后作用于电容的电流情况,而对在此之前电容电流的情况并不了解。在求解具体电路时,给出或求解初始电压是必不可少的。
例:p15页,当u 为9.9V 时,作用过的脉冲数目是多少?
解:电容电压为
对节点a 由KCL 得:
)(0t u )
0()0(+-=u u )
()(+-=t u t u C
C ⎰=t
t id C t u 1
99.01)(ξ0)(,311==t u s t 且设其中μ50
99.0s
u i +=50
01.0s
u i =即s
u i 2=
即u 由0线性增长至0.099V 。
由此可知,每出现一个脉冲,u 将增加0.099V ,因此,当u=9.9V 时,已经历了100个脉冲的作用,即脉冲数目为100。 例2 p7页 求电容电流。
解:从0.2ms 到0.75ms 期间,电压的变化率
此期间电流为
A i s t s t 1.005.0243=⨯===期间,至在μμ⎰--⨯⨯-==⨯=661041036099.099.01)104(4V id C u s t ξμ时,故知在0.099V 064,电容电压维持在受控电流源相当于开路期间,至在===i s t s t μμV
u id C u u s t A i s t s t 099.02099.0)106(99.01)106()107(71.005.027*********
666⨯=+⨯=+⨯=⨯==⨯===-⨯⨯--⎰--ξμμμ时,
故知在期间,至在53104105.0200⨯-=⨯-=dt du A
dt
du C i 4.0-==
从0.75到1.25ms 期间
6-4 电容的储能
讨论:
1、p =u (t )i (t ),电压,电流用关联的参考方向,p 为正值元件吸收功率,p 为负值元件产生功率。
2、电容的功率有时为正,有时为负。所以,电容有时吸收功率,有时放出功率。
3、p =d w /d t ,电容的能量总是为正值。当吸收能量增长时,功率为正值;当放出能量减小时,功率为负值。
6-5 电感元件
1、定义:一个二端元件,如果在任一时刻t ,它的电流I(t)同它的磁链Ψ(t )之间的关系可以用i-Ψ平面上的一条曲线来确定,则此二端元件称为电感元件。如果i- Ψ平面上的特性曲线是一条通过原点的直线,且不随时间而变,此电感称为线性非时变电感。如果不加说明,电感都指线性非时变电感。
2、符号:
当磁链的参考方向与电流的参考方向符合右手螺旋定则时,磁链与电流的关系为:
6-6 电感的伏安关系
1、电感的V AR 关系
当电流、电压参考方向一致,且电流与磁链的参考方向符合右手螺旋法则时,由电磁感应定律可得:
5104⨯=dt
du
A dt
du
C
i 4.0=
=)
()(t Li t =ψ
对上式两边同时积分
其中i (t 0)电感电流的初始值,电感具有记忆电压的作用。 讨论:
1、在某一时刻电感的电压取决于该时刻电流的变化率。即u 与d i /d t 成正比。
2、当加以直流时,d i /d t =0,电感对直流起着短路的作用。
3、实际中u 为有限值,所以i (t )是连续函数,不能突变。
4、 必须在u 、i 为关联方向时才能使用,这样才能正确地反映愣
次定律。
当电压、电流参考方向关联时,若电流增长,di/dt >0,则电压u >0,a 端为高电位,这正是反抗电流增长所应有的感应电压的极性。
物理学中,感应电动势为
e 是指电压升,它的参考方向是指由“-”到“+”的方向,而u 的参考方向是
由“+”到“-”。它与e 的参考方向恰好相反。因此,对同一电流参考方向来说,e 与i 的参考方向一致以及u 与i 的参考方向一致时,必然有e=-u 。
6-7 电感电流的连续性质和记忆性质
1、连续性质:若电感电压u(t)在闭区间〔ta 、tb 〕内为有界的,则电感电流i L (t)在开区间(t a 、t b )内为连续的。特别是,对任何时间t ,且t a < t <t b ,
dt
di L dt d u ==ψξ
ξξ
ξξξξξd u L t i d u L d u L d u L t i t
t t
t t t ⎰⎰⎰⎰+=+==∞-∞-000)(1)()(1)(1)(1)(0)
()(+-=t i t i dt
di
L u =dt
di
L dt d e -=-
=ψdt
di
L u e -=-=)()(+-=t i t i L L