全国大学生高等数学竞赛试题汇总及答案

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前三届高数竞赛预赛试题(非数学类)

(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看

一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。)

2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题(每小题5分)

1.计算=--++⎰⎰y x y

x x y

y x D

d d 1)

1ln()(16/15,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.

解: 令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭

⎝⎛-=,

v u u v u u u y x y x x y

y x D D d d 1ln ln d d 1)

1ln()(⎰⎰⎰⎰--=

--++

⎰⎰⎰⎰----=---=10

2

1

0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u u

v u u u u u ⎰

-=1

2

d 1u u

u (*) 令u t -=1,则2

1t u -=

dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-,

⎰+--=0

1

42d )21(2(*)t

t t

+-=10

4

2

d )21(2t t t 1516513

2

21

053=

⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2.设)(x f 是连续函数,且满足⎰

--

=20

22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.

解: 令⎰

=

20

d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f ,

A A x A x A 24)2(28d )23(20

2-=+-=--=

,

解得34=

A 。因此3

10

3)(2-=x x f 。 3.曲面22

22

-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面2222

-+=y x z 在)

,(00y x 处

)

1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故

)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行,因此,由x z x =,y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====,

即1,200==y x ,又5)1,2(),(00==z y x z ,于是曲面022=-+z y x 在

)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ,即曲面

22

22-+=y x z 平行平面

022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

4.设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则

=2

2d d x y

________________. 解: 方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导,得

29ln )()()(y e e y y f x e y y f y f '=''+

因)(29ln y f y xe e =,故

y y y f x

'=''+)(1

,即))(1(1y f x y '-=

',因此 2

222)](1[)())(1(1d d y f x y y f y f x y x y '-'

''+

'--=''= 3

22

232)]

(1[)](1[)())(1(1)](1[)(y f x y f y f y f x y f x y f '-'--''='--'-''= 二、(5分)求极限x

e

nx x x x n

e e e )(

lim 20+++→ ,其中n 是给定的正整数. 解 :因

x

e

nx x x x x e nx x x x n

n e e e n e e e )1(lim )(lim 2020-++++=+++→→ 故

nx

n e e e e x e n n e e e A nx x x x nx x x x -+++=-+++=→→ 2020lim lim

e n n n e n ne e e e nx x x x 2

1

212lim 20+=+++=+++=→

因此

e n A x

e

nx x x x e e n

e e e 2

1

20)(lim +→==+++

三、(15分)设函数)(x f 连续,⎰

=10

d )()(t xt f x g ,且A x

x f x =→)

(lim

,A 为常数,

求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.

解 : 由A x x f x =→)(lim 0

和函数)(x f 连续知,0)

(lim lim )(lim )0(000===→→→x

x f x x f f x x x

因⎰

=

1

d )()(t xt f x g ,故0)0(d )0()0(1

===⎰f t f g ,

因此,当0≠x 时,⎰=x

u u f x x g 0

d )(1)(,故

0)0(1

)

(lim

d )(lim

)(lim 0

====→→→⎰f x f x

u u f x g x x x x 当0≠x 时,

x

x f u u f x x g x

)

(d )(1)(0

2

+

-

='⎰, 200000d )(lim d )(1lim )0()(lim )0(x

t t f x t t f x x g x g g x x x

x x ⎰⎰→→→==-='22)(lim 0A x x f x ==→ 2

2d )(1lim )(lim ])(d )(1[lim )(lim 02000200A

A A u u f x x x f x x f u u f x x g x x x x x x =-=-=+-='⎰⎰→→→→

这表明)(x g '在0=x 处连续.

四、(15分)已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证:

(1)⎰⎰

-=---L

x y L

x y

x ye y xe x ye y xe

d d d d sin sin sin sin ;

(2)2sin sin 2

5

d d π⎰

≥--L

y y

x ye y xe

.

证 :因被积函数的偏导数连续在D 上连续,故由格林公式知

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