微分公式和运算法则

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微积分基本公式与计算

微积分基本公式与计算微积分是数学的一个分支，主要研究函数的极限、导数、积分等基本概念和基本运算法则。

本文将介绍微积分的基本公式和计算方法。

1.极限：极限是微积分的基本概念之一，用来描述函数在特定点处的趋势。

极限的计算有以下几个基本公式：-基本极限公式：- $\lim_{x\to c} x = c$：常数函数的极限是其本身。

- $\lim_{x\to c} k f(x) = k \lim_{x\to c} f(x)$：常数倍法则。

- $\lim_{x\to c} (f(x) + g(x)) = \lim_{x\to c} f(x) +\lim_{x\to c} g(x)$：和法则。

- $\lim_{x\to c} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x\to c} f(x)\cdot \lim_{x\to c} g(x)$：积法则。

- $\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c} g(x)}$（假设$\lim_{x\to c} g(x) \neq 0$）：商法则。

-重要极限：- $\lim_{x\to \infty} \frac{1}{x} = 0$：无穷小的定义。

- $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$：著名的夹逼定理的应用。

- $\lim_{n\to \infty} (1+\frac{1}{n})^n = e$：自然对数的底数。

2.导数与微分：导数是函数在其中一点处的变化率，表示函数的斜率。

导数的计算有以下几个基本公式：-基本导数公式：- $\frac{d}{dx} (k f(x)) = k \frac{d}{dx} f(x)$：常数倍法则。

- $\frac{d}{dx} (f(x) + g(x)) = \frac{d}{dx} f(x) +\frac{d}{dx} g(x)$：和法则。

一微分的定义二微分的基本公式三微分的四则运算法则

d(uv) (uv)dx (uv uv)dx
v udx u vdx vdu udv.
定理3.9 设u=u(x)，v=v(x)可微，且 v 0 ，则 u 可微,
v
且有
d(u v)Fra bibliotekvdu v2
udv.
证 d(u) (u)dx vv
uv v2
uv dx
v
udx v2
u
vdx
vdu v2
微分及其运算
一、微分的定义二、微分的基本公式三、微分的四则运算法则四、微分形式的不变性五、微分在近似计算中的应用
一、微分的定义
当正方形的边长从 x0 变到 x0 x 时，相应的面积增量 S (x0 x)2 x02 2x0x (x)2 .函数增量 S 分成两部分，一部分是 x 的线性部分 2x0 x ，一部分是关于x 的高阶无穷小 (x)2 o(x).
即
f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ).
当 f (x0 ), f (x0 ) 容易计算时，就可以用上述的近似公式来计算 x0附近点的函数值.
例6 计算 2的近似值. 解 1.96 1.4, 令 f (x) x,则
2 f (2) f (1.96) f '(1.96) (2 1.96) 1.4 1 0.04 1.414 3. 2 1.4
五、微分在近似计算中的应用
设y=f(x)在 x0 可导，当自变量从 x0 变到x(即取得增量 x x x0)，则有
x f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ) o(x x0 ). 当x很接近 x0 时，即| x || x x0 |很小时，就有近似公式
f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 )，

微积分常用公式及运算法则(上册)

0,
π 2
1
lim nn = 1
n→∞
1
lim x x = 1
x→+∞
lim
x→∞
1
+
1 x x
=
e,
lim
x→∞
1
−
1 x x
=
1 , lim (1+
e x→0
1
x)x
=e
等价无穷小：当x → 0时, x ∼ sin x ∼ tan x ∼ arcsin x ∼ arctan x ∼ ln(1+ x) ∼ ex −1; 1− cos x ∼ x2 ;(1+ x)a −1 ∼ ax(a ≠ 0);
2!
n!
sin x = x − 1 x3 + 1 x5 −⋯ 3! 5!
柯西中值定理：若f , g ∈C[a,b],并且f , g ∈ D(a,b),在(a,b)内 g(x) ≠ 0, 那么至少存在一点ξ ∈ (a,b)，使 f (b) − f (a) = f ′(ξ ) g(b) − g(a) g′(ξ )
泰勒中值定理：
如果函数f (x)在含x0的某个开区间(a, b) 内具有(n +1)阶导数，即f ∈ Dn+1(a,b)，
u v
′
=
u′v − uv′ v2
设x = ϕ ( y)，它的反函数是y = f (x)，则有
f
′( x)
=
1 ϕ′( y)
链式求导法则：d y = d y id u dx du dx
对数求导法则：
求幂指函数y = [u(x)]v(x)的导数时，
可先取对数，得 ln y = v(x) ln u(x)，

15.3.2 微分运算法则

3. 复合函数求导法则
(cu ) cu ( c为常数 ) u u v u v (v 0) 2 v v
y f (u ) , u ( x)
dy dy d u f (u ) ( x) dx d u dx
三、微分的基本公式和运算法则
1.基本初等函数的微分公式
(2) d ( x 2 1) 2x dx
(3) d (2 x ) 2x ln 2 dx
(4) d (e x ) e x dx
2、微分的四则运算法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
du dv vdu udv
例题1 求下列函数的微分：
导数公式:
(c) 0
微分公式:
d (c ) 0
1
( x ) x

x
d (x ) x

x
1
dx
(a ) a ln a
x
d (a ) a ln adx d (e ) e dx
x
x
( e ) e
x
x
x
1 (log a x) x ln a 1 (ln x) x
(3x 5)e x dx
x2 (3) y x 1
( x 1)d ( x 2 ) x 2 d ( x 1) 解：dy= ( x 1)2 2 x( x 1)dx x 2 dx ( x 1)2 ( x 2 2 x)dx ( x 1)2
练习
求下列函数的微分：
2
(1) y x cos x
解：
x 1 (2) y 2x 1
解：
dy cos xd ( x ) x d (cos x)

4微分公式与运算法则

微分公式与运算法则一、微分公式;sinh )(cosh )16(;cosh )(sinh )15().1,0(,ln 1)(log )14();1,0(,ln )()13(;11)cot ()12(;11)(arctan )11(;11)(arccos )10(;11)(arcsin )9(;cot csc )(csc )8(;tan sec )(sec )7(;csc )(cot )6(;sec )(tan )4(;sin )(cos )4(;cos )(sin )3(;(,)()2(;(,0)()1(2222221x x x x a a ax x a a a a a x x arc xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x a ax x C C a x xa a='='≠>='≠>='+-='+='--='-='-='='-='='-='='='='-为常数）为常数）导数公式dxx f dy )('=一、微分公式;sinh )(cosh )16(;cosh )(sinh )15().1,0(,ln )(log )14();1,0(,ln )()13(;1)cot ()12(;1)(arctan )11(;1)(arccos )10(;1)(arcsin )9(;cot csc )(csc )8(;tan sec )(sec )7(;csc )(cot )6(;sec )(tan )4(;sin )(cos )4(;cos )(sin )3(;(,)()2(;(,0)()1(2222221xdx x d xdx x d a a ax dx x d a a adx a a d x dxx arc d xdxx d x dx x d x dx x d xdx x x d xdx x x d xdx x d xdx x d xdx x d xdx x d a dx axx d C C d a x xa a ==≠>=≠>=+-=+=--=-=-==-==-====-为常数）为常数）1.微分的四则运算法则;)()1(dv du v u d ±=±;)()2(udv vdu uv d +=).0(,)()3(2≠-=v vudv vdu v u d2.复合函数的微分法则dxx x f )()]([ϕϕ''=结论：在函数y =f (u)中,不管u 是自变量函数中间变量,微分形式不变.分析duu f )('=设y = f (u ) 可微，)(x u ϕ=可微，则复合函数可微.)]([x f y ϕ=当u 为自变量时.)(,du u f dy '=当u 为中间变量时,)]}([{x f d dy ϕ=dxx f })]([{'=ϕu du .)(du u f dy '=例1求的微分.5sin +=x e y x解)5sin (+=x e d dy x)5()sin (d x e d x+=0)(sin sin )(+⋅+⋅=x d e x e d xx .)cos (sin dx x x e x+=解.1,ln du udy u y ==复合函数的微分是从外向内逐层推进..cos ,sin udu dy u y ==)(sin sin 122x d x=)sin (ln 2x d dy =)(cos sin 1222x d x x⋅=.cot 22dx x x =例2求的微分.2sin ln x y =1 324和、差、积、商微分法则四、小结16个微分公式微分形式不变形复合函数微分法则。

微积分的公式大全

微积分的公式大全一、极限公式1.无穷小量定义：若当x→0时，Δx是x的函数之一，且满足Δx/x→0，则称Δx为x的一个无穷小量。

2.极限的基本性质：-函数f(x)的极限即为f(x)的左极限和右极限存在且相等的值。

-函数的极限与函数的值在有限点无关，只与趋向于该点的方式有关。

-函数有界，且极限存在，则函数必定有极大值和极小值。

3.基本极限：-极限的四则运算规则：设x→x0时有f(x)→A，g(x)→B，则f(x)±g(x)→A±B，f(x)g(x)→AB，f(x)/g(x)→A/B。

- 幂函数极限：若m是正整数，则lim(x→a) (x^m) = a^m。

- e 的指数函数极限：lim(x→∞) (1+1/x)^x = e。

- 自然对数函数极限：lim(x→0) (ln(1+x)/x) = 1-三角函数极限：- lim(x→0) (sinx/x) = 1- lim(x→0) (cosx-1)/x = 0。

四、导数公式1. 基本定义：函数 y=f(x) 在 x0 处可导，当且仅当函数在 x0 处存在极限lim(x→x0) (f(x)-f(x0))/(x-x0)，即导数 f'(x0) 存在。

2.基本导数：- 常数函数的导数为 0：d/dx(c) = 0。

- 幂函数的导数：d/dx(x^n) = nx^(n-1)。

- 指数函数的导数：d/dx(e^x) = e^x。

- 对数函数的导数：d/dx(loga(x)) = 1/(xln(a))。

-三角函数的导数：- d/dx(sin(x)) = cos(x)。

- d/dx(cos(x)) = -sin(x)。

- d/dx(tan(x)) = sec^2(x)。

-反三角函数的导数：- d/dx(arcsin(x)) = 1/√(1-x^2)。

- d/dx(arccos(x)) = -1/√(1-x^2)。

- d/dx(arctan(x)) = 1/(1+x^2)。

第二章第3节-函数的微分

y o(x) lim lim ( A )A x 0 x x 0 x
故在点可导, 且
定理 2.6 函数在点
在点 x0 可微的充要条件是处可导, 且即
d y f ( x0 )x
“充分性” 已知在点的可导, 则
y lim f ( x0 ) x 0 x y f ( x0 ) x
Hale Waihona Puke d y 3 x x.2 0
(1)
( 2)
2 当x 很小时, y dy 3 x0 x.
定理 2.6 函数在点
在点 x0 可微的充要条件是处可导, 且即
d y f ( x0 )x
证: “必要性”
已知
在点
可微 , 则
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
dy f ( x) 导数也叫作微商 dx
例1.
求 y x 2 在 x 1, x 0.01 时的微分。
x 1 x 0.01
解: d y
2 x x
x 1
0.02
x 0.01
例2. 求y=x3在x=2处的微分, 以及当x=0.1时在x=2 处的微分。
dx 3 x 2 dx 3x 2 x ( x dx ) 解: dy ( x )
1 x2 dx ; (16) d (arccot x) dx 2 . (15) d (arctan x) 1 x2 1 x
2.四则运算微分法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
du dv vdu udv
3. 复合函数的微分法则均可导 , 则
(C 为常数)
(10)d (cot x) csc 2 xdx ;

微分运算法则

1. 微分概念
• 微分的定义及几何意义
• 可微
可导
2. 微分运算法则
微分形式不变性 :
( u 是自变量或中间变量 )
3. 微分的应用
近似计算估计误差
思考与练习
1. 设函数处的
的图形如下, 试在图中标出的点
及
并说明其正负 .
2.
5. 设
求
由方程
解: 方程两边求微分,
得
当
时
由上式得
确定,
作业
与
是等价无穷小,
故当
微分的几何意义
切线纵坐标的增量
当很小时,
记
则有
自变量的微分,
从而
记作导数也叫作微商
例如,
又如,
基本初等函数的微分公式 (见 P116表)
二、微分运算法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
(C 为常数)
5. 复合函数的微分则复合函数分别Fra bibliotek微 , 的微分为
微分形式不变
一、微分的概念
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,
其
边长由
变到
问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则
当x在
取
得增量
时, 面积的增量为
关于△x 的线
时为
性主部高阶无穷小
故
称为函数在的微分
定义: 若函数
在点的增量可表示为
( A 为不依赖于△x 的常数)
则称函数的微分,
P123 1 ;
3 ; (4) , (7) , (8) , (9) , (10)
4 ; 5;
8 9 (1) ;

函数的四则运算的微分法则

(csc x) csc x cot x
(a x ) a x ln a
(e x ) e x
(log
x a
)

1 x ln
a
(ln x) 1 x
(arcsin x) 1 1 x2
d(sec x) sec x tan xdx
d(csc x) csc x cot xdx
y e与t ln x复合而成，
dy

et

e ln x

dx
x
x
x x 1 .
x
验证了第一节的例二.
由上例可见，初等函数的求导必须熟悉. (a)基本初等函数的导数公式； (b)复合函数的分解； (c)复合函数的求导公式.
复合函数的分解过程熟悉后，可以不写中间变量，而直接写出结果.
d (a x ) a x ln adx
d (e x ) e xdx
d
(log
x a
)

1 x ln a
dx
d(ln x) 1 dx x
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
(arccos x) 1 1 x2
d(arccos x) dx 1 x2
(arctan x) 1 1 x2
于是有
y x

1 x
, 因为
f
( x)连续,
y
所以当x 0时,必有y 0
故f ( x) lim y x0 x
lim 1 y0 x
1
( y)
( ( y) 0)
即 f ( x) 1 . y
( y)
例5.求 y arcsin x 的导数.

一、微分的定义二、微分的基本公式三、微分的四则运算法则

dy | x x0 , 或df | x x0 , 即 dy | x x0 A x.
定理3.7 y=f(x)可微的充分必要条件是y=f(x)可导，且有 dy f ( x)dx .
dy 由于 f ( x) ，即函数的导数等于函数的微 dx 分与自变量微分之比，因此导数也称微商.
证
d(u v) (u v)dx (u v)dx
udx vdx du dv.
d(uv) (uv)dx (uv uv)dx
v udx u vdx vdu udv.
u 定理3.9 设u=u(x)，v=v(x)可微，且 v 0 ，则可微, v u vdu udv 且有 d ( ) . 2 v v
(a 0,a 1).
d tan x sec2 xdx.
d cot x csc xdx.
2
d sec x sec x tan xdx. d csc x csc x cot xdx.
1 d arsin x dx. 2 1 x 1 d arccos x dx. 2 1 x
当立方体的边长从 x0 变到 x0 x 时，相应的体积增量
3 2 2 V ( x0 x) 3 x0 3 x0 x (3x0 (x) 2 (x) 3 ).
函数增量 V 分成两部分，一部分是 x 的线性部分
2 3x0 x, 一部分是关于 x 的高阶无穷小
1 d arctan x dx . 2 1 x 1 d arccot x dx . 2 1 x
三、微分的四则运算法则
定理3.8 设u=u(x)，v=v(x)可微，则 u v , u , v可微，且有

微积分—微分

定理函数 f ( x)在点 x0可微的充要条件是函
数 f ( x)在点 x0处可导, 且 A f ( x0 ).
证 (1) 必要性 f ( x )在点x0可微,
y A x o( x ),
y o( x ) A , x x
y o( x ) 则 lim A lim A. x 0 x x 0 x
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
令y x, dy dx ( x)x x.
dy f ( x)dx.
dy dy f ( x )dx. f ( x ). dx 即函数的微分 dy与自变量的微分 dx之商等于
该函数的导数. 导数也叫 " 微商".
(微分的实质) 微分 dy叫做函数增量 y的线性主部.
由定义知:
dy A x y A x o (x)
(1) dy是自变量的改变量 x的线性函数 ;
( 2) y dy o( x )是比x高阶无穷小 ; ( 3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小 ;
即函数 f ( x )在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
(2) 充分性函数f ( x )在点x0 可导,
y lim f ( x 0 ), x 0 x
li m y A
从而 y f ( x0 ) x ( x ), f ( x0 ) x o( x ),
d (C ) 0 d (sin x ) cos xdx d (tan x ) sec2 xdx d ( x ) x 1 dx d (cos x ) sin xdx d (cot x ) csc2 xdx

微分的四则运算法则

微分的四则运算法则微分是数学中的一个重要分支，它以求导数为主要内容，是数学分析领域中最基本、最重要的内容之一。

在微分学中，微分的四则运算法则是非常重要的基础知识之一，本文将深入介绍微分的四则运算法则。

一、常数函数求导在微分学中，常数函数是指一个函数在定义域上的函数值都是一个确定的常数，如f(x) = 3或f(x) = 1/2等。

对于常数函数f(x) = c，其导数就是0，即f'(x) = 0。

二、幂函数求导幂函数是指f(x) = x^n的形式，其中n是一个正整数。

对于幂函数f(x) = x^n，其导数就是f'(x) = nx^(n-1)。

例如f(x) = x^3，则f'(x) = 3x^2。

三、指数函数求导指数函数是指f(x) = a^x的形式，其中a是一个正实数。

对于指数函数f(x) = a^x，其导数是f'(x) = a^xlna，其中lna是以e为底的自然对数函数。

例如f(x) = 2^x，则f'(x) = 2^xln2。

四、对数函数求导对数函数是指f(x) = loga(x)的形式，其中a是一个正实数且不等于1。

对于自然对数函数f(x) = ln(x)，它的导数就是f'(x) = 1/x。

当a不等于e 时，对数函数f(x) = loga(x)的导数可以用换底公式转化为f'(x) =1/(xlna)。

例如f(x) = log2(x)，则f'(x) = 1/(xln2)。

五、三角函数求导在微分学中，三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

对于正弦函数和余弦函数，它们的导数分别是它们的导函数cos(x)和-sin(x)，即(f(x))' = cos(x)和(g(x))' = -sin(x)。

对于正切函数f(x) = tan(x)，它的导数是f'(x) = sec^2(x)，其中sec(x)是secant函数，是cos(x)的倒数。

微分公式运算法则

微分公式运算法则一、微分公式概述微分公式是指用于计算函数导数的公式。

微分公式包括常用公式和特殊公式两类。

常用公式包括常数公式、变量公式和常用函数公式等，特殊公式包括指数公式、对数公式、三角函数公式等。

二、微分公式的运算法则计算函数导数时，需要遵循以下几条运算法则：1、常数公式若y=k，则y'=02、变量公式若y=x^n（n为常数），则y'=nx^(n-1)3、常用函数公式若y=f(x)，则y'=f'(x)4、级数公式若y=∑a_nx^n（a_n为常数），则y'=∑na_nx^(n-1)5、指数公式若y=a^x（a为常数），则y'=a^xln(a)6、对数公式若y=ln(x)，则y'=1/x7、三角函数公式若y=sin(x)，则y'=cos(x)若y=cos(x)，则y'=-sin(x)若y=tan(x)，则y'=sec^2(x)三、微分公式的应用微分公式在数学和工程领域有着广泛的应用。

例如，它可以用来计算函数的导数和单位增量，也可以用来求解求最大值和最小值的问题。

此外，微分公式也被广泛用于物理学、化学、生物学等领域。

四、微分公式的发展微分公式在历史上有着悠久的传承。

早在古希腊时期，希腊数学家就已经提出了微分概念并研究出了相应的计算方法。

随着数学理论的发展，微分公式也在不断优化和改进。

例如，在现代数学中，我们已经有了更加精确和高效的计算方法，使得微分公式的计算更加方便和快捷。

五、总结微分公式是用于计算函数导数的公式。

它包括常用公式和特殊公式两类。

计算函数导数时，需要遵循一些运算法则。

微分公式在数学和工程领域有着广泛的应用，并在历史上有着悠久的传承。

在现代数学中，微分公式也得到了进一步的发展和优化。

微分公式和运算法则

12
§ 2.2.3 高阶微分
1、二阶微分：一阶微分的微分称为二阶微分。记作
且有
（1）
2、n 阶微分：n-1阶微分的微分称为n阶微分，记作
且有
（2）
3、高阶微分：二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。
例设
（2）求
解由
得
依公式（1）得类似地，依公式（2）得
分别依公式（1）、
13
§2.2.4 微分在近似计算中的应用举例误差估计
按公式
计算 y 值时的误差
故 y 的绝对误差限约为相对误差限约为
19
例4. 设测得圆钢截面的直径
绝对误差限
欲利用公式
圆钢截面积 , 试估计面积的误差 . 解: 计算 A 的绝对误差限约为
测量D 的计算
(mm) A 的相对误差限约为
20
练习
1.
21
4. 设
由方程
求
解: 方程两边求微分, 得
当时
由上式得
确定,
22
当|Dx|很小时 |Dydy|比|Dx|小得多
因此在点M的邻近我们可以用切线段来近似代
替曲线段记
自变量的微分, 记作
则有
从而
导数也叫作微商
7
§ 2.2.2 微分公式和运算法则
1.基本初等函数的微分公式
导数公式:
微分公式:
(xm)m xm1
d(xm)m xm1dx
(sin x)cos x
d(sin x)cos xdx
(a x)ax ln a
d(a x)ax ln adx
(e x)ex
d(e x)exdx
8
导数公式:
微分公式:

微分积分公式范文

微分积分公式范文微分积分是微积分中的两个基本操作，用来研究函数的变化和求解曲线的面积。

微分运算是对函数进行取导数的操作，而积分运算则是对函数进行取不定积分或定积分的操作。

微分和积分是互逆操作，也被称为微积分的基本定理。

首先，我们来看微分运算。

微分运算是对函数的一个局部近似线性化，并对线性化后的函数进行求导。

设函数y=f(x)，在点x处对函数进行微分得到的微分dy，可以近似表示为dy=f'(x)dx。

其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。

微分运算有以下几个基本公式：1.基本微分公式（1）常数微分公式：d(c)=0，其中c为常数。

（2）幂函数微分公式：d(x^n) = nx^(n-1)，其中n为实数。

（3）指数函数微分公式：d(e^x) = e^xdx。

（4）对数函数微分公式：d(ln x) = 1/x。

（5）三角函数微分公式：d(sin x) = cos x dx，d(cos x) = -sinx dx，d(tan x) = sec^2 x dx。

2.导数运算法则（1）和差法则：设函数u和v都可导，则(u±v)'=u'±v'。

（2）乘法法则：设函数u和v都可导，则(uv)' = u'v + uv'。

（3）除法法则：设函数u和v都可导且v≠0，则(u/v)' = (u'v - uv')/v^2（4）复合函数法则：设函数u(v)由函数v(x)和u(x)复合而成，则u'(v(x))=u'(x)v'(x)。

接下来，我们来看积分运算。

积分是对函数在一定区间内的求和，用来求解曲线的面积、体积等问题。

积分运算有以下几个基本公式：1.基本积分公式（1）常数积分公式：∫c dx = cx + C，其中c为常数，C为常数。

（2）幂函数积分公式：∫x^n dx = 1/(n+1) x^(n+1) + C，其中n不等于-1（3）指数函数积分公式：∫e^x dx = e^x + C。