第二章 刚体运动学与动力学(下)

设陀螺对O的动量矩为LO，
(e) 外力的主矩为M O 。动量矩定理：
dLO (e) MO dt (e) 与定轴转动不同， LO，M O 与自转轴Oz 不重合。
通常陀螺的进动角速度 ωe 较小， ωe，可以认为 ωa ω 且ωa 沿自转轴Oz , 于是有： LO J zω 上述简化，可得出陀螺 的近似与J pp的平方根成反比 R k J pp k为任意选定的常数
点P的坐标( x, y, z )为 x Rl，y Rm，z Rn 改变p轴的方位，J pp 及R随之改变，点 P在空间中的轨迹形成一 封闭曲面。该曲面方程 为： J xx x 2 J yy y 2 J zz z 2 2 J xy xy 2 J xz xz 2 J yz yz k 2 显然，是一以 O为中心的椭球面方程。 称为惯量椭球 。
（3）球对称刚体过球心的任意轴均为惯量主轴。 （4）刚体上中心惯量主轴上各点的惯量主轴必与中心惯量 主轴平行。
4. 惯量椭球
固连坐标系Oxyz 惯量张量J的矩阵为： J xx J J xy J xz J xx (l , m, n) J xy J xz J xy J yy J yz J xy J yy J yz J xz J yz J zz
4. 刚体的动能
T
1 2 1 v d m ( ω r ) ( ω r ) dm 2 2 1 [(z y y z )i ( x z z x ) j ( y x x y )k ]2 dm 2 1 [(z y y z ) 2 ( x z z x ) 2 ( y x x y ) 2 ]dm 2 1 2 2 2 [ J xx x J J y y y z z z 2 yz z y 2 J xz z x 2 J y x x y ] 2 J xx 1 ( x , y , z ) J xy 2 J xz 1 T 1 ω Jω ω L 2 2 J xy J yy J yz J xz x J yz y J zz z
M
J yy ( x2 z 2 )dm ，
M
J zz ( y2 x2 )dm
M
惯性积： J xy xydm ，
M
J xz xz dm ，
M M
J zy z ydm LO ( J xx x J xy y J xz z )i ( J yy y J yz z J yx x ) j ( J zz z J zy y J xz x )k
dLO u dt 如图，u可以理解为LO矢端的“速度”。 根据动量矩定理：
(e) u MO
(5 17)
(e) u MO
(5 17)
上式称为赖柴定理：质 点系对定点的 动量矩矢端的速度，等 于外力对同一 点的主矩。
按陀螺近似理论，其动量矩矢与 对称轴重合，因此，外力矩也决定 了对称轴的运动。 1. 自由陀螺保持对称轴在惯性参考系中的方位不变 自由陀螺：外力主矩为零的陀螺。 此时 u=0， LO=恒量，即A不动，因此对称轴方位不变。
2. 定点运动刚体的欧拉动力学方程
dLO 动量矩定理： M O，选择主惯性轴， dt d y d x d z A i B j C k dt dt dt di dj dk A x B y C z MO dt dt dt di ω i y k z j dt dj ω j z i x k dt dk ω k x j y i dt
图示陀螺仪的例子，陀螺由固定 圆环中的两个可动圆环支持，以保 持其质心O不动。不计摩擦，外力对 其质心O的力矩为零。自由陀螺。 由于其自转轴方向不变，因此可 以用来导航。陀螺仪广泛应用于飞 机，火箭，导弹，鱼雷，坦克，照 相机等领域。
2. 陀螺受力矩作用，当力矩矢量与对称轴不重合时
M O ( P ) rC P，方向在水平面内 u M O ( P )，不改变章动角 ， 对称轴Oz 绕固定轴Oz转动， 称为进动，形成一个圆 锥面。 重力不会使高速自转的 陀螺 倒下，而是沿圆锥面进 动。 设进动角速度ωe，
M M
[(x2 y2 z 2 )( x i y j z k ) ( x x y y z z )(xi yj z k )]dm dm}i { x [( y2 z 2 )]dm－ y xydm－ z xｚ
高等动力学
中国矿业大学力建学院力学系 李毅
2-1
目 录
第二章 刚体运动学与动力学（下）
§2-4 §2-5 §2-6 §2-7 陀螺仪近似理论 刚体定点运动的动力学 无力矩刚体的定点转动 刚体自由运动的动力学
2-2
§2-4 陀螺仪近似理论
当陀螺绕自身对称轴高速旋转时， 即使对称轴偏离了铅垂线，陀螺将绕 铅垂线晃动而不倒下。
称为转动惯量矩阵 , 对称矩阵，可以证明 J是张量。
3. 惯量主轴
J xx J J xy J xz
J xy J yy J yz
J xz J yz J zz
由线性代数可知，适当 选择固连坐标系 Oxyz ，可以使转动 惯量矩阵为对角型，此 时称三个坐标轴为 惯性主轴。这时 A 0 0 x A i B j C k LO Jω 0 B 0 x y z y 0 0 C z 一般三个主转动惯量不 相等，因此，动量矩与 角速度不 在一个方向，即 LO与ω一般不共线。但当 ω沿任何一个惯性 主轴时，LO与ω共线
M M M
dm－ z xydm} j { y [(x2 z 2 )]dm－ x yｚ
M M M
dm－ y xｚ dm}i { z [(x2 y2 )]dm－ x yｚ
M M M
转动惯量(又称惯量矩）： J xx ( y2 z 2 )dm ，
椭球的3个主轴对应于刚体的 3个惯量主轴。刚体相对 质心 的惯量椭球称为中心惯 量椭球。刚体质量轴对 称分布时，其惯 量椭球为旋转椭球。极 轴与赤道面内的任意轴 都是惯量主轴。 刚体质量球对称分布时 ，其惯量椭球为圆球， 所有过O的轴都是 惯量主轴。 惯量椭球与物体形状具 有某种相似性，如细长 的物体，其 惯量椭球也细长，球形 物体，其惯量椭球也像 球形。
当陀螺静立在地面上时，稍微有 点扰动，陀螺就会由于重力而倒下。
工程上把有一个固定点，并绕自 身对称轴高速旋转的刚体称为陀螺。 人们可以利用陀螺现象导航，定 向，稳定船舶。陀螺现象有时会是有 害的。船舶上的高速转轴，在船舶晃 动或转弯时会产生附加动压力，可能 造成破坏。
设陀螺以角速度 ω绕自身对称轴Oz 转动（自转），同时 Oz 以角速度 ωe 绕定轴Oz转动（进动）。 刚体则以绝对角速度 ωa 绕定点O运动。 ωa ωe ω
当固连坐标系取惯性主 轴时 A 0 0 x 1 T ( x , y , z ) 0 B 0 y 2 0 0 C z 1 2 2 2 T ( A x B C y z ) 2 当T为常数时，上式表明在 动能守恒条件下瞬时角 速度ω矢量的 端点轨迹为椭球，称为 动能椭球。
§2-5 刚体定点运动的动力学
1. 定点运动刚体的动量矩
LO r (dmv ) r (ω r )dm [(r r )ω (ω r )r ]dm
M M M
[(x2 y2 z 2 )ω ( x x y y z z )r ]dm
陀螺效应可能使机器轴承负荷增大而损坏。另一方面陀螺效 应也可被加以利用。航海陀螺稳定器就是利用陀螺效应的例子。
如图，转子绕AA轴以 ω高速转动。当海轮受风 浪干扰力矩M作用而绕船 的纵轴晃动时，自动调 节 系统令环座以角速度 ωe 绕 DD轴转动，以迫使自转 轴进动。由此产生陀螺 力 矩与风浪干扰力矩相反 ， 使船体维持平衡。
2. 惯量矩阵与惯量张量
写成矩阵形式： J xx LO J xy J xz J xx J J xy J xz J xy J yy J yz J xy J yy J yz J xz x J yz y J zz z J xz J yz J zz LO Jω
三个惯性主轴构成的固连坐标系称为刚体的主轴坐标 系。当主轴坐标系的原点在质心时，称为中心主轴坐标系， 相应的主转动惯量称为中心主惯量。 刚体的惯量主轴有以下规律：
（1）若刚体有对称轴，则必为惯量主轴，称为极轴。过极 轴上任意点且与极轴垂直的任意轴也是惯量主轴，称为赤 道轴。 （2）若刚体有对称平面，则该平面的法线必为惯量主轴。
例5 海轮上的汽轮机转子 轴沿船的纵轴 x，转子转动惯量 为J x，转子角速度为 ，如图所示。如海轮绕 横轴y简谐摆动， 摆幅为 0，周期为T，已知两轴承间距为 l，求转子的陀螺力 矩和对轴承的压力。
例6 碾子A在水平面上作纯滚动。 杆OA以角速度e 绕铅 直轴转动。设碾子质量 为m，半径为R，OA长为l。求碾子滚 动时对水平面的附加压 力。
u ωe LO ωe J zω
(e) MO ωe J zω sin
(e) ωe J zω M O
ωe与ω成反比，当陀螺因摩擦 自转减慢时，进动会逐 渐增大。
3. 陀螺效应和陀螺力矩 陀螺效应是高速转动的机械，当转轴方位发生改变 时，产生附加力矩（陀螺力矩）的现象。
如图，陀螺绕z轴以ω高速转动， 当z轴被迫改变方向时，设 z轴 被迫绕y轴转动，角速度为 ωe， 此时：