大学数学标准化作业(2013.2.15)

普通高等教育“十一五”国家级规划教材
线性代数
标准化作业
吉林大学数学中心 2013.3
学院
班级
姓名
学号
第一章作业
（矩阵的运算与初等变换）
1、计算题 ⎡3⎤
（1） (1, 2, 3) ⎢⎢2⎥⎥ ；
⎢⎣1⎥⎦
⎡2⎤
（2） ⎢⎢1⎥⎥ (−1, 2, 1) ；
⎢⎣3⎥⎦
⎡a11 a12 a13 ⎤ ⎡ x1 ⎤
（3） ( x1,
x2 ,
x3
)
⎢ ⎢
a12
a22
a23
⎥ ⎥
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
；
⎢⎣a13 a23 a33 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦
⎡1 2 1 0⎤ ⎡1 0 3 1 ⎤
（4）
⎢⎢0 ⎢0
1 0
0 2
1⎥⎥ ⎢⎢0 1⎥ ⎢0
1 0
2 −2
−1⎥⎥ . −3⎥
⎢⎣0 0 0 3⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 −3⎥⎦
5 3
−4 −2
1⎥⎥ . 0⎥
⎢⎣3 −3 4 −2 1⎥⎦
5、利用初等矩阵计算：
⎡1 0 0⎤11 ⎡−1 −1 −1⎤ ⎡1 0 0⎤11
（1） ⎢⎢0
1
0⎥⎥
⎢ ⎢
1
1
1
⎥ ⎥
⎢⎢0
1
0⎥⎥
；
⎢⎣0 1 1⎥⎦ ⎢⎣−2 −2 −2⎥⎦ ⎢⎣0 1 1⎥⎦
4
（2）已知 AX=B，其中
求 X.
（A）α1+α2，α2+α3，α3+α1；
（B）α2 -α1，α3 -α2，α1 -α3；
（C）2α2 -α1， 1 α3 -α2，α1 -α3； （D）α1+α2+α3，α3--α2，-α1-2α3. 2
（4）设 α1，α2 是 n 元线性方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，且 R（A）
=n-1，k 为任意常数，则方程组 Ax=0 的通解为（ ）.
（2）设 α1，α2，α3 线性无关，则下列向量组线性相关的是（
）.
（A）α1，α2，α3 - α1；
（B）α1，α1+α2，α1+α3；
（C）α1+α2，α2+α3，α3+α1；
（D）α1-α2，α2-α3，α3-α1.
13
（3）设 n 元线性方程组 Ax=0，且 R(A)=n-3，且 α1，α2，α3 为线性方程组 Ax=0 的三个线性无关的解向量，则方程组 Ax=0 的基础解系为（ ）.
（3） D = a b c ；
a2
b2
c2
3+a 3 3 3
（4） D = 3 3 − a 3
3
；
3 3 3+b 3
3 3 3 3−b
7
10
2
（5） D =
$
.
2012
0
2013
4、设 4 阶行列式的第 2 列元素依次为 2、m、k、1，第 2 列元素的余子式 依次为 1、-1、1、-1，第 4 列元素的代数余子式依次为 3、1、4、5，且行列式 的值为 2，求 m、k 的值.
,
若矩阵
A
与
B
可交换，求
a、b
的值.
7、设 A、B 均为 n 阶对称矩阵，证明 AB+BA 是 n 阶对称矩阵.
5
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第二章作业
（方阵的行列式） 1、填空题 （1）排列 52341 的逆序数是________,它是________排列； （2）排列 54321 的逆序数是________,它是________排列； （3）1~9 这九数的排列 1274i56j9 为偶排列，则 i_______， j_______； （4）4 阶行列式中含有因子 a11a23 的项为________________； （5）一个 n 阶行列式 D 中的各行元素之和为零，则 D =__________. 2、计算行列式
（B）若 Ax=0 有唯一解，则 Ax=b 必无解；
（C）若 Ax=0 有无穷多个解，则 Ax=b 也有无穷多个解；
（D）若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 也有无穷多个解.
3、设 α1，α2，α3 是 4 元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量，且 R（A）
=3，其中α1 = (1,9, 4,9)T ,α2 + α3 = (2, 0, 0, 4)T , 求 Ax=b 的通解.
（A）A＝O 或 B＝O；
（B）|A|＝0 或|B|＝0；
（C）(A＋B) 2＝A 2＋B 2 ；
（D）A 与 B 均可逆.
（3）若对任意方阵 B，C，由 AB=AC（A，B，C 为同阶方阵）能推出 B=C， 则 A 满足（ ）.
9
（A）A ≠ O； （B）A＝O； （C）|A| ≠ 0； （D）|AB| ≠ 0. （4）已知 A 为 n 阶非零方阵，若有 n 阶方阵 B 使 AB＝BA＝A，则（ ）. （A）B 为单位矩阵；（B）B 为零方阵；（C）B −1 ＝A；（D）不一定.
14
4、求解齐次线性方程组
⎧ x1 + x2
−3x4 −x5 = 0,
⎪⎨⎪⎪4xx11
− x2 −2x2
+2 x3 +6 x3
− x4 −5x4
+ x5 + x5
= 0, = 0,
⎪⎩2x1 +4x2 −2x3 +4x4 −16x5 = 0.
15
5、求解非齐次线性方程组
⎧ x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 3,
12
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第四章作业
1、填空题
（线性方程组与向量组的线性相关性）
（1）设 β=（3，- 4）， α1=（1，2）， α2=（-1，3），则 β 表成 α1，α2 的
线性组合为
；
（2）设向量组 α1=（1，1，0），α2=（1，3，-1），α3=（5，3，t）线性相
关，则 t=
；
（3）设向量组 α1=（1，1，0），α2=（1，3，-1），α3=（5，3，t）的秩为
2
2、计算下列方阵的幂： （1）已知 α=（1，2，3），β=（1，-1，2），A=αTβ，求 A4;
（2）已知 A= ⎡⎢⎢⎢⎢⎣000
2 0 0
043⎤⎥⎥⎥⎥⎦ ，求 A n;
3、通过初等行变换把下列矩阵化为行最简形矩阵：
（1） ⎡⎢⎢⎢⎢⎣113
1 −1
3
0
2 −4
−421⎤⎥⎥⎥⎥⎦ ;
⎡2 1 8 3 7 ⎤
（2）
⎢⎢2 ⎢3
−3 −2
0 5
7 8
−5⎥⎥ . 0⎥
⎢⎣1
0
32
0
⎥ ⎦
3
4、用初等变换把下列矩阵化为标准形矩阵： ⎡3 2 −1 −3 −1⎤
（1） ⎢⎢2 −1 3 1 −3⎥⎥ ； ⎢⎣7 0 5 −1 8 ⎥⎦
⎡1 −1 3 −4 3⎤
（2）
⎢⎢3 ⎢2
−3 −2
⎡a11 a12 a13 ⎤
⎡ a11 − a12 a13 a12 ⎤
A=
⎢ ⎢
a21
a22
a23
⎥ ⎥
, B=
⎢⎢a21
−
a22
a23
a22
⎥ ⎥
,
⎢⎣a31 a32 a33 ⎥⎦
⎢⎣a31 − a32 a33 a32 ⎥⎦
6、设
A=
⎡1 ⎢⎣1
2 ⎤ ⎡a −1⎥⎦ , B= ⎢⎣3
b⎤ 2⎥⎦
2 0
1 3
5 −1
−1⎥⎥ 3⎥
，求矩阵
A
的秩.
⎢⎣1 1 0 4 −1⎥⎦
11
⎡ 1 0 0 0⎤
7、设矩阵 A= ⎢⎢−2 3
0
0
⎥ ⎥
,
且满足
B=(E+A)-1(E-A)，求(E+B)-1.
⎢ 0 −4 5 0⎥
⎢ ⎣
0
0 −6 7⎥⎦
8、设 A 为 m × n 矩阵，B 为 n × m 矩阵，且 m＞n，试证|AB|＝0.
−1444⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ 的逆矩阵；
（2）求 A = ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣600000
0 0 0 1 1 1
0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 1
0 1 2 0 0 0
000023⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ 的逆矩阵.
10
4、已知 A = ⎡⎢⎢⎢⎢⎣102
1 2 1
102⎤⎥⎥⎥⎥⎦ ， B = ⎡⎢⎢⎣12
005⎤⎥⎥⎥⎥⎦ ，A * 为A的伴随矩阵，则(A * ) −1 =
；
（2）设A为 4 阶数量矩阵，且|A|=16，则A＝
，A−1 ＝
，
A* ＝
；
（3）设A＝ ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣5002
2 1 0 0
0 0 1 1
−1002⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ，则│A│＝
，A −1 ＝
；
（4）设实矩阵A 3×3 ＝ (aij ) ≠ 0，且 a11 ≠ 0 ， aij = Aij （ Aij 为 aij 的代数余子
2x x 1 2
1 x 1 −1
3 2x 1
x 10 x
展开式中 x4 与 x3 的系数.
3、计算下列各行列式的值： 2 −1 1 6
（1） D = 4 −1 5 0 ； −1 2 0 −5 1 4 −2 −2
6
1111 222
1
11
1
（2） D = 2
2 2；
1111
22
2
1111 222
b+c c+a a+b
⎢ ⎢ ⎢
−1 a+2Baidu Nhomakorabea
⎥ ⎥ ⎥
,
α
4
=
⎢ ⎢ ⎢
2 4
⎥ ⎥ ⎥
,
β
=
⎢ ⎢ ⎢b
1 +
⎥ ⎥ 3⎥
,
⎢⎣3⎥⎦
⎢⎣5⎥⎦
⎢ ⎣
1
⎥ ⎦
⎢⎣a + 8⎥⎦
⎢ ⎣
5
⎥ ⎦
试问（1）当 a、b 为何值时，β 能由 α1，α2，α3，α4 唯一线性表示？
（2）当 a、b 为何值时，β 不能由 α1，α2，α3，α4 线性表示？
23⎤⎥⎥⎦ ， C = ⎡⎢⎢⎢⎢⎣132
124⎤⎥⎥⎥⎥⎦ ，求解下列矩阵方程：
（1）AX=X+C ; (2) AXB=C.
5、设 A 为 n 阶可逆矩阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得矩阵 B，试证： （1）B 可逆；（2）求 AB-1.
⎡1 1 2 2 1 ⎤
6、设
A=
⎢⎢0 ⎢2
3，则参数 t 应满足的条件是
；
（4）n 元线性方程组 Ax=0 有非零解时，它的每一个基础解系所含解向量
的个数均为
；
（5）设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 R(A)=n-1，则方程组 Ax=0
的通解为
.
（6）设线性方程组
⎧⎪⎨2x1x1−−2
x2 x2
+ +
2 x3 λ x3
= =
0, 0,
式），则│A│＝
；
（5）设A为 2 阶方阵，B为 3 阶方阵，且│A│＝ 1 ＝ 1 ，则 B2
O (2 A)−1
−B O
＝
.
2、选择题
（1）设同阶方阵 A、B、C、E 满足关系式 ABC=E，则必有（ ）.
（A）ACB=E； （B） CBA=E； （C） BAC=E； （D） BCA=E.
（2）若 A，B 为同阶方阵，且满足 AB＝0，则有（ ）.
（5）若 A，B，(B −1 +A −1 )为同阶可逆方阵，则(B −1 +A −1 ) −1 ＝（ ）.
（A）B −1 +A −1 ； （B）B＋A； （C）(B+A) −1 ； （D）B(B+A) −1 A.
3、求下列矩阵的逆矩阵：
（1）求 A = ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣−1101
2 −1 3 1
3 −3 4 0
+
k2
(β1
−
β2
)
+
β1
+ 2
β2
;
（B）x=k1α1
+
k2
(α1
−α2
)
+
β1
+ 2
β2
;
（D）x=k1α1
+
k2
(α1
+
α2
)
+
β1
− 2
β
2
.
（6）设非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组为 Ax=0，则下
面结论中正确的是（
）.
（A）若 Ax=0 有唯一解，则 Ax=b 必有唯一解；
的系数矩阵为
A，且存在
3
阶非零矩
⎪⎩x1 + 2x2 − x3 = 0
阵 B 使得 AB = O ，则 λ =
.
2、选择题
（1）设 β，α1，α2 线性相关，β，α2，α3 线性无关，则正确的结论是（
）.
（A）α1，α2，α3 线性相关；
（B）α1，α2，α3 线性无关；
（C）α1 可由 β，α2，α3 线性表示； （D）β 可由 α1，α2 线性表示.
（A）kα1；
（B）kα2； （C）k(α1-α2)； （D）k(α1+α2).
（5）设向量组 α1，α2 是方程组 Ax=0 的基础解系，β1，β2 是方程组 Ax=b
的两个解向量，k1，k2 是任意常数，则方程组 Ax=b 的通解为（
）.
（A）x=k1α1
+
k2α 2
+
β1
− 2
β2
;
（C）x=k1α1
（3）当 a、b 为何值时，β 能由 α1，α2，α3，α4 线性表示，但表示法不唯
一，并写出表示式.
17
7、已知 4 阶方阵 A=（α1，α2，α3，α4），其中 α1，α2，α3，α4 均为 4 维的 列向量，且 α2，α3，α4 线性无关，α1 = 2α2 - α3， 如果 β = α1 + α2 + α4，求线性 方程组 Ax=β 的通解.
5、设 3 阶矩阵
⎡α ⎤ ⎡β ⎤
A=
⎢ ⎢
2γ
1
⎥ ⎥
,
B=
⎢ ⎢
γ
1
⎥ ⎥
，
⎢⎣3γ 2 ⎥⎦
⎢⎣γ 2, ⎥⎦
其中 α， β， γ1， γ2 均为 3 维行向量，且|A|=18，|B|=2，求|A-B|.
8
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第三章作业
（可逆矩阵）
1、填空题
（1）设A＝ ⎡⎢⎢⎢⎢⎣123
0 2 4
⎪⎪⎪⎨23xx11
+ x2 +4x2
+3x3 + x3
+3x4 −3x4
+4x5 +2x5
= =
14, −11,
⎪⎩ x1 −x2 +4x3 +8x4 +4x5 = 31.
16
6、设向量组
⎡1⎤ ⎡1⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤
α1
=
⎢⎢0⎥⎥ ⎢2⎥
,
α
2
=
⎢⎢1⎥⎥ ⎢3⎥
,α3
=