第五章 系数量化对系数滤波器的影响 第五节

例1
一个共轭极点在虚轴附近的滤波器如图（a）, 一 两者比较，前者极点位置灵敏度比后者小，即系
个共轭极点在实轴附近的滤波器如图（b） 数量化程度相同时，前者造成的误差比后者小。
影响极点位置灵敏度的几个因素：
l 与零极点的分布状态有关；极点位置灵敏度大 小与极点间距离成反比； l 与滤波器结构有关。高阶直接型极点位置灵敏 度高；并联或级联型，由于二阶节中共轭极点位置 误差互不影响，因此系数量化误差的影响小；
下面由B(Z)求灵敏度
pi bk
z pi
：
B( z ) pi
z pi (
利用偏微分关系： B( z)
pi B( z ) bk bk B( z ) pi
bk
pi ) bk
z pi
N N B( z ) 1 1 N 又 z (1 pi z ) z ( z pk ) pi k 1 k 1 k i k i
多项式相乘得到传递函数形式
a1=conv(R1(4:6),R2(4:6));aq=conv(R3(4:6),a1); [hq,w]=freqz(bq,aq,512); gq=20*log10(abs(hq)); figure(1) plot(w/pi,g,'b',w/pi,gq,'r:'); grid; axis([0 1 -120 5]); xlabel('\omega/\pi'); ylabel('Gain, dB'); legend('量化前','量化后'); figure(2) [z1,p1,k1] = tf2zp(b,a); [z2,p2,k2] = tf2zp(bq,aq); zplaneplot([z,z2],[p,p2],{'o','p','d','s'}); axis([-2 1.2 -1.2 1.5]); legend('量化前的零点','量化后的零点','量化前 的极点','量化后的极点');
系数量化前后的频率响应
系数量化前后的零极点分布
例：对上一例子采用级联结构，在指标不变的 情况下观察其量化效应，对滤波器系数做舍入 处理，同样，分子系数舍入到小数点后12位， 分母系数舍入到小数点后8位。
解 用以下MATLAB程序分析量化效应 clf; [b,a]=cheby1(6,3,0.3); [z,p,k] = tf2zp(b,a); sos=zp2sos(z,p,k); [h,w]=freqz(b,a,512); g=20*log10(abs(h)); sosq=sos; sosq(:,1:3)=a2dR(sos(:,1:3),12);级联形式的分子系数 sosq(:,4:6)=a2dR(sos(:,4:6),8);级联形式的分母系数 R1=sosq(1,:);R2=sosq(2,:);R3=sosq(3,:);6阶3个二阶节 b1=conv(R1(1:3),R2(1:3));bq=conv(R3(1:3),b1);
figure(2) [z1,p1,k1] = tf2zp(b,a); [z2,p2,k2] = tf2zp(bq,aq); zplaneplot([z1,z2],[p1,p2],{'o ','p','d','s'}); axis([-2 1.2 -1.2 1.5]); legend('量化前的零点','量 化后的零点','量化前的极点 ','量化后的极点');
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N
i
1 bi z i

A( z ) B( z )
系数量化后的实际系统函数为：
ˆ H ( z) ˆ a z
i 1 i N i 1 N i
ˆ 1 bi z i
量化后的系数
ˆ ai ai ai ˆ bi bi bi
分析量化偏差 ai , bi 造成的极零点位置偏差。 设理想极点为 pi , i 1,2,, N ，则
例3：分析六阶切比雪夫I型低通滤波器的量化 效应，其边界频率为0.3π，通带纹波为3dB。对 滤波器做舍入处理，使用函数a2dR.m，分子系 数舍入到小数点后12位，分母系数舍入到小数 点后8位。
解 用以下MATLAB程序 分析量化效应 clf; [b,a]=cheby1(6,3,0.3); [h,w]=freqz(b,a,512); g=20*log10(abs(h)); bq=a2dR(b,12); aq=a2dR(a,8); [hq,w]=freqz(bq,aq,512); gq=20*log10(abs(hq)); figure(1) plot(w/pi,g,'b',w/pi,gq,'r:'); grid; axis([0 1 -120 5]); xlabel('\omega/\pi'); ylabel('Gain, dB'); legend('量化前','量化后');
l 高阶滤波器避免用直接型，尽量分解为低阶网
络的级联或并联。
5.5.2 利用MATLAB分析系数量化对数字滤波器性能 的影响 function beq=a2dR(d,b) % beq=a2dR(d,b)将十进制数利用舍入法得 到b位的二进制数 %然后将该二进制数再转换为十进制数 m=1; d1=abs(d); while fix(d1)>0 d1=abs(d)/(2^m); m=m+1; end beq=fix(d1*2^b+.5); beq=sign(d).*beq.*2^(m-b-1);
系数量化前后的频率响应
系数量化前后的零极点分布
• 补码的加法运算p188,p201的问题 • 溢出的处理方法以及不会引入新的误差 p210 • P215的程序 • P147的吉布斯现象理解
(a) 系数量化前后的频率响应
五阶椭圆低通滤波器的量化效应
5.5.1 极点位置灵敏度
指每个极点位置对各系数偏差的敏感程度。 极点位置的变化将直接影响系统的稳定性。所以 极点位置灵敏度可以反映系数量化对滤波器稳定
性的影响。
分析一个N阶直接型结构的IIR滤波器的系统函数
H ( z)
a z
i 1 i N i 1
0 -10
1
量化前 量化后
0.8 0.6 0.4
幅 度 -30 dB -40
-50 -60 -70 -80 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-20
虚 部
0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
//
-1
-0.5
0
0.5
1
实部
(b) 系数量化前后的零极点分布 ‘o’量化前的零点, ‘*’量化后的零点, ‘x’量化前的极点, ‘+’量化后的极点
N pi pi pi pi pi b1 b2 bN bk b1 b2 bN k 1 bk
pi 决定量化影响大小，反映极点 pi 对系数 bk bk pi pi 变化的敏感程度。 大，bk 对 z 的影响大； i bk bk
小，bk 对 pi 的影响小，称之为极点位置灵敏度。
B( z ) z k bk
故
pi bk
piN k
( p
k 1 k i
N
i
pk )
上式分母中每个因子(pi-pk)是一个由极点pk指向当前极点pi的矢 量，整个分母是所有极点指向极点pi的矢量积，这些矢量越长， 极点彼此间的距离越远，极点位置灵敏度越低；矢量越短，极 点位置灵敏度越高。即极点位置灵敏度与极点间距离成反比。
§5.5系数量化对系数滤波器的影响
下面讨论第三种量化效应——系数的量化效应。由于滤
波器的所有系数必须以有限长度的二进码形式存放在存储器中 ，所以必然对理想系数值取量化，造成实际系数存在误差，使 零、极点位置发生偏离，影响滤波器性能。一个设计正确的滤 波器，在实现时，由于系数量化，可能会导致实际滤波器的特 性不符合要求，严重时甚至使单位圆内的极点偏离到单位圆外 ，从而系统失去稳定性。 系数量化对滤波器的影响与字长有关，也与滤波器的结构 有关，选择合适的结构可改善系数量化的影响。
B( z ) 1 bi z i (1 pi z 1 )
i 1 i 1 N N
系数量化后，极点变为 pi pi ，位置偏差 pi 是由 bi 引起的。
bi 对 pi 的影响： 因每个极点都与 N 个bi系数有关,
pi pi (b1 , b2 ,, bN ), i 1,, N