曲线积分习题课

原式
Q P 解 易验证 4 xy e x sin y x y
( , ) 2 ( 0, 0 )
( e x cos y 2 xy 2 )dx ( 2 x 2 y e x sin y)dy

e dx (
2 0 x 0


2

4 4 ( , ) x 2 2 2 2 或：原式 （e cos y x y ） ( 0, 0 ) e 1 4
ydx xdy 1 L x 2 y 2 r 2 1 l ydx xdy r 2
2dxdy 2
D
16
2 2 3 y y 3 x y ( yx e ) dx ( xe xy 8 y ) dy 例5 计算 L: 1 L 2 2 4 9 9x 4 y
(e x sin y my )dx (e x cos y m )dy
8
14
x 2 2 x 例3 证明曲线积分 ( e cos y 2 xy ) dx ( 2 x y e sin y )dy L
与路径无关。若 L为以A( 0,0)到B( 计算积分的值。

2
, )的任意简单曲线，
x2 y2 解： L : 1, 即3x2+4y2=12，所以 4 3 2 2 ( 3 x 4 y )ds 12ds 12a .
L L
又L关于x轴对称，而sin(xy)关于y为奇函数，所以

L
sin( xy )ds 0
于是
I = 12a。
11
(2) 已知L为圆周 : x 2 y 2 a 2 , 求
x 2 y 2 ds
(3) 已知L为圆周 : x 2 y 2 z 2 a 2 , y x,

L
2 y z ds
2 2
L
( 4) 已知L为圆周: ( x a ) 2 y 2 a 2 , xds
6
x2 ( 5 ) 设 f ( x , y )在 y 2 1具有连续的二阶偏导， L是椭圆的 4 逆时针方向 , [3 y f x ( x , y )]dx f y ( x , y )dy
命 ( 3) 在D内存在U ( x , y )使du Pdx Qdy
P Q 题 (4) 在D内, y x
5
二、典型例题 例1 填空
x2 y2 1, (1)已知 L : 4 3
L的长度为a

L
[3 x 2 4 y 2 sin( xy )]ds
L
(2) 已知L为圆周 : x 2 y 2 a 2 ,
L


ads 2 a 2
( 4) 已知L为圆周: ( x a ) 2 y 2 a 2 , xds
2 解： xds x 2 a 2 a L
2 或： xds ( a a cos ) ad 2 a L 0
12
2
x2 ( 5 ) 设 f ( x , y )在 y 2 1具有连续的二阶偏导， L是椭圆的 4 逆时针方向 , 求 [3 y f x ( x , y )]dx f y ( x , y )dy

这里下限α 对应于L的起点，上限β 对应于L的终点。
1
2 两类曲线积分的关系

L
Pdx Qdy [ P ( x , y ) cos Q( x , y ) cos ]ds
L
cosα、cosβ的求法：
L : x ( t ), y ( t ), 起点A 、终点B分别对应
例3 证明曲线积分

L
(e x cos y 2 xy 2 )dx (2 x 2 y e x sin y )dy
与路径无关。若L为以A(0, 0)到B( , )的任意简单曲线， 2 计算积分的值。
ydx xdy 2 2 例4 计算 L 为 ( x 1 ) y 2逆时针方向 2 2 L x y
L
x 2 y 2 ds

(3) 已知为圆周 : x 2 y 2 z 2 a 2 , y x , 求
2 y 2 z 2 ds
解(2)
解(3)



L
x y ds
2 2


L
ads 2 a
2
2 y 2 z 2 ds

x 2 y 2 z 2 ds
I xdy ydx (1 1)dxdy 2 A 4
D
13
例2 计算I

L
(e x sin y my )dx (e x cos y m )dy , 其中L为
上半圆周y ax x 2 逆时针方向的有向弧。
解
Q P m 添上OA, 利用格林公式： x y
x y 解 ：P 2 2 x y
2 2
x y Q 2 x y2
2 2
P ( x y ) ( x y ) 2 y x 2 xy y 2 2 2 2 2 2 y (x y ) (x y ) Q x 2 y 2 ( x y ) 2 x x 2 2 xy y 2 2 2 2 x (x y ) ( x 2 y 2 )2
Q P 1) 公式 ( )dxdy Pdx Qdy. D为单连通域 x y D L
Q P ( )dxdy x y D
2） D的面积
L l
Pdx Qdy.
D为复连通域
1 A ydx xdy. 2 L
3）注意格林公式 应用的条件：P,Q具有一阶连续偏 导，L为封闭曲线。若不满足，则应(i) 挖洞。(ii) 添 线成为封闭曲线。
1 ( y 3 x 3 )dxdy 0 （利用对称性） 36 D 注： 应充分利用L的方程简化被积函数。
17
1 y 3 3 y ( e y x e )dxdy 36 D
( x y )dx ( x y )dy L：y=2－x2上从A( 2，0)到 例6 段。
D
19
( 3 y x )dx ( y 3 x )dy ( 6 ).计算 , 3 ( x y) L 其中L : A(

2 2 Q P 6 x 6 y 解： , 4 x y ( x y )
3
4

L
Pdx Qdy与路径无关
（1） 条件
（2）应用 ( x2 , y2 ) L Pdx Qdy ( x1 , y1 ) Pdx Qdy
P ( x , y1 )dx Q( x 2 , y )dy
x1 y1 x2 y2
y2 x2
Q( x1 , y )dy P ( x , y 2 )dx
参数α 、β 。
( t ) ( t ) T {cos , cos } , 2 2 2 2 (t ) (t ) (t ) (t )
(当α <β 时取正号， α >β 时取负号)
2
3 格林公式
2 2 顺时针方向 x y 解：L： 1 即9 x 2 4 y 2 36 4 9 1 3 y y 3 ( yx e ) dx ( xe xy 8 y )dy L 36 L
Q P 1 dxdy 36 D x y
例7 设曲线积分 xy 2dx y( x )dy 与路径无
L
( 1 ,1 )
关, 其中 具有连续的导数, 且( 0) 0 , 计算
( 0,0 )
xy 2dx y( x )dy .
9
例8 计算
I y 2 dx z 2 dy x 2 dz ,

Γ 为x2+y2+z2=a2(z≥0)与x2+y2＝ax（a>0）之交线，
8

3 y y 3 ( yx e ) dx ( xe xy 8 y )dy 例5 计算 L 9x2 4 y2 x2 y2 L: 1 顺时针方向 4 9 ( x y )dx ( x y )dy 例6 L x2 y2
L：y=2－x2上从A( 2，0)到 B( 2 ，0)的一段有向弧段。
15
e


2

4
2
y e 2 cos y )dy
1
ydx xdy 2 2 例4 计算 L 为 ( x 1 ) y 1逆时针方向 2 2 L x y
Q P 解 易验证当 ( x , y ) ( 0,0)时， x y
取l：x2+y2=r2，逆时针方向,则
从x轴正向看去为逆时针方向。
例9 证明曲线积分 I
cos(k , t )ds 0,L为xoy平面上的
L
任意简单闭曲线， k为一常向量, t是曲线L的单位切向量。
10
(1)
已知
x2 y2 L: 1, 4 3
L的长度为a，求

L
[3 x 2 4 y 2 sin( xy )]ds
L
xdy ydx (6) 计算I L | x|| y|
, L :| x | | y | 1逆时针方向.
7
例2 计算I (e x sin y my )dx (e x cos y m )dy ,
L
其中L为上半圆周y ax x 2 逆时针方向的有向弧。
L
解 利用格林公式
[3 y f
L D
x
( x , y )]dx f y ( x , y )dy
[ f
D
yx
3 f xy ]dxdy
3 dxdy 3 2 6
( 6) 计算I
L
L
xdy ydx , L :| x | | y | 1逆时针方向 . | x|| y|
所以
P Q y x
( x y 0)
2 2
18
取 l 为 x2+y2=2 上从点 A( B( 2 ，0)的有向曲线，则
2 ， 0) 经上半圆到点

L


0
( sin cos sin 2 cos 2 sin cos )d
0

2 (cos sin )( 2 sin ) 2 (cos sin ) 2 cos d 2
曲线积分习题课
一、内容提要及教学要求 1 会计算两类曲线积分
1) f ( x, y )ds f [ (t ), (t )] ' 2 (t ) ' 2 (t )dt (α <β )
L


2) P ( x , y )dx Q( x , y )dy
L

{ P[ (t ), (t )] (t ) Q[ (t ), (t )] (t )}dt
l
或
1 1 2 [1 ( 1)]dxdy 2 ( x 0)dx 0 2D 2
1 1 1 L l l( x y )dx ( x y )dy l BA BA 2 2 2 B
d
0

y 2
2 O
A 2 x
dxdy 0

L
(e x sin y my )dx (e x cos y m )dy
OA
A O 1 a 2 2 mdxdy m ( ) ma 2 2 8 D x x 2 ( e sin y my ) dx ( e cos y m ) dy 0 原式 ma OA
y1 x1
5 全微分求积 6 4个等价条件
4
与路径无关的四个等价命题
条 件
在单连通开区域 D 上 P ( x , y ), Q( x , y ) 具有 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
等 (1) 在D内L Pdx Qdy与路径无关
价 ( 2)
C Pdx Qdy 0,闭曲线C D