二次函数与二元一次方程

第二章 二次函数

《二次函数与一元二次方程（第2课时）》

教学设计说明

一、学生知识状况分析

本节课是北师大版九年级下册第二章最后一个课时，是学生在学习掌握了二次函数和一元二次方程的基础上，研究二次函数图像与一元二次方程的近似解之间的关系.与用函数的观点看方程（组）与不等式比较类似，因此学生对函数与方程之间的联系已不再陌生.通过本节课的学习，学生可以进一步加深对二次函数的图象和性质的理解.同时让学生进一步体会数形结合的思想，也是高中阶段学习一元二次不等式的基础.

二、教学任务分析

知识与技能目标：利用二次函数的图象求一元二次方程近似解. 过程与方法目标：经历探索用二次函数图象求解一元二次方程近似解的

过程，体会用二次函数函数图象求一元二次方程解的方法.

情感态度价值观：通过图象，体会数与形的完美结合，体会解决问题的

方法，培养学生合作交流的意识和探索精神.

教学重点：利用数形结合的思想估计一元二次方程近似解 教学难点：用逼近法求一元二次方程近似解

三、教学过程分析

一、课前检测，回顾迎新

1.若方程02=++c bx ax 的根为21-=x 和32=x ，则二次函数c bx ax y ++=2的

图象与x 轴交点坐标是 . 2.二次函数x x y 22+=的图象如图所示，则一元二次方程

022=+x x 的解为 .

注：课前的训练让学生用已有的知识研究二次函数与一元二次方程的精确解，为新课研究近似解提供研究思路.

二、合作交流，探索新知

你能利用二次函数的图象估计一元二次方程01022=-+x x 的根吗？ 1.自主探索

（1）观察二次函数的图象，抛物线与x 轴的交点的横坐标约 为________________.

（2）由图象可知，方程01022=-+x x 有 个根， 一个根在 和 之间，另一个根在 和 （填两个整数）.

（3）估计方程01022=-+x x 的近似根是 （精确到0.1）

注：此处以问题串的形式引导学生探索近似解的研究方法. 2.小结反思（小组合作交流，解决问题） （1）用什么方法验证你的结果是否正确？

（2）利用二次函数c bx ax y ++=2的图象求一元二次方程02=++c bx ax 的近似根的一般步骤.

步骤一：____________________________________________________ 步骤二：____________________________________________________ 步骤三：____________________________________________________

10

22-+=x x y

注：①作二次函数c bx ax y ++=2的图象.

②观察估计二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标. ③确定一元二次方程ax 2

+bx+c=0的解.

3.及时强化

试用二次函数的图象估计下列方程的近似根 （1）2822=-+x x ，（2）11022=-+x x .

你是如何解决这一问题的，在小组内交流你们的解法.

注：（1）2822=-+x x 是对案例01022=-+x x 作了简单的变形，学生可以按照上述的三个步骤操作，也可以将方程2822=-+x x 直接转化为方程

01022=-+x x ，进而应用例题的结论，引导学生多方面多角度研究问题.

（2）11022

=-+x x 可以转化为一般式进行常规研究，也可以引导学生作直线

1=y 与二次函数的交点，研究横坐标，引导学生学会知识的迁移.

三、运用提高，形成技能

1.二次函数1422++-=x x y 的图象如图所示，则一元二次方程01422=++-x x 的近似根是 （精确到0.1）

1022-+=x x y

2. 如图，已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ，点A ，B 均在抛物线上，

且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为（ ） A ．（2，3） B ．（3，2） C ．（3，3）

D ．（4，3）

3.利用二次函数的图象求一元二次方程01522=-+x x 的近似根.

1. 如图，一个圆形喷水池的中央竖立安装了一个柱形喷水装置OA ，A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径流下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y (m) 与水平距离x (m)之间的关系式是

4

7

22++-=x x y （x >0）.柱子OA 的高度为多少米？若不计其他因素，水池的

半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？(结果保留根号

)

注：此处的练习层次分明，在让学生形成成就感的同时，有利于培养学生的研究习惯.

四、小结提升，作业布置

将你本节课学到的方法与同伴交流，小组小结本课所学知识.

注：要给予学生时间进行小结和反思，并鼓励小组进行交流，最后通过学生的发言判断学生本课学习的情况.

四、教学反思

本课时内容在以往的教学中往往容易一带而过，以练代讲，但是这样的教学处理重结果，轻过程，学生无法体验到近似根的探索过程，特别是在计算器计算机盛行的时代，学生对近似根的求解往往不清楚.为此本课在设计过程中作了以下几点处理：

1.以问题的形式引导学生参与研究，在经历和体验中总结方法，进而理解问题的本质（“自主探索”环节）.

2.不仅关注学生对知识的应用，更要关注学生对知识进行迁移（“及时强化”环节）.

3.针对学生不太喜欢画图以及画图不是本节课的重点这一特点，在涉及到图形的时候，简单的采用直接提供，提升一点的，提供方格，便于学生操作，突出重点，提高效率.

4.合理利用几何画板，几何画板并不是求解近似解的工具，而是验证近似解的工具，所以在几何画板的应用上，主要用它来验证近似解的合理性.

5.在本课的教学中重点关注的学生探索分析问题的能力，结果反而可以淡化，因为近似解这一课时，本身就是对精确概念的一个补充，所以教学上也应该更多关注学生的思维的合理性，而不是关注结果的准确性.