数学建模之微分方程建模与平衡点理论

微分方程

列微分方程常用的方法： （1）根据规律列方程

利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立微分方程模型。 （2）微元分析法

利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。 （3）模拟近似法

在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。

一、模型的建立与求解

传染病模型

（1）基础模型

假设：t 时刻病人人数()x t 连续可微。每天每个病人有效接触（使病人治病的接触）的人数为λ，0t =时有0x 个病人。 建模：t 到t t +∆病人人数增加

()()()x t t x t x t t λ+∆-=∆ （1）

0,(0)dx

x x x dt

λ== （2） 解得：

0()t x t x e λ= （3）

所以，病人人数会随着t 的增加而无限增长，结论不符合实际。 （2）SI 模型

假设：1.疾病传播时期，总人数N 保持不变。人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。

2.每位病人每天平均有效接触λ人，λ为日接触率。有效接触后健康者变为病人。

依据：患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)* λs(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数) 建模：

di

N

Nsi dt

λ= （4） 由于

()()1s t i t += （5）

设t=0时刻病人所占的比例为0i ，则可建立Logistic 模型

0(1),(0)di

i i i i dt

λ=-= （6） 解得：

01()111kt

i t e i -=

⎛⎫+- ⎪⎝⎭

（7）

用Matlab 绘制图1()~i t t ，图2

~di

i dt

图形如下，

结论：在不考虑治愈情况下 ①当12i =

时di

dt 达到最大值m di dt ⎛⎫ ⎪⎝⎭，这时101ln 1m t i λ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭

②t →∞时人类全被感染。未考虑治愈情况。 （3）SIS 模型

假设：1.疾病传播时期，总人数N 保持不变。人群分为两类，健康者占总人数

的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。 2.每位病人每天平均有效接触λ人，λ为日接触率。有效接触后健康者

变为病人。 3.在所有病人中，每天有比例μ的人能被治愈，治愈后看作可被感染的

健康者，传染病的平均传染期为

1

μ

。

依据：患病人数的变化率= Nsi λ（患病人数的变化率）-Ni μ(治愈率） 建模：

di

N

Nsi Ni dt

λμ=- （8）

0(1),(0)di

i i i i i dt

λμ=-- = （9） 令σ为整个传染期内每位病人有效接触的平均人数，σλμ=。 则有

11di

i i dt λσ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

（10） 用Matlab 绘制出

~di

i dt

（图3，图5）和 i~t （图4，图6）。

结论：1σ=为一个阈值。 ①1σ>，()i t 极限值1

()1i σ

∞=-

为增函数，()i t 的增减性由0i 的大小确定。

②1σ≤，病人比例()i t 越来越小，最终趋于0。

（4）SIR 模型（某些疾病患者治愈后获得了很强的免疫力，不会再次被感染） 假设：①总人数N 不变，将人群分为健康者，病人，和病愈免疫的移除者，他

们在总人数中所占的比例依次为()s t ，()i t ，()r t 。

②λ为病人的日接触率，μ为日治愈率，σλμ=为传染期接触数。

建模：由假设1得

()()()1s t i t r t ++= （11）

dr

N

Ni dt

μ= （12） 令t=0时健康者与病人所占比例分别为0000(0),(0)s s i i >>，则有

00

,(0),(0)di

si i i i dt ds si s s dt

λμλ⎧=-=⎪⎪⎨

⎪=-=⎪⎩ （13）

利用Matlab 绘制出()i t ，()s t （图7），~i s （图8）图形，~i s 图形称为相轨线。

相轨线分析：利用相轨线讨论解()i t ，()s t 的性质。

~s i 平面称为相平面，相轨线在其上的定义域为(,)s i D ∈为

(){},0,0,1D s i s i s i =≥≥+≤ （14）

消去方程中的dt ，并由σ得到

011,s s di i

i ds s

σ==-= （15）

解得：

()000

1ln s

i s i s s σ=+-+

（16） 在定义域D 内，相轨线是上式所表示的曲线，如图9所示，其中箭头表示随着时间t 的增加()s t 和()i t 的变化趋势。下面分析()s t 、()i t 和()r t 的变化情况（t →∞时它们的极限值分别记做,s i ∞∞和r ∞）

①不论初始条件00,s i 如何，病人最终会消失，0i ∞= ，证明：

首先，由式（13），

0ds dt ≤，而()0s t ≥，所以s ∞存在；由式（11），0dr dt

≥，而()1r t ≤，所以r ∞存在；由式（11）得i ∞存在。