2.3 函数的单调性

∴函数y=f(x)在(0,+∞)上单调递减.
题型四
函数单调性与不等式
【例4】 (12分)函数f(x)对任意的a、b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时，f(x)>1.
（1）求证：f(x)是R上的增函数；
解析
依据增函数的定义可知，对于①③，当自变
量增大时，相对应的函数值也增大，所以①③可推
出函数y=f（x）为增函数.
题型分类
题型一 函数单调性的判断
深度剖析
【例1】 判断下列函数的单调性，并证明. 2 (1) f ( x) , x (1,); x 1 (2) f ( x) x 2 2 x 1, x [1,);
x1 解 设x1>x2>0,则 1, x2 x1 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x2 ) f ( x2 ) x2 x1 x1 f ( ) f ( x2 ) f ( x2 ) f ( ). x2 x2 x1 又∵当x>1时，f(x)<0，而 1, x2 x1 ∴ f ( ) 0, 即f(x1)-f(x2)<0, x2 ∴f（x1）<f(x2)，
当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2) ，那么就 说函数f（x）在区间D 上是减函数
图 象 描 述
自左向右看图象是 上升的 ___________
自左向右看图象是 下降的 __________
(2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是________或________，则称 增函数 减函数 函数f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，
________叫做f（x）的单调区间. 区间D
2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数
M满足 ①对于任意x∈I，
条件 ②存在x0∈I,使得 f（x0）=M _____________. 结论 M为最大值
①对于任意x∈I，都
②存在x0∈I,使得
都有___________； 有____________； f（x）≥M f（x）≤M
（2）用导数法. 证明 任取x1,x2∈(-1,+∞),
不妨设x1<x2,则x2-x1>0, a x2 x1 1且a x1 0,
a x2 a x1 a x1 (a x2 x1 1) 0,
又∵x1+1>0,x2+1>0,
x2 2 x1 2 ( x2 2)( x1 1) ( x1 2)( x2 1) x2 1 x1 1 ( x1 1)( x2 1) 3( x2 x1 ) 0, ( x1 1)( x2 1)
3.已知f(x)为R上的减函数，则满足 f (| 的实数x的取值范围是 A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0)∪(0,1) D.（-∞,-1)∪(1,+∞)
1 |) f (1) x
（ C）
1 | 解析 由已知条件： | 1, x
| x | 1 , 不等式等价于 x 0
而x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2).
因此f(x)在R上是减函数.
方法二 设x1>x2, 则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)
=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2). 又∵x>0时,f(x)<0. 而x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2), ∴f(x)在R上为减函数. (2)解 ∵f(x)在R上是减函数, ∴f(x)在［-3,3］上也是减函数,
的单调性密切相关，其单调性的规律为“同增异减”，
即f(u)与g(x)有相同的单调性，则f[g(x)]必为增函 数，若具有不同的单调性，则f[g(x)]必为减函数. （2）讨论复合函数单调性的步骤是： ①求出复合函数的定义域；
②把复合函数分解成若干个常见的基本函数并判断其
单调性； ③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围； ④根据上述复合函数的单调性规律判断其单调性.
x2 2 x1 2 0, 于是f(x2)-f(x1)= a a x2 1 x1 1 故函数f(x)在（-1,+∞）上为增函数.
x2 x1
题型二
复合函数的单调性
【例2】 已知函数f(x)=log2(x2-2x-3)，则使f(x)为减函 数的区间是( D ) A.(3,6) C.(1,2) 思维启迪 解析 B.(-1,0) D.（-3,-1）
f ( x1 ) 与1的大小.有时根据需要,需作适当的变形: f ( x2 ) x 如 x1 x2 1 或x1=x2+x1-x2等. x2
或
知能迁移3 设函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的函 数,且满足下面两个条件: ①对于任意正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y); ②当x>1时,f(x)<0, 试判断函数y=f(x)在(0,+∞)上的单调性.
下几个命题： ①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0； ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0；
f ( x1 ) f ( x2 ) ③ 0; x1 x2 ④ f ( x1 ) f ( x2 ) 0. x1 x2 ①③ 其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为______.
2
2
Hale Waihona Puke Baidu
2
故x∈(1,+∞).
2
题型三
抽象函数的单调性与最值
【例3】 已知函数f(x)对于任意x,y∈R，总有f（x）
2 +f（y）=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0,f(1)= . 3
（1）求证：f（x）在R上是减函数；
（2）求f（x）在［-3，3］上的最大值和最小值. 思维启迪 问题（1）对于抽象函数的问题要根据 题设及所求的结论来适当取特殊值,证明f（x）为 单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证.问 题(2)用函数的单调性即可求最值.
以看出在（0，2）上都是减函数.
2.已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数,则f(x)=0的 根 A.有且只有一个 C.至多有一个 B.有2个 D.以上均不对 （ C）
解析
∵f（x）在R上是增函数，
∴对任意x1,x2∈R,若x1<x2,则f(x1)<f(x2), 反之亦成立.故若存在f(x0)=0,则x0只有一个. 若对任意x∈R都有f(x)≠0,则f(x)=0无根.
故函数f(x)=-x2+2x+1在［1,+∞）上是减函数.
（3）函数f(x)= x 1 在［-1，+∞）上为增函数， 证明如下： 任取x1、x2∈［-1,+∞）且-1≤x1<x2， 则有x1-x2<0，
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 1 x2 1 ( x1 1 x2 1)( x1 1 x2 1) x1 1 x2 1
( x1 1) ( x2 1) x1 1 x2 1

x1 x2 , x1 1 x2 1
1 x1 x2 , x1 x2 0, x1 1 0, x2 1 0. x1 x2 0, x1 1 x2 1 ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
则有x1-x2<0，
2 2 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 1 x2 1 2( x2 x1 ) , ( x1 1)( x2 1)
2( x2 x1 ) 0, ( x1 1)( x2 1)
∵-1<x1<x2,∴x1+1>0,x2+1>0,x2-x1>0.
知能迁移2
函数y= log 1 (2 x 2 3x 1) 的递减区间为
2
（ A） B.(, 3 ]
A.(1,+∞)
1 C.( , ) 2
解析 图如图所示，
作出t=2x2-3x+1的示意
4 D.[ 3 , ) 4
∵0< 1 <1,∴ y log 1 t 递减.
要使 y log 1 (2 x 3x 1) 递减,t应该大于0且递增,

即f(x1)-f(x2)>0，所以f(x1)>f(x2).
2 故 f ( x) 在（-1，+∞）上为减函数. x 1
（2）函数f(x)=-x2+2x+1在［1,+∞）上为减函数，
证明如下：
任取x1、x2∈R，且x2>x1≥1,
2 则f(x1)-f(x2)= ( x 2 2 x1 1) ( x2 2 x2 1) 1
_______________. f（x0）=M
M为最小值
基础自测
1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是 (B )
A.y=-x+1
B.y= x 2 2-4x+5 C.y=x D.y x 2 2-4x+5, 解析 ∵y=-x+1,y=x y 分别为一次函 x 数、 二次函数、反比例函数,从它们的图象上可
§2.3 函数的单调性
基础知识 自主学习
要点梳理
1.函数的单调性 （1）单调函数的定义 增函数 减函数
定 义
一般地，设函数f（x）的定义域为I.如果对于定 义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
当x1<x2时,都有 定 义 f（x1）<f(x2) ，那 么就说函数f(x)在区 间D上是增函数
∴f(x)在［-3,3］上的最大值和最小值分别为f(-3)
与f(3). 而f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2. ∴f(x)在［-3,3］上的最大值为2,最小值为-2.
探究提高
对于抽象函数的单调性的判断仍然要
紧扣单调性的定义,结合题目所给性质和相应的条件,
对任意x1,x2在所给区间内比较f(x1)-f(x2)与0的大小,
（1）证明
方法一 ∵函数f(x)对于任意x,y∈R总
有f(x)+f(y)=f(x+y), ∴令x=y=0，得f(0)=0. 再令y=-x,得f(-x)=-f(x).
在R上任取x1>x2,则x1-x2>0,
f（x1）-f（x2）=f（x1）+f(-x2)=f(x1-x2). 又∵x>0时,f(x)<0,
故函数f(x)= x 1 在［-1,+∞）上为增函数. 探究提高 对于给出具体解析式的函数，判断或 证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义 （基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断）
求解.
知能迁移1
x2 (a 1). x 1 证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
已知函数f ( x) a x 思维启迪 （1）用函数单调性的定义.
解得-1<x<1,且x≠0.
4.函数y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是减函数，则
( D) A. k 1 B.k 1 2 2 C. k 1 D. k 1 2 2 解析 使y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是减函数，
1 则2k+1<0，即 k . 2
5.设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量，有以
先求得函数的定义域，然后再结合二
次函数、对数函数的单调性进行考虑. 由x2-2x-3>0，得x<-1或x>3,结合二次函数
的对称轴直线x=1知，在对称轴左边函数y=x2-2x-3
是减函数，所以在区间（-∞，-1）上是减函数， 由此可得D项符合.
探究提高
（1）复合函数是指由若干个函数复合而
成的函数，它的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)
(3) f ( x) x 1, x [1,).
思维启迪 先判断单调性，再用单调性的定义 证明.（1）采用通分进行变形，（2）采用因式 分解进行变形，（3）采用分子有理化的方式进 行变形.
解
（1）函数 f ( x)
2 在(1,)上为减函数. x 1
下面采用定义证明:
任取x1、x2∈（-1，+∞），且-1<x1<x2，
2 ( x2 x 2 ) 2( x1 x2 ) 1
=(x2+x1)(x2-x1)+2(x1-x2) =(x2-x1)(x2+x1-2). ∵x2>x1≥1,∴x2-x1>0,x2+x1>2,x2+x1-2>0, ∴f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x2+x1-2)>0,
即有f(x1)>f(x2).