课时跟踪检测1高三数学2018
2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测24文新人教A版.
课时跟踪检测(二十四)[高考基础题型得分练]1．[2017·黑龙江哈尔滨模拟]在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则C ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 答案：C解析：解法一：∵S △ABC ＝12|AB ||AC |sin A ＝32，即12×3×1×sin A ＝32，∴sin A ＝1，∴A ＝90°，∴C ＝60°，故选C. 解法二：由正弦定理，得sin B AC ＝sin C AB ，即12＝sin C3，∴C ＝60°或C ＝120°.当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝34≠32(舍去)．而当C ＝60°时，A ＝90°， S △ABC ＝32，符合条件，故C ＝60°.故选C. 2．在△ABC 中，A ＝60°，BC ＝10，D 是AB 边上不同于A ，B 的任意一点，CD ＝2，△BCD 的面积为1，则AC 的长为( )A ．2 3 B. 3 C.33 D.233答案：D解析：由S △BCD ＝1，可得12×CD ×BC ×sin∠DCB ＝1，即sin ∠DCB ＝55，所以cos ∠DCB＝255，或cos ∠DCB ＝－255，又∠DCB <∠ACB ＝180°－A －B ＝120°－B <120°，所以cos ∠DCB >－12，所以cos ∠DCB ＝－255舍去．在△BCD 中，cos ∠DCB ＝CD 2＋BC 2－BD 22CD ·BC ＝255，解得BD ＝2，所以cos ∠DBC ＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝31010，所以sin ∠DBC ＝1010.在△ABC 中，由正弦定理可得AC ＝BC sin B sin A ＝233，故选D. 3．[2017·安徽合肥第一次质检]△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A＝78，c －a ＝2，b ＝3，则a ＝( ) A ．2 B.52 C ．3 D.72答案：A解析：由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒a 2＝9＋(a ＋2)2－2×3×(a ＋2)×78⇒a＝2，故选A.4．如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C (△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c )，然后给出了三种测量方案：①测量A ，C ，b ；②测量a ，b ，C ；③测量A ，B ，a .则一定能确定A ，B 间的距离的所有方案的序号为( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 答案：D解析：由题意可知，在①②③三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB .5．[2017·东北三省哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考]已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A.12 B ．1 C.3 D ．2 答案：C解析：∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4，∴△ABC 的面积为12bc sin A＝3，故选C.6．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高是( )A.4003米 B.40033米C ．200 3 米D ．200 米答案：A解析：如图所示，AB 为山高，CD 为塔高，则由题意知，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，AB ＝200(米)．则AC ＝ABcos 30°＝40033(米)． 在△ACD 中，∠CAD ＝60°－30°＝30°， ∠ACD ＝30°， ∴∠ADC ＝120°.由正弦定理，得CD sin 30°＝ACsin 120°，∴CD ＝AC sin 30°sin 120°＝4003(米)．7．[2017·海南海口调研]如图，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223B.24 C.64 D.63答案：C解析：∵DE ＝22， ∴BD ＝AD ＝DEsin A ＝22sin A，∵∠BDC ＝2A ，∴在△BCD 中，由正弦定理，可得BC sin ∠BDC ＝BDsin C.∴4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A， ∴cos A ＝64. 8．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 答案：B 解析：∵cos 2B 2＝1＋cos B2，cos 2B 2＝a ＋c 2c， ∴(1＋cos B )·c ＝a ＋c ，∴a ＝cos B ·c ＝a 2＋c 2－b 22a，∴2a 2＝a 2＋c 2－b 2，∴a 2＋b 2＝c 2， ∴△ABC 为直角三角形．9．[2017·北京海淀模拟]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c ＝4，sinC ＝2sin A ，sin B ＝154，则S △ABC ＝________. 答案：15解析：∵sin C ＝2sin A ，由正弦定理，可得c ＝2a ，∵c ＝4，∴a ＝2，∴S △ABC ＝12ac sinB ＝12×2×4×154＝15. 10．已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2sin B ＋(a 2＋b 2－c 2)sin A ＝0，tan A ＝2sin B ＋12cos B ＋1，则角A 等于________．答案：7π36解析：在△ABC 中，a 2sin B ＋(a 2＋b 2－c 2)sin A ＝0，∴a 2sin B ＋2ab cos C sin A ＝0，a sin B ＋2b cos C sin A ＝0，sin A sin B ＋2sin B cos C sin A ＝0， 又sin A ≠0，sin B ≠0， ∴cos C ＝－12，且0<C <π，∴C ＝2π3，则A ＝π3－B ，又tan A ＝2sin B ＋12cos B ＋1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ·2cos B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ·2sin B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ， ∴2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－B cos B －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B sin B＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ， 即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π3＋B ，∴π3－2B ＝B －π12或π3－2B －π12＋B ＝π，解得B ＝5π36或B ＝－3π4(舍去)，故A ＝π3－5π36＝7π36.11.如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．答案： 3解析：sin ∠BAC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋∠BAD ＝cos ∠BAD ， ∴cos ∠BAD ＝223.BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD＝(32)2＋32－2×32×3×223，即BD 2＝3，BD ＝ 3.12．如图，为测得河岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点C 到点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米．答案：10 6解析：在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°， 由正弦定理，得BC sin 45°＝CDsin 30°，所以BC ＝CD sin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan 60°＝AB BC， AB ＝BC tan 60°＝106(米)．[冲刺名校能力提升练]1．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 答案：A解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝3ac ，又cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，所以cos B ＝32，所以B ＝30°. 2．[2017·湖南衡阳一模]如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)：AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，DA ＝5，且B 与D 互补，则AC 的长为( )A ．7 kmB ．8 kmC ．9 kmD ．6 km 答案：A解析：在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，即AC 2＝25＋64－2×5×8cos B ＝89－80cos B ．在△ADC 中，由余弦定理，得AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos D ，即AC 2＝25＋9－2×5×3cos D ＝34－30cos D ．因为B 与D 互补，所以cos B ＝－cos D ，所以－34－AC 230＝89－AC 280，解得AC ＝7(km)，故选A.3．[2017·河北石家庄模拟]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．3 答案：C解析：由c sin A ＝3a cos C ，得 sin C sin A ＝3sin A cos C ，又在△ABC 中，sin A ≠0，所以sin C ＝3cos C ，tan C ＝3，C ∈(0，π)，所以C ＝π3. 所以sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6，A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以当A ＝π3时，sin A ＋sin B 取得最大值3，故选C.4．[2017·河南洛阳统考]如图，在△ABC 中，sin ∠ABC 2＝33，AB ＝2，点D 在线段AC上，且AD ＝2DC ，BD ＝433，则cos C ＝________.答案：79解析：由条件，得cos ∠ABC ＝13，sin ∠ABC ＝223.在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝3b ， 则由余弦定理得9b 2＝a 2＋4－43a .①因为∠ADB 与∠CDB 互补， 所以cos ∠ADB ＝－cos ∠CDB ，所以4b 2＋163－41633b ＝－b 2＋163－a 2833b ，所以3b 2－a 2＝－6，② 联合①②解得a ＝3，b ＝1， 所以AC ＝3，BC ＝3.在△ABC 中，cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ·AC＝32＋32－222×3×3＝79. 5．[2016·北京卷]在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求角B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值． 解：(1)由a 2＋c 2＝b 2＋2ac ，得a 2＋c 2－b 2＝2ac .由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又0＜B ＜π，所以B ＝π4.(2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π4，所以C ＝3π4－A,0＜A ＜3π4.所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－A＝2cos A ＋cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22sin A ＋22cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4.因为0＜A ＜3π4，所以π4＜A ＋π4＜π，故当A ＋π4＝π2即A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值为1.6．如图所示，摄影爱好者S 在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为π6.设S 的眼睛到地面的距离为3米．(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2)立柱的顶端有一长2米的彩杆MN 绕其中点O 在S 与立柱所在的平面内旋转．摄影爱好者有一视角范围为π3的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．解：(1)如图，作SC 垂直OB 于C ，11 则∠CSB ＝π6，∠ASB ＝π3.又SA ＝3，故在Rt △SAB 中，可求得BA ＝3， 即摄影爱好者到立柱的水平距离为3米．在Rt △SCO 中，由SC ＝3，∠CSO ＝π6，可求得OC ＝ 3.因为BC ＝SA ＝3，故OB ＝23，即立柱高为23米．(2)连接SM ，SN ，设SN ＝a ，SM ＝b .由(1)知，SO ＝23，在△SOM 和△SON 中，cos ∠SOM ＝－cos ∠SON ， 即 23 2＋1－b 22×23×1＝－ 23 2＋1－a22×23×1，可得a 2＋b 2＝26. 在△MSN 中，cos ∠MSN ＝a 2＋b 2－222ab ＝11ab ≥22a 2＋b 2＝1113>12，当且仅当a ＝b 时等号成立，又∠MSN ∈(0，π)，则0<∠MSN <π3.故摄影爱好者S 可以将彩杆全部摄入画面．。
(课标通用)2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测30理
课时跟踪检测(三十)[高考基础题型得分练]1．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线答案：D解析：PA →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )， ∴PA →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2，∴y 2＝x ＋6.2．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 答案：C解析：由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得 AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0，即2AC →·BA →＝0， ∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 一定是直角三角形．3．[2017·广东深圳调研]在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，则AB →·AC →＝( ) A ．2 3 B ．2 C ．－2 3 D ．－2答案：D解析：由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝22＋22－ 23 22×2×2＝－12，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2，故选D.4．已知|a|＝2|b|，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x －a·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是( )A ．－π6B ．－π3C.π3 D ．2π3答案：D解析：由已知，可得Δ＝|a |2＋4a ·b ＝0， 即4|b |2＋4×2|b |2cos θ＝0，∴cos θ＝－12.又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.5．[2017·浙江杭州质量检测]设O 是△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)，若AO →＝13AB→＋13AC →，则∠BAC ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°答案：C解析：取BC 的中点D ，连接AD ，则AB →＋AC →＝2AD →.由题意，得3AO →＝2AD →，∴AD 为BC 的中线且O 为重心．又O 为外心，∴△ABC 为正三角形，∴∠BAC ＝60°，故选C.6．已知|a|＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a·b x 在R 上有极值，则向量a 与b 的夹角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，πC.⎝⎛⎦⎥⎤π3，πD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3答案：C解析：设a 与b 的夹角为θ. ∵f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a·b x ，∴f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a·b ， ∵函数f (x )在R 上有极值，∴方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有两个不同的实数根，即Δ＝|a|2－4a·b ＞0，∴a·b ＜a 24.又∵|a|＝2|b |≠0，∴cos θ＝a·b |a||b |＜a 24a 22＝12，即cos θ＜12.又∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π，故选C.7．若非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰非等边三角形 答案：C解析：由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0知，角A 的平分线与BC 垂直，∴|AB →|＝|AC →|； 由AB→|AB →|·AC →|AC →|＝12知，cos A ＝12，∴A ＝60°. ∴△ABC 为等边三角形．8．在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝3，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 B ．[2,4] C ．[3,6] D ．[4,6]答案：D解析：设MN 的中点为E ，则有CM →＋CN →＝2CE →， CM →·CN →＝14[(CM →＋CN →)2－(CM →－CN →)2]＝CE →2－14NM →2＝CE →2－12.又|CE →|的最小值等于点C 到AB 的距离，即322，故CM →·CN →的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫3222－12＝4.当点M 与点A (或B )重合时，|CE →|达到最大，易知|CE →|的最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＋ 2 2＝132， 故CM →·CN →的最大值为6， 因此CM →·CN →的取值范围是[4,6]．9．[2017·广东广州综合测试]在△ABC 中，若AB →·AC →＝AB →·CB →＝2，则边AB 的长等于________．答案：2解析：由题意知，AB →·AC →＋AB →·CB →＝4，即AB →·(AC →＋CB →)＝4，即AB →·AB →＝4，∴|AB →|＝2.10．[2017·天津十二区县重点中学联考]在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC →·EM →的最大值为________．答案：32解析：以点A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则C (1,1)，M ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，设E (x,0)，x ∈[0,1]，则EC →·EM →＝(1－x,1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x ，12＝(1－x )2＋12，当x ∈[0,1]时，(1－x )2＋12单调递减，当x ＝0时，EC →·EM →取得最大值32.11．[2017·山西太原模拟]已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值与最小值的和为________．答案：4解析：由题意，可得a·b ＝3cos θ－sin θ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6，则|2a －b |＝ 2a －b 2＝4|a|2＋|b|2－4a·b ＝8－8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈[0,4]， 所以|2a －b |的最大值与最小值的和为4.12．在△ABC 中，A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2，设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－2，则λ＝________.答案：23解析：∵BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →， CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，由BQ →·CP →＝－2，可得[(1－λ)AC →－AB →]·(λAB →－AC →)＝－2.化简，得(1－λ)λAC →·AB →－(1－λ)AC →2－λAB →2＋AB →·AC →＝－2，又AC →·AB →＝0，AC →2＝4，AB →2＝1，∴－(1－λ)×4－λ×1＝－2，解得λ＝23.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·湖南衡阳八中高三月考]已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案：B解析：因为AB ⊥BC ，点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上， 故AC 过圆心O ，PA →＋PC →＝2PO →， |PA →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋PB →|＝|3PO →＋OB →|.当PO →与OB →同向共线时，即B (－1,0)时，|PA →＋PB →＋PC →|取得最大值7.故选B.2．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3(－2<x <10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →＝( )A ．－32B ．－16C ．16D ．32答案：D解析：函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3(－2<x <10)的图象如图所示．由f (x )＝0，解得x ＝4，即A (4,0)，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，根据对称性可知，A 是B ，C 的中点，所以OB →＋OC →＝2OA →，所以(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2|OA →|2＝2×42＝32.3．在△ABC 中，满足|AC →|＝|BC →|，(AB →－3AC →)⊥CB →，则角C 的大小为( ) A.π3 B ．π6C.2π3D ．5π6答案：C解析：设△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 由(AB →－3AC →)⊥CB →，可得(AB →－3AC →)·CB →＝(AB →－3AC →)·(AB →－AC →) ＝c 2＋3b 2－4AB →·AC → ＝c 2＋3b 2－4cb cos A＝c 2＋3b 2－2(b 2＋c 2－a 2)＝0， 即b 2－c 2＋2a 2＝0.又由|BC →|＝|AC →|可得a ＝b ，则c 2＝3a 2， 由余弦定理可得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋a 2－3a 22a 2＝－12， 所以△ABC 的内角C ＝2π3.4．已知A ，B ，C 是圆x 2＋y 2＝1上的三点，且OA →＋OB →＝OC →，其中O 为坐标原点，则▱OACB 的面积等于________．答案：32解析：如图所示，由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1知，▱OACB 是边长为1的菱形，且∠AOB ＝120°. ∴S ▱OACB ＝|OA →||OB →|sin 120°＝1×1×32＝32.5.[2017·江西五校联考]已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4.(1)若m·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cosB ＝b cosC ，求函数f (A )的取值范围．解：m·n ＝3sin x 4cos x4＋cos 2x4 ＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12. (1)∵m·n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12.(2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理，得 (2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )． ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0， ∴cos B ＝12，B ＝π3，∴0＜A ＜2π3，∴π6＜A 2＋π6＜π2，12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＜1. 又∵f (x )＝m·n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12，故1＜f (A )＜32.故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.6．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1,0)和点B (－1,0)，|OC →|＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点．(1)若x ＝3π4，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →|的最小值；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos x ，sin x －2cos x )，求m·n 的最小值及对应的x 值．解：(1)设D (t,0)(0≤t ≤1)， 由题意知，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22， 所以OC →＋OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22，所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222＋12(0≤t ≤1)， 所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|的最小值为22. (2)由题意得C (cos x ，sin x )，m ＝BC →＝(cos x ＋1，sin x )， 则m·n ＝1－cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x＝1－cos 2x －sin 2x ＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4，所以当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4取得最大值1. 所以m·n 的最小值为1－2，此时x ＝π8.。
(课标通用)2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测42理
《格林兄弟童话》读后感：充满想象力的童话世界
《格林兄弟童话》是由两兄弟格林兄弟（Jacob and Wilhelm Grimm）于19世纪中期整理收集的童话故事集。
格林兄弟的童话被认为是童话文学的奠基之作，在全世界流传至今。
读完格林兄弟的童话，让我们重新认识到童话故事，以及充满想象力的童话世界。
其中有很多童话让我们对未来充满无限的憧憬，而其中的道理也给了我们深刻的启示。
童话中有许多古老的传说，比如“拇指小姐”、“灰姑娘”、“睡美人”等。
这些故事让我们感受到充满智慧的古老神话，也让我们重视生活中的美德，更加珍惜爱情和友谊。
童话的世界不仅仅是一个充满想象力的世界，更是一个充满智慧的世界。
在童话中，我们可以看到多种多样的主题，比如勇敢和勇气、友谊和爱情、正义和勇气等等，这些都是童话中最美好的主题。
这也让我们从童话中学习到许多知识，比如勇敢面对困难、坚持正义、珍惜友谊和爱情等。
而且，童话中的故事也让我们感受到生活中的温暖和希望。
此外，童话中还充满了幻想和想象力，比如有一个魔法的世界，有充满魔力的神奇动物，有美丽的公主，有勇敢的骑士，有可爱的小精灵，有恐怖的巨兽等等，这些都是童话世界中最精彩的部分。
总之，《格林兄弟童话》是一部充满想象力的童话，它不仅给我们带来精彩的阅读体验，更让我们在童话世界中体会到智慧、勇气和爱情，让我们更加坚定自己的信念。
(课标通用)2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测29理
课时跟踪检测(二十九)[高考基础题型得分练]1．已知|a|＝6，|b|＝3，向量a 在b 方向上的投影是4，则a²b ＝( ) A ．12 B ．8 C ．－8 D ．2答案：A解析：∵|a |cos 〈a ，b 〉＝4，|b|＝3，∴a²b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝3³4＝12.2．[2017²甘肃兰州诊断考试]已知向量a ，b 满足a²b ＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a －b |＝( )A ．0B ．1C ．2D ． 5答案：D解析：|a －b|＝ a －b 2＝a 2－2a²b ＋b 2＝1＋4＝ 5.3．[2017²山西太原二模]已知a ＝(1，－2)，b ＝(x,2)，且a∥b ，则|b |＝( ) A ．2 5 B ． 5 C ．10 D ．5答案：B解析：∵a∥b ，∴1x ＝－22，解得x ＝－1，∴b ＝(－1,2)，∴|b |＝ －1 2＋22＝ 5.故选B.4．[2017²东北三校联考]向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，(a ＋b )⊥(2a －b )，则向量a 与b 的夹角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°答案：C解析：∵(a ＋b )⊥(2a －b )，∴(a ＋b )²(2a －b )＝0，∴2a 2－a²b ＋2b²a －b 2＝0，∴a²b ＝0， ∴向量a 与b 的夹角为90°.故选C.5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73答案：D解析：设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，a ＋b ＝(3，－1)． 又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c⊥(a ＋b )，∴(x ，y )²(3，－1)＝3x －y ＝0.② 联立①②，解得x ＝－79，y ＝－73.6．如图，已知点P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则AP →²(AB →＋AC →)( )A ．最大值为8B ．为定值6C ．最小值为2D ．与P 的位置有关答案：B解析：设BC 的中点为D ，连接AD ，AP →，AD →的夹角为θ，则有AP →²(AB →＋AC →)＝2AP →²AD →＝2|AD →|²(|AP →|cos θ)＝2|AD →|2＝6.7．[2015²陕西卷]对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( ) A ．|a ²b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )²(a －b )＝a 2－b 2答案：B解析：根据a ²b ＝|a ||b |cos θ，又cos θ≤1，知|a ²b |≤|a ||b |，A 恒成立．当向量a 和b 方向不相同时，|a －b |>||a |－|b ||，B 不恒成立．根据|a ＋b |2＝a 2＋2a ²b ＋b 2＝(a ＋b )2，C 恒成立. 根据向量的运算性质，得(a ＋b )²(a －b )＝a 2－b 2，D 恒成立．8．已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →²OB →＝________. 答案：9解析：因为OA →⊥AB →，所以OA →²AB →＝0.所以OA →²OB →＝OA →²(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →²AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9.9．[2017²河南六市联考]已知向量a ，b ，其中|a|＝2，|b|＝2，且(a －b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是________．答案：π4解析：设向量a 和b 的夹角为θ，由题意知， (a －b )²a ＝a 2－a²b ＝0，∴2－22cos θ＝0， 解得cos θ＝22，∴θ＝π4. 10．[2017²河南洛阳统考]已知A (－1，cos θ)，B (sin θ，1)，若|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|(O 为坐标原点)，则锐角θ＝________.答案：π4解析：解法一(利用几何意义求解)：由已知可知，OA →＋OB →是以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB 的对角线向量OD →，OA →－OB →则是对角线向量BA →，于是对角线相等的平行四边形为矩形．故OA ⊥OB .因此OA →²OB →＝0，∴锐角θ＝π4.解法二(坐标法)：OA →＋OB →＝(sin θ－1，cos θ＋1)，OA →－OB →＝(－sin θ－1，cos θ－1)，由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|可得(sin θ－1)2＋(cos θ＋1)2＝(－sin θ－1)2＋(cos θ－1)2，整理得sin θ＝cos θ，于是锐角θ＝π4.11．[2017²山东潍坊模拟]如图，在△ABC 中，O 为BC 的中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________.答案：132解析：因为〈AB →，AC →〉＝60°，所以AB →²AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1³3³12＝32.又AO →＝12(AB →＋AC →)，所以AO →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋2AB →²AC →＋AC →2)＝14³(1＋3＋9)＝134，所以|OA →|＝132.[冲刺名校能力提升练]1．[2017²河北衡水模拟]已知|a|＝1，|b|＝2，a 与b 的夹角为π3，那么|4a －b |＝( )A ．2B ．6C ．2 3D ．12答案：C解析：∵|4a －b|2＝16a 2＋b 2－8a²b ＝16³1＋4－8³1³2³cos π3＝12.∴|4a －b |＝2 3.2．[2017²辽宁沈阳质量监测]在△ABC 中，若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →²AF →＝( )A.89 B ．109C.259D ．269答案：B解析：解法一：由向量的几何意义可知，△ABC 是以A 为直角的直角三角形，E ，F 为BC 的三等分点，不妨设AE →＝23AB →＋13AC →，AF →＝13AB →＋23AC →，因此AE →²AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →²⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →＝29AB →2＋29AC →2＋59AB →²AC →＝29³4＋29³1＝109.故选B. 解法二：由向量的几何意义可知，△ABC 是以A 为直角的直角三角形，以AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，E ，F 为BC 的三等分点，不妨设E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，因此AE →²AF →＝23³43＋23³13＝109，故选B.3．[2017²河南商丘模拟]在△ABC 中，已知|AB →|＝4，|AC →|＝1，S △ABC ＝3，则AB →²AC →的值为( )A ．－2B ．2C ．±4D ．±2答案：D解析：∵S △ABC ＝12|AB ||AC |sin ∠BAC＝12³4³1³sin∠BAC ＝3， ∴sin ∠BAC ＝32，cos ∠BAC ＝±12， ∴AB →²AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝±2.4．[2017²江西八校联考]在△ABC 中，AB →＝(2，3)，AC →＝(1，2)，则△ABC 的面积为________．答案：1－32解析：由题意得，(|AB →|² |AC →|)2＝(|AB →||AC →|²cos〈AB →，AC →〉)2＋(|AB →||AC →|sin 〈AB →，AC →〉)2，即(|AB →||AC →|)2＝(AB →²AC →)2＋(|AB →||AC →|² sin 〈AB →，AC →〉)2，∴|AB →||AC →|sin 〈AB →，AC →〉＝2－3， ∴S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin 〈AB →，AC →〉＝1－32.5.已知|a|＝4，|b|＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b|，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )?解：由已知得，a²b ＝4³8³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16.(1)①∵|a ＋b|2＝a 2＋2a²b ＋b 2＝16＋2³(－16)＋64＝48，∴|a ＋b|＝4 3. ②∵|4a －2b|2＝16a 2－16a²b ＋4b 2＝16³16－16³(－16)＋4³64＝768，∴|4a －2b|＝16 3.(2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )，∴(a ＋2b )²(k a －b )＝0， ∴k a 2＋(2k －1)a²b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2³64＝0，解得k ＝－7. 即当k ＝－7时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．6．如图，O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠AOC ＝120°，向量OA →，OB →，OC →的模分别为2，3，4.(1)求|OA →＋OB →＋OC →|；(2)若OC →＝mOA →＋nOB →，求实数m ，n 的值． 解：(1)由已知条件易知， OA →²OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ＝－3，OA →²OC →＝|OA →||OC →|cos ∠AOC ＝－4，OB →²OC →＝0，∴|OA →＋OB →＋OC →|2＝OA →2＋OB →2＋OC →2＋2(OA →²OB →＋OA →²OC →＋OB →²OC →)＝9，∴|OA →＋OB →＋OC →|＝3.(2)由OC →＝mOA →＋nOB →可得， OA →²OC →＝mOA →2＋nOA →²OB →，且OB →²OC →＝mOB →²OA →＋nOB →2，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m －3n ＝－4，－3m ＋3n ＝0，∴m ＝n ＝－4.。
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测18 Word版含答案
课时跟踪检测(十八)．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )．·°＋(∈)．π＋°(∈)．π＋(∈)．·°－°(∈)答案：解析：与的终边相同的角可以写成π＋(∈)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有正确．．已知角α的终边经过点(－)，则α＝( )．．－．－答案：解析：由三角函数的定义知，α＝＝－.．已知点( α，α)在第三象限，则角α的终边在( )．第二象限．第一象限．第四象限．第三象限答案：解析：由题意知α＜，α＜，∴α是第二象限角．．若α>，则( )．α>．α>．α>．α>答案：解析：由α>可得，α的终边在第一象限或第三象限，此时α与α同号，故α＝αα>，故选.．已知点(π)， (π)))落在角θ的终边上，且θ∈如图所示，在直角坐标系中，射线交单位圆于点，若∠＝θ，则点的坐标是( )．(－θ，θ)．( θ，θ)．(－θ，θ)．( θ，θ)答案：解析：由三角函数的定义知＝θ，＝θ，故选.．已知锐角α的终边上一点( °，＋°)，则α＝( )．°．°．°．°答案：解析：由题意可知°＞＋°＞，点在第一象限，的斜率α＝° °)＝° °)＝° °)＝° °)＝°，由α为锐角，可知α为°.故选.．函数＝－(()))的定义域为．答案：，∈解析：∵≥，作直线＝交单位圆于，两点，连接，，则与围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为.．在直角坐标系中，是原点，点的坐标为(，－)，将绕逆时针旋转°到点，则点的坐标为．答案：(，)解析：设(，)，由题意知＝＝，∠＝°，且点在第一象限，∴＝°＝，∴＝°＝，∴点的坐标为(，)．．如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在()，此时圆上一点的位置在()，圆在轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于()时，的坐标为．。
课时跟踪检测(一) 集合
输入高考干货领取更多资料资料正文内容下拉开始>>课时跟踪检测（一）集合1．已知集合M＝{x|x2＋x－2＝0},N＝{0,1},则M∪N＝()A．{－2,0,1}B．{1}C．{0} D．∅解析:选A集合M＝{x|x2＋x－2＝0}＝{x|x＝－2或x＝1}＝{－2,1},N＝{0,1},则M∪N ＝{－2,0,1}．故选A.2．(2018·浙江高考)已知全集U＝{1,2,3,4,5},A＝{1,3},则∁U A＝()A．∅B．{1,3}C．{2,4,5} D．{1,2,3,4,5}解析:选C∵U＝{1,2,3,4,5},A＝{1,3},∴∁U A＝{2,4,5}．3．(2019·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝x2－2x},B＝{y|y＝x2＋1},则A∩B＝() A．[1,＋∞) B．[2,＋∞)C．(－∞,0]∪[2,＋∞) D．[0,＋∞)解析:选B由于集合A＝{x|y＝x2－2x}表示的是函数y＝x2－2x的定义域,所以由x2－2x≥0可知集合A＝{x|x≤0或x≥2}．集合B＝{y|y＝x2＋1}表示的是函数y＝x2＋1的值域,因此B＝{y|y≥1}．∴A∩B＝[2,＋∞)．故选B.4．(2019·河北五个一名校联考)若集合A＝{x|3＋2x－x2>0},集合B＝{x|2x<2},则A∩B 等于()A．(1,3) B．(－∞,－1)C．(－1,1) D．(－3,1)解析:选C依题意,可求得A＝(－1,3),B＝(－∞,1),∴A∩B＝(－1,1)．5．(2019·浙江五校联考)设全集U＝R,集合A＝{x|x≥3},B＝{x|0≤x<5},则(∁U A)∩B＝()A．{x|0<x<3} B．{x|0≤x≤3}C ．{x |0<x ≤3}D ．{x |0≤x <3}解析:选D 由题意得∁U A ＝{x |x <3},所以(∁U A )∩B ＝{x |0≤x <3},故选D.6．(2019·长沙模拟)已知集合A ＝{1,2,3},B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0,a ∈A },若A ∩B ≠∅,则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．1或2解析:选B 当a ＝1时,x 2－3x ＋1＝0,无整数解,则A ∩B ＝∅；当a ＝2时,B ＝{1,2},A ∩B ＝{1,2}≠∅；当a ＝3时,B ＝∅,A ∩B ＝∅.因此实数a ＝2.7.(2019·资阳模拟)设全集U ＝R,集合A ＝{x |x 2－2x －3<0},B ＝{x |x －1≥0},则图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |x ≤－1或x ≥3}B ．{x |x <1或x ≥3}C ．{x |x ≤1}D ．{x |x ≤－1}解析:选D 图中阴影部分表示集合∁U (A ∪B ),又A ＝{x |－1<x <3},B ＝{x |x ≥1},∴A ∪B ＝{x |x >－1},∴∁U (A ∪B )＝{x |x ≤－1},故选D.8．(2019·石家庄重点高中毕业班摸底)已知集合M ＝{ x |x 29＋y 24＝1 },N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |x 3＋y 2＝1,则M ∩N ＝( )A ．∅B ．{(3,0),(0,2)}C ．[－2,2]D ．[－3,3]解析:选D因为集合M＝{x|－3≤x≤3},N＝R,所以M∩N＝[－3,3],故选D.9．设集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)},B＝{x|x－a>0},若A⊆B,则实数a的取值范围是()A．(－∞,－1) B．(－∞,－1]C．(－∞,－2) D．(－∞,－2]解析:选B因为集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}＝{x|－1<x<2},B＝{x|x>a},因为A⊆B,所以a≤－1.10．已知全集U＝{x|－1<x<9},A＝{x|1<x<a},A是U的子集,若A≠∅,则a的取值范围是()A．{a|a<9} B．{a|a≤9}C．{a|a≥9} D．{a|1<a≤9}解析:选D由题意知,集合A≠∅,所以a>1,又因为A是U的子集,故需a≤9,所以a的取值范围是{a|1<a≤9}．11．定义集合M与N的新运算:M⊕N＝{x|x∈M或x∈N且x∉M∩N},则(M⊕N)⊕N＝()A．M∩N B．M∪NC．M D．N解析:选C按定义,M⊕N表示图中的阴影部分,两圆内部的公共部分表示M∩N.(M⊕N)⊕N应表示x∈M⊕N或x∈N且x∉(M⊕N)∩N的所有x的集合,(M⊕N)∩N表示N上的阴影部分,因此(M⊕N)⊕N＝M.12．某班共40人,其中24人喜欢篮球运动,16人喜欢乒乓球运动,6人这两项运动都不喜欢,则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为()A．17 B．18C．19 D．20解析:选B记全集U为该班全体同学,喜欢篮球运动的记作集合A,喜欢乒乓球运动的记作集合B,则喜欢篮球但不喜欢乒乓球运动的记作A∩∁U B(如图),故有18人．13．设A＝{1,4,2x},B＝{1,x2},若B⊆A,则x＝________.解析:由B⊆A,则x2＝4或x2＝2x.得x＝±2或x＝0,当x＝－2时,A＝{1,4,－4},B＝{1,4},符合题意；当x＝2时,则2x＝4,与集合的互异性相矛盾,故舍去；当x＝0时,A＝{1,4,0},B＝{1,0},符合题意．综上所述,x ＝－2或x ＝0.答案:－2或014．设集合A ＝{x |x ＋m ≥0},B ＝{x |－2<x <4},全集U ＝R,且(∁U A )∩B ＝∅,则实数m 的取值范围为________．解析:由已知A ＝{x |x ≥－m },∴∁U A ＝{x |x <－m }．∵B ＝{x |－2<x <4},(∁U A )∩B ＝∅,∴－m ≤－2,即m ≥2.∴m 的取值范围为{m |m ≥2}．答案:{m |m ≥2}15．对于任意两集合A ,B ,定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B },A *B ＝(A －B )∪(B －A ),记A ＝{y |y ≥0},B ＝{x |－3≤x ≤3},则A *B ＝________________.解析:由题意知A －B ＝{x |x >3},B －A ＝{x |－3≤x <0},所以A *B ＝[－3,0)∪(3,＋∞)． 答案:[－3,0)∪(3,＋∞)16．设[x ]表示不大于x 的最大整数,集合A ＝{x |x 2－2[x ]＝3},B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18<2x <8,则A ∩B ＝________.解析:因为不等式18<2x <8的解为－3<x <3,所以B ＝(－3,3)．若x ∈A ∩B ,则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2[x ]＝3，－3<x <3，所以[x ]只可能取值－3,－2,－1,0,1,2.若[x ]≤－2,则x 2＝3＋2[x ]<0,没有实数解；若[x ]＝－1,则x 2＝1,得x ＝－1；若[x ]＝0,则x 2＝3,没有符合条件的解；若[x ]＝1,则x 2＝5,没有符合条件的解；若[x ]＝2,则x 2＝7,有一个符合条件的解,x ＝7.因此,A ∩B ＝{－1,7}．答案:{－1,7}17．(2019·南阳模拟)若集合A ＝{(x ,y )|x 2＋mx －y ＋2＝0,x ∈R},B ＝{(x ,y )|x －y ＋1＝0,0≤x ≤2},当A ∩B ≠∅时,求实数m 的取值范围．解:∵集合A ＝{(x ,y )|x 2＋mx －y ＋2＝0,x ∈R}＝{(x ,y )|y ＝x 2＋mx ＋2,x ∈R},B ＝{(x ,y )|x －y ＋1＝0,0≤x ≤2}＝{(x ,y )|y ＝x ＋1,0≤x ≤2},∴A ∩B ≠∅等价于方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋mx ＋2，y ＝x ＋1在x ∈[0,2]上有解,即x 2＋mx ＋2＝x ＋1在[0,2]上有解,即x 2＋(m －1)x ＋1＝0在[0,2]上有解,显然x ＝0不是该方程的解,从而问题等价于－(m －1)＝x ＋1x 在(0,2]上有解．又∵当x∈(0,2]时,1＋x≥2( 当且仅当1x＝x,即x＝1时取“＝” ),∴－(m－1)≥2,∴m≤－x1,即m的取值范围为(－∞,－1]．18．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0},B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}．(1)若A∩B＝{2},求实数a的值；(2)若A∪B＝A,求实数a的取值范围．解:(1)∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2},A∩B＝{2},∴2∈B,2是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0的根,∴a2＋4a＋3＝0,a＝－1或a＝－3.经检验a的取值符合题意,故a＝－1或a＝－3.(2)∵A∪B＝A,∴B⊆A.当B＝∅时,由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)<0,解得a<－3；当B≠∅时,由B＝{1}或B＝{1,2},可解得a∈∅；由B＝{2},可解得a＝－3.综上可知,a的取值范围是(－∞,－3].。
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测50Word版含答案
课时跟踪检测(五十)1．对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交D ．以上三个选项均有可能 答案：C解析：直线y ＝kx －1恒经过点A (0，－1)，圆x 2＋y 2－2x －2＝0的圆心为C (1,0)，半径为3，而|AC |＝2＜3，故直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交．2．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8答案：B解析：将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝2，故r 2－d 2＝4，即2－a －2＝4，所以a ＝－4，故选B.3．圆x 2＋y 2＋2y －3＝0被直线x ＋y －k ＝0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1∶3，则k ＝( )A.2－1或－2－1 B ．1或－3 C ．1或－ 2 D. 2答案：B解析：由题意知，圆的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4. 较短弧所对圆周角是90°，所以圆心(0，－1)到直线x ＋y －k ＝0的距离为22r ＝ 2. 即|1＋k |2＝2，解得k ＝1或－3. 4．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9D ．－11答案：C解析：圆C 1的圆心C 1(0,0)，半径r 1＝1， 圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ， 所以圆心C 2(3,4)，半径r 2＝25－m ， 从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切，得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9，故选C.5．已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当S△AOB＝1时，直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B ．135° C ．120° D ．不存在答案：A解析：由于S △AOB ＝12×2×2sin ∠AOB ＝1，∴sin ∠AOB ＝1，∴∠AOB ＝π2， ∴点O 到直线l 的距离OM 为1，而OP ＝2，OM ＝1，在直角△OMP 中，∠OPM ＝30°， ∴直线l 的倾斜角为150°，故选A.6．过点P (1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长|AB |＝( ) A. 3 B ．2 C. 2 D ．4答案：A 解析：如图所示，∵PA ，PB 分别为圆O ：x 2＋y 2＝1的切线， ∴AB ⊥OP .∵P (1，3)，O (0,0)， ∴|OP |＝1＋3＝2. 又∵|OA |＝1，在Rt △APO 中，cos ∠AOP ＝12，∴∠AOP ＝60°，∴|AB |＝2|OA |sin ∠AOP ＝ 3.7．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D. 2答案：D解析：因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2＝|c |2|c |＝22， 因此根据直角三角形勾股定理，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，所以弦长为 2. 8．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为(－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －3＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋5＝0D ．x －y －5＝0答案：C解析：设直线的斜率为k ，又弦AB 的中点为(－2,3)， 所以直线l 的方程为kx －y ＋2k ＋3＝0，由x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0得圆的圆心坐标为(－1,2)， 所以圆心到直线的距离为2，所以|－k －2＋2k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝1，所以直线l 的方程为x －y ＋5＝0.9．过点A (3,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，则CA →·CB →＝________.答案：5解析：解法一：由已知得，圆心C (0,2)，半径r ＝5， △ABC 是直角三角形，|AC |＝－2＋－2＝10，|BC |＝5，∴cos ∠ACB ＝BC AC＝510，∴CA →·CB →＝|CA →||CB →|cos ∠ACB ＝5.解法二：CA →·CB →＝(CB →＋BA →)·CB →＝CB →2＋BA →·CB →， 由于|BC |＝5，AB ⊥BC ， 因此CA →·CB →＝5＋0＝5.10．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.答案：4±15解析：依题意，圆C 的半径是2，圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离等于32×2＝3， 于是有|a ＋a －2|a 2＋1＝3，即a 2－8a ＋1＝0，解得a ＝4±15. 11．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33 解析：整理曲线C 1的方程得，(x －1)2＋y 2＝1，故曲线C 1为以点C 1(1,0)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2则表示两条直线，即x 轴与直线l ：y ＝m (x ＋1)，显然x 轴与圆C 1有两个交点，依题意知直线l 与圆相交，故有圆心C 1到直线l 的距离d ＝|m＋－0|m 2＋1＜r ＝1，解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，又当m ＝0时，直线l 与x 轴重合，此时只有两个交点，应舍去． 故m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33. 12．过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是________．答案：x ＋y －3＝0解析：依题意得，当∠ACB 最小时，圆心C 到直线l 的距离达到最大， 此时直线l 与直线CM 垂直，又直线CM 的斜率为1， 因此所求直线l 的方程是y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.1．直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则a 的值为( ) A ．3 B ．2 2 C ．3或－5 D ．－3或5答案：C解析：解法一：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4，x －a 2＋y －2＝8，消去y 可得，2x 2－(2a －2)x ＋a 2－7＝0， 则由题意可得Δ＝2－4×2×(a 2－7)＝0， 整理可得a 2＋2a －15＝0，解得a ＝3或－5.解法二：因为(x －a )2＋(y －3)2＝8的圆心为(a,3)，半径为22，所以由直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切知，圆心到直线的距离等于半径，所以|a －3＋4|12＋－2＝22，即|a ＋1|＝4，解得a ＝3或－5.2．在圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0内，过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是( ) A.π6 B.π4 C.π3D.3π4答案：B解析：由题意知，圆心为(－1,2)，过点(0,1)的最长弦(直径)斜率为－1，且最长弦与最短弦垂直，∴过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为1，即倾斜角是π4.3．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，当直线l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条； 当直线l 的斜率k 存在时，如图，x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，即y 0·k ＝2， 由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1， y 0·k ＝5－x 0,2＝5－x 0，x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上，将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12， ∴－23＜y 0＜23， ∵点M 在圆上，∴(x 0－5)2＋y 20＝r 2，r 2＝y 20＋4＜12＋4＝16，又y 20＋4＞4，∴4＜r 2＜16，∴2＜r ＜4.故选D.4．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，P 为直线x －2y ＋5＝0上的动点，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|PA |的最小值为________．答案：2解析：过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0， 过P 作圆O 的切线PA ，连接OA ， 易知此时|PA |的值最小． 由点到直线的距离公式，得 |OP |＝|1×0－2×0＋5|1＋22＝ 5. 又|OA |＝1，所以|PA |＝|OP |2－|OA |2＝2.5.如图，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程． 解：(1)设圆A 的半径为R .由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)． 即kx －y ＋2k ＝0. 连接AQ ，则AQ ⊥MN .∵|MN |＝219，∴|AQ |＝20－19＝1， 则由|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34，∴直线l ：3x －4y ＋6＝0.故直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. 6．已知圆O ：x 2＋y 2＝4和点M (1，a )．(1)若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求实数a 的值，并求出切线方程； (2)若a ＝2，过点M 作圆O 的两条弦AC ，BD 互相垂直，求|AC |＋|BD |的最大值．解：(1)由条件知点M 在圆O 上， 所以1＋a 2＝4，则a ＝± 3.当a ＝3时，点M 为(1，3)，k OM ＝3，k 切＝－33， 此时切线方程为y －3＝－33(x －1)， 即x ＋3y －4＝0，当a ＝－3时，点M 为(1，－3)，k OM ＝－3，k 切＝33， 此时切线方程为y ＋3＝33(x －1)， 即x －3y －4＝0.所以所求的切线方程为x ＋3y －4＝0或x －3y －4＝0. (2)设O 到直线AC ，BD 的距离分别为d 1，d 2(d 1，d 2≥0)， 则d 21＋d 22＝OM 2＝3.又有|AC |＝24－d 21，|BD |＝24－d 22， 所以|AC |＋|BD |＝24－d 21＋24－d 22.则(|AC |＋|BD |)2＝4×(4－d 21＋4－d 22＋24－d 21·4－d 22) ＝4×＝4×(5＋24＋d 21d 22)． 因为2d 1d 2≤d 21＋d 22＝3， 所以d 21d 22≤94，当且仅当d 1＝d 2＝62时等号成立， 所以4＋d 21d 22≤52，所以(|AC |＋|BD |)2≤4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2×52＝40.所以|AC |＋|BD |≤210， 即|AC |＋|BD |的最大值为210.。
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测53 Word版含答案
课时跟踪检测(五十三)
．已知抛物线：＝的焦点为，(，)是上一点，＝，则＝( )
．
．
．
．
答案：
解析：由＝，得＝，即＝，因此焦点，准线方程为：＝－.
设点到准线的距离为，由抛物线的定义可知＝，从而＋＝，解得＝，故选.．已知抛物线＝与直线＝－相交于，两点，若中点的横坐标为，则此抛物线方程为( )
．＝
．＝
．＝
．＝－
答案：
解析：设点(，)，(，)．
由(\\(＝，＝－))消去，得
－＋＝，
所以＝＝，即＝，
因此所求的抛物线方程是＝.．过抛物线＝(>)的焦点且倾斜角为°的直线与抛物线在第一、四象限分别交于，两点，
则＝( )
答案：
解析：记抛物线＝的准线为′，如图，
作⊥′，⊥′，⊥，
垂足分别是，，，
则有∠＝＝
＝，
即°＝＝，由此得＝.．已知抛物线＝(＞)的焦点与双曲线－＝的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点
在抛物线上且＝，则点的横坐标为( )
．
．
．
．
答案：
解析：记抛物线的焦点为，准线为＝－.
双曲线的右焦点为()，所以＝，即＝，即＝.
过作准线的垂线，垂足为，
则＝＝，即＝，
设(，)，则＝＋，代入＝，解得＝.
．已知两点()，()．如果抛物线＝上存在点，使得△为等边三角形，那么实数＝.
答案：或－
解析：依题意，线段的垂直平分线＝(>－)与抛物线＝的交点满足＝＝－(其中＝(＋))，
于是有＋＝(－)，
即＋(＋)＝(－)，
化简得－－＝，即(＋)(－)＝，
解得＝或＝－.。
(课标通用)2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测44理
课时跟踪检测(四十四)[高考基础题型得分练]1．点M (－8,6,1)关于x 轴的对称点的坐标是( ) A ．(－8，－6，－1) B ．(8，－6，－1) C ．(8，－6,1) D ．(－8，－6,1)答案：A解析：点P (a ，b ，c )关于x 轴的对称点为P ′(a ，－b ，－c )．2．[2017·山东济南月考]O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A ，B ，C ，P四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断 答案：B解析：因为OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，且34＋18＋18＝1，所以P ，A ，B ，C 四点共面．3．在空间直角坐标系中，A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3,2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直答案：B 解析：由题意得， AB →＝(－3，－3,3)，CD →＝(1,1，－1)，∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线．又AB →与CD →没有公共点，∴AB ∥CD .4．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x ＝( )A ．(0,3，－6)B ．(0,6，－20)C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)答案：B解析：由b ＝12x －2a ，得x ＝4a ＋2b ＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．5．若平面α，β的法向量分别为n 1＝(2，－3,5)，n 2＝(－3,1，－4)，则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α与β相交但不垂直D ．以上均不正确 答案：C解析：∵n 1·n 2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)≠0， ∴n 1与n 2不垂直，∴α与β相交但不垂直．6．空间四边形ABCD 的各边和对角线均相等，E 是BC 的中点，那么( ) A.AE →·BC →＜AE →·CD → B.AE →·BC →＝AE →·CD → C.AE →·BC →＞AE →·CD →D.AE →·BC →与AE →·CD →的大小不能比较 答案：C解析：取BD 的中点F ，连接EF ，则EF 綊12CD ，因为〈AE →，EF →〉＝〈AE →，CD →〉＞90°，所以AE →·CD →＜0. 又因为AE →·BC →＝0，所以AE →·BC →＞AE →·CD →.7．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．43 C.53 D ．75答案：D解析：由题意，得k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)，所以(k a ＋b )·(2a －b )＝3(k －1)＋2k －2×2＝5k －7＝0，解得k ＝75.8．在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为________．答案：(0，2，3) 解析：由题意知，点Q 即为点P 在平面yOz 内的射影， 所以垂足Q 的坐标为(0，2，3)．9．已知点A (1,2,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若AP →＝2PB →，则|PD →|＝________. 答案：773解析：设P (x ，y ，z )， ∴AP →＝(x －1，y －2，z －1)，PB →＝(－1－x,3－y,4－z )，由AP →＝2PB →，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，83，3.又D (1,1,1)，∴|PD →|＝773.10．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a·c ＝4，|b|＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．答案：60°解析：由题意，得(2a ＋b )·c ＝0＋10－20＝－10， 即2a·c ＋b·c ＝－10. 又∵a·c ＝4，∴b·c ＝－18， ∴cos 〈b ，c 〉＝b·c |b||c |＝－1812×1＋4＋4＝－12， ∴〈b ，c 〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.[冲刺名校能力提升练]1．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B ．12a 2 C.14a 2 D ．34a 2 答案：C解析： 如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a|＝|b|＝|c|＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°. AE →＝12(a ＋b )，AF →＝12c ，∴AE →·AF →＝12(a ＋b )·12c＝14(a·c ＋b·c )＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2. 2．[2017·河北衡水中学调研]如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定答案：B解析：分别以C 1B 1，C 1D 1，C 1C 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图，∵A 1M ＝AN ＝23a ， 则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，23a ，a 3，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，2a 3，a ， ∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a3，0，23a .又C 1(0,0,0)，D 1(0，a,0)，∴C 1D 1→＝(0，a,0)， ∴MN →·C 1D 1→＝0，∴MN →⊥C 1D 1→.∵C 1D 1→是平面BB 1C 1C 的法向量，且MN ⊄平面BB 1C 1C ， ∴MN ∥平面BB 1C 1C .3．[2017·北京西城区模拟]如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若动点P 在线段BD 1上运动，则DC →·AP →的取值范围是________．答案：[0,1]解析：由题意，设BP →＝λBD 1→，其中λ∈[0,1]，DC →·AP →＝AB →·(AB →＋BP →) ＝AB →·(AB →＋λBD 1→)＝AB →2＋λAB →·BD 1→ ＝AB →2＋λAB →·(AD 1→－AB →) ＝(1－λ)AB →2＝1－λ∈[0,1]． 因此DC →·AP →的取值范围是[0,1]．4.[2017·江苏徐州模拟]已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →的坐标是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 解析：∵点Q 在直线OP 上， ∴设点Q (λ，λ，2λ)， 则QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)·(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎪⎫λ－432－23. 即当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值－23.此时OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.5．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1→的长；(2)求BD 1→与AC →夹角的余弦值． 解：记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b·c ＝c·a ＝12.(1)|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a·b ＋b·c ＋c·a )＝1＋1＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6， ∴|AC 1→|＝ 6.(2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ， ∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a·c ＋b·c ＝1.∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.即BD 1→与AC →夹角的余弦值为66.6．在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 内是否存在一点G ，使GF ⊥平面PCB ？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．(1)证明：如图，以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0,0,0)，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a2，0，P (0,0，a )，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2， EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，0，a 2，DC →＝(0，a,0)．∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF ⊥CD . (2)解：假设存在满足条件的点G ，设G (x,0，z )，则FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a2，－a 2，z －a 2，若使GF ⊥平面PCB ，则由FG →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a,0,0)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2＝0，得x ＝a 2；由FG →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a )＝a 22＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 2＝0，得z ＝0.∴点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，0，即存在满足条件的点G ，且点G 为AD 的中点．。
高考数学一轮复习课时跟踪检测一集合含解析
课时跟踪检测(一) 集合一、题点全面练1．已知集合M＝{x|x2＋x－2＝0}，N＝{0,1}，则M∁N＝( )B．{1}A．{－2,0,1} D．∁C．{0}解析：选A 集合M＝{x|x2＋x－2＝0}＝{x|x＝－2或x＝1}＝{－2,1}，N＝{0,1}，则M∁N＝{－2,0,1}．故选A.2．设集合A＝{x|x2－x－2<0}，集合B＝{x|－1<x≤1}，则A∩B＝( )B．(－1,1]A．[－1,1]D．[1,2)C．(－1,2)解析：选B ∁A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x≤1}，∁A∩B＝{x|－1<x≤1}．故选B.3．设集合M＝{x|x＝2k＋1，k∁Z}，N＝{x|x＝k＋2，k∁Z}，则( )B．M∁N A．M＝ND．M∩N＝∁C．N∁M解析：选B ∁集合M＝{x|x＝2k＋1，k∁Z}＝{奇数}，N＝{x|x＝k＋2，k∁Z}＝{整数}，∁M∁N.故选B.4.设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )B．{2,4}A．{4}D．{1,3,4}C．{4,5}解析：选A 图中阴影部分表示在集合A中但不在集合B中的元素构成的集合，故图中阴影部分所表示的集合是A∩(∁U B)＝{4}，故选A.5．(2018·湖北天门等三地3月联考)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∁A，b∁B}，则M中元素的个数为( )B．4A．3D．6C．5解析：选B a∁{1,2,3}，b∁{4,5}，则M＝{5,6,7,8}，即M中元素的个数为4，故选B.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知集合M＝{x|y＝lg(2－x)}，N＝{y|y＝1－x＋x－1}，则( )B．N∁M A．M∁ND．N∁M C．M＝N解析：选B ∁集合M＝{x|y＝lg(2－x)}＝(－∞，2)，N＝{y|y＝1－x＋x－1}＝{0}，∁N∁M.故选B. 2．(2019·皖南八校联考)已知集合A＝{(x，y)|x2＝4y}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B的真子集个数为( )B．3A．1D．7C．5解析：选B 由Error!得Error!或Error!即A∩B＝{(0,0)，(4,4)}，∁A∩B的真子集个数为22－1＝3. 3．已知集合P＝{y|y2－y－2>0}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}．若P∁Q＝R，且P∩Q＝(2,3]，则a＋b＝( )B．5A．－5D．1C．－1解析：选A 因为P＝{y|y2－y－2>0}＝{y|y>2或y<－1}．由P∁Q＝R及P∩Q＝(2,3]，得Q＝[－1,3]，所以－a＝－1＋3，b＝－1×3，即a＝－2，b＝－3，a＋b＝－5，故选A. 4．已知集合M＝{x|x＝kπ4＋π4，k∁Z}，集合N＝{x|x＝kπ8－π4，k∁Z}，则( )B．M∁N A．M∩N＝∁D．M∁N＝M C．N∁M 解析：选B 由题意可知，M＝{x|x＝2k＋4π8－π4，k∁Z}＝{x|x＝2nπ8－π4，n∁Z}，N＝，所以M∁N，故选B.{x|x＝2kπ8－π4或x＝2k－1π8－π4，k∁Z} 5．(2018·安庆二模)已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，若B∁A，则实数a＝( )B．2A．－1D．1或－1或2C．－1或2解析：选C 因为B∁A，所以必有a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.∁若a2－a＋1＝3，则a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，满足条件；当a＝2时，A＝{1,3,2}，B＝{1,3}，满足条件．∁若a2－a＋1＝a，则a2－2a＋1＝0，解得a＝1，此时集合A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，所以a＝1应舍去．综上，a＝－1或2.故选C.6．(2018·合肥二模)已知A＝[1，＋∞)，B＝Error!，若A∩B≠∁，则实数a的取值范围是( )B.[12，1]A．[1，＋∞)D．(1，＋∞)C．[23，＋∞)解析：选A 因为A∩B≠∁，所以Error!解得a≥1.(二)难点专练——适情自主选7．(2018·日照联考)已知集合M＝Error!，N＝Error!，则M∩N＝( )B．{(4,0)，(3,0)}A．∁D．[－4,4]C．[－3,3]解析：选D 由题意可得M＝{x|－4≤x≤4}，N＝{y|y∁R}，所以M∩N＝[－4,4]．故选D.8．(2019·河南八市质检)在实数集R上定义运算*：x*y＝x·(1－y)．若关于x的不等式x*(x－a)>0的解集是集合{x|－1≤x≤1}的子集，则实数a的取值范围是( )B．[－2，－1)∁(－1,0]A．[0,2]D．[－2,0]C．[0,1)∁(1,2]解析：选D 依题意可得x(1－x＋a)>0.因为其解集为{x|－1≤x≤1}的子集，所以当a≠－1时，0＜1＋a≤1或－1≤1＋a＜0，即－1＜a≤0或－2≤a＜－1.当a＝－1时，x(1－x＋a)>0的解集为空集，符合题意．所以－2≤a≤0.9．已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x>1}．(1)分别求A∩B，(∁R B)∁A；(2)已知集合C＝{x|1＜x＜a}，若C∁A，求实数a的取值范围．解：(1)∁3≤3x≤27，即31≤3x≤33，∁1≤x≤3，∁A＝{x|1≤x≤3}．∁log2x>1，即log2x>log22，∁x>2，∁B＝{x|x>2}．∁A∩B＝{x|2＜x≤3}．∁∁R B＝{x|x≤2}，∁(∁R B)∁A＝{x|x≤3}．(2)由(1)知A＝{x|1≤x≤3}，C∁A.当C为空集时，满足C∁A，a≤1；当C为非空集合时，可得1＜a≤3.综上所述，实数a的取值范围是(－∞，3]．。
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测1含答案
课时跟踪检测(一)1．已知集合A＝{1,2，3｝，集合B＝｛2,3，4,5}，则（）A．A⊆B B．B⊆AC．A∩B＝{2,3｝D．A∪B＝{1,4,5｝答案:C解析：由题意可知，1是集合A中的元素，但不是集合B中的元素，故A，B错；由集合的运算可知C正确，而A∪B＝{1,2，3,4,5｝．2．集合U＝｛0，1,2，3,4}，A＝｛1,2｝，B＝｛x∈Z｜x2－5x＋4〈0}，则∁U(A∪B)＝（）A．｛0，1，3,4} B．{1，2,3｝C．｛0，4} D．｛0｝答案：C解析：因为集合B＝{x∈Z｜x2－5x＋4〈0}＝｛2，3｝，所以A∪B＝｛1,2，3}，又全集U＝｛0,1，2，3,4}，所以∁U(A∪B)＝｛0，4｝．故选C。
3．设集合A＝错误!,B＝｛（x，y）|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是（)A．4 B．3C．2 D．1答案：A解析:∵A∩B有2个元素，故A∩B的子集的个数为22＝4。
4．已知集合A＝{x|－1≤x≤1｝，B＝{x｜x2－2x≤0｝，则A∩B ＝（）A．B．C．D．（－∞,1］∪，∴A∩B＝，故选C. 5．已知集合P＝｛x｜x≥0},Q＝错误!，则P∩（∁R Q）＝( ) A．(－∞，2) B．（－∞，－1]C．（－1,0) D．答案：D解析：由题意可知,Q＝{x|x≤－1或x>2}，则∁R Q＝{x｜－1〈x≤2｝，所以P∩(∁R Q)＝{x｜0≤x≤2}．故选D.6．已知全集U＝Z,A＝｛x|x2－x－2〈0,x∈Z｝，B＝{－1，0,1,2},则图中阴影部分所表示的集合等于（)A．｛－1，2｝B．｛－1,0}C．{0,1｝D．｛1,2｝答案：A解析:因为A＝{x|－1〈x〈2}＝｛0，1｝,B＝{－1，0，1，2｝，则（∁U A）∩B＝{－1,2｝,故选A.7．若集合A＝{x｜1≤3x≤81}，B＝｛x｜log2(x2－x)>1}，则A∩B ＝（）A．（2,4］B．C．(－∞，0)∪（0，4］D．(－∞，－1）∪答案：A解析：因为A＝｛x｜1≤3x≤81｝＝{x｜30≤3x≤34}＝{x｜0≤x≤4｝，B＝{x|log2(x2－x)>1}＝{x｜x2－x〉2}＝{x｜x〈－1或x>2｝，所以A∩B＝{x|0≤x≤4｝∩{x｜x〈－1或x〉2｝＝{x|2〈x≤4｝＝(2，4］．8．已知集合A＝{x｜y＝log2x，y〈0}，B＝错误!，则A∪B＝( ）A．（0，1）B．错误!C．错误!D．(－∞，1）答案：A解析:由log2x<0得0<x<1,即A＝（0,1)；当0<x〈1时，y＝错误!x∈错误!,即B＝错误!，A∪B＝（0，1）,故选A。
(课标通用)2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测21理
课时跟踪检测(二十一)[高考基础题型得分练]1．[2017·河北张家口模拟]计算：tan 15°＋1tan 15°＝( )A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 2答案：C解析：tan 15°＋1tan 15°＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15°＝sin 215°＋cos 215°sin 15°cos 15°＝112si n 30°＝4. 2．[2017·江西九江一模]已知tan α＝－35，则sin 2α＝( )A.1517B ．－1517C ．－817D ．817答案：B解析：sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＋1＝－1517.3．[2017·山西四校联考]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值是( )A.12 B ．23 C ．－12D ．1答案：C解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12.4．[2017·山东济宁期末]tan π12－1tanπ12＝( )A ．4B ．－4C ．2 3D ．－2 3答案：D解析：∵tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝tan π3－tanπ41＋tan π3·tanπ4＝3－11＋3＝2－3， ∴tan π12－1tanπ12＝2－3－12－3＝－2 3. 5．[2016·广东广州二测]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ的值是( ) A.13 B ．223C ．－13D ．－223答案：A 解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝ cos (π12－θ )＝13. 6．[2017·甘肃兰州检测]在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tanC ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B ．π3C ．π2D ．3π4答案：A解析：由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sinC ，等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C ，得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C1－tan B tan C＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.7．[2016·陕西宝鸡模拟]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝14，则sin 4θ＋cos 4θ的值为________．答案：58解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝⎝⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12cos 2θ＝14. 所以cos 2θ＝12.故sin 4θ＋cos 4θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2θ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos 2θ22＝116＋916＝58. 8．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________． 答案：－142解析：解法一：∵sin α＝12＋cos α，∴sin α－cos α＝12，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝24.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝144， ∴cos 2α＝－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4·cos ( α－π4 )＝－2×24×144＝－74， ∴cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－7424＝－142.解法二：∵sin α＝12＋cos α，∴sin α－cos α＝12，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝14，∴2sin αcos α＝34，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＋cos α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α ＝1＋34＝72， ∴cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝ cos α＋sin α cos α－sin α22sin α－cos α＝－2(sin α＋cos α)＝－142. 9. 如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角．(1)证明：tan A 2＝1－cos Asin A；(2)若A ＋C ＝180°，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，求tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2的值．(1)证明：tan A 2＝sin A2cos A 2＝2sin 2A22sin A 2cosA 2＝1－cos Asin A .(2)解：由A ＋C ＝180°，得C ＝180°－A ，D ＝180°－B . 由(1)，有tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2＝1－cos A sin A ＋1－cos B sin B ＋1－cos 180°－A sin 180°－A ＋1－cos 180°－Bsin 180°－B＝2sin A ＋2sin B. 连接BD (图略)．在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ，在△BCD 中，有BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝BC 2＋CD 2＋2BC ·CD cos A ，则cos A ＝AB 2＋AD 2－BC 2－CD 22 AB ·AD ＋BC ·CD ＝62＋52－32－422 6×5＋3×4＝37. 于是sin A ＝1－cos 2A ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫372＝2107. 连接AC ，同理可得cos B ＝AB 2＋BC 2－AD 2－CD 22 AB ·BC ＋AD ·CD ＝62＋32－52－422 6×3＋5×4 ＝119，于是sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1192＝61019.所以tan A 2＋tan B 2＋tan C2＋tan D2＝2sin A ＋2sin B ＝2×7210＋2×19610＝4103.10.[2017·湖南常德模拟]已知函数f (x )＝2sin ωx ＋m cos ωx (ω>0，m >0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m 的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝65，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8的值．解：(1)易知f (x )＝2＋m 2sin(ωx ＋φ)(φ为辅助角)， ∴f (x )min ＝－2＋m 2＝－2，∴m ＝ 2. 由题意知，函数f (x )的最小正周期为π， ∴2πω＝π，∴ω＝2. (2)由(1)得f (x )＝2sin 2x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝65，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35.∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－45，∴sin θ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos π4－cos ( θ＋π4 )sin π4＝7210，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＋π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝2cos 2θ ＝2(1－2sin 2θ)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝⎛⎭⎪⎫72102＝－4825. [冲刺名校能力提升练]1．[2017·河北模拟]已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝( )A.23 B ．43 C ．34 D ．32答案：D解析：由sin θ－cos θ＝－144，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74， ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4－θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34，∴2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.2．[2017·安徽十校联考]已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝( )A.1＋358 B ．1＋538C ．1－358D ．1－538答案：A解析：由7sin α＝2cos 2α，得7sin α＝2(1－2sin 2α)， 即4sin 2α＋7sin α－2＝0，解得sin α＝－2(舍去)或sin α＝14，又由α为锐角，可得cos α＝154， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12sin α＋32cos α＝1＋358， 故选A.3．[2017·福建宁德一模]已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝________.答案：－53解析：∵sin α＋cos α＝33， 两边平方，得1＋sin 2α＝13，∴sin 2α＝－23，∴(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝53，∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝153， ∴cos 2α＝－(sin α－cos α)(sin α＋cos α) ＝－153×33＝－53. 4．化简下列各式： (1)1－sin 20°sin 10°－221＋cos 20°；(2)1＋sin θ1－sin θ－1－sin θ1＋sin θ；(3)1＋cos α＋cos 2α＋cos 3αcos 2α－sin2α2.解：(1)原式＝cos 10－sin 10° 2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＋cos θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2－cos θ2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2－cos θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＋cos θ2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2－cos θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＋cos θ2＝4sin θ2cosθ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2θ2－cos 2θ2＝2sin θ|cos θ|.(3)原式＝ 1＋cos 2α ＋cos 2α－α ＋cos 2α＋α cos 2α－1－cos α2＝2cos 2α＋2cos 2αcos α2cos 2α＋cos α－12 ＝2cos α cos α＋cos 2α2cos 2α＋cos α－12＝2cos α cos α＋2cos 2α－1 2cos 2α＋cos α－12 ＝4cos α.。
2017-2018学年高中数学北师大必修1：课时跟踪检测十九
课时跟踪检测（十九）指数函数、幂函数、对数函数增长的比较层级一学业水平达标1．有一组试验数据如下表所示：A．y＝log a x(a＞1)B．y＝ax＋b(a＞1)C．y＝ax2＋b(a＞0) D．y＝log a x＋b(a＞1)解析：选C通过所给数据可知y随x的增大而增大，其增长速度越来越快，而A、D 中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变．故选C.2．下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是()A．y＝50 B．y＝1 000xC．y＝0.4·2x－1D．y＝11 000ex答案：D3．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到()A．300只B．400只C．500只D．600只解析：选A由已知第一年有100只，得a＝100.将a＝100，x＝7代入y＝a log2(x＋1)，得y＝300.4．某种动物繁殖的数量y与繁殖次数x的关系如下表：①y＝2x－1；②y＝x2－1；③y＝2x－1；④y＝x2－x＋1.A．①②B．③④C．②③D．②④答案：B5．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)＞g(x)＞h(x) B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x)解析：选B画出函数的图像，当x∈(4，＋∞)时，指数函数的图像位于二次函数图像的上方，二次函数的图像位于对数函数图像的上方，故g (x )＞f (x )＞h (x )．6．三个变量y 1，y 2，y 3随着变量x 的变化情况如下表：则关于x ，________，________.解析：通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y 3随x 的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快，y 2随x 的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y 1随x 的变化符合此规律．答案：y 3 y 2 y 17．工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a ·0.5x ＋b ，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此工厂3月份该产品的产量为________万件．解析：由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝0.5a ＋b ，1.5＝0.25a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2，∴y ＝－2×0.5x ＋2.∴3月份产量为y ＝－2×0.53＋2＝1.75万件． 答案：1.758.某工厂8年来某种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示，给出下列四种说法：①前三年中产量增长的速度越来越快；②前三年中产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的是________．解析：由t ∈[0,3]的图像，联想到幂函数y ＝x a (0＜a ＜1)，反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢，由t ∈[3,8]的图像可知，总产量C 没有变化，即第三年后停止生产．答案：②③9．假设我国国民经济的年平均增长率为9%，试问经过几年可以使国民经济翻一番？(lg 2≈0.301 0，lg 1.09≈0.037 4)解：设经过x 年后可以翻一番，则有(1＋0.09)x ＝2， 即1.09x ＝2.x ＝lg 2lg 1.09≈0.301 00.037 4≈8.所以经过8年可以翻一番． 10．函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图像如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较)． 解：(1)C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x .(2)当0<x ＜x 1时，g (x )＞f (x )；当x 1＜x ＜x 2时，f (x )＞g (x )；当x ＞x 2时，g (x )＞f (x )；当x ＝x 1或x ＝x 2时，f (x )＝g (x )．层级二 应试能力达标1．如图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图：那么“红豆生南国，春来发几枝”的红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？( )A ．指数函数：y ＝2tB ．对数函数：y ＝log 2tC ．幂函数：y ＝t 3D ．二次函数：y ＝2t 2解析：选A 把t ＝1,2,3代入验证易得结果．2．四人赛跑，假设他们走过的路f i (x )(i ∈{1,2,3,4})和时间x (x ＞1)的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x ，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x解析：选D 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x )＝2x ，故选D.3．当0<x <1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的大小关系是( )A ．h (x )<g (x )<f (x )B ．h (x )<f (x )<g (x )C ．g (x )<h (x )<f (x )D ．f (x )<g (x )<h (x )解析：选D 取特殊值x ＝12代入可排除A 、B 、C.4．设x ∈(0,1)时，y ＝x p (p ∈Z)的图像在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是( )A ．p ≥0B ．0<p <1C ．p <1且p ≠0D ．p >1解析：选C 当p <0时，f (x )＝x p ＝⎝⎛⎭⎫1x －p，在(0,1)上单调递减，∴y >f (1)＝1在直线y ＝x 上面，故只有C 正确．5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2006年以150万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年增长率不变，那么到2016年，这所房子的价格y (万元)与价格年增长率x 之间的函数关系式是______．解析：1年后，y ＝150(1＋x )；2年后，y ＝150(1＋x )2；3年后，y ＝150(1＋x )3，…，10年后，y ＝150(1＋x )10.答案：y ＝150(1＋x )106．已知元素“碳14”每经过5 730年，其质量就变成原来的一半．现有一文物，测得其中“碳14”的残存量为原来的41%，此文物距现在约有________年．(注：精确到百位数，lg 2＝0.301 0，lg 4.1＝0.613)解析：设距现在为x 年，则有⎝⎛⎭⎫12x 5 730＝41%，两边取对数，利用计算器可得x ≈7 400. 答案：7 4007．现有某种细胞100个，其中占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)解：现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数： 1 h 后，细胞总数为12×100＋12×100×2＝32×100；2 h 后，细胞总数为12×32×100＋12×32×100×2＝94×100； 3 h 后，细胞总数为12×94×100＋12×94×100×2＝278×100； 4 h 后，细胞总数为12×278×100＋12×278×100×2＝8116×100. 可见，细胞总数y 与时间x (h)之间的函数关系为 y ＝100×⎝⎛⎭⎫32x ，x ∈N ＋.由100×⎝⎛⎭⎫32x >1010，得⎝⎛⎭⎫32x >108，两边同时取以10为底的对数，得x lg 32>8， ∴x >8lg 3－lg 2.∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45，∴x >45.45.故经过46 h ，细胞总数超过1010个．8．已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元， 且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x 之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f (x )＝a 1x 2＋b 1x ＋6，g (x )＝a 23x ＋b 2(a 1，a 2，b 1，b 2∈R)．(1)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；(2)在同一直角坐标系下画出函数f (x )与g (x )的草图，并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利润的大小情况．解：(1)依题意：由⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝6，f (2)＝14，有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋b 1＝0，4a 1＋2b 1＝8.解得a 1＝4，b 1＝－4，∴f (x )＝4x 2－4x ＋6.由⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＝6，g (2)＝8，有⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋b 2＝6，9a 2＋b 2＝8.解得a 2＝13，b 2＝5，∴g (x )＝13×3x ＋5＝3x －1＋5，所以甲在今年5月份的利润为f (5)＝86万元，乙在今年5月份的利润为g (5)＝86万元， 故有f (5)＝g (5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等．(2)作函数图像如图所示：从图中，可以看出今年甲、乙两个工厂的利润：当x ＝1或x ＝5时， 有f (x )＝g (x )； 当1<x <5时， 有f (x )>g (x )； 当5<x ≤12时， 有f (x )<g (x )．。
2018届高三数学(文)高考总复习课时跟踪检测 (一) 集 合 Word版含解析
B x x x A 1．已知集合 A ＝⎨x | x ∈Z ，且2－x ∈Z ⎬，则集合 A 中的元素个数为()B 3课时跟踪检测 (一) 集 合一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2016· 全国甲卷)已知集合 A ＝{1,2,3}， ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0， ∈Z}，则 A ∪B ＝()A ．{1}C ．{0,1,2,3}B ．{1,2}D ．{－1,0,1,2,3}解析：选 C 因为 B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，∈Z}＝{x |－1<x <2，∈Z}＝{0,1}， ＝{1,2,3}， 所以 A ∪B ＝{0,1,2,3}．2．(2016·天津高考)已知集合 A ＝{1,2,3,4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则 A ∩B ＝()A ．{1}C ．{1,3}B ．{4}D ．{1,4}解析：选 D 因为集合 B 中，x ∈A ，所以当 x ＝1 时，y ＝3－2＝1；当 x ＝2 时，y ＝3×2－2＝4；当 x ＝3 时，y ＝3×3－2＝7；当 x ＝4 时，y ＝3×4－2＝10.即 B ＝{1,4,7,10}．又因为 A ＝{1,2,3,4}，所以 A ∩B ＝{1,4}．故选 D.3．已知集合 A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R}，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( )A ．－3∈AC ．A ∩B ＝BB ．3 BD ．A ∪B ＝B解析：选 C 化简 A ＝{y |y ≥－1}，因此 A ∩B ＝{x |x ≥2}＝B .4．设集合 A ＝{3，m }，B ＝{3m,3}，且 A ＝B ，则实数 m 的值是________． 解析：由集合 A ＝{3，m }＝B ＝{3m,3}，得 3m ＝m ，则 m ＝0.答案：05．已知 A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}， ＝{x |1<x <a }，若 A ⊆B ，则实数 a 的取值范围是________． 解析：因为 A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}⊆B ，所以 a ≥2.答案：[2，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标⎧ ⎫ ⎩⎭A ．2C ．4B ．3D ．52－x3解析：选C∵∈Z，∴2－x的取值有－3，－1,1,3，又∵x∈Z，∴x值分别为5,3,1，－1，故集合A中的元素个数为4.2．已知集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{x|x2－2x－3>0}，则下列结论正确的是()A．M⊆NC．(∁RM)⊆NB．M⊆(∁RN)D．(∁RM)⊆(∁RN)解析：选B由题意，得N＝{x|x<－1或x>3}，所以∁RN＝{x|－1≤x≤3}，又M＝{x|0≤x≤2}，所以M是∁R N的子集，故选B.3．(2017·中原名校联考)设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁U A)∪B＝()A．(2,3]B．(－∞，1]∪(2，＋∞)C．[1,2)D．(－∞，0)∪[1，＋∞)解析：选D因为∁U A＝{x|x>2或x<0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(∁U A)∪B＝(－∞，0)∪[1，＋∞)．4．(2017·河南六市第一次联考)已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是()A．(0,3)C．(0,1)B．(0,1)∪(1,3)D．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选B∵A∩B有4个子集，∴A∩B中有2个不同的元素，∴a∈A，∴a2－3a<0，解得0<a<3且a≠1，即实数a的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.5．已知集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是()A．{x|2<x<3}C．{x|0≤x<6}B．{x|－1<x≤0}D．{x|x<－1}解析：选C由x2－5x－6<0，解得－1<x<6，所以A＝{x|－1<x<6}．由2x<1，解得x<0，所以B＝{x|x<0}．又图中阴影部分表示的集合为(∁U B)∩A，因为∁U B＝{x|x≥0}，所以(∁UB)∩A＝{x|0≤x<6}，故选C.6．设集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|x<1，且x∈Z}，则A∩B＝________.⎩解析：依题意得 A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此 A ∩B ＝{x |－1≤x <1，x∈Z}＝{－1,0}．答案：{－1,0}7 ． 设 全 集 为 R ， 集 合 A ＝ {x |x 2 － 9 ＜ 0} ， B ＝ {x | － 1 ＜ x ≤5} ， 则 A ∩( ∁ R B ) ＝ ______________.解析：由题意知，A ＝{x |x 2－9＜0}＝{x |－3＜x ＜3}，∵B ＝{x |－1＜x ≤5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1 或 x ＞5}．∴A ∩(∁R B )＝{x |－3＜x ＜3}∩{x |x ≤－1 或 x ＞5}＝{x |－3＜x ≤－1}． 答案：{x |－3＜x ≤－1}8．设全集 U ＝{x ∈N *|x ≤9}．∁U (A ∪B )＝{1,3}，A ∩(∁U B )＝{2,4}，则 B ＝________. 解析：∵全集 U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，由∁U (A ∪B )＝{1,3}， 得 A ∪B ＝{2,4,5,6,7,8,9}，由 A ∩(∁U B )＝{2,4}知，{2,4}⊆A ，{2,4}⊆∁U B . ∴B ＝{5,6,7,8,9}．答案：{5,6,7,8,9}9．已知集合 A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若 A ⊆B ，则实数 a －b 的取值范围是________．解析：集合 A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为 A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以 a －b ≤2－4＝－2，即实数 a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]10．已知集合 A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R}． (1)若 A ∩B ＝[0,3]，求实数 m 的值；(2)若 A ⊆∁R B ，求实数 m 的取值范围． 解：由已知得 A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)因为 A ∩B ＝[0,3]，⎧⎪m －2＝0，所以⎨ 所以 m ＝2.⎪m ＋2≥3.(2)∁R B ＝{x |x <m －2 或 x >m ＋2}， 因为 A ⊆∁R B ，所以 m －2>3 或 m ＋2<－1，即 m >5 或 m <－3.因此实数 m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．⎧ ⎪ A ＝⎨x ⎪x ≥－4，x ∈R ⎬，B ＝{x |x <0，x ∈R}，则 A ⊕B ＝(A.⎝－4，0⎭B.⎣－4，0⎭C.⎝－∞，－4⎭∪[0，＋∞)D.⎝－∞，－4⎦∪(0，＋∞)⎧ ⎪＝⎝－∞，－4⎭∪[0，＋∞)．故选 C.⎩ ⎭①若 2m ≥1－m ，即 m ≥ 时，B ＝∅，符合题意；1⎧⎪m ＜1，②若 2m ＜1－m ，即 m ＜ 时，需⎨ ⎪⎩1－m ≤1 ⎧⎪m ＜1， 或⎨得 0≤m ＜ 或∅，即 0≤m ＜ .三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知集合 A ＝{x |x 2－2 017x ＋2 016<0}，B ＝{x |log 2x <m }，若 A ⊆B ，则整数 m 的最 小值是()A ．0C ．11B ．1D ．12解析：选 C 由 x 2－2 017x ＋2 016<0，解得 1<x <2 016，故 A ＝{x |1<x <2 016}．由 log 2x <m ，解得 0<x <2m ，故 B ＝{x |0<x <2m }．由 A ⊆B ，可得 2m ≥2 016，因为 210＝1 024,211＝2 048，所以整数 m 的最小值为 11.2．对于集合 M ，N ，定义 M －N ＝{x |x ∈M ，且 x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设9 ⎫ ⎩⎭)⎛ 9 ⎫ ⎡ 9 ⎫⎛ 9⎫ ⎛ 9⎤9 ⎫ 解析：选 C依题意得 A －B ＝{x |x ≥0，x ∈R}，B －A ＝⎨x ⎪x <－4，x ∈R ⎬ ，故 A ⊕B⎛ 9⎫3．已知集合 A ＝{x |1＜x ＜3}，集合 B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }．(1)当 m ＝－1 时，求 A ∪B ；(2)若 A ⊆B ，求实数 m 的取值范围； (3)若 A ∩B ＝∅，求实数 m 的取值范围． 解：(1)当 m ＝－1 时，B ＝{x |－2<x <2}，则 A ∪B ＝{x |－2<x <3}．⎧⎪1－m ＞2m ，(2)由 A ⊆B 知⎨2m ≤1，解得 m ≤－2，⎪⎩1－m ≥3，即实数 m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由 A ∩B ＝∅，得1331 13 33 3 ⎪⎩2m ≥3，综上知m≥0，即实数m的取值范围为[0，＋∞)．。
2018年高考数学课标通用理科一轮复习课时跟踪检测64 含解析 精品
课时跟踪检测(六十四)[高考基础题型得分练]1．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体，其三面涂有油漆的概率是( )A.112B.110C.325D.1125答案：D解析：小正方体三面涂有油漆的有8种情况，故所求概率为81 000＝1125.2．4张卡上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为( )A.12B.13C.23D.34 答案：B解析：因为从四张卡片中任取出两张的情况为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种，其中两张卡片上数字和为偶数的情况为(1,3)，(2,4)，共2种，所以两张卡片上的数字之和为偶数的概率为13.3．同时抛掷两枚骰子，则向上的点数之差的绝对值为4的概率是( )A.118B.112C.19D.16答案：C 解析：同时抛掷两枚骰子，基本事件总数为36，记“向上的点数之差的绝对值为4”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有(1,5)，(2,6)，(5,1)，(6,2)，共4个，故P (A )＝436＝19.4．[2017·安徽亳州质检]已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{(a ，b )|a ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A.12B.13C.14D.18答案：C解析：易知过点(0,0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使OA 斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，由古典概型知，概率为416＝14.5．[2017·陕西西安调研]从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )A.15B.25C.35D.45 答案：C解析：根据题意知，取两个点的所有情况为C 25种，两个点的距离小于该正方形边长的情况有4种，故所求概率P ＝1－4C 25＝35.6．[2017·河南洛阳联考]安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为( )A.115B.15C.14D.12答案：B解析：由题意，甲连续三天参加活动的所有情况为第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共4种，故所求事件的概率P ＝4A 33C 36A 33＝15. 7．[2017·北京西城区模拟]一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为( )A.112B.512C.712D.56答案：A解析：先从4个位置中选一个排4，再从剩下的位置中选一个排3，最后剩下的2个位置排1，故共有4×3×1＝12(种)不同排法．又卡片排成“1314”只有1种情况，故所求事件的概率P ＝112.8．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．答案：16解析：从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，基本事件共有C 710＝120(个)，记事件“七个数的中位数为6”为事件A ，若事件A 发生，则6,7,8,9必取，再从0,1,2,3,4,5中任取3个数，有C 36种取法．故所求概率P (A )＝C 36120＝16.[冲刺名校能力提升练]1．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A.310B.15C.110D.120答案：C解析：从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为110.故选C.2．记连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角为α，则α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4的概率为( ) A.518B.512C.12D.712 答案：B解析：解法一：依题意，向量a ＝(m ，n )共有6×6＝36(个)，其中满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，即n <m 的(m ，n )可根据n 的具体取值进行分类计数：第一类，当n ＝1时，m 有5个不同的取值；第二类，当n ＝2时，m 有4个不同的取值；第三类，当n ＝3时，m 有3个不同的取值；第四类，当n ＝4时，m 有2个不同的取值；第五类，当n ＝5时，m 有1个取值，因此满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4的(m ，n )共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)，所以所求概率为1536＝512.解法二：依题意可得向量a ＝(m ，n )共有6×6＝36(个)，其中满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，即n <m 的向量a ＝(m ，n )有36－62＝15(个)，所以所求概率为1536＝512.3．[2017·北京海淀区一模]现有7名数理化成绩优秀者，分别用A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，C 1，C 2表示，其中A 1，A 2，A 3的数学成绩优秀，B 1，B 2的物理成绩优秀，C 1，C 2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A 1和B 1不全被选中的概率为________．答案：56解析：从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．设“A1和B1不全被选中”为事件N，则其对立事件N表示“A1和B1全被选中”，由于N＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以P(N)＝212＝16，由对立事件的概率计算公式，得P(N)＝1－P(N)＝1－16＝56.4.设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共9种．因此，事件A 发生的概率P (A )＝915＝35.5．在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？解：用(x ，y )(x 表示甲摸到的数字，y 表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个．(1)设甲获胜的事件为A ，则事件A 包含的基本事件有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10个．则P (A )＝1025＝25.(2)设甲获胜的事件为B ，乙获胜的事件为C .事件B 所包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10个．则P (B )＝1025＝25，所以P (C )＝1－P (B )＝35.因为P (B )≠P (C )，所以这样规定不公平．。
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测54 Word版含答案
课时跟踪检测(五十四)．已知点是直线－＋＝上的一个动点，定点(－)，是线段延长线上的一点，且＝，则点的轨迹方程是( )．－－＝．＋＋＝．－＋＝．－－＝答案：解析：由题意知，为的中点，设(，)，则的坐标为(－－－)，代入－＋＝，得－＋＝.．已知两定点(－)，()，如果动点满足＝，则动点的轨迹是( )．直线．圆．双曲线．椭圆答案：解析：设(，)，则＝，整理得＋－＝，又＋－＝>，所以动点的轨迹是圆．．已知点，直线：＝－，点是上的动点．若过点作垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹是( )．椭圆．双曲线．抛物线．圆答案：解析：由已知，得＝.由抛物线定义知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线．．已知点()，直线：＝－，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且·＝·，则动点的轨迹的方程为( )．＝．＝．＝．＝答案：解析：设点(，)，则(，－)．因为·＝·，所以(，＋)·(－)＝(，－)·(，－)，即(＋)＝－(－)，整理得＝.．设点为圆(－)＋＝上的动点，是圆的切线，且＝，则点的轨迹方程是( )．＝．(－)＋＝．(－)＋＝．＝－答案：解析：如图，设(，)，圆心为()，连接，则⊥，且＝，又∵＝，∴＝＝，即＝，∴(－)＋＝.．设圆(＋)＋＝的圆心为，()是圆内一定点，为圆周上任一点．线段的垂直平分线与的连线交于点，则点的轨迹方程为( )－＝＋＝＋＝－＝答案：解析：∵为垂直平分线上一点，则＝，∴＋＝＋＝＝，故点的轨迹为椭圆．∴＝，＝，则＝－＝，∴椭圆的标准方程为＋＝.．已知()，(，－)，()，以为一个焦点作过，的椭圆，椭圆的另一个焦点的轨迹方程是( )。
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测69 Word版含答案
课时跟踪检测(六十九)．为了解一种植物的生长情况，抽取一批该植物样本测量高度(单位：)，其频率分布直方图如图所示．()求该植物样本高度的平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；()假设该植物的高度服从正态分布(μ，σ)，其中μ近似为样本平均数，σ近似为样本方差.利用该正态分布求(<<)．附：≈；若～(μ，σ)，则(μ－σ<≤μ＋σ)＝，(μ－σ<≤μ＋σ)＝ .解：()＝×＋×＋×＋×＋×＝.＝(－)×＋(－)×＋(－)×＋(－)×＋(－)×＝.()由()知，～()，从而(<≤)＝×(－<<＋)＝× ＝；(<≤)＝×(－×<<＋×)＝× ＝ .所以(<≤)＝(<<)＋(<<)＝＋＝ .．贵广高速铁路从贵阳北站起终至广州南站．其中广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛山西站、广州南站共个站．记者对广东省内的个车站随机抽取个进行车站服务满意度调查．()求抽取的车站中含有佛山市内车站(包括三水南站和佛山西站)的概率；()设抽取的车站中含有肇庆市内车站(包括怀集站、广宁站、肇庆东站)个数为，求的分布列及其均值(即数学期望)．解：()设“抽取的车站中含有佛山市内车站”为事件，则()＝＝.()的可能取值为.(＝)＝＝，(＝)＝＝，(＝)＝＝，(＝)＝＝.所以的分布列为的数学期望()．一次考试共有道选择题，每道选择题都有个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得分，不答或答错得零分”．某考生已确定有道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．请求出该考生：()得分的概率；()所得分数的分布列和数学期望．解：()设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对为事件，“有一道题可以判断一个选项是错误的”选对为事件，“有一道题不理解题意”选对为事件，∴()＝，()＝，()＝，∴得分的概率为＝×××＝.()可能的取值为.(＝)＝×××＝；(＝)＝××××＋×××＋×××＝；(＝)＝×××＋××××＋××××＋×××＝；(＝)＝××××＋×××＋×××＝；(＝)＝×××＝.的分布列为()．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润元，未售出的产品，每亏损元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了该农产品．以(单位：≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量，(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．。
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第一层级 基础送分自修课 课时跟踪检测一 集合与常用逻辑用语——A 级 专题通关——1．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( A )A ．A ∩B ＝{x |x <32} B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝{x |x <32}D ．A ∪B ＝R解析：因为A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}＝{x |x <32}，所以A ∩B ＝{x |x <32}，A ∪B ＝{x |x <2}．故选A.2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg x }，集合B ＝{y |y ＝x ＋ 1}，那么A ∩(∁U B )＝( C )A ．∅B ．(0,1]C ．(0,1)D ．(1，＋∞)解析：由题知，A ＝{x |y ＝lg x }＝{x |x >0}＝(0，＋∞)，B ＝{y |y ＝x ＋1}＝{y |y ≥1}＝[1，＋∞)，所以A ∩(∁U B )＝(0，＋∞)∩(－∞，1)＝(0,1)．3．(2017·湖北武汉高三调研)设A ，B 是两个非空集合，定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }．若A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}，则A －B ＝( D )A ．{0,1}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,5}解析：A ＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{x |2<x <5}，∴A －B ＝{0,1,2,5}．故选D.4．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为( B )A ．1B ．2C ．3D ．1或2解析：当a ＝1时，B 中元素均为无理数，A ∩B ＝∅；当a ＝2时，B ＝{1,2}，A ∩B ＝{1,2}≠∅；当a ＝3时，B ＝∅，则A ∩B ＝∅.故a 的值为2.故选B.5．(2017·河南洛阳第一次模拟)已知x 1，x 2∈R ，则“x 1>1且x 2>1”是“x 1＋x 2>2且x 1x 2>1”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由x 1>1且x 2>1可得x 1＋x 2>2且x 1x 2>1，即“x 1>1且x 2>1”是“x 1＋x 2>2且x 1x 2>1”的充分条件；反过来，由x 1＋x 2>2且x 1x 2>1不能推出x 1>1且x 2>1，如取x 1＝4，x 2＝12，此时x 1＋x 2>2且x 1x 2>1，但x 2＝12<1，因此“x 1>1且x 2>1”不是“x 1＋x 2>2且x 1x 2>1”的必要条件．故“x 1>1且x 2>1”是“x 1＋x 2>2且x 1x 2>1”的充分不必要条件，故选A.6．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( C )A ．p 为真B ．¬q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真解析：p 是假命题，q 是假命题，因此只有C 正确．7．(2017·天津卷)设θ∈R ，则“|θ－π12|<π12”是“sin θ<12”的( A )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，得0<θ<π6.由0<θ<π6，可以得sin θ<12.因为sin θ<12，所以－76π＋2k π<θ<2k π＋π6，k ∈Z ，推不出0<θ<π6，所以“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件．故选A.8．(2017·广东惠州调研考试)设函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|是偶函数”是“y ＝f (x )的图象关于原点对称”的( C )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：设f (x )＝x 2，y ＝|f (x )|是偶函数，但是不能推出y ＝f (x )的图象关于原点对称．反之，若y ＝f (x )的图象关于原点对称，则y ＝f (x )是奇函数，这时y ＝|f (x )|是偶函数，故选C.9．已知命题p ：2xx －1<1，命题q ：(x ＋a )(x －3)>0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－3，－1]B ．[－3，－1]C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－3]解析：由p ：2xx －1<1，得x ＋1x －1<0，－1<x <1，而p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q ，q ⇒/p ，所以－a ≥1，a ≤－1.故选C.10．(2017·江苏卷)已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为1.解析：因为a 2＋3≥3，所以由A ∩B ＝{1}得a ＝1，即实数a 的值为1.11．“a >1”是“函数f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增”的充分不必要条件．(空格处请填写“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)解析：f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增⇒f ′(x )＝a －sin x ≥0在R 上恒成立⇒a ≥(sin x )max ＝1，所以“a >1”是“函数f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增”的充分不必要条件．12．给出下列四个命题：①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题；②“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2－x <0”；③命题“x2＝4”是“x＝－2”的充分不必要条件；④p：a∈{a，b，c}，q：{a}⊆{a，b，c}，p且q为真命题．其中真命题的序号是①④.解析：对①，因命题“若α＝β，则cosα＝cosβ”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题，故①正确；对②，命题“∃x0∈R，使得x20－x0>0”的否定应是：“∀x∈R，均有x2－x≤0”，故②错；对③，因为由“x2＝4”得x＝±2，所以“x2＝4”是“x＝－2”的必要不充分条件，故③错；对④，p，q均为真命题，由真值表判定p且q为真命题，故④正确．——B级能力提高——13．已知命题p：函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点；命题q：函数y＝x2－a在(0，＋∞)上是减函数．若p且¬q为真命题，则实数a的取值范围是(C)A．(1，＋∞)B．(－∞，2]C．(1,2]D．(－∞，1]∪(2，＋∞)解析：由题意可得，对命题p，令f(0)·f(1)<0，即－1·(2a－2)<0，得a>1；对命题q，令2－a<0，即a>2，则¬q对应的a的范围是(－∞，2]．因为p 且¬q 为真命题，所以实数a 的取值范围是1<a ≤2.故选C .14．(2017·广州综合测试(一))已知命题p ：∃x >0，e x －ax <1成立，命题q ：函数f (x )＝－(a －1)x 在R 上是减函数，则p 是q 的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：作出y ＝e x 与y ＝ax ＋1的图象，如图．当a ＝1时，e x ≥x ＋1恒成立，故当a ≤1，x >0时，e x －ax <1恒不成立；当a >1时，可知存在x ∈(0，x 0)，使得e x －ax <1成立，故p 成立，即p ：a >1，由函数f (x )＝－(a －1)x 是减函数，可得a －1>1，得a >2，即q ：a >2，故p 推不出q ，q 可以推出p ，p 是q 的必要不充分条件，故选B.15．(2017·长望浏宁联考)已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意实数对(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|y ＝1x 2；②M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}；③M＝{(x，y)|y＝2x－2}；④M＝{(x，y)|y＝log2x}．其中是“垂直对点集”的序号是(D)A．②③④B．①②④C．①③④D．①②③解析：由题意可知，若M是垂直对点集，那么在M图象上任取一点A，过原点与直线OA垂直的直线OB总与函数图象相交于点B.①中：y＝1x2图象在一、二象限，关于y轴对称，所以对于任意点A，都存在点B，使OB⊥OA，①符合题意；②中，y＝sin x＋1，画图象可知，必有OB⊥OA，②符合题意；③中，y＝2x－2，过点(0，－1)，图象两边无限延展，由图象分析可知必有OB⊥OA；④中，y＝log2x，过(0,0)作其图象切线OT，则过切点T做OT的垂线，必不过(0,0)，所以对于T不存在点M，使OM⊥OT，故④不符题意，故选D.16．对任意两个集合X，Y，定义X－Y＝{x|x∈X且x∉Y}，XΔY＝(X－Y)∪(Y－X)．设A＝{y|y＝x2，x∈R}，B＝{y|y＝3sin x，x∈R}，则AΔB＝[－3,0)∪(3，＋∞)．解析：由已知得A＝{y|y＝x2，x∈R}＝[0，＋∞)．B＝{y|y＝3sin x，x∈R}＝[－3,3]，于是A－B＝(3，＋∞)，B－A＝[－3,0)，故AΔB＝[－3,0)∪(3，＋∞)．。