中考数学一轮复习分式及其运算课件浙教版

思想方法 感悟提高
方法与技巧 1．分式运算过程较长，运算中错一个符号，往往会使原来能够
化简的趋势改观，使算式越来越繁，形成对分式运算厌烦 甚至惧怕的心理．为了避免这种现象，一定要养成分类分 级逐步演算的习惯，每次添、去括号时，要注意每一个符 号的正确处理． 2．在加深对方法的原理理解的前提下，清楚地归纳运算步骤， 宜分步式，不宜跳步，不宜一个符号下完成数个步骤．
∴x＝
.
由
<0,得a<－5.
故当a<－5时，原方程的解是负数．
规范解答 解：当x≠－1且x≠2时，原方程两边都乘以(x－2)(x＋1)， 得x2－1－x2＋4x－4＝2x＋a， 2x＝a＋5，
∴x＝
.
由 <0，得a<－5.
又由
≠2，得a≠－1； ≠－1，得a≠－7，
故当a<－5且a≠－7时，原方程的解是负数．
第4课 分式及其运算
要点梳理
1．分式的基本概念：
(1)形如
A(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0) B
的式子
叫分式；
(2)当 B≠0 时，分式 A 有意义；当 B＝0 时，分式无意 B
义；当 A＝0且B≠0 时，分式的值为零．
2．分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘以(或除以) 同一个不等于零的整式 ，
组成分式
.
＝
＝.
将x＝2代入 ，得原式＝ ＝ .
题型四 分式方程的解法
【例4】
解分式方程：x2＋5 3x
－
1 x2－x
＝0.
解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！
解：原式＝
－
＝0，
去分母，5(x－1)－(x＋3)＝0，
去括号，5x－5－x－3＝0， 4x－8＝0， 4x＝8，x＝2. 经检验，x＝2是原方程的根． ∴原方程的根是x＝2.
3．(2A0.111a·＋－金a1华)计算a－B1．1 －－aa－－aa 11 的结果为( C )
C．－1
D．2
解析： 1 － a ＝ 1－a ＝ a－1 a－1 a－1
＝－1.
4．(2011·潜江)化简(
m2 m－2
＋4 2－m
)÷(m＋2)的结果是(
B
)
A．0
B．1
C．－1
D．(m＋2)2
解析：原式＝
xx2B－－．21－的1值为0C，．则±x的1 值为D(．D2
)
解析：当x－2＝0，x＝2时，x2－1≠0，故选D.
题型二 分式的性质
【例2】
(1)(2011·湛江)化简 a2 － b2 的结果是( a－b a－b
A
)
A．a＋b B．a－b C．a2－b2 D．1
解析： － ＝
＝
＝a＋b.
(2)已知 1 － 1＝3，求分式2x－14xy－2y的值．
2．注意分式运算的法则和顺序 分式的乘除运算，一般先利用法则转化为分式的乘法后， 能约分的要先约分，再计算，否则运算非常复杂；对于 乘除、乘方混合运算，就遵循“先乘方，后乘除”的运 算顺序；异分母分式相加减，或分式与整式的加减运算， 可把整式看作一个整体与分式通分后，按同分母的分式 相加减来进行运算．分式运算中，每步运算都要符合法 则或运算律，不能随意套用运算律．
知能迁移2 (1)(2011·聊城)化简： a2－b2 ÷ 2a－2b ＝ . a2＋2ab＋b2 a＋b
解析：
÷
＝
·
＝.
(2)下列运算中，错误的是( D )
A. a ＝ ac (c≠0)
b bc
C.
0.5a＋b 0.2a－0.3b
＝
5a＋10b 2a－3b
B.－a＋a－bb ＝－1 D. xx－＋yy＝yy－＋xx
xy
x－2xy－y
解法一：∵ － ＝3，
∴ ＝3，y－x＝3xy，x－y＝－3xy.
原式＝
＝
＝
＝
＝4.
解法二：∵ － ＝3，∴xy≠0， ∴原式＝
＝
＝
＝
＝
＝4.
探究提高 1.分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形 都不得与此相违背，否则分式的值改变. 2.将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式， 如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然 后再约分，约分应彻底. 3.巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应 用逆向思维，将要求的算式向已知条件“凑”而求得结 果．
[2分] [4分]
探究提高 1.按照基本步骤解分式方程，其关键是确定各分式的最简公 分母．若分母为多项式时，应首先进行分解因式．将分式方 程转化为整式方程，乘最简公分母时，应乘原分式方程的每 一项，不要漏乘常数项． 2.检验是否产生增根：分式方程的增根是分式方程去分母后 整式方程的某个根，但因为它使分式方程的某些分母为零， 故应是原方程的增根，须舍去．
知能迁移1
(1)使分式
x 2x－4
有意义的x的取值范围是___x_≠__2__．
解析：当2x－4≠0，x≠2时，分式有意义，
故x的取值范围是x≠2.
(2)当x＝___－__3___时，分式
x－3 x－3
的值为0.
解析：当|x|－3＝0，|x|＝3，x＝±3，
而x－3≠0，x≠3，故xwenku.baidu.com－3.
(3)若分式 A．1
3．理解分式方程的增根并检验是否产生增根 在分式方程化为整式方程时，一般是将方程两边同乘以含 未知数的整式(最简公分母)，当所乘整式不为零时，所得 整式的根为增根，因此，验根是解分式方程的必要步骤． 分式方程的增根是解题时极易忽视的知识点，在一般情形 下，检验未知数的值是否是增根并不难，而当题目明确有 增根时，反推此时未知数的值就会让人不知所措，此时关 键是要具备逆向的思维能力，特别是涉及分式方程的解而 又未明确涉及增根问题时，探讨是否有增根(或与增根有关 问题)就成了隐含条件，稍不留心就会发生差错．
基础自测
1．(2011·江津)下列式子是分式的是( B )
A. x 2
B.x＋x 1
C. x＋y 2
D.x 3
解析：根据分式的定义，分母中必含字母的代数式叫分式．
2．(2011·南充)当分式xx－＋12的值为0时，x的值是( B )
A．0
B．1
C．－1
D．－2
解析：当x＝1时，分子x－1＝0，而分母x＋2＝3≠0， 所以分式的值为0.
×＝
× ＝1.
5．(2011·芜湖)分式方程
2x－5 x－2
＝
3 2－x
的解是(
C
)
A．x＝－2
B．x＝2
C．x＝1
D．x＝1或x＝2
解析：当x＝1时，方程左边＝
＝ ＝3，
右边＝ ＝3，∴x＝1是原方程的解.
题型分类 深度剖析
题型一 分式的概念，求字母的取值范围
【例1】
(1)当x＝____1___时，分式
m 2－x
无解，则m＝____1____.
解析： ＝ ，
去分母，x－3＝－m，m＝3－x. 当x＝2时，m＝3－2＝1.
答题规范
1．勿忘分母不能为零
考题再现 当a取什么值时，方程 的解是负数？
x－1－x－2＝ 2x＋a x－2 x＋1 x－2x＋1
学生作答 解：原方程两边同乘以(x－2)(x＋1)，得 x2－1－x2＋4x－4＝2x＋a，2x＝a＋5，
(2)分式的加减法：
同分母加减法：
a ±b ＝a±b cc c
；
异分母加减法：
b±d＝ bc±ad a c ac
.
(3)分式的乘除法： a·c ＝ ac ， b d bd a÷ c ＝ ad . b d bc
(4)分式的乘方：
a b
n＝
abnn(n为正整数)
．
4．分式的约分、通分： 把分式中分子与分母的公因式约去，这种变形叫做约分， 其根据是分式的基本性质． 把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式， 这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性 质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
[3分] [5分]
探究提高 准确、灵活、简便地运用法则进行化简，注意在取a的 值时，不能取使分式无意义的±2.
知能迁移3 (1)(2011·安徽)先化简，再求值：
1 － 2 ，其中x＝－2. x－1 x2－1
解：原式＝
＝
＝＝
＝－1.
(2)计算：( 3a － a )·a2－9
a－3 a＋3
a
解：原式＝ · － ·
1．正确理解分式的概念及分式有意义 判断某一个代数式属于不属于分式，不能看化简后的结果， 而应看到它的本来面目，分式的概念是以形式上规定的． 解有关分式是否有意义的问题时，常用到“或”与“且”来 表达，正确使用“或”与“且”也是解题的关键．“或” 表示一种选择关系，含有“你行，他也行”的意思；“且” 表示递进关系，也有“同时”的意思．
老师忠告 (1)分式中的分母不能为零，这是同学们熟知的，但在解题时， 往往忽视题目中的这一隐含条件，从而导致解题错误； (2)利用分式的基本性质进行恒等变形时，应注意分子与分母同 乘或同除的整式的值不能是零； (3)解分式方程为什么要检验？因为用各分母的最简公分母去乘 方程的两边时，不能肯定所得方程与原方程同解．如果最后x取 值使这个最简公分母不为零，则这个步骤符合方程同解原理， 这个取值就是方程的解；否则，不保证新方程与原方程同解． 从另一角度看，既然使各分母的最简公分母为零，则必使某个 分母为零，该分式则无意义，原方程不可能成立，这个取值就 不是原方程的解.
2 无意义； x－1
解析：当x－1＝0，x＝1时，分式无意义．
(2)(2011·泉州)当x＝___2____时，分式xx－ ＋22的值为0. 解析：当x－2＝0，x＝2时，分母x＋2＝4，分式的值是0.
探究提高 1.首先求出使分母等于0的字母的值，然后让未知数不等于 这些值，便可使分式有意义． 2.首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是 否使分母的值为0，当它使分母的值不为0时，这就是所要求 的字母的值．
5．分式的混合运算： 在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法， 进行约分化简，最后进行加减运算．遇有括号，先算括号 里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整 式．
6．解分式方程，其思路是去分母转化为整式方程，要特别注 意验根，使分母为0的未知数的值，是增根，需舍去．
[难点正本 疑点清源]
知能迁移4
(1)(2011·潼南)解分式方程：x＋x 1
－ 1 ＝1. x－1
解：方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得
x(x－1)－(x＋1)＝(x＋1)(x－1)，
化简，得－2x－1＝－1，
解得 x＝0.
检验：当x＝0时，(x＋1)(x－1)≠0，
所以x＝0是原分式方程的解．
(2)若方程
x－3＝ x－2
＝3(a＋3)－(a－3) ＝2a＋12.
(3)(2011·贵阳)在三个整式x2－1，x2＋2x＋1，x2＋x中，请你 从中任意选择两个，将其中一个作为分子，另一个作为分母 组成一个分式，并将这个分式进行化简，再求当x＝2时分式 的值．
解：答案不唯一． 如，选择x2－1为分子，x2＋2x＋1为分母，
分式的值不变，用式子表示为：
A ＝A×M B B×M
，AB
＝ A÷M B÷M
，
(M是不等于零的整式) ．
3．分式的运算法则：
(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中
任何两个，分式的值不变．
用式子表示为：a＝－ a ＝ －a ＝－ －a ，
b
－b －b
b
－ a ＝ a ＝ －a . b －b b
完成考点跟踪训练 4
失误与防范 1．分式的分母不为零，分式才有意义，这又是分式的值为0的前
提．讨论分式的值为0，即要求分母不为0，又要求分子为0， 二者缺一不可．
2．当分式的分子或分母为多项式时，在运算顺序上，相当于使
分子或分母的外面有一个括号，从而把它们分别当成一个整体 看，例如：5· x－，2 应得 5x－2， 而不是 5x－.2 3．分式加减法中的x通＋分3 是等值变x＋形3，不要在学了x解＋分3 式方程后， 两者混淆，把通分变形成去分母了．
解析： ＝－ .
题型三 分式的四则混合运算
【例3】 先化简代数式( a ＋ 2 )÷ 1 ，然后选取一个 a＋2 a－2 a2－4
合适的a值，代入求值．
解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！
解：原式＝( ＋ )·(a＋2)(a－2)
[2分]
＝a(a－2)＋2(a＋2)＝a2－2a＋2a＋4 ＝a2＋4 取a＝1，得原式＝12＋4＝5