数学建模-主成分分析法模板

根据主成分分析的方法，分析 ……的数据。步骤如下：

Step 1为了消除不同变量的量纲的影响，首先需要对变量进行标准化，设检测 数据样本

共有n 个，指标共有p 个，分别设X i ,X 2,X p ，令

X j (i=1,2,…,n;j=1,2,…,p)为第i 个样本第j 个指标的值。作变换

X 乂」已心“,…,p )

Var(X j )

Step 2：在标准化数据矩阵Y (y j )np 的基础上计算p 个原始指标相关系数矩阵

R (r j )pp

r 11 *2 r 21 r 22

r 1p r 2p

r p1 r p2

r pp

n

(X ki

X i )(x kj

X j )

其中，r j

k 1

(i j=1 2 -・・ p) n

n

(

I,J=I ,2,

,p)

(X ki

X i )

(X

X j )2

.k 1

k 1

Step 3:求相关系数矩阵

R 的特征值并排序1

2 p

0,再求出R 的特征

值相应的正则化特征向量

e i

(e i1

, e

i2 ,

,e ip )

， 则第i 个主成分表示为各指标X k

p

的组合Z i

e ik X k

i 1

Step 4：计算累积贡献率确定主成分的数目。主成分

累计贡献率为

(i 1,2,

,p)

得到标准化数据矩阵y j

X ij

S j

仝，其中X j

2

X j ,S j

n i i

(X j X j )2

n i i

w i

i p

k

k 1

(i 1,2,

,p)

乙的贡献率为

般取累计贡献率达85%~95%的特征值 1, 2 ,

m 所对应的第1、第2,…,

2 / 5

第m (m W p )个主成分

Step 5:计算主成分载荷，确定综合得分。当主成分之间不相关时，主成分载荷 是主成分

和各指标的相关系数，相关系数越大，说明主成分对该指标变量的代 表性就越好，计算公式为

l j

P ( Z i ,xj ... i e j (i,j 1,2,

,p)

Step 6:各主成分的得分，确定综合评分函数。得到各主成分的载荷以后，可以 计算各主

成分的得分

m

则第i 个样本的综合得分f i W k Z ik (i=1,2,…,n);

k 1

附件中共有28个月的数据，这里仅随机选择 2005年4月的数据来说明利 分析进行水质综合评价的过程(同理可进行其他月份的数据分析)。 调用MATLAB 统计工具箱princomp 函数，格式为：

[pc,score,late nt,tsquare]=pri ncomp(i ngredie nts)

其中in gredie nts 指标准化后的样本指标矩阵，pc 是指各主成分关于指标的线性 组合的系数矩阵，score 为各主成分得分，late nt 是方差矩阵的特征值，tsquare 为

Hotelling T 2 统计量。

各种指标的相关系数矩阵:

Z i 111 X i

l 12 X 2

l 1p X

Z 2

1 21 X 1

1 2

2 X 2

2p X p

m1X 1

1 m 2X 2

m p X p

Z (Z j )n

Z 11 Z 12 Z 21 Z 22

Z 1 m

Z 2m

，其中z ij 表示第i 个样本第j 个主成分得分,

Z n1

Z n2

z nm

（填充数据）各个主成分的贡献率:

表1主成分的贡献率表

由表可看出，前三个主成分的累积贡献率已达到（填充数据），取控制参数a

=0.06（因为28个月中前三个成分贡献率最低为94%），因此取前三个主成分对

（填充文字）进行综合评价。

根据R的特征值的相应的正则化单位特征向量，前m个主成分关于指标的线

性组合为：

（填充表达式）

（分析）根据线性表达式中的系数及符号，可对各主成分的实际意义作如下解释：第1主成分为除（变量）之外的三项指标的综合；第2主成分与（变量）成正相关，与（变量）成负相关；第3主成分为除（变量）之外的三项指标的综合。以各个主成分的方差贡献率为权重可得到（文字）的最终综合评价。

表

综合评价表

上表给出了的综合评价，综合得分越高说明（文字），排名越高

x=[0.0581 0.0356 0.0435

0.1184 0.1083 0.1392

0.0423 0.0346 0.0354 0.0770 0.0089 0.0642 0.0534 0.0544

0.0407 0.0139 0.0688 0.0234 0.0080 0.0047 0.0252 0.0183

0.0139 0.0391 0.0056 0.0093 0.0053 0.0290 0.0234 0.0158

0.0097 0.0263 0.0086 0.0028 0.0064 0.0064 0.0111 0.0075 0.0680 0.0557 0.1112

0.1194

0.0483 0.0499

0.0151 0.0314

0.0087 0.0174

0.0045 0.0062