高等代数作业 第一章 多项式答案

高等代数第一次作业

第一章 多项式 §1—§3

一、填空题

1. 如果()|()f x g x ,()|()g x h x ，则 。()|()f x h x

2. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ，则 。()|()f x h x

3. 若()|()f x g x ,()|()/f x h x ，则 。()|()()/f x g x h x +

二、判断题

1. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是有理数是数域（ ）√

2. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是整数是数域 （ ）×

3. 若()|()()f x g x h x ,()|()/f x g x ,则()|()f x h x ( ) ×

4. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ,则()|()f x h x （ ）√

5. 数集}{

是有理数b a b a ,|2+是数域 （ ）√ 6. 数集}{为整数n n |2是数域 （ ）× 除法不封闭

7. 若()|()()f x g x h x ，则()|()f x g x 或()|()f x h x ( ) × 当()f x 是不可约时才成立

8. 若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x ( ) × 如2()f x x =，()()g x h x x ==时不成立

9. 若()|()()f x g x h x +,()|()()f x g x h x -，则()|()f x g x 且()|()f x h x ( ) √

三、选择题

1. 以下数集不是数域的是（ ）B

A 、{是有理数b a bi a ,|+，21i =-}

B 、{是整数b a bi a ,|+，21i =-}

C 、{

}是有理数b a b a ,|2+ D 、{}全体有理数

2. 关于多项式的整除，以下命题正确的是 （ ）C

A 、若()|()()f x g x h x 且()|()/f x g x ,则()|()f x h x

B 、若()|()g x f x ,()|()h x f x ,则()()|()g x h x f x

C 、若()|()()f x g x h x +，且()|()f x g x ，则()|()f x h x

D 、若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x

四、计算题

数域P 中的数q p m ,,适合什么条件时, 多项式q px x mx x ++-+32|1

解：由假设，所得余式为0，即 0)()1(2=-+++m q x m p 所以当⎩⎨⎧=-=++0

012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1 五、证明题

试证用21x -除()f x 所得余式为

2

)1()1(2)1(1-++--f f x f f ）（。 证明：设余式为ax b +，则有2()(1)()f x x q x ax b =-++

(1),(1)f a b f a b =+-=-+

求得a =2)1()1(,2)1()1(-+=--f f b f f 高等代数第二次作业

第一章 多项式 §4—§6

一、填空题

1. 当()p x 是 多项式时，由()|()()p x f x g x 可推出()|()p x f x 或()|()p x g x 。不可约

2. 当()f x 与()g x 时，由()|()()f x g x h x 可推出()|()f x h x 。互素

3. 设32()3f x x x ax b =+++用1x +除余数为3，用1x -除余数为5，那么a = b = 。a=0,b=1

4. 如果((),())1f x g x =，((),())1h x g x =，则 。(()(),())1f x h x g x =

5. 设()p x 是不可约多项式，()|()()p x f x g x ,则 。()|()p x f x 或()|()p x g x

6. 设()p x 是不可约多项式，()f x 是任一多项式，则 。()|()p x f x 或((),())1p x f x =

7. 若()|()g x f x ,()|()h x f x ，且((),())1g x h x =，则 。()()|()g x h x f x

8. 若()|()()p x g x h x ,且 ，则()|()p x g x 或()|()p x h x 。()p x 是不可约多项式

二、判断题

1. 若()|()g x f x ,()|()h x f x ，则()()|()g x h x f x （ ）×

2. 若(()(),())1f x g x h x =,则((),())1f x h x =，((),())1g x h x = ( ) √

3. 若()|()()f x g x h x ,且()|()f x g x ,则((),())1f x h x = ( ) ×

4. 设()p x 是数域P 上不可约多项式，那么如果()p x 是()f x 的k 重因式，则()p x 是()f x '的1k -重因式。 （ ）√

5. 若有()()()()()d x f x u x g x v x =+,则()d x 是()f x ,()g x 的最大公因式 （ ）×

6. 若()p x 是()f x '内的k 重因式，则()p x 是()f x 的1k +重因式（ ）× 如1()1k f x x +=+

三、选择题

1. 关于多项式的最大公因式，以下结论正确的是 （ ）D

A 、若()|()()f x g x h x 且()|()f x g x ,则((),())1f x h x =

B 、若存在()u x ，()v x ，使得()()()()()f x u x g x v x d x +=，则()d x 是()f x 和()g x 的最大公因式

C 、若()|()d x f x ,且有()()()()()f x u x g x v x d x +=，则()d x 是()f x 和()g x 的最大公因式

D 、若(()(),())1f x g x h x =，则((),())1f x h x =且((),())1g x h x =

2. 关于不可约多项式()p x ,以下结论不正确的是（ ）C

A 、若()|()()p x f x g x ，则()|()p x f x 或()|()p x g x

B 、若()q x 也是不可约多项式，则((),())1p x q x =或()(),0p x cq x c =≠

C 、()p x 是任何数域上的不可约多项式

D 、()p x 是有理数域上的不可约多项式

3. 关于多项式的重因式，以下结论正确的是（ ）D

A 、若不可约多项式()p x 是()f x '的k 重因式，则()p x 是()f x 的1k +重因式

B 、若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式，则()p x 是()f x ，()f x '的最大公因式

C 、若不可约多项式()p x 是()f x '的因式，则()p x 是()f x 的重因式

D 、若不可约多项式()p x 是()f x 的重因式，则()p x 是))

(),(()(x f x f x f '的单因式 四、计算题

1．设,12)(,12)(3234+-=-+--=x x x g x x x x x f 求))(),((x g x f 以及),(),(x v x u 使

)).(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+

解：利用辗转相除法得

2112122123()()()()()(1),

()()()()()(1)1,()()()(1)().

f x

g x q x r x g x x x x g x r x q x r x x x x x r x r x q x x x =+=-+-=+=-+-+==-+-