浙江省中考数学专题复习专题三5大数学思想方法第一节分类讨论思想训练

1 13 1 11 PQ＝－ m2－ m＋ －(－ m2＋ m－ )＝1－m，
4 24 4 24 QR＝2－2m. 又∵以 P，Q，R 构成的三角形与△AMG 全等，
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当 PQ＝GM 且 QR＝AM 时，m＝0， 3
可求得 P(0， )，即点 P 与点 C 重合， 4
1 ∴R(2，－ )．
4
【分析】应根据 0≤t＜2 和 2≤t＜4 两种情况进行讨论．把 t 当作已知数值，就可以求出 S，从而得到函 数的表达式，进一步即可求解． 【自主解答】
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此类题型多为点、线、图形位置的不确定，解题时，依据位置的不同情况进行分类讨论，分类时容易遗漏， 考虑问题时务必要全面．
类型四 由形状不确定分类 (2018·湖北黄石中考)如图，在 Rt△PMN 中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝
16
3 25 153 当 TC＝AC 时，即 t2－ t＋ ＝ ，
2 16 16
3＋ 137
3－ 137
解得 t1＝ 4 或 t2＝ 4 ；
153 当 TA＝AC 时，得 t2＋16＝ ，无解；
16
3 25
77
当
TA＝TC
时，得
t2－ t＋ ＝t2＋16，解得 2 16
t3＝－
8
.
综上可知，在抛物线 y2 的对称轴 l 上存在点 T，使△TAC 是等腰三角形，此时 T 点的坐标为 T1(1，
AC 13x 13 理得 AC＝ 13x，即可得到 ＝ ＝ ；
BC 2x 2 25
(3)①当 AB＝ 2BC 时，故 DF＝CF＝x，根据 AC＝3x＝2 5，求出 x＝ ，画出图形分两种情况分别求得 3
2 CD＝ 2x＝ 10或 CD＝ 2AC＝2 2；当 AC＝ 2BC 时，画出图形分两种情况讨论，求得 CD＝AB＝BC＝
类型三 由位置不确定分类 (2018·山东潍坊中考)如图，菱形 ABCD 的边长是 4 厘米，∠B＝60°，动点 P 以 1 厘米/秒的速度自
A 点出发沿 AB 方向运动至 B 点停止，动点 Q 以 2 厘米/秒的速度自 B 点出发沿折线 BCD 运动至 D 点停止．若 点 P，Q 同时出发运动了 t 秒，记△BPQ 的面积为 S 厘米 2，下面图象中能表示 S 与 t 之间的函数关系的是 ()
1．(2018·安徽中考改编)若一个数的绝对值是 8，则这个数是( )
A．－8
B．8
C．±8
1 D．－
8
类型二 由公式条件分类
(2018·浙江嘉兴中考)我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做
“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．
(1)概念理解：
如图 1，在△ABC 中，AC＝6，BC＝3，∠ACB＝30°，试判断△ABC 是否是“等高底”三角形，请说明理
设 PR 的表达式为 y＝kx＋b，
3
1
{ { b＝ ，
k＝－ ，
4
2
则有
1 解得 3
2k＋b＝－ ， b＝ ，
4
4
13 即 PR 的表达式为 y＝－ x＋ .
24
当 PQ＝AM 且 QR＝GM 时，无解．
情况二：当点 P 在直线 l 右侧时，
1 11 1 13 P′Q′＝－ m2＋ m－ －(－ m2－ m＋ )＝m－1，
【分析】(1)先利用抛物线的对称性确定 B(6，0)，然后设交点式求抛物线表达式；
{ (2)设 M(t，0)，先求出直线 OA，直线 AB，直线 MN 的表达式，再通过解方程组
1
y＝ x， 2
得
y＝2x－2t
42 N( t， t)，
33
接着利用三角形面积公式，利用 S△AMN＝S△AOM－S△NOM 得到 S△AMN，然后根据二次函数的性质解决问题； 13
由．
(2)问题探究：
如图 2，△ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，作△ABC 关于 BC 所在直线的对称图形得到△A′BC，
.
.
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AC 连结 AA′交直线 BC 于点 D.若点 B 是△AA′C 的重心，求 的值．
BC (3)应用拓展： 如图 3，已知 l1∥l2，l1 与 l2 之间的距离为 2.“等高底”△ABC 的“等底”BC 在直线 l1 上，点 A 在直线 l2 上，有一边的长是 BC 的 2倍．将△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45°得到△A′B′C，A′C 所在直线交 l2 于点 D.求 CD 的值．
【分析】在 Rt△PMN 中解题，要充分运用好垂直关系和 45 度角，因为此题也是点的移动问题，可知矩形 ABCD 以每秒 1 cm 的速度开始向右移动到停止，和 Rt△PMN 重叠部分的形状可分为下列三种情况， (1)0≤x≤2；(2)2＜x≤4；(3)4＜x≤6；根据重叠图形确定面积的求法，作出判断即可． 【自主解答】
3 2. 【自主解答】
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题目条件不明确或本身隐含条件是此类题型的特点，解题时，首先要仔细审题，打破思维定势，全面考虑 问题，对题目中隐含的条件进行挖掘，这也是此类题型分类讨论的依据．
2．(2018·山东菏泽中考改编)一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是 36，则输出的结 果为 106，要使输出的结果为 127，则输入的正整数是______________．
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此类题型主要是抓住图形特征进行讨论，如运动过程中对产生的形状不同进行讨论．选择不同的分类依据 会给问题解决带来不一样的难易程度，所以选择分类依据很重要．
3 ． (2018· 云 南 中 考 ) 在 △ABC 中 ， AB ＝ 34， AC ＝ 5 ， 若 BC 边 上 的 高 等 于 3 ， 则 BC 边 的 长 为 __________． 类型五 由对应关系不确定分类
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类型一
参考答案
【例 1】 (1)由题意知
3
1
{ { c＝ ，
a＝－ ，
4
4
1
解得 3
a－ ＋c＝0， c＝ ，
2
4
1 13 ∴抛物线 y1 的表达式为 y1＝－4x2－2x＋4.
∵抛物线 y1 平移后得到抛物线 y2，且顶点为 B(1，0)， 1
∴抛物线 y2 的表达式为 y2＝－4(x－1)2，
4 24 4 24
Q′R′＝2m－2，
5
1
同理可得 P′(2，－ )，R′(0，－ )，
4
4
11 P′R′的表达式为 y＝－ x－ .
24
13
11
综上所述，PR 的表达式为 y＝－ x＋ 或 y＝－ x－ .
24
24
变式训练
Hale Waihona Puke Baidu
1．C
类型二
【例 2】 (1)△ABC 是“等高底”三角形．理由如下：
如图 1，过 A 作 AD⊥BC 于 D，则△ADC 是直角三角形，∠ADC＝90°.
【分析】(1)应用待定系数法求表达式； (2)设出点 T 坐标，表示出△TAC 三边，进行分类讨论； (3)设出点 P 坐标，表示出 Q，R 坐标及 PQ，QR，根据以 P，Q，R 为顶点的三角形与△AMG 全等，分类讨论 对应边相等的可能性即可． 【自主解答】
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此类题型与概念的条件有关，如等腰三角形有两条边相等(没有明确哪两条边相等)、直角三角形有一个角 是直角(没有明确哪个角是直角)等，解决这类问题的关键是对概念内涵的理解，而且在分类讨论后还要判 断是否符合概念本身的要求(如能否组成三角形)．
1 ∵∠ACB＝30°，AC＝6，∴AD＝ AC＝3，
2 ∴AD＝BC＝3， 即△ABC 是“等高底”三角形． (2)如图 2，∵△ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，
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∴AD＝BC. ∵△ABC 关于 BC 所在直线的对称图形是△A′BC， ∴∠ADC＝90°. ∵点 B 是△AA′C 的重心，∴BC＝2BD. 设 BD＝x，则 AD＝BC＝2x，CD＝3x， 由勾股定理得 AC＝ 13x，
(3)设 Q(m， m2－ m)，根据相似三角形的判定方法，分两种情况讨论，然后分别解关于 m 的绝对值方程可 42
得到对应的 P 点坐标．
【自主解答】
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1 4．(2018·新疆乌鲁木齐中考)在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝－ x2＋bx＋c 经过点 A(－2，0)，
4 B(8，0)． (1)求抛物线的表达式； (2)点 C 是抛物线与 y 轴的交点，连结 BC，设点 P 是抛物线上在第一象限内的点，PD⊥BC，垂足为点 D. ①是否存在点 P，使线段 PD 的长度最大？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； ②当△PDC 与△COA 相似时，求点 P 的坐标．
l
的抛
物线 y2. (1)求抛物线 y2 的表达式； (2)如图 2，在直线 l 上是否存在点 T，使△TAC 是等腰三角形？若存在，请求出所有点 T 的坐标；若不存
在，请说明理由；
(3)点 P 为抛物线 y1 上一动点，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线 y2 于点 Q，点 Q 关于直线 l 的对称点为 R. 若以 P，Q，R 为顶点的三角形与△AMG 全等，求直线 PR 的表达式．
6 cm，矩形 ABCD 中 AB＝2 cm，BC＝10 cm，点 C 和点 M 重合，点 B，C(M)，N 在同一直线上，令 Rt△PMN 不 动，矩形 ABCD 沿 MN 所在直线以每秒 1cm 的速度向右移动，至点 C 与点 N 重合为止，设移动 x 秒后，矩形 ABCD 与△PMN 重叠部分的面积为 y，则 y 与 x 的大致图象是( )
(2018·湖南常德中考)如图，已知二次函数的图象过点 O(0，0)，A(8，4)，与 x 轴交于另一点 B， 且对称轴是直线 x＝3. (1)求该二次函数的表达式； (2)若 M 是 OB 上的一点，作 MN∥AB 交 OA 于 N，当△ANM 面积最大时，求 M 的坐标； (3)P 是 x 轴上的点，过 P 作 PQ⊥x 轴，与抛物线交于 Q.过 A 作 AC⊥x 轴于 C，当以 O，P，Q 为顶点的三角 形与以 O，A，C 为顶点的三角形相似时，求 P 点的坐标．
∵△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45°得到△A′B′C，
∴∠DCF＝45°.
设 DF＝CF＝x.
∵l1∥l2，∴∠ACE＝∠DAF， DF AE 1
∴ ＝ ＝ ，即 AF＝2x， AF CE 2
∴AC＝3x＝2 5，
2
2
∴x＝ 5，CD＝ 2x＝ 10.
3
3
Ⅱ.如图 4，此时△ABC 等腰直角三角形．
.
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专题三 5 大数学思想方法
第一节 分类讨论思想
类型一 由概念内涵分类
1 (2018·山东潍坊中考)如图 1，抛物线 y1＝ax2－2x＋c 与 x 轴交于点 A 和点 B(1，0)，与 y 轴交于点
3
C(0， )，抛物线 4
y1
的顶点为
G，GM⊥x
轴于点
M.将抛物线
y1
平移后得到顶点为
B
且对称轴为直线
1 11 即 y2＝－4x2＋2x－4.
(2)抛物线 y2 的对称轴 l 为 x＝1，设 T(1，t)． 3
已知 A(－3，0)，C(0， )． 4
如图，过点 T 作 TE⊥y 轴于点 E，则
3
3 25
TC2＝TE2＋CE2＝12＋( －t)2＝t2－ t＋ ，
4
2 16
.
.
.
.
153 TA2＝AB2＋TB2＝(1＋3)2＋t2＝t2＋16，AC2＝ .
【分析】(1)过 A 作 AD⊥BC 于 D，则△ADC 是直角三角形，∠ADC＝90°，依据∠ACB＝30°，AC＝6，可得 1
AD＝ AC＝3，进而得到 AD＝BC＝3，即△ABC 是“等高底”三角形； 2
(2)依据△ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，可得 AD＝BC，依据△ABC 关于 BC 所在直线的对称图 形是△A′BC，点 B 是△AA′C 的重心，即可得到 BC＝2BD，设 BD＝x，则 AD＝BC＝2x，CD＝3x，由勾股定
3＋ 137
3－ 137
77
4 )，T2(1， 4 )，T3(1，－ 8 )．
1 13
1 11
(3)设 P(m，－ m2－ m＋ )，则 Q(m，－ m2＋ m－ )．
4 24
4 24
∵Q，R 关于 x＝1 对称，
1 11 ∴R(2－m，－ m2＋ m－ )．
4 24 情况一：当点 P 在直线 l 的左侧时，
AC 13x 13 ∴＝ ＝ .
BC 2x 2 (3)①当 AB＝ 2BC 时， Ⅰ.如图 3，作 AE⊥BC 于 E，DF⊥AC 于 F.
∵“等高底”△ABC 的“等底”为 BC，l1∥l2，l1 与 l2 之间的距离为 2，AB＝ 2BC， ∴BC＝AE＝2，AB＝2 2，
∴BE＝2，即 EC＝4，∴AC＝2 5.