1集合、区间、邻域
考研数学一全部知识点总结(8K打印)
U ( x0 , )
o
,
4. 海 涅 (Heine) 归 结 原 则 ： lim f ( x ) A 的 充 要 条 件 是 ： 对 于 任 何 满 足
x x0
2 tan 1 tan 2 1 2 2 sin cos [sin( ) sin( )] cos 2 2cos 1 1 2sin 2 2 1 tan 1 cos 2 sin 2 cos sin [sin( ) sin( )] 1 tan 2 2 2tg ctg 2 1 1 ctg 2 cos cos [cos( ) cos( )] tg 2 2 1 tg 2ctg 2 sin 2 2sin cos
1 sin 3 3sin 4sin sin sin [cos( ) cos( )] 2 cos 3 4cos3 3cos
3
limxn x0 的数列{xn}，都有 lim f ( xn ) A 。
n n
归结原则对于验证函数在某点没有极限是较方便的， 例如可以挑选一个 收敛于该点的自变量 x 的数列{xn}，而相应的函数值数列{f(xn)}却不收敛；或 者选出两个收敛于该点的数列{xn},{x’n}，而相应的函数值数列{f(xn)},{f(xn)} 却具有不同的极限。 1.4 无穷小与无穷大 若 lim ( x) l ， 当 时 ， 则 称 x→x0 时 称 α(x) 是 β(x) 的 l 0 x x0 ( x )
(3)对于
f ( x) f ( x0 ) lim g ( x), x x0 (1) f ( x)很复杂，按定义求,f ( x0 ) x x0 x x0 f ( x) , A,x x0 (2)否则，先求出f ( x)，再求 lim f ( x)
1(1)集合与实数集
具有性质 M = { x x具有性质P }
花括号中竖线前的x 花括号中竖线前的 是 M 中元素的通用符号 中元素的通用符号, 而竖线后 则是 x 所具有的性质 所具有的性质.
4
集合与实数集
注
对几个常用的数集规定记号如下 对几个常用的数集规定记号如下 常用的数集 数集的字母的 右上角 标上 标上: 数集内排除0的集 数集内排除 的集. 的集 数集内排除0与负数的集 数集内排除 与负数的集. 与负数的集 N = {0, 1, 2,, n,};
13
集合与实数集
5. 逻辑符号 在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号
,. Any(每一个 的 All(所有的 的字头 的倒写 每一个)或 所有的)的字头 每一个 字头E的倒写 所有的 的字头A的倒写 Exist(存在 或 字头 的倒写 存在)的 存在
" " 表示 "任取 ", 或"任意给定 " " ". "存在 ","至少存在一个或"能够找到 表示 至少存在一个 ",实数的阿基米德 (Archmed) 公理是这样 ". 如 叙述的: 叙述的 任意给定两个正的实数 a,b,都存在一个 都存在一个 自然数n, 自然数 使得 na > b. 用逻辑符号 和, 将阿基米德公理改写 阿基米德公理改写 公理改写:
8
规定
集合与实数集
2. 集合 集合(set)的关系及集合的运算 的关系及集合的运算 (2) 集合的运算 集合的基本运算有三种: 并集, 交集, 差集. 集合的基本运算有三种 并集 交集 差集 是两个集合, 由所有属于A 设 A, B 是两个集合, 由所有属于A 或者属 元素组成的集合 于B元素组成的集合 称为 与B的 并集 元素组成的集合, 称为A与 的 并集, 记作 A∪B , 即 ∪ A∪B = { x x ∈ A 或 x ∈ B }; ∪
微积分复习
第一章1.1区间与邻域1.1.1区间开区间，闭区间，半开半闭区间，无穷区间，这四类统称为区间，还分为有限区间（a，b）[a,b]，无限区间(−∞，b)(a,+∞)（a,b成为区间的端点）。
全体实数的集合R也可表示为无限区间(−∞,+∞)1.1.2邻域定义，设δ为某个正数，称开区间(x0−σ,x0+σ)为点x0的δ的邻域，简称为点x0的邻域，记作U(x0,σ)即U(x0,σ)={x0|x0−σ<x0<x0+σ}={x||x−x0|}1.2函数的概念1.2.1函数的定义设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A 或f(A)={y丨f(x)=y,y∈B}其中x叫做自变量，y叫做x的函数，集合 A叫做函数的定义域，与x对应的y叫做函数值，函数值的集合{f(x)丨x∈A}叫做函数的值域。
1.2.2函数的表示法函数的表示法通常有三种：表格法、图像法和解析法。
1.2.3函数关系的建立为了建立函数关系，需要明确问题中的因变量和自变量，得出函数关系，并根据实际背景确定函数的定义域。
1.3函数的基本性质1.3.1函数的单调性设函数y=f(x)在区间I上有定义，x1及x2为区间I上任意两点，且x1<x2。
如果恒有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在I上是单调增加的；如果恒有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在I上是单调减少的。
单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
1.3.2函数的奇偶性设函数y=f(x)的定义域D关于原点对称。
如果在D上有f(x)= f(−x)，则称f(x)为偶函数；如果在D上有f(x)=−f(−x)，则称f(x)为奇函数。
1.3.3函数的周期性设函数y=f(x)的定义域为D。
如果存在一个非零数l，使得对于任一x∈D有(x±I)∈D,且f(x±I)=f(x)，则f(x)称为周期函数，l 称为f(x)的周期，如果在函数f(x)的所有正周期中存在一个最小的正数，则我们称这个正数为f(x)的最小正周期。
数集,确界原理
a
x
(, b) { x x b}
o
b
x
(, ) { x x < }
x
2、邻域
定义1 设a与 是两个实数 , 且 0. 数集
{ x x a }称为点a 的δ邻域 , 点 a 叫做这邻
域中心， 叫做这邻域的半径 . 记作
U (a, ) { x a x a }.
存在某个正整数n0 N+ , 使得n0 M .
事实上，对任何正数M，取 n0 M 1，
则n0 N , 且n0 M , 这就证明了N 无上界.
1 例 2 证明集合E y / y , x (0, 1) 是无界集. x
证明
对任何M 0,
0
a
a
a
x
点
a 的 左邻域 和 点 a 的空心 左邻域
U (a, ) { x a x a } (a , a]
U (a, ) { x a x a } (a , a)
0
邻域
U ( ) x | x | M , U ( ) x x M , U ( ) x x M
即 又是S 的最大下界， 则 称 数 为数集 S 的
下确界， 记为 inf S .
x0
S
(ii) 对任意 0, 存在x0 S , 使得x0 即 是 S 的最大下界.
的确界. 例3 讨论数集 S {x | x为(0, 1)中的有理数}
supS = 1
上确界， 记为 sup S . S
微积分(第一章)
f ( x) g ( x) h( x)
函数的积 f g ： ( f g )(x) f ( x) g ( x), x D f f f ( x) , x D, g ( x) 0 函数的商 ： ( )(x) g g ( x) g 例 设函数 f ( x) 的定义域为 (l , l )，证明必存在 (l , l ) 上的偶函数 g ( x) 和奇函数 h( x) ，使得
构成了 R f 到 X 上的一个映射，称为 f 的逆映射，记为 f 1 1 其定义域为 D ，值域为 R Rf X 。 f f
1
第一章 函数
§2 映射与函数
设有如下两个映射
g : X U1 , x u g ( x) f : U 2 Y , u y f (u)
g f f g ( ，称 f g )(x) f [ g ( x)] 对复合函数 为中间变量，其中
为自变量。 f g
u g ( x)
x Df g
第一章 函数
§3 复合函数与反函数
初等函数
把函数 F ( x) 3arcsin 分成几个简单函数的复合。 例2
例1
1 x 2
则称 f 为单射 ，如果映射 f 满足 R f Y ，则称 f 为满 射；如果映射 f 既是单射，又是满射，则称 f 为双射(又 称一一对应)。
第一章 函数
§2 映射与函数
二 、 逆映射与复合映射
设 f : A B 是单射，对应关系 g : R f X y x( f ( x) y )
和 F ( x) lg sin tan x
设有函数 y f (u) u 和 u ( x) a x ， 考察 a 1 ， a 1 时 y f [ ( x)] 是否为复合函数。
《高等数学(上册)》 第一章
作U (a ， ) ，即
o
U (a ， ) {x | 0 | x a | } ． 点 a 将整个邻域分为两部分，左边的称为左邻域，用区间 (a ，a) 表示，右边的称为 右邻域，用区间 (a ，a ) 表示．
1.1.2 函数的概念
在研究各种实际问题时，经常会遇到两种不同类型的量：一种 在所研究问题的过程中可取不同的数值；另一种在所研究问题的过 程中保持不变，只取一个固定值．前者为变量，后者为常量．在同 一个过程中，往往有几个变量同时变化，但是它们的变化不是孤立 的，而是按照一定的规律互相联系着．变量之间互相依赖的关系， 就是下面我们要介绍的函数关系．
1.1.3 函数的几种特性
2．单调性 一般地，设函数 y f (x) 在区间 (a ，b) 内有定义，如果对于 (a ，b) 内的任意两点 x1 和 x2 ，当 x1 x2 时，有 f (x1) f (x2 ) ，则称函数 f (x) 在 (a ，b) 内单调增加；如果对于 (a ，b) 内的任意两点 x1 和 x2 ，当 x1 x2 时，有 f (x1) f (x2 ) ，则称函数 f (x) 在 (a ，b) 内 单调减少． 单调增加函数与单调减少函数统称为单调函数，若函数 f (x) 在区间 (a ，b) 内是单 调函数，则称 (a ，b) 是该函数的单调区间．
一般地，设 y 是 u 的函数 y f (u) ，u 是 x 的函数 u (x) ．如果 u (x) 的值
域或其部分包含在 y f (u) 的定义域中，则 y 通过 u 构成 x 的函数，称为 x 的复合
函数，记作 y f [ (x)] ．其中，x 是自变量，u 称为中间变量．
1.1.4 反函数与复合函数
y f 1(x) 在各自的定义域内具有相同的单调性，在同一直角 坐标系中，它们的图像关于直线 y x 对称，如图所示．
高 等 数 学
高 等 数 学个人简介高等数学——研究变量间的关系及其变化趋势的数学学科。
怎样学高等数学1、学习内容——第一章至第七章(具体见书)2、教学安排——每两周12学时(即6次)讲课，2学时(即1次)习题课。
3、学习要求——专心听讲、做好笔记、预习复习、完成作业、遵守纪律。
4、参考资料——大连理工大学.陈小柱《高等数学》习题全解第一章 函数与极限第一节 映射与函数一、集合 1、 集合(1)集合——具有某种特定性质的事物组成的集体.用大写字母 C B A ,,表示.例如 ① 自然数集:},4,3,2,1,0{ =N ,而},4,3,2,1{ =+N ；② 整数集},3,2,1,0{ ±±±=Z ；有理数集:⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈=+互质与且q p q p q p,,N Z Q ； ④ 实数集:R , 而},0|{R R ∈>=+x x x .2、元素——组成集合的各个事物, 用小写字母 c b a ,,表示.3、集合与元素的关系(1)a 属于A ——事物a 是集合A 的元素. 记作A a ∈； (2)a 不属于A ——事物a 不是集合A 的元素. 记作A a ∉.4、空集——不含有任何元素的集合. 记作φ.5、全集——所研究的所有事物组成的集合. 记作S .6、集合的表示方法(1) 列举法——用列举全体元素表示集合的方法. 即},,,{21n a a a A =.例如 }6,5,4,3,2,1{=A .(2) 描述法——用元素具有的特征表示集合的方法. 即}|{所具有的特征a a A =.例如 }1|),{(22=+=y x y x A .7、集合的关系与运算(1)A 是B 的子集——B x A x ∈⇒∈∀. 记作B A ⊂.A 是B 的真子集——B A ⊂,且B A ≠,记作 .例如： , , .规定：空集为任何集合的子集.B A ≠⊂Z Q≠⊂N Z ≠⊂Q R ≠⊂A B(2)A 与B 相等——若B A ⊂且A B ⊂.例如：设},2,1{=A },1,2{=B },023{2=+-=x x x C 则.C B A ==(3)交集——}|{B x A x x B A ∈∈=且 ,简记为AB ；(4)并集——}|{B x A x x B A ∈∈=或 ；(5)差集——}|{B x A x x B A ∉∈=-且,B A -有时写成B A \；(6)余集(补集)——A S A c-=，其中S 为全集。
数集确界原理
x 不是 E
的最大数，所以它不是 E 的上界，即 中任一元素都属于下类
xA 。这说明 E
A
；
2
3 x E ，使得
A、B不漏性由A、B定义即可看出； A、B不乱.设 a A ，b B 因a不是E的上界，
a x b . 4 由 3
a x ，而E内每一元素属于A，所以
无限区间
x o
b
x
区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
3.邻域: 设a与是两个实数 , 且 0.
数集{ x x a }称为点 a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径 .
U (a ) { x a x a }.
.
( 1 ) n , 例2 ⑴ S 1 n
则
sup S ______,
⑵ 则
E y y sinx,
inf S _______ .
x (0, ).
inf E _________ . 例3 设S和A是非空数集，且有S A. 则 有 sup S sup A, inf S inf A.
不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 例如, { x x R, x 1 0}
2
规定 空集为任何集合的子集.
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a , b R, 且a b.
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a , b )
例6 设A,B为非空有限数集, S A B . 证明: 证 由于S A B显然是非空有界数集 因此S的上， 下确界都存在
高数讲义系列之一
高数讲义系列之一第一章函数及其图形1．1预备知识一、集合1、定义：具有某种共同属性的元素的全体构成集合。
通常用大写字母A、B、C。
表示集合，用abc表示集合中的元素，a属于A，表示为a∈A,元素与集合的关系是属于不属于的关系。
2、集合的表示方法：①列举法②描述法③区间法3、集合的类型：①有限集合②无限集合③空集4、集合之间的关系：子集与相等5、集合的运算：①交集②并集③补集二、区间是数集的表示方法，一般用I表示，区间类型：1、开区间：（a,b）=｛x︱a<x<b｝2、闭区间：[a,b]=｛x︱a≤x≤b｝3、半开半闭区间：[a,b)与(a,b]4、无限区间：（-∞，a）、（-∞，a）、（a,+∞）、[a, +∞]、（-∞，+∞）三、邻域是一个很小的区间，邻域指相邻的区域，有数还要有半径（范围）。
a为中心，δ为半径的邻域是指开区间（a-δ, a+δ）,记为N（a,δ）,即N（a,δ）=（a-δ, a+δ）=｛x︱a-δ<x< a+δ｝作业：习题1.1 (P8) ：全做1．2 函数一、一元函数的定义：设有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个值，按照某个对应法则，y有唯一确定的值与之对应，则x是自变量，y是x的函数。
记为y=f(x),也可记为y=g(x) y=Ф(x) y=F(x)等。
二、函数的主要表示方法：1、解析法（也叫代数法、公式法）：用x的代数式表示一个函数的方法。
有三种标准式：例如：①y=3x+1 ②f(x)=3x+1 ③3x+1 其中③是函数的简写式，一般在说函数时使用。
分段函数也是用解析法表示的一个函数2、图像法（图形法）：用函数图形表示函数的方法。
画图的方法是找几个点，连起来。
三、求定义域方法：定义域指自变量的取值范围，用D f表示；函数值的取值范围为值域，用R f表示。
求定义域通常考虑以下因素：①分母不能为0；②偶次根式的被开方数≥0；③对数的真数>0；④若函数有几项组成，其定义域是每项定义域交集；⑤分段函数的定义域是每段定义域的并集，每段定义域是该段的分段区间。
§2.数集.确界原理.
例5(P8) 设A, B为非空有界数集 , S A B.证明 : (i) sup S maxsup A, sup B; (ii) inf S mininf A, inf B.
U a; : x R x a a , a ;
(2)a的空心 邻域 : 点a的邻域去掉中心 " a" 后所得到的集合 , 记为 U 0 a; , 即
U 0 a; : x R 0 x a a , a a, a .
[思考题 ](P21/1 )设a, b R.证明 : 1 (1) maxa, b a b a b ; 2 1 (2) mina, b a b a b . 2
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§2.数集.确界原理 三. 确界与确界原理 1.确界的定义
例3(P7) 设数集 S有上确界 .证明 :
14
§2.数集.确界原理 三. 确界与确界原理 1.确界的定义
几点说明(P7) (1)并非每个数集 S都存在上 (下)确界;
[问题]如何用正面的语言定义 ( )不是数集 S的上(下)确界 ?
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§2.数集.确界原理 三. 确界与确界原理 1.确界的定义
几点说明(P7) (1)并非每个数集 S都存在上 (下)确界; (2)(P7)由上(下)确界的定义可知 , 若数集 S存在上 (下)确界, 则必唯一 ; (3)(P7)若数集 S存在上 , 下确界 , 则有 inf S sup S ; (4)(P7)数集S的上(下)确界可能属于 S , 也可能不属于 S;
高等数学课件1.1集合区间邻域
(2) 全体奇数的集合, 可记为
M { x | x 2n 1,n Z }.
集合之间的关系
若 xA
x B, 则称 A 是 B 的子集,
记为 A B. 若 A B, 且 B A, 就称集合 A 和 B 相等,
集合的概念
若 A B, 且 B A, 就称集合 A 和 B 相等, 记为 A B. 例如, A {1,2}, M { x | x2 3x 2 0}
可记为
A {1,2}.
2. 描述法: M { x | x 所具有的特征}
(1) 由方程 x2 3 x 2 0 的根构成的集合,
集合的概念
2. 描述法: M { x | x 所具有的特征}
(1) 由方程 x2 3 x 2 0 的根构成的集合, 可记为 M { x | x2 3x 2 0}.
A B {( x, y) | x A且 y B}. 如 R R {( x, y) | x R, y R} 即为 xOy 面上全 体点的集合, R R 常记作 R2 .
区间
定义 介于某两个实数之间的全体实数称为区间, 这两个实数叫做区间的端点.
设 a,b R, 且 a b, 定义 开区间 (a,b) { x | a x b}; 闭区间 [a,b] { x | a x b}; 半开区间 [a,b) { x | a x b},
或补集
A S A.
SA A
例如, 在实数集 R中, 集合 A { x | 0 x 1} 的余
集就是
A {x | x 0或 x 1}.
集合的基本运算规律
设 A, B,C 为任意三个集合, 则有下列法则成立: (1) 交换律 A U B B U A, A I B B I A; (2) 结合律 ( A U B) U C A U (B U C ),
数学分析1.2数集与确界原理
第一章实数集与函数2 数集·确界原理一、区间与邻域设a、b∈R，且a<b，我们称数集{x|a<x<b}为开区间，记作(a,b)；数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a,b]；数集{x|a≤x<b}和{x|a<x≤b}称为半开半闭区间，记作[a,b)和(a,b]，它们统称为有限区间。
(−∞,a]={x|x≤a}，[a,+∞)={x|x≥a}，(−∞,a)={x|x<a}，(a,+∞)={x|x>a}，(−∞, +∞) ={x|−∞<x<+∞}=R；它们统称为无限区间。
设a∈R，δ>0。
满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简单地写作U(a)，即有U(a;δ)={ x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ)点a的空心δ邻域定义为U⁰(a;δ)={ x|0<|x-a|<δ}也简单地记作U⁰ (a).点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a, a+δ)，简记为U+(a)；点a的δ左邻域U-(a;δ)= (a-δ, a]，简记为U-(a)；去除点a后的点a的空心δ左、右邻域分别简记为U⁰+(a)和U⁰-(a).∞邻域U(∞)= { x||x|>M}，其中M为充分大的正数(下同)；+∞邻域U(+∞)= { x|x>M}，-∞邻域U(-∞)= { x|x<-M}.二、有界集·确界原理定义1：设S为R中的一个数集。
若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)。
若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。
若S不是有界集，则称S为无界集。
例1：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。
证：显然，任何一个不大于1的实数都是的N+下界，故N+为有下界的数集；∀M>0，取n0=[M]+1，则n0∈N+，且n0> M，故N+为无上界的数集。
-高等数学-课件完整版
2020/10/17
一、 基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A {a1 , a2 ,, an }
有限集
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
2020/10/17
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
U (a) {x a x a }.
a
a
a x
点a的去心的邻域,
记作
U
0
(
a
).
U (a) { x 0 x a }.
2020/10/17
5.绝对值:
a
a a
a0 a0
运算性质:
ab a b;
( a 0)
a a; bb
a b a b a b.
0
x
1 ,
求函数
f
(x
3)的定义域.
1 x2
解
f
(
x)
1 2
0 x1 1 x2
f
(
x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 2
3 x 2 2 x 1
故 D f :[3,1]
2020/10/17
三、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x) M 成立,
则称函数 f ( x)在区间 I上是单调增加的 ;
y
y f (x)
2020/10/17
f (x2 )
f (x1)
o
x
I
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间I上是单调减少的;
§1.2确界
《数学分析》(1)
§1.2 数集 确界原理
四、非正常确界
1. 规定 (i ) a R, a ; (ii )若 S 无上界, 记 sup S . 若 S 无下界, 记 inf S .
2. 推广的确界原理: 非空数集必有上、下确界.
例1 sup N , inf{2n | n N } .
a
a
x
点a的去心的邻域 :
U (a； ) { x | 0 x a }
o
华北科技学院理学院
2017年11月29日星期三
4
《数学分析》(1)
§1.2 数集 确界原理
右邻域： U (a; ) [a, a ) 左邻域： U (a; ) (a , a]
• 对下确界有类似的结论.
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2017年11月29日星期三
17
《数学分析》(1)
§1.2 数集 确界原理
定理1.1
(确界原理)
设S R, S . 若 S 有上界, 则 S 必有上确界; 若 S 有下界, 则 S 必有下确界.
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2017年11月29日星期三
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上确界 M 上界
M1
M2
同样, 若S 有下界, 则最大的下界称为S的下确界.
下界 m2 m1 m
下确界
华北科技学院理学院
2017年11月29日星期三
11
《数学分析》(1)
§1.2 数集 确界原理
1. 是 上 界 ； 最小上界的定义2. 小 一 点 不 再 是 上 界 .
定义2 设 S R, S . 若 R满足:
14
《数学分析》(1)
《集合区间邻域》课件
02 区间的基本概念
区间的定义
01
02
03
闭区间
表示为[a, b]，包括端点a 和b。
开区间
表示为(a, b)，不包括端点 a和b。
半开半闭区间
表示为[a, b)或(a, b]，包 括端点a或b，但不包括另 一个端点。
区间的表示方法
01
区间可以用数轴上的阴影线段表 示，端点用实心点表示，中间部 分用空心或阴影表示。
集合的运算性质
总结词
集合的运算性质包括并集、交集、差集等。
详细描述
集合的运算性质是数学中重要的概念，它们包括并集、交集、差集等。并集是指两个集合中所有元素的集合，交 集是指两个集合中共有的元素组成的集合，差集是指从一个集合中去掉另一个集合中的元素后剩余的元素组成的 集合。这些运算性质在解决实际问题中具有广泛的应用。
03 邻域的基本概念
邻域的定义
邻域
在数轴上，对于任意一点$x$，存在一个区间$(a, b)$，使得该点$x$属于这个 区间，则称这个区间为点$x$的邻域。
邻域的大小
邻域的大小由区间的长度决定，长度越小，邻域越小。
邻域的表示方法
左邻域
点$x$的左邻域表示为$( infty, x)$，表示所有小于 $x$的实数。
离散概率分布
离散概率分布的研究中，集合区间和邻域用于定义离散概 率分布的概念，以及研究离散概率分布的性质和计算方法 。
离散随机过程
离散随机过程中，集合区间和邻域用于定义随机变量的取 值范围和概率分布，以及研究随机过程的性质和行为。
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导数与微分
导数的研究中，通过集合区间和邻域来定义导数的概念，并进一步 研究函数的可微性和可导性。
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等
数
学
微积分是高等数学的基本内容，是研究自然和社
会规律的重要工具，它不仅在经济领域中有着直接的
应用，而且也是学习其他经济数学知识的基础. 微积分的主要研究对象是函数，第一章我们将在中 学已有知识的基础上，复习和介绍函数及其相关知识， 并做适当延伸.
学习内容
• 第1章 函数
• 第2章 极限与连续
• 第3章 导数与微分
用字母 a, b, c 或
x0 , y0 , z 0等表示常量．
二、 集合
具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 通常用大写的拉丁字母A , B , C , …表示；组成集合的事 物称为元素，通常用小写拉丁字母a ,b ,c ,…表示。 元素 a 属于集合 M , 记作 a M . 元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) . 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
三、基本初等函数与初等函数
四、参数方程与极坐标 五、函数关系的建立
第一节 集合、区间、邻域
一、常量与变量 二、集合 三、绝对值 四、区间与邻域
一、常量与变量 在观察自然现象或研究科技问题的过程中，始终 可以取不同数值的量称 保持一定数值的量称为常量； 为变量。 常量可以作为变量的特例． 通常用字母 x, y, t 等表示变量；
设是任一正数, 则开区间(a – , a – )称为点a 的 邻域，记为
U(a, ) ={x | |x–a|＜ }.
点集 {x | 0＜|x–a|＜ }
称为点a 的去心δ邻域, 如图 , 记作 {x | 0＜|x–a|＜ }
a
a
a
x
集合表示法：
(1) 列举法：就是在花括号内把集合中所有元素一一列 举出来，元素之间用逗号隔开. 例: 自然数集 (2) 描述法： 例: 整数集合 实数集合
x 所具有的特征
或 x 为有理数或无理数
集合之间的关系及运算
设有集合 A , B , 若 x A 必有 x B , 则称 A是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B . 例如 , 若 , , 则称 A 与 B 相等, 记作 A B .
即
x (,1] 或 x [7,)
12
四、区间与邻域 设有实数a 和 b，取a＜b, 数集 {x | a＜x＜b},
称为开区间，记作（a，b），即 （a，b）= {x | a＜x＜b}.
（a,b）
o a
b
x
数集 {x | a≤x≤b}
称为闭区间，记[a，b]，即
[a,b]
[a，b]={x | a≤x≤b}.
且
显然有下列关系 :
给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
A B
并集 A B x
交集 A B x
或
B A
A B
且
例1 设 A {x 1 x 3}, B {x 2 x 6}, 则
A B {x 1 x 6}, A B {x 2 x 3},
（上学期）
• 第4章 导数的应用
• 第5章 不定积分
• 第6章 定积分
学习内容
• 第7章 向量与空间解析几何
• 第8章 多元函数微分学 • 第9章 二重积分 • 第10章 微分方程与差分方程 • 第11章 无穷级数 • 第12章 经济管理中常用数学模型及软件 下 学 期
第一章
二Байду номын сангаас函数
函 数
一、集合、区间、邻域
三、绝对值 符号 表示a 的绝对值，定义
•注：
例1：解下列不等式
1.
x 3 4
解： 4 x 3 4
3 4 x 3 4
即
1 x 7
2. x 3 4
x 1, 7
解：
x 3 4 或 x－ 3 4
x 7 或 x 1
o a
b
x
类似地 [a，b)={x | a≤x＜b}， (a，b]={x | a＜x≤b}， 称为半开半闭区间. 以上区间都称为有限区间，区间长度为b – a. 从数轴上看，这些有限区间是长度为有限的线段. 此外还有无限区间, 引进记号+ (读作正无穷大) 和-(读作负无穷大), 例如 [a，+) = {x | a≤x},(-，b) = {x | x＜b}. 全体实数的集合R也可记作(, +), 它也是无穷区间.