2020-2021学年福建省漳州一中高三(上)期中考试数学(理科)试题Word版含解析

2020-2021学年福建省漳州一中高三（上）期中考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．1．（5分）全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，集合B={1，3，5}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{1} B．{1，2，3，5} C．{ 2，3，5} D．{4}2．（5分）集合A={y|y=x﹣2}，B={y|y=}，则x∈A是x∈B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件3．（5分）命题：∀x∈Z，x2∈Z的否定是命题（）A．∀x∈Z，x2∉Z B．∀x∉Z，x2∉Z C．∃x∈Z，x2∈Z D．∃x∈Z，x2∉Z4．（5分）复数+i的共轭复数的虚部是（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣ix）的定义域是（）5．（5分）若函数y=f（2x）的定义域是[1，2]，则函数f（log2A．[1，2] B．[4，16] C．[0，1] D．[2，4]6．（5分）函数的图象大致是（）A．B． C．D．7．（5分）已知f（x+1）为偶函数，则函数y=f（2x）的图象的对称轴是（）A．x=1 B．x=C．x=﹣D．x=﹣18．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的图象一段如图，则f（2016）等于（）A．﹣1 B．﹣C．D．19．（5分）已知△ABC中内角A为钝角，则复数（sinA﹣sinB）+i（sinB﹣cosC）对应点在（）A．第Ⅰ象限B．第Ⅱ象限C．第Ⅲ象限D．第Ⅳ象限10．（5分）向量=（2，3），⊥，||=，则等于（）A．（﹣2，3）B．（﹣3，2）C．（3，﹣2）D．（﹣3，2）或（3，﹣2）11．（5分）在等差数列{an }中，若S9=18，Sn=240，an﹣4=30，则n的值为（）A．14 B．15 C．16 D．1712．（5分）定义在R上函数f（x）满足x f′（x）＞f（x）恒成立，则有（）A．f（﹣5）＞f（﹣3）B．f（﹣5）＜f（﹣3）C．3f（﹣5）＞5f（﹣3）D．3f（﹣5）＜5f（﹣3）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置．13．（5分）已知A（1，0），B（0，1）在直线mx+y+m=0的两侧，则m的取值范围是．14．（5分）设函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数，则k的取值范围是．15．（5分）阅读下列程序框图，该程序输出的结果是．16．（5分）在△ABC中，三个内角分别是A、B、C，向量=（cos，cos），当tanA•tanB=时，则||= ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把解答过程填写在答题卡的相应位置．17．（12分）已知等比数列{an }的前n项和为Sn，且S6=S3+14，a6=10﹣a4，a4＞a3．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）数列{bn }中，bn=log2an，求数列{an•bn}的前n项和Tn．18．（12分）已知△ABC的面积S满足，且•=6，与的夹角为α．（1）求α的取值范围；（2）若函数f（α）=sin2α+2sinαcosα+3cos2α，求f（α）的最小值，并指出取得最小值时的α．19．（12分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1各棱长都为a，P为线段A1B上的动点．（Ⅰ）试确定A1P：PB的值，使得PC⊥AB；（Ⅱ）若A1P：PB=2：3，求二面角P﹣AC﹣B的大小．20．（12分）设动点P（x，y）（y≥0）到定点F（0，1）的距离比它到x轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）设圆M过A（0，2），且圆心M在曲线C上，EG是圆M在x轴上截得的弦，试探究当M 运动时，弦长|EG|是否为定值？为什么？21．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2．（1）求a，b的值；（2）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底）．本题有22、23两个选答题，请考生任选1题作答，满分10分，如果多做，则按所做的前一题计分．作答时，将所选题号填人括号中．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，单位长度一致建立平面直角坐标系，曲线C：（θ为参数），直线l：极坐标方程为ρsin（θ﹣）=1．（Ⅰ）求曲线C的普通方程，直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，求x2+y2+z2的最小值．2020-2021学年福建省漳州一中高三（上）期中考试数学（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．1．（5分）全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，集合B={1，3，5}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{1} B．{1，2，3，5} C．{ 2，3，5} D．{4}（A∩B）），然后根据集合的基本运算，即可得【分析】阴影部分表示的集合为（A∪B）∩（∁U到结论（A∩B）），【解答】解：阴影部分表示的集合为（A∪B）∩（∁U集合A={1，2}，集合B={1，3，5}，∴A∪B={1，2，3，5}，A∩B={1}，（A∩B）={2，3，4，5}，∴∁U（A∩B））={2，3，5}，∴（A∪B）∩（∁U故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图确定集合的关系是解决本题的关键．2．（5分）集合A={y|y=x﹣2}，B={y|y=}，则x∈A是x∈B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件【分析】分别求出关于A、B的范围，根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：∵A={y|y=x﹣2}={y|y＞0}，B={y|y=}={y|y≥0}，则x∈A是x∈B的充分必要必要条件，故选：A．【点评】本题考查了集合的包含关系，考查函数的值域问题，是一道基础题．3．（5分）命题：∀x∈Z，x2∈Z的否定是命题（）A．∀x∈Z，x2∉Z B．∀x∉Z，x2∉Z C．∃x∈Z，x2∈Z D．∃x∈Z，x2∉Z【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：∀x∈Z，x2∈Z的否定是命题：∃x∈Z，x2∉Z．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．4．（5分）复数+i的共轭复数的虚部是（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数+i得答案．【解答】解：+i=，则复数+i的共轭复数的虚部是：﹣1．故选：B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．x）的定义域是（）5．（5分）若函数y=f（2x）的定义域是[1，2]，则函数f（log2A．[1，2] B．[4，16] C．[0，1] D．[2，4]【分析】由函数f（2x）的定义域为[1，2]，可知自变量的范围，进而求得2x的范围，也就知道了logx的范围，从而求得自变量的范围．2【解答】解：∵函数f（2x）的定义域为[1，2]，∴2≤2x≤4∴2≤logx≤42∴4≤x≤16x）的定义域为：[4，16]．∴f（log2故选：B．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了对数不等式的解法，是基础题．6．（5分）函数的图象大致是（）A．B． C．D．【分析】根据函数图象的平移变换法则，我们可将反比例函数的图象向左平移1个单位得到函数的图象，由反比例函数的单调性，我们可以分析出函数的单调性，比照四个答案中的图象，即可得到答案．【解答】解：函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位得到的，由于函数在（﹣∞，0），（0，+∞）上均为增函数，故函数在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上均为增函数，分析四个答案中的四个图象，只有B中符合要求故选B【点评】本题考查的知识点是函数的图象，其中根据图象的平移变换法则，分析出函数的单调性是解答本题的关键．7．（5分）已知f（x+1）为偶函数，则函数y=f（2x）的图象的对称轴是（）A．x=1 B．x=C．x=﹣D．x=﹣1【分析】根据复合函数的对称性，由f（x+1）是偶函数，故函数f（x+1）的图象关于Y轴对称，此时x=0，括号内x+1=1，故y=f（2x）的图象的对称轴依然要保证括号内的整体2x=1，即x=．【解答】解：∵f（x+1）是偶函数，∴函数f（x+1）的图象关于y轴对称，∴函数f（x）的图象关于直线x=1对称，∴函数f（2x）的图象关于直线x=对称，故选B．【点评】求复合函数的对称轴的关键是“以不变应万变”，即不管函数括号里的式子形式怎么变化，括号里式子的取值始终不发生变化．8．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的图象一段如图，则f（2016）等于（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f（2016）的值，【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的图象，可得A=2，=1﹣（﹣2）=3，∴ω=，再结合五点法作图可得﹣2•+φ=，∴φ=，∴f（x）=2sin（•x+），f（2016）=2sin（+）=2sin（672π+）=2sin=﹣2sin=﹣1，故选：A．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，求三角函数的值，属于基础题．9．（5分）已知△ABC中内角A为钝角，则复数（sinA﹣sinB）+i（sinB﹣cosC）对应点在（）A．第Ⅰ象限B．第Ⅱ象限C．第Ⅲ象限D．第Ⅳ象限【分析】①△ABC中内角A为钝角，可得A＞B，A=π﹣（B+C），∴sinA﹣sinB=sin（B+C）﹣sinB，根据A为钝角，可得0＜B＜B+C＜，利用正弦函数的单调性即可得出sinA﹣sinB＞0．②由0＜B+C＜，可得0＜B＜﹣C，可得sinB＜sin（﹣C）=cosC．即可复数（sinA ﹣sinB）+i（sinB﹣cosC）对应点（sinA﹣sinB，sinB﹣cosC）在第四象限．【解答】解：①∵△ABC中内角A为钝角，∴A＞B，A=π﹣（B+C），∴sinA﹣sinB=sin[π﹣（B+C）]﹣sinB=sin（B+C）﹣sinB，∵A为钝角，∴0＜B＜B+C＜，∴sin（B+C）＞sinB，即sin（B+C）﹣sinB＞0，则sinA﹣sinB＞0．②∵0＜B+C＜，∴0＜B＜﹣C，∴sinB＜sin（﹣C）=cosC，∴sinB＜cosC，∴复数（sinA﹣sinB）+i（sinB﹣cosC）对应点（sinA﹣sinB，sinB﹣cosC）在第四象限．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的单调性求值诱导公式、三角形内角和定理、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）向量=（2，3），⊥，||=，则等于（）A．（﹣2，3）B．（﹣3，2）C．（3，﹣2）D．（﹣3，2）或（3，﹣2）【分析】设向量=（x，y），根据平面向量垂直的定义和模长公式，列出方程组求出解即可．【解答】解：设向量=（x，y），∵=（2，3），⊥，||=，∴，解得或；∴=（﹣3，2）或（3，﹣2）．故选：D．【点评】本题考查了平面向量垂直的定义和模长公式的应用问题，也考查了解方程组的问题，是基础题目．11．（5分）在等差数列{an }中，若S9=18，Sn=240，an﹣4=30，则n的值为（）A．14 B．15 C．16 D．17【分析】由等差数列前n项和公式，等差数列的性质，得出a5=2，a1+an=a5+an﹣4=32．整体代入前n项和公式求出n即可【解答】解：根据等差数列前n项和公式，S9==18，又根据等差数列的性质，a1+a9=2a5，S9=9a5，a5=2，∴a5+an﹣4=32．Sn===16n=240，∴n=15故选B．【点评】本题考查等差数列前n项和公式的灵活应用，等差数列的性质．利用等差数列的性质，进行整体代换，使问题巧妙获解．12．（5分）定义在R上函数f（x）满足x f′（x）＞f（x）恒成立，则有（）A．f（﹣5）＞f（﹣3）B．f（﹣5）＜f（﹣3）C．3f（﹣5）＞5f（﹣3）D．3f（﹣5）＜5f（﹣3）【分析】构造函数g（x），求出g（x）的导数，从而判断出答案即可．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，而x f′（x）＞f（x）恒成立，故g′（x）＞0，g（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）递增，故g（﹣5）＜g（﹣3），即3f（﹣5）＞5f（﹣3），故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）是解题的关键，本题是一道基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置．13．（5分）已知A（1，0），B（0，1）在直线mx+y+m=0的两侧，则m的取值范围是﹣1＜m ＜0 ．【分析】将点A（1，0），B（0，1）的坐标代入直线方程，使它们异号，建立不等关系，求出参数m即可．【解答】解：将点A（1，0），B（0，1）的坐标代入直线方程，可得两个代数式，∵在直线mx+y+m=0的两侧，∴（m+m）（1+m）＜0解得﹣1＜m＜0，故答案为﹣1＜m＜0【点评】本题主要考查了简单的线性规划，属于基础题．14．（5分）设函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数，则k的取值范围是（﹣∞，] ．【分析】先求导函数f'（x），函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数转化成f'（x）≤0在区间（0，4）上恒成立，讨论k的符号，从而求出所求．【解答】解：f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x，∵函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数，∴f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x≤0在区间（0，4）上恒成立当k=0时，成立k＞0时，f'（4）=48k+6（k﹣1）×4≤0，即0＜k≤，k＜0时，f'（4）=48k+6（k﹣1）×4≤0，f'（0）≤0，k＜0故k的取值范围是k≤，故答案为：（﹣∞，]．【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了分析与解决问题的综合能力，属于基础题．15．（5分）阅读下列程序框图，该程序输出的结果是28 ．【分析】执行程序框图，写出每次循环S，a的值，根据判断条件不难得到输出的结果．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=1，s=1不满足条件a＞3，执行循环体，s=10，a=2不满足条件a＞3，执行循环体，s=19，a=3不满足条件a＞3，执行循环体，s=28，a=4满足条件a＞3，退出循环，输出s的值为28．故答案为：28．【点评】本题考查的知识点是循环结构，其中模拟循环法是解答此类问题最常用的方法，属于基础题．16．（5分）在△ABC中，三个内角分别是A、B、C，向量=（cos，cos），当tanA•tanB=时，则||= ．【分析】根据向量模的定义和三角函数的化简即可求出答案．【解答】解：∵向量=（cos，cos），∴||2=（cos，cos）=cos2+cos2=（cosC+1）+[cos（A﹣B）+1]=﹣cos（A+B）+cos（A+B）+=﹣（cosAcosB﹣sinAsinB）+（cosAcosB+sinAsinB）+=﹣cosAcosB+sinAsinB+，∵tanA•tanB=，∴sinAsinB=cosAcosB，∴||2=，∴||=，故答案为：【点评】本题考查了向量的模和三角形函数的化简和求值，关键是掌握二倍角公式，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把解答过程填写在答题卡的相应位置．17．（12分）已知等比数列{an }的前n项和为Sn，且S6=S3+14，a6=10﹣a4，a4＞a3．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）数列{bn }中，bn=log2an，求数列{an•bn}的前n项和Tn．【分析】（1）根据递推公式，即可求数列{an}的通项公式；（II）求得数列{bn }的通项，再利用错位相减法，即可求得数列{bn}的前n项的和Tn【解答】解：（Ⅰ）由已知a4+a5+a6=14，∴a5=4，又数列{an}成等比，设公比q，则+4q=10，∴q=2或（与a4＞a3矛盾，舍弃），∴q=2，an=4×2n﹣5=2n﹣3；（Ⅱ）bn =n﹣3，∴an•bn=（n﹣3）×2n﹣3，Tn=﹣2×2﹣2﹣1×2﹣1+0+…+（n﹣3）×2n﹣3，2Tn=﹣2×2﹣1﹣1×20+0+…+（n﹣3）×2n﹣2，相减得Tn=2×2﹣2﹣（2﹣1+20+…+2n﹣3）+（n﹣3）×2n﹣2=﹣（2n﹣2﹣）+（n﹣3）×2n﹣2=（n﹣4）×2n﹣2+1，【点评】本题考查数列的通项与求和，解题的关键是掌握数列求通项的方法，正确运用错位相减法，属于中档题．18．（12分）已知△ABC的面积S满足，且•=6，与的夹角为α．（1）求α的取值范围；（2）若函数f（α）=sin2α+2sinαcosα+3cos2α，求f（α）的最小值，并指出取得最小值时的α．【分析】（1）利用两个向量的数量积的定义及三角形的面积公式，求出tanα的范围，从而求出α的取值范围．（2）由二倍角的三角函数公式及同角三角函数的基本关系，把f（α）化为2+sin（2α+），由α的范围得到2α+的范围，进而得到2+sin（2α+）的最小值．【解答】解：（1）由题意知•=6=||•||cosα①，S=||•||sin（π﹣α）=||•||sinα②，由②÷①得=tanα，即3tanα=S，由3≤S≤3，得3≤3tanα≤3，即 1≤tanα≤，又α为与的夹角，∴α∈〔0，π〕∴α∈[，]．（2）f（α）=sin2α+2sinαcosα+3cos2α=1+sin2α+2cos2α∴f（α）=2+sin2α+cos2α=2+sin（2α+），∵α∈〔，〕，∴2α+∈〔，〕，∴当 2α+=，即α=时，f（α）min=．【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，二倍角的三角公式的应用以及由角的范围确定三角函数值的范围的方法．19．（12分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1各棱长都为a，P为线段A1B上的动点．（Ⅰ）试确定A1P：PB的值，使得PC⊥AB；（Ⅱ）若A1P：PB=2：3，求二面角P﹣AC﹣B的大小．【分析】【法一】（Ⅰ）利用三角形的中位线，可确定A1P：PB的值，使得PC⊥AB；（Ⅱ）先作出二面角P﹣AC﹣B的平面角，再进行计算；【法二】建立空间直角坐标系，（Ⅰ）由，可确定A1P：PB的值，使得PC⊥AB；（Ⅱ）确定平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论．【解答】解：【法一】（Ⅰ）当PC⊥AB时，作P在AB上的射影D，连接CD，则AB⊥平面PCD，∴AB⊥CD，∴D是AB的中点，又PD∥AA1，∴P也是A1B的中点，即A1P：PB=1．反之当A1P：PB=1时，取AB的中点D'，连接CD'、PD'．∵△ABC为正三角形，∴CD'⊥AB．由于P为A1B的中点时，PD'∥A1A∵A1A⊥平面ABC，∴PD'⊥平面ABC，∴PC⊥AB．…6′（Ⅱ）当A1P：PB=2：3时，作P在AB上的射影D，则PD⊥底面ABC．作D在AC上的射影E，连接PE，则PE⊥AC，∴∠DEP为二面角P﹣AC﹣B的平面角．又∵PD∥AA1，∴，∴．∴，又∵，∴，∴，∴P﹣AC﹣B的大小为∠PED=60°． (12)【法二】以A为原点，AB为x轴，过A点与AB垂直的直线为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示，设P（x，0，z），则B（a，0，0）、A1（0，0，a）、．（Ⅰ）由得，即，∴，即P为A1B的中点，也即A1P：PB=1时，PC⊥AB．…4′（Ⅱ）当A1P：PB=2：3时，P点的坐标是．取．则，．∴是平面PAC的一个法向量．又平面ABC的一个法向量为．∴，∴二面角P﹣AC﹣B的大小是60°．…（12分）【点评】本题考查线线垂直，考查面面角，考查利用向量知识解决立体几何问题，确定平面的法向量是关键．20．（12分）设动点P（x，y）（y≥0）到定点F（0，1）的距离比它到x轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）设圆M过A（0，2），且圆心M在曲线C上，EG是圆M在x轴上截得的弦，试探究当M 运动时，弦长|EG|是否为定值？为什么？【分析】（Ⅰ）由题意知，P的轨迹满足抛物线的定义，故可求出抛物线的焦点，继而求出抛物线方程．（Ⅱ）待定系数法设出圆的方程，设出圆与x轴的两个焦点E，G的坐标，再根据圆心在抛物线上，将圆心坐标代入抛物线，两个式子联立可求出x1﹣x2是否为定值．【解答】解：（Ⅰ）依题意知，动点P到定点F（0，1）的距离等于P到直线y=﹣1的距离，曲线C是以原点为顶点，F（0，1）为焦点的抛物线∵∴p=2∴曲线C 方程是x 2=4y（Ⅱ）设圆的圆心为M （a ，b ）， ∵圆M 过A （0，2），∴圆的方程为 （x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=a 2+（b ﹣2）2 令y=0得：x 2﹣2ax+4b ﹣4=0设圆与x 轴的两交点分别为（x 1，0），（x 2，0） 不妨设x 1＞x 2，由求根公式得，∴又∵点M （a ，b ）在抛物线x 2=4y 上， ∴a 2=4b ， ∴，即|EG|=4∴当M 运动时，弦长|EG|为定值4【点评】本题考查圆与抛物线相交关系的应用，考查了圆的定义，抛物线的定义，以及点的轨迹方程的求法，属于难题．21．（12分）已知函数f （x ）=alnx ﹣bx 2图象上一点P （2，f （2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2． （1）求a ，b 的值； （2）若方程f （x ）+m=0在内有两个不等实根，求m 的取值范围（其中e 为自然对数的底）．【分析】（1）对函数f （x ）进行求导，根据f'（2）=﹣3得到关于a 、b 的关系式，再将x=2代入切线方程得到f （2）的值从而求出答案．（2）由（1）确定函数f（x）的解析式，进而表示出函数h（x）后对其求导，根据单调性与其极值点确定关系式得到答案．【解答】解（1），，f（2）=aln2﹣4b．∴，且aln2﹣4b=﹣6+2ln2+2．解得a=2，b=1．（2）f（x）=2lnx﹣x2，令h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m，则，令h'（x）=0，得x=1（x=﹣1舍去）．在内，当x∈时，h'（x）＞0，∴h（x）是增函数；当x∈（1，e]时，h'（x）＜0，∴h（x）是减函数．则方程h（x）=0在内有两个不等实根的充要条件是即1＜m≤．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．本题有22、23两个选答题，请考生任选1题作答，满分10分，如果多做，则按所做的前一题计分．作答时，将所选题号填人括号中．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，单位长度一致建立平面直角坐标系，曲线C：（θ为参数），直线l：极坐标方程为ρsin（θ﹣）=1．（Ⅰ）求曲线C的普通方程，直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．【分析】（Ⅰ）曲线C：（θ为参数），利用平方关系可得曲线C的普通方程．直线l：极坐标方程为ρsin（θ﹣）=1，展开为：ρsinθ﹣ρcosθ=2，利用互化公式可得直角坐标方程．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式可得：圆心C（0，0）到直线的距离d，因此所求的最大值=d+r．【解答】解：（Ⅰ）曲线C：（θ为参数），利用平方关系可得：曲线C：x2+y2=1．直线l：极坐标方程为ρsin（θ﹣）=1，展开为：ρsinθ﹣ρcosθ=2，可得直角坐标方程：x﹣y+2=0．（Ⅱ）圆心C（0，0）到直线的距离d=，因此所求的最大值=d+r=1+1=2．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，求x2+y2+z2的最小值．【分析】依题意得（x+y+z）=，即x+y+z=．再利用柯西不等式的性质即可得出．【解答】解：依题意得（x+y+z）=，即x+y+z=．∴3=（x+y+z）2≤（x2+y2+z2）（1+1+1），∴x2+y2+z2≥1当且仅当x=y=z=1等号成立，∴x2+y2+z2的最小值为1．【点评】本题考查了柯西不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。