圆锥曲线的轨迹方程经典题型训练含参考答案

圆锥曲线的轨迹方程
1．已知直线2
:220(1)l x ay a a --=>椭圆2
22:1x C y a
+=，1F ，2F 分别为椭圆的左右焦点．
（Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求C 的标准方程；
2．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P 是椭圆上的一点，I 为△12PF F 的内
切圆圆心，11222PIF IF F PIF S S S =-V V V ，且△12PF F 的周长为6． （1）求椭圆C 的方程．
3．椭圆22
22:1(1)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆E 上两动点P ，Q 使得四边形12
PFQF
为平行四边形，且平行四边形12PFQF 的周长和最大面积分别为8和 （1）求椭圆E 的标准方程；
4．已知(2,0)A -，(2,0)B ，点P 在平面内运动，1
4
PA PB k k =-g ．
（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；
5．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，且1F 是圆2270x y +-+=的圆心，
点H 的坐标为(0,)b ，且△12HF F 的面积为 （1）求椭圆C 的方程．
6．设1F ，2F 分别是椭圆22
22:1(0,0)x y C a b a b
+=>>的左，右焦点，A ，B 两点分别是椭圆C 的上，下顶
点，△12AF F 是等腰直角三角形，延长1AF 交椭圆C 于D 点，且2ADF ∆的周长为 （1）求椭圆C 的方程；
7．已知点F 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的一个焦点，点A 为椭圆的右顶点，点B 为椭圆的下顶点，椭圆
上任意一点到点F 距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>，左右焦点分别为1F 、2F ，A 为椭圆上一点，1AF 与
y 轴交于点B ，2||||AB F B =，||OB =
． （1）求椭圆C 的方程；
9．已知椭圆22
22:1(0,0)x y E a b a b
+=>>的左，右焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，点P 在椭圆E 上，212PF F F ⊥，
且12||3||PF PF =．
（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；
10．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)F 为椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点，过F 的直线与椭圆E
交于A 、B 两点，线段AB 的中点为21
(,)33
P ．
（1）求椭圆E 的方程；
11．已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0F ，)(0)c c >关于直线:20l x y --=的对称点为M ，且
||FM =P 为C 的准线上的任意一点，过点P 作C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．
（1）求抛物线C 的方程；
12．已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，且过点2F 的直线
l 交椭圆于A ，B 两点，△1AF B 的周长为．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
13．有一种曲线画图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1
2
DN ON ==
，1DM =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（1）求曲线C 的轨迹方程；
14．已知圆22(4)(4)25x y -+-=经过抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点F ，且与抛物线E 的准线l 相切． （1）求抛物线E 的标准方程；
15．已知焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>与圆222:1O x y p +=+交于点0(1,)P y ． （1）求抛物线C 的方程；
16．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A ，B
的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为3
4
-．
（Ⅰ）求C 的方程；
17．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>过点M ，且焦距为4．
（1）求椭圆C 的标准方程；
18．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的长轴长为28y x =的焦点重合．
（1）求椭圆C 的标准方程；
19．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的上顶点为B ，圆22:4C x y '+=与y 轴的正半轴交于点A ，与C 有
且仅有两个交点且都在x 轴上||,||OB O OA =为坐标原点）． （1）求椭圆C 的方程；
20．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在x ，1F ，2F 分别为椭圆E 的左、右焦点，点P 在椭圆E 上，以线段12F F 为直径的圆经过点P ，线段1F P 与y 轴交于点B ，且11||||6F P F B =g ． （1）求椭圆E 的方程；
21．已知(0,2)P -，点A ，B 分别为椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右顶点，直线BP 交E 于另一点Q ，
ABP ∆为等腰直角三角形，且||:||3:2PQ QB =．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
22．已知圆221:(3)16F x y ++=，圆心为1F ，定点2(3,0)F ，P 为圆1F 上一点，线段2PF 上一点K 满足222PF KF =u u u r u u u r
，直线1PF 上一点Q 满足20QK KF =u u u r u u u r g ．
（1）求点Q 的轨迹E 的方程；
23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1
2
，F 是椭圆C 的一个焦点，点(0,2)M ，直线MF 的斜
率为2．
（1）求椭圆C 的方程；
24．、已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率1
2
e =，左、右焦点分别为1F 、2F ，(4,0)P -，过点P 的
直线斜率为k ，交椭圆E 于A ，B 两点，12211221sin sin sin()BF F BF F a BF F BF F ∠+∠=∠+∠． （1）求椭圆E 的方程；
25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1
2
，过椭圆右焦点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，
当直线l 与x 轴垂直时，||3AB =． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
26．已知椭圆2222:1x y C a b +=，右顶点为A ，右焦点为F ，O 为坐标原点，2OA OF =u u u r u u u r ，椭圆C 过点3
(1,)2
-．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
27．已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的焦距为1:4l x =与x 轴的交点为G ，过点(,0)M l 且不
与x 轴重合的直线2l 交E 于点A ，B ．当2l 垂直x 轴时，ABG ∆． （1）求E 的方程；
28．已知点M 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，1260F MF ∠=︒，△
12MF F 的面积为1
2
．
（1）求椭圆的方程；
29．已知Q ，R 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点，P 点为椭圆C 上一点，点P 关于x 轴的对称
点为H ，且1
2
PQ RH k k =g ．
（1）若椭圆C 经过圆22(1)4x y +-=的圆心，求椭圆C 的方程；
30．已知1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，离心率为1
2
，P 是椭圆上异于左右顶
点的一动点，已知△12F PF 的内切圆半径的最大值为3
． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
31．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为4，直线1:b
l y x c
=与椭圆相交于
A 、
B 两点，2F 关于直线1l 的对称点E 恰好在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
32．已知点3
(1,)2P ，(1,)a x y =-r ，(1,)b x y =+r ，且
||||4a b +=r r ，满足条件的点(,)Q x y 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；
33．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，P 为抛物线上一点，当P 的横坐标为1时，3||2
PF =． （1）求抛物线C 的方程；
34．已知过点(4,0)A -的动直线l 与抛物线2:2(0)G x py p =>相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是1
2
时，4AC AB =u u u r u u u r ．
（1）求抛物线G 的方程；
35．已知抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ，Q 是抛物线上的一点，FQ =u u u r
．
（Ⅰ）求抛物线C 的方程；
36．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>与抛物线2:4D y x =-有共同的焦点F ，且两曲线的公共点到F 的
距离是它到直线4x =-（点F 在此直线右侧）的距离的一半． （1）求椭圆C 的方程；
37．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，
点3
(1,)2
P 在椭圆C 上，满足1294PF PF =u u u r u u u u r g ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
38．直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别为椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点，A 为椭圆的右顶点，点
P 为椭圆C 上的动点（点P 与C 的左右顶点不重合），当△12PF F 为等边三角形时，123PF F S =V ． （1）求椭圆C 的方程；
（2）如图，M 为AP 的中点，直线MO 交直线4x =-于点D ， 过点O 作//OE AP 交直线4x =-于点E ，证明11OEF ODF ∠=∠．
39．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点为1F ，过点1F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
2，且1F 与短轴两端点的连线相互垂直．
（1）求椭圆C 的方程；
40．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b
Γ+=>>的离心率为2
，过椭圆Γ的焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆Γ截得
的弦长为2． （1）求椭圆Γ的方程；
41．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线与C 交于M ，N 两
点．2MNF ∆的周长为8，且||MN 的最小值为3． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
42．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，F 为其
右焦点，1111B A B F =u u u u r u u u u r g ，且该椭圆的离心率为1
2
．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
43．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>，与x 轴交于点1A ，2A ，过x 轴上一点Q 引x 轴的
垂线，交椭圆C 于点1P ，2P ，当Q 与椭圆右焦点重合时，12||1PP =． （1）求椭圆C 的方程；
44．在平面直角坐标系内，点(1,0)F ，过点P 作直线:l x m =的垂线，垂足为M ，MF 的中点H 在y 轴上，且()0PM PF FM +=u u u u r u u u r u u u u r
g ．设点P 的轨迹为曲线Q ．
（1）求曲线Q 的方程；
45．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点坐标为(，A ，B 分别是椭圆的左，右顶点，
P 是椭圆上异于A ，B 的一点，且PA ，PB 所在直线斜率之积为1
4
-．
（1）求椭圆C 的方程；
46．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在x ，1F 、2F 分别为楠圆E 的左、右焦点，点P 在椭圆E 上，以线段12F F 为直径的圆经过点P ，线段1F P 与y 轴交于点B ，且11||||6F P F B =g ． （1）求椭圆E 的方程；
47．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，经过左焦点1F 的最短弦长为3，离心率
为12
． （1）求椭圆的标准方程；
48．点(1,1)A 是抛物线2:2C x py =内一点，F 是抛物线C 的焦点，Q 是抛物线C 上任意一点，且已知||||QA QF +的最小值为2．
（1）求抛物线C 的方程；
圆锥曲线的轨迹方程参考答案
1.【解答】（Ⅰ）由题可得：22222
,12,12a c a c a c =-=⇒==，所以椭圆C 的方程为2212
x y +=．
2.【解答】（1）因为11222PIF IF F PIF S S S =-V V V ，所以1212||||2||PF PF F F +=，即2a c =①， 又因为△12PF F 的周长为6，所以1212||||||6PF PF F F ++=，即226a c +=②，
由①②可得2a =，1c =，则3b =，所以椭圆的方程为22
143
x y +=．
3.【解答】（1）由平行四边形12PFQF 的周长为8，
可知48a =，即2a =．由平行四边形的最大面积为23，可知3bc =，又1a b >>，解得3,1b c ==．所以椭圆方程为22
143
x y +=．
4.【解答】（Ⅰ）设(,)P x y ，0y ≠，则2124n y
y x x -=-+g ，22
221(4)144
x y x y =--⇒+=；
所以点P 的轨迹方程：2
21(0)4
x y y +=≠；
5.【解答】（1）由224270x y x +-+=，可得22(22)1x y -+=，则圆心坐标为(22，0)， 即1F (22，0)，22c ∴=，Q △12HF F 的面积为22，∴
1
2222
c b ⨯⨯=， 1b ∴=，2
2
2
9a b c ∴=+=，∴椭圆C 的方程为：2
219
x y +=；
6.【解答】（1）2ADF ∆Q 的周长为42，由椭圆的定义可知，12||||2AF AF a +=，12||||2DF DF a +=， 442a ∴=，2a ∴=，又Q △12AF F 是等腰直角三角形，且222a b c =+，1b c ∴==，
∴椭圆C 的方程为：2212
x y +=；
7.【解答】（Ⅰ）由题意可知，31a c a c +=⎧⎨
-=⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩
，222
3b a c ∴=-=，∴椭圆的标准方程为：22143x y +=； 8.【解答】（1）连接2AF ，如图所示：， 由题意得21||||||AB F B F B ==， 所以BO 为△12F AF 的中位线， 又因为12BO F F ⊥，
所以212AF F F ⊥，且222
||2||2
b AF OB a ===
， 又2
2
c e a =
=
，222a b c =+，得22a =，21b =， ∴椭圆C 的方程为：2
212
x y +=；
9.【解答】（Ⅰ）因为P 在椭圆上，所以12||||2PF PF a +=，又因为12||3||PF PF =， 所以2||2
a PF =
，13||2a
PF =，因为212PF F F ⊥，所以2222121||||||PF F F PF +=，又12||2F F =，
所以2
2a =，2
2
2
1b a c =-=，所以椭圆的标准方程为：2
212
x y +=；
10.【解答】（1）由题意可知，1c =，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，∴1243x x +=
，122
3
y y +=， 又Q 点A ，B 在椭圆上，∴22
1122
22
222211
x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=， ∴2122122y y b x x a -=--，即直线AB 的斜率为：222b a -，又Q 直线AB 过右焦点(1,0)F ，过点21
(,)33
P ， ∴直线AB 的斜率为：1
031213
-
=--，2221b a ∴-=-，222a b ∴=，又222a b c =+Q ，1c =，
2
2a ∴=，2
1b =，∴椭圆E 的方程为：2
212
x y +=；
11.【解答】（1）由题意可知，焦点(0,)F c 到直线:20l x y --=
的距离d =
∴
=
1c =（负根舍去），∴抛物线C 的方程为：24x y =； 12.【解答】（Ⅰ）根据椭圆的定义，可得12||||2AF AF a +=，12||||2BF BF a +=，
∴△1AF B 的周长为111122||||||||||||||4AF BF AB AF BF AF BF a ++=+++=，
∴4a =
，a =
∴椭圆E 的方程为22213x y b +=
，将P 代入得22b =，所以椭圆的方程为22132x y +
=． 13.【解答】（1）设(,)M x y 则(,0)2
x D
1，即2214x y +=；
14. 【解答】（1）由已知可得：圆心(4,4)到焦点F 的距离与到准线l 的距离相等，即点(4,4)在抛物线E 上，168p ∴=，解得2p =．∴抛物线E 的标准方程为24y x =．
15.【解答】（1）将点0(1,)P y 代入得2022
0211
y p y p ⎧=⎪
⎨+=+⎪⎩，解得2p =，则抛物线C 的方程为24y x =； 16.【解答】（1）已知点P 在椭圆上，设0(P x ，0)y ，即有22
00
221x y a b
+=，
又2
200022200034AP BP
y y y b k k x a x a x a a ===-=-+--g ，且22c =，可得椭圆的方程为22143
x y +=； 17.【解答】（1）由题意可知，22
222
4
2124a b c a b c ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=+⎪
⎩
，解得22a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为：22
184x y +=；
18.【解答】（1）由抛物线的方程可得抛物线的焦点坐标为(2,0)，所以由题意可得椭圆的右焦点(2,0)，即
2c =
，2a =
a =2
2
2
642b a c =-=-=，所以椭圆的标准方程为：22
162
x y +
=； 19.【解答】（1）Q 圆22:4C x y '+=与C 有且仅有两个交点且都在x 轴上，所以2a =， 又
Q ||||OB OA =
∴2b
，解得b =C 的方程为22143
x y +=；
20.【解答】（1）设椭圆E 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，12||2F F c =，
112BFO PF F ∠=∠Q ，1
122
FOB F PF π
∠=∠=，∴△1F BO ∽△12F F P ，∴11121||||||||F B FO F F F P =， 即2111
12||||||||26F P F B FO F F c ===
，c ∴=
c e a ==
，解得2a =，所以2221b a c =-=， 则椭圆E 的方程为2
214
x y +=；
21.【解答】（Ⅰ）根据题意ABP ∆是等腰直角三角形，2a ∴=，(2,0)B ，
设0(Q x ，0)y ，由||:||3:2PQ QB =，得32PQ QB =u u u r u u u r ，则0065
4
5x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，代入椭圆方程得21b =，
∴椭圆E 的方程为：2214
x
y +=；
22.【解答】（1）Q 222PF KF =u u u r u u u r
，K ∴是线段2PF 的中点．又20QK KF =u u u r u u u r g ，QK ∴为线段2PF 的中垂线，
则2||||QP QF =，111
2||||||||||4F P FQ QP FQ QF =+=+=Q ， ∴由椭圆的定义可知，点Q 的轨迹是以1F ，2F 为焦点，长轴为4的椭圆，则2a =
，c ，21b ∴=，
故点Q 的轨迹C 的方程为2
214
x y +=；
23.【解答】（1）由题意，可得1222c a c
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，则222
3b a c =-=，故椭圆C 的方程为22143x y +=；
24.【解答】（1）由正弦定理得2112||||||BF BF a F F +=，由椭圆的定义可得22a ac =，1c ∴=， 又Q 离心率12
e =，∴12c a =，2a ∴=，222
3b a c ∴=-=，∴椭圆E 的方程为：22143x y +=；
25.【解答】（Ⅰ）由题意得：2
2
2223,1
,2,b a c a a b c ⎧=⎪⎪
⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩
，
解得：2,1a b c ===．所以椭圆的标准方程为：22143x y +=；
26.【解答】（Ⅰ）由2OA OF =u u u r u u u r ，可得，2a c =，且过点3
(1,)2
-，则221914a b +=，焦解得：2a =
，b =，
所以椭圆的方程为：22143
x y
+=；
27.【解答】（1
）由焦距为
2c =
c =，即2223a b c -== ①；由题意可得(4,0)G
，
13||||||22AB MG AB ==
g
可得||AB =
，由在椭圆上可得2213
14a b
+=②； 由①②解得2a =，1b =，则椭圆的方程为2214
x
y +=；
28.【解答】（1）设1(,0)F c -，2(,0)F c ，1||MF m =，2||MF n =可得2m n a +=
，1
sin 602
mn ︒=，
即8mn =， 又2222cos604m n mn c +-︒=，即22()24m n mn mn c +--=，即222444324a c b mn -===
，可得b =，
由12
c e a ==，即2a c =，又222
6b a c =-=
，解得a =
，c 22186x y +=；
29.【解答】（1）设(,)P x y ，因为(,0)P a -，(,0)Q a ，则点P 关于x 轴的对称点(,)H x y -， PQ
y k x a =
+，RH y k a x
=-，因为22221x y a b +=，所以222
22222(1)()x b y b a x a a =-=-， 所以2222
212PQ RH y b k k a x a ===-g ，又椭圆C 过圆22(1)4x y +-=的圆心(0,1)，∴2201
1a b
+=， 所以22a =，2
1b =，所以椭圆C 的标准方程为2212
x y +=；
30.【解答】（Ⅰ）由题意知：1
2
c a =，2a c ∴=，222b a c =-，
∴b =，设△12PF F 的内切圆半径为r ，
则12121211
(||||||)(22)()22
PF F S PF PF F F r a c r a c r =++=+=+V g g g ，
故当△12PF F 面积最大时，r 最大，即P
点位于椭圆短轴顶点时r ，
)a c bc +=，把2a c =
，b =代入，解得：2a =
，b =，所以椭圆方程为22143
x y +
=； 31.【解答】（1）Q 焦距为4，2c ∴=，2(2,0)F ∴，Q 点2F 关于直线1:b
l y x c
=的对称点E 恰好在椭圆上，
∴由椭圆的对称性可知，当b c =时，点2(2,0)F 关于直线1:l y x =的对称点E 坐标为(0,2)，恰在椭圆上， 2b c ∴==，2
2
2
8a b c =+=，∴椭圆的标准方程为：22
184x y +
=； 32.【解答】（1）设1(1,0)F -，2(1,0)F ，由(1,)a x y =-r
，(1,)b x y =+r ，||||4a b +=r r ，
4，即为12||||4QF QF +=，
由124||F F >，可得Q 的轨迹是以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点，且24a =的椭圆，
由1c =，2a =
，可得b ==，可得曲线C 的方程为22143x y +=；
33.【解答】（1）由抛物线的方程可得准线方程为：2p
x =-，
由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，3
||2
PF =，又P 的横坐标为1，
所以3
122
p +=，所以1p =，所以抛物线的方程为：22y x =；
34.【解答】（1）设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，当直线l 的斜率是1
2
时，l 的方程为1(4)2y x =+，即24x y =-，
由2224x py x y ⎧=⎨=-⎩得2
2(8)80y p y -++=，∴212
12(8)640
424
p p y y y y ⎧=+->⎪⎪+=+⎨⎪
=⎪⎩V ，①；又4AC AB =u u u r u u u r ．214y y ∴=，②； 由①②和0p >得11y =，24y =，2p =，则抛物线的方程为24x y =；
35.【解答】（Ⅰ）由题意可知，(2p F ，0)，Q 点Q 在物线2
:2C y px =上，∴设20(2y Q p ，0)y ，
∴2
00(,)22y p FQ y p =-=u u u r ，
∴200122y p
p y ⎧-=⎪
⎨⎪
=⎩，解得2p =，∴抛物线C 的方程为：24y x =；
36.【解答】（1）由题意知(1,0)F -，因而1c =，即221a b =+，
又两曲线在第二象限内的交点(Q Q x ，)Q y 到F 的距离是它到直线4x =-的距离的一半，即42(1)Q Q x x +=-+，得23Q x =-，则283Q y =，代入到椭圆方程，得2248
193a b
+= ．
由22224
81931
a b
a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得24a =，23b =， ∴所求椭圆的方程为22
143
x y +=．
37.【解答】（1）设1F (,0)c -，2(,0)F c ，0c >，则12(1PF PF c =--u u u r u u u u r g ，3)(12c --g ，2399
)1244
c -=-+=，
1c ∴=，∴22222
19141
a b a b c c ⎧+=⎪⎪=+⎨⎪=⎪
⎩
，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆C 的标准方程为：22143x y +
=； 38.【解答】(1设椭圆的半个焦距c ，因为△12PF F 是等边三角形，所以P 此时在上顶点或下顶点，
所以2a c =
，所以bc 2
2
2
a b c =+，解得2
4a =，2
3b =，所以椭圆的方程为：22
143
x y +=；
39.【解答】（1）设右焦点为1(,0)F c ，令x c =
，可得2b y a =±=±
，可得2
2b a
=1F 与短轴两
端点的连线相互垂直，可得b c =，且2
2
2
a b c -=
，解得a 1b c ==，则椭圆方程为2
212
x y +=；
40.【解答】（1
）根据题意得2
2c a
b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为222b a
c =-，解得22a =，则21b =， 所以椭圆Γ的方程为：2
212
x y +=；
41.【解答】（1）根据椭圆的定义可得：122MF MF a +=，122NF NF a +=，
则2MNF ∆的周长22112248MN MF NF MF NF MF MF a =++=+++==，解得2a =，
又因为||MN 的最小值为3，所以223b a
=，解得23b =，
所以椭圆的标准方程为22
143
x y +=，
42.【解答】（Ⅰ）1(,0)A a -，1(0,)B b ，(,0)F c ，11(,)B A a b =--u u u u r ，1(,)B F c b =-u u u u r ，由1111B A B F =u u u u r u u u u r
g ，得21b ac -=，又12
c a =，222
a b c =+，解得：2a =
，b =1c =．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；
43.【解答】（1）
由题意可得离心率c e a ==x c =代入椭圆方程可得2||b y a =，所以221b a
=，222
c a b =-可得22a =，2
1b =，所以椭圆的方程为：2214
x y +=；
44.【解答】（1）设点(,)P x y ，依题意可得||||PM PF =，则222(1)(1)x x y +=-+，整理可得：24y x =，
所以曲线Q 的方程24y x =；
45.【解答】（1）设(,)P x y ，有题意可得(,0)A a -，(,0)B a ，
由PA ，PB 所在直线斜率之积为14-，可得14
y y x a x a =-+-g ，即22
2
14y x a =--， 而P 在椭圆上可得：222
2
22
22(1)()x b y b a x a a =-=-g ，所以2214
b a =，即224a b =，2223
c a b ==-，
解得：2
4a =，2
1b =，所以椭圆的方程为：2
214x y +=；
46.【解答】（1）设椭圆的方程为：22
221(0)x y a b a b
+=>>，12||2F F c =，因为1
12BFO PF F ∠=∠，112
2
FOB F PF π∠=∠=，所以△1F BO ∽△12F F P ，所以 11
121||||||||F B FO F F F P =， 所以2111
12||||||||26F P F B FO F F c ===g g
，可得c =
，又c e a ==
2a =，2221b a c =-=， 所以椭圆的方程为：2
214
x y +=；
47.【解答】（1）由题意可得：12
c a =，2
23b a =，222c a b =-，解得24a =，23b =，
所以椭圆的标准方程为22
143
x y +=；
48.【解答】（1）抛物线的准线方程为：2
p
y =-
，因为A 点在抛物线内部，过A 做AN 垂直于准线交于N ，抛物线于Q ，由抛物线的性质可得||||||||||QA QF QA QN AN +=+…，当且仅当，A ，Q ，N 三点共线时
||||QA QF +最小，即||2AN =，即122
p +
=，解得：2p =，所以抛物线的方程为：2
4x y =；。