圆锥曲线的轨迹方程经典题型训练含参考答案
(完整版)圆锥曲线的综合经典例题(含答案解析)
经典例题精析类型一：求曲线的标准方程1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横坐标为的椭圆标准方程.思路点拨：先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、（定量）.解析：方法一：因为有焦点为，所以设椭圆方程为，,由，消去得，所以解得故椭圆标准方程为方法二：设椭圆方程,,,因为弦AB中点,所以，由得,（点差法）所以又故椭圆标准方程为.举一反三：【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程.【答案】依题意设椭圆标准方程为()，并有，解之得，,∴椭圆标准方程为2．根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）与双曲线有共同的渐近线，且过点；（2）与双曲线有公共焦点，且过点解析：（1）解法一：设双曲线的方程为由题意，得，解得，所以双曲线的方程为解法二：设所求双曲线方程为（），将点代入得，所以双曲线方程为即（2）解法一：设双曲线方程为－=1由题意易求又双曲线过点，∴又∵，∴，故所求双曲线的方程为.解法二：设双曲线方程为，将点代入得，所以双曲线方程为.总结升华：先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、.在第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程.(1)求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、、、及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.(2)若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为（）.举一反三：【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程.（1）一渐近线方程为，且双曲线过点.（2）虚轴长与实轴长的比为，焦距为10.【答案】（1）依题意知双曲线两渐近线的方程是,故设双曲线方程为，∵点在双曲线上，∴，解得，∴所求双曲线方程为.（2）由已知设, ,则()依题意，解得.∴双曲线方程为或.3．求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点；（2）焦点在直线：上思路点拨：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数；从实际分析，一般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件，否则，应展开相应的讨论解析：（1）∵点在第二象限，∴抛物线开口方向上或者向左当抛物线开口方向左时，设所求的抛物线方程为（），∵过点，∴，∴，∴，当抛物线开口方向上时，设所求的抛物线方程为（），∵过点，∴，∴，∴，∴所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.（2）令得，令得，∴抛物线的焦点为或当焦点为时，，∴，此时抛物线方程；焦点为时，，∴，此时抛物线方程为∴所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.总结升华：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向，选择适当的方程形式，准确求出焦参数P.举一反三：【变式1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.（1）焦点为F(4,0)；（2）准线为；（3）焦点到原点的距离为1；（4）过点（1，－2）；（5）焦点在直线x-3y+6=0上.【答案】（1）所求抛物线的方程为y2=16x；（2）所求抛物线的标准方程为x2=2y；（3）所求抛物线的方程y2=±4x或x2=±4y；（4）所求抛物线的方程为或；（5）所求抛物线的标准方程为y2=－24x或x2=8y.【变式2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴负半轴上，过顶点且倾角为的弦长为，求抛物线的方程.【答案】设抛物线方程为()，又弦所在直线方程为由，解得两交点坐标,∴，解得.∴抛物线方程为.类型二：圆锥曲线的焦点三角形4．已知、是椭圆（）的两焦点，P是椭圆上一点，且，求的面积.思路点拨：如图求的面积应利用，即.关键是求.由椭圆第一定义有,由余弦定理有，易求之.解析：设,,依题意有(1)2-(2)得，即.∴.举一反三：【变式1】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】依据双曲线的定义有，由得、，又，则，即，所以，故选A.【变式2】已知双曲线实轴长6，过左焦点的弦交左半支于、两点，且，设右焦点，求的周长.【答案】：由双曲线的定义有: ，，两式左、右分别相加得(.即∴.故的周长.【变式3】已知椭圆的焦点是,直线是椭圆的一条准线.①求椭圆的方程；②设点P在椭圆上,且,求.【答案】① .②设则，又.【变式4】已知双曲线的方程是.（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小【答案】（1）由得，∴，，.焦点、，离心率，渐近线方程为.（2），∴∴【变式5】中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点和，且，又椭圆长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比.（1）求椭圆与双曲线的方程；（2）若为这两曲线的一个交点，求的余弦值.【答案】（1）设椭圆方程为()，双曲线方程，则，解得∵,∴, .故所求椭圆方程为，双曲线方程为.（2）由对称性不妨设交点在第一象限.设、.由椭圆、双曲线的定义有:解得由余弦定理有.类型三：离心率5．已知椭圆上的点和左焦点，椭圆的右顶点和上顶点，当，（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.思路点拨：因为，所以本题应建立、的齐次方程，使问题得以解决.解析：设椭圆方程为（），，，则，即.∵，∴，即，∴.又∵，∴.总结升华：求椭圆的离心率，即求的比值，则可由如下方法求.（1）可直接求出、；（2）在不好直接求出、的情况下，找到一个关于、的齐次等式或、用同一个量表示；（3）若求的取值范围，则想办法找不等关系.举一反三：【变式1】如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】连接，则是直角三角形，且，令，则，，即，，所以，故选D.【变式2】已知椭圆（）与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，F点是左焦点，且，求椭圆的离心率.法一：,,∵, ∴,又,，代入上式，得，利用代入，消得,即由，解得,∵,∴.法二：在ΔABF中，∵，，∴，即下略）【变式3】如图，椭圆的中心在原点, 焦点在x轴上, 过其右焦点F作斜率为1的直线, 交椭圆于A、B两点, 若椭圆上存在一点C, 使. 求椭圆的离心率.【答案】设椭圆的方程为（），焦距为,则直线l的方程为:,由，消去得,设点、,则∵＋, ∴C点坐标为.∵C点在椭圆上,∴.∴∴又∴∴【变式4】设、为椭圆的两个焦点，点是以为直径的圆与椭圆的交点，若，则椭圆离心率为_____.【答案】如图，点满足，且.在中，有：∵，∴,令此椭圆方程为则由椭圆的定义有,,∴又∵，∴，，∴∴，∴，即.6．已知、为椭圆的两个焦点，为此椭圆上一点，且.求此椭圆离心率的取值范围；解析：如图，令, ,,则在中，由正弦定理，∴，令此椭圆方程为(),则,,∴即（），∴, ∴,∵,且为三角形内角，∴，∴,∴, ∴.即此椭圆离心率的取值范围为.举一反三：【变式1】已知椭圆，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使，求其离心率的取值范围.【答案】△F1PF2中，已知，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，由余弦定理：4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°①又|PF1|+|PF2|=2a ②联立①②得4c2=4a2-|PF1||PF2|，∴【变式2】椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】由得，即，解得，故离心率.所以选D.【变式3】椭圆中心在坐标系原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F的直线交椭圆P、Q两点，且OP⊥OQ，求其离心率e的取值范围．【答案】e∈[,1)【变式4】双曲线(a＞1,b＞0)的焦距为2c,直线过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线的距离与点(-1,0)到直线的距离之和s≥c．求双曲线的离心率e的取值范围．【答案】直线的方程为bx+ay-ab=0．由点到直线的距离公式,且a＞1,得到点(1,0)到直线的距离．同理得到点(-1,0)到直线的距离．=．由s≥c,得≥c,即5a≥2c2．于是得5≥2e2．即4e4-25e2+25≤0．解不等式,得≤e2≤5．由于e＞1,所以e的取值范围是．类型五：轨迹方程7．已知中，,,为动点，若、边上两中线长的和为定值15.求动点的轨迹方程.思路点拨：充分利用定义直接写出方程是求轨迹的直接法之一.应给以重视解法一：设动点,且,则、边上两中点、的坐标分别为,.∵,∴,即.从上式知，动点到两定点,的距离之和为常数30，故动点的轨迹是以,为焦点且,,的椭圆，挖去点.∴动点的轨迹方程是().解法二：设的重心，,动点,且，则.∴点的轨迹是以,为焦点的椭圆（挖去点），且,,.其方程为().又, 代入上式，得()为所求.总结升华：求动点的轨迹，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，建立等式，利用直接法或间接法得到轨迹方程.举一反三：【变式1】求过定点且和圆:相切的动圆圆心的轨迹方程.【答案】设动圆圆心, 动圆半径为,.（1）动圆与圆外切时，，（2）动圆与圆内切时，，由（1）、（2）有.∴动圆圆心M的轨迹是以、为焦点的双曲线，且,,.故动圆圆心的轨迹方程为.【变式3】已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程.【答案】设动圆圆心P（x，y），动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，.∴.∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，其中c=4，a=2，∴b2=12，故所求轨迹方程为.【变式4】若动圆与圆:相外切，且与直线:相切，求动圆圆心的轨迹方程.法一：设,动圆半径，动圆与直线切于点，点.依题意点在直线的左侧，故∵,∴.化简得, 即为所求.法二：设,作直线：.过作于，交于，依题意有, ∴,由抛物线定义可知，点的轨迹是以为顶点，为焦点，：为准线的抛物线.故为所求.。
圆锥曲线轨迹方程经典例题
轨迹方程经典例题一、轨迹为圆的例题：1、 必修2课本P 124B 组2：长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程：必修2课本P 124B 组：已知M 与两个定点（0,0），A （3,0）的距离之比为21，求点M 的轨迹方程;（一般地：必修2课本P 144B 组2：已知点M(x ,y )与两个定点21,M M 的距离之比为一个常数m ；讨论点M(x ,y )的轨迹方程（分m =1，与m ≠1进行讨论）2、 必修2课本P 122例5：线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆1)1(22=++y x 上运动，求AB 的中点M 的轨迹。
（2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为32。
（1）求圆心的P 的轨迹方程；（2）若P 点到直线x y =的距离为22，求圆P 的方程。
如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x－4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动.设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x ,代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． （2013陕西卷理20）已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. （1） 求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2） 已知点)0,1(-B ，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点Q P ,，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明直线l 过定点。
高考数学专题综合训练圆锥曲线(分专题,含答案)
20XX 年高考圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程．（2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程．（1）解：1C的焦点坐标为(0,2e =由1273e e =得1e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．2、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩………3分 由（1）－（2）可得1.3M N Q Nk k∙=-…6分又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3y y x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 二、中点弦问题：3、已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的一个焦点1(0,F -，对应的准线方程为y =.（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被点13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭平分，求直线l 的方程.解：（1）由2222.c ac a b c ⎧-=-⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩3,1a b ==即椭圆的方程为221.9y x +=（2）易知直线l 的斜率一定存在，设l ：313,.2222k y k x y kx ⎛⎫-=+=++ ⎪⎝⎭即设M （x 1, y 1），N （x 2, y 2），由223,221.9k y kx y x ⎧=++⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2222327(9)(3)0.424k k x k k x k +++++-= ∵x 1、x 2为上述方程的两根，则2222327(3)4(9)0424k k k k k ⎛⎫∆=+-+⋅+-> ⎪⎝⎭①∴21223.9k k x x k++=-+ ∵MN 的中点为13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴1212 1.2x x ⎛⎫+=⨯-=- ⎪⎝⎭∴223 1.9k k k +-=-+∴2239k k k +=+，解得k=3.代入①中，229927184(99)180424⎛⎫∆=-+⋅+-=> ⎪⎝⎭∴直线l ：y=3x+3符合要求.4、已知椭圆的一个焦点为)22,0(1-F ，对应的准线为429-=y ，离心率e 满足34,,32e 成等比数列． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点B A ,，且线段AB 恰好被直线21-=x 平分？若存在，求出直线l 的倾斜角α的取值范围；若不存在，说明理由．解 ： (Ⅰ)由题意知，9834322=⋅=e ，所以322=e ．设椭圆上任意一点P 的坐标为),(y x ，则由椭圆的第二定义得， 322429)22(22=+++y y x ，化简得1922=+y x ，故所求椭圆方程为1922=+y x ． （Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A ，AB 中点),(00y x M ，依题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=+=2212210210y y y x x x ，可得⎩⎨⎧=+-=+0212121y y y x x ．若直线l 存在，则点M 必在椭圆内，故19)21(202<+-y ，解得0233233000<<-<<y y 或．将),(),,(2211y x B y x A 代入椭圆方程，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(19)1(1922222121y x y x )1()2(-得，09))(())((12121212=+-++-y y y y x x x x ， 故0121212122)1(9)(9y y y x x x x y y k AB -⨯-=++-=--=，所以ABk y 290=，则有029233233290<<-<<ABAB k k 或， 解得33-<>AB AB k k 或，故存在直线l 满足条件，其倾斜角)32,2()2,3(ππππα⋃∈． 三、定义与最值：5、已知动点P 与双曲线22x －32y =1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为6．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若1PF •2PF =3，求⊿PF 1F 2的面积； （Ⅲ）若已知D(0,3)，M 、N 在轨迹C 上且DMDN ，求实数的取值范围．解：①92x +42y =1；②2；③[51,5]四、弦长及面积：6、已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程． 解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221mx x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =． 7、已知ABC △的顶点A B ，在椭圆2234x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且AB l ∥． （Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积； （Ⅱ）当90ABC ∠=，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．解：（Ⅰ）因为AB l ∥，且AB 边通过点(00)，，所以AB 所在直线的方程为y x =．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，． 由2234x y y x⎧+=⎨=⎩，得1x =±．所以12AB x =-=． 又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l的距离．所以h =122ABC S AB h ==△． （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y x m =+，由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩，得2246340x mx m ++-=．因为A B ，在椭圆上，所以212640m ∆=-+>．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则1232mx x +=-，212344m x x -=，所以122AB x =-=．又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l 的距离，即BC =22222210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++．所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640∆=-+>） 此时AB 所在直线的方程为1y x =-． 五、范围问题:8、已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)弦AB 的中点M 在l 上．利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围． 解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于),(00y x M 点． ∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41．由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122yx n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。
新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练22轨迹方程(解析版)
第22讲 轨迹方程参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．过点(2,1)P 斜率为正的直线交椭圆221245x y +=于A ，B 两点．C ，D 是椭圆上相异的两点，满足CP ，DP 分别平分ACB ∠，ADB ∠，则PCD ∆外接圆半径的最小值为( ) ABC ．2413D ．1913【解答】解：如图，先固定直线AB ，设()BMf M AM=，则f （C ）f =（D ）()f P =，其中()BPf P AP=为定值， 故点P ，C ，D 在一个阿波罗尼斯圆上，且PCD ∆外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r ，阿波罗尼斯圆会把点A ，B 其一包含进去，这取决于BP 与AP 谁更大，不妨先考虑BP AP >的阿波罗尼斯圆的情况，BA 的延长线与圆交于点Q ，PQ 即为该圆的直径，接下来寻求半径的表达式，由(2),2BP BQ AP BP r r AP AQ AP AP AQ BP +==+=+，解得111r AP BP=-， 同理，当BP AP <时有，111r BP AP =-，综上，111||r AP BP=-；当直线AB 无斜率时，与椭圆交点纵坐标为1,1AP BP -=，则1912r =； 当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为1(2)y k x -=-，即21y kx k =-+， 与椭圆方程联立可得222(245)48(12)96(1)0k x k k x k k ++-+--=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则由根与系数的关系有，122212248(21)24596(1)245k k x x k k k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩， ∴22121211111111|||||2||2||2|1|2|1r AP BP x x x k x k =-=-=----+-+，注意到12x -与22x -异号，故12122121212|2||2|411|125|||||(2)(2)2()4191x x x x k r x x x x x x k ---+-+===---+++，设125t k =+，则221112||12112261319191924191110169169()101t r t t t===-+-+，故1913r ， 又19191213>， 故选：D ．2|2|x y ++表示( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆|2|x y ++变形为：=，表示点(,)P x y 到定点(1,1)-与定直线的距离相等的点的轨迹， 由抛物线的定义可知：点P 的轨迹是抛物线． 故选：C ．3．若动圆过定点(3,0)A -且和定圆22(3)4x y -+=外切，则动圆圆心P 的轨迹为( ) A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线一支【解答】解：设动圆的半径为R ，动圆圆心为P ，点A 在动圆上，||PA R ∴=又定圆22(3)4x y -+=的圆心为(3,0)B，半径为2， 定圆与动圆P 相外切∴圆心距||2PB R =+由此可得||||(2)2PB PA R R -=+-=（常数），∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的左支故选：D ．4．已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．2218y x -=B ．221(1)8y x x -=-C ．2218x y +=D ．221(1)8y x x -=【解答】解：设动圆圆心M 的坐标为(,)x y ，半径为r ，则由题意可得1||1MC r =+，2||3MC r =+，相减可得2112||||2||MC MC C C -=<， 故点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的左支， 由题意可得22a =，3c =，b ∴==故点M 的轨迹方程为221(1)8y x x -=-．故选：B ．5．已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点轨迹方程是()A ．212x y =-B ．21216x y =-C ．222x y =-D ．221x y =-【解答】解：由24x y =，得其焦点坐标为(0,1)， 设线段PF 中点为(,)x y ，1(P x ，1)y ， 由中点坐标公式得：11212x x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴11221x xy y =⎧⎨=-⎩，P 是抛物线上的点，∴2114x y =，即244(21)x y =-，221x y ∴=-． 故选：D ．二．填空题（共7小题）6．两定点的坐标分别为(1,0)A -，(2,0)B ，动点满足条件2MBA MAB ∠=∠，动点M 的轨迹方程是 2233(1)x y x -=或0(12)y x =-<<． ．【解答】解：设(,)M x y ，MAB α∠=，则2MBA α∠=，它们是直线MA 、MB 的倾角还是倾角的补角，与点M 在x 轴的上方还是下方有关；以下讨论： ①若点M 在x 轴的上方，(0,)2πα∈，0y >，此时，直线MA 的倾角为α，MB 的倾角为2πα-， tan 1MA y k x α∴==+，tan(2)2y x πα-=-，0(290)α≠ tan(2)tan 2παα-=-，22121()1yy x y x x ⨯+∴-=--+，得：2233x y -=， ||||MA MB >，1x ∴．当290α=︒时，45α=︒，MAB ∆为等腰直角三角形，此时点M 的坐标为(2,3)，它满足上述方程．②当点M 在x 轴的下方时，0y <，同理可得点M 的轨迹方程为2233(1)x y x -=， ③当点M 在线段AB 上时，也满足2MAB MBA ∠=∠，此时0(12)y x =-<<． 综上所求点的轨迹方程为2233(1)x y x -=或0(12)y x =-<<． 故答案为：2233(1)x y x -=或0(12)y x =-<<．7．设圆22(1)36x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为 22198x y +=【解答】解：如图，连接MA ，根据垂直平分线的性质，MA MQ =， 由已知得(1,0)C -，6r =，所以2AC =， 同时62MA MC MQ MC CQ r AC +=+===>=， 因此点M 的运动轨迹为椭圆，设其方程为22221x y a b +=，(0)a b >>，所以其方程为22198x y +=．故答案为：22198x y +=．8．已知点1(F 0)，圆222:(16F x y -+=，点M 是圆上一动点，1MF 的垂直平分线与2MF 交于N 点，则点N 的轨迹方程为 22142x y += ．【解答】解：因为1MF 的垂直平分线与2MF 交于N 点， 所以1NF NM =．所以1222124NF NF NM NF MF F F +=+==>= 所以点N 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆，这里24a =，2c =2a ∴=，c =222422b a c =-=-=，所以点N 的轨迹方程为：22142x y +=．故答案为：22142x y +=．9．已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，则C 的方程为 221(2)43x y x +=≠- ．【解答】解：由圆22:(1)1M x y ++=，可知圆心(1,0)M -；圆22:(1)9N x y -+=，圆心(1,0)N ，半径3．设动圆的半径为R ，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，||||1(3)4PM PN R R ∴+=++-=，而||2NM =，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为长轴长的椭圆， 2a ∴=，1c =，2223b a c =-=．∴曲线C 的方程为22143x y +=（去掉点(2,0))-故答案为：221(2)43x y x +=≠-．10．方程||x y +=所表示的曲线是 双曲线 ．【解答】解：方程||x y +=意义是：平面内动点(,)x y 到定点(1,1)，与到定直线0x y +=迹，1>，(1,1)不在直线0x y +=上，∴轨迹是双曲线．故答案为：双曲线．11．若动点(,)P x y 到定点(5,0)F 的距离是它到直线95x =的距离的53倍，则动点P 的轨迹方程是 221916x y -= ．【解答】解：点(,)P x y 到定点(5,0)F， 点(,)P x y 到直线95x =的距离是9||5x -，∴59||35x -，化简为221916x y -=．故答案为221916x y -=．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线(44)x t t =-<<与椭圆221169x y +=交于两点11(,)P t y 、22(,)P t y ，且10y >、20y <，1A 、2A 分别为椭圆的左、右顶点，则直线12A P 与21A P 的交点所在的曲线方程为 221169x y -= ．【解答】解：由题意，直线12A P 的方程为2(4)4y y x t =++，直线21A P 的方程为1(4)4y y x t =--， 两式左右分别相乘得22122(16)16y y y x t =--① 11(,)P t y 、22(,)P t y 在椭圆221169x y +=上 ∴2211169y t +=，2221169y t += ∴2219(1)16t y =-，2229(1)16t y =-10y >，20y <2129(1)16t y y ∴=-代入①可得221169x y -=故答案为：221169x y -=三．解答题（共28小题）13．已知点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12-，记M 的轨迹为曲线C ，求C 的方程，并说明C 是什么曲线．【解答】解：点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12-，1222AM BM y y k k x x ⋅=⋅=-+-， 化简得221(2)42x y x +=≠±，即曲线C 的方程为221(2)42x y x +=≠±，曲线C 是一个椭圆，除去左右顶点．14．已知坐标平面上点(,)M x y 与两个定点1(26,1)M ，2(2,1)M 的距离之比等于5． （1）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中的轨迹为C ，线段AB ，点A 为C 上一点，点(11,13)B ，求AB 的中点P 的轨迹方程．【解答】解：（1）由题意坐标平面上点(,)M x y 与两个定点1(26,1)M ，2(2,1)M 的距离之比等于5，得125M M MM ==，化简得2222230x y x y +---=．即22(1)(1)25x y -+-=．∴点M 的轨迹方程是22(1)(1)25x y -+-=，所求轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆． （2）设(,)P x y ，0(A x ，0)y ，根据题意有00112132x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所00211213x x y y =-⎧⎨=-⎩，点A 在圆C 上，所以有2200(1)(1)25x y -+-=， 所以22(212)(214)25x y -+-=， 所以2225(6)(7)4x y -+-=， 所以AB 的中点P 的轨迹方程为2225(6)(7)4x y -+-=． 15．设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ，求点E 的轨迹方程．【解答】解：因为||||AD AC =，//EB AC ，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠， 所以||||EB ED =，故||||||||||EA EB EA ED AD +=+=， 又圆A 的标准方程为22(1)16x y ++=， 从而||4AD =，所以||||4EA EB +=⋯（5分） 由题设得(1,0)A -，(1,0)B ，||2AB =，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：221(0)43x y y +=≠⋯（10分）16．已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点(1,1)Q 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，求直线AB 被曲线C 截得的弦的中点坐标．【解答】解：（1）由已知得圆M 的圆心为(1,0)M -，半径11r =，圆N 的圆心为(1,0)N ，半径23r =．设动圆P 的圆心为(,)P x y ，半径为R ． 圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，1212||||()()4||PM PN R r r R r r MN ∴+=++-=+=>，由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点的椭圆（左定点除外），得24a =， 2a ∴=，1c =，23b ∴=，∴椭圆方程为221(2)43x y x +=≠-；（2）||||2PA PB ==，以P 为圆心，||PA 为半径的圆22:(1)(1)4P x y -+-= 与圆22:(1)1M x y ++=公共弦所在直线为l 的方程为21y x =--，联立曲线22:1(2)43x y C x +=≠-与直线:21l y x =--，可得2191680x x +-=，△0>，设交点1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ，则121619x x +=-， ∴中点的横坐标为128219x x +=-，代入直线:21l y x =--，得中点的纵坐标为319-， ∴所求中点坐标为8(19-，3)19-． 17．已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）若直线:l y x k =+与曲线C 相切，求k 的值．【解答】解：（1）圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，设动圆P 半径为R ．M 在N 内，∴动圆只能在N 内与N 内切，不能是N 在动圆内，即：3R <动圆P 与圆M 外切，则1PM R =+， 动圆P 与圆N 内切，则3PN R =-，4PM PN ∴+=，即P 到M 和P 到N 的距离之和为定值．P ∴是以M 、N 为焦点的椭圆．MN 的中点为原点，故椭圆中心在原点， 24a ∴=，2a =，22c MN ==，1c =，222413b a c ∴=-=-=，C ∴的方程为221(2)43x y x +=≠-； （2）由22143x y y x k ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得：22784120x kx k ++-=， 若直线l 和曲线C 相切， 则△226428(412)0k k =--=，解得：k =18．已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．求C 的方程．【解答】解：圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=， 设动圆P 半径为R ．M 在N 内，∴动圆只能在N 内与N 内切，不能是N 在动圆内，即：3R <动圆P 与圆M 外切，则1PM R =+， 动圆P 与圆N 内切，则3PN R =-，4PM PN ∴+=，即P 到M 和P 到N 的距离之和为定值．P ∴是以M 、N 为焦点的椭圆．MN 的中点为原点，故椭圆中心在原点， 24a ∴=，2a =，22c MN ==，1c =，222413b a c ∴=-=-=，C ∴的方程为221(2)43x y x +=≠-．19．已知圆C 的方程为22(3)4x y -+=，定点(3,0)A -，求过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心P 的轨迹方程．【解答】解：圆P 与圆C 外切，如图，||||2PC PA ∴=+，即||||2PC PA -=， 0||||||PC PA AC <-<，∴由双曲线的定义，点P 的轨迹是以A ，C 为焦点，2为实轴长的双曲线的左支，其中1a =，3c =，222918b c a ∴=-=-=．故所求轨方程为221(0)8y x x -=<． 20．已知两圆221:(4)2C x y ++=，222:(4)2C x y -+=．动圆M 与两圆都相切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【解答】解：由题意，①若两定圆与动圆相外切或都内切，即两圆221:(4)2C x y ++=，222:(4)2C x y -+=，动圆M 与两圆1C ，2C 都相切， 12||||MC MC ∴=，即M 点在线段1C ，2C 的垂直平分线上又1C ，2C 的坐标分别为(4,0)-与(4,0)∴其垂直平分线为y 轴，∴动圆圆心M 的轨迹方程是0x =；②若一内切一外切，不妨令与圆221:(4)2C x y ++=内切，与圆222:(4)2C x y -+=外切，则M 到2C 的距离减去M 到2C 的距离的差是M 的轨迹是以(4,0)-与(4,0)为实半轴长的双曲线左支，故可得22214b c a =-=，故此双曲线的方程为221(0)214x y x -=<．同理与圆221:(4)2C x y ++=外切，与圆222:(4)2C x y -+=内切，此双曲线的方程为221(0)214x y x -=>． ∴此双曲线的方程为221214x y -=．综①②知，动圆M 的轨迹方程为221214x y -=或0x =．21．在三角形ABC 中，||4BC =，ABC ∆的内切圆与BC 相切于点D ，||||2BD CD -=，求顶点A 的轨迹方程． 【解答】解：如图，设E 、F 分别为圆与AB 、AC 的两个切点， 则||||BE BD =，||||CD CF =， 又||||AE AF =，||||||||||||2AB AC BE CF BD CD ∴-=-=-=，∴点A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(0)y ≠，且1a =，2c =，b ∴∴轨迹方程为221(1)13x y x -=>．故答案为：221(1)13x y x -=>．22．直角三角形ABC 的直角顶点A 为动点，(B ，0)C 0)，作AD BC ⊥于D ，动点E 满足(1AE AD =，当动点A 运动时，点E 的轨迹为曲线G ， （1）求曲线A 的轨迹方程；（2）求曲线G 的轨迹方程；（3）设直线L 与曲线G 交于M 、N 两点，坐标原点O 到直线L，求||MN 的最大值．【解答】解：（1）直角三角形ABC 的直角顶点A的轨迹为圆：223(x y x +=≠；（2）设(,)E x y ，0(A x ，0)y ，则0(D x ，0)，2203x y +=， 动点E满足(1AE =AD ，∴0000)x x y y y -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得0x x =，0y =， 代入曲线A 的轨迹方程可得2233x y +=，化为221(3x y x +=≠．（3）当直线L 的斜率不存在时，直线L的方程为：x =，||MN = 当直线L 的斜率存在时，设直线L 的方程为：y kx m =+，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ． 坐标原点O 到直线L，∴=22433m k =+． 联立2233y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，化为222(13)6330k x kmx m +++-=， 则122613kmx x k-+=+，21223313m x x k -=+． 又22433m k =+．12||32666MN ∴=++，当且仅当213k =时取等号． 综上可得：||MN 的最大值为2．23．动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，求动点P 的轨迹方程． 【解答】解：由抛物线的定义知点P 的轨迹是以F 为焦点的抛物线，其开口方向向右，且22p=， 解得4p =，所以其方程为28y x =．故答案为：28y x =．24．若动圆M 与圆22:(2)1C x y -+=外切，又与直线10x +=相切，求动圆圆心的轨迹方程． 【解答】解：设动圆圆心为(,)M x y ，半径为R ， 圆22:(2)1C x y -+=，∴定圆圆心为(2,0)C ，半径1r =，两圆外切， ||1MC R ∴=+，又动圆M 与直线10x +=相切，∴圆心M 到直线10x +=的距离d R =，||1MC d ∴=+，即动点M 到定点(2,0)C 的距离等于它到直线20x +=的距离，由抛物线的定义可得，点M 的轨迹是以C 为焦点，20x +=为准线的抛物线，且22p=，即4p =，故动圆圆心的轨迹方程为28y x =．25．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =．求点P 的轨迹方程．【解答】解：设0(M x ，0)y ，由题意可得0(N x ，0)， 设(,)P x y ，由点P 满足2NP NM =．可得0(x x -，0))y y =，可得00x x -=，0y =， 即有0x x =，0y =代入椭圆方程2212x y +=，可得22122x y +=，即有点P 的轨迹方程为圆222x y +=； 故答案为：222x y +=．26．在平面直角坐标系xOy 中，点(P a ，)(0)b a b >>为动点，1F ，2F 分别为椭圆22221x y a b+=的左、右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形． （Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-，求点M 的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）设1(,0)F c -，2(F c ，0)(0)c >．由题得212||||PF F F =2c ，整理得22()10c c a a +-=，得1ca=-（舍)，或12c a =， 所以12e =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知2a c =，b =，可得椭圆方程为2223412x y c +=，直线方程为)y x c =-． A ，B的坐标满足方程组2223412)x y cy x c ⎧+=⎪⎨-⎪⎩， 消y 并整理得2580x xc -=，解得0x =，85x c =，得方程组的解为0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，85x c y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，不妨设8(5A c)，(0,)B ．设点M 的坐标为(,)x y ，则8(5AM x c =-，)y -，(,)BM x y =+由)y x c =-得c x y =①， 由2AM BM ⋅=-即8()()()25x c x y y -+-+=-．将①代入化简得218150x --=，2y ⇒=代入①化简得2105016x c x +=>．所以0x >，因此点M的轨迹方程为218150x --=(0)x >．27．设0λ>，点A 的坐标为(1,1)，点B 在抛物线2y x =上运动，点Q 满足，BQ QA λ=经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ=，求点P 的轨迹方程．【解答】解：由QM MP λ=知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设(,)P x y ，0(,)Q x y ，2(,)M x x 则220()x y y x λ-=-即20(1)y x y λλ=+-①再设1(B x ，1)y 由BQ QA λ=得()()11011x x y y λλλλ=+-⎧⎪⎨=+-⎪⎩② 将①代入②式得()()12211(1)1x x y x y λλλλλλ=+-⎧⎪⎨=+-+-⎪⎩③ 又点B 在抛物线2y x =将③代入得222(1)(1)((1))x y x λλλλλλ+-+-=+-整理得2(1)(1)(1)0x y λλλλλλ+-+-+=因为0λ>所以210x y --= 故所求的点P 的轨迹方程：21y x =-28．已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明//AR FQ ；（Ⅱ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． 【解答】（Ⅰ）证明：连接RF ，PF ，由AP AF =，BQ BF =及//AP BQ ，得90AFP BFQ ∠+∠=︒， 90PFQ ∴∠=︒，R 是PQ 的中点，RF RP RQ ∴==，PAR FAR ∴∆≅∆，PAR FAR ∴∠=∠，PRA FRA ∠=∠，1802BQF BFQ QBF PAF PAR ∠+∠=︒-∠=∠=∠，FQB PAR ∴∠=∠， PRA PQF ∴∠=∠， //AR FQ ∴．（Ⅱ）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 1(2F ，0)，准线为12x =-， 1211||||22PQF S PQ y y ∆==-， 设直线AB 与x 轴交点为N ， 121||||2ABF S FN y y ∆∴=-， PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍， 2||1FN ∴=，1N x ∴=，即(1,0)N ．设AB 中点为(,)M x y ，由21122222y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得2212122()y y x x -=-，又12121y y yx x x -=--， ∴11y x y=-，即21y x =-． AB ∴中点轨迹方程为21y x =-．29．已知点1(1,0)F -，2(1,0)F ，动点P 满足12F F 为1PF 和2PF 的等差中项． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过1F 作直线L 交C 于A ，B 两点，求AB 的中点M 的轨迹方程． 【解答】解：（1）1(1,0)F -，2(1,0)F ， 12||2F F ∴=，12||F F 是1||PF 与2||PF 的等差中项， 12122||||||F F PF PF ∴=+，即12||||4PF PF +=，∴点P 在以1F ，2F 为焦点的椭圆上，24a =， 2a ∴=，又1c =，222413b a c ∴=-=-=，∴椭圆的方程是22143x y +=；（2）设AB 中点(M x ，)(22)y x -<<， 1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，A ，B 在椭圆C 上，∴2211143x y +=①， 2222143x y +=②， ①-②得：12121212()()()()43x x x x y y y y -+-+=-， 即12121212123323()4424y y x x x xx x x x y y y y-+=-=-=-≠-+． ∴03(1)4y xx y-=---，整理得：223430(22)x y x x ++=-<<． 而1(1,0)F -适合上式，AB ∴的中点M 的轨迹方程为223430(22)x y x x ++=-<<．30．已知点(2,2)P ，圆22:80C x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．求M 的轨迹方程．【解答】解：圆C 的方程可化为22(4)16x y +-=， 所以圆心为(0,4)C ，半径为4．设(,)M x y ，则(,4)CM x y =-，(2,2)MP x y =--． 由题设知0CM MP =，..⋯（6分）故(2)(4)(2)0x x y y -+--=，即22(1)(3)2x y -+-=．由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是22(1)(3)2x y -+-=．..⋯（12分）31．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22211(41t x t t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数，)t R ∈．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）已知直线l的参数方程为1(2x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数，)t R ∈，点1(,0)2M ，并且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11||||MA MB +． 【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为22211(41t x t t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数，)t R ∈，整理得曲线C 的普通方程221(1)4y x x +=≠-．（2）直线l的参数方程为1(2x t y t⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数，)t R ∈，代入2214y x +=；得到213120t +-=，所以12t t +=，121213t t =-；故1211||||MA MB +==． 32．如图，椭圆22022:1(0x y C a b a b+=>>，a ，b 为常数），动圆22211:C x y t +=，1b t a <<．点1A ，2A 分别为0C 的左，右顶点，1C 与0C 相交于A ，B ，C ，D 四点．（Ⅰ）求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程；（Ⅱ）设动圆22222:C x y t +=与0C 相交A '，B '，C '，D '四点，其中2b t a <<，12t t ≠．若矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，证明：2212t t +为定值．【解答】()I 解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则21x x =，21y y =-， 1(,0)A a -，2(,0)A a ，则直线1A A 的方程为11()y y x a x a=++①直线2A B 的方程为11()y y x a x a-=--② 由①⨯②可得：22221221()y y x a x a -=--③ 1(A x ，1)y 在椭圆0C 上，∴2211221x y a b += 222112(1)x y b a∴=-代入③可得：2212222221(1)()x b a y x a x a --=-- ∴22221(,0)x y x a y a b-=<-<； ()II 证明：设3(A x '，3)y ，矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等 11334||||4||||x y x y ∴=22221133x y x y ∴=A ，A '均在椭圆上，222222311322(1)(1)x x b x b x a a∴-=-4422311322x x x x a a∴-=-222441313()a x x x x ∴-=-12t t ≠，13x x ∴≠．22213x x a ∴+=222112(1)x y b a =-，222332(1)x y b a=-22213y y b ∴+=∴222212t t a b +=+为定值． 33．已知P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A 、B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=-． （1）试判断直线AB 是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由； （2）设点M 是PAB ∆的外接圆圆心，求点M 的轨迹方程．【解答】解：（1）因为点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点， 故点P 的坐标为(0,3)-，根据题意可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：y kx b =+， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 故1122(,3),(,3)PA x y PB x y =+=+， 因为4PA PB ⋅=-，则1212(3)(3)4x x y y +++=-， 因为A 、B 是C 上的两个动点， 则有211134y x =-，222134y x =-， 故212121416x x x x +=-， 整理可得22121216640x x x x ++=，解得128x x =-， 由2134y kx b y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，消去y 可得241240x kx b ---=， 则有124x x k +=，12124x x b =--， 所以1248b --=-，解得1b =-， 故直线AB 的方程为1y kx =-， 所以直线经过一个定点(0,1)-．（2）线段PA 的中点坐标为311(,3)28x x -，又直线PA 的斜率为2111144PAx x k x ==， 所以线段PA 的垂直平分线的方程为211143()82x x y x x -+=--，① 同理，线段PB 的垂直平分线的方程为222243()82x x y x x -+=--，② 由①②解得21212(),28x x x x x y ++==， 设点(,)M x y ，则有122122()8x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，消去12x x +，得到212x y =， 所以点M 的轨迹方程为212x y =． 34．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与抛物线2:4M y x =有公共的焦点，且抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点作一条斜率为(0)k k ≠的直线交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点E ，P 为弦AB 的中点，过点E 作直线OP 的垂线交OP 于点Q ，问是否存在一定点H ，使得QH 的长度为定值？若存在，则求出点H ，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）抛物线2:4M y x =的焦点为(1,0)， 可得221a b -=①，抛物线的准线1x =-被椭圆截得的弦长为3，由1x =-代入椭圆方程可得2b y a =±，即有223b a=②，解①②可得2a =，b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）设直线:(1)AB y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立直线与椭圆方程22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩， 消去y 可得2222(34)84120k x k x k +-+-=，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，所以21224234x x k k +=+，212122243(1)(1)223434y y x x k kk k k k ++-=-=-=++， 所以224(34k P k +，23)34k k -+，直线3:4OP y x k=-③，直线AB 的方程(1)y k x =-中，令0x =可得y k =-，所以(0,)E k -，因为直线EQ OP ⊥，所以直线QE 的方程为43ky x k =-④， 将③④联立相乘得到2234y x x =-+，即2239()864x y -+=，所以点Q 的轨迹为以3(8，0)为圆心，38为半径的圆，所以存在定点3(8H ，0)，使得QH 的长为定值38．35．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，椭圆C 的下顶点和上顶点分别为1B ，2B ，且12||2B B =，过点(0,2)P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）当1k =时，求OMN ∆的面积；（Ⅲ）求证：直线1B M 与直线2B N 的交点T 的纵坐标为定值．【解答】解：（Ⅰ）因为12||2B B =， 所以22b =，即1b =，因为离心率为2，所以2c a =，设c m =，则a =，0m >， 又222c a b =-，即2222m m b =-， 解得1m =或1-（舍去），所以a =1b =，1c =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=．（Ⅱ）联立22122x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(2)20x x ++-=，所以23860x x ++=， 所以△284360=-⨯⨯<， 所以直线与椭圆无交点， 所以OMN ∆的面积不存在．（Ⅲ）证明：由题意知，直线l 的方程为2y kx =+，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 则22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(12)860k x kx +++= 则22122122(8)46(12)0821621k k k x x k x x k ⎧⎪=-⨯+>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=⎪+⎩因为直线和椭圆有两个交点， 所以△22(8)24(21)0k k =-+>，则232k >， 设(,)T m n ，因为1B ，T ，N 在同一条直线上， 则111111313y kx n k m x x x +++===+， 因为2B ，T ，N 在同一条直线上，则222221111y kx n k m x x x -+-===+， 由于21212283()3()11213440621kx x n n k k k m m x x k ⋅-++-++⋅=+=+=+， 所以12n =， 所以交点T 恒在一条直线12y =上， 所以交点T 的纵坐标为定值为12．36．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，直线2x =-被椭圆截得的线段长为（1）求椭圆C 的方程；（2）设过椭圆C 的右焦点F 与坐标轴不垂直的直线l 交C 于点A ，B ，交y 轴于点E ，P 为线段AB 的中点，EQ OP ⊥且Q 为垂足．问：是否存在定点H ，使得QH 的长为定值？若存在，求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意得：c e a ==，222a b c -=，化简得222a b =， 故C 的方程为：22221(0)2x y b b b+=>，将2x =-代入椭圆C的方程得：||y =，所以=24b =，所以2228a b ==，所以椭圆C 的方程：22184x y +=；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(P x ，0)y ，直线AB 的方程为(2)y k x =-， 则直线AB 与y 轴的交点为(0,2)E k -，由2211184x y +=，2222184x y +=，得212121214182y y y y x x x x -+⨯=-=--+ 又2121y y k x x -=-，021021OP y y y k x x x +==+，所以12OP k k =-，故OP 的方程为12y x k=-， 由EQ OP ⊥得：2EQ k k =，所以直线EQ 的方程为22y kx k =-，即2(1)y k x =-， 所以直线EQ 过定点(1,0)M ，所以Q 在以OM 为直径的圆220x y x +-=上， 所以存在定点1(,0)2H ，使QH 的长为定值12．37．已知椭圆E 的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(F c ，0)(0)c >．点M 在E 上，212MF F F ⊥，△12MF F的周长为6+13c ．（1）求E 的方程．（2）设E 的左、右顶点分别为A ，B ，过点3(,0)2的直线l 与E 交于C ，D 两点，记直线AC的斜率为1k ，直线BD 的斜率为2k ，则____．（从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并给出解答）．①求直线AC 和BD 交点的轨迹方程； ②是否存在实常数λ，使得12k k λ=恒成立；③过点C 作关于x 轴的对称点C '，连结C '，D 得到直线1l ，试探究：直线1l 是否恒过定点． 【解答】解：（1）依题意，222222611223a c b c c a a b c⎧+=+⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎩，解得31a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆E 的方程为：2219x y +=．（2）设直线l 的方程为32x ty =+，选择①，联立方程221932x y x ty ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，化简整理得：224(9)12270t y ty ++-=，假设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，由韦达定理，得12212239274(9)t y y t y y t -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，所以12129()4ty y y y =+，直线AC 的方程：11(3)3y y x x =++；直线BD 的方程：22(3)3y y x x =--， 联立方程，得1122(3)3(3)3y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，两式相除，得121222112122122122121121121122112199()2()93(3)293()63(3)32433933(3)233()23()2()324ty y y y y y x x y ty y y y y y y y x x x y x y ty y y y y y y y ty y y y y ++++++++++=⋅=======----+-+-+-，即333x x +=-，解得6x =， 所以直线AC 和BD 交点的轨迹方程是直线6x =．选择②联立方程221932x y x ty ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，化简整理，得224(9)12270t y ty ++-=，假设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，由韦达定理，得12212239274(9)t y y t y y t -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，所以12129()4ty y y y =+于是211211212112211212121212212122121239393()2()3(3)3(3)231242229992793(3)293()2()9(3)24222ty y y y y y y y y k y x x y ty y y k x y x y ty y y ty y y y y y y y y -⋅+-++---=⋅=======++++⋅++++，故存在实数13λ=，使得12k k λ=恒成立．选择③：设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，1(C x '，1)y -，联立方程，得221932x y x ty ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，化简整理，得224(9)12270t y ty ++-=，由韦达定理，得12212239274(9)t y y t y y t -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，直线C D '与x 轴交于点M ，说明C '，D ，M 三点共线，于是C M DM k k '=， 假设(,0)M m ，即1212y y m x x m=--，亦即1212y y x m x m -=--， 则1221()()y x m y x m --=-， 所以12211221121221121212223332733()()()()()()2()()2()02224(9)29ty x m y x m x y x y m y y ty y ty y m y y ty y m y y t m t t ---+-=+-+=+++-+=+-+=+-⋅=++，即9(32)()0t m t -+-⋅-=，解得6m =， 所以直线C D '恒过定点(6,0)M ．38．已知抛物线2:2(0)E y px p =>，直线:2pl y x =-交于抛物线E 于A 、B 两点，||8AB =． （1）求抛物线E 的方程．（2）互相垂直的直线1l 、2l 分别切抛物线E 于C 、D 两点，试求两切线交点的轨迹方程． 【解答】解：（1）联立方程组222p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y 得：22304p x px -+=， ||348A B AB x x p p p p ∴=++=+==，即2p =．∴抛物线E 的方程为24y x =．（2）设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，由于12l l ⊥，故120y y <，不妨设10y >，20y <， 由24y x =可得y =±∴当0y >时，y '=，即1k =0y <时，y '=，即2k =．又1(C x ，1)y 在抛物线24y x =上，2114y x ∴=，∴故直线1l的方程为：11)y y x x -=-，即1122y y x y =+，即21122y y y x =+，①同理可得直线2l 的方程为：22222y y y x =+．②由①②可得：1y ，2y 是关于t 的方程222t ty x =+，即2240t yt x -+=的两根．124y y x ∴=， 1l ，2l 互相垂直，∴121()1x -=-，即121x x =．1212(2)4y y x ∴=-=-，44x ∴=-，即1x =-．∴两切线交点的轨迹方程为1x =-．39．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，其中一个顶点是双曲线221916x y -=的焦点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点(0,3)P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，过点A ，B 分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．【解答】解：（1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，其中一个顶点是双曲线221916x y -=的焦点． 双曲线221916x y -=的焦点1(5,0)F -，2(5,0)F ，∴椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>中，222512a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得5a =，52c =，2754b =， ∴椭圆C 的标准方程为：22412575x y +=．（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =+， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设在1(A x ，1)y 处切线方程为111()y y k x x -=-， 与椭圆224:12575x y C +=联立11122()412575y y k x x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y ，得22211111111(43)8()4()750k x k k x y x k x y ++-++-+-=， 由△0=，得22211111111[8()]4(43)[4()75]0k k x y k k x y -+-+-+-=， 化简，得222111111(4100)84750x k x y k y --+-=，由2211412575x y +=，得22111641003x y -=-，22114753y x -=-， ∴上式化为222111111168303y k x y k x ---=， 2111(43)0y k x ∴+=，11134x k y =-， ∴椭圆在点A 处的切线方程为11412575xx yy +=，① 同理，得椭圆在点B 处的切线方程为22412575xx yy +=，② 联立①②，消去x ，得：112241754175yy x yy x -=-，解得21211275()4()x x y x y x y -=-，A 、B 都在直线l 上，∴221133y kx y kx =+⎧⎨=+⎩，21122133x y x y x x ∴-=-， 21212112217(5)7(5)254()12()4x x x x y x y x y x x --∴===--，即此时的交点的轨迹方程为254y =． 当直线l 的斜率不存在时，直线的方程为0x =，则A，(0,B ， 则椭圆在点A处的切线方程为y ，椭圆在B处的切线方程为y =，此时无交点． 综上所述，过点A ，B 所作椭圆的两条切线的交点的轨迹方程为254y =． 40．(1,0)F 为一定点，(0,)P b 是y 轴上的一动点，x 轴上的点M 满足0PM PF ⋅=，若点N 满足20PN NM +=，求： （1）点N 的轨迹曲线C 的方程；（2）曲线C 的任何两条相互垂直的切线的交点轨迹．【解答】解：（1）20PN NM +=，∴点M ，N 关于点P 对称， 设(,)N x y ，则(,2)M x b y --，M 在x 轴上，2y b ∴=，即2yb =． (,)PM x b =--，(1,)PF b =-，0PM PF ⋅=，20x b ∴-+=，204y x ∴-+=，即24y x =．∴点N 的轨迹曲线C 的方程是24y x =．（2）设曲线C 的两条互相垂直的垂线的交点坐标为0(x ，0)y ，切线的斜率为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，联立方程组002()4y y k x x y x-=-⎧⎨=⎩，消元得：20004ky y y kx -+-=，∴△001()0k y kx =--=，即20010x k y k -+=．12011k k x ∴==-，01x ∴=-． 曲线C 的任何两条相互垂直的切线的交点轨迹是直线1x =-．。
圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案)
圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程． （2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程. 解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-ky k x . 由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③ 由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．∴所求椭圆方程为1315422=+y x 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,13412252222b a ba 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a （1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程．解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1.（2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ， 即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠， 由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即 ()11,OP x y =u u u r ，()22,OQ x y =u u u r，于是12120x x y y +=，即()()21212110ky y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，2224(1)40k k k k k +-+=g ，解得4k =-或0k =（舍去），又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ）Θe c a =∴=2422， Θc a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±334分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分） （III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN⊥MQ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………3分 由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN⊥MQ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。
圆锥曲线之轨迹问题(有答案)
圆 锥 曲 线 之 轨 迹 问 题一、临阵磨枪1.直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程。
这种求轨迹的方法称之为直接法。
2.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。
3.坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。
4.参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标(,)x y 中的,x y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参变量即可。
5.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。
二、小试牛刀1.已知M （-3,0），N （3,0）6=-PN PM ,则动点P 的轨迹方程为 析：MN PM PN =-Q ∴点P 的轨迹一定是线段MN 的延长线。
故所求轨迹方程是 0(3)y x =≥2.已知圆O 的方程为222=+y x ，圆O '的方程为010822=+-+x y x ，由动点P 向两圆所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程为析：∵圆O 与圆O '外切于点M(2,0) ∴两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等， 故动点P 的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为2x =3.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，M 是椭圆上一动点，1F 为椭圆的左焦点，则线段1MF 的中点P 的轨迹方程为析：设P (,)x y 00(,)M x y 又1(,0)F c - 由中点坐标公式可得：00002222x c x x x c y y y y -⎧=⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩ 又点00(,)M x y 在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上 ∴2200221(0)x y a b a b +=>> 因此中点P 的轨迹方程为2222(2)41x c y a b++= 4.已知A 、B 、C 是不在同一直线上的三点，O 是平面ABC 内的一定点，P 是动点，若[)+∞∈+=-,0),21(λλBC AB OA OP ,则点P 的轨迹一定过三角形ABC 的 重 心。
第22讲 轨迹方程(解析版)-突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练
第22讲轨迹方程参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．过点(2,1)P 斜率为正的直线交椭圆221245x y +=于A ，B 两点．C ，D 是椭圆上相异的两点，满足CP ，DP 分别平分ACB ∠，ADB ∠，则PCD ∆外接圆半径的最小值为()ABC ．2413D ．1913【解答】解：如图，先固定直线AB ，设()BMf M AM=，则f （C ）f =（D ）()f P =，其中()BPf P AP=为定值，故点P ，C ，D 在一个阿波罗尼斯圆上，且PCD ∆外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r ，阿波罗尼斯圆会把点A ，B 其一包含进去，这取决于BP 与AP 谁更大，不妨先考虑BP AP >的阿波罗尼斯圆的情况，BA 的延长线与圆交于点Q ，PQ 即为该圆的直径，接下来寻求半径的表达式，由(2),2BP BQ AP BP r r AP AQ AP AP AQ BP+==+=+ ，解得111r AP BP =-，同理，当BP AP <时有，111r BP AP=-，综上，111||r AP BP=-；当直线AB无斜率时，与椭圆交点纵坐标为1,1AP BP ==，则1912r =；当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为1(2)y k x -=-，即21y kx k =-+，与椭圆方程联立可得222(245)48(12)96(1)0k x k k x k k ++-+--=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则由根与系数的关系有，122212248(21)24596(1)245k k x x k k k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩，∴1211111|||||2||2|r AP BP x x =-==---，注意到12x -与22x -异号，故1212121212|2||2|411||||(2)(2)2()419x x x x r x x x x x x ---+-===---++，设125t k =+，则11121226131919192419r === ，故1913r ，又19191213>，故选：D．2|2|x y =++表示()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆【解答】解：方程|2|x y =++变形为：=，表示点(,)P x y 到定点(1,1)-与定直线的距离相等的点的轨迹，由抛物线的定义可知：点P 的轨迹是抛物线．故选：C ．3．若动圆过定点(3,0)A -且和定圆22(3)4x y -+=外切，则动圆圆心P 的轨迹为()A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线一支【解答】解：设动圆的半径为R ，动圆圆心为P ，点A 在动圆上，||PA R∴=又 定圆22(3)4x y -+=的圆心为(3,0)B ，半径为2，定圆与动圆P 相外切∴圆心距||2PB R =+由此可得||||(2)2PB PA R R -=+-=（常数），∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的左支故选：D．4．已知圆221:(3)1C x y ++=和圆222:(3)9C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为()A ．2218y x -=B ．221(1)8y x x -=-C ．2218x y +=D ．221(1)8y x x -=【解答】解：设动圆圆心M 的坐标为(,)x y ，半径为r ，则由题意可得1||1MC r =+，2||3MC r =+，相减可得2112||||2||MC MC C C -=<，故点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的左支，由题意可得22a =，3c =，b ∴==故点M 的轨迹方程为221(1)8y x x -=-．故选：B ．5．已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点轨迹方程是()A ．212x y =-B ．21216x y =-C ．222x y =-D ．221x y =-【解答】解：由24x y =，得其焦点坐标为(0,1)，设线段PF 中点为(,)x y ，1(P x ，1)y ，由中点坐标公式得：11212x x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴11221x xy y =⎧⎨=-⎩，P 是抛物线上的点，∴2114x y =，即244(21)x y =-，221x y ∴=-．故选：D ．二．填空题（共7小题）6．两定点的坐标分别为(1,0)A -，(2,0)B ，动点满足条件2MBA MAB ∠=∠，动点M 的轨迹方程是2233(1)x y x -=或0(12)y x =-<<．．【解答】解：设(,)M x y ，MAB α∠=，则2MBA α∠=，它们是直线MA 、MB 的倾角还是倾角的补角，与点M 在x 轴的上方还是下方有关；以下讨论：①若点M 在x 轴的上方，(0,)2πα∈，0y >，此时，直线MA 的倾角为α，MB 的倾角为2πα-，tan 1MA y k x α∴==+，tan(2)2y x πα-=-，0(290)α≠tan(2)tan 2παα-=- ，22121()1yy x y x x ⨯+∴-=--+，得：2233x y -=，||||MA MB > ，1x ∴．当290α=︒时，45α=︒，MAB ∆为等腰直角三角形，此时点M 的坐标为(2,3)，它满足上述方程．②当点M 在x 轴的下方时，0y <，同理可得点M 的轨迹方程为2233(1)x y x -=，③当点M 在线段AB 上时，也满足2MAB MBA ∠=∠，此时0(12)y x =-<<．综上所求点的轨迹方程为2233(1)x y x -=或0(12)y x =-<<．故答案为：2233(1)x y x -=或0(12)y x =-<<．7．设圆22(1)36x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为22198x y +=【解答】解：如图，连接MA ，根据垂直平分线的性质，MA MQ =，由已知得(1,0)C -，6r =，所以2AC =，同时62MA MC MQ MC CQ r AC +=+===>=，因此点M 的运动轨迹为椭圆，设其方程为22221x y a b +=，(0)a b >>，所以其方程为22198x y +=．故答案为：22198x y +=．8．已知点1(F ，0)，圆222:(16F x y +=，点M 是圆上一动点，1MF 的垂直平分线与2MF 交于N 点，则点N 的轨迹方程为22142x y +=．【解答】解：因为1MF 的垂直平分线与2MF 交于N 点，所以1NF NM =．所以1222124NF NF NM NF MF F F +=+==>=所以点N 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆，这里24a =，2c =2a ∴=，c =222422b a c =-=-=，所以点N 的轨迹方程为：22142x y +=．故答案为：22142x y +=．9．已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，则C 的方程为221(2)43x y x +=≠-．【解答】解：由圆22:(1)1M x y ++=，可知圆心(1,0)M -；圆22:(1)9N x y -+=，圆心(1,0)N ，半径3．设动圆的半径为R ，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，||||1(3)4PM PN R R ∴+=++-=，而||2NM =，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为长轴长的椭圆，2a ∴=，1c =，2223b a c =-=．∴曲线C 的方程为22143x y +=（去掉点(2,0))-故答案为：221(2)43x y x +=≠-．10．方程||x y +=所表示的曲线是双曲线．【解答】解：方程||x y +=意义是：平面内动点(,)x y 到定点(1,1)，与到定直线0x y +=的点的轨迹，1>，(1,1)不在直线0x y +=上，∴轨迹是双曲线．故答案为：双曲线．11．若动点(,)P x y 到定点(5,0)F 的距离是它到直线95x =的距离的53倍，则动点P 的轨迹方程是221916x y -=．【解答】解： 点(,)P x y 到定点(5,0)F的距离是点(,)P x y 到直线95x =的距离是9||5x -，∴59||35x =-，化简为221916x y -=．故答案为221916x y -=．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线(44)x t t =-<<与椭圆221169x y +=交于两点11(,)P t y 、22(,)P t y ，且10y >、20y <，1A 、2A 分别为椭圆的左、右顶点，则直线12A P 与21A P 的交点所在的曲线方程为221169x y -=．【解答】解：由题意，直线12A P 的方程为2(4)4y y x t =++，直线21A P 的方程为1(4)4y y x t =--，两式左右分别相乘得22122(16)16y y y x t =--①11(,)P t y 、22(,)P t y 在椭圆221169x y +=上∴2211169y t +=，2221169y t +=∴2219(1)16t y =-，2229(116t y =-10y > ，20y <2129(1)16t y y ∴=-代入①可得221169x y -=故答案为：221169x y -=三．解答题（共28小题）13．已知点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12-，记M 的轨迹为曲线C ，求C 的方程，并说明C 是什么曲线．【解答】解：点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12-，1222AM BM y y k k x x ⋅=⋅=-+-，化简得221(2)42x y x +=≠±，即曲线C 的方程为221(2)42x y x +=≠±，曲线C 是一个椭圆，除去左右顶点．14．已知坐标平面上点(,)M x y 与两个定点1(26,1)M ，2(2,1)M 的距离之比等于5．（1）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中的轨迹为C ，线段AB ，点A 为C 上一点，点(11,13)B ，求AB 的中点P 的轨迹方程．【解答】解：（1）由题意坐标平面上点(,)M x y 与两个定点1(26,1)M ，2(2,1)M 的距离之比等于5，得125M M MM ==，化简得2222230x y x y +---=．即22(1)(1)25x y -+-=．∴点M 的轨迹方程是22(1)(1)25x y -+-=，所求轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆．（2）设(,)P x y ，0(A x ，0)y ，根据题意有00112132x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所00211213x x y y =-⎧⎨=-⎩，点A 在圆C 上，所以有2200(1)(1)25x y -+-=，所以22(212)(214)25x y -+-=，所以2225(6)(7)4x y -+-=，所以AB 的中点P 的轨迹方程为2225(6)(7)4x y -+-=．15．设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ，求点E 的轨迹方程．【解答】解：因为||||AD AC =，//EB AC ，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠，所以||||EB ED =，故||||||||||EA EB EA ED AD +=+=，又圆A 的标准方程为22(1)16x y ++=，从而||4AD =，所以||||4EA EB +=⋯（5分）由题设得(1,0)A -，(1,0)B ，||2AB =，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：221(0)43x y y +=≠⋯（10分）16．已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点(1,1)Q 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，求直线AB 被曲线C 截得的弦的中点坐标．【解答】解：（1）由已知得圆M 的圆心为(1,0)M -，半径11r =，圆N 的圆心为(1,0)N ，半径23r =．设动圆P 的圆心为(,)P x y ，半径为R ． 圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，1212||||()()4||PM PN R r r R r r MN ∴+=++-=+=>，由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点的椭圆（左定点除外），得24a =，2a ∴=，1c =，23b ∴=，∴椭圆方程为221(2)43x y x +=≠-；（2）||||2PA PB ==，以P 为圆心，||PA 为半径的圆22:(1)(1)4P x y -+-=与圆22:(1)1M x y ++=公共弦所在直线为l 的方程为21y x =--，联立曲线22:1(2)43x y C x +=≠-与直线:21l y x =--，可得2191680x x +-=，△0>，设交点1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ，则121619x x +=-，∴中点的横坐标为128219x x +=-，代入直线:21l y x =--，得中点的纵坐标为319-，∴所求中点坐标为8(19-，3)19-．17．已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）若直线:l y x k =+与曲线C 相切，求k 的值．【解答】解：（1）圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，设动圆P 半径为R ．M 在N 内，∴动圆只能在N 内与N 内切，不能是N 在动圆内，即：3R <动圆P 与圆M 外切，则1PM R =+，动圆P 与圆N 内切，则3PN R =-，4PM PN ∴+=，即P 到M 和P 到N 的距离之和为定值．P ∴是以M 、N 为焦点的椭圆．MN 的中点为原点，故椭圆中心在原点，24a ∴=，2a =，22c MN ==，1c =，222413b a c ∴=-=-=，C ∴的方程为221(2)43x y x +=≠-；（2）由22143x y y x k ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得：22784120x kx k ++-=，若直线l 和曲线C 相切，则△226428(412)0k k =--=，解得：k =18．已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．求C 的方程．【解答】解：圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，设动圆P 半径为R ．M 在N 内，∴动圆只能在N 内与N 内切，不能是N 在动圆内，即：3R <动圆P 与圆M 外切，则1PM R =+，动圆P 与圆N 内切，则3PN R =-，4PM PN ∴+=，即P 到M 和P 到N 的距离之和为定值．P ∴是以M 、N 为焦点的椭圆．MN 的中点为原点，故椭圆中心在原点，24a ∴=，2a =，22c MN ==，1c =，222413b a c ∴=-=-=，C ∴的方程为221(2)43x y x +=≠-．19．已知圆C 的方程为22(3)4x y -+=，定点(3,0)A -，求过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心P 的轨迹方程．【解答】解： 圆P 与圆C 外切，如图，||||2PC PA ∴=+，即||||2PC PA -=，0||||||PC PA AC <-< ，∴由双曲线的定义，点P 的轨迹是以A ，C 为焦点，2为实轴长的双曲线的左支，其中1a =，3c =，222918b c a ∴=-=-=．故所求轨方程为221(0)8y x x -=<．20．已知两圆221:(4)2C x y ++=，222:(4)2C x y -+=．动圆M 与两圆都相切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【解答】解：由题意，①若两定圆与动圆相外切或都内切，即两圆221:(4)2C x y ++=，222:(4)2C x y -+=，动圆M 与两圆1C ，2C 都相切，12||||MC MC ∴=，即M 点在线段1C ，2C 的垂直平分线上又1C ，2C 的坐标分别为(4,0)-与(4,0)∴其垂直平分线为y 轴，∴动圆圆心M 的轨迹方程是0x =；②若一内切一外切，不妨令与圆221:(4)2C x y ++=内切，与圆222:(4)2C x y -+=外切，则M 到2C 的距离减去M 到2C 的距离的差是M 的轨迹是以(4,0)-与(4,0)为焦点，以为实半轴长的双曲线左支，故可得22214b c a =-=，故此双曲线的方程为221(0)214x y x -=<．同理与圆221:(4)2C x y ++=外切，与圆222:(4)2C x y -+=内切，此双曲线的方程为221(0)214x y x -=>．∴此双曲线的方程为221214x y -=．综①②知，动圆M 的轨迹方程为221214x y -=或0x =．21．在三角形ABC 中，||4BC =，ABC ∆的内切圆与BC 相切于点D ，||||2BD CD -=，求顶点A 的轨迹方程．【解答】解：如图，设E 、F 分别为圆与AB 、AC 的两个切点，则||||BE BD =，||||CD CF =，又||||AE AF =，||||||||||||2AB AC BE CF BD CD ∴-=-=-=，∴点A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(0)y ≠，且1a =，2c =，b ∴=∴轨迹方程为221(1)13x y x -=>．故答案为：221(1)13x y x -=>．22．直角三角形ABC 的直角顶点A 为动点，(B 0)C 0)，作AD BC ⊥于D ，动点E 满足(1AE AD =-，当动点A 运动时，点E 的轨迹为曲线G ，（1）求曲线A 的轨迹方程；（2）求曲线G 的轨迹方程；（3）设直线L 与曲线G 交于M 、N 两点，坐标原点O 到直线L的距离为2，求||MN 的最大值．【解答】解：（1）直角三角形ABC 的直角顶点A的轨迹为圆：223(x y x +=≠；（2）设(,)E x y ，0(A x ，0)y ，则0(D x ，0)，22003x y +=，动点E 满足3(1)3AE =-AD ，∴0000)x x y y y -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得0x x =，0y =，代入曲线A 的轨迹方程可得2233x y +=，化为221(3x y x +=≠．（3）当直线L 的斜率不存在时，直线L的方程为：x =||MN =．当直线L 的斜率存在时，设直线L 的方程为：y kx m =+，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ． 坐标原点O 到直线L，∴=22433m k =+．联立2233y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，化为22(13)6330k x kmx m +++-=，则122613kmx x k -+=+，21223313m x x k -=+．又22433m k =+．||2MN ∴====，当且仅当213k =时取等号．综上可得：||MN 的最大值为2．23．动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，求动点P 的轨迹方程．【解答】解：由抛物线的定义知点P 的轨迹是以F 为焦点的抛物线，其开口方向向右，且22p=，解得4p =，所以其方程为28y x =．故答案为：28y x =．24．若动圆M 与圆22:(2)1C x y -+=外切，又与直线10x +=相切，求动圆圆心的轨迹方程．【解答】解：设动圆圆心为(,)M x y ，半径为R ， 圆22:(2)1C x y -+=，∴定圆圆心为(2,0)C ，半径1r =，两圆外切，||1MC R ∴=+，又 动圆M 与直线10x +=相切，∴圆心M 到直线10x +=的距离d R =，||1MC d ∴=+，即动点M 到定点(2,0)C 的距离等于它到直线20x +=的距离，由抛物线的定义可得，点M 的轨迹是以C 为焦点，20x +=为准线的抛物线，且22p=，即4p =，故动圆圆心的轨迹方程为28y x =．25．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =．求点P 的轨迹方程．【解答】解：设0(M x ，0)y ，由题意可得0(N x ，0)，设(,)P x y ，由点P 满足NP =．可得0(x x -，0))y y =，可得00x x -=，0y =，即有0x x =，0y 代入椭圆方程2212x y +=，可得22122x y +=，即有点P 的轨迹方程为圆222x y +=；故答案为：222x y +=．26．在平面直角坐标系xOy 中，点(P a ，)(0)b a b >>为动点，1F ，2F 分别为椭圆22221x y a b+=的左、右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-，求点M 的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）设1(,0)F c -，2(F c ，0)(0)c >．由题得212||||PF F F =，即2c =，整理得22()10c c a a +-=，得1ca =-（舍)，或12c a =，所以12e =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知2a c =，b =，可得椭圆方程为2223412x y c +=，直线方程为)y x c =-．A ，B的坐标满足方程组2223412)x y cy x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消y 并整理得2580x xc -=，解得0x =，85x c =，得方程组的解为0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，85335x c y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，不妨设8(5A c ，33)5c，(0,)B ．设点M 的坐标为(,)x y ，则8(5AM x c =- ，33)5y c -，(,)BM x y =+由)y x c =-得c x y =①，由2AM BM ⋅=-即8()()()255x c x y y -+-+=-．将①代入化简得218150x --=，2y ⇒=代入①化简得2105016x c x +=>．所以0x >，因此点M的轨迹方程为218150x --=(0)x >．27．设0λ>，点A 的坐标为(1,1)，点B 在抛物线2y x =上运动，点Q 满足，BQ QA λ=经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ=，求点P 的轨迹方程．【解答】解：由QM MP λ=知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设(,)P x y ，0(,)Q x y ，2(,)M x x 则220()x y y x λ-=-即20(1)y x y λλ=+-①再设1(B x ，1)y 由BQ QA λ= 得()()11011x x y y λλλλ=+-⎧⎪⎨=+-⎪⎩②将①代入②式得()()12211(1)1x x y x y λλλλλλ=+-⎧⎪⎨=+-+-⎪⎩③又点B 在抛物线2y x =将③代入得222(1)(1)((1))x y x λλλλλλ+-+-=+-整理得2(1)(1)(1)0x y λλλλλλ+-+-+=因为0λ>所以210x y --=故所求的点P 的轨迹方程：21y x =-28．已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明//AR FQ ；（Ⅱ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF ，PF ，由AP AF =，BQ BF =及//AP BQ ，得90AFP BFQ ∠+∠=︒，90PFQ ∴∠=︒，R 是PQ 的中点，RF RP RQ ∴==，PAR FAR ∴∆≅∆，PAR FAR ∴∠=∠，PRA FRA ∠=∠，1802BQF BFQ QBF PAF PAR ∠+∠=︒-∠=∠=∠ ，FQB PAR ∴∠=∠，PRA PQF ∴∠=∠，//AR FQ ∴．（Ⅱ）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，1(2F ，0)，准线为12x =-，1211||||22PQF S PQ y y ∆==-，设直线AB 与x 轴交点为N ，121||||2ABF S FN y y ∆∴=-，PQF ∆ 的面积是ABF ∆的面积的两倍，2||1FN ∴=，1N x ∴=，即(1,0)N ．设AB 中点为(,)M x y ，由21122222y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得2212122()y y x x -=-，又12121y y yx x x -=--，∴11y x y=-，即21y x =-．AB ∴中点轨迹方程为21y x =-．29．已知点1(1,0)F -，2(1,0)F ，动点P 满足12F F 为1PF 和2PF 的等差中项．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过1F 作直线L 交C 于A ，B 两点，求AB 的中点M 的轨迹方程．【解答】解：（1）1(1,0)F - ，2(1,0)F ，12||2F F ∴=，12||F F 是1||PF 与2||PF 的等差中项，12122||||||F F PF PF ∴=+，即12||||4PF PF +=，∴点P 在以1F ，2F 为焦点的椭圆上，24a = ，2a ∴=，又1c =，222413b a c ∴=-=-=，∴椭圆的方程是22143x y +=；（2）设AB 中点(M x ，)(22)y x -<<，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，A ，B 在椭圆C 上，∴2211143x y +=①，2222143x y +=②，①-②得：12121212()()()()43x x x x y y y y -+-+=-，即12121212123323()4424y y x x x xx x x x y y y y-+=-=-=-≠-+ ．∴03(1)4y xx y-=---，整理得：223430(22)x y x x ++=-<<．而1(1,0)F -适合上式，AB ∴的中点M 的轨迹方程为23430(22)y x x ++=-<<．30．已知点(2,2)P ，圆22:80C x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．求M 的轨迹方程．【解答】解：圆C 的方程可化为22(4)16x y +-=，所以圆心为(0,4)C ，半径为4．设(,)M x y ，则(,4)CM x y =- ，(2,2)MP x y =--．由题设知0CM MP =，..⋯（6分）故(2)(4)(2)0x x y y -+--=，即22(1)(3)2x y -+-=．由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是22(1)(3)2x y -+-=．..⋯（12分）31．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22211(41t x t t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数，)t R ∈．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）已知直线l的参数方程为1(2x t y t⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数，)t R ∈，点1(,0)2M ，并且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11||||MA MB +．【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为22211(41t x t t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数，)t R ∈，整理得曲线C 的普通方程221(1)4y x x +=≠-．（2）直线l的参数方程为1(2x t y t⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数，)t R ∈，代入2214y x +=；得到213120t +-=，所以12t t +=，121213t t =-；故1211||||MA MB +==．32．如图，椭圆22022:1(0x y C a b a b+=>>，a ，b 为常数），动圆22211:C x y t +=，1b t a <<．点1A ，2A 分别为0C 的左，右顶点，C 与0C 相交于A ，B ，C ，D 四点．（Ⅰ）求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程；（Ⅱ）设动圆22222:C x y t +=与0C 相交A '，B '，C '，D '四点，其中2b t a <<，12t t ≠．若矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，证明：2212t t +为定值．【解答】()I 解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则21x x =，21y y =-，1(,0)A a - ，2(,0)A a ，则直线1A A 的方程为11()y y x a x a=++①直线2A B 的方程为11()y y x a x a-=--②由①⨯②可得：22221221()y y x a x a -=--③1(A x ，1)y 在椭圆0C 上，∴2211221x y a b +=222112(1)x y b a∴=-代入③可得：2212222221(1)()x b a y x a x a --=--∴22221(,0)x y x a y a b-=<-<；()II 证明：设3(A x '，3)y ，矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等11334||||4||||x y x y ∴=22221133x y x y ∴=A ，A '均在椭圆上，222222311322(1)(1)x x b x b x a a∴-=-4422311322x x x x a a∴-=-222441313()a x x x x ∴-=-12t t ≠ ，13x x ∴≠．22213x x a ∴+=222112(1)x y b a =- ，222332(1)x y b a=-22213y y b ∴+=∴222212t t a b +=+为定值．33．已知P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A 、B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=- ．（1）试判断直线AB 是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；（2）设点M 是PAB ∆的外接圆圆心，求点M 的轨迹方程．【解答】解：（1）因为点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，故点P 的坐标为(0,3)-，根据题意可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：y kx b =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，故1122(,3),(,3)PA x y PB x y =+=+，因为4PA PB ⋅=-，则1212(3)(3)4x x y y +++=-，因为A 、B 是C 上的两个动点，则有211134y x =-，222134y x =-，故212121416x x x x +=-，整理可得22121216640x x x x ++=，解得128x x =-，由2134y kx b y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，消去y 可得241240x kx b ---=，则有124x x k +=，12124x x b =--，所以1248b --=-，解得1b =-，故直线AB 的方程为1y kx =-，所以直线经过一个定点(0,1)-．（2）线段PA 的中点坐标为311(,3)28x x -，又直线PA 的斜率为2111144PAx x k x ==，所以线段PA 的垂直平分线的方程为211143(82x x y x x -+=--，①同理，线段PB 的垂直平分线的方程为222243()82x x y x x -+=--，②由①②解得21212(),28x x x x x y ++==，设点(,)M x y ，则有122122()8x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，消去12x x +，得到212x y =，所以点M 的轨迹方程为212x y =．34．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与抛物线2:4M y x =有公共的焦点，且抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点作一条斜率为(0)k k ≠的直线交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点E ，P 为弦AB 的中点，过点E 作直线OP 的垂线交OP 于点Q ，问是否存在一定点H ，使得QH 的长度为定值？若存在，则求出点H ，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）抛物线2:4M y x =的焦点为(1,0)，可得221a b -=①，抛物线的准线1x =-被椭圆截得的弦长为3，由1x =-代入椭圆方程可得2b y a =±，即有223b a=②，解①②可得2a =，b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）设直线:(1)AB y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线与椭圆方程22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩，消去y 可得2222(34)84120k x k x k +-+-=，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，所以21224234x x k k +=+，212122243(1)(1)223434y y x x k k k k k k ++-=-=-=++，所以224(34k P k +，23)34k k -+，直线3:4OP y x k=-③，直线AB 的方程(1)y k x =-中，令0x =可得y k =-，所以(0,)E k -，因为直线EQ OP ⊥，所以直线QE 的方程为43ky x k =-④，将③④联立相乘得到2234y x x =-+，即2239(864x y -+=，所以点Q 的轨迹为以3(8，0)为圆心，38为半径的圆，所以存在定点3(8H ，0)，使得QH 的长为定值38．35．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，椭圆C 的下顶点和上顶点分别为1B ，2B ，且12||2B B =，过点(0,2)P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）当1k =时，求OMN ∆的面积；（Ⅲ）求证：直线1B M 与直线2B N 的交点T 的纵坐标为定值．【解答】解：（Ⅰ）因为12||2B B =，所以22b =，即1b =，因为离心率为22，所以c a =设c m =，则a =，0m >，又222c a b =-，即2222m m b =-，解得1m =或1-（舍去），所以a =，1b =，1c =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=．（Ⅱ）联立22122x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(2)20x x ++-=，所以23860x x ++=，所以△284360=-⨯⨯<，所以直线与椭圆无交点，所以OMN ∆的面积不存在．（Ⅲ）证明：由题意知，直线l 的方程为2y kx =+，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(12)860k x kx +++=则22122122(8)46(12)0821621k k k x x k x x k ⎧⎪=-⨯+>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=⎪+⎩因为直线和椭圆有两个交点，所以△22(8)24(21)k k =-+>232k >，设(,)T m n ，因为1B ，T ，N 在同一条直线上，则111111313y kx n k m x x x +++===+，因为2B ，T ，N 在同一条直线上，则222221111y kx n k m x x x -+-===+，由于21212283()3()11213440621kx x n n k k k m m x x k ⋅-++-++⋅=+=+=+，所以12n =，所以交点T 恒在一条直线12y =上，所以交点T 的纵坐标为定值为12．36．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为22，直线2x =-被椭圆截得的线段长为（1）求椭圆C 的方程；（2）设过椭圆C 的右焦点F 与坐标轴不垂直的直线l 交C 于点A ，B ，交y 轴于点E ，P 为线段AB 的中点，EQ OP ⊥且Q 为垂足．问：是否存在定点H ，使得QH 的长为定值？若存在，求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得：22c e a ==，222a b c -=，化简得222a b =，故C 的方程为：22221(0)2x y b b b+=>，将2x =-代入椭圆C的方程得：||y =，所以=，解得：24b =，所以2228a b ==，所以椭圆C 的方程：22184x y +=（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(P x ，0)y ，直线AB 的方程为(2)y k x =-，则直线AB 与y 轴的交点为(0,2)E k -，由2211184x y +=，2222184x y +=，得212121214182y y y y x x x x -+⨯=-=--+又2121y y k x x -=-，021021OP y y y k x x x +==+，所以12OP k k =-，故OP 的方程为12y x k =-，由EQ OP ⊥得：2EQ k k =，所以直线EQ 的方程为22y kx k =-，即2(1)y k x =-，所以直线EQ 过定点(1,0)M ，所以Q 在以OM 为直径的圆220x y x +-=上，所以存在定点1(,0)2H ，使QH 的长为定值12．37．已知椭圆E 的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(F c ，0)(0)c >．点M 在E 上，212MF F F ⊥，△12MF F的周长为6+13c ．（1）求E 的方程．（2）设E 的左、右顶点分别为A ，B ，过点3(,0)2的直线l 与E 交于C ，D 两点，记直线AC的斜率为1k ，直线BD 的斜率为2k ，则____．（从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并给出解答）．①求直线AC 和BD 交点的轨迹方程；②是否存在实常数λ，使得12k k λ=恒成立；③过点C 作关于x 轴的对称点C '，连结C '，D 得到直线1l ，试探究：直线1l 是否恒过定点．【解答】解：（1）依题意，222222611223a c b c c a a b c⎧+=+⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎩，解得31a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆E 的方程为：2219x y +=．（2）设直线l 的方程为32x ty =+，选择①，联立方程221932x y x ty ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，化简整理得：224(9)12270t y ty ++-=，假设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，由韦达定理，得12212239274(9)t y y t y y t -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，所以12129()4ty y y y =+，直线AC 的方程：11(3)3y y x x =++；直线BD 的方程：22(3)3y y x x =--，联立方程，得1122(3)3(3)3y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，两式相除，得121222112122122122121121121122112199()2()93(3)293()63(3)32433933(3)233()23()2()324ty y y y y y x x y ty y y y y y y y x x x y x y ty y y y y y y y ty y y y y ++++++++++=⋅=======----+-+-+-，即333x x +=-，解得6x =，所以直线AC 和BD 交点的轨迹方程是直线6x =．选择②联立方程221932x y x ty ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，化简整理，得224(9)12270t y ty ++-=，假设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，由韦达定理，得12212239274(9)t y y t y y t -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，所以12129()4ty y y y =+于是211211212112211212121212212122121239393()2()3(3)3(3)231242229992793(3)293()2()9(3)24222ty y y y y y y y y k y x x y ty y y k x y x y ty y y ty y y y y y y y y -⋅+-++---=⋅=======++++⋅++++，故存在实数13λ=，使得12k k λ=恒成立．选择③：设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，1(C x '，1)y -，联立方程，得221932x y x ty ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，化简整理，得224(9)12270t y ty ++-=，由韦达定理，得12212239274(9)t y y t y y t -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，直线C D '与x 轴交于点M ，说明C '，D ，M 三点共线，于是C M DM k k '=，假设(,0)M m ，即1212y y m x x m =--，亦即1212y y x m x m-=--，则1221()()y x m y x m --=-，所以12211221121221121212223332733()()()((()2()()2()02224(9)29ty x m y x m x y x y m y y ty y ty y m y y ty y m y y t m t t ---+-=+-+=+++-+=+-+=+-⋅=++，即9(32)()0t m t -+-⋅-=，解得6m =，所以直线C D '恒过定点(6,0)M ．38．已知抛物线2:2(0)E y px p =>，直线:2pl y x =-交于抛物线E 于A 、B 两点，||8AB =．（1）求抛物线E 的方程．（2）互相垂直的直线1l 、2l 分别切抛物线E 于C 、D 两点，试求两切线交点的轨迹方程．【解答】解：（1）联立方程组222p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y 得：22304p x px -+=，||348A B AB x x p p p p ∴=++=+==，即2p =．∴抛物线E 的方程为24y x =．（2）设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，由于12l l ⊥，故120y y <，不妨设10y >，20y <，由24y x =可得y =±，∴当0y >时，y '=，即1k =0y <时，y '=，即2k =．又1(C x ，1)y 在抛物线24y x =上，2114y x ∴=，∴故直线1l的方程为：11)y y x x -=-，即1122y y x y =+，即21122y y y x =+，①同理可得直线2l 的方程为：22222y y y x =+．②由①②可得：1y ，2y 是关于t 的方程222t ty x =+，即2240t yt x -+=的两根．124y y x ∴=，1l ，2l 互相垂直，∴(1=-，即121x x =．12(4y y ∴=-=-，44x ∴=-，即1x =-．∴两切线交点的轨迹方程为1x =-．39．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，其中一个顶点是双曲线221916x y -=的焦点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点(0,3)P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，过点A ，B 分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．【解答】解：（1） 椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，其中一个顶点是双曲线221916x y -=的焦点．双曲线221916x y -=的焦点1(5,0)F -，2(5,0)F ，∴椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>中，222512a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得5a =，52c =，2754b =，∴椭圆C 的标准方程为：22412575x y +=．（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设在1(A x ，1)y 处切线方程为111()y y k x x -=-，与椭圆224:12575x y C +=联立11122()412575y y k x x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得22211111111(43)8()4()750k x k k x y x k x y ++-++-+-=，由△0=，得22211111111[8()]4(43)[4()75]0k k x y k k x y -+-+-+-=，化简，得222111111(4100)84750x k x y k y --+-=，由2211412575x y +=，得22111641003x y -=-，22114753y x -=-，∴上式化为222111111168303y k x y k x ---=，2111(43)0y k x ∴+=，11134x k y =-，∴椭圆在点A 处的切线方程为11412575xx yy +=，①同理，得椭圆在点B 处的切线方程为22412575xx yy +=，②联立①②，消去x ，得：112241754175yy x yy x -=-，解得21211275()4()x x y x y x y -=-，A 、B 都在直线l 上，∴221133y kx y kx =+⎧⎨=+⎩，21122133x y x y x x ∴-=-，21212112217(5)7(5)254()12()4x x x x y x y x y x x --∴===--，即此时的交点的轨迹方程为254y =．当直线l 的斜率不存在时，直线的方程为0x =，则53(0,)2A ，53(0,)2B -，则椭圆在点A处的切线方程为y =，椭圆在B处的切线方程为y =，此时无交点．综上所述，过点A ，B 所作椭圆的两条切线的交点的轨迹方程为254y =．40．(1,0)F 为一定点，(0,)P b 是y 轴上的一动点，x 轴上的点M 满足0PM PF ⋅=，若点N满足20PN NM +=，求：（1）点N 的轨迹曲线C 的方程；（2）曲线C 的任何两条相互垂直的切线的交点轨迹．【解答】解：（1）20PN NM +=，∴点M ，N 关于点P 对称，设(,)N x y ，则(,2)M x b y --，M 在x 轴上，2y b ∴=，即2yb =．(,)PM x b =-- ，(1,)PF b =- ， 0PM PF ⋅= ，20x b ∴-+=，204y x ∴-+=，即24y x =．∴点N 的轨迹曲线C 的方程是24y x =．（2）设曲线C 的两条互相垂直的垂线的交点坐标为0(x ，0)y ，切线的斜率为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，联立方程组002()4y y k x x y x -=-⎧⎨=⎩，消元得：20004ky y y kx -+-=，∴△001()0k y kx =--=，即20010x k y k -+=．12011k k x ∴==-，01x ∴=-．曲线C 的任何两条相互垂直的切线的交点轨迹是直线1x =-．。
圆锥曲线中的轨迹方程(带答案)
第六讲 求轨迹方程的六种常用技法1．直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。
例1．已知线段6=AB ，直线BM AM ,相交于M ，且它们的斜率之积是49，求点M 的轨迹方程。
练习：1．平面内动点P 到点(10,0)F 的距离与到直线4x =的距离之比为2，则点P 的轨迹方程是 。
2．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于A 、B 两点，P 是l 上满足1PA PB ⋅=的点，求点P 的轨迹方程。
3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 （ ） A ．直线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 2．定义法通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。
例2．若(8,0),(8,0)B C -为ABC ∆的两顶点，AC 和AB 两边上的中线长之和是30，则ABC ∆的重心轨迹方程是_______________。
练习：4．方程|2|x y ++表示的曲线是 （ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．线段 D ．抛物线3．点差法圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12x x +，12y y +，12x x -，12y y -等关系式，由于弦AB 的中点(,)P x y 的坐标满足122x x x =+，122y y y =+且直线AB 的斜率为2121y y x x --，由此可求得弦AB 中点的轨迹方程。
例3．椭圆22142x y +=中,过(1,1)P 的弦恰被P 点平分,则该弦所在直线方程为_________________。
2024年高考数学复习 专题01 圆锥曲线中的轨迹方程问题 (典型题型归类训练) (解析版)
3．（2024 上·广东广州·高二统考期末）已知两个定点 A1 2, 0 ，A2 2, 0 ，动点 M 满足直线 MA1 与直线 MA2
的斜率之积为定值
m 4
（
m
0
）.
(1)求动点 M 的轨迹方程，并说明随 m 变化时，方程所表示的曲线 C 的形状；
【答案】(1)答案见解析.
【分析】（1）由斜率之积表示出轨迹方程，再对 m 分类讨论确定曲线的类型即可.
2
2
3
9
即点 Q 的轨迹方程为 (x 2)2 y2 4 ( y 0) .
3
9
2．（2024 上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）已知圆 C 的圆心为直线 x y 2 0 与直线
3x y 6 0 的交点，且圆 C 的半径为 5 .
(1)求圆 C 的标准方程；
(2)若
P
为圆
【详解】（1）设动点 M x, y ，依题意有
y y m（, m 0, m 0）， x2 x2 4 整理，得 x2 y2 1, m 0 ，
4m ∴动点 M 的轨迹方程为： x2 y2 1,
4m
m 4, 0 时，轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆，
m 4 时，轨迹是圆， m (, 4) 时，轨迹是焦点在 y 轴上的椭圆，
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点 A(x1, y1), B(x2, y2 ) 的坐标
代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得 x1 x2 ， y1 y2 ， x1 x2 ， y1 y2 等关系式，由于
弦
AB
的中点
P(x,
y)
的坐标满足
2x
x1
x2
，
圆锥曲线题型归纳(经典含答案)
椭圆题型总结一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( B )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是（ D ）A.椭圆B.圆C.直线D.线段3. 已知1F 、2F是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得2PF PQ =,那么动点Q的轨迹是( B )A.椭圆B.圆C.直线D.点4. 椭圆192522=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 4 。
5. 选做：F 1是椭圆15922=+y x 的左焦点，P 在椭圆上运动，定点A （1，1），求||||1PF PA +的最小值。
解：26||2||2||||||221-=-≥-+=+AF a PF a PA PF PA(二) 标准方程求参数范围1. 试讨论k 的取值范围，使方程13522=-+-k y k x 表示圆，椭圆，双曲线。
（略）2.轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( C ) A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3. 若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的椭圆，α所在的象限是（ A ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4. 方程231y x -=所表示的曲线是 椭圆的右半部分 .5. 已知方程222=+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 k>1(三) 待定系数法求椭圆的标准方程1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；114416922=+x y （2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；137148,113522222=+=+y x x y 或 （3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程. 13922=+y x2. 简单几何性质1． 求下列椭圆的标准方程（1）32,8==e c ； （2）过（3，0）点，离心率为36=e 。
圆锥曲线轨迹问题(解析版)
第四讲 有关圆锥曲线轨迹问题根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。
该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。
求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验）建（坐标系）设（动点坐标）限（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”）求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。
1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系，点Q （2，0），圆C 方程为122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。
【解析】设MN 切圆C 于N ，则222ONMO MN -=。
),(y x M ,则2222)2(1y x y x +-=-+λ化简得0)41(4))(1(22222=++-+-λλλx y x 当1=λ时，方程为54x =，表示一条直线。
当1≠λ时，方程化为2222222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。
【练习】如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得2PM PN =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则1(20)O -，，2(20)O ，. 由已知2PM PN =，得222PM PN =. 因为两圆半径均为1，所以221212(1)PO PO -=-.设()P x y ，，则2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， 即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=)评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的y xQMNO证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。
(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)
圆锥曲线经典题型一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．∴e==＞1且e≠．故选：D．2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=3|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴10a2=4c2，∴e=故选C．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，则b2=4a2．即b=2a，双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；故选：C．8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为﹣=1．故选：B．10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是20．【解答】解：∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案为20．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴2•=0，∴，∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴（）2+（）2=4c2，∴e=．故答案为：．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分）由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：…（6分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为…（8分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则点Q到两条渐近线的距离分别为，…（11分）因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又cosθ=，所以=﹣…（14分）14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…（5分）与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…（9分）令y=0，可得x===…（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c﹣a=﹣1，解得a=1，c=，b==，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直线l的斜率为k===2，即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，可得二次方程无实数解．故这样的直线l不存在．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，∴=，且b=，∴a=1，c=∴双曲线C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2平方得：p2﹣2pq+q2=4•=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2．。
圆锥曲线第一问求轨迹方程-有答案
圆锥曲线第一问求轨迹方程一、解答题（本大题共19小题，共228.0分）1.已知圆C：，点，，是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E．求曲线E的方程；若直线l：与曲线E相交于，两点，O为坐标原点，求面积的最大值．2.已知圆A：和定点，，是圆A上任意一点，线段MB的垂直平分线交MA于点N，设点N的轨迹为C．Ⅰ求C的方程；Ⅱ若直线与曲线C相交于，两点，试问：在x轴上是否存在定点R，使当k变化时，总有？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．3.已知平面上的动点，及两定点，，，，直线，的斜率分别是，且．求动点P的轨迹C的方程；设直线l：与曲线C交于不同的两点，．若为坐标原点，证明点O到直线l的距离为定值，并求出这个定值若直线，的斜率都存在并满足，证明直线l过定点，并求出这个定点．4.设P是圆上的动点，点D是P在x轴上投影，M为线段PD上一点，且．当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；过点，且斜率为的直线交轨迹C于，两点，若点，，求的面积．5.已知点M与点，的距离比它的直线l：的距离小2．求点M的轨迹方程；，是点M轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线AB是否经过x轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．6.已知动点P与双曲线的两焦点，的距离之和为大于4的定值，且的最大值为9．求动点P的轨迹E的方程；若，是曲线E上相异两点，点，满足，求实数的取值范围．7.在四边形ABCD中，已知，，，点B在x轴上，且对角线．求点C的轨迹T的方程；若点P是直线一5上任意一点，过点p作点C的轨迹T的两切线PE、PF、E、F为切点为EF的中点求证：轴或PM与y轴重合：在的条件下，直线EF是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是请说明理由．8.如图，已知点，，直线m：，为平面上的动点，过点P作m的垂线，垂足为点Q，且．求动点P的轨迹C的方程；文过轨迹C的准线与y轴的交点M作方向向量为，的直线与轨迹C交于不同两点A、B，问是否存在实数a使得？若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由；文在问题中，设线段AB的垂直平分线与y轴的交点为，，求的取值范围．9.已知点，、，，若动点P满足．求动点P的轨迹C；在曲线C上是否存在点Q，使得的面积？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．10.已知动点P与平面上两定点，，，连线的斜率的积为定值．试求动点P的轨迹方程C．设直线l：与曲线C交于M、N两点，求11.已知，，，，点C、D依次满足，．求点D的轨迹；过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程；在的条件下，设点Q的坐标为，，是否存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线，都相切，如存在，求出P点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由．12.定长为3的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，动点P满足．Ⅰ求点P的轨迹曲线C的方程；Ⅱ若过点，的直线与曲线C交于M、N两点，求的最大值．13.在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，，动点C满足：的周长为，记动点C的轨迹为曲线W．Ⅰ求W的方程；Ⅱ曲线W上是否存在这样的点P：它到直线的距离恰好等于它到点B的距离？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；Ⅲ设E曲线W上的一动点，，，，求E和M两点之间的最大距离．14.设，为抛物线C：上的两个动点，过，分别作抛物线C的切线，，与x轴分别交于，两点，且，．Ⅰ求点P的轨迹方程Ⅱ求证：的面积为一个定值，并求出这个定值．15.已知定点，，分别为x轴、y轴上的动点、N不重合，且，点P在直线MN上，．求动点P的轨迹C的方程；设点Q是曲线上任一点，试探究在轨迹C上是否存在点T？使得点T到点Q的距离最小，若存在，求出该最小距离和点T的坐标，若不存在，说明理由．16.已知定点，，是圆C：为圆心上的动点，SG的垂直平分线与SC交于点设点E的轨迹为M．求M的方程；是否存在斜率为1的直线l，使得直线l与曲线M相交于，两点，且以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．17.设点，到直线的距离与它到定点，的距离之比为，并记点P的轨迹为曲线C．Ⅰ求曲线C的方程；Ⅱ设，的，过点M的直线l与曲线C相交于，两点，当线段EF的中点落在由四点，，，，，，，构成的四边形内不包括边界时，求直线l斜率的取值范围．18.在中，，、，，、AC边上的中线长之和为9．Ⅰ求重心G的轨迹方程Ⅱ设P为中所求轨迹上任意一点，求的最小值．19.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C上任意一点到点，的距离与到直线的距离相等．Ⅰ求曲线C的方程；Ⅱ设，，，是x轴上的两点，，过点，分别作x轴的垂线，与曲线C分别交于点 ，，直线与x轴交于点，，这样就称，确定了同样，可由，确定了现已知，，求的值．答案和解析【答案】1. 解：Ⅰ点Q在线段AP的垂直平分线上，．又，．曲线E是以坐标原点为中心，，和，为焦点，长轴长为的椭圆．设曲线E的方程为，．，，．曲线E的方程为．Ⅱ设，，，联立消去y，得．此时有．由一元二次方程根与系数的关系，得，，原点O到直线l的距离，．，由，得．又，据基本不等式，得．，当且仅当时，不等式取等号．面积的最大值为．2. 解：Ⅰ圆A：，圆心，，由已知得，又，所以，所以由椭圆的定义知点N的轨迹是以，为焦点的椭圆，设其标准方程C：，则，，所以，，所以曲线C：．Ⅱ设存在点，满足题设，联立直线与椭圆方程消y得，设，，，，则由韦达定理得 ，，由题设知OR平分直线RP与直RQ的倾斜角互补，即直线RP与直线RQ的斜率之和为零，即，即，即，把、代入并化简得，即，所以当k变化时成立，只要即可，所以存在定点，满足题设．3. 解：由题意得，，即．动点P的轨迹C的方程是．设点，，，，联立，化为，．，．，若，则，，，化为，此时点O到直线l的距离．，，，，代入化为，化简得，解得或．当时，直线l恒过原点；当时，直线l恒过点，，此时直线l与曲线C最多有一个公共点，不符合题意，综上可知：直线l恒过定点，．4. 解：设M的坐标为，，的坐标为，由，解得：，在圆上，，即，整理得．直线：，代入C的方程，整理得：由韦达定理可知：，，线段AB的长度为，点F到AB的距离为，故．5. 解：由题意知动点M到，的距离比它到直线l：的距离小2，即动点M到，的距离与它到直线的距离相等，由抛物线定义可知动点M的轨迹为以，为焦点的抛物线，则点M的轨迹方程为；法一：由题意知直线AB的斜率显然不能为0，设直线AB的方程为，，，，联立方程，消去x，可得，即，，，，由题意知，即，则，，，，直线AB的方程为，直线AB过定点，且定点坐标为，；法二：假设存在定点，设定点，，，，，，，，，又、B在抛物线上，即，代入上式，可得，，又、B、P三点共线，，，假设成立，直线AB经过x轴的定点，坐标为，．6. 解：双曲线的焦点，．设已知定值为2a，则，因此，动点P的轨迹E是以，，，为焦点，长轴长为2a 的椭圆．设椭圆方程为．，，，动点P的轨迹E的方程；设，，，，则由点，满足，得：且，，三点共线，设直线为l，当直线l的斜率存在时，设l：，则将直线的方程代入椭圆的方程，化简得：，根据根与系数的关系得：，，将，代入，消去，得：，化得：，解之得：实数的取值范围为，7. 解：设点，，，则，，，，，．，，即．点C的轨迹T是去掉顶点的抛物线．对函数求导得，．设切点，，则过该切点的切线的斜率为．切线方程为．设点，，由于切线经过点，．化为．设点，，，．则，是方程的两个实数根，，．．因此当时，直线PM与y轴重合；当时，直线PM与y轴平行．．点，．又．直线EF的方程为：，即当，时，方程恒成立．对任意实数t，直线EF恒过定点，．8. 解：设，，由题意，，，，，，，，，，，由，得，化简得所以，动点P的轨迹C的方程为．轨迹C为抛物线，准线方程为，即直线m，所以，，当时，直线的方程为，与曲线C只有一个公共点，故．所以直线的方程为，由得，由，得．设，，，，则，，所以，，若，则，即，，，，，解得所以．由，得线段AB的中点为，，线段AB的垂直平分线的一个法向量为，，所以线段AB的垂直平分线的方程为，令，，因为，所以．所以的取值范围是，．9. 解：设动点，，又点，、，，，，，，，分由，得，分，故，即．轨迹C是焦点为，、长轴长的椭圆；分设曲线C上存在点，满足题意，则分，又，故分，分分曲线C上存在点，使得的面积分10. 解：设，，则，动点p与定点，，，的连线的斜率之积为，，即又时，必有一个斜率不存在，故综上点P的轨迹方程为将直线l：代入曲线C方程，整理得，11. 解：设，，，，，，，．，，，则，代入，得．所以，点D的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆设直线l的方程为椭圆的方程；由l与圆相切得：，．将代入得：，又，可得，有，，，解得．椭圆方程为．假设存在椭圆上的一点，，使得直线，与以Q为圆心的圆相切，则Q到直线，的距离相等，，，，，：，：，，化简整理得：，点P在椭圆上，，解得：或舍时，，，椭圆上存在点P，其坐标为，或，，使得直线，与以Q为圆心的圆相切．12. 解：Ⅰ设，，，，，，由得，，，，即，分又因为，所以，化简得：，这就是点P的轨迹方程分Ⅱ当过点，的直线为时，，，，当过点，的直线不为时，可设为，，，，，联立，化简得：，由韦达定理得：，，分又由恒成立，分得，对于上式，当时，综上所述的最大值为分13. 解：Ⅰ设，，的周长为，，又，，根据椭圆的定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为的椭圆除去与x轴的两个交点．从而，，的方程为；Ⅱ存在两个点，和，满足题意．事实上，假设存在点P满足题意，则点P为抛物线与曲线的交点，由消去y得：．解得或舍去．第11页，共13页把 代入抛物线的方程得 ．所以存在两个点 ， 和 ， 满足题意．Ⅲ 设 ， ，则由得 ，且．若 ，即 时，当 时， ；若 ，即 时，当 时， ．14. 解： Ⅰ 设 ， ， ， ， ，， 则，即 同理，联立 ， ，得又令 ， 式中的 得 ， ， ，因为 ，所以得即 ，代入 式得所求点P 的轨迹方程为： ；Ⅱ 设MN ： ，又由 ，得所以 ，到MN 的距离为． 的面积为定值215. 解： 设点M 、N 的坐标分别为 ， ， ， ， ， ，点P 的坐标为 ， ， 则， ， ， ， ， ， ， ， 由 得 ，------------ ---------- 分由得 ， -------------------------------------- 分 ， 代入 得 ---------------------------------------- 分， ，动点P 的轨迹C 的方程为 ------------------------------------- 分曲线 ，即 ，是以 ， 为圆心，以1为半径的圆，设 T 为轨迹C 上任意一点，连接TB ，则 -------------------------------- 分 当 最小时， 最小 --------------------------------------------------- 分点T 在轨迹C 上，设点，--------------------------------- 分当 ，即 时， 有最小值， ----------------------- 分当 时，在轨迹C 上是存在点T ，其坐标为 ， ，使得 最小， -- 分16. 解：由题知，所以．又因为，所以点E的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，动点E的轨迹方程为分假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于，，，两点，其方程为，由消去y，化简得．直线l与曲线M相交于，两点，解得又由，．因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点，所以，所以又，，解得由于，，所以符合题意的直线l存在，所求的直线l的方程为或17. 解：点，到直线的距离与它到定点，的距离之比为，曲线C的方程为；Ⅱ设直线l的方程为，设，，，，线段EF的中点，，直线方程代入椭圆方程可得由，可得，，，点G不可能在y轴的右边直线，的方程为，点G在正方形内的充要条件为，即．综上可知，．18. 解：Ⅰ设AC、AB边上的中线分别为CD、BE，定值因此，G的轨迹为以B、C为焦点的椭圆，，第12页，共13页，，可得椭圆的方程为当G点在x轴上时，A、B、C三点共线，不能构成的纵坐标不能是0，可得的重心G的轨迹方程为；Ⅱ由题意，P为椭圆短轴顶点时，最大，最小．19. 解：Ⅰ因为曲线C上任意一点到点，的距离与到直线的距离相等，根据抛物线定义知，曲线C是以点，为焦点，直线为准线的抛物线，设抛物线方程为，可得，解得，故抛物线方程为即为所求曲线C的方程；分Ⅱ由题意，得，，，，则，故直线方程为：分令，得，即分，，，可得同理可得，分于是求得的值为分第13页，共13页。
高考数学一轮复习专题10.9圆锥曲线轨迹方程求法练习(含解析)
第九讲圆锥曲线轨迹方程求法求轨迹方程的常用方法：⒈直接法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直接法。
⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点M的坐标x，y表示相关点P的坐标（Xo、Yo），然后代入点P的坐标（Xo、Yo）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
（用未知表示已知，带入已知求未知）⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
考向一直接法求轨迹方程【例1】已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足 ,则动点P(x，y)的轨迹方程为。
【答案】【解析】设P（x，y），x＞0，y＞0，M（﹣2，0），N（2，0），则 ， ， ， 由，则，化简整理得y2＝﹣8x．【举一反三】1.已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．【答案】y 2＝x －1.【解析】设过AB 的直线为l ，设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)， 则S △ABF ＝12|b －a |·FD ＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝1或x 1＝0(舍去)．设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)．而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1.所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.2．已知两点M(-1,0),N(1,0)，点P 为坐标平面内的动点，且满足 ，则动点P 的轨迹方程为 。
圆锥曲线题型归纳(经典含答案)
椭圆题型总结一、 椭圆的定义和方程问题 （一） 定义：1.命题甲：动点P 到两点A, B 的距离之和 PA+|PB =2a （a >0,常数）;命题乙：P 的轨迹是以 A B 为 焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 （B ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.已知Fl 、F2是两个定点，且 "F2 =4，若动点P 满足|PF"+|PF2|=4则动点P 的轨迹是（D ） A.椭圆B.圆C.直线D.线段3. 已知F i 、F2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上的一个动点，如果延长* 到 Q,使得 |PQ =|PF 2 ，那么 动点Q的轨迹是（B ）A.椭圆B.圆C.直线D.点 22…一 x y … ，一一 ,一 … 一一 一.....4.椭圆一十二=1上一点M 到焦点F i 的距离为2, N 为MF i 的中点，O 是椭圆的中心，则 ON 的值25 9是 4。
225.选做：F I 是椭圆 —=1的左焦点，P 在椭圆上运动，定点A （ 1, 1）,求| PA | + | PF 1 |的最小值。
9 5解：| PA | | PF 1 |=| PA | 2a - | PF 2 |_ 2a-| AF 2 |=6 - .. 2（二） 标准方程求参数范围221. 试讨论k 的取值范围，使方程 —二 十 _匚=1表示圆，椭圆，双曲线。
（略）5 —k k -32"m 》n >0”是“方程mx 2 +ny 2 =1表示焦点在y 轴上的椭圆”的（c ）A.充分而不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 3.若方程x 2sina +y 2cosa =1表示焦点在y 轴上的椭圆，0所在的象限是（A ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限5.已知方程x 2+ky 2 =2表示焦点在X 轴上的椭圆，则实数k 的范围是 k>1（三）待定系数法求椭圆的标准方程1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：（1） 两个焦点的坐标分别为（0, 5）和（0, —5）,椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为 26;22匕』=1169 144（2） 长轴是短轴的2倍，且过点（2, — 6）;2222L+L =1 或 土+匕=1 52 13 ' 148 37（3） 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点4.方程x =J I -3y 2所表示的曲线是椭圆的右半部分日（」6,1）,以-。
圆锥曲线中的轨迹方程问题-(解析版)
专题1 圆锥曲线的轨迹方程问题轨迹与轨迹方程高考题中在选择题或填空题中单独考查，在解答题中也会出现轨迹与轨迹方程的问题.本文主要研究圆锥曲线中关于轨迹方程求法。
首先正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，常用方法有：直译法、定义法、相关点法、参数（交轨）法等方法1、直译法：若动点运动的条件是一些已知（或通过分析得出）几何量的等量关系，可转化成含x,y 的等式，就得到轨迹方程。
直译法知识储备：两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率（向量）公式。
经典例题：1．（2020·江苏徐州市·高三月考）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（1λ≠）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -、()4,0B ，点P 满足12PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为()22416x y ++= B ．在C 上存在点D ，使得D 到点()1,1的距离为3 C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA = D ．在C 上存在点N ，使得224NO NA += 【答案】ABD【分析】设点P 的坐标，利用12PA PB =，即可求出曲线C 的轨迹方程，然后假设曲线C 上一点坐标，根据BCD 选项逐一列出所满足条件，然后与C 的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案．【详解】设点P （x ，y ），()2,0A -、()4,0B ，由12PA PB =，12=，化简得x 2+y 2+8x ＝0，即：（x +4）2+y 2＝16，故A 选项正确；曲线C 的方程表示圆心为（﹣4，0），半径为4的圆，圆心与点（1，1）=﹣4，+4，而3∈﹣4，故B 正确；对于C 选项，设M （x 0，y 0），由|MO |＝2|MA |，=又 ()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝2，解得y 0无解，故C 选项错误；对于D 选项，设N （x 0，y 0），由|NO |2+|NA |2＝4，得 ()2222000024x y x y ++++=，又()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝0，解得y 0＝0，故D 选项正确．2．（2020·湖南省高三期末）点(,)P x y 与定点(1,0)F 的距离和它到直线:4l x =距离的比是常数12. 求点P 的轨迹方程；【答案】22143x y +=12=，化简即可求出；12=，化简得：223412x y +=，故1C 的方程为22143x y +=.【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点是动点轨迹方程的求解.3．（2021年湖南省高三月考）已知动点P 到定点A （5，0）的距离与到定直线165x =的距离的比是54，求P 点的轨迹方程．【答案】轨迹方程是221169x y -=.【分析】利用动点P 到定点A （5，0）的距离与到定直线165x =的距离的比是54可得方程，化简由此能求出轨迹M 的方程．【详解】由题意，设P （x ，y ），则()22252516165x y x -+=⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得轨迹方程是221169x y -=． 故答案为221.169x y -=【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，属于基础题．由2、3题推广：圆锥曲线统一定义（第二定义）：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
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圆锥曲线的轨迹方程1．已知直线2:220(1)l x ay a a --=>椭圆222:1x C y a+=，1F ，2F 分别为椭圆的左右焦点．（Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求C 的标准方程；2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P 是椭圆上的一点，I 为△12PF F 的内切圆圆心，11222PIF IF F PIF S S S =-V V V ，且△12PF F 的周长为6． （1）求椭圆C 的方程．3．椭圆2222:1(1)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆E 上两动点P ，Q 使得四边形12PFQF为平行四边形，且平行四边形12PFQF 的周长和最大面积分别为8和 （1）求椭圆E 的标准方程；4．已知(2,0)A -，(2,0)B ，点P 在平面内运动，14PA PB k k =-g ．（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，且1F 是圆2270x y +-+=的圆心，点H 的坐标为(0,)b ，且△12HF F 的面积为 （1）求椭圆C 的方程．6．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 两点分别是椭圆C 的上，下顶点，△12AF F 是等腰直角三角形，延长1AF 交椭圆C 于D 点，且2ADF ∆的周长为 （1）求椭圆C 的方程；7．已知点F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，点A 为椭圆的右顶点，点B 为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F 距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，左右焦点分别为1F 、2F ，A 为椭圆上一点，1AF 与y 轴交于点B ，2||||AB F B =，||OB =． （1）求椭圆C 的方程；9．已知椭圆2222:1(0,0)x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，点P 在椭圆E 上，212PF F F ⊥，且12||3||PF PF =．（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；10．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点，过F 的直线与椭圆E交于A 、B 两点，线段AB 的中点为21(,)33P ．（1）求椭圆E 的方程；11．已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0F ，)(0)c c >关于直线:20l x y --=的对称点为M ，且||FM =P 为C 的准线上的任意一点，过点P 作C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．（1）求抛物线C 的方程；12．已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，且过点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，△1AF B 的周长为．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；13．有一种曲线画图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且12DN ON ==，1DM =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求曲线C 的轨迹方程；14．已知圆22(4)(4)25x y -+-=经过抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点F ，且与抛物线E 的准线l 相切． （1）求抛物线E 的标准方程；15．已知焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>与圆222:1O x y p +=+交于点0(1,)P y ． （1）求抛物线C 的方程；16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A ，B的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34-．（Ⅰ）求C 的方程；17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M ，且焦距为4．（1）求椭圆C 的标准方程；18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为28y x =的焦点重合．（1）求椭圆C 的标准方程；19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为B ，圆22:4C x y '+=与y 轴的正半轴交于点A ，与C 有且仅有两个交点且都在x 轴上||,||OB O OA =为坐标原点）． （1）求椭圆C 的方程；20．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在x ，1F ，2F 分别为椭圆E 的左、右焦点，点P 在椭圆E 上，以线段12F F 为直径的圆经过点P ，线段1F P 与y 轴交于点B ，且11||||6F P F B =g ． （1）求椭圆E 的方程；21．已知(0,2)P -，点A ，B 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点，直线BP 交E 于另一点Q ，ABP ∆为等腰直角三角形，且||:||3:2PQ QB =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；22．已知圆221:(3)16F x y ++=，圆心为1F ，定点2(3,0)F ，P 为圆1F 上一点，线段2PF 上一点K 满足222PF KF =u u u r u u u r，直线1PF 上一点Q 满足20QK KF =u u u r u u u r g ．（1）求点Q 的轨迹E 的方程；23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，F 是椭圆C 的一个焦点，点(0,2)M ，直线MF 的斜率为2．（1）求椭圆C 的方程；24．、已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率12e =，左、右焦点分别为1F 、2F ，(4,0)P -，过点P 的直线斜率为k ，交椭圆E 于A ，B 两点，12211221sin sin sin()BF F BF F a BF F BF F ∠+∠=∠+∠． （1）求椭圆E 的方程；25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时，||3AB =． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；26．已知椭圆2222:1x y C a b +=，右顶点为A ，右焦点为F ，O 为坐标原点，2OA OF =u u u r u u u r ，椭圆C 过点3(1,)2-．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；27．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为1:4l x =与x 轴的交点为G ，过点(,0)M l 且不与x 轴重合的直线2l 交E 于点A ，B ．当2l 垂直x 轴时，ABG ∆． （1）求E 的方程；28．已知点M 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，1260F MF ∠=︒，△12MF F 的面积为12．（1）求椭圆的方程；29．已知Q ，R 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点，P 点为椭圆C 上一点，点P 关于x 轴的对称点为H ，且12PQ RH k k =g ．（1）若椭圆C 经过圆22(1)4x y +-=的圆心，求椭圆C 的方程；30．已知1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，离心率为12，P 是椭圆上异于左右顶点的一动点，已知△12F PF 的内切圆半径的最大值为3． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；31．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为4，直线1:bl y x c=与椭圆相交于A 、B 两点，2F 关于直线1l 的对称点E 恰好在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；32．已知点3(1,)2P ，(1,)a x y =-r ，(1,)b x y =+r ，且||||4a b +=r r ，满足条件的点(,)Q x y 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；33．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，P 为抛物线上一点，当P 的横坐标为1时，3||2PF =． （1）求抛物线C 的方程；34．已知过点(4,0)A -的动直线l 与抛物线2:2(0)G x py p =>相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，4AC AB =u u u r u u u r ．（1）求抛物线G 的方程；35．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，Q 是抛物线上的一点，FQ =u u u r．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；36．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与抛物线2:4D y x =-有共同的焦点F ，且两曲线的公共点到F 的距离是它到直线4x =-（点F 在此直线右侧）的距离的一半． （1）求椭圆C 的方程；37．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点3(1,)2P 在椭圆C 上，满足1294PF PF =u u u r u u u u r g ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；38．直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点，A 为椭圆的右顶点，点P 为椭圆C 上的动点（点P 与C 的左右顶点不重合），当△12PF F 为等边三角形时，123PF F S =V ． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，M 为AP 的中点，直线MO 交直线4x =-于点D ， 过点O 作//OE AP 交直线4x =-于点E ，证明11OEF ODF ∠=∠．39．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为1F ，过点1F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2，且1F 与短轴两端点的连线相互垂直．（1）求椭圆C 的方程；40．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的离心率为2，过椭圆Γ的焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆Γ截得的弦长为2． （1）求椭圆Γ的方程；41．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线与C 交于M ，N 两点．2MNF ∆的周长为8，且||MN 的最小值为3． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；42．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，F 为其右焦点，1111B A B F =u u u u r u u u u r g ，且该椭圆的离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；43．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，与x 轴交于点1A ，2A ，过x 轴上一点Q 引x 轴的垂线，交椭圆C 于点1P ，2P ，当Q 与椭圆右焦点重合时，12||1PP =． （1）求椭圆C 的方程；44．在平面直角坐标系内，点(1,0)F ，过点P 作直线:l x m =的垂线，垂足为M ，MF 的中点H 在y 轴上，且()0PM PF FM +=u u u u r u u u r u u u u rg ．设点P 的轨迹为曲线Q ．（1）求曲线Q 的方程；45．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点坐标为(，A ，B 分别是椭圆的左，右顶点，P 是椭圆上异于A ，B 的一点，且PA ，PB 所在直线斜率之积为14-．（1）求椭圆C 的方程；46．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在x ，1F 、2F 分别为楠圆E 的左、右焦点，点P 在椭圆E 上，以线段12F F 为直径的圆经过点P ，线段1F P 与y 轴交于点B ，且11||||6F P F B =g ． （1）求椭圆E 的方程；47．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，经过左焦点1F 的最短弦长为3，离心率为12． （1）求椭圆的标准方程；48．点(1,1)A 是抛物线2:2C x py =内一点，F 是抛物线C 的焦点，Q 是抛物线C 上任意一点，且已知||||QA QF +的最小值为2．（1）求抛物线C 的方程；圆锥曲线的轨迹方程参考答案1.【解答】（Ⅰ）由题可得：22222,12,12a c a c a c =-=⇒==，所以椭圆C 的方程为2212x y +=．2.【解答】（1）因为11222PIF IF F PIF S S S =-V V V ，所以1212||||2||PF PF F F +=，即2a c =①， 又因为△12PF F 的周长为6，所以1212||||||6PF PF F F ++=，即226a c +=②，由①②可得2a =，1c =，则3b =，所以椭圆的方程为22143x y +=．3.【解答】（1）由平行四边形12PFQF 的周长为8，可知48a =，即2a =．由平行四边形的最大面积为23，可知3bc =，又1a b >>，解得3,1b c ==．所以椭圆方程为22143x y +=．4.【解答】（Ⅰ）设(,)P x y ，0y ≠，则2124n yy x x -=-+g ，22221(4)144x y x y =--⇒+=；所以点P 的轨迹方程：221(0)4x y y +=≠；5.【解答】（1）由224270x y x +-+=，可得22(22)1x y -+=，则圆心坐标为(22，0)， 即1F (22，0)，22c ∴=，Q △12HF F 的面积为22，∴12222c b ⨯⨯=， 1b ∴=，2229a b c ∴=+=，∴椭圆C 的方程为：2219x y +=；6.【解答】（1）2ADF ∆Q 的周长为42，由椭圆的定义可知，12||||2AF AF a +=，12||||2DF DF a +=， 442a ∴=，2a ∴=，又Q △12AF F 是等腰直角三角形，且222a b c =+，1b c ∴==，∴椭圆C 的方程为：2212x y +=；7.【解答】（Ⅰ）由题意可知，31a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，2223b a c ∴=-=，∴椭圆的标准方程为：22143x y +=； 8.【解答】（1）连接2AF ，如图所示：， 由题意得21||||||AB F B F B ==， 所以BO 为△12F AF 的中位线， 又因为12BO F F ⊥，所以212AF F F ⊥，且222||2||2b AF OB a ===， 又22c e a ==，222a b c =+，得22a =，21b =， ∴椭圆C 的方程为：2212x y +=；9.【解答】（Ⅰ）因为P 在椭圆上，所以12||||2PF PF a +=，又因为12||3||PF PF =， 所以2||2a PF =，13||2aPF =，因为212PF F F ⊥，所以2222121||||||PF F F PF +=，又12||2F F =，所以22a =，2221b a c =-=，所以椭圆的标准方程为：2212x y +=；10.【解答】（1）由题意可知，1c =，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，∴1243x x +=，1223y y +=， 又Q 点A ，B 在椭圆上，∴22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=， ∴2122122y y b x x a -=--，即直线AB 的斜率为：222b a -，又Q 直线AB 过右焦点(1,0)F ，过点21(,)33P ， ∴直线AB 的斜率为：1031213-=--，2221b a ∴-=-，222a b ∴=，又222a b c =+Q ，1c =，22a ∴=，21b =，∴椭圆E 的方程为：2212x y +=；11.【解答】（1）由题意可知，焦点(0,)F c 到直线:20l x y --=的距离d =∴=1c =（负根舍去），∴抛物线C 的方程为：24x y =； 12.【解答】（Ⅰ）根据椭圆的定义，可得12||||2AF AF a +=，12||||2BF BF a +=，∴△1AF B 的周长为111122||||||||||||||4AF BF AB AF BF AF BF a ++=+++=，∴4a =，a =∴椭圆E 的方程为22213x y b +=，将P 代入得22b =，所以椭圆的方程为22132x y +=． 13.【解答】（1）设(,)M x y 则(,0)2x D1，即2214x y +=；14. 【解答】（1）由已知可得：圆心(4,4)到焦点F 的距离与到准线l 的距离相等，即点(4,4)在抛物线E 上，168p ∴=，解得2p =．∴抛物线E 的标准方程为24y x =．15.【解答】（1）将点0(1,)P y 代入得20220211y p y p ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩，解得2p =，则抛物线C 的方程为24y x =； 16.【解答】（1）已知点P 在椭圆上，设0(P x ，0)y ，即有2200221x y a b+=，又2200022200034AP BPy y y b k k x a x a x a a ===-=-+--g ，且22c =，可得椭圆的方程为22143x y +=； 17.【解答】（1）由题意可知，2222242124a b c a b c ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得22a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为：22184x y +=；18.【解答】（1）由抛物线的方程可得抛物线的焦点坐标为(2,0)，所以由题意可得椭圆的右焦点(2,0)，即2c =，2a =a =222642b a c =-=-=，所以椭圆的标准方程为：22162x y +=； 19.【解答】（1）Q 圆22:4C x y '+=与C 有且仅有两个交点且都在x 轴上，所以2a =， 又Q ||||OB OA =∴2b，解得b =C 的方程为22143x y +=；20.【解答】（1）设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，12||2F F c =，112BFO PF F ∠=∠Q ，1122FOB F PF π∠=∠=，∴△1F BO ∽△12F F P ，∴11121||||||||F B FO F F F P =， 即211112||||||||26F P F B FO F F c ===，c ∴=c e a ==，解得2a =，所以2221b a c =-=， 则椭圆E 的方程为2214x y +=；21.【解答】（Ⅰ）根据题意ABP ∆是等腰直角三角形，2a ∴=，(2,0)B ，设0(Q x ，0)y ，由||:||3:2PQ QB =，得32PQ QB =u u u r u u u r ，则006545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入椭圆方程得21b =，∴椭圆E 的方程为：2214xy +=；22.【解答】（1）Q 222PF KF =u u u r u u u r，K ∴是线段2PF 的中点．又20QK KF =u u u r u u u r g ，QK ∴为线段2PF 的中垂线，则2||||QP QF =，1112||||||||||4F P FQ QP FQ QF =+=+=Q ， ∴由椭圆的定义可知，点Q 的轨迹是以1F ，2F 为焦点，长轴为4的椭圆，则2a =，c ，21b ∴=，故点Q 的轨迹C 的方程为2214x y +=；23.【解答】（1）由题意，可得1222c a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，则2223b a c =-=，故椭圆C 的方程为22143x y +=；24.【解答】（1）由正弦定理得2112||||||BF BF a F F +=，由椭圆的定义可得22a ac =，1c ∴=， 又Q 离心率12e =，∴12c a =，2a ∴=，2223b a c ∴=-=，∴椭圆E 的方程为：22143x y +=；25.【解答】（Ⅰ）由题意得：222223,1,2,b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2,1a b c ===．所以椭圆的标准方程为：22143x y +=；26.【解答】（Ⅰ）由2OA OF =u u u r u u u r ，可得，2a c =，且过点3(1,)2-，则221914a b +=，焦解得：2a =，b =，所以椭圆的方程为：22143x y+=；27.【解答】（1）由焦距为2c =c =，即2223a b c -== ①；由题意可得(4,0)G，13||||||22AB MG AB ==g可得||AB =，由在椭圆上可得221314a b+=②； 由①②解得2a =，1b =，则椭圆的方程为2214xy +=；28.【解答】（1）设1(,0)F c -，2(,0)F c ，1||MF m =，2||MF n =可得2m n a +=，1sin 602mn ︒=，即8mn =， 又2222cos604m n mn c +-︒=，即22()24m n mn mn c +--=，即222444324a c b mn -===，可得b =，由12c e a ==，即2a c =，又2226b a c =-=，解得a =，c 22186x y +=；29.【解答】（1）设(,)P x y ，因为(,0)P a -，(,0)Q a ，则点P 关于x 轴的对称点(,)H x y -， PQy k x a =+，RH y k a x=-，因为22221x y a b +=，所以22222222(1)()x b y b a x a a =-=-， 所以2222212PQ RH y b k k a x a ===-g ，又椭圆C 过圆22(1)4x y +-=的圆心(0,1)，∴22011a b+=， 所以22a =，21b =，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=；30.【解答】（Ⅰ）由题意知：12c a =，2a c ∴=，222b a c =-，∴b =，设△12PF F 的内切圆半径为r ，则12121211(||||||)(22)()22PF F S PF PF F F r a c r a c r =++=+=+V g g g ，故当△12PF F 面积最大时，r 最大，即P点位于椭圆短轴顶点时r ，)a c bc +=，把2a c =，b =代入，解得：2a =，b =，所以椭圆方程为22143x y +=； 31.【解答】（1）Q 焦距为4，2c ∴=，2(2,0)F ∴，Q 点2F 关于直线1:bl y x c=的对称点E 恰好在椭圆上，∴由椭圆的对称性可知，当b c =时，点2(2,0)F 关于直线1:l y x =的对称点E 坐标为(0,2)，恰在椭圆上， 2b c ∴==，2228a b c =+=，∴椭圆的标准方程为：22184x y +=； 32.【解答】（1）设1(1,0)F -，2(1,0)F ，由(1,)a x y =-r，(1,)b x y =+r ，||||4a b +=r r ，4，即为12||||4QF QF +=，由124||F F >，可得Q 的轨迹是以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点，且24a =的椭圆，由1c =，2a =，可得b ==，可得曲线C 的方程为22143x y +=；33.【解答】（1）由抛物线的方程可得准线方程为：2px =-，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，3||2PF =，又P 的横坐标为1，所以3122p +=，所以1p =，所以抛物线的方程为：22y x =；34.【解答】（1）设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为1(4)2y x =+，即24x y =-，由2224x py x y ⎧=⎨=-⎩得22(8)80y p y -++=，∴21212(8)640424p p y y y y ⎧=+->⎪⎪+=+⎨⎪=⎪⎩V ，①；又4AC AB =u u u r u u u r ．214y y ∴=，②； 由①②和0p >得11y =，24y =，2p =，则抛物线的方程为24x y =；35.【解答】（Ⅰ）由题意可知，(2p F ，0)，Q 点Q 在物线2:2C y px =上，∴设20(2y Q p ，0)y ，∴200(,)22y p FQ y p =-=u u u r ，∴200122y pp y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得2p =，∴抛物线C 的方程为：24y x =；36.【解答】（1）由题意知(1,0)F -，因而1c =，即221a b =+，又两曲线在第二象限内的交点(Q Q x ，)Q y 到F 的距离是它到直线4x =-的距离的一半，即42(1)Q Q x x +=-+，得23Q x =-，则283Q y =，代入到椭圆方程，得2248193a b+= ．由2222481931a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得24a =，23b =， ∴所求椭圆的方程为22143x y +=．37.【解答】（1）设1F (,0)c -，2(,0)F c ，0c >，则12(1PF PF c =--u u u r u u u u r g ，3)(12c --g ，2399)1244c -=-+=，1c ∴=，∴2222219141a b a b c c ⎧+=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆C 的标准方程为：22143x y +=； 38.【解答】(1设椭圆的半个焦距c ，因为△12PF F 是等边三角形，所以P 此时在上顶点或下顶点，所以2a c =，所以bc 222a b c =+，解得24a =，23b =，所以椭圆的方程为：22143x y +=；39.【解答】（1）设右焦点为1(,0)F c ，令x c =，可得2b y a =±=±，可得22b a=1F 与短轴两端点的连线相互垂直，可得b c =，且222a b c -=，解得a 1b c ==，则椭圆方程为2212x y +=；40.【解答】（1）根据题意得22c ab a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为222b ac =-，解得22a =，则21b =， 所以椭圆Γ的方程为：2212x y +=；41.【解答】（1）根据椭圆的定义可得：122MF MF a +=，122NF NF a +=，则2MNF ∆的周长22112248MN MF NF MF NF MF MF a =++=+++==，解得2a =，又因为||MN 的最小值为3，所以223b a=，解得23b =，所以椭圆的标准方程为22143x y +=，42.【解答】（Ⅰ）1(,0)A a -，1(0,)B b ，(,0)F c ，11(,)B A a b =--u u u u r ，1(,)B F c b =-u u u u r ，由1111B A B F =u u u u r u u u u rg ，得21b ac -=，又12c a =，222a b c =+，解得：2a =，b =1c =．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；43.【解答】（1）由题意可得离心率c e a ==x c =代入椭圆方程可得2||b y a =，所以221b a=，222c a b =-可得22a =，21b =，所以椭圆的方程为：2214x y +=；44.【解答】（1）设点(,)P x y ，依题意可得||||PM PF =，则222(1)(1)x x y +=-+，整理可得：24y x =，所以曲线Q 的方程24y x =；45.【解答】（1）设(,)P x y ，有题意可得(,0)A a -，(,0)B a ，由PA ，PB 所在直线斜率之积为14-，可得14y y x a x a =-+-g ，即22214y x a =--， 而P 在椭圆上可得：22222222(1)()x b y b a x a a =-=-g ，所以2214b a =，即224a b =，2223c a b ==-，解得：24a =，21b =，所以椭圆的方程为：2214x y +=；46.【解答】（1）设椭圆的方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，12||2F F c =，因为112BFO PF F ∠=∠，1122FOB F PF π∠=∠=，所以△1F BO ∽△12F F P ，所以 11121||||||||F B FO F F F P =， 所以211112||||||||26F P F B FO F F c ===g g，可得c =，又c e a ==2a =，2221b a c =-=， 所以椭圆的方程为：2214x y +=；47.【解答】（1）由题意可得：12c a =，223b a =，222c a b =-，解得24a =，23b =，所以椭圆的标准方程为22143x y +=；48.【解答】（1）抛物线的准线方程为：2py =-，因为A 点在抛物线内部，过A 做AN 垂直于准线交于N ，抛物线于Q ，由抛物线的性质可得||||||||||QA QF QA QN AN +=+…，当且仅当，A ，Q ，N 三点共线时||||QA QF +最小，即||2AN =，即122p +=，解得：2p =，所以抛物线的方程为：24x y =；。