排列组合与概率初步(课堂PPT)

@何妨袖手闲看
70479729750
2^2×C(10,2)-1=179
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排列组合综合例题
• 打包法~ • 插空法~ • 反面法~
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打包法
• 在解决某几个元素要求相邻问题时，可 整体考虑将相邻元素视为一个大元素
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Example
• 有8个不同的球，其中红球3个，黑球2个， 白球3个，若将这些球排成一列，则红球
恰好排在一起，黑球也恰好排在一起的 排法共有多少种？
率q=1-p，N次独立重复实验中发生K次的 概 率是
P(ξ=K)= C(n,k) × p^k × (1-p)^(nk)
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Example
• 随机抛掷100次硬币，恰有50次正面朝上 的概率是多少？ C(100，50)×(1/2)^50×(1-1/2)^50
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几何分布
几何分布（Geometric distribution）是离 散型
A(3,3)×A(2,2)×A(5,5)
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Example
• 若有A,B,C,D,E五个人排成一排照相，A和 B不 能相邻，则不同的排法有多少种？ C(3,1)×A(2,2)×A(3,3)+A(3,2)×A(2,2)× A(2,2)+A(3,3)×A(2,2)
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插空法
• 插空法一般用于解决间隔问题（要求某 些元素不能相邻，由其他元素将其隔开的 问题），解决此类问题，可以先将其他的 元素排号，再将指定的不相邻元素插入 他们的空隙及两端位置
• 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中 邀请了9位评委老师 (2)若将9位评委老师分到东、南、西、北四 处打分，一处3人，其余每处2人，则不 同分法有多少种？
C(9,3)×C(6,2)×C(4,2)×C(2,2)/A(3,3)×A(4 ,4)
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部分平均分组与分配
• 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中 邀请了9位评委老师 (3)若将9位评委老师分到四处打分，使东 边3人，其余每处2人，则不同分法有多 少种？ C(9,3)×C(6,2)×C(4,2)×C(2,2)
C(9,2)×C(7,3)×C(4,4)
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非平均分组与分配
• 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀 请了9位评委老师
(2)若将9位评委老师分到赛场周围的东、南、 西三个位置进行打分，使一处2人，一处3 人，一处4人的不同分法有多少种？
C(9,2)×C(7,3)×C(4,4)×A(3,3)
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非平均分组与分配
• 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀 请了9位评委老师
(3)若将9位评委老师分到赛场周围的东、南、 西三个位置进行打分，使东边2人，南边3 人，西边4人的不同分法有多少种？
C(9,2)×C(7,3)×C(4,4)
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非平均分组与分配
总结：若n个元素分成m组，m1,m2,...,mm 为各组的元素个数且各不相等，则非平均 非组的方法种数N=C(n,m1)C(n-m1,m2)
C(n-m1-m2,m3)...C(mm,mm);不定向分 配的分法种数M=N·A(m,m);定向的非平 均分配问题与非平均分组一样
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平均分组与分配
• 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中 邀请了9位评委老师 (1)若将9位评委老师平均分成三组打分，则 不同分法有多少种？
C(9,3)×C(6,3)×C(3,3)/A(3,3)
8×A(8，3) A(9，4)-A(8，3)
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组合
• 组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出 指定个数的元素，不考虑排序
• 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元 素并成一组，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合
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组合数
• 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。 C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!×m!) C(n,m)=C(n,n-m)
• A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(nm)!
• 此外规定0!=1
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Example
• 有0,1,2,……，8这9个数字用这9 个数字组 成4位位数互不相同的密码，共有多少个不 同的密码？
A(9，4)=9!/5!
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Example
• 有0,1,2,……，8这9个数字用这9 个数字组 成位数互不相同的四位数，共有多少个不 同的密码？
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从A地到B地须经由C地转车
A地
B地
C地
那么从A地到B地的方法有a×b种
6
有何区别？( ⊙o⊙?)
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• 备选方案中选
飞机有a班次
哪一种方案都
A地
火车有b班次
行，方案中的
B地
汽车有c班次
每一种方法 都
能实现目的
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• 任何一步的一种方
法都不能完成此任
务，必须且只须连
A地
B地 续完成这n步才能完
成此任务；各步计
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平均分组与分配
• 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中 邀请了9位评委老师 (2)若将9位评委老师平均分成三组，并分到 东、西、南三个位置打分，则不同分法 有多少种？ C(9,3)×C(6,3)×C(3,3)
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平均分组与分配
总结：(1)问由于平均分组在分步取的过程中 隐含了排列问题，而实际中不含排列问题， 故要除以组数的全排列数，而第二问则直 接得出了答案。也可以理解为(2)问
排列组合与概率初步
11级15班 雷寅
1
引入：两个基本原理
2
分类计数原理（亦称加法原理）
做一件事，完成它可以有 n 类方案，在第 一类方案中有 m1 种不同的方法，在第二类 方案中有 m2 种不同的方法， ……， 在 第n 类办法中有 mn 种不同的方法． 那么 完成这件事共有 N＝m1 十 m2 十… 十 mn 种不同的方法
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Example
• 若有A,B,C,D,E五个人排成一排照相，A和 B不 能相邻，则不同的排法有多少种？ A(3,3)×A(4,2)
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反面法
• 含“至多”、“至少”的排列组合问题是 需
要分类的，有时从反面思考，能够简化运 算
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Example
• 在一批共100件产品中，有3件次品，97件 正品，某次质检过程中须从这批产品中
概率分布。其中一种定义为：在第n次伯努 利试验中，试验k次才得到第一次成功的机
率。详细的说，是：前k-1次皆失败，第k 次成功的概率
P(ξ=K)= (1- p)^k ×p
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Example
• 随机抛掷若干次硬币，抛到第十次才出第 一次现正面的概率是多少？ (1-1/2)^9×(1/2)
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谢谢观赏
抽检3件，则抽到次品的抽法有多少种？ C(100,3)-A(97,3)
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组合中的分组问题
• 非平均分组与分配 • 平均分组与分配 • 部分平均分组与分配
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非平均分组与分配
• 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀 请了9位评委老师
(1)若将9位评委老师分成三组进行打分，使 一组2人、一组3人、一组4人的不同分法共 有多少种？
的答案为(1)问的答案乘以组数的全排列数
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Leabharlann Baidu分平均分组与分配
• 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中 邀请了9位评委老师 (1)若将9位评委老师平均分成四组打分，一 组3人，其余每组2人，则不同分法有多 少种？ C(9,3)×C(6,2)×C(4,2)×C(2,2)/A(3,3)
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部分平均分组与分配
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排列组合
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排列
• 所谓排列，就是指从给定个数的元素中取 出指定个数的元素进行排序
• 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不 同元素中取出m个元素的一个排列
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排列数
• 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的排 列数，用符号 A(n,m)表示。
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部分平均分组与分配
总结：部分平均分组问题先按“非平均分组” 列式后再除以等分组的阶乘；部分均匀分 配问题可以遵循先分组后排列的原则
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概
率
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相互独立事件
事件A是否发生对事件B发生的概率没有影 响，则称两个事件A、B相互独立
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二项分布
用ξ表示随机试验的结果 如果事件发生的概率是P,则不发生的概
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二项式定理
• 二项展开式的通项公式（简称通项）为C （n，r）(a)^(n-r)b^r，用Tr+1表
示（其中“r+1”为角标），即通项为展 开式的第r+1项
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二项式定理与杨辉三角
杨辉三角的 第n行就是n 项二项式 展 开式的系数 列
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Example
• (x+2)^10·(x^2-1)的展开式中x^10的系数为
数相互独立；只要
C地
有一步中所采取的
方法不同，则对应
的完成此事的方法
也不同
9
Example
• 书架上层放有 6 本不同的数学书，下层放 有 5 本不同的语文书． 1）从中任取一本，取法种数有（ ） A.5 B.6 C.10 D.11 2）从中任取数学书与语文书各一本， 有多少的取法？ A.5 B.6 C.10 D. 30
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Example
• 从4名男生中和3名女生中选出男女各2人参 加某个座谈会，则不同的选法有多少种？
C(4，2)×C(3，2)
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二项式定理
• （a+b)^n=C（n，0）a^nb^0+C（n，1） a^(n-1）b^1+……+C（n，n）a^0b^n
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二项式定理
• （a+b)^n的二项展开式共有n+1项，其中 各项的系数C（n，r）(r∈{0，1，2，…… ，n})叫做二项式系数。
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飞机有a班次
A地
火车有b班次
B地
汽车有c班次
那么从A地到B地的方法有a+b+c 种
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分步计数原理（亦称乘法原理）
做一件事， 需要分成 n 个步骤， 做第一 步有 m1 种不同的方法， 做第二步有 m2
种不同的方法， …， 做第 n 步有 mn 种 不同的方法，那么完成这件事共有：N＝ m1×m2×…×mn 种不同的方法