18~22届华杯赛初一组决赛试题及参考答案

18~22届“华杯赛”【初一组】决赛试题及参考答案目录计算 (1)计数 (3)几何 (6)数论 (13)应用题、行程 (16)组合 (18)第一章计算1.【第18届华杯赛决赛A 卷第1题】计算：______90030010093186293140020010042)1(8424211=⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-⋅⋅⋅+⨯⨯-+⋅⋅⋅+⨯⨯-⨯⨯-n n n n n n n .2.【第18届华杯赛决赛A 卷第7题】设d cx bx ax x P +++=23)(，若4,3,2,1,1)(==k k k P ，那么______=+-ba d c .3.【第18届华杯赛决赛A 卷第10题】解关于x 的方程：259]15[]2[-=+++x x x ，其中][x 表示不超过x 的最大整数4.【第18届华杯赛决赛A 卷第12题】整数d c b a 、、、满足105,183,82+=-=+=d c c b b a ，求a d 7+的最小值5.【第18届华杯赛决赛B 卷第1题】已知18=+b a ，17=ab ，求______=-b a .6.【第18届华杯赛决赛B 卷第10题】已知3128))(331(4)(332730+-⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅+-=a a n a a a f n ，求)(a f 被12-a 除的余式7.【第19届华杯赛决赛卷第1题】计算：______]6)8()3[(12)3()]27(0[625.38554)2(16)5(3233=÷-+-⨯+-÷--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯---÷+-⨯-.8.【第19届华杯赛决赛卷第4题】正整数c b a 、、满足三个等式：68,943,3222=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=b a c b a c b a ，则c 等于______.9.【第20届华杯赛决赛卷第1题】计算：______)1024110813412211(2048=+⋅⋅⋅+++⨯.10.【第20届华杯赛决赛卷第3题】正整数d c b a 、、、满足4332<<<d c b a ，当d c b a +++最小时，______=c ，______=d .11.【第20届华杯赛决赛卷第11题】已知,23,43111=++=-+ab c ac b bc a a c b 0)2(4222=---c b b c c b ，b 与c 同号，且c b 2≠，求444c b a ++.12.【第21届华杯赛决赛卷第1题】已知n 个数n x x x ,,,21⋅⋅⋅，每个数只能取0,1,-1中的一个.若201621=+⋅⋅⋅++n x x x ,则20152015220151n x x x +⋅⋅⋅++的值为______.13.【第21届华杯赛决赛卷第4题】设正整数y x 、满足2099=--y x xy ，则______22=+y x .14.【第21届华杯赛决赛卷第6题】已知5=++z y x ,5111=++zy x ,1=xyz ,则______222=++z y x .15.【第21届华杯赛决赛卷第7题】关于y x 、的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+121y x a y x 只有唯一的一组解,那么a 的取值为______.16.【第22届华杯赛决赛卷第1题】数轴上10个点所表示的数分别为1a ，2a ，…10a ,且当i 为奇数时,21=-+i i a a ,当i 为偶数时，11=-+i i a a ,那么______610=-a a .17.【第22届华杯赛决赛卷第3题】如下的代数和10071010)12016()1(2015220161⨯+⋅⋅⋅++-⨯-+⋅⋅⋅-⨯+⨯-m m m 的个位数字是______,其中m 是正整数.第二章计数1.【第18届华杯赛决赛A 卷第8题】【第18届华杯赛决赛B 卷第6题】见右图，长宽比例是2:1的长方形镶有黑色宽边且一端带有1:1正方形对角线的图案，用8个这种长方形拼成一个正方形图案，要求其中4个水平放置，4个竖直放置，若一个这样拼成的正方形图案经过旋转与另一个拼成的正方形图案相同，则认为两个拼成的正方形图案相同，那么有对称轴的不同的图形有______种2.【第18届华杯赛决赛B 卷第4题】如图，一只青蛙开始在正六边形ABCDEF 顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻的两个顶点之一，在D 点处有只飞虫，若青蛙在5次之内跳到D 点，则可以捕捉到飞虫，否则飞虫会逃走，那么青蛙从开始到抓住飞虫，有______种不同跳法解析：【知识点】计数青蛙跳三次即可到达D 点，第一种情况，青蛙按D C B A →→→的路线到达D 点，中间不折回，只有一种跳法，青蛙也可以选择在C B A 、、三点处折回，往回跳一个点再继续前进，总共有3种跳法，那么按D C B A →→→的路线到达D 点总共4种跳法；3.【第18届华杯赛决赛B 卷第8题】设c b a 、、是9~0中的数字且至少有两个不相等，将循环小数...0c b a 化成最简分数后，分子有______种不同的值4.【第19届华杯赛决赛卷第7题】方程023=+++C Bx Ax x 的系数，C B A 、、为整数，10,10,10<<<C B A ，且1是方程的根，那么这种方程总共有______个5.【第20届华杯赛决赛卷第10题】（1）右图有几个四边形？（2）在右图的每个顶点处分别标上1和-1，共有4个1和4个-1，将每个四边形4个顶点处的数相乘，再将所得的所有的积相加，问：至多有多少个不同的和？6.【第21届华杯赛决赛卷第3题】在9×9的格子纸上,1×1小方格的顶点叫做格点.如右图,三角形ABC 的三个顶点都是格点.若一个格点P 使得三角形PAB 与三角形PAC 的面积相等,就称P 为“好点”.那么在这张格子纸上共有______个“好点”.7.【第21届华杯赛决赛卷第8题】右图是一个骰子的展开图,每个面是一个单位正方形.用四个骰子粘成一个2×2×1的长方体放到桌面上,要求每两个粘在一起的面上的“点数”相同．长方体放到桌面上的六个面分别记为上、下、左、右、前、后六个面,两个长方体不同是指对应六个面的“点”的拼图不同.不考虑长方体的旋转,共可以粘出______种不同的长方体.8.【第22届华杯赛决赛卷第7题】右图是A,B,C,D,E五个防区和连接这些防区的条公路的示意图.已知每一个防区驻有一支部队.现在这五支部队都要换防,且换防时,每一支部队只能经过一条公路,换防后每一个防区仍然只驻有一支部队,则共有______种不同的换防方式．第三章几何1.【第18届华杯赛决赛A 卷第2题】将ABC ∆沿DE 、HG 、EF 翻折后压平，ABC ∆的三个顶点C B A 、、均落在点O 处，若o 512=∠，则1∠的度数为______.2.【第18届华杯赛决赛A 卷第4题】将长为8，宽为6的长方形ABCD 纸片一组对角的顶点D B 、重合，压平，折出右面的图形D AEFC '，则三角形AED 的面积为______.3.【第18届华杯赛决赛A 卷第11题】若用一张斜边长为15厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边长为20厘米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，如右图恰拼成一个直角三角形，则黄色正方形纸片的面积是多少平方厘米4.【第18届华杯赛决赛A 卷第13题】如图所示，两个等腰三角形ABC和ECD的底边在一条直线BD上，AD交EC于5和cm10，若三角形COD的面∠且它们的腰成分别为cm=O，顶角CEDBAC∠8cm，求四边形ABDE的面积积为25.【第18届华杯赛决赛B卷第3题】将的长方形ABCD纸片一组对角的顶点DB、重合，压平，折出右面的图形DAEFC'，如果bAB==,，则三角形AED的面积与长方形ABCD的面积之aAD比为______.6.【第18届华杯赛决赛A卷第13题】如图所示，两个等腰三角形ABC和ECD的底边在一条直线BD上，AD交EC于∠且它们的腰成分别为cm10，若三角形COD的面5和cm=BAC∠O，顶角CED8cm，求四边形ABDE的面积积为27.【第18届华杯赛决赛B卷第5题】若F E 、分别为三角形ABC 中边AC AB 、上的点，CE 和BF 相交于P ，已知三角形EBP 与三角形EPC 以及四边形AEPF 的面积都是4，则三角形PBC 的面积为______.7.【第18届华杯赛决赛B 卷第13题】如图所示，两个等腰三角形ABC 和ECD 的底边在一条直线BD 上，AD 交EC 于O ，顶角CED BAC ∠=∠且它们的腰成分别为cm 5和cm 10，若四边形ABDE 的面积为25.52cm ，求三角形COD 的面积9.【第19届华杯赛决赛卷第2题】如图，由单位正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点做一个三角形，记L 为三角形边上的格点数目，N 为三角形内部的格点数目，三角形的面积可以用下面的式子求出来：顶点在格点的三角形的面积121-+=N L 如果三角形的边上和内部共有20个点，则三角形面积最大等于______，最小等于______.10.【第19届华杯赛决赛卷第3题】长为4的线段AB 上有一动点C ，等腰三角形ACD 和等腰三角形BEC 在过AB 的直线同侧，EB CE DC AD ==,，则线段DE 的长度最小为______.11.【第19届华杯赛决赛卷第5题】如图，直角三角形ABC 中，F 为AB 上的点，且FB AF 2=，四边形EBCD 为平行四边形，那么______=EFFD .12.【第19届华杯赛决赛卷第10题】如右图，在ABC ∆中，D 为BC 的中点，AE CE FB AF 3,2==，连接CF 交DE 于P 点，求DPEP 的值13.【第20届华杯赛决赛卷第7题】如右图，正六边形中两个等边三角形的面积都是30平方厘米，那么正六边形的面积是______平方厘米14.【第20届华杯赛决赛卷第13题】如图，ABC ∆中，D 为BC 上一点，E DB CD ,3:2:=是AB 上一点，且F EB AE ,1:2:=是CA 的延长线上的一点，且3:4:=FA CA 若DFE ∆的面积是1209，求ABC ∆的面积15.【第21届华杯赛决赛卷第9题】在恰有三条边相等的四边形中,有两条等长的边所夹的内角为直角.若从该直角顶点引出的对角线恰好把这个四边形分成两个等腰三角形,求该直角所对的角的度数.16.【第21届华杯赛决赛卷第11题】两张8×12的长方形纸片重叠地放置,有一个顶点重合,尺寸如右图所示.问图中阴影部分的面积是多少？17.【第21届华杯赛决赛卷第13题】如右图,ABCD是正方形,F是其两条对角线的交点,E在BC边上,DE2:1BE与对角线AC的交点为G,三角形DFG的面积等于2.求正方:EC形ABCD的面积.18.【第22届华杯赛决赛卷第2题】如右图,三角形ABC,三角形AEF和三角形BDF均为正三角形,且三角形ABC,三角形AEF的边长分别为3和4,则线段DF长度的最大值等于______.19.【第22届华杯赛决赛卷第10题】如右图,已知正方形ABDF的边长为6厘米,三角形EBC的面积为6平方厘米,点C在线段FD的延长线上,点E为线段BD和线段AC的交点.求线段DC的长度.20.【第22届华杯赛决赛卷第11题】如右图,先将一个菱形纸片沿对角线AC折叠,使顶点B和D重合.再沿过A、和C其中一点的直线剪开折叠后的纸片,然后将纸片展开.这些纸片中)B(D菱形最多有几个?请说明理由.第四章数论1.【第18届华杯赛决赛A 卷第5题】设c b a 、、是9~0中的数字且至少有两个不相等，将循环小数...0c b a 化成最简分数后，分子有______种不同的值2.【第18届华杯赛决赛B 卷第11题】一个三位数，将它的三个数字、三个数字两两乘积、三个数字的乘积相加，其和恰好等于它本身，这样的三位数中最小的是多少？3.【第18届华杯赛决赛B 卷第12题】将2613表示为不少于5个非零连续自然数n a a a ,,,21⋅⋅⋅之和，即5,261321≥=+⋅⋅⋅++n a a a n ，则第一项（最小的数）1a 可以取的最大值与最小值分别是多少？4.【第18届华杯赛决赛B 卷第14题】某些不为0的自然数是2010个数码和相同的自然数之和，也是2012个数码和相同的自然数之和，还是2013个数码和相同的自然数之和，求其中最小的那个自然数5.【第19届华杯赛决赛卷第8题】如果c b a 、、为不同的正整数，且222c b a =+，那么乘积abc 最接近2014的值是______.6.【第19届华杯赛决赛卷第12题】将一个四位数中的四个数字之和的两倍与这个四位数相加得2379，求这个四位数7.【第19届华杯赛决赛卷第13题】求质数c b a 、、，使得abc bc ab a =++715.8.【第20届华杯赛决赛卷第6题】设c b a 、、为1到9中的三个不同整数，则cb a abc ++的最大值是______，最小值是______.（abc 是个三位数）9.【第20届华杯赛决赛卷第9题】算式：20146422013531⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯+⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯的值被2015除的余数是多少？10.【第20届华杯赛决赛卷第14题】求使得n n 22+是完全平方数的自然数n .11.【第21届华杯赛决赛卷第12题】证明:对任何非零自然数12123,23-++n n n n 都是整数,并且用3除余2.12.【第22届华杯赛决赛卷第4题】已知20162015<<x ，设][x 表示不大于x 的最大整数,定义{}][x x x -=，如果{}][x x ⨯是整数,则满足条件的所有x 的和等于______.13.【第22届华杯赛决赛卷第5题】设z y x 、、是自然数,则满足36222=+++xy z y x 的z y x 、、有______组.14.【第22届华杯赛决赛卷第6题】设pq q p q p 113--、、、都是正整数,则22q p +的最大值等于______.15.【第22届华杯赛决赛卷第8题】下面两串单项式各有2017个单项式:100831008210078100772535131287326050604960476046132387542,,,,,,,)2(;,,,,,,,)1(y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x xy m m n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----其中m n 、为正整数,则这两串单项式中共有______对同类项.16.【第22届华杯赛决赛卷第9题】是否存在长方体,其十二条棱的长度之和、体积、表面积的数值均相等？如果存在,请给出一个例子;如果不存在,请说明理由.17.【第22届华杯赛决赛卷第12题】证明:任意5个整数中,至少有两个整数的平方差7是的倍数.18.【第22届华杯赛决赛卷第14题】已知关于y x 、的方程201722=+-k y x 有且只有六组正整数解,且y x ≥,求k 的最大值.第五章应用题、行程1.【第18届华杯赛决赛A 卷第3题】【第18届华杯赛决赛B 卷第2题】若干人完成了植树2013棵的任务，每人植树的数目相同，如果有5人不参加植树，则剩余的人每人多植2棵不能完成任务，而每人多植3棵可以超额完成任务，那么共有______参加植树.2.【第18届华杯赛决赛A 卷第6题】【第18届华杯赛决赛B 卷第7题】甲、乙两车分别从A、B 地同时出发相向而行，甲车每小时行40千米，乙车每小时行50千米，两车分别到达B 地和A 地后，立即返回，返回时甲车的速度增加二分之一，乙车的速度增加五分之一，已知两车两次相遇处的距离是50千米，则A、B 两地的距离为______千米.3.【第19届华杯赛决赛卷第6题】一辆公交快车和一辆公交慢车沿某环路顺时针运行，它们的起点分别在A 站和B 站，快车每次回到A 站休息4分钟，慢车每次回到B 站休息5分钟，两车在其他车站停留的时间不计，已知沿顺时针方向A 站到B 站的路程是环路全程的52，两车环形一次各需45分钟和51分钟（不包括休息时间），那么，它们从早上6时同时出发，连续运行到晚上10时，两车同在B 站______次.4.【第20届华杯赛决赛卷第4题】圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某面旗子的位置出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈，不算起始点旗子位置，则中间有______次甲正好在旗子位置追上乙.5.【第21届华杯赛决赛卷第2题】某停车场白天和夜间两个不同时段的停车费用的单价不同．张明2月份白天的停车时间比夜间要多40%,3月份白天的停车时间比夜间要少40%.若3月份的总停车时间比2月份多20%,但停车费用却少了20%,那么该停车场白天时段与夜间时段停车费用的单价之比是______.6.【第21届华杯赛决赛卷第5题】甲、乙两队修建一条水渠．甲先完成工程的三分之一,乙后完成工程的三分之二,两队所用的天数为A;甲先完成工程的三分之二,乙后完成工程的三分之一,两队所用天数为B;甲、乙两队同时工作完成的天数为C.已知A比B多5,A是C的2倍多4.那么甲单独完成此项工程需要天______.第六章组合1.【第18届华杯赛决赛A 卷第9题】恰用4个数码4和一些加、乘、幂运算、负号、分数线和括号，写出5个值都等于5的不同算式2.【第18届华杯赛决赛A 卷第14题】若干红，黄，蓝三种颜色的球放在155个盒子中，现将这些盒子分类：第一种分类方法是将红色球数目相同的盒子归为一类，第二种方法是将黄色球数目相同的盒子归为一类，第三种方法是将蓝色球数目相同的盒子归为一类，结果发现从1到30之间所有整数都是某种方法分类中的某一类的盒子数那么，（1）三种分类的类数之和是多少？（2）说明，可以找到三个盒子，其中至少有两种颜色的球，它们的数目分别相同3.【第18届华杯赛决赛B 卷第9题】在直线上依次排列有D C B A 、、、四点，请证明：BDAC AD BC CD AB ⨯=⨯+⨯4.【第19届华杯赛决赛卷第9题】有三个农场在一条公路边，如图A、B、C 处，A 处农场年产小麦50吨，B 处农场年产小麦10吨，C 处农场年产小麦60吨，要在这条公路上修建一个仓库收买这些小麦，假设运费从A 到C 方向是1.5元/吨千米，从C 到A 方向是1元/吨千米，那么仓库应建在何处才能使运费最低？5.【第19届华杯赛决赛卷第11题】某地参加华杯赛决赛的104名小选手来自14所学校，请证明：一定有选手人数相同的两所学校.6.【第19届华杯赛决赛卷第14题】如果有理数10321,,,,a a a a ⋅⋅⋅满足条件：10,10,0109432110321≤++⋅⋅⋅++≤+≥≥⋅⋅⋅≥≥≥a a a a a a a a a a ，那么210232221a a a a +⋅⋅⋅+++的最大值是多少？7.【第20届华杯赛决赛卷第2题】一堆彩球只有红、黄两色，先数出的50个球有49个红球，此后，每数出8个球中都有7个红球，恰好数完，已数出的球中红球不少于90%，这堆彩球最多有______个.8.【第20届华杯赛决赛卷第5题】现有2015张卡片，每张上写有数字+1或-1，如果每次指着其中的三张卡片问：“这三张卡片所写的数字的乘积是多少？”并得到正确回答，那么，至少问______次才能确定这2015张卡片所写的数字的乘积.9.【第20届华杯赛决赛卷第8题】从一副扑克牌中抽走一些牌，在剩下的牌中至少要数出20张，才能确保数出的牌中有两张同花色的牌的点数和为15，那么最多抽走______张牌，最少抽走______张牌（K Q J 、、的点数为11,12,13，大小王的点数为0，一副扑克牌有54张牌，其中52张正牌，另两张是副牌（大王和小王），52张正牌又均分为13张一组，并以黑桃、红桃、草花、方块四种花色表示各组，每组花色的牌包括1至10（1通常表示为A ），以及K Q J 、、标示的13张牌）.10.【第20届华杯赛决赛卷第12题】加工十个同样的木制玩具，需用260毫米和370毫米的标准木方分别为30根和40根，仓库里有长度分别为900毫米，745毫米，1385毫米的三种标准木方，用着三种标准木方锯出所需长度的木方，每锯一次要损耗5毫米的长木方，问是否可以用三种木方，每种木方选一些，恰好锯出十个玩具所需的木方？如果可以，锯的次数最少，那么三种木方各选多少根？（说明：一根木方被锯一次要得到两个长度大于0的木方，即不能从一端锯）.11.【第21届华杯赛决赛卷第10题】围着一张可以转动的圆桌,均匀地放着8把椅子,在桌子上对着椅子放有8个人的名片.这8个人入座后,将圆桌顺时针转动,第一次转45°,从第二次开始,每次转动比上一次多转45°.每转动一次,当某人对着自己的名片时,取走自己的名片.如果入座时谁都没有对着自己的名片,那么桌子至少转多少度才能保证所有入座可能的情况下8个人都拿到了自己的名片?12.【第21届华杯赛决赛卷第14题】排成一行的学生,从左到右1至3报数,最后一个人报2.从右到左1至m 报数,最后一个人报1,这里m 与3互质.现凡报过1的学生出列,其余原地不动,共留下62名,其中只有21对学生原来相邻.问原来有多少名学生？m 的值是多少？13.【第22届华杯赛决赛卷第13题】直线a 平行于直线b ,a 上有10个点1021,,,A A A ⋅⋅⋅,b 上有11个点1021,,,B B B ⋅⋅⋅,用线段连接i A 和j B （11,,1,10,,1⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=j i ），所得到的图形中一条边在a 上或者在b 上的三角形有多少个？目录计算 (21)计数 (27)几何 (32)数论 (39)应用题、行程 (46)组合 (49)第一章计算1.【第18届华杯赛决赛A 卷第1题】解析：【知识点】计算原式275427162410127820310193)102101(4210110041931)515041*********(421)100994321(931)10042(2)100994321[(421)100994321(931)100994321(42122222222422333333333333333333333333333-=⨯⨯-=⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=++⋅⋅⋅++++⨯⨯⨯+⋅⋅⋅++⨯-++⋅⋅⋅++++⨯⨯⨯=++⋅⋅⋅++++⨯⨯⨯-+⋅⋅⋅+-+-⨯⨯⨯=2.【第18届华杯赛决赛A 卷第7题】解析：【知识点】计算将4,3,2,1=k 代入d cx bx ax x P +++=23)(，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-==-=⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++2450243524102414141664313927212481d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a 则9851015035-=+---=+-b a d c 3.【第18届华杯赛决赛A 卷第10题】解析：【知识点】计算][x 表示不超过x 的最大整数，则15]15[115,2]2[12+≤+<-++≤+<-+x x x x x x即36259]15[]2[16+≤-=+++<+x x x x ，化简得61167≤<x ，则142598≤-<x ，259-x 为整数，其取值只能是9,10,11,12,13,14，分别解方程，得到：（1）9259=-x ，解得1823=x ，代入验算：1073=+=左，92523=-=右，右左≠，则1823=x 不是解；（2）10259=-x ，解得1825=x ，代入验算：1073=+=左，102525=-=右，右左=，则1825=x 是解；（3）11259=-x ，解得1827=x ，代入验算：1183=+=左，112527=-=右，右左=，则1827=x 是解；（4）12259=-x ，解得1829=x ，代入验算：1293=+=左，122529=-=右，右左=，则1829=x 是解；（5）13259=-x ，解得1831=x ，代入验算：1293=+=左，132531=-=右，右左≠，则1831=x 不是解；（6）14259=-x ，解得1833=x ，代入验算：13103=+=左，142533=-=右，右左≠，则1833=x 不是解；所以，原方程的解为1829,1827,1825=x .4.【第18届华杯赛决赛A 卷第12题】解析：【知识点】最值将105+=d c 代入183-=c b ，得到121518)105(3+=-+=d d b ，代入到82+=b a ，得32308)1215(2+=++=d d a ，所以224211)3230(77+=++=+d d d a d ，由于d 是整数，所以当1-=d 时a d 7+可以取到最小值1313=-.5.【第18届华杯赛决赛B 卷第1题】解析：【知识点】计算22)(4)(b a ab b a -=-+，即25617418)(22=⨯-=-b a ，则16±=-b a .6.【第18届华杯赛决赛B 卷第10题】解析：【知识点】计算，多项式312825221916131074)(36912151821242730+-+-+-+-+-=a a a a a a a a a a a f ，当k n 2=，即n 为偶数时，k n a a 2=，1122=-=k k a a ，12-k a 可以被12-a 整除，则k a 2除以12-a ，余式为1；当12+=k n ，即n 为奇数时，12+=k n a a ，a a a a k k +-=+)1(212，)1(2-k a a 可以被12-a 整除，则12+k a 除以12-a ，余式为a ；则)(a f 除以12-a 的余式为：96803128252219161310741+-=+-+-+-+-+-a a a a a a .7.【第19届华杯赛决赛卷第1题】解析：【知识点】计算原式2611225299202135]6)8()3[(12)3()]27(0[625.38554)2(16)5(3233-=-=--+--=÷-+-⨯+-÷--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯---÷+-⨯-=8.【第19届华杯赛决赛卷第4题】解析：【知识点】计算b ac c b a 33=⇒=，c b a 、、是正整数，则3239432=++⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b a c b a ，则3233-+=b a c ，则有)2()2(33233a b a a b b a a -=-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅，b a -=显然不符合条件，则只能是02=-a ，即2=a ，解得12,8,2===c b a .9.【第20届华杯赛决赛卷第1题】解析：【知识点】计算原式1146862046552048)1024102355(20481024141211021(2048=+⨯=+⨯=+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++⨯=10.【第20届华杯赛决赛卷第3题】解析：【知识点】计算通分，统一分子，可以得到acac ad ac cb ac ac ac 86666696<<<，分子相同，分母越大，分数值越小，则c d c dc d c ac ad ad ac 233434238669<<⇒⎩⎨⎧<>⇒⎩⎨⎧>>，要使得d c b a +++最小，则d c b a 、、、的取值尽可能小，1=c 时，2334<<d ，无解；2=c 时，338<<d ，无解；3=c 时，294<<d ，无解；4=c 时，6316<<d ，无解；5=c 时，215320<<d ，7=d ；则7,5==d c .11.【第20届华杯赛决赛卷第11题】解析：【知识点】计算23222=++abc c b a ，b 与c 同号，则0>a ，a c b 14311+=+，所以b 和c 也是正数，0)4)(2()2(42)2(422222=--=---=---bc c b c b b c c b c b b c c b ，c b 2≠，则4=bc ，代入a c b 14311+=+，得ac b 43+=+，222222262323a a a abc c b abc c b a -=-=+⇒=++，2222243243)(⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+a bc c b a c b ，226843a a a -=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+，解得4=a ，则4443=+=+c b ，且4=bc ，解得2==c b ，则288224444444=++=++c b a 12.【第21届华杯赛决赛卷第1题】解析：【知识点】计算令2016=n ，且12016321==⋅⋅⋅===x x x x ，满足201621=+⋅⋅⋅++n x x x ，则2016201520162015220151=+⋅⋅⋅++x x x .13.【第21届华杯赛决赛卷第4题】解析：【知识点】计算20818199=-+--y x xy ，则101)9)(9(=--y x ，101是质数，则只有两种情况，1019,19=-=-y x 或19,1019=-=-y x ，则110,10==y x 或10,110==x y ，则1220012100100110102222=+=+=+y x .14.【第21届华杯赛决赛卷第6题】解析：【知识点】计算25222)(2222=+++++=++yz xz xy z y x z y x ，5111=++=++xyzyz xz xy z y x ，则5=++yz xz xy ，152525222=⨯-=++z y x .15.【第21届华杯赛决赛卷第7题】解析：【知识点】方程组根据x 的取值，分类讨论，当0≥x 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+31323232121a y a x y x a y x 当0<x 时，⎩⎨⎧=--=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=+a y a x y x a y x 222121只有一组解，则1223232-=⇒--=+a a a .16.【第22届华杯赛决赛卷第1题】解析：【知识点】计算,2,9,1,8,2,7,1,6,2,5,1,4,2,3,1,2,2,19108978675645342312=-==-==-==-==-==-==-==-==-=a a i a a i a a i a a i a a i a a i a a i a a i a a i 14,811016+=+=a a a a ，则6610=-a a .17.【第22届华杯赛决赛卷第3题】解析：【知识点】计算50803050510065052100915052100720151009100752011320131201510071010)12016()1(2015220161=⨯=⨯+-⨯+=-+⋅⋅⋅+-+-+-=⨯+⋅⋅⋅++-⨯-+⋅⋅⋅-⨯+⨯-m m m 则个位数字为0.第三章计数1.【第18届华杯赛决赛A卷第8题】【第18届华杯赛决赛B卷第6题】解析：【知识点】计数分两种情况考虑，第一种以对边中点的连线为对称轴，由于竖直方向旋转90度与水平方向重合，所以只考虑竖直方向即可，如下图，总共有24种情况；第二种以对角线为对称轴，由于一条对角线旋转90度与另一条对角线重合，所以只考虑一条对角线即可，没有符合题意的拼法；2.【第18届华杯赛决赛B卷第4题】解析：【知识点】计数青蛙跳三次即可到达D 点，第一种情况，青蛙按D C B A →→→的路线到达D 点，中间不折回，只有一种跳法，青蛙也可以选择在C B A 、、三点处折回，往回跳一个点再继续前进，总共有3种跳法，那么按D C B A →→→的路线到达D 点总共4种跳法；同理，青蛙按D E F A →→→的路线到达D 点，也是4种跳法；那么青蛙从开始到抓住飞虫总共有8种跳法。