导数：平均变化率与瞬时变化率

【同步教育信息】一. 本周教学内容：导数——平均变化率与瞬时变化率w二. 本周教学目标：1、了解导数概念的广阔背景，体会导数的思想及其内涵．2、通过函数图象直观理解导数的几何意义．三. 本周知识要点： （一）平均变化率1、情境：观察某市某天的气温变化图t (d)202、一般地,函数f （x ）在区间[x 1，x 2]上的平均变化率2121()()f x f x x x --平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．（二）瞬时变化率——导数1、曲线的切线如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点作割线PQ ，当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线割线PQ 的斜率为PQk =00()()f x x f x x +∆-∆，即当0→∆x 时，00()()f x x f x x +∆-∆无限趋近于点P 的斜率．2、瞬时速度与瞬时加速度1）瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻（某一位置）的速度，叫做瞬时速度. 2）确定物体在某一点A 处的瞬时速度的方法： 要确定物体在某一点A 处的瞬时速度，从A 点起取一小段位移AA 1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A 点的瞬时速度.当位移足够小时，物体在这段时间内的运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A 点的瞬时速度．我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s ＝s （t ），也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t 0，t 0+Δt ，现在问从t 0到t 0+Δt 这段时间内，物体的位移、平均速度各是：位移为Δs ＝s （t 0+Δt ）－s （t 0）（Δt 称时间增量）平均速度t t s t t s t s v ∆-∆+=∆∆=)()(00根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间t 来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于瞬时速度.现在是从t 0到t 0+Δt ，这段时间是Δt . 时间Δt 足够短，就是Δt 无限趋近于0．当Δt→0时，位移的平均变化率00()()s t t s t t +∆-∆无限趋近于一个常数，那么称这个常数为物体在t ＝ t 0的瞬时速度同样，计算运动物体速度的平均变化率00()()v t t v t t +∆-∆，当Δt →0时，平均速度00()()v t t v t t +∆-∆无限趋近于一个常数，那么这个常数为在t ＝ t 0时的瞬时加速度．3、导数设函数)(x f y =在（a,b ）上有定义，0(,)x a b ∈．若x ∆无限趋近于0时，比值x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00无限趋近于一个常数A ，则称f （x ）在x ＝0x 处可导，并称该常数A 为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作'0()f x ．几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率．导函数（导数）：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)('x f ，从而构成了一个新的函数)('x f ，称这个函数)('x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作'y ．【典型例题】例1、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积tt V 1.025)(-⨯=（单位：3cm ），计算第一个10s 内V 的平均变化率．解：在区间[0，10]上，体积V 的平均变化率为(10)(0)2.550.2510010V V--≈=--3cm 即第一个10s 内容器甲中水的体积的平均变化率为0.25-3cm ．例2、已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[－3，－1]，[0，5]上函数()f x 及()g x 的平均变化率．解：函数()f x 在[－3，－1]上的平均变化率为(1)(3)2(1)(3)f f ---=---()g x 在[－3,－1]上的平均变化率为(1)(3)2(1)(3)g g ---=----函数()f x 在[0，5]上的平均变化率为(5)(0)250f f -=-()g x 在[0，5]上的平均变化率为(5)(0)250g g -=--例3、已知函数2()f x x =，分别计算函数()f x 在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.1]，[1，1.001]上的平均变化率．解：函数()f x 在区间[1，3]上的平均变化率为(3)(1)431f f -=-函数()f x 在[1，2]上的平均变化率为(2)(1)321f f -=-函数()f x 在[1，1.1]上的平均变化率为(1.1)(1)2.11.11f f -=-函数()f x 在[1，1.001]上的平均变化率为(1.001)(1)2.0011.0011f f -=-例4、物体自由落体的运动方程s ＝s （t ）＝21gt 2，其中位移单位m ，时间单位s ，g ＝9.8m/s 2. 求t ＝3这一时段的速度.解：取一小段时间［3，3+Δt ］，位置改变量Δs ＝21g （3+Δt ）2－21g ·32＝2g（6+Δt ）Δt ，平均速度21=∆∆=t s v g （6+Δt ）当Δt 无限趋于0时，v 无限趋于3g ＝29.4 m/s ．例5、已知质点M 按规律s ＝2t 2+3做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ），（1）当t ＝2，Δt ＝0.01时，求t s∆∆. （2）当t ＝2，Δt ＝0.001时，求t s∆∆.（3）求质点M 在t ＝2时的瞬时速度.分析：Δs 即位移的改变量，Δt 即时间的改变量，t s∆∆即平均速度，当Δt 越小，求出的t s∆∆越接近某时刻的速度.解：∵t t t t t t s t t s t s ∆+-+∆+=∆-∆+=∆∆)32(3)(2)()(22＝4t +2Δt ∴（1）当t ＝2，Δt ＝0.01时，t s∆∆＝4×2+2×0.01＝8.02 cm/s ． （2）当t ＝2，Δt ＝0.001时，t s∆∆＝4×2+2×0.001＝8.002 cm/s ．（3） Δt →0， （4t +2Δt ）＝4t ＝4×2＝8 cm/s例6、曲线的方程为y ＝x 2+1，那么求此曲线在点P （1，2）处的切线的斜率，以及切线的方程．解：设Q （1+x ∆，2+x ∆），则割线PQ 的斜率为：22(1)(1)(1)1(11)f x f x x x +∆-+∆+-+=∆∆ 2()22x x x x ∆+∆==∆+∆ 0,x ∆→∴斜率为2∴切线的斜率为2．切线的方程为y －2＝2（x －1），即y ＝2x ．【模拟试题】1、若函数f （x ）＝2x 2+1，图象上P （1,3）及邻近点Q （1+Δx,3+Δy ）， 则x y∆∆＝（ ）A. 4B. 4ΔxC. 4+2ΔxD. 2Δx2、一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0t ∆→时，st ∆∆为（ ）A. 从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度；B. 在t 时刻时该物体的瞬时速度；C. 当时间为t ∆时物体的速度；D. 从时间t 到t t +∆时物体的平均速度 3、已知曲线y ＝2x 2上一点A （1，2），求（1）点A 处的切线的斜率.（2）点A 处的切线方程.4、求曲线y ＝x 2+1在点P （－2，5）处的切线方程．5、求y ＝2x 2+4x 在点x ＝3处的导数．6、一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s ＝s （t ）＝t 2（位移单位：m ，时间单位：s ），求小球在t ＝5时的瞬时速度7、质点M 按规律s ＝2t 2+3做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ），求质点M 在t ＝2时的瞬时速度．【试题答案】1、B2、B3、解：（1）0x ∆→时，k ＝22(1)(1)2(1)21f x f x x x +∆-+∆-⋅=∆∆ 242()(42)4x x x x ∆+∆==+∆=∆∴点A 处的切线的斜率为4.（2）点A 处的切线方程是y －2＝4（x －1）即y ＝4x －24、解：0x ∆→时，k ＝22(2)(2)(2)1(2)1f x f x x x -+∆---+∆+---=∆∆ 24()(4)4x x x x -∆+∆==-+∆=-∆∴切线方程是y －5＝－4（x +2），即y ＝－4x －3.5、解：Δy ＝2（3+Δx ）2+4（3+Δx ）－（2×32+4×3）＝2（Δx ）2+16Δx ，x y∆∆＝2Δx +16∴0x ∆→时，y ′|x ＝3＝166、解：0t ∆→时，瞬时速度v ＝22(5)(5)(5)5s t s t t t +∆-+∆-==∆∆（10+Δt ）＝10 m/s.∴瞬时速度v ＝2t ＝2×5＝10 m/s.7、解：0t ∆→时，瞬时速度v ＝22(2)(2)2(2)3(223)s t s t t t +∆-+∆+-⋅+=∆∆＝（8+2Δt ）＝8cm/s【励志故事】遭窃的罗斯福罗斯福还未当上美国总统之前，家中遭窃，朋友写信安慰他．罗斯福回信说：“谢谢你的来信，我现在心中很平静，因为：第一、窃贼只偷去我的财物，并没有伤害我的生命．第二、窃贼只偷走部分的东西，而非全部．第三、最值得庆幸的是：做贼的是他，而不是我．”。