导数：平均变化率与瞬时变化率

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

导数——平均变化率与瞬时变化率w

二. 本周教学目标：

1、了解导数概念的广阔背景，体会导数的思想及其内涵．

2、通过函数图象直观理解导数的几何意义．

三. 本周知识要点： （一）平均变化率

1、情境：观察某市某天的气温变化图

t (d)

20

2、一般地,函数f （x ）在区间[x 1，x 2]上的平均变化率2121

()()f x f x x x --

平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．

（二）瞬时变化率——导数

1、曲线的切线

如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点作割线PQ ，当

点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线

割线PQ 的斜率为

PQ

k =00()()f x x f x x +∆-∆，即当0→∆x 时，00()()f x x f x x +∆-∆无

限趋近于点P 的斜率．

2、瞬时速度与瞬时加速度

1）瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻（某一位置）的速度，叫做瞬时速度. 2）确定物体在某一点A 处的瞬时速度的方法： 要确定物体在某一点A 处的瞬时速度，从A 点起取一小段位移AA 1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A 点的瞬时速度.

当位移足够小时，物体在这段时间内的运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A 点的瞬时速度．

我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s ＝s （t ），也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t 0，t 0+Δt ，现在问从t 0到t 0+Δt 这段时间内，物体的位移、平均速度各是：

位移为Δs ＝s （t 0+Δt ）－s （t 0）（Δt 称时间增量）

平均速度

t t s t t s t s v ∆-∆+=∆∆=

)()(00

根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间t 来表示，也就是说时间

足够短时，平均速度就等于瞬时速度.

现在是从t 0到t 0+Δt ，这段时间是Δt . 时间Δt 足够短，就是Δt 无限趋近于0．当Δt

→0时，位移的平均变化率00()()

s t t s t t +∆-∆无限趋近于一个常数，那么称这个常数为物体

在t ＝ t 0的瞬时速度

同样，计算运动物体速度的平均变化率00()()

v t t v t t +∆-∆，当Δt →0时，平均速度00()()

v t t v t t +∆-∆无限趋近于一个常数，那么这个常数为在t ＝ t 0时的瞬时加速度．

3、导数

设函数)(x f y =在（a,b ）上有定义，0(,)x a b ∈．若x ∆无限趋近于0时，比值

x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00无限趋近于一个常数A ，则称f （x ）在x ＝0x 处可导，并称该常

数A 为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作'

0()f x ．

几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率．

导函数（导数）：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)('x f ，从而构成了一个新的函数)('x f ，称这个函数)('x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作'y ．

【典型例题】

例1、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积t

t V 1.025)(-⨯=（单

位：3

cm ），计算第一个10s 内V 的平均变化率．

解：在区间[0，10]上，体积V 的平均变化率为

(10)(0)

2.55

0.25100

10

V V

--≈

=--3

cm 即第一个10s 内容器甲中水的体积的平均变化率为0.25-3

cm ．

例2、已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[－3，－1]，[0，5]上函数

()f x 及()g x 的平均变化率．

解：函数()f x 在[－3，－1]上的平均变化率为

(1)(3)

2

(1)(3)f f ---=---

()g x 在[－3,－1]上的平均变化率为

(1)(3)

2

(1)(3)g g ---=----

函数()f x 在[0，5]上的平均变化率为

(5)(0)

2

50f f -=-

()g x 在[0，5]上的平均变化率为

(5)(0)

2

50g g -=--

例3、已知函数2

()f x x =，分别计算函数()f x 在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.1]，[1，1.001]上的平均变化率．

解：函数()f x 在区间[1，3]上的平均变化率为

(3)(1)

4

31f f -=-

函数()f x 在[1，2]上的平均变化率为

(2)(1)

3

21f f -=-

函数()f x 在[1，1.1]上的平均变化率为

(1.1)(1)

2.1

1.11f f -=-

函数()f x 在[1，1.001]上的平均变化率为

(1.001)(1)

2.001

1.0011f f -=-

例4、物体自由落体的运动方程s ＝s （t ）＝21

gt 2，其中位移单位m ，时间单位s ，g ＝9.8

m/s 2. 求t ＝3这一时段的速度.

解：取一小段时间［3，3+Δt ］，位置改变量Δs ＝21g （3+Δt ）2－21g ·32＝2g

（6+

Δt ）Δt ，平均速度

21=

∆∆=

t s v g （6+Δt ）

当Δt 无限趋于0时，v 无限趋于3g ＝29.4 m/s ．