立方根

一、教学内容：

1、立方根的概念、表示、求法

2、用估算的方法求无理数的近似值

3、用计算器进行开方运算

二、教学目标

1、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.

2、能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算，了解立方根的性质.

3、能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小。

4、能应用立方根的概念及性质解决实际问题。

三、知识要点分析

1、立方根的概念

（这是重点）如果一个数x 的立方等于a,即a x =3

，那么这个数x 就叫做a 的立方根。

数a a 的立方根的运算，叫做开立方.被开立方的数可以是正数、负数、0.开立方运算的结果是立方根. 立方根的性质：每个数都有一个立方根.正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根是0. 两个重要公式：

⑴a a =3

3

)((a 为任意数)；

⑵a a =33

(a 为任意数)． 2、用估算的方法求无理数的近似值

通过估算检验计算结果的合理性，主要是依据两个公式：⑴2

(0)a a =≥；（2）

a a =3

3(a 为任意数)．

估算一个根号表示的无理数所采用的方法可概括为“逐步逼近”.例如要估算43的大

小，要求精确到小数点后一位.首先找出与43邻近的两个完全平方数，如36＜43＜49，则

___＜43＜___，由此可得43的整数部分是____，然后再由6.52=42.25，6.62

=43.56，

得6.5＜43＜6.6，从而知43的一位小数应为5，即43≈6.5或6.6. 3、用计算器开方

（这是重、难点）开方运算要用到键“”和键“

3

”。对于开平方运算，按键顺序

为：“

”，被开方数，“＝”；对于开立方运算，按键顺序为：“3

”，被开方数，“＝”。

【典型例题】

考点一：立方根的概念 例1：求下列各数的立方根

（1）22710

（2）-0.008 (3)-343 （4）0.512

【思路分析】由立方运算求一个数a 的立方根，先找出立方等于a 的数，写出立方式，再由立方式写出a 的立方根的值，并用数学表达式表示开立方的结果。正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0。

解：（1）因为22710=2764，（34）3=2764，所以22710的立方根为34，即

327102

=34。 （2）因为（-0.2）3

=-0.008，所以-0.008的立方根为-0.2，即3008.0-=-0.2。

(3)因为（-7）3

=0.343，所以-343的立方根是-7，即3343-=-7。

（4）因为（0.8）3

=0.512，所以0.512的立方根是0.8，即3512.0=0.8。 方法与规律:不论是正数还是负数都有一个立方根.

考点二：用估算的方法求无理数的近似值

例2： 校园里有旗杆高11米，如果想要在旗杆顶部点A 与地面一固定点B 之间拉一根 直的铁丝，小强已测量固定点B 到旗杆底部C 的距离是8m ，小军已准备好一根长12.3m 的铁丝，你认为这一长度够用吗?

【思路分析】如图，由题意可知，AC=11m ，BC=8m ，因为旗杆AC 垂直于地面，所以 △ABC 是直角三角形，由勾股定理可求出AB 2

的值，用此值与12.32

比较大小，即可得出是否够用.

解：由勾股定理得AB 2

=AC 2

+BC 2

=112

+82

=185.因为12.32

=151.29＜185， 所以185＞29.151，因此这一长度不够用.

方法与规律:利用勾股定理解决实际问题是近几年中考的热点问题，往往与求算术平方根相结合，要注意掌握.

例3. 下列估算结果是否正确？为什么？

(1)2.374

≈6.8；(2)3800≈20. 【思路分析】 通过估算检验计算结果的合理性，一般首先考虑两个数的数量级是否相

同，像第(1)小题，不难看出2.374

＞10，结论自然是不难得出；如果两个数看起来比较接近，再去进行精确度更高的估算.

解：(1)错，因为2.374

＞100=10，而显然6.8＜10； (2)错，因为3

800＜3

1000=10，而20＞10.

过程与方法：熟记检验计算结果的合理性的两个公式是解决本题的关键.

考点三：利用计算器开方

例4. 用计算器求21.52的平方根(精确到0.001)

【思路分析】先用计算器求出21.52的算术平方根,然后按题意写出其平方根按键顺序为:“

”，21.52，“＝”，显示结果为：4.6389654

解：±52.21≈±4.639

方法与规律:掌握用计算器开方的按键顺序，根据题意准确地写出结果.

考点四：思维能力拓展 例5: 求下列各式中x 的值。

(1)83383=

-x ; (2)27

)101.0(10001

3-=+x .

【思路分析】通过移项将(1)式化为

64273=x ;将(2)式化为27000)101.0(3

-=+x ,然后利用立方根的定义求解.

解: (1)∵

83

383=

-x ,∴

64273=

x ,∴4364273==x . (2) ∵27)101.0(10001

3-=+x ,27000)101.0(3

-=+x ,

∴3

27000101.0-=

+x , 即30101.0-=+x , ∴400-=x .

方法规律总结:解此类题,一般将其化为a x =3

或

d c bx =+3)(的形式,再利用立方根的定义求解.

例6. 已知A=

n

m 10n m -++是m+n+10的算术平方根,B=32164+--+n m n m 是4m+6n-1

的立方根,求B-A 的立方根.

【思路分析】因为A 是m+n+10的算术平方根,可知m-n=2;B 是4m+6n-1的立方根,m-2n+3=3,通过解方程组求出m 、n 的值，再求出A 、B ，问题得以解决。

解：根据题意有⎩⎨

⎧=+-=-②

①

3322n m n m

解方程组得⎩⎨⎧==42

m n ，所以A=416=,B=3273

=

所以B-A=3-4=-1,113

3-=-=-A B .

方法规律总结:解决此类题的关键就是进一步透彻理解算术平方根、平方根及立方根的意义及其表示方法。

例7. 丽丽同学去海南旅游时买回了一颗珍珠，经测量体积为7.23456立方厘米。现在，她打算做一个正方体盒子来装这颗珍珠，那么盒子的棱长可以为多少厘米？请你提供两个数