立方根

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数学立方根知识点总结归纳

数学立方根知识点总结归纳

数学立方根知识点总结归纳数学立方根在许多方面都会有涉及到,那么有什么知识点是我们要掌握的呢?下面是小编推荐给大家的数学立方根知识点总结归纳,希望能带给大家帮助。

数学立方根知识点总结归纳知识要领:如果一个数x的立方等于a,即x的三次方等于a(x^3=a),即3个x连续相乘等于a,那么这个数x就叫做a的立方根。

立方根读作“三次根号a”其中,a叫做被开方数,3叫做根指数。

(a等于所有数,包括0)如果被开方数还有指数,那么这个指数(必须是三能约去的)还可以和三次根号约去。

求一个数a的立方根的运算叫做开立方。

立方根的性质:⑴正数的立方根是正数.⑵负数的立方根是负数.⑶0的立方根是0.一般地,如果一个数X的立方等于a,那么这个数X就叫做a的立方根(cube root,也叫做三次方根)。

如2是8的立方根,-3分之2是-27分之8的立方根,0是0的立方根。

立方和开立方运算,互为逆运算。

互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。

负数不能开平方,但能开立方。

立方根如何与其他数作比较? ⑴做这两个数的立方⑵作差⑶比较被开方数(如三次根号3大于三次根号2)任何数(正数、负数、或零)的立方根如果存在的话,必定只有一个.平方根与立方根的区别与联系一、区别⑴根指数不同:平方根的根指数为2,且可以省略不写;立方根的根指数为3,且不能省略不写。

⑵ 被开方的取值范围不同:平方根中被开方数必需为非负数;立方根中被开方数可以为任何数。

⑶ 结果不同:平方根的结果除0之外,有两个互为相反的结果;立方根的结果只有一个。

二、连系二者都是与乘方运算互为逆运算知识点一:平方根的概念:若x2=a(a≥0),则x叫做a的平方根,记作x=±,求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.开平方与平方互为逆运算.例1的平方根是( ).A.±9B. ±3C.9D.3解:因为=9,所以的平方根就是9的平方根,即±=±3,故选择B.注:应现将化简后再求值.知识点二:算术平方根的概念:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根,记作,0的算术平方根是0.例2若a<0,则a2的算术平方根是( ).A.-aB.aC.±aD. ±解:当a<0时,=|a|=-a,故选择A.例3一个数的算术平方根是a,则比这个数大5的数是( ).A.a+5B.a-5C. a2+5D. a2-5解:一个数的算术平方根是a,则这个数是a2,故比这个数大5的数是a2+5,从而选择C.知识点三:平方根及算术平方根的性质:1.正数有两个平方根,它们互为相反数;2. 0的平方根是0;3.负数没有平方根;4.一个非负数的算术平方根是非负数,即a≥0.例4若m的平方根是2a-3和a-12,求m的值.解:由正数有两个平方根,它们互为相反数知,(2a-3)+(a-12)=0,解得a=5,所以m=(2a-3)2=72=49.例5若2a-3和a-12是m的平方根,求的值.解析:本例与例4貌似一样,其实不然.因为"若m的平方根是2a-3和a-12",得知2a-3和a-12互为相反数,而"若2a-3和a-12是m 的平方根",可得知2a-3和a-12相等或互为相反数.(1)当2a-3=a-12时,a= -9.所以2a-3=-18-3=-21,所以m=(-21)2=441.(2)当(2a-3)+(a-12)=0时, a=5,所以2a-3=10-3=7,所以m=72.故m=441或=49.知识点四:立方根的概念及性质: 若x3=a,则x叫做a的立方根,记作x=.0的立方根是0,任何实数都有立方根,并且只有一个,同时立方根的符号与其本身符号相同.知识点五:利用计算器求平方根、立方根等.例8(陕西省)用计算器比较大小:(填">"、"="、"<").解析:这类题是考查学生使用计算器过程的题目,要注意按键顺序.故填>.。

立方根的概念

立方根的概念

立方根的概念立方根是数学中一个重要的概念,在代数学和数值计算中都有广泛的应用。

它是指一个数的立方等于给定数的运算。

本文将介绍立方根的概念、性质以及一些常见的计算方法。

一、立方根的定义对于一个实数a,如果存在一个实数x,满足x³ = a,那么x被称为a的立方根。

可以表示为x = ∛a。

其中,立方根符号∛可以理解为"立方根"或者"开三次方"。

二、立方根的性质1. 立方根的唯一性:每个正实数都有唯一的正立方根。

负实数的立方根在复数范围内存在多个。

2. 立方根的运算性质:a) 任意实数的立方根是实数或者复数。

b) 立方根运算具有可交换性,即∛(a * b) = ∛a * ∛b。

c) 立方根运算具有可分配性,即∛(a + b) ≠ ∛a + ∛b。

d) 立方根运算具有结合性,即∛(∛a) = ∛(a^(1/3)) = a^(1/9)。

即连续开两次立方根等于开九次方。

3. 立方根的特殊情况:a) 如果一个实数的立方根等于自身,即x³ = x,那么这个实数被称为立方根的不动点。

b) 如果一个实数的立方根等于负数,即x³ = -a,那么这个实数被称为立方根的负不动点。

三、立方根的计算方法计算立方根的方法主要有以下几种:1. 近似计算法:根据牛顿迭代方法,可以通过逐步逼近来计算立方根。

迭代公式为:xₙ₊₁ = (2 * xₙ + a / xₙ²) / 3其中,xₙ代表第n次逼近的结果,a为待开立方根的数值。

通过迭代计算,当xₙ₊₁与xₙ的差值小于某个精度要求时,可以得到一个近似的立方根值。

2. 公式法:对于较小的整数或一些特殊数值,可以利用一些特定的公式来求解。

例如,对于一个正整数n,其立方根可以表示为√(n² *√(n))。

对于一些特殊值如2、3等,也可以通过公式直接求解。

3. 数值计算软件:现代科学计算软件如Matlab、Python的NumPy 库等提供了方便快捷的立方根计算函数。

立方根的概念

立方根的概念

立方根的概念立方根是数学中的一个重要概念,它是指一个数的立方等于某个给定数的运算。

简单来说,立方根就是找到一个数,使得该数的立方等于给定的数。

定义在数学中,给定一个实数a,如果存在另一个实数x,使得x³=a,那么x被称为a的立方根。

记作x=∛a或x=a^(1/3)。

立方根的性质1. 正数的立方根是唯一的。

也就是说,对于任何正实数a,它的立方根是唯一确定的。

2. 负数的立方根是复数。

对于负实数a,它的立方根是虚数,无法用实数表示。

3. 零的立方根是零。

∛0 = 0,即0³=0。

4. 如果数a是整数,那么它的立方根可能是有理数或者无理数。

例如,8的立方根等于2,而27的立方根等于3。

计算立方根的方法计算立方根有多种方法,以下是两种常用的方法:1. 迭代法:这是一种通过迭代逼近的方法来求解立方根的方法。

假设我们要求a的立方根,首先猜测一个近似值x₀,然后通过迭代公式x₁=(2x₀+a/(x₀²))/3来不断逼近。

重复这一过程直到精度满足要求。

2. 牛顿法:牛顿法是一种使用切线逼近的方法来求解方程的数值方法。

对于方程x³-a=0,我们可以使用牛顿法来求解。

假设我们要求a的立方根,初始猜测一个近似值x₀,然后通过迭代公式x₁=x₀-(x₀³-a)/(3x₀²)来不断逼近。

重复这一过程直到精度满足要求。

应用领域立方根在数学和科学领域被广泛应用。

以下是一些常见的应用:1. 方程求解:立方根在求解某些方程(如立方方程)时起到重要作用。

2. 几何学:立方根与立方体的边长之间有着密切的联系。

立方根的概念可以应用于计算立方体的体积和表面积。

3. 物理学:立方根在物理学中常常用于求解某些物理量的值,如速度、加速度等。

4. 工程学:立方根可以应用于工程设计中的计算与模型建立。

总结立方根是数学中的重要概念,它可以用于方程求解、几何学、物理学和工程学等领域。

求解立方根有多种方法,其中迭代法和牛顿法是比较常见的方法。

立方根的概念和计算

立方根的概念和计算

立方根的概念和计算立方根是数学中一个重要的概念,它代表一个数的三次方根。

在计算中,我们经常会遇到需要求立方根的问题,因此了解立方根的概念和计算方法是非常必要的。

1. 立方根的概念立方根是指一个数的三次方根,记作∛a。

换句话说,对于一个非负实数a,如果∛a的三次方等于a,那么∛a就是a的立方根。

立方根是幂运算的逆运算,和平方根类似,但是立方根更加具体,可以找到正数解和负数解。

2. 立方根的计算方法要求一个数的立方根,可以通过多种方法进行计算。

下面介绍一些常用的计算方法。

2.1. 近似计算方法当需要快速估算立方根时,可以使用近似计算方法。

取一个大致的数作为近似解,然后通过迭代逐步逼近真实的立方根。

例如,对于一个非负实数a,我们可以先猜测一个近似解x,然后使用以下公式进行迭代:x = 1/3 * (2*x + a/(x^2))通过多次迭代,直到相邻的迭代解的差值足够小,就可以得到一个接近于真实立方根的解。

2.2. 代数方法对于特定的整数或有理数,可以使用代数方法求解立方根。

比如,对于一个整数a,可以通过分解因式的方式将其表示成一个完全立方数的乘积。

然后取这个完全立方数的立方根,再乘以剩余的非完全立方数的立方根,就可以得到原数的立方根。

2.3. 计算器或软件在现代科技的支持下,我们也可以使用计算器或相关软件来计算立方根。

通过输入需要求解的数,计算器或软件能够快速准确地给出立方根的值。

3. 立方根的应用立方根在科学、工程和实际生活中都有广泛的应用。

以下列举几个常见的应用场景:3.1. 体积计算立方根在体积计算中经常被使用。

例如,当我们知道一个物体的体积为V时,需要求出这个物体的边长时,可以通过计算V的立方根来得到结果。

3.2. 方程求解在数学的方程求解中,可能会出现需要求立方根的情况。

通过求解方程中的立方根,可以得到方程的解,从而解决问题。

3.3. 信号处理立方根在信号处理中扮演重要角色。

例如,在音频信号处理中,对信号进行立方根处理可以改善音频信号的动态范围,提高音频的质量。

立方根的概念

立方根的概念

立方根的概念
立方根,即三次根,是数学中的一种概念,也叫立方级。

它的出现使数学的计算更加简单,应用也更加广泛。

立方根的研究也成为数学的重要组成部分。

立方根的性质
立方根的性质是,它可以将立方的积分解开,使其可以拆分成3个因子。

立方根的表达式一般为:a=a√a,其中a为任意实数,包括负数,零等。

从数学的角度来讲,它就是立方函数f(x) = x从x到f(x)的反函数。

此外,立方根也具有幂积分的性质,即:(a*b) = a * b。

计算方法
在计算立方根时,有两种方法可供选择:一种是借助现代电脑技术,将立方根计算式输入电脑,便可得到具体答案;另一种是利用数学技巧和方法,以解决复杂的立方根问题。

其中,利用数学方法进行计算的立方根细分又可分为三种:
(1)将一个立方数分解成已知的数的方法:
如:5=5*5*5=125.
(2)通过三角函数的知识来计算立方根:
比如:3√25=5,因为25=3cos30°sin60°。

(3)利用系数的方法来解决立方根的问题:
比如:7=71777=343,这里有7个系数,其中1个为1,7个为7。

立方根在数学中的应用
立方根在数学中有很多应用,它可以用来解决平面几何、曲面几何、椭圆几何、立体几何等问题,也可以用来解决概率、统计学等问题。

此外,立方根的出现还有助于人们更好地理解数学,加快了数学计算的速度,有助于科学技术的发展。

总之,立方根是数学中一个重要的概念,它对数学的发展和应用都有着重要意义。

数学中的立方与立方根

数学中的立方与立方根

数学中的立方与立方根在数学中,立方和立方根是两个重要的概念。

立方是一个数的三次方,表示该数自乘三次的结果。

立方根则是某个数的三次方等于给定数字的运算,即找出一个数,使其立方等于给定的数字。

1. 立方(Cube)立方是数学中一个常见的运算符号,表示将一个数自乘三次的结果。

用符号表示为x³。

例如,2的立方可以表示为2³=2×2×2=8,4的立方为4³=4×4×4=64。

立方具有以下特点:1. 任何正数的立方都是正数,即x³>0。

2. 任何负数的立方都是负数,即(-x)³<0。

3. 任何数的立方根可以通过求解方程x³=a来得到,其中a为给定的数。

立方在几何学中也有重要意义。

立方体是一种由六个正方形组成的正多面体,其中每个正方形的边长相等。

立方体的体积就是边长的立方。

例如,一个边长为2的立方体的体积为2³=8。

2. 立方根(Cube Root)立方根是立方的逆运算,表示找出一个数,使其立方等于给定的数。

如果一个数x的立方等于a,记为x=∛a,那么x就是a的立方根。

立方根具有以下特点:1. 任何正数的立方根是正数,即∛a>0。

2. 任何负数的立方根是负数,即∛(-a)<0。

立方根在实际应用中也有广泛的用途,例如在几何学中,立方根可以用来计算立方体的边长。

3. 立方和立方根的应用立方和立方根在数学和其他学科中都有广泛的应用。

以下是一些常见的应用示例:3.1. 立方的应用- 立方在代数中用于展开和因式分解多项式。

- 立方在几何学中用于计算立方体、立方柱等的体积。

- 立方在物理学中用于描述物体的体积和容积。

3.2. 立方根的应用- 立方根在代数中用于求解各种方程,例如求解立方方程。

- 立方根在几何学中用于计算立方体、立方柱等的边长。

- 立方根在工程学中用于计算物体的尺寸和容积。

总结:数学中的立方和立方根是重要的概念,具有广泛的应用。

立方根知识梳理

立方根知识梳理

2.3立方根一、知识梳理1、立方根的概念(1)定义:一般地,如果一个数x 的立方等于a ,即a x =3,那么这个数x 就叫做a 的立方根(也叫做三次方根)(2)开立方:求一个数的立方根的运算叫做开立方。

开立方与立方根互为逆运算,因此在运算结果中可以相互检验其正确性。

2、立方根的性质。

(1)正数有一个正的立方根;(2)负数有一个负的立方根;(3)0有一个立方根,就是0本身.3、立方根的表示方法数a 的立方根用符号“3a ”表示,读作“三次根号a ”,其中a 是被开方数,3是根指数,注意,“3”不能省略。

4、开立方求一个数的立方根的运算,叫做开立方。

5、两个互为相反数的立方根之间的关系。

我们知道:8)2(,8233-=-=,∴8和-8的立方根分别是2和-2;又∵33=27,27)3(3-=-,∴27和-27的立方根分别是3和-3,其中8与-8,2与-2,27与-27,3与-3分别互为相反数。

设则,3a x =a x x -=-=-33)( 根据立方根的定义,可知:3a x =,3a x -=- ∴333a a a -=-=-这就是说,求一个负数的立方根时,只要先求出这个负数的绝对值的立方根,然后再取它的相反数即可,也就是说,三次根号内的负号可以移到根号外面。

6、n 次方根一般地,如果一个数的n 次方根(n 是大于1的整数)等于a ,那么这个数就叫做a 的n 次方根,即a x n =,那么x 就是a 的n 次方根。

例如:2-24164162-2,162-1625322,322445和次方根是的次方根,或者说的都是和,),(次方根,的是==∴=7、开n 次方求a 的n 次方根的运算,叫做把a 开n 次方,其中a 叫做被开方数,n 叫做根指数。

8、n 次算术根(1)定义:正数a 的正的n 次方根叫做a 的n 次算术根,零的n 次方根也叫做零的n 次算术根。

(2)表示方法:当0≥a 时,n a 就表示a 的n 次算术根。

求立方根的公式

求立方根的公式

求立方根的公式立方根这玩意儿,说起来还挺有趣的。

咱们在数学的世界里,经常会碰到求立方根的情况。

那到底有没有一个公式能帮咱们轻松搞定呢?咱们先来说说立方根的定义。

比如说,一个数的立方等于 a ,那么这个数就叫做 a 的立方根。

这就好比搭积木,搭成一个特定形状的积木堆(也就是 a ),咱们要找出最初是用哪块积木(也就是那个数)搭起来的。

那求立方根的公式到底是啥呢?其实呀,对于正数 a 的立方根,我们可以用公式表示为:\(\sqrt[3]{a}\) 。

我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候,有个小家伙瞪着大眼睛,一脸迷茫地问我:“老师,这公式看着好复杂,到底怎么用啊?”我就笑着跟他说:“别着急,咱们一步一步来。

”比如说,咱们要求 8 的立方根。

那根据公式,\(\sqrt[3]{8}\) 就是咱们要找的答案。

那 8 是怎么来的呢?2×2×2 = 8 对吧,所以 8 的立方根就是 2 。

再比如说,要求-27 的立方根。

这时候,因为(-3)×(-3)×(-3) = -27 ,所以 -27 的立方根就是 -3 。

在实际应用中,求立方根的公式用处可大啦。

像在建筑设计里,如果要计算一个立方体形状的建筑物的边长,就可能会用到求立方根的公式。

还有在物理实验中,测量一些体积的时候,也可能需要通过求立方根来得出相关的数据。

咱们再深入一点说,求立方根可不只是简单地套公式。

它还需要咱们对数字有敏锐的感觉,能快速判断出一个数是哪个数的立方。

就像有一次我去菜市场买菜,卖菜的阿姨用一个立方体的盒子装水果。

我看了一眼,心里就默默计算着这个盒子能装多少水果。

这其实就是在不知不觉中运用了求立方根的知识。

总之,求立方根的公式虽然看起来简单,但要真正掌握它,还需要咱们多做练习,多在生活中去发现和运用。

这样,咱们就能在数学的海洋里畅游得更加自如啦!。

立方根

立方根

立方根1.立方根的概念及表示方法(1)立方根的概念:如果一个数x 的立方等于a ,即x 3=a ,那么这个数x 就叫做a 的立方根(也叫做三次方根).如23=8,那么2就叫做8的立方根,由于⎝⎛⎭⎫-323=-278,所以-32叫做-278的立方根.(2)立方根的表示方法:a 的立方根可表示为“3a ”,读作“三次根号a ”,其中“3”是根指数,“a ”是被开方数.要注意,这里的根指数“3”不能省略.例如:2的立方根可表示为32.【例1-1】 求下列各数的立方根:(1)8;(2)-125;(3)127;(4)-0.064;(5)0;(6)-6.【例1-2】 下列语句正确的是( ). A .64的立方根是2 B .-3是27的立方根C .125216的立方根是±56 D .(-1)2的立方根是-12.立方根的性质(1)立方根的性质:一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;0的立方根是0.(2)开立方求一个数的立方根的运算,叫做开立方.如同开平方与平方互为逆运算一样,开立方与立方也互为逆运算.【例2】 有下列命题:①负数没有立方根;②一个数的立方根不是正数就是负数;③一个正数或负数的立方根和这个数同号,0的立方根是0;④如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数必是1和0.其中错误的是( ).A .①②③B .①②④C .②③④D .①③④ 3.立方根的应用立方根在日常生活中应用很广泛,如求物体的体积等.【例3】 某金属冶炼厂,将27个大小相同的立方体钢锭在炉中熔化后浇铸成一个长方体钢锭,量得这个长方体钢锭的长、宽、高分别为160 cm 、80 cm 和40 cm ,求原来立方体钢锭的边长为多少?4.立方根的化简公式3-a =-3a ;3a 3=a ;(3a )3=a .如果x 3=a ,那么x 就是a 的立方根,即x =3a ,所以x 3=(3a )3=a .同样,根据定义,a 3是a 的三次方,所以a 3的立方根就是a ,即3a 3=a .设x 3=a ,则(-x )3=-x 3=-a .根据立方根的定义可知,x =3a ,-x =3-a .3-a =-3a .要深入理解立方根的性质,必须掌握以上性质公式. 【例4】 化简:(1)3-64;(2)30.000 125;(3)-3338.5.灵活利用立方根与平方根解题平方根与立方根是两个很相近的概念,如果不正确地认识和理解它们的异同,在解题中很容易引起混淆而造成解题错误.(1)区别:①定义不同.平方根:如果x 2=a ,那么x 叫做a 的平方根.立方根:如果x 3=a ,那么x 叫做a 的立方根.②表示方法不同.正数a 的平方根记为±a ,数a 的立方根记为3a .表示平方根时,根指数2一般省略不写,但是用根号表示立方根时,根指数3绝对不能省略,否则就与二次根式混淆了.③读法不同.正数a 的平方根±a ,读作“正、负根号a ”.数a 的立方根3a 读作“三次根号a 或a 的立方根”.④被开方数的取值范围不同.在平方根±a 中,被开方数a 是非负数,即a ≥0.但在3a 中,a 可以是任意的数.⑤根的个数不同.一个正数的平方根有两个,它们互为相反数,0的平方根是0,负数没有平方根.任何数都存在立方根,一个正数有一个正的立方根,一个负数有一个负的立方根,0的立方根是0.(2)联系:求平方根与立方根的运算都是开方运算,开平方与平方互为逆运算,开立方与立方互为逆运算,都是乘方的逆运算.【例5-1】 已知a 3+64+|b 3-27|=0,求(a -b )b 的立方根.【例5-2】 已知35x +32=-2,求x +17的平方根.课后练习1.填空题(1)1214的平方根是_________; (2)(-41)2的算术平方根是_________;(3)一个正数的平方根是2a -1与-a +2,则a =_________,这个正数是_________; (4)25的算术平方根是_________; (5)9-2的算术平方根是_________;(6)4的值等于_________,4的平方根为_________; (7)(-4)2的平方根是_________,算术平方根是_________. (8)若9x 2-49=0,则x =________.(9)若12+x 有意义,则x 范围是________.(10)已知|x -4|+y x +2=0,那么x =________,y =________. (11)如果a <0,那么2a =________,(a -)2=________.2.选择题(1)2)2(-的化简结果是A.2B.-2C.2或-2D.4(2)9的算术平方根是 A.±3B.3C.±3D.3(3)(-11)2的平方根是A.121B.11C.±11D.没有平方根 (4)下列式子中,正确的是 A.55-=-B.-6.3=-0.6C.2)13(-=13D.36=±6(5)7-2的算术平方根是 A.71B.7C.41 D.4(6)16的平方根是 A.±4B.24C.±2D.±2(7)一个数的算术平方根为a ,比这个数大2的数是 A.a +2B.a -2C.a +2D.a 2+2(8)下列说法正确的是A.-2是-4的平方根B.2是(-2)2的算术平方根C.(-2)2的平方根是2D.8的平方根是4 (9)16的平方根是 A.4B.-4C.±D.±2(10)169+的值是 A.7B.-1C.1D.-7牢记1-9的立方 一、选择题1.下列说法中正确的是( ) A.-4没有立方根 B.1的立方根是±1 C.361的立方根是61D.-5的立方根是35-2.在下列各式中:327102=343001.0=0.1,301.0 =0.1,-33)27(-=-27,其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.43.若m <0,则m 的立方根是( )A.3mB.-3mC.±3mD.3m -4.如果36x -是6-x 的三次算术根,那么( )A.x <6B.x =6C.x ≤6D.x 是任意数 5.下列说法中,正确的是( )A.一个有理数的平方根有两个,它们互为相反数B.一个有理数的立方根,不是正数就是负数C.负数没有立方根D.如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数一定是-1,0,1 3.选择题(1)如果a 是(-3)2的平方根,那么3a 等于( ) A.-3B.-33C.±3D.33或-33(2)若x <0,则332x x -等于( )A.xB.2xC.0D.-2x (3)若a 2=(-5)2,b 3=(-5)3,则a +b 的值为( ) A.0 B.±10 C.0或10D.0或-10(5)如果2(x -2)3=643,则x 等于( ) A.21B.27C.21或27 D.以上答案都不对二、填空题6.364的平方根是______.7.(3x -2)3=0.343,则x =______.8.若81-x +x -81有意义,则3x =______.9.若x <0,则2x =______,33x =______. 10.若x =(35-)3,则1--x =______.2.填空题(1)如果一个数的立方根等于它本身,那么这个数是________. (2)3271-=________, (38)3=________ (3)364的平方根是________. 三、解答题11.求下列各数的立方根 (1)729 (2)-42717 (3)-216125 (4)(-5)312.求下列各式中的x .(1)125x 3=8 (2)(-2+x )3=-216(3)32-x =-2 (4)27(x +1)3+64=0三、解答题13.已知某数有两个平方根分别是a +3与2a -15,求这个数.14.已知:2m +2的平方根是±4,3m +n +1的平方根是±5,求m +2n 的值.15.已知第一个正方体纸盒的棱长为6 cm ,第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm 3,求第二个纸盒的棱长.。

如何开立方根公式

如何开立方根公式

如何开立方根公式开立方根公式是数学中一个挺重要的知识点,要想搞明白它,咱得一步步来。

咱先说说啥是立方根。

比如说,一个数的立方是 8 ,那这个数就是2 ,因为 2 的立方(2×2×2)等于 8 ,这里的 2 就是 8 的立方根。

那开立方根呢,就是已知一个数的立方,求这个数的过程。

要说开立方根的公式,咱得先提到一个数——³√ ,这就表示开立方根。

比如说³√8 ,就等于 2 。

那怎么用公式来开立方根呢?其实有个简单的方法。

咱假设要求一个数 a 的立方根,咱可以先找一个大概的数 b ,使得 b 的立方接近 a 。

然后用公式³√a ≈ b + (a - b³) / (3b²) 来逐步逼近精确值。

我给您举个例子哈。

比如说咱要算³√27 ,咱先猜一个数,比如说3 ,因为 3 的立方是 27 。

那咱用公式来验证一下,3 + (27 - 3³) / (3×3²) ,算出来还是 3 ,这说明咱一开始猜得准。

再比如说,咱算³√10 。

咱先猜一个数,比如说 2 ,2 的立方是 8 。

那咱用公式算一下,2 + (10 - 8) / (3×2²) ,算出来约等于 2.167 。

这公式用起来其实挺方便的,但有时候可能得多算几次才能更精确。

我记得我上中学那会,有一次数学考试就考到了开立方根。

当时有一道题是求³√125 ,我一开始还蒙了一下,后来静下心来,想到了先猜一个数 5 ,然后用公式验证,果然没错。

那次考试因为这道题,我的成绩还不错呢。

总之,开立方根公式不难,多练习练习,就能熟练掌握啦。

希望您也能轻松搞定这个知识点!。

初中数学 立方根有哪些性质

初中数学  立方根有哪些性质

初中数学立方根有哪些性质立方根是一个重要的数学概念,具有许多有趣的性质。

在这里,我将介绍一些常见的立方根性质:1. 唯一性:每个正实数都有一个唯一的正实数立方根。

例如,对于任何正实数x,存在唯一的正实数a,满足a³ = x。

这意味着每个正实数有一个确定的立方根。

2. 负数的立方根:对于负实数,它们也有立方根。

例如,对于任何负实数x,存在一个负实数a,满足a³ = x。

这意味着负实数也可以有一个确定的立方根。

3. 复数的立方根:除了实数立方根外,每个复数也有三个复数立方根。

例如,对于任何复数x,存在三个复数a₁、a₂和a₃,满足a₁³ = a₂³ = a₃³ = x。

这意味着复数的立方根是多值的。

4. 幂运算:立方根的概念可以与幂运算相互转化。

例如,对于任何正实数x,x的立方根可以表示为x的1/3次幂,即∛x = x^(1/3)。

同样地,对于复数,它们的立方根也可以通过幂运算表示。

5. 近似值:有些情况下,我们可能无法精确地计算一个数的立方根。

这时,我们可以使用近似值来表示。

例如,∛(8)的近似值约为2.828。

近似值可以通过数值逼近法或计算器来获得。

6. 运算性质:立方根具有一些运算性质,类似于平方根。

例如,对于两个正实数a和b,我们有以下运算性质:- ∛(a * b) = ∛a * ∛b- ∛(a / b) = ∛a / ∛b- (∛a)² = a^(2/3)- (∛a)³ = a^(3/3) = a7. 立方根的图像:我们可以绘制立方根函数的图像,以可视化立方根的性质。

立方根函数的图像是一个增长的曲线,起点是原点(0, 0),并且随着输入值的增加而增加。

8. 几何应用:立方根在几何中有广泛的应用。

例如,在计算立方体的边长、体积和表面积时,我们可以使用立方根。

立方根还可以用于计算球体的半径和体积等。

总之,立方根是一个重要的数学概念,具有许多有趣的性质。

立方根-知识讲解

立方根-知识讲解

立方根-知识讲解
立方根(cube root)是指开3次方根的数,也可以称为立方根或三次根。

如果有一
个数x,那么立方根就是求该数的立方根值y,y的立方等于x,可以这样表示∛x=y。

立方
根的概念很容易理解,例如,一个数的立方就是它乘以它自身乘以它自身,而这个数的立
方根就是这个数本身,即不是对立方数取根,而是它本身。

立方根比平方根要复杂,但是计算方法和原理基本相同,仍然是把一个复杂的运算变
成一个一元的课题,从而找到它的根。

它们的本质仍然是一元多项式,故可以使用多项式
定理或牛顿迭代法来解决。

立方根的定义是求三次方根,就是求一个数的立方根的值,可以这样表示∛x=y,其中
x为一个数,y为x的立方根。

计算立方根的简便方法是使用牛顿迭代法,例如,求242
的立方根,用牛顿迭代法求解,可以把原来的复杂变成一个一元的课题,从而找到正确的
答案,算法迭代的目的就是要使得运算出来的结果接近正确的答案,即y^3-x=0的解,把242的立方根记为y,则有y^3-242=0,即y^3=242,令y0=4.5,则y1=(2y0+242/y0^2)/3,计算出来y1=4.331,以此类推,y2=4.318,y3=4.318,则y3即前面计算出来的结果为最
终答案,即242的立方根=4.318。

牛顿迭代法不仅可以求解立方根,还可以求解更高级复杂的函数方程。

牛顿迭代法虽
然简单易懂,但对计算机来说,有些复杂的函数计算可能要花费大量时间,因此求解立方
根的时候,最好用一些更快的算法,如勒让德算法或二分法等。

立方根概念

立方根概念

立方根概念
1. 立方根概念是什么?立方根指的是一个数的三次方等于该数的数字。

所以,立方根概念就是找出一个数的立方根所代表的含义。

2. 立方根的符号是什么?立方根的符号是 "³√ "。

3. 如何计算一个数字的立方根?要计算一个数字的立方根,只需要将该数字计算出来的立方根值作为验证该数字立方等于这个值。

4. 立方根的应用领域有哪些?立方根的应用领域非常广泛,包括数学、物理学、工程学、计算机科学等。

5. 立方根如何用于数学领域?立方根在数学领域中用于处理复杂的算术问题,包括三角函数、圆的面积和周长、平均数、中位数等。

6. 立方根如何用于物理学领域?物理学中,立方根用于处理体积和密度的问题。

例如,对于物体的密度或体积的计算,需要计算对象的立方根。

7. 立方根如何用于工程学领域?工程师必须使用立方根来处理多种问题,包
括建造和设计建筑物或机器,计算材料的体积或重量等。

8. 立方根如何用于计算机科学领域?在计算机科学中,立方根被用于解决各种问题,例如计算机程序中的数字计算和编码,及处理数据集合的各种问题。

9.如何求立方根的近似值?近似算法是一种常见的方法,其中高效、精准且方
便的计算算法被使用。

最常见的近似算法是不断逼近的牛顿方法。

10. 如何将立方根应用于实际生活中?立方根可以用于解决各种实际生活中涉
及的问题,如汽车速度、光的速度、体积的计算等。

一个立方根怎么计算公式

一个立方根怎么计算公式

一个立方根怎么计算公式立方根的计算公式。

立方根是数学中的一个重要概念,它表示一个数的立方的根。

在实际生活中,我们经常会遇到需要计算立方根的情况,比如在物理学、工程学和数学问题中。

因此,掌握立方根的计算方法是非常重要的。

立方根的计算公式可以通过数学公式来表示。

假设我们要计算一个数a的立方根,那么立方根的计算公式可以表示为:立方根√a = a^(1/3)。

其中,a表示要计算立方根的数。

这个公式告诉我们,要计算一个数的立方根,只需要将这个数的1/3次幂即可。

在实际使用中,我们可以通过计算器或者数学软件来进行立方根的计算,但是了解这个计算公式可以帮助我们更好地理解立方根的概念和原理。

除了使用计算公式来计算立方根外,我们还可以通过近似法来计算立方根。

近似法是一种通过逼近的方法来计算数值的方法。

对于一个数a的立方根,我们可以通过试错法来逼近它的值。

比如,我们可以先猜测一个值b,然后计算b的立方,如果结果接近a,那么我们可以认为b是a的立方根的近似值。

如果不接近,我们可以继续调整b的值,直到找到一个接近a的值为止。

除了通过数学公式和近似法来计算立方根外,我们还可以使用牛顿迭代法来计算立方根。

牛顿迭代法是一种通过不断逼近的方法来计算函数零点的方法。

对于一个数a的立方根,我们可以通过不断迭代函数f(x) = x^3 a的零点来计算立方根。

具体的迭代公式为:x_(n+1) = (2x_n + a/(x_n^2))/3。

其中,x_n表示第n次迭代的值,x_(n+1)表示第n+1次迭代的值。

通过不断迭代,我们可以逼近a的立方根的值。

总之,立方根的计算公式是通过数学公式、近似法和牛顿迭代法来计算的。

掌握这些计算方法可以帮助我们更好地理解立方根的概念和原理,同时也可以在实际问题中更加灵活地运用立方根的计算方法。

希望通过本文的介绍,读者能够对立方根的计算方法有一个更加清晰的认识。

立方数和立方根的运算规则

立方数和立方根的运算规则

立方数和立方根的运算规则立方数是指一个数的立方,也就是该数自乘三次。

立方根是指一个数的立方等于该数本身,即找到一个数,使得它的立方等于给定的数。

在数学中,立方数和立方根有着一些运算规则,下面将会详细介绍这些规则。

一、立方数的运算规则1. 两个立方数相加的规则:当有两个立方数a³和b³相加时,其结果为(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab²+ b³。

例如,计算8³ + 5³:(8 + 5)³ = 8³ + 3(8²)(5) + 3(8)(5²) + 5³= 6892. 两个立方数相减的规则:当有两个立方数a³和b³相减时,其结果为(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³。

例如,计算8³ - 5³:(8 - 5)³ = 8³ - 3(8²)(5) + 3(8)(5²) - 5³= 3633. 两个立方数相乘的规则:当有两个立方数a³和b³相乘时,其结果为(a * b)³ = a³ * b³。

例如,计算(4³) * (3³):(4 * 3)³ = 4³ * 3³= 138244. 立方数的乘幂规则:当一个立方数a³的乘幂为n时,其结果为(a³)ⁿ = a^(3n)。

例如,计算(2³)⁴:(2³)⁴ = 2^(3 * 4)= 2¹²= 4096二、立方根的运算规则1. 立方根的加法和减法规则:当有两个数a和b的立方根相加或相减时,其结果为∛a ±∛b。

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一、教学内容:1、立方根的概念、表示、求法2、用估算的方法求无理数的近似值3、用计算器进行开方运算二、教学目标1、了解立方根的概念,会用根号表示一个数的立方根.2、能用立方运算求某些数的立方根,了解开立方与立方互为逆运算,了解立方根的性质.3、能通过估算检验计算结果的合理性,能估计一个无理数的大致范围,并能通过估算比较两个数的大小。

4、能应用立方根的概念及性质解决实际问题。

三、知识要点分析1、立方根的概念(这是重点)如果一个数x 的立方等于a,即a x =3,那么这个数x 就叫做a 的立方根。

数a a 的立方根的运算,叫做开立方.被开立方的数可以是正数、负数、0.开立方运算的结果是立方根. 立方根的性质:每个数都有一个立方根.正数有一个正的立方根;负数有一个负的立方根;0的立方根是0. 两个重要公式:⑴a a =33)((a 为任意数);⑵a a =33(a 为任意数). 2、用估算的方法求无理数的近似值通过估算检验计算结果的合理性,主要是依据两个公式:⑴2(0)a a =≥;(2)a a =33(a 为任意数).估算一个根号表示的无理数所采用的方法可概括为“逐步逼近”.例如要估算43的大小,要求精确到小数点后一位.首先找出与43邻近的两个完全平方数,如36<43<49,则___<43<___,由此可得43的整数部分是____,然后再由6.52=42.25,6.62=43.56,得6.5<43<6.6,从而知43的一位小数应为5,即43≈6.5或6.6. 3、用计算器开方(这是重、难点)开方运算要用到键“”和键“3”。

对于开平方运算,按键顺序为:“”,被开方数,“=”;对于开立方运算,按键顺序为:“3”,被开方数,“=”。

【典型例题】考点一:立方根的概念 例1:求下列各数的立方根(1)22710(2)-0.008 (3)-343 (4)0.512【思路分析】由立方运算求一个数a 的立方根,先找出立方等于a 的数,写出立方式,再由立方式写出a 的立方根的值,并用数学表达式表示开立方的结果。

正数有一个正的立方根,负数有一个负的立方根,0的立方根是0。

解:(1)因为22710=2764,(34)3=2764,所以22710的立方根为34,即327102=34。

(2)因为(-0.2)3=-0.008,所以-0.008的立方根为-0.2,即3008.0-=-0.2。

(3)因为(-7)3=0.343,所以-343的立方根是-7,即3343-=-7。

(4)因为(0.8)3=0.512,所以0.512的立方根是0.8,即3512.0=0.8。

方法与规律:不论是正数还是负数都有一个立方根.考点二:用估算的方法求无理数的近似值例2: 校园里有旗杆高11米,如果想要在旗杆顶部点A 与地面一固定点B 之间拉一根 直的铁丝,小强已测量固定点B 到旗杆底部C 的距离是8m ,小军已准备好一根长12.3m 的铁丝,你认为这一长度够用吗?【思路分析】如图,由题意可知,AC=11m ,BC=8m ,因为旗杆AC 垂直于地面,所以 △ABC 是直角三角形,由勾股定理可求出AB 2的值,用此值与12.32比较大小,即可得出是否够用.解:由勾股定理得AB 2=AC 2+BC 2=112+82=185.因为12.32=151.29<185, 所以185>29.151,因此这一长度不够用.方法与规律:利用勾股定理解决实际问题是近几年中考的热点问题,往往与求算术平方根相结合,要注意掌握.例3. 下列估算结果是否正确?为什么?(1)2.374≈6.8;(2)3800≈20. 【思路分析】 通过估算检验计算结果的合理性,一般首先考虑两个数的数量级是否相同,像第(1)小题,不难看出2.374>10,结论自然是不难得出;如果两个数看起来比较接近,再去进行精确度更高的估算.解:(1)错,因为2.374>100=10,而显然6.8<10; (2)错,因为3800<31000=10,而20>10.过程与方法:熟记检验计算结果的合理性的两个公式是解决本题的关键.考点三:利用计算器开方例4. 用计算器求21.52的平方根(精确到0.001)【思路分析】先用计算器求出21.52的算术平方根,然后按题意写出其平方根按键顺序为:“”,21.52,“=”,显示结果为:4.6389654解:±52.21≈±4.639方法与规律:掌握用计算器开方的按键顺序,根据题意准确地写出结果.考点四:思维能力拓展 例5: 求下列各式中x 的值。

(1)83383=-x ; (2)27)101.0(100013-=+x .【思路分析】通过移项将(1)式化为64273=x ;将(2)式化为27000)101.0(3-=+x ,然后利用立方根的定义求解.解: (1)∵83383=-x ,∴64273=x ,∴4364273==x . (2) ∵27)101.0(100013-=+x ,27000)101.0(3-=+x ,∴327000101.0-=+x , 即30101.0-=+x , ∴400-=x .方法规律总结:解此类题,一般将其化为a x =3或d c bx =+3)(的形式,再利用立方根的定义求解.例6. 已知A=nm 10n m -++是m+n+10的算术平方根,B=32164+--+n m n m 是4m+6n-1的立方根,求B-A 的立方根.【思路分析】因为A 是m+n+10的算术平方根,可知m-n=2;B 是4m+6n-1的立方根,m-2n+3=3,通过解方程组求出m 、n 的值,再求出A 、B ,问题得以解决。

解:根据题意有⎩⎨⎧=+-=-②①3322n m n m解方程组得⎩⎨⎧==42m n ,所以A=416=,B=3273=所以B-A=3-4=-1,1133-=-=-A B .方法规律总结:解决此类题的关键就是进一步透彻理解算术平方根、平方根及立方根的意义及其表示方法。

例7. 丽丽同学去海南旅游时买回了一颗珍珠,经测量体积为7.23456立方厘米。

现在,她打算做一个正方体盒子来装这颗珍珠,那么盒子的棱长可以为多少厘米?请你提供两个数据供丽丽参考。

(球的体积:34πr 3,其中π取3.14)【思路分析】当盒子的棱长比珍珠的直径大时,才能将这颗珍珠装进正方体盒子里。

解:设这颗珍珠的半径为x 厘米,根据题意,得34πx 3=7.23456,所以x 3=1.728,解得2.1728.13==x ,那么珍珠的直径为2.4厘米。

所以盒子的棱长应略大于2.4厘米,可取2.5厘米等。

方法规律总结: 本题属于结论开放性题目,像这类题目的答案实际上有很多种,只要满足盒子的棱长大于珍珠的直径即可。

【本讲涉及的数学思想和方法】本讲主要讲了立方根的意义及性质、用估计的方法求无理数的近似值和用计算器开方。

在学习立方根的意义及性质时,我们利用了类比的数学思想方法,通过类比前面学过的平方根的性质来掌握立方根的性质;在利用立方根的概念和性质解决问题时,我们还用到了方程的数学思想。

【模拟试题】(共60分钟,满分100分)一、认认真真选(每小题4分,共40分) 1.下列说法不正确的是( ) A.-1的立方根是-1 B.-1的平方是1 C.-1的平方根是-1 D.1的平方根是±1 2.下列说法中正确的是( ) A.-4没有立方根B.1的立方根是±1C.361的立方根是61D.-5的立方根是35-3.在下列各式中:327102=34,3001.0=0.1,301.0=0.1,-33)27(-=-27,其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4﹡4.若m<0,则m 的立方根是( )A.3mB.- 3mC.±3mD. 3m -﹡5.如果36x -是x -6的三次算术根,那么x 的值为( )A.0B. 3C.5D.66.已知x 是5的算术平方根,则x 2-13的立方根是( ) A.5-13 B.-5-13 C.2 D.-27.在无理数5,6,7,8中,其中在218+与2126+之间的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个﹡8.一个正方体的体积为28360立方厘米,正方体的棱长估计为( ) A.22厘米B.27厘米C.30.5厘米D.40厘米﹡9.已知858.46.23=,536.136.2=,则00236.0的值等于( ) A .485.8 B .15360 C .0.01536 D .0.04858﹡﹡10.若81-x3x 的值是( ) A.0 B. 21C. 81D. 161二、仔仔细细填(每小题4分,共32分)11.-81的立方根是 ,125的立方根是 。

12的立方根是 .1314.-3是 的平方根,-3是 的立方根.﹡155=______=﹡16.3351按从小到大的顺序排列为 。

﹡17.若x<0,则2x =______,33x =______. ﹡18. 若x=(35-)3,则1--x =______.三、平心静气做(共28分)19. (本题8分)求下列各式中的x. (1)125x 3=8 (2)(-2+x)3=-216﹡20. (本题10分)已知第一个正方体纸盒的棱长为6 cm ,第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm 3,求第二个纸盒的棱长.**21. (本题10分) 如图,公路MN和公路PQ在点P处交会,点A处有一所中学,且A 点到MN的距离是8704米.假设拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?说明理由;如果受影响,已知拖拉机的速度为18千米/时,那么学校受影响的时间为多少秒?【试题答案】一、1.C 【思路分析】负数没有平方根,所以本题答案是C.2.D 【思路分析】任何数都有立方根,且一个数的立方根只有一个,据此可以排除A,B 两个选项;由于361的算术平方根是61,故C 选项也是错误的.3.C 【思路分析】由于327102=34,3001.0=0.1, -33)27(-=-27,故本题答案是C.4.A 【思路分析】负数的立方根是负数,任意一个数a 的立方根都表示成3a ,故本题答案是A.5. D 【思路分析】立方根的性质:正数的立方根是正数,负数的立方根是负数。

0的立方根是0。

本题中6-x 的立方根是它的相反数,只有0这种情况。

所以6-x=0,所以x=6。

6.D 【思路分析】由题意知x 2=5,故x 2-13=-8,-8的立方根是-2.7.D 【思路分析】借助计算器计算知5,6,7,8四个数都在218+与2126+之间.8.C 【思路分析】正方体体积的立方根就是正方体的棱长.9. D 【思路分析】开平方时,被开方数的小数点移动两位,结果的小数点向相同的方向移动一位,故本题答案是D.10. B 【思路分析】由题意可得18x -=0和18x -=0,得x=18,故3x =21.二、11. -21,5【思路分析】本题直接根据立方根的概念求解.12.28的立方根,即2.13.54-54125643-=-. 14.9,-27【思路分析】逆用平方根,立方根的概念求解.15.0.05 【思路分析】开立方时,被开方数的小数点移动三位,则结果的小数点向相同的方向移动一位.335x>0时,被开方数越大,立方根越大.17. –x,x 【思路分析】2x 的算术平方根有两个,分别是x,-x,其中正的平方根是它的算术平方根,故其算术平方根是-x; 根据立方根的概念可以判断33x =x. 18.2 【思路分析】x=(35-)3=-5,所以241==--x .三、19.(1) 125x 3=8 ,1258x 3=,即x=52; (2)-2+x=-6,所以x=-4.【思路分析】先把方程变成a x =3的形式,然后求a 的立方根即可.x=+,可得x=7。

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