五年级奥数专题：牛吃草(含答案)

牛吃草
牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场,是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。

典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变,不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同,求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。

由于吃的天数不同,草又是天天在生长的,所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。

解决牛吃草问题重点是要想办法从变化中找到不变量。

牧场上原有的草是不变的,新长的草虽然在变化,但由于是匀速生长,所以每天新长出的草量应该是不变的。

这类问题常用到四个基本公式,分别是：
（1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；
（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；
（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

这四个公式是解决牛吃草问题的基础。

一般设每头牛每天吃草量不变,设为"1",解题关键是弄清楚已知条件,进行对比分析,从而求出每日新长草的数量,再求出草地里原有草的数量,进而解答题总所求的问题。

一、例题与方法指导
例1.
青青一牧场
青青一牧场,牧草喂牛羊；放牛二十七,六周全吃光。

改养廿三只,九周走他方；若养二十一,可作几周粮？
（注：“廿”的读音与“念”相同。

“廿”即二十之意。

）
【解说】这道诗题,是依据闻名于世界的“牛顿牛吃草问题”编写的。

牛顿是英国人,他的种种事迹早已闻名于世,这里不赘述。

他曾写过一本书,名叫《普遍的算术》,“牛吃草问题”就编写在这本书中。

书中的这道题目翻译过来是：
一牧场长满青草,27头牛6个星期可以吃完,或者23头牛9个星期可以吃完。

若是21头牛,要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草是不断生长的。

）
解答这一问题,首先必须注意牧场里的草是不断生长增多的,而并非一个固定不变的数值。

这虽然大大地增加了解题的难度,但我们不要害怕。

只要依据下面的思路,就一定会找到问题的答案。

思路导航：
因为27头6星期草料=（27×6=）162头一星期草料
23头9星期草料=（23×9=）207头一星期草料
而这一牧场6星期吃完与9星期吃完,草料数量要相差207—162=45（头牛吃一星期的草料）这多出的草料,便是9—6=3（个星期之内新长出的草料）
所以,一个星期新长出的草料便是
45÷3=15（头牛吃一星期的草料）
进而可知,这牧场最初的草料数量就是
（27—15）×6=72（头牛吃一个星期的草料）
现在,有21头牛来吃这牧场里的草,其中必须拿出15头牛来吃每个星期新长出来的草料,这就只剩下：21-15=6（头牛）
去吃最初已经长成的草料了。

所以,21头牛来吃这牧场的草料,全部吃光所需要的时间就是72÷6=12（个星期）
列成综合算式,就是：
[27-（23×9—27×6）÷（9—6）]×6÷[21-（23×9—27×6）÷（9—6）]
=[27-45÷3]×6÷[21-45÷3]
＝12×6÷6
=12（个星期）
答：21头牛要12个星期才可以吃完。

例2. 一个牧场长满青草,牛在吃草而草又在不断生长,已知牛27头,6天把草吃尽,同样一片牧场,牛23头,9天把草吃尽。

如果有牛21头,几天能把草吃尽？
摘录条件：
27头 6天原有草+6天生长草
23头 9天原有草+9天生长草
21头？天原有草+？天生长草
解答这类问题关键是要抓住牧场青草总量的变化。

设1头牛1天吃的草为"1",由条件可知,前后两次青草的问题相差为23×9-27×6=45。

为什么会多出这45呢？这是第二次比第一次多的那（9-6）＝3天生长出来的,所以每天生长的青草为45÷3=15
现从另一个角度去理解,这个牧场每天生长的青草正好可以满足15头牛吃。

由此,我们可以把每次来吃草的牛分为两组,一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草,另一组来吃是原来牧场上的青草,那么在这批牛开始吃草之前,牧场上有多少青草呢？
（27-15）×6=72
那么：第一次吃草量27×6=162第二次吃草量23×9=207
每天生长草量45÷3=15
原有草量（27-15）×6=72或162-15×6=72
21头牛分两组,15头去吃生长的草,其余6头去吃原有的草那么72÷6=12（天）
例3. 一水库原有存水量一定,河水每天入库。

5台抽水机连续20天抽干,6台同样的抽水机连续15天可抽干,若要6天抽干,要多少台同样的抽水机？
摘录条件：
5台 20天原有水+20天入库量
6台 15天原有水+15天入库量
？台 6天原有水+6天入库量
设1台1天抽水量为"1",第一次总量为5×20=100,第二次总量为6×15=90
每天入库量(100-90)÷(20-15)=2
20天入库2×20=40,原有水100-40=60
60+2×6=7272÷6=12（台）
二、巩固训练
1、某车站在检票前若干分钟就开始排队了,每分钟来的旅客一样多,从开始检票到队伍消失（还有人在接受检
票）,若开5个检票口,要30分钟,开6个检票口,要20分钟。

如果要在10分钟消失,要开多少个检票口？
解：把每个检票口一分钟检票量作为1份,则每分钟来的旅客为：
﹙5×30-6×20﹚÷﹙30-20﹚=3份开始检票前有旅客：5×30－30×3=60份所以要10分钟剪完票,需要看开﹙60＋3×10﹚÷10=9个
2、画展9点开门,但早有人来排队入场,从第一个观众来到时起,若每分钟来的观众一样多,如果开3个入场
口,9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口,9点5分就没有人排队。

求第一个观众到达的时间。

解：设每一个入场口每分钟通过“1份”人。

每分钟到来的人有﹙27-25﹚÷﹙9-5﹚=0.5份人
开门前已经有27-0.5×9=22.5份人
这些人来到画展,用时间22.5÷0.5=45（分）
第一个观众到达的时间为9点-45分=8点15分
3、由于天气逐渐变冷,牧场上的草每天匀速减少。

经过计算,牧场上的草可供20头牛吃5天,或者供16头牛
吃6天,那么这片牧场上的草可供11头牛吃几天？
解：20头牛5天吃草20×5=100（份）,16头牛6天吃草16×6=96（份）
青草每天减少（100-96）÷﹙6-5﹚=4（份）牧场原有草：100+4×5=120（份）
每天减少4份草,相当于4头牛吃掉,所以120份草可供11＋4=15头牛吃8天。

4、由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定的速度在减少。

如果牧场上的草可供20头牛吃
5天,或者供15头牛吃6天,那么可供多少头牛吃10天？
解：青草每天减少（20×5-15×6）÷﹙6-5﹚＝10（份）
牧场原有草：100+10×5=150（份） 150份草10天可供150÷10=15（头）
但每天减少10份,相当于10头牛吃掉,所以只能供牛：15-15（头）
三、拓展提升
1. 自动扶梯以均匀的速度由上往下行驶,小明和小红要从扶梯上楼,小明每分钟走20梯级,小红每分钟走14梯级,结果小明4分钟到达楼上,小红用5分钟到达楼上,求扶梯共有多少级？
解：电梯每分钟走20×4-14×5=10（级）
所以扶梯共有（20＋10）×4=120（级）
2. 两只蜗牛由于耐不住阳光的照射,从井顶走向井底,白天往下走,一只蜗牛一个白天能走20分米,另一只只能走15分米；黑夜里往下滑,两只蜗牛下滑速度相同,结果一只蜗牛5昼夜到达井底,另一只却恰好用了6昼夜。

问井深是多少？
解：蜗牛黑夜下滑的速度为﹙20×5-15×6﹚÷﹙6-5﹚=10（分米）。

井深：﹙20+10﹚×5=150（分米）
3. 有三块草地,面积分别是5公顷,15公顷和24公顷。

草地上的草一样厚而且长得一样快。

第一块草地可供10头牛吃30天；第二块草地可供28头牛吃45天。

那么第三块草地可供多少头牛吃80天？
解：一头牛一天吃草量为1份
10×30=300 ………………5公顷草量+5公顷30天生长量
300÷5=60 ………………1公顷草量+1公顷30天生长量
28×45=1260 ………………15公顷草量+15公顷45天生长量
1260÷15=84 ………………1公顷草量+1公顷45天生长量
﹙84-60﹚÷﹙45-30﹚=1.6 ………………1公顷1天生长量
1公顷草地原有草：60-1.6×30=12
24公顷草地原有草够多少头牛吃80天：12×24÷80=3.6（头）
24公顷草地每天生长的草够多少头牛吃：1.6×24=38.4（头）
共3.6+38.4=42头
4. 12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草,21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草。

多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等,且每公亩牧场上每天生长草量相等）？
解：一公亩一天新生长草量可供多少头牛吃一天？
﹙63×21÷30-12×28÷10﹚÷﹙63－28﹚＝0.3（头）
一公亩原有牧草可供多少头牛吃一天？
12×28÷10-0.3×28=25.2（头）
72公亩的牧草可供多少头牛吃126天？
72×25.2÷126+72×0.3=36（头）。