高斯-牛顿法
梯度下降 高斯牛顿
梯度下降和高斯牛顿是机器学习和优化领域常用的两种优化方法。
梯度下降是一种常用的一阶优化算法，可以用于求解目标函数的最小值。
它通过计算目标函数在当前参数下的梯度（即指向最大增长方向的向量）并沿着梯度的反方向迭代更新参数，直到收敛达到最小值。
高斯牛顿法是一种基于牛顿法的优化算法，利用目标函数的一阶和二阶导数信息来更快地寻找最小值。
它通过计算目标函数在当前参数下的梯度和海森矩阵（即二阶导数）来更新参数，直到收敛达到最小值。
相比于梯度下降，高斯牛顿法通常更快地收敛，但要求目标函数的二阶导数可计算和海森矩阵可逆。
在实际应用中，梯度下降通常适用于目标函数的梯度容易计算的场合，而高斯牛顿法则适用于目标函数参数较少、目标函数相对平滑、并且具有较快的收敛速度的场合。
高斯牛顿法
高斯牛顿法编程及实践报告班级：地物11101成员：王云鹤吴迪杨寒张林涛一.小组简介本组成员：王云鹤，吴迪，杨寒，张林涛杨寒，张林涛负责讨论方法原理及编程思路王云鹤负责编程吴迪负责整理并编写报告二.方法原理曲线拟合的目标函数自动反演的主要方法是曲线拟合，即寻找一个模型的理论曲线，使其与实测曲线现在均方差极小意义下重合得最好。
在大地电磁测深资料一维解释中，研究的对象时水平层状地电模型。
设有k 层，就有n=2k-1个参数，即各层的电阻率和厚度，记为列向量形式： λ⃑ =[λ1,λ2,…λn ]T 实际观测数为m 个，是对应不同周期的视电阻率值，也记为列向量形式：ρa ⃑⃑⃑⃑ =[ρa1,ρa2,…ρam ]T一般情况下m>n 。
各周期的理论视电阻率值是模型参数的 λ⃑ 函数，记为：ρc ⃑⃑⃑ =[ρc1(λ⃑ ),ρc2(λ⃑ ),…ρcm (λ⃑ )]T 层状模型理论值与观测值之间拟合的判断依据一般是取目标函数：F( λ⃑ )= ∑(ρai −ρci )2m i=1=∑f i z ( λ⃑ )=‖ f ( λ⃑ )‖2=极小m i=1 (3-1)设 λ0⃑⃑⃑ 为初始参数列向量，f i ( λ⃑ )= f i (λ0⃑⃑⃑ )+[∇f i (λ0⃑⃑⃑ )]ς·Δλ⃑⃑⃑⃑ ，其中：Δλ⃑⃑⃑⃑ = λ⃑ −λ0⃑⃑⃑ ； ∇f i (λ0⃑⃑⃑ )=[∂f 1( λ⃑ )∂λ1,…,∂f i ( λ⃑ )∂λi ]λ⃑ =λ0⃑⃑⃑⃑ T , i=1,2,…,m将上式写成矩阵形式为f ( λ⃑ )=f 0⃑⃑ −A 0△λ⃑ (3-2) 式中 f 0⃑⃑ =f (λ0⃑⃑⃑ )=ρ0⃑⃑⃑⃑ −ρ⃑ (λ0⃑⃑⃑ )=∆ρ0⃑⃑⃑⃑A0=[a ij]=[−∂f i( λ⃑)∂λi]λ⃑=λ0⃑⃑⃑⃑=[−∂ρi( λ⃑)∂λi]λ⃑=λ0⃑⃑⃑⃑i = 1,2,…,m; j=1,2,…,n这样，利用式(3-2)将式(3-1)化为：‖∆ρ0⃑⃑⃑⃑ −A0Δλ⃑⃑⃑⃑ ‖2=极小 (3-3)根据函数的极值条件，可得如下方程组：A0T A0Δλ⃑⃑⃑⃑ −A0T∆ρ0⃑⃑⃑⃑ =0 (3-4)如果矩阵A0T A0满秩，则方程组(3-4)有唯一解Δλ⃑⃑⃑⃑ =(A0T A0)−1A0T∆ρ0⃑⃑⃑⃑ 令λ1⃑⃑⃑ =λ0⃑⃑⃑ +Δλ⃑⃑⃑⃑ ，λ1⃑⃑⃑ 便是解的首次近似，然后重复迭代，知道符合要求为止。
gp方案是什么意思
GP方案是什么意思简介在计算机科学和数学领域中，GP方案是指高斯-牛顿迭代模型，是一种非线性优化算法。
它结合了高斯牛顿方法和Levenberg-Marquardt算法的优点，用于解决非线性最小二乘问题。
GP方案通常用于拟合数据，建立模型和参数估计等领域。
GP方案详解高斯牛顿方法高斯牛顿方法是一种迭代算法，用于解决非线性最小二乘问题。
它基于线性化模型和最小二乘拟合原理，通过迭代优化来找到最优解。
高斯牛顿方法使用局部线性逼近来近似非线性函数，从而转化为线性最小二乘问题。
通过逐步迭代，每次迭代都近似求解线性模型的参数，最终达到收敛到最优解的目标。
Levenberg-Marquardt算法Levenberg-Marquardt算法是一种改良的高斯牛顿方法，用于解决非线性最小二乘问题。
与传统的高斯牛顿方法不同，Levenberg-Marquardt算法在迭代的过程中引入了一个衰减因子，用于权衡步长和准确性。
这个衰减因子可以有效地控制迭代的速度和稳定性，使得算法更加鲁棒。
GP方案的应用GP方案在很多领域都有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：1.拟合数据：GP方案通过拟合数据来建立数学模型，使得模型与实际数据尽可能地相符。
这对于数据分析、曲线拟合等应用非常重要。
2.建立模型：GP方案可以通过建立数学模型来描述和解释现象。
例如，在物理学中，GP方案可以用于建立物体运动、电磁场、流体力学等模型。
3.参数估计：GP方案通过最小化目标函数，求解模型参数的最优解。
这对于统计分析、机器学习等领域非常有用。
GP方案的优缺点GP方案作为一种非线性优化算法，具有以下优点：•高效性：GP方案采用迭代的方式，可以通过局部线性逼近快速收敛到最优解。
•鲁棒性：Levenberg-Marquardt算法的引入使得GP方案在有噪声数据、初始解不准确等情况下仍然能够稳定运行。
•广泛适应性：GP方案适用于各种类型的非线性最小二乘问题，可以应用于多个领域。
高斯—牛顿迭代法
高斯—牛顿迭代法高斯-牛顿迭代法是一种重要的数值解方法，它为解决复杂的非线性方程提供了一种有效的途径。
它结合了高斯原理和牛顿法的优势，利用高斯消元方法解出方程的一个精确解，从而有效地解决复杂的非线性方程组。
首先，我们来看看高斯-牛顿迭代法的基本思想。
很显然，这种迭代法是基于高斯原理以及牛顿法的思想。
根据高斯原理，可以得到每一个未知数的一个精确解。
而牛顿法则通过更新未知数的近似值，使得这个近似解更接近真实的解。
在这种思路的指导下，我们引入了高斯-牛顿迭代法，它具有非常高的效率和准确率。
其次，我们来看看高斯-牛顿迭代法的步骤以及具体实现过程。
高斯-牛顿迭代法的步骤主要有四步：首先，通过高斯消元算法求解出精确解；接着，通过求解线性方程组的近似解来更新未知数的初值；第三步，对更新的初值求解线性方程组，同时也计算出该近似解的梯度；最后，运用牛顿法更新未知数的近似值，并重复上述的求解步骤，直到收敛。
另外，在实际使用高斯-牛顿迭代法时，我们还需要考虑一些实际问题，例如对于牛顿迭代中未知数的初值选取，以及求解过程中收敛度控制等等。
不同的初值会影响最终求解过程的收敛速度和收敛精度，而牛顿法的收敛率又受到梯度的影响，因此，在实际应用中，需要考虑如何选择初值以及如何控制收敛度，这些问题都是高斯-牛顿迭代法内容中非常重要的一部分。
最后，我们来看看高斯-牛顿迭代法在实际应用中的一些典型案例。
在压力容器复合结构分析中，需要求解压力容器复合结构的有限元方程组，这其中含有大量非线性方程，而高斯牛顿迭代法可以有效地求解这样的问题；此外，高斯-牛顿迭代法也可以应用于组合优化的求解中，这类优化问题包括多目标优化、非线性约束优化等；另外，高斯牛顿迭代也可以用于求解动力系统中牛顿欧拉方程，如轨道飞行器动力学模型中的牛顿欧拉方程等。
总之，高斯-牛顿迭代法是一种有效的数值解方法，它结合了高斯原理和牛顿法的优势，可以有效地解决复杂的非线性方程组，而且具有收敛性好、效率高、准确率高的特点。
非线性最小二乘数据拟合高斯-牛顿法ppt课件.ppt
程序及做法:
function y=xzz(x)； y(1)=x(1)+2 * x(2)+x(3); y(2)=2 * x(1)+2 * x(2)+3 * x(3)-3; y(3)=-x(1)-3 * x(2)-2; y=[y(1) y(2) y(3)]; x0=[1 1 1]; [x,fva1,exitflag,output]=fsolve(′xzz′,x0)
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统Fra bibliotek2 解线性方程组
• MATLAB用函数linsolve求解线性方程组 Ax=b，要求A的列数等于b的行数；也可用 矩阵除等方法求解。linsolve的语法格式为
• x=linsolve(A,b)
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
[1/2/a * (-g+(g ^ 2-4 * 2 * c) ^ (1/2))]
[1/2/a * (-g+(g ^ 2+4 * 2 * c) ^ (1/2))] 类似地，solve (′2 * x ^ 2+6 * x+4′)
得 ans=[-2][-1]
g=a * x
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
补充知识 :解方程或方程组
用solve 符号解代数方程 solve (′eq1′，′eq2′, ′eqn′, ′var1,var2,…,varn′) eqn为符与方程，varn为符号变量。
高斯法和牛顿法
缺点： 本算法的主要缺点是收敛速度很慢。 病态条件系统，计算往往会发生收敛困难 节点间相位角差很大的重负荷系统； 包含有负电抗支路(如某些三绕组变压器或线路串联电 容等)的系统； 具有较长的辐射形线路的系统； 长线路与短线路接在同一节点上，而且长短线路的长 度比值又很大的系统。
此外，平衡节点所在位置的不同选择，也会影响到收敛性能。 目前高斯一塞德尔法已很少使用
牛顿一拉夫逊法
牛顿一拉夫逊法(简称牛顿法)在数学上是求解非线性代数 方程式的有效方法。其要点是把非线性方程式的求解过程变 成反复地对相应的线性方程式进行求解的过程，即通常所称 的逐次线性化过程。
y
y f (x)
第k+1步 迭代
下一步 迭代
y(k)
x(k )
o
x x (k 2) (k 1)
x(k)
x
PV节点 PQ节点
P1 H11
Q1
J11
QP22 Hn1
N 11 L11 N 21 L21 N p1
N n1
H12 J12 H 22 J 22 H p2
of Power Flow Pr-oblems．AIEE Trans，1956，75，III：398~404
该2参IP特参NN1参TP1R11最 1参E含tAA、、5erc、99eeoar法考点考考考8otwSSav优 直77na116nt--isit1411特文：文文文9～9o89vno9o66潮 流9年 年m23inmn6点献收献献献n123：（7’iges7年5年qP流 和， 和8t，：：敛：：9h13MuNo年o，9，~）ewodeP原性BTSIJ．F法F11wn．tA最e基ti：r0CA，D9honolr理好BaiSoICawL8tnnmA优于E8tdu-reeT保nF1简、85pEB．lpoyal潮阻6S9法 年eHEpt．r，单内onW：～i元留IaTtE流tE抗rySiSAr，、存，a18eaE．Fo，t件非数nrl矩46uE，sc．es内占49最Iast．T学aoE阵9Tc的线HaClan存用～E．rFnOm优a模ao的PEdrrn潮需量性Pn1．ou．ts型otwS4的r乘TCraw求大6FoyiEer的流bar0算ensaYEl子un较大rtAese．P．ttFs快计c法pim．o．l少增oDp法oPAwsnawe速算Po，r1、 加ecaaFAw潮9SrtoauM6lo算 （潮SuAe’ssl2re．p流utapa．法 限ttlFLyn流upieo1dl/doad8o收 制Jn9reaSu8w算La7bdyn（敛 解dty8osueSuFt．aI法es1性 题oml1dmDo0al99puwsFn）i差 规77es，tdldi（4poMo：模a1a，Swnnt59eycc．）b）6teshhyt3iMeoIn：，EmdgaEtsr，Eix 2参A1参T9参112参S3参参oP2参EiMf、、、、0095noohn、n考考考考考考考（187lwDrteRuaoE1111（17teCtth1ue文文文文文文文59999．～xiiroocog9）68799aCFtdnnh献献献献献献献）118462ca8lost：年年年年05nfooa．2no：：：：：：：F：08gwfvM年r1，，，，（1auFI．eRSIDSBGs39ilEAilwrat最最交含274aunlart，oErI-LCeNsa64）anioEcmmECsrum优优直F～1oTooEDPTn包am：～aoainTSonzEnaad潮潮流c1oSdterIagrdtAD319ora，il括sFaTtdetN流流潮278ni元TnieHlSolriMo631soeanavtrnD，．二on的计流86tawgn件aiW，ac，en～TetslATeePds简算计．Mn．的e，阶essmAaL，1dcPt．mei化的算aPh7Or潮SiTonMtaslA项Kn4uh．iI．wps，梯牛nPi3E流roStrtqVaeiniaodE1I的．ouRmr度顿efmw计Y9nEetGIyaSa6n1．Eep．Lo快法算ly算T8Wcr9rPqsPAol．Kr7IFAuitu法aEvone速6，FladnoSemwt8E．Lt．oisdiw7nE． Wooes，P潮（g9．ranNOrET5hdaPsFMSep1rc（流kyAIlewDaFtE0oasicnSVln）omsw1Etioos算or．aon）Ee．wnaFn，：mgbcld’1y：T法tsPCPiJPlN91OcryAeNLoaL8a87arrDlwoSin2ee6．dn6cnas．iw．i6uede～rs．darr～Ilaaptano1．T8FFNatJPcn91i8tell．Aloecoo7R8runwhmww1S7se．i．6t．psoornnes-
牛顿法和高斯牛顿法的差别
牛顿法和高斯牛顿法的差别牛顿法和高斯牛顿法都是解决优化问题或方程组求解的方法。
二者的目标都是找到某个使得目标函数最小或最大的值的参数集合，而这个目标函数通常是由一些数据得到的。
不过，牛顿法和高斯牛顿法在实现上还是存在一些差别的。
在以下文章中，我们将就牛顿法和高斯牛顿法的差别做文章。
我们将首先介绍牛顿法，并简述它如何工作。
接着我们将谈到高斯牛顿法，并分析这两种方法之间的异同点。
最后，我们还会介绍如何在处理大规模数据方面更加适合使用高斯牛顿法。
牛顿法牛顿法是求解未知数的方程的一种迭代方法。
在优化中，牛顿法通常用于寻找最小二乘解。
最小二乘解是一种最小化误差的解决方案，即使存在测量误差也能找到一个最优的参数集合。
对于这样的方程，牛顿法它基于以下的迭代式来更新变量。
$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$其中 $f(x_n)$ 和 $f'(x_n)$ 分别是函数 $f$ 在点 $x_n$ 处的值和导数。
这个迭代式是逐步优化 $x_n$ 的值，以使 $f(x)$ 的值接近于零。
牛顿法虽然在一些问题中表现得很好，但在其他领域却可能会遭遇困难。
一个常见的问题是，$f'(x)$ 可能无法计算或很难计算。
在这种情况下，我们可以考虑使用高斯牛顿法。
高斯牛顿法是解决最小二乘问题的一种方法，它通过迭代来计算最优参数集合。
与牛顿法不同的是，它不能直接计算出 $f'(x)$ ，因为目标函数是由多个变量组成的，而不是一个单独的变量。
因此，高斯牛顿法通过利用一些统计技术来逐步优化参数集合。
具体来说，高斯牛顿法的迭代形式是：其中，$J_n$ 是目标函数的雅可比矩阵，$J_n^T$ 是雅可比矩阵的转置矩阵，$f_n$ 是目标函数的向量，$(J_n^TJ_n)^{-1}$ 表示逆矩阵。
高斯牛顿法逐步缩小误差而不是逐步与实际函数相符合。
这个方法对于大规模数据处理比较适用，但它通常需要先确定一个初始值，然后通过迭代逐步优化。
GaussNewton
李智迅
1
1.1 牛顿迭代法
预备知识
牛顿法是一种求解方程f (x) = 0的方法。 多数方程不存在求根公式，从而求精确根非常困难，甚 至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。 迭代法是用某个固定公式反复地计算，用以校正 方程所得根的近似值，使之逐步精确化，最后得到的精度要求的结果。 牛顿迭代法是用切线来逼近零点的，收敛的速度很快，但要求的条件也高。 首先要有一个区间， 在这个区间的端点函数值反向，其次第一次迭代点不能随意取，否则第一次迭代后的点可能跑出原先 的区间，收敛性就不一定能保证了（即有的情况也能有收敛性，有的情况就没有收敛性了，全看函数 的性能） 。 比如：设r是f (x) = 0的根，选取x0 作为r初始近似值，过点(x0 , f (x0 ))做曲线y = f (x)的切线L， L的方程为y = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ),求出L与x轴交点的横坐标x1 = x0 − f (x0 )/f ′ (x0 ), 称x1 为r的一次 近似值，过点(x1 , f (x1 ))做曲线y = f (x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标x2 = x1 − f (x1 )/f ′ (x1 )称x2 为r的二次近似值，重复以上过程，得r 的近似值序列Xn ,其中Xn+1 =Xn −f (Xn )/f ′ (Xn ),称为r的n+1次 近似值。上式称为牛顿迭代公式。以f (x) = 2x3 − 4x2 + 3x − 6为例： #include<stdio.h> #include <math.h> //包含这个头文件，后面使用fabs void main() { double x=1.5,y,y1; do { y=2*x*x*x-4*x*x+3*x-6; y1=6*x*x-8*x+3; x=x-y/y1; } while(fabs(y/y1)>1e-6);// 是y/y1,不是y printf("%f",x); }
高斯-牛顿法
高斯-牛顿法
高斯-牛顿法（Gauss-Newton Method，简称G-N方法）是一种用于求解非线性方程的迭代算法。
它结合了高斯消元法（Gaussian Elimination）和牛顿法（Newton's Method）的思想，通过在每次迭代过程中对非线性方程进行高斯消元，以提高收敛速度和精度。
高斯-牛顿法的基本步骤如下：
1. 初始化：给定一个初始近似解x_0 和迭代次数n。
2. 高斯消元：
a. 对非线性方程进行高斯消元，得到下三角形式的线性方程组Ax = b，其中A 是系数矩阵，b 是未知数向量，x_(k+1) 是当前近似解。
b. 计算误差平方和||x_(k+1) - x_0||^2 并更新近似解：
x_(k+1) = x_0 - (1/m) * (Ax_0)^(-1) * (df/dx_0)
其中：
m 是A 的行数，df/dx_0 是x_0 的导数，即雅可比矩阵（Jacobian）的逆矩阵的行列式。
注意：为了避免奇异情况（如雅可比矩阵的行列式为零），需要在求逆之前对雅可比矩阵进行一定的处理，以
保证其可逆。
3. 重复步骤2，直到满足停止条件或近似解的误差足够小。
停止条件可以是：迭代次数达到设定值；误差小于设定的阈值；算法运行时间达到最大值等。
高斯-牛顿法具有良好的收敛性和计算速度，因此在许多实际问题中都得到了广泛应用，如数值线性代数、机器学习、图像处理等。
opencv 高斯牛顿法
opencv 高斯牛顿法【实用版】目录1.OpenCV 简介2.高斯牛顿法原理3.OpenCV 中的高斯牛顿法应用4.高斯牛顿法的优缺点5.总结正文1.OpenCV 简介OpenCV（Open Source Computer Vision Library）是一个开源的计算机视觉库，它包含了大量的图像处理和计算机视觉方面的算法。
OpenCV 的目的是为人工智能、机器视觉、图像处理等领域的研究人员和开发者提供一个通用且高效的平台。
它支持多种编程语言，如 C++、Python 等，使得开发者可以方便地在不同的操作系统上进行开发和测试。
2.高斯牛顿法原理高斯牛顿法（Gauss-Newton method）是一种用于求解非线性最小二乘问题的优化算法。
它的基本思想是通过对数据点进行加权最小二乘拟合，以求得参数的最优值。
在图像处理领域，高斯牛顿法常用于求解图像的参数，例如相机的内部参数和外部参数等。
3.OpenCV 中的高斯牛顿法应用在 OpenCV 库中，高斯牛顿法被广泛应用于以下领域：（1）相机标定：相机标定是计算机视觉领域的一个重要环节，其目的是通过拍摄包含已知几何形状的场景，求解相机的内部参数（如焦距、光心坐标等）和外部参数（如旋转和平移矩阵）。
OpenCV 提供了一系列的函数来实现相机标定，其中就包括了使用高斯牛顿法的函数。
（2）图像拟合：在图像处理中，常常需要对图像进行参数化的拟合，以求得图像中的关键点或者纹理等信息。
OpenCV 中提供了基于高斯牛顿法的图像拟合函数，可以对图像中的特征点进行精确的拟合。
（3）优化问题求解：OpenCV 中还提供了一些基于高斯牛顿法的优化问题求解函数，如求解线性或非线性最小二乘问题等。
4.高斯牛顿法的优缺点高斯牛顿法具有以下优缺点：（1）优点：高斯牛顿法是一种迭代法，其迭代公式具有较好的数值稳定性，可以快速地收敛到最小二乘解。
同时，高斯牛顿法具有一定的鲁棒性，对于存在噪声的数据点也能获得较好的拟合效果。
高斯法和牛顿法
研究生课程
5/15/2011
潮流计算的发展历史
Gauss法 Gauss法 Newton法 Newton法 FDLF法 FDLF法 计及非线性法 最优乘子法 最优潮流法 含直流或FACTS元件的 含直流或FACTS元件的 FACTS 潮流 Gauss法 Gauss法
1、1956年，基于导纳矩阵的简单迭代法 、 年 1967年 Newton法 1967年，Ward J B，Hale H W．Digital Computer Applications Solution 参考文献： Newton法
雅可比矩阵的特点： 雅可比矩阵的特点：
（1）雅可比矩阵各元素均是节点电压相量的函数， 雅可比矩阵各元素均是节点电压相量的函数， 在迭代过程中，各元素的值将随着节点电压相量的变化 在迭代过程中， 而变化。因此， 而变化。因此，在迭代过程中要不断重新计算雅可比矩 阵各元素的值； 阵各元素的值； （2）雅可比矩阵各非对角元素均与Yij＝Gij＋jBij有 雅可比矩阵各非对角元素均与Y Yij＝ 这些非对角元素也为0 关，当Yij＝0，这些非对角元素也为0，将雅可比矩阵进 行分块，每块矩阵元素均为2×2阶子阵，分块矩阵与节 行分块，每块矩阵元素均为2 阶子阵， 点导纳矩阵有相同的稀疏性结构； 点导纳矩阵有相同的稀疏性结构；
牛顿一拉夫逊法
牛顿一拉夫逊法(简称牛顿法) 牛顿一拉夫逊法(简称牛顿法)在数学上是求解非线性代 数方程式的有效方法。 数方程式的有效方法。其要点是把非线性方程式的求解过程 变成反复地对相应的线性方程式进行求解的过程， 变成反复地对相应的线性方程式进行求解的过程，即通常所 称的逐次线性化过程。 称的逐次线性化过程。
“平直电压”法假定： 平直电压”法假定： 平直电压 或
菲克第二定律高斯解公式
菲克第二定律高斯解公式
菲克第二定律高斯解公式
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菲克第二定律高斯解公式，又称为牛顿-高斯法，是一种解方程的数学工具。
它是由18世纪德国数学家菲克提出的，给出了一种解多项式的有效方法。
高斯解公式可以用来解决多元一次方程组，是求解多项式的有效方法，因此也被称为“多项式求解器”。
高斯解公式的基本原理是：当我们想求解多项式的根时，将多项式展开，将各项乘以一定的数字，从而得到一个新的多项式，而这个新多项式的根就是原多项式的根。
一般来说，在使用高斯解公式求解多项式时，需要将多项式展开，然后将展开后的各项乘以一定的数字，从而得到一个新的多项式。
然后，将这个新多项式代入原来的多项式中，从而可以求出原多项式的根。
由于高斯解公式是一种有效的求解多项式的方法，因此它在众多领域都有应用，比如在数学、物理、化学、金融学、统计学、机器学习等领域都可以使用这种方法来求解多项式问题。
此外，高斯解公式在现代数学中也得到了广泛应用。
例如，它可以用来求解几何学中的三角形和圆形问题；在电子学中，它可以用来求解不同物理量之间的关系；在机器学习中，它可以用来求解不同变量之间的关系。
另外，高斯解公式还可以用来求解图像处理中的问题。
例如，在图像识别中，可以利用高斯解公式来求解图像中不同物体之间的相互关系；在机器视觉中，可以利用高斯解公式来求解图像中不同物体之间的相互关系。
总之，高斯解公式是一种有效的求解多项式的方法，广泛应用于众多领域，是一种重要的数学工具。
它不仅可以应用于传统的数学领域，还可以应用于现代的图像处理、机器学习等领域。
高斯牛顿python
高斯牛顿python高斯牛顿Python随着计算机技术的发展，Python作为一种高级编程语言，占据了逐渐增长的市场份额。
它线性代数库的高效使用，使得它适用于很多领域的计算工作，比如机器学习、自然语言处理和科学计算等。
在这其中的优秀算法之一，是由高斯和牛顿联合提出的高斯牛顿方法。
本文将围绕着这个方法对Python进行介绍。
一、高斯牛顿方法高斯牛顿方法是一种非线性最小二乘法算法，应用于最小化一个非线性方程组。
它基于牛顿法，将损失函数拟合成一个二次函数。
这个函数的优越性在于，它是正定且消耗资源少的。
高斯牛顿方法通过减小残差平方和的大小来进行优化，因此，它可以用于任意维度的问题，其中最小二乘问题就是其中的一个重要的问题。
二、高斯牛顿PythonPython语言的灵活性和功能强大的模块库可以非常方便地实现高斯牛顿算法。
数值计算包NumPy，提供了线性代数的支持，SciPy库则通过其非线性最小二乘库leastsq()函数，实现了高斯牛顿算法。
在使用SciPy库之前，必须导入NumPy库和SciPy库。
以下是一个实现高斯牛顿方法的Python代码示例：``` pythonimport numpy as npfrom scipy.optimize import leastsqdef optimization_func(p, x, y):# 高斯牛顿方法函数表达式# y = a*log(x) + ba, b = preturn y - a*np.log(x) - bx = np.arange(1, 11)y = np.array([1.43, 1.34, 1.22, 1.17, 0.98, 0.85, 0.75, 0.69, 0.62, 0.54])p0 = [1, 1]# 调用高斯牛顿方法cal函数实现参数优化parameters = leastsq(optimization_func, p0, args=(x, y))print(parameters)```上述代码实现了高斯牛顿方法对一组数据的最小化拟合操作。
lm高斯牛顿法的改进
lm高斯牛顿法的改进
lm高斯牛顿法是一种常用的非线性最小二乘优化方法，但在实际应用中存在一些问题，如容易陷入局部最优解、对初值敏感等。
因此，为了提高训练效果和泛化性能，需要对该方法进行改进。
现有的改进方法有：引入正则化项、加入牛顿校正、采用逆Hessian矩阵的估计等，这些方法可以有效地提高算法的鲁棒性和收敛速度。
另外，通过结合其他优化方法如共轭梯度法和拟牛顿法，还可以进一步提高算法的效果。
因此，在使用lm高斯牛顿法时，需要根据具体情况选择合适的改进方法，以达到更好的优化效果。
- 1 -。
matlab中实现高斯牛顿迭代法拟合曲线
高斯-牛顿迭代法是一种用于拟合非线性模型的迭代算法。
以下是一个在MATLAB中实现高斯-牛顿迭代法的基本示例。
在这个示例中，我们将尝试拟合一个简单的高斯函数。
假设我们的模型是：f(x) = a * exp(-(x-b)^2 / (2 * c^2))我们的目标是找到参数a，b和c，使得数据与模型之间的平方误差最小。
首先，我们需要定义一些基本函数。
例如，我们需要计算模型的值、模型的导数和平方误差。
matlab复制代码function GaussNewtonclose all;clear all;clc;% 数据x = linspace(-10,10,100)';y = 3*exp(-(x-2).^2/2) + 0.01*randn(size(x));% 初始参数a = 1;b = 1;c = 1;% 参数向量theta = [a b c];% 模型值f = a .* exp(-(x - b).^2 / (2 * c.^2));% 模型的导数df = [exp(-(x - b).^2 / (2 * c.^2)) - (x - b).^2 .* a .* exp(-(x -b).^2 / (2 * c.^2)) / (2 * c.^2); 0; -2 * a .* exp(-(x - b).^2 / (2* c.^2)) * (x - b) / (c.^3)];% 平方误差g = y - f;J = g'*g;% Gauss-Newton迭代Delta_theta = zeros(size(theta));I = eye(size(theta));H = zeros(size(theta));r = g;Delta_theta(1) = inv(I - H(1)) * r;Delta_theta(end) = Delta_theta(end) + H(end) *Delta_theta(1:end-1);Delta_theta = Delta_theta + H * Delta_theta;Delta_theta = Delta_theta + inv(H + I*1e-6) * r;Delta_theta = Delta_theta - inv(H + I*1e-6); % unbiase the iteration incrementtheta = theta + Delta_theta;这个代码的主要部分是高斯-牛顿迭代部分。
高斯牛顿法手算例题
高斯牛顿法手算例题高斯-牛顿法是一种用于求解非线性方程组的迭代数值方法。
它通过不断迭代来逼近方程组的解。
我将通过一个手算例题来演示高斯-牛顿法的应用。
假设我们要解决以下非线性方程组：f1(x, y) = x^2 + y^2 25 = 0。
f2(x, y) = x y 9 = 0。
我们首先需要计算方程组的雅可比矩阵，即关于变量x和y的偏导数矩阵：J = |2x 2y|。
|y x |。
接下来，我们选择一个初始解向量，例如(x0, y0) = (1, 1)。
然后，我们可以使用以下公式进行迭代：(xn+1, yn+1) = (xn, yn) (J^T J)^(-1) J^T f(xn, yn)。
其中，^T表示矩阵的转置，^(-1)表示矩阵的逆，f(xn, yn)是方程组的函数向量。
现在，让我们开始手算迭代过程：首先，计算f(x0, y0)和J在(x0, y0)处的值：f(x0, y0) = (1^2 + 1^2 25, 11 9) = (-22, -8)。
J = |21 21|。
|1 1 |。
接下来，我们需要计算(J^T J)^(-1) J^T的值。
首先计算J^T J：J^T J = |2 1| |2 2| = |8 4|。
|1 1| |2 2| |4 4|。
然后计算其逆矩阵：(J^T J)^(-1) = (1/(84-44)) |2 -1| = (1/8) |1 -1|。
|-1 2 | |-12 |。
最后，计算(J^T J)^(-1) J^T：(J^T J)^(-1) J^T = (1/8) |1 -1| |2 1| = (1/8) |21|。
|-1 2 | |1 1| |-1 2|。
现在，我们可以将这些值代入迭代公式中：(x1, y1) = (1, 1) (1/8) |2 1| |-22|。
|-1 2 | |-8 |。
(x1, y1) = (1, 1) (1/8) |2 1| |-22| = (1, 1) (1/8)|18|。
高斯牛顿法和拟牛顿法
高斯牛顿法和拟牛顿法
高斯牛顿法和拟牛顿法都是求解非线性最小二乘问题的优化算法。
其中，高斯牛顿法是一种迭代方法，每次迭代需要求解一个线性方程组，因此适用于问题中Hessian矩阵条件数较小的情况。
而拟牛顿法则是一种基于梯度的迭代方法，通过构造一个Hessian矩阵的逆矩阵来逼近真实的Hessian矩阵，因此适用于Hessian矩阵条件数较大的情况。
拟牛顿法有多种实现方式，其中BFGS算法是其中一种比较常用的方法，它通过每次迭代的梯度信息来更新逆Hessian矩阵的估计值。
在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的优化算法。
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用高斯牛顿法实现光流
用高斯牛顿法实现光流
光流是指相邻两幅图像中像素点在时间上的变化关系，是计算机视觉领域中的一个重要概念。
光流计算可以用于物体跟踪、运动分析等领域。
高斯牛顿法是一种非线性优化算法，可以用于求解光流计算中的方程组。
具体而言，我们可以将光流计算的问题转化为一个最小二乘问题，然后利用高斯牛顿法求解该问题。
在实现过程中，首先需要确定计算光流的区域，然后针对每个像素点，利用邻域内的像素点计算出一个方程组。
接着，使用高斯牛顿法求解该方程组，得到该像素点的位移向量，即光流向量。
需要注意的是，高斯牛顿法具有较高的计算复杂度，因此在实际应用中需要考虑算法的效率和精度之间的平衡，避免出现过拟合等问题。
此外，还需要进行参数优化和算法调试等工作，以获得更好的计算结果。
总之，利用高斯牛顿法实现光流计算可以有效地提高图像处理和计算机视觉的效率和精度，对于实现物体跟踪、运动分析等应用具有重要意义。
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非满秩矩阵 高斯牛顿
非满秩矩阵高斯牛顿
非满秩矩阵和高斯-牛顿方法在数学和工程领域中都有其应用。
非满秩矩阵指的是矩阵中行或列有冗余，使得矩阵的秩（非零特征值的数量）小于行数或列数。
在机器学习中，例如在PCA （主成分分析）中，我们经常需要处理非满秩矩阵，因为PCA
的目标是找到一个低秩的表示来描述数据。
高斯-牛顿方法是一种迭代算法，用于求解非线性最小二乘
问题。
在机器学习中，它常常用于梯度下降的线性近似，特别是在模型参数空间高度非线性时。
高斯-牛顿方法的核心思想是，
对于非线性模型，其雅可比矩阵（即参数对模型输出的偏导数）可以被近似为线性模型的高斯-牛顿矩阵（即雅可比矩阵的雅可
比矩阵）。
非满秩矩阵和高斯-牛顿方法在某些情况下可能会一起出现。
例如，在非线性最小二乘问题中，如果模型参数空间是非满秩的（例如，某些参数对输出没有影响，因此其雅可比矩阵是零），
那么高斯-牛顿方法可以用来找到这些参数的有效值。
在这种情
况下，非满秩矩阵可以看作是模型参数空间的一种结构，而高斯-牛顿方法则是求解对应最小二乘问题的迭代算法。
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c=Fk-1/Fk+1 d=Fk/Fk+1
Fibonacci(1170-1250)
达.芬奇与黄金分割
黄金分割法：
给出[0， 1]： X=0.382 Y=0.618
新区间： [0, 0.618] or [0.382, 1]
一个 n 维问题 转化为 n 个 一维问题
共轭梯度法的实现
著名的β选取:
Hestenes (1906-1991)
Stiefel (1909-1978)
新的共轭梯度法
Dai-Yuan(1999) More methods by Hager-Zhang, etc..
牛顿法巧 －－ 复杂问题简单化
黄金分割法
黄金分割法
华罗庚（1910－1985）
华罗庚在农村推广优选法
华罗庚在大庆油田讲优选法
华罗庚在矿山推广优选法
华罗庚在工厂、车间
Max f(x)
[a, b] 上的连续函数 f(x) 是单峰的（只有 一个最大值点）, 求解 max f(x)
任取 a<c<d<b, 如果 f( c ) < f(d) , 则 我们只需在 [c, b] 上求 max f(x)
瞎子爬山 vs 优化方法
瞎子和计算机谁快? 瞎子和计算机谁聪明? 瞎子会如何“看” “瞎子爬山法”呢?
优化方法的特征
基于极小 ( min f(x) )
基于KKT 条件 (
)
迭代
迭代 － 计算的基本
千里之行始于足下 －－－老子
几个经典优化方法
黄金分割法 最速下降法 共轭梯度法 牛顿法与拟牛顿法 高斯牛顿法与信赖域方法 单纯形法与内点法 交替方向法
Levenberg-Marquardt 方法
当 A 坏条件时 高斯－牛顿步 很可能不好。 Levenberg (1944), Marquardt(1963) 提出：
L-M步的最优性
设 dk 是 Levenberg-Marquardt 步:
则它也是如下问题的解
信赖域方法
信赖域方法基本思想 1) 局部区域 2) 逼近模型 3) 调节模型和区域
牛顿法：切线代替曲线
Newton(1643-1727)
牛顿法求f(x)=0 的根
牛顿法性质
迭代公式：
优缺点： 1) 优点：速度快（二次收敛）
2) 缺点: 计算量大（需要计算二阶导数）
牛顿:
拟牛顿法
拟牛顿:
如何选取 B？
如何“拟”牛顿？
拟牛顿方程：
Davidon(1959), Fletcher and Powell (1963):
Fletcher(1939- ) Powell(1936- )
N. Trefethen: Who invented the great numerical algorithms?
依葫芦画瓢 – 都行吗？（∞的故事）
Question:
limx0+ 5/x = ?
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because limx0+ 8/x = limx0+ 5 / x =
Leonardo da Vince (1452-1519)
Euclid (约325BC—265BC)
extreme and mean ratio
最速下降法
最速下降法
αk 使 f(x＋αd ) 达到最小 （精确搜索）
A. Cauchy, Comptes Rendus de L’Acadmia des Sciences 25(1847) 536-538
BB方法的启示
最好方向 + 上一次最好步长 ＝ 最好
推论：
班上最好的女生应该嫁给 高年级最好的男生！
共轭梯度法
共轭梯度法
αk 使 f(x＋αd ) 达到最小 （精确搜索）
如何选取 dk?
共轭梯度法
前后两次的方向 d 相互共轭
共轭梯度法基本思想
考虑 f(x) = (1/2) xTAx – bTx 共轭方向 d1,d2,…,dn
孙悟空的信赖域
单纯形法与内点法
线性规划:单纯形法
Linear Programming (LP) Problem:
min cT x Ax=b x≥0
单纯形方法
逐步调整N 得到解 G. Dantzig(1914-2005)
引子：瞎子爬山
爬山与优化
爬山 －－－ 海拔“最”高 最优化 －－－ 求“最”好的
Operations Research -- Science of Better
瞎子与计算机
瞎子 －－－ 知道脚底下情况， 但看不见周围的东西
计算机 －－－
给一个点x，可计算：
f(x), ∂f(x), … … 但对于x 附近的其他y, 不知道 f(y)
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高斯牛顿法与信赖域法
非线性最小二乘问题
最小二乘问题
超定方程组求解
数值模拟，曲线拟合
反问题
高斯－牛顿法
xk+1 = xk + dk , 如何求 dk ？
A(x) 是 F(x) 的 JACOBI 阵
J. C. F. Gauss (1777-1855)
I. Newton (1642-1727)
如何 选取 c , d ?
最优的 c, d
1） max[b-c, d-a] 达到最小
c ≈ d = (a+b)/2 !
2) Repeat the procedure ? Once c=1/3 , d=2/3 Twice c=2/5, d=3/5?
菲波那契级数（兔子繁殖问题）
一般的 c, d
Cauchy（1789－1859）
最速下降法收敛速度
假定 f(x) 是二次凸函数
收敛速度：
最好 + 最好 = 最好 ???
方向 (最速下降) （best dk)
步长 (精确搜索) (best αk ) xk+1 = xk + αk dk 是否最好 ????
最速下降法应用于 f(x,y)=100x2+ y2
最速下降法的启示
最好方向 + 最好步长 ≠ 最好的方法 推论：
班上最好的女生不应该嫁给 班上最好的男生！
Barzilai & Borwein Method
方向 (最速下降 － 最好方向)
步长 (上一次的精确搜索步长)
最好的d + 上一步最好的α 最好
J.M. Borwein(1951-
BB 方法 应用于 f(x,y)=100x2+ y2