集合及集合的表示方法
集合的概念及运算
注: 集合与集合的关系特例:
设集合A={1, 2, 3}, B={x | xA}, 则 AB, B. 亦可 B. (4)集合的运算
①交集: 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 叫做集合 A 与 B 的交集, 记作A∩B, 即 A∩B={x | x∈A, 且x∈B}. ②并集: 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 叫做集合 A 与 B 的并集, 记作A∪B, 即 A∪B={x | x∈A, 或 x∈B}. ③补集: 设 S 是一个集合, A 是 S 的一个子集(即AS), 由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合, 叫做 S 中子集 A 的补集 (或余集), 记作 CsA, 即 CsA={x | x∈S, 且 xA}.
2-x-1=0}, 得 a≥- 1. 由 A={ x | ax 13.解: 4 ∵对任一 x0∈A, 必有 x0B, ∴AB; 又 B 中元素为方程 a(ax2-1)2-1=x 即 a3x4-2a2x2-x+a-1=0 的实根, ∴由 AB 知 a3x4-2a2x2-x+a-1 含有因子 ax2-x-1. ∴a3x4-2a2x2-x+a-1=0 即为 (ax2-x-1)(a2x2+ax-a+1)=0. ∵A=B, ∴a2x2+ax-a+1=0 无实根或其实根为 ax2-x-1=0 的实根. 由 a2x2+ax-a+1=0 无实根得: a< 3 4;
10.集合 M={m | m=2a-1, aZ} 与 N={n | n=6b1, bZ} 之间的 关系是 N M .
11.已知 R 为全集, A={x | log 1(3-x)≥-2}, B={x | x 5 ≥1}, 求 +2 2 CRA∩B. (-2, -1)∪{3} 12.调查 100 名有携带药品出国的旅游者, 其中 75 人带有感冒 药, 80 人带有胃药, 那么既带感冒药又带胃药的人数的最大值 和最小值分别为多少? 解: 设既带感冒药又带胃药的人数为 x, 既不带感冒药又不带 胃药的人数为 a. 记这100名出国旅游者组成全集 I , 其中带感冒药的人组成集 合 A, 带胃药的人组成集合 B. 则 x=card(A∩B) 且 card(A)=75, card(B)=80, 依题意得: a+card(A)+card(B)-x=100, 0≤a≤20. ∴x=a+55, 0≤a≤20. ∴55≤x≤75. 故既带感冒药又带胃药的人数的最大值为 75, 最小值为 55. 13.已知函数 f(x)=ax2-1, aR, xR, 设集合 A={x | f(x)=x}, 集 合 B={x | f[f(x)]=x}, 且 A=B, 求实数 a 的取值范围.
1.集合及其表示
集合及其表示知识要点1．集合概念（1）我们常常把能够确切指定的对象看作一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。
集合中的各个对象叫做这个结合的元素。
集合常用大写字母A ，B ，C ……表示，集合中的元素用小写字母a b c ⋅⋅⋅、、表示。
例如：a 是集合A 中元素，记作a A ∈，a 不是A 中元素，记作a A ∉，分别读作“a 属于A ”，“a 不属于A ”。
（2）集合的分类：有限集、无限集和空集。
空集记作∅。
（3）特殊集合的表示：自然数：N ；不包括零的自然数：N *；整数：Z ；有理数：Q ；实数：R 。
2．集合的表示法（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来（列举时不考虑元素的顺序）并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫列举法。
（补充：比较适合个数较少的有限集）（2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所具有的共同特性，即{}A x x P =∈，这中表示集合的方法叫做描述法。
（3）图示法：用图形围成的区域来表示集合的方法叫做集合的图示法，通常用圆及圆内部表示集合。
3．集合元素的性质：确定性、互异性、无序性。
4．集合之间的关系（1）子集及子集相关定义：对于两个集合A 和B ，如果A 中任何一个元素都属于B ，那么集合A 叫做集合B 的子集。
记作A B ⊆或B A ⊇，读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”。
我们规定∅是任何集合的子集。
对于集合A 、B ，如果A B ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作A B 或B A ，读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”。
（2）相等的集合：两个集合A 、B ，如果A B ⊆且B A ⊆，那么叫做集合A 与集合B 相等，记作A=B 。
精选例题例1、 用适当的符号;;;;≠≠∈⊂∉=⊃填空. 3.14_______;Q {}0______0; ________;N ∅________;Z N +* 0________∅ 2;Q________;Q π {}2_______;-偶数 {}{}1________-奇数0.3_______;Q {}1________;质数{}{}21,_______21,x x k k Z t t k k Z =-∈=+∈ {}2_______20,;x x x R ∅+=∈{}{}24,_________,y y x x R z z x x R =∈=∈ 例2、用适当的方法表示下列集合：(1) 关于x 的不等式||5x <的整数的解集；(2) 所有奇数构成的集合；(3) 方程0)2)(1(22=---x x x 的解的集合；(4) 直角坐标平面上所有第三象限的点；(5) 函数3y x =- 的所有函数值组成的集合。
集合的概念与表示方法
一、集合的概念 一般地, 一定范围内某 些确定的,不同的对象的全 体构成一个集合. 集合中每个对象称为这 个集合的元素.
一、集合的概念
1.集合：用大写字母表示,如A,B 2.元素：用小写字母表示,如a,b 3.元素与集合关系：
…
…
如果a是集合A的元素，就说a 属于集合A，记作a A； 如果a不是集合A的元素，就 说a不属于集合A，记作a A．
（2）平行四边形，四边形；
（3）直角三角形，等边三角形； （4）-3, 2，6，|3|，-6 ；
（5）（2,3），（3,2），（-2,3）；
3)无序性：集合中的元素是无先后 顺序的．集合中的任何两个元素都 可以交换位置．
5.集合的分类
⑴有限集：含有有限个元素的集合．
⑵无限集：含有无限个元素的集合．
(六）课堂小结： 1.集合的概念：一定范围内某些确定的、不同对象的 全体构成一个集合.集合通常用大写字母A.B.C……… 表示,如集合A.B集合中的对象称为元素,元素用小写 字母a.b.c表示。元素与集合的关系:从属关系 aA bA 2.集合中元素的性质：确定性 互异性 无序性 3.集合的表示方法 ：描述法、列举法、文恩图法 4.集合的分类：有限集、无限集、空集 5.特殊集合的表示：自然数集：Ｎ 整数集：Ｚ 有 理数集：Ｑ 实数集：Ｒ
例3.已知集合A={ a+2,(a+1)2 ,a2+3a+3}, 若1∈A,求实数a的值.
解：①a+2=1时即a=-1时 Ａ=｛１,０,１｝不满足元素的互异性 ②1=(a+1)2时即a=0或a=-2经检 验a=0符合条件 ③1=a2+3a+3时即a=-1或a=-2 经检验都不符合条件 综上：a=0
集合的含义及其表示
集合的含义及其表示一、集合的相关概念元素集合一般用大括号”{}”表示集合,也常用大写的拉丁字母A、B、C…表示集合.用小写的拉丁字母a,b,c…表示元素二、集合三大特性：思考：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由；(1) 大于3小于11的偶数；(2) 我国的小河流。
三、重要数集：四、元素对于集合的关系五、集合的分类有限集：无限集：空集：六、集合的表示方法1、列举法：例1 用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合；(3)由1～20以内的所有质数组成的集合。
思考题 (1)你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗? (2)你能用列举法表示不等式x-7<3吗?2、描述法：3、Venn图：例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合。
课堂小结集合间的基本关系观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：① A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5};② A={x| x＞1}, B={x | x2＞1};③ A={四边形}, B={多边形};④ A={x | x是两边相等的三角形},B={x| x是等腰三角形} ．一、子集的定义：一般地,对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B 的子集。
记作：读作：Venn图表示：判断集合A是否为集合B的子集，若是则在（）打√，若不是则在（）打×：①A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6} ( )②A={1,3,5}, B={1,3,6,9} ( )③A={0}, B={x x2+2=0} ( )④A={a,b,c,d}, B={d,b,c,a} ( )二、集合相等的定义：一般地,对于两个集合A与B, 如果集合A中的都是集合B的元素,同时集合B中的都是集合A的元素,则称集合A等于集合B,记作三、真子集对于两个集合A与B,如果A B,但存素 ,则称集合A 是集合B的真子集．记作A B四、几个结论①空集是任何集合的子集Φ A②空集是任何非空集合的真子集Φ A （A ≠ Φ）③任何一个集合是它本身的子集，即 A A④对于集合A ，B ，C ，如果 A B,且B C ，则A C例3 设A={x,x 2,xy}, B={1,x,y},且A=B ，求实数x,y 的值．例4 已知集合 与集合 满足Q P ， 求a 的取值组成的集合A 作业布置1．教材P.12 A 组 5 B 组2.2. 若A={x |－3≤x≤4}, B={x | 2m －1≤x≤m+1},当B A 时,求实数m 的取值范围．3.已知}06|{2=-+=x x x P },01|{=+=ax x Q {}{}AC B C A B A 求,8,4,2,0,5,3,2,1,,==⊆⊆1.1.3 集合的基本运算（1）观察集合A,B,C元素间的关系：(1) A={4，5，6，8}B={3，5，7，8} C={3，4，5，6，7，8}(2) A={x|x是有理数}，B={x|x是无理数}， C={x|x是实数}一、并集一般地,由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合叫做A与B的并集,记作读作即A∪B=例1. A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝，求A∪B.例2.设A=｛x|-1<x<2｝,B=｛x|1<x<3｝，求A∪B性质1A∪A = A∪φ = A∪B B∪A二、交集观察集合A,B,C元素间的关系：A={4，5，6，8}， B={3，5，7，8}，C={5，8}一般地,由既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集。
集合的概念及表示
第一节 集合相关概念集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ， {} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {} ,3,2,1*=N（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N *或N +Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *3、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……⑵“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写练习、下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数（2）好心的人（3）1，2，2，3，4，5．第二节 集合的表示1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53， (100)所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素2、描述法： 用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）} 含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合 例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或 }23|{>-x x所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分 如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}3、文氏图（韦恩图）：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法 如：集合},5,23,{2232y x x y x x +-+⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合}1|),{(2+=x y y x ； 集合{1000以内的质数}例 集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？答：不是因为集合}1|),{(2+=x y y x 是抛物线12+=x y 上所有的点构成的集合， 集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是函数12+=x y 的所有函数值构成的数集 有限集与无限集1、 有限集：含有有限个元素的集合2、 无限集：含有无限个元素的集合3、 空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：}01|{2=+∈x R x练习题、用列举法表示下列集合①{x ∈N|x 是15的约数} ②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}③⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x ④},)1(|{N n x x n ∈-=⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+ ⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x。
集合的含义及表示方法
确定性
集合中的元素具有确定性，即每个元素是否属于某个集合是明确的。对于任意一 个元素，如果它属于某个集合，则它只属于该集合；如果不属于该集合，则它与 该集合没有关系。
确定性的性质使得集合可以准确地描述事物的分类和归属问题，是数学和计算机 科学中基本的概念之一。
集合的含义及表示方法
• 集合的基本概念 • 集合的运算 • 集合的性质 • 集合的应用
01
集合的基本概念
集合的定义
01 集合是由确定的、不同的元素所组成的总体 。
02
集合中的元素具有确定性，即每一个对象是 否属于某个集合是确定的。
03
集合中的元素具有互异性，即集合中不会有 重复的元素。
04
集合中的元素具有无序性，即集合中元素的 排列顺序不影响集合本身。
数据库系统
数据库系统是计算机科学中用来存储和管理大量数据的重要工具。集合理论在数据库设计 中起着重要的作用，例如关系数据库中的表可以看作是集合的表示。
在日常生活中的应用
分类问题
在生活中，我们经常需要对事物进行分类。集合可以用来表示不同的类别，帮助我们更好地组织 和理解事物。
决策制定
在决策制定过程中，我们经常需要考虑多个因素或条件。集合可以帮助我们表示这些因素或条件 ，并分析它们之间的关系，从而做出更好的决策。
03
补集
补集是指全集中不属于某个集合的元素组成的集合。
补集的表示方法是在一个集合后面加上"′"，例如：A′。
补集运算满足反演律，即A′=(全集−A)∪(全集−B)。
03
集合的性质
无序性
集合中的元素没有固定的顺序，即元素的位置不影响集合的性质。例如，集合A={1,2,3}和集合B={3,2,1}是同一个集合，因为 元素的无序性，集合A和集合B具有相同的性质。
集合及其表示方法
另外，根据集合元素的类型可以把集合分成数集、点集等。
4.空集：空集不含元素。记作
5.集合的表示方法
（1）列举法：将集合中的元素一一列出（不考虑元素的顺序），注意元素之间用逗号隔开，并且写在大括号内。
例如：不等式 的正整数解的集合，可以表示成{1，2，3，4，5}。
注： 、 与 区别：它们都表示集合。但 只有一个元素0； 不含任何元素； 是以空集作为元素的集合。
例3.用适当的方法表示下列集合：
(1) 关于 的不等式 的整数的解集；
(2) 所有奇数构成的集合；
(3) 方程 的解的集合；
(4) 直角坐标平面上所有第三象限的点；
(5) 函数y=|x|-3 的所有函数值组成的集合。
14、集合{ }用列举法表示为_________________
(3)数轴上非常靠近原点的点；
(4)使 的值很小的 的值。
注意：元素的属性是明确的（模棱两可是不可以的）
集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件．
例2.用 或 填空：
(1) 0{0}； (2) 0 ； (3) 0 ；
(4) -1 ； (5) ； (6) 0 。
其中正确的命题的个数是（）
Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个
二、填空题
10、已知集合A={2，4， }，若 ，则x=________________
11、在平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合为_______________
12、方程 的解集可表示为_____________________
13、方程 的解集中含有_________个元素。
数的集合简称数集。
集合的概念、表示方法和运算
特定的一些集合的表示符号
（1）自然数集 N={0，1，2，…}
（2）整数集合 I={…-2，-1，0，1，2，…}
（3）正整数集合 I＋={1,2,3,4…} （4）有理数集合 Q={xx=Pq，p,qI}
P（{{a,{b,c}}}）＝｛，{{a,{b,c}}}｝
一、集合的概念、表示方法及集合的运算
5、注意点：
• 和
• ，
例题：A={a, {b}, c} 则a A, b A, c A {a} A, {b}A, {c} A
• A= {},则有 A, A，{ }A, {} A
作业：P86
第二篇 集 合 论
集合论是现代各科数学的基础。在数学发展 中，集合理论一方面扩充了数学研究的对象，另 一方面集合理论又为数学奠定了基础。
本章介绍集合论的基础知识如： 集合运算、性质、序偶、关系等。
第 三 章： 集合与关系
3－1、集合的概念、表示方法
1、集合定义：具有共同性质的东西汇集成的一个整体。
= E， A A＝E
A A＝
(3) 集合的补集
定理3-2.4德∙摩根律 (AB)= AB (AB)= AB
例题：求证A-B=AB 证明： A-B={xxAx B}
=AB
定理： A，B，C为三个集合，则A(B-C)=(AB)-(AC)
证明： A(B-C) = A(B C) = A B C
•定理： A B＝A B
•定理：C(AB) = (CA)(CB)
注： C (A B) ≠ (C A)(C B) C (A B) ≠ (C A) (C B)
集合及其表示方法
集合及其表示方法
集合是由一组独立的对象组成的，这些对象被称为集合的元素。
集合的表示方法有以
下几种：
1. 列举法：将集合的元素逐一列举出来，并用花括号{}括起来。
例如，集合{1, 2, 3}
表示由元素1、2和3组成的集合。
2. 描述法：用一个条件来描述集合中的元素。
描述法的一般形式为{ x | P(x) }，其中
x是集合中的元素，P(x)是关于x的性质。
例如，集合{ x | x是正整数，且x小于10}表示小于10的正整数组成的集合。
3. 空集：没有任何元素的集合称为空集，用符号∅表示。
4. 全集：包含所有可能元素的集合称为全集，用符号U表示。
5. 子集：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，则称前一个集合为后一个
集合的子集。
用符号A ⊆ B表示集合A是集合B的子集。
6. 幂集：对于一个集合A，包含A的所有子集的集合称为A的幂集，用符号P(A)表示。
以上是集合的一些常见表示方法，不同的表示方法适用于不同的情况。
第一章 集合1.1.1集合的概念
• 用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合 的办法，叫文氏图。
多用于解题些指定的对象集在一起就形成一个集合。 • 集合的表示以及元素与集合间关系表示方 法。 • 集合表示方法： 列举法、描述法、文氏图法。 D:\高一PPT\集合的表示方法.doc D:\高一PPT\集合概念与表示方法练习题.doc
如何表示一个集合呢？
1.1.2集合的表示方法
1.1.2 集合的表示方法
• 列举法 如果一个集合是有限集，元素又不太多，常 常把集合的所有元素都列举出来，写在话 括号“{ }”内表示这个集合。例如，由两 个元素0，1构成的集合可表示为 {0,1}. 又如，24的所有正因数1,2,3,4,6,8,12,24构成 的集合可以表示为 {1,2,3,4,6,8,12,24}.
• 大括号内竖线左边的x表示这个集合的任意 一个元素，元素x从实数集合中取值，在竖 线集合右边写出只有集合内的元素x才具有 的性质
• 一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意一 个元素x都具有性质p（x），而不属于集合A的 元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的 一个特征性质。于是，集合A可以用它的特征性 质p(x)描述为
例题：
• 下列各组对象能确定一个集合吗？ （1）所以很大的实数； （2）市四中高一（二）班的高个子同学； （3）1，1，2，3，4，5.
上面我们用自然的语言来描述集合的几个例 子，下面我们来看下集合的表示方法。
• 集合通常用英语大写字母A,B,C,...来表示，它们的元 素通常用英语小写字母a，b，c，...来表示。 • 如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作 读作“a属于A”. 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A,记作
例题：
• 由方程 x 2 − 1 = 0 的所有解组成的集合，可 以表示为｛-1，1｝
集合概念和表示方法讲义
集合一．集合的概念：集合没有确切定义，是一个基本概念。
对其描述：某些具有共同属性的对象集在一起就成为一个集合。
符号表示为{}，表示的意思为全体。
这些对象我们称之为元素。
集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。
如a、b、c、p、q…… 例如A={1,3,a,c,a+b}注意：（1）集合是数学中原始的、不定义的概念，只作描述.（2）集合是一个“整体.（3）构成集合的对象必须是“确定的”且“不同”的例如：指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。
（1）我国的直辖市；（2）五中高一（1）班全体学生；（3）较大的数（4）young 中的字母；（5）大于100的数；（6）小于0的正数。
【典例分析】：1.下列各组对象中，不能组成集合的是（）A 所有的正六边形B《数学》必修1中的所有习题C 所有的数学容易题D 所有的有理数2.由下列对象组成的集体属于集合的是（）（1）不超过π的正整数；（2）高一数学课本中所有的难题；（3）中国的大城市（4）平方后等于自身的数；（5）某校高一（2）班中考成绩在500分以上的学生.A.（1）（2）（3）B.（3）（4）（5）C.（1）（4）（5）D. （1）（2）（4）二．元素的特性a、确定性（有一个确定的衡量标准）b、互异性（集合里的元素都不一样）c、无序性（没有顺序）（确定性）例题1：下列各组对象能否构成一个集合（1）著名的数学家（2）某校2006年在校的所有高个子同学（3）不超过10的非负数（4）方程240x-=在实数范围内的解（5）2的近似值的全体例题2：下列各对象不能够成集合的是（）A 某校大于50岁的教师B 某校30岁的教师C 某校的年轻教师D 某校的女教师（互异性）例题3：已知集合S 中的元素是a,b,c,其中a,b,c 为△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）A. 锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例题4：若-3∈{a-3,2a-1,a 2+4},求实数a 的值，并求此时的实数集。
集合与集合的表示方法
集合与集合的表⽰⽅法第1章集合1.1 集合与集合的表⽰⽅法1.1.1 集合的概念⼀、概念与能⼒聚焦1、集合的概念集合是数学中最原始的不定义的概念，只能给出，描述性说明：某些指定的且不同的对象集在⼀起就成为⼀个集合。
组成集合的对象叫元素，集合通常⽤⼤写字母A 、B 、C 、…来表⽰。
元素常⽤⼩写字母a 、b 、c 、…来表⽰。
集合是⼀个确定的整体，因此对集合也可以这样描述：具有某种属性的对象的全体组成的⼀个集合。
例题1：考察下列每组对象能否组成⼀个集合？（1）2010年上海世博会上展出的所有展馆；（2）2010年辽宁⾼考数学试卷中所有的难题；（3）清华⼤学2010级的新⽣；（4）平⾯直⾓坐标系中，第⼀象限内的⼀些点；（5）2的近似值的全体.2、元素与集合的关系元素与集合的关系有属于和不属于两种：元素a 属于集合A ，记作A a ∈；元素a 不属于集合A ，记作A a ?。
例题 2：已知321-=a ，}{Z n m n m x x A ∈+==,,3，则a 与A 之间是什么关系？3、集合中元素的特性（1）确定性：设A 是⼀个给定的集合，x 是某⼀具体对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有⼀种且只有⼀种成⽴。
例如}{4,3,1,0=A ,可知A A ?∈6,0。
（2）互异性：“集合中的元素必须是互异的”，就是说“对于⼀个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的”。
如⽅程0)4(2=-x 的解集记为}{4，⽽不能记为}{4,4。
（3）⽆序性：集合与其中元素的排列次序⽆关，如集合}{c b a ,,与集合}{a b c ,,是同⼀个集合。
例题3：已知集合A 中含有两个元素3-a 和12-a ，若A ∈-3，试求实数a 的值。
4、集合的分类集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类：有限集：含有有限个元素的集合。
如“⽅程013=+x 的解组成的集合”，由“8,6,4,2组成的集合”，它们的元素个数是可数的，因此这两个集合是有限集。
集合的概念和表示方法
2．选择题 ⑴ 以下说法正确的( C )
(A) “实数集”可记为{R}或{实数集}或{所有实数} (B) {a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合 (C) “我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组 成一个集合,因为其元素不确定
2 0 , a , a 3a 2 }中的元素， ⑵ 已知2是集合M={ 则实数 a为( c )
x y 2 （1）方程组 的解集用列举法表示 x y 5
为_______；用描述法表示为
（2）集合 {( x, y) | x 用列举法表示为
3.填空
.
y 6, x N , y N}
.
能力提高题
1. 用描述法表示下列集合 ①{1，4，7，10，13} ②{1/3,1/2,3/5,2/3,5/7}. 解： ①{x|x=3n-2, n ∈ N*且n≤5}
教材P5题目3（1）（4）
1.1.2 集合的表示方法
复习与巩固 1、提问： ①集合与元素的基本概念 ②集合元素的三条特性 ③常用数集 N Z Q R ∅
1.1.2 集合的表示方法
复习与巩固 2、黑板演练：用“属于”和“不属于”的符 号填入空格 （1）1/5___Z （3）-19___N （2）1.4142___Q （4）
｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝ • 如何表示“方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根” 组成的集合?
｛1,-2｝
1、列举法
• 列举法——把属于某个集合的元素一一列 举出来，元素之间用逗号分开，并写在大 括号内的表示方法称为列举法。 • 注意：每个元素只可写一次，可以不考虑 元素的顺序。
1、列举法
常用的数组成的集合称为数集。 ①N——自然数集（非负整数集） ②Z——整数集（Z+ Z-） ③Q——有理数集（Q+ Q-） ④R——实数集（R+ R-） 你能举出几个例子
《集合与集合的表示方法》参考教案
1.1 集合与集合的表示方法（一）教学目标1．知识与技能（1）初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法．（2）初步了解“属于”关系的意义．理解集合相等的含义.（3）初步了解有限集、无限集的意义，并能恰当地应用列举法或描述法表示集合.2．过程与方法（1）通过实例，初步体会元素与集合的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手，正确地理解集合．（2）观察关于集合的几组实例，并通过自己动手举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义．（3）学会借助实例分析、探究数学问题（如集合中元素的确定性、互异性）．（4）通过实例体会有限集与无限集，理解列举法和描述法的含义，学会用恰当的形式表示给定集合掌握集合表示的方法.3．情感、态度与价值观（1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．（2）在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力．初步培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度．（二）教学重点、难点重点是集合的概念及集合的表示．难点是集合的特征性质和概念以及运用特征性质描述法正确地表示一些简单集合.（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合．通过提出问题、观察实例，引导学生理解集合的概念，分析、讨论、探究集合中元素表达的基本要求，并能依照要求举出符合条件的例子，加深对概念的理解、性质的掌握．通过命题表示集合，培养运用数学符合的意识.例1（1）利用列举法表法下列集合：①{15的正约数}；②不大于10的非负偶数集.（2）用描述法表示下列集合：①正偶数集；②{1，–3，5，–7，…，–39，41}.【分析】考查集合的两种表示方法的概念及其应用.【解析】（1）①{1，3，5，15}②{0，2，4，6，8，10}（2）①{x | x = 2n，n∈N*}②{x | x = (–1) n–1·(2n–1)，n∈N*且n≤21}.【评析】（1）题需把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合，多用于集合中的元素有有限个的情况.（2）题是将元素的公共属性描述出来，多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素个数较多的有限集.例2 用列举法把下列集合表示出来：∈N}；（1）A = {x∈N |9-9x∈N | x∈N }；（2）B = {99x-（3）C = { y = y = –x2 + 6，x∈N，y∈N }；（4）D = {(x，y) | y = –x2 +6，x∈N }；（5）E = {x |pq= x ，p + q = 5，p ∈N ，q ∈N *}. 【分析】先看五个集合各自的特点：集合A 的元素是自然数x ，它必须满足条件99x -也是自然数；集合B 中的元素是自然数99x-，它必须满足条件x 也是自然数；集合C 中的元素是自然数y ，它实际上是二次函数y = – x 2 + 6 (x ∈N )的函数值；集合D 中的元素是点，这些点必须在二次函数y = – x 2 + 6 (x ∈N )的图象上；集合E 中的元素是x ，它必须满足的条件是x =pq，其中p + q = 5，且p ∈N ，q ∈N *.【解析】（1）当x = 0，6，8这三个自然数时，99x-=1，3，9也是自然数. ∴ A = {0，6，9}（2）由（1）知，B = {1，3，9}. （3）由y = – x 2 + 6，x ∈N ，y ∈N 知y ≤6. ∴ x = 0，1，2时，y = 6，5，2 符合题意. ∴ C = {2，5，6}.（4）点 {x ，y }满足条件y = – x 2 + 6，x ∈N ，y ∈N ，则有：0,1,2,6,5,2.x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩∴ D = {(0，6) (1，5) (2，2) }（5）依题意知p + q = 5，p ∈N ，q ∈N *，则0,1,2,3,4,5,4,3,2, 1.p p p p p q q q q q =====⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨=====⎩⎩⎩⎩⎩ x 要满足条件x =P q， ∴E = {0，14，23，32，4}.【评析】用描述法表示的集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合什么条件，从而准确理解集合的意义.例3 已知–3∈A = {a –3，2a – 1，a 2 + 1}，求a 的值及对应的集合A . –3∈A ，可知–3是集合的一个元素，则可能a –3 = –3，或2a – 1 = –3，求出a ，再代入A ，求出集合A .【解析】由–3∈A，可知，a –3 = –3或2a–1 = –3，当a–3 = –3，即a = 0时，A = {–3，–1，1}当2a– 1 = –3，即a = –1时，A = {– 4，–3，2}.【评析】元素与集合的关系是确定的，–3∈A，则必有一个式子的值为–3，以此展开讨论，便可求得a.11/ 11。
集合的介绍与表示方法
集合的介绍与表示方法集合在数学中是一种基本的概念，广泛应用于各个领域，如数学、计算机科学、物理学等。
本文将介绍集合的基本概念、性质以及几种常见的表示方法。
一、集合的基本概念集合是由一些具有共同性质的对象组成的整体。
这些对象可以是数字、字母、符号等。
集合中的对象称为元素，用小写字母表示。
例如，集合A={1, 2, 3}表示包含了元素1、2和3的集合。
如果一个元素x属于集合A，我们可以用x∈A表示。
集合的特点是无序性，即集合中的元素没有先后之分；独一性，即集合中的元素不会重复出现。
二、集合的性质1. 子集关系：如果集合B的所有元素都属于集合A，则称B是A的子集，用B⊆A表示。
例如，如果A={1, 2, 3}，B={1, 3}，则B是A的子集。
2. 并集和交集：并集即两个集合合并在一起，交集即两个集合共有的元素。
如果A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}表示A和B的并集，A∩B={3}表示A和B的交集。
3. 补集：对于给定的一个集合A和所在的全集U，集合A对于U的补集即U中不属于A的元素构成的集合。
用A'表示，例如，如果全集U={1, 2, 3, 4, 5}，A={1, 2}，则A'={3, 4, 5}。
三、集合的表示方法1. 列举法：通过直接列举集合中的元素来表示集合。
例如，集合A={1, 2, 3}表示包含元素1、2和3的集合。
2. 描述法：通过给出集合中元素的属性或特征来表示集合。
例如，A={x | x是偶数，x>0}表示由所有大于0的偶数构成的集合。
3. 结论法：通过得出一些结论，将满足条件的元素组成集合。
例如，设集合A={x | x^2=1}，则A={-1, 1}表示满足平方等于1的元素构成的集合。
4. 包含法：通过规定元素属于某个集合，定义包含关系。
例如，全集为U，集合A={x | x∈U, x是奇数}表示U中的奇数构成的集合。
集合的概念及运算
10.集合 M={m | m=2a-1, aZ} 与 N={n | n=6b1, bZ} 之间的 关系是 N M .
11.已知 R 为全集, A={x | log 1(3-x)≥-2}, B={x | x 5 ≥1}, 求 +2 2 CRA∩B. (-2, -1)∪{3} 12.调查 100 名有携带药品出国的旅游者, 其中 75 人带有感冒 药, 80 人带有胃药, 那么既带感冒药又带胃药的人数的最大值 和最小值分别为多少? 解: 设既带感冒药又带胃药的人数为 x, 既不带感冒药又不带 胃药的人数为 a. 记这100名出国旅游者组成全集 I , 其中带感冒药的人组成集 合 A, 带胃药的人组成集合 B. 则 x=card(A∩B) 且 card(A)=75, card(B)=80, 依题意得: a+card(A)+card(B)-x=100, 0≤a≤20. ∴x=a+55, 0≤a≤20. ∴55≤x≤75. 故既带感冒药又带胃药的人数的最大值为 75, 最小值为 55. 13.已知函数 f(x)=ax2-1, aR, xR, 设集合 A={x | f(x)=x}, 集 合 B={x | f[f(x)]=x}, 且 A=B, 求实数 a 的取值范围.
2, a+b, 0}, 则 a2006+b2007= 1 . 1.若{a, b , 1}={ a a 2.若集合 M={-1, 1, 2}, N={y | y=x2, x∈M}, 则 M∩N 是 ( B ) A. {1, 2, 4} B. { 1 } C. {1, 4} D. x+1 3.若集合 M={12, a}, 集合P={x | x -2 ≤0, x∈Z} 且 M∩P={0}, 记 M∪P=S, 则集合 S 的真子集个数是 ( D) A. 8 B. 7 C. 16 D. 15 4.已知集合 S, M, N, P 如图所示, 则图中阴影部分表示的集合 S 是( D) A. M∩(N∪P) B. M∩Cs(N∩P) P M N C. M∪Cs(N∩P) D. M∩Cs(N∪P)
集合的三种表达方式
集合的三种表达方式
1、列举法：如果一个集合是有限集，元素又不太多，常常把集合中的所有元素都列举出来，写在花括号内表示这个集合，这种表示集合的方法叫做列举法。
2、描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法。
3、图示法：是在所谓的集合论数学分支中，且在不太严格的意义下用以表示集合的一种草图。
这些表达方式可以根据具体的情况选择使用。
使用列举法可以清晰地列出集合中的所有元素；使用描述法可以通过一个条件来描述集合的特征；使用元素间隔法可以简洁地表示一定规律的元素。
根据需要选取适合的表达方式可以更好地描述集合的内容。
集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。
集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素。
现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。
集合概念、表示方法、分类以及集合之间的关系
集合概念、表示方法、分类以及集合之间的关系一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。
通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。
元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
非负整数集（或自然数集），记作N；；N内排除0的集.正整数集，记作N*或N+整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；⑴确定性：⑵互异性：⑶无序性：1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：⑴某班个子较高的同学⑵长寿的人⑷倒数等于它本身的数⑸某校2011级新生；⑹血压很高的人；⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉”)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
例如，我们A 表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A ，4∉A ，等等。
练：A={2，4，8，16}，则4A ，8 A ，32 A.巩固练习分析：练1．已知集合P 的元素为21,,3m m m --, 若2∈P 且-1∉P ，求实数m 的值。
练2下面有四个命题:①若-a ∉Ν,则a ∈Ν ②若a ∈Ν,b ∈Ν,则a +b 的最小值是2③集合N 中最小元素是1 ④ x 2+4=4x 的解集可表示为{2,2}其中正确命题的个数是( )3求集合{2a ,a 2+a }中元素应满足的条件?4若t 1t 1+-∈{t},求t 的值.⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{}”括起来表示2．用列举法表示下列集合：(1) 小于5的正奇数组成的集合；(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。
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教案背景：在小学和初中，数学课中使用的语言主要是自然语言，教学中经常要 把数学中的符号语言翻译为自然语言让学生理解，但自然语言有一定的歧义性，有 时也不够确切。
高中数学中使用集合语言，就能简洁准确地表达数学内容，发展学 生运用数学语言进行交流的能力。
教材分析：集合的初步知识是学生学习，掌握和使用数学语言的基础，是高中数 学学习的出发点。
集合语言也是现代数学的基本语言，通过学习，使用集合语言，有 利于学生简洁，准确的表达数学内容。
本章的主要内容是集合的概念，表示方法和集合之间的关系与运算。
本节首先通过实例，引入集合与集合元素的概念，然后学习集合的表示方法。
教学方法：学生通过阅读教材，自主学习，在教师的指导下思考，交流，讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标。
教学课题：集合及集合的表示方法。
集合及集合的表示方法
一． 学习目标
1．通过实例，了解集合的概念，会判断元素与集合的关系。
2．了解并记住集合中元素的性质，熟记常用的数集符号。
3．掌握集合的两种表示方法，能够运用集合的两种表示方法表示一些集合。
二． 重点难点：
重点：集合概念的形成，集合的表示方法。
难点：理解集合元素的确定性与互异性，运用集合的特征性质法正确的描述集合。
三．预习检测：
1. 集合的概念是什么？
2.元素与集合之间的关系有几种？如何判断？
3.集合中元素的性质有哪些？
4.常用的数集有哪些？写出各自的记号。
5.集合的两种表示方法是什么？表示集合时需要注意什么问题？
6.下列各项中，不能组成集合的是（ ）
A.所有正三角形
B.《数学必修1》中所有的习题
C.所有数学难题
D.所有无理数
7. 集合A 中只含有元素a ，则下列各式正确的是（ ）
A.0A ∈
B.a A ∉
C.a A ∈
D.a=A
8. 已知集合}31|{≤≤-∈=x N x A ，则集合A 还可以表示为（ ）
A. }31|{≤≤-=x x A
B.{-1，0，1}
C.{0，1}
D.{1，2}
四．典例分析
题型一：集合的判定
例1. 判断下列每组对象能否构成一个集合？
（1） 大于3小于11的偶数；
（2） 我国的小河流；
（3） 比较著名的科学家；
（4） 3近似值的全体
（5） 某班数学成绩好的同学
（6） 1，2，3，4，4，5
题型二 列举法与描述法的灵活应用
例2．用恰当地方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集。
（1） 比5大3的数
（2） 方程0652
=+-x x 的解的集合
（3） 二次函数102-=x y 图像上所有的点构成的集合
（4） 不等式23>-x 的解的集合
变式训练：用恰当地方法表示下列集合：
（1）不大于10的非负偶数集
（2）由所有小于10的既是奇数又是质数的自然数组成的集合
（3）被3除余1的正整数集合
（4）由大于10且小于20的所有正整数组成的集合
（5）由所有周长等于10cm 的三角形组成的集合
题型三 集合中元素的特征及应用
例3.已知集合A 是由三个元素0，1，x 构成的，且∈2x A ，求实数x 的值。
变式训练：
1.下列说法正确的是（ ）
A.某班中年龄较小的同学构成一个集合
B.空集∅中含有元素0
C.参加奥运会的所有中国运动员构成一个集合
D.1，0.5，23，2
1构成的集合含有4个元素
题型四 元素与集合的关系
例4.已知集合}033|{>-=x x A ，则有（ ）
A.3A ∈
B. 2A ∉
C. 4A ∈
D. 0A ∉
变式训练：1.}1,12,3{32++-∈-a a a ，求实数a 的值。
2.设A 表示集合}3,2,32{2-+a a ，B 表示集合|}3|,2{+a ，已知,5A ∈且B ∉5,求a .
五．小结：
六．当堂检测
1.下列说法中，正确的个数是（ ）
①地球周围的行星能确定一个集合
②实数中不是有理数的所有数能确定一个集合
③{1，2，3}与{1，3，2}是不同的集合
A.0
B.1
C.2
D.3
2.设}{a A =，则下列各式正确的是（ ）
A. 0A ∈
B.A a ∉
C. A a ∈
D. A a =
3.已知A a a A a ∈-∈2,2,若集合A 不含其它元素且含2个元素，则下列说法中正确的是（ ）
A.a 取全体实数
B. a 取除去零以外的所有实数
C. a 取除去3以外的所有实数
D. a 取除去0和3以外的所有实数
4.下列集合为∅的是（ ）
A.{0}
B.}01|{2=+x x
C. }01|{2=-x x
D. }0|{<x x
课后巩固
1.用列举法表示下列集合},,3|),{(N y N x x y y x A ∈∈-==,
},,3|{N y N x x y x B ∈∈-==
2.设}12,52,2{2x x x A +-=，已知-3A ∈，求x.
3.集合},38|{Z x x y Z y M ∈+=
∈= ,用列举法表示=M ______________. 4.以实数2a ，a -2，4为元素组成一个集合A,A 中含有两个元素，a 的值为
________.
5.已知集合A 是方程0122
=++x ax 的解集
（1）若A=∅,求a 的取值范围；
（2）若A 中只有一个元素，求a 的值。