01§1.1集合的含义及其表示——教案(2课时)

第一课时集合－集合的概念教学目的：（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法（2）使学生初步了解“属于”关系的意义（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义教学重点：集合的基本概念及表示方法教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合授课类型：新授课课时安排：1课时罗华的手稿1831年1月伽罗华在教具：多媒体个结论，他写成论文提交给法国科、实物投影仪内容分析：1．集合是中学数已证明的一个结果可以表明伽罗华学的一个重要的基本概念学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初议科学院否定它1832年5月30日中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解忙写成后，委托他的朋友薛伐里叶集等；在几何中用到的有点集习数学就离不开对造福人类年5月31日离开了逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识，他死后14年，法国数学家刘维问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是于刘维尔主编的《数学杂志》上本章学习的基础把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明法、描述法，还给出了画图表示集合的例子这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集”这句话，只是对集合概念的描述性说明教学过程：一、复习引入：1．简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；2．教材中的章头引言；3．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）（见附录）；4．“物以类聚”，“人以群分”；5．教材中例子（P4）二、讲解新课：阅读教材第一部分，问题如下：（1）有那些概念？是如何定义的？（2）有那些符号？是如何表示的？（3）集合中元素的特性是什么？（一）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素（3）元素对于集合的隶属关系（4）集合中元素的特性确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可在时称属于，即a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写a 不在时称，不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作A 互异性：集合中的元素没有重复无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）2、集合的表示方法：（1）列举法：在大括号内将集合中的元素一个个列举出来，元素之间用逗号隔开，具体又分以下三种情况：①元素个数少且有限时，全部列举；如{1，2，3}②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，列举几个元素，取决于能否普遍看出其规律，称中间省略列举。

如“所有从1到10000的自然数全体”可以表示为{1，2，3，……，10000}；③三是当元素个数无限但有规律时，也可以用类似的省略号列举，如：自然数构成的集合，可以表示为{0，1，2，3，4，……}，称端省略列举。

⑵描述法它又可细分为文字描述及属性描述法两类：前者是在大括号内用文字写出集合的属性，由于括号本身含有了“所有”、“全部”的意义，故类似的量词要去掉，如：全体自然数构成的集合写成{自然数}而不写成{全体自然数}：特征描述法是集合中最广泛、最抽象的一种表示方法，其格式一般为{元素的一般形式|元素的特征}，如：{(x,y)|y=x 2,x ∈R}={抛物线y=x 2上的点}，而{y|y=x 2,x ∈R}表示函y=x 2的y 的取值范围；方程x 2-1=0的解集为{x|x 2-1=0}={-1,1},不是{x 2-1=0}（它仅仅是用列举法表示的一个集合，这个集合中只有一个元素，就是方程x 2-1=0,不是它解的集合。

（3）图示法一是一维数轴表示，如初中阶段所学的不等式解集表示方法，其原理是数轴的定义与数轴上的点与实数一一对应；二是直角坐标表示，如{（x,y ）|y=x 2 };三是Venn 图，即画个圆圈表示集合（有的书上称文氏兔、文斯图）；（4）符号表示法分为简记符号法及区间表示法：常用数集及记法非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {} ,3,2,1*=N整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q实数集：全体实数的集合记作R{}数数轴上所有点所对应的=R不含任何元素的集合称空集，符号为∅注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *3，集合的分类：按元素的个数分作⎩⎨⎧无限个）无限集（元素的个数有限个，含有空集）有限集（元素的个数有三、练习题：1、下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数 （不确定）（2）好心的人 （不确定）（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）2、设a,b 是非零实数，那么b ba a+可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__3、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ A ） （A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素4、设集合G 中的元素是所有形如a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）的数，求证：(1) 当x ∈N 时, x ∈G;(2) 若x ∈G ，y ∈G ，则x ＋y ∈G ，而x 1不一定属于集合G 证明(1)：在a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）中，令a=x ∈N,b=0,则x= x ＋0*2= a ＋b 2∈G,即x ∈G证明(2)：∵x ∈G ，y ∈G ，∴x= a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）,y= c ＋d 2（c ∈Z, d ∈Z ）∴x+y=( a ＋b 2)+( c ＋d 2)=(a+c)+(b+d)2∵a ∈Z, b ∈Z,c ∈Z, d ∈Z∴(a+c) ∈Z, (b+d) ∈Z∴x+y =(a+c)+(b+d)2 ∈G ，又∵211b a x +=＝2222222b a bb a a --+- 且22222,2b a b b a a ---不一定都是整数， ∴211b a x +=＝2222222b a bb a a --+-不一定属于集合G四、小结：本节课学习了以下内容：1．集合的有关概念：确定性，互异性，无序性2．集合的表示⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧符号表示法图示法描述法列举法五、课后作业：教材P7____1~5第二课时集合表示法的转换教学目的：（1）进一步理解集合的有关概念，熟记常用数集的概念及记法（2）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义（3）会运用集合的两种常用表示方法 教学重点：集合的表示方法教学难点：运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合授课类型：新授课课时安排：1课时教学过程：一、复习引入：上节所学集合的有关概念1、集合的概念集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里， 或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）2、集合的表示方法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧及空集）符号表示法（常用数集图表示）坐标、图示法（含数轴、直角特征描述）描述法（含文字描述及列举）中间省略列举、端省略列举法（含全部列举、Venn二，新课2，同一集合不同的表示方法是相同的，具体解题时，这些表示方法中，将难于看出元素是什么的转化为能够看出的，这样有：图示法直观化符号表示法属性描述法文字描述法具体化列举法简单化熟悉化↓−−→−−−−←↑数学解题的关键也是这“四化”3，典型例题例1、已知集合A={a-2,2a 2+5a,10},且-3∈A,求a解：a-2=-3或2a 2+5a=-3 故a=-1或a=-3/2当a=-1时，2a 2+5a=a-2=-3与集合的互异性矛盾，舍去当a=-3/2时，满足条件 总之，a=-3/2[说明]由于解题过程中用到了不等价变形，所以要进行检验例2、已知集合{1,a,b}={a,a 2,ab},求实数a,b解[方法一]⎩⎨⎧=-⇔==++-⇔+=+0)1(.10)1)(1(1322b a ab a b b a a ab a b 因a ≠1故a=-1,b=0 [方法二]由已知⎩⎨⎧==b ab a 12或⎩⎨⎧==12ab b a ∵a ≠1 ∴a=-1,b=0 练习：{m,m+d,m+2d}={m,mq,mq 2},求q （答案：q=-1/2）例3，已知集合A={x|(a 2-1)x 2+(a+1)x+1=0,x ∈R }中仅有一个元素，求实数a 的值解：本题分两类进行⑴当a 2-1=0时,a=1或a=-1;当a=1时，A={x|2x+1=0}={-1/2},满足条件；当a=-1时,A=∅，舍去。

⑵当a 2-1≠0时,a ≠1且a ≠-1，△=0，a=5/3总之，a=5/3或1例4，已知S 是满足下列两个条件的实数构成的集合：①1∈S;②若a ∈S ，则a -11∈S. 请回答下列问题⑴若2∈S,求证S 必有另外两个数；⑵求证，若a ∈S ，则1-a1∈S ； ⑶S 中元素能否只有一个？说明理由；⑷求证：S 中至少有三个不同的元素解⑴2∈S ⇒211-=-1∈S ⇒)1(11--=1/2∈S ⇒2111-=2∈S,S 中必有另外两个数-1，1/2⑵证明：a ∈S ⇒ a -11∈S ⇒a --1111=a a 1-=1-a1∈S ⑶假设S 中元素只有一个，则a-11=a,a 2-a+1=0有实数解，与a 2-a+1=0没有实数解矛盾，故S 中的元不能只有一个⑷由⑵S 中，至少有a,a -11,1-a 1三个不同的元，只要证明三者两两不等。