欧拉方法和拉格朗日方法
拉格朗日方法和欧拉方法转换公式
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流体力学欧拉法和拉格朗日法
流体力学欧拉法和拉格朗日法流体力学是研究流体运动规律的学科，它是物理学、数学和工程学的交叉学科。
在流体力学中，欧拉法和拉格朗日法是两种常用的描述流体运动的方法。
欧拉法是以欧拉方程为基础的一种描述流体运动的方法。
欧拉方程是描述流体运动的基本方程，它是由质量守恒、动量守恒和能量守恒三个基本方程组成的。
欧拉法的基本思想是将流体看作是一个连续的介质，通过对流体的宏观性质进行描述，如流体的密度、速度、压力等。
欧拉法适用于研究流体的宏观性质，如流体的流量、压力、速度等。
拉格朗日法是以拉格朗日方程为基础的一种描述流体运动的方法。
拉格朗日方程是描述流体运动的另一种基本方程，它是由质点的运动方程和流体的连续性方程组成的。
拉格朗日法的基本思想是将流体看作是由无数个质点组成的，通过对每个质点的运动进行描述，如质点的位置、速度、加速度等。
拉格朗日法适用于研究流体的微观性质，如流体的粘性、湍流等。
欧拉法和拉格朗日法各有优缺点，应用范围也不同。
欧拉法适用于研究流体的宏观性质，如流量、压力、速度等，但对于流体的微观性质，如粘性、湍流等，欧拉法的描述能力较弱。
而拉格朗日法适用于研究流体的微观性质，如粘性、湍流等，但对于流体的宏观性质，如流量、压力、速度等，拉格朗日法的描述能力较弱。
在实际应用中，欧拉法和拉格朗日法常常结合使用，以充分发挥它们各自的优势。
例如，在研究飞机的气动力学问题时，可以使用欧拉法来研究飞机的气动力学特性，如升力、阻力等；而在研究飞机的流场问题时，可以使用拉格朗日法来研究流体的微观性质，如湍流、涡旋等。
欧拉法和拉格朗日法是描述流体运动的两种基本方法，它们各有优缺点，应用范围也不同。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的方法，以充分发挥它们的优势。
拉格朗日法和牛顿欧拉法特点
拉格朗日法和牛顿欧拉法特点
拉格朗日法和牛顿-欧拉法是两种常用的力学建模和分析方法。
它们都用于解决运动方程，并有各自的独特特点。
拉格朗日法是一种以能量为中心的分析方法。
它通过定义系统的拉格朗日函数来描述系统的动力学行为。
拉格朗日函数是系统动能和势能的差，这样只需考虑系统的总能量即可。
拉格朗日法中使用的变量是广义坐标，不需要引入惯性力。
拉格朗日法的特点是它能够描述复杂的运动系统，将系统自由度降低到最小，减少了问题的复杂性。
使用广义坐标描述运动使得计算更加简洁和直观。
拉格朗日法也具有较好的坐标变换性质，适用于非惯性系。
牛顿-欧拉法是一种以力和加速度为中心的分析方法。
它基于牛顿力学的基本原理，通过分析物体受到的外力和惯性力来推导运动方程。
牛顿-欧拉法中使用的变量是位置、速度和加速度等基本物理量。
牛顿-欧拉法的特点是它更适用于描述大尺度和低速度的运动系统。
由于牛顿-欧拉法依赖于速度和加速度，用于描述刚体和机械系统更为方便。
牛顿-欧拉法也更容易与实际问题的观测结果相结合，因为它更直接地涉及到已知的力和加速度。
描述流体质点运动的两种方法
1.2 欧拉法（Euler Method）
采用欧拉法时，某时刻空间点速度还可表示为：
u u(x, y, z,t)
（4-6）
由于空间坐标x，y，z是时间t的函数，则加速度可表示为：
a du u u dx u dy u dz dt t x dt y dt z dt
描述流体质点运动的两种方法
1.1 拉格朗日法（Lagrange Method）
当研究该流体质点的流速u及加速度a时，可直接将式（4-1）对时间求一阶 和二阶偏导数。在求导过程中，a，b，c均视为常数。
ux
x(a, b, c, t ) t
uy
y(a,b,c,t)
t
uz
z (a, b, c, t ) t
欧拉法主要包括两个内容：① 确定在空间某一固定点上流体的运动参数随 时间变化的规律；② 确定在某一瞬间各空间点上流体的运动参数的分布规律。
描述流体质点运动的两种方法
1.2 欧拉法（Euler Method）
对于任一个流体质点来说，其位置变量x、y、z都是时间t的函数，即
x x(t) y y(t) z z(t)
例如，有一水箱的放水管在放水，其中有两个水流质 点A与B。假定经过微小时段dt后，它们分别移至A'和B'， 如图所示。由于作用水头H在放水过程中逐渐降低，则
H
管内各固定的空间点上的流动都将随时间而变化，从而 形成时变加速度。但是，由于A与A'两点所处管段直径不
变，因此，这两点在同一时刻流速相同，理论上不存在 迁移加速度；而B与B'两点位于渐变段，管径逐渐变小， 流速逐渐加大，因此，B'点流速大于B点流速，故这两点 之间不仅存在时变加速度，也存在迁移加速度。
描述流体运动的两种方法是
描述流体运动的两种方法是
描述流体运动的两种方法是欧拉法和拉格朗日法。
欧拉法是一种以固定坐标系为基础的描述流体运动的方法。
它将流体视为一个连续的介质，通过考虑流体中每个点的速度和压力来描述流体的运动。
欧拉法关注的是流体中不同位置的性质和特征的变化，如速度、压力和密度等。
通过欧拉法，可以得到流体运动的偏微分方程，如连续性方程、动量方程和能量方程等。
拉格朗日法是一种以流体质点为基础的描述流体运动的方法。
它将流体视为一组流体质点，通过跟踪和描述每个质点的运动来描述整个流体的运动。
拉格朗日法关注的是流体中不同质点的性质和特征的变化，如位置、速度和加速度等。
通过拉格朗日法，可以得到流体质点的运动方程，如位置方程、速度方程和加速度方程等。
欧拉法和拉格朗日法是描述流体运动的两种重要方法，各有其优势和适用范围。
欧拉法适用于研究大规模流体运动和宏观性质的变化，如流体的整体运动特性和力学过程；而拉格朗日法适用于研究小尺度流体运动和微观性质的变化，如流体颗粒的运动规律和相互作用。
流体力学拉格朗日法和欧拉法转换
流体力学拉格朗日法和欧拉法转换
流体力学是研究流体运动的学科，其中拉格朗日法和欧拉法是解决流体力学问题的两种不同的数学方法。
拉格朗日法是以流体上每个质点的运动为基础，建立质点运动方程，并通过求解质点的运动来得到整个流体的运动状态。
相比较欧拉法，拉格朗日法更加直观，可以清晰地描述流体中每个质点的运动轨迹，但是在计算流体整体的运动状态时效率较低。
欧拉法是以流体某一固定区域的物理量变化为基础，通过掌握区域内的物理量随时间的变化规律，来推导出整个流体的运动状态。
欧拉法在计算流体的整体运动状态时效率更高，但是对于描述单个质点的运动轨迹不够直观。
在实际的流体力学问题中，拉格朗日法和欧拉法都有其适用的范围和优势。
因此，它们之间的转换也成为了重要的研究内容。
常见的转换方法包括拉格朗日到欧拉转换和欧拉到拉格朗日转换。
这些方法的应用可以使得我们在解决流体力学问题时更加灵活和高效。
- 1 -。
41欧拉方法和拉格朗日方法
推
地（相当于空间点）设立星罗棋布的气象
进 系
站。根据统一时间各气象站把同一时间观
测到的气象要素迅速报到规定的通讯中心，
----
流
然后发至世界各地，绘制成同一时刻的气
体
象图，据此做出天气预报。
力
学
4.1.2欧拉法
宇 航
❖ 某时刻位于一个空间点上的流体质点的密
推
度、压力、温度就是流场对应点、对应时
进 系
Vz
4.1.2随体导数
宇 航
r
其中: Dir Dt
( t
Vr
r
V
r
Vz
z
r )ir
V r
r i
推 进 系
r Di Dt
( t
Vr
r V
r
Vz
r z )i
V r
r ir
----
流
所以: ar
DVr Dt
Dt t0
t
L M’
M
4.1.2随体导数
宇 航 推 进
这里用 D 表示这种导数不同于牛顿定律 Dt
对速度的简单导数
L
----
系
速度的变化有两方面的原因:
M’
一方面的原因, 质点由M点运动至M '点时,
流 体
时间过去了t,由于场的时间非定常性引
M
力
起速度的变化
学
另一方面, 质点由M点运动至M '点时, 位置 r
Vy
Vz y
Vz
Vz z
4.1.2随体导数
宇
在柱坐标情况下,由于切向单位矢量和法向单位矢量的
航 推
欧拉方法和拉格朗日方法
欧拉方法和拉格朗日方法欧拉方法是一种简单的近似方法，用于求解常微分方程的初值问题。
它基于一个重要的数值近似原理，即在一个小区间上，如果函数的导数变化不太大，那么可以将函数的变化等同于导数的变化。
具体来说，欧拉方法将原始的微分方程转化为离散的差分方程，并根据初始条件逐步逼近问题的解。
对于一个一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，欧拉方法将自变量x和因变量y分成若干个小区间，每个小区间的长度为h。
利用微分方程的性质，我们可以将函数在每个小区间上进行线性近似。
具体来说，我们从初始点(x0, y0)出发，根据微分方程的定义，计算出斜率k1=f(x0, y0)，然后根据该斜率近似得到在下个小区间上的函数值y1=y0 + k1 * h。
以此类推，我们可以得到在每个小区间上的近似函数值。
欧拉方法的一个明显局限是误差较大，特别是在相对大的步长h下。
这是因为欧拉方法只考虑了导数在小区间上的线性变化，忽略了更高阶的项，导致近似解与真实解的误差随着步长的增加而累积。
拉格朗日方法是一种改进的近似方法，用于求解微分方程的数值解。
它基于拉格朗日插值多项式的思想，通过将微分方程中的函数y(x)近似为一个多项式函数来逼近实际解。
具体而言，拉格朗日方法通过利用初始点(x0,y0)的函数值和导数值，在每个小区间上构造一个插值多项式L(x)，该多项式是一个关于x的n次多项式，其中n是方程的阶数。
在拉格朗日方法中，我们首先确定每个小区间的节点，例如选取三个节点x0,x1,x2，并计算出这些节点上的函数值y0,y1,y2、然后我们利用这些节点构造一个三次拉格朗日插值多项式L(x)，具体形式为：L(x)=L0(x)*y0+L1(x)*y1+L2(x)*y2，其中L0(x),L1(x),L2(x)是三个插值基函数。
通过这个多项式L(x)，我们可以逐步计算出每个小区间上的函数值，并不断迭代得到近似解。
与欧拉方法相比，拉格朗日方法考虑了更高阶的项，在相对大的步长下，其近似解与真实解的误差更小。
41欧拉方法和拉格朗日方法
41欧拉方法和拉格朗日方法欧拉方法和拉格朗日方法是微积分中常用的数值计算方法。
它们都是用于近似计算函数在一定范围内的积分值的方法。
下面分别介绍这两种方法的原理和应用。
1.欧拉方法：欧拉方法是由瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）提出的一种数值解微分方程的方法。
它基于泰勒级数展开，通过对函数在特定点的近似计算来逼近函数的积分值。
欧拉方法的基本思想是将一个区间等分成若干小区间，然后在每个小区间上用线性函数来逼近原函数。
这样，在每个小区间上，我们可以根据欧拉公式得到该区间上的积分值。
最后将所有小区间上的积分值相加，即可得到整个区间上的积分值。
欧拉方法的步骤如下：1）将积分区间[a,b]等分成n个小区间，其中每个小区间的长度为h=(b-a)/n。
2）设定一个起始点x0=a，并计算对应的函数值y0=f(x0)。
3）对于每个小区间，根据欧拉公式，通过线性逼近来计算该区间上的积分值，即y(i+1)=y(i)+h*f(x(i),y(i))。
4）重复第3步，直到x(n)=b，即计算完成。
欧拉方法的优点是简单易于实现，但由于其是线性逼近，所以逼近精度较低，当小区间数过多时，容易产生误差累积。
2.拉格朗日方法：拉格朗日方法是以法国数学家拉格朗日命名的一种数值积分方法。
它基于基本积分公式来进行近似计算，通过构建拉格朗日多项式来逼近原函数。
拉格朗日方法的基本思想是在每个小区间上构建一个拉格朗日多项式，然后通过对多项式进行积分来逼近原函数的积分值。
因为拉格朗日多项式是对原函数的拟合函数，所以它的积分值可以作为原函数积分值的近似。
拉格朗日方法的步骤如下：1）将积分区间[a,b]等分成n个小区间，其中每个小区间的长度为h=(b-a)/n。
2）对于每个小区间，构建一个插值多项式，即通过给定的n+1个点的函数值来确定一个n次多项式。
3）对每个小区间的插值多项式进行积分，即可得到该小区间上的积分值。
4）将所有小区间的积分值相加，即可得到整个区间上的积分值。
流体力学的基本方程
流体速度v、压力p、密度ρ和温度T等的对应表达式为：
流动空间中的流动诸参
因此流动参数构成了场（矢量与标量），就可使用场论这
一有力的数学工具。
欧拉法质点加速度表达式为：
在直角坐标系中：
*
加速度矢量式：
*
用欧拉法描述流体的运动时，加速度由两部分组成：
拉格朗日法和欧拉法的比较
*
欧拉法中a=dv/dt为一阶导数，相应的运动方程是一阶偏微分方程；拉格朗日法中a=∂2r/ ∂ t2为二阶导数，相应的运动方程是二阶偏微分方程。 [例2-1]见书P12-13
欧拉法得到流场，拉格朗日法得不到流场；
*
第二节 流体运动的基本概念
PART ONE
一.定常流动和非定常流动
*
流体运动过程中，若各空间点上对应的物理量不随时间而变化，则称此流动为定常流动，反之为非定常流动。
在定常流动中，流场内物理量不随时间而变化，仅是空间点的函数。
二.均匀流动和非均匀流动
*
流体在运动过程中，若所有物理量皆不依赖于空间坐标，只是时间t的函数，则称此流动为均匀流动，反之为非均匀流动。
三.一维、二维、三维流动
积分以上微分方程，消去时间t，即得迹线方程。
M2
M1
M3
M4
V1
V2
V3
V4
（二）流线 流线是某固定时刻流场中的瞬时曲线，是流场的几何表示，是在同一瞬时形成的曲线，曲线上每一点的切线都与速度矢量相重合。与欧拉法相对应。
给出流场V(x,y,z,t)后，对x,y,z积分上式，即可得到流线方程。
t = 0 时过 M(-1,-1)点的流线：
举 例
t = 0 时过 M(-1,-1)： C1 = C2 = 0
2.3欧拉方法和拉格朗日方法
L M’
如图M 点的加速度就是此时过M 点 的流体质点的加速度.
M
4.1.2随体导数
设此质点在场内运动,其 运动轨迹为L,在t时刻位于M点, 速度为V M , t , 过了t后, 该质 点运动到M '点, 速度为 V M ', t t , 根据定义, 加速 度的表达式为 DV V (M ', t t ) V (M , t ) lim Dt t 0 t
4.1.2欧拉法
某时刻位于一个空间点上的流体质点的密度、压 力、温度就是流场对应点、对应时刻的密度场、 压强场、温度场上的对应值。 在流场中，一点上流体质点的性质与该点的流场 性质是相同的。
4.1.2随体导数
通过流场中的加速度的定义说明什么是随体导数.
定义流速场V V r , t 中的加速度:
i
ir
r
DVr VrV DV V2 DVz 所以 : a ir i i ir iz Dt r Dt r Dt
DV VrV DVz DVr V2 ( )ir ( )i iz Dt r Dt r Dt
欧拉法中的变元是空间坐标和时间变量
速度
v v (r , t )
在直角坐标系中: Vx Vx ( x, y, z, t )
Vy Vy ( x, y, z, t )
Vz Vz ( x, y, z, t ) 压强 p p( x, y, z, t )
密度 ( x, y, z, t ) 温度 T T ( x, y, z, t )
4.1.2随体导数
Dir V 其中 : ( Vr V Vz )ir i Dt t r r z r
1.2欧拉和拉格朗日描述
§1.2 描述流体运动的方法
二、欧拉方法和随体导数
1、欧拉方法
•着眼于流场——流动空间。
描述任意时刻流动空间中各物理量的分布。
•将物理量表示为空间位置和时间的函数。
场点位置坐标称为欧拉变数。
e.g.，速度场：直角坐标系下：•定常流动&非定常流动
•其他物理量场：•两种方法比较：前者便于追踪，后者便于数学处理（场论）
(,)
V V r t =
(,,,)V V x y z t =
(,)(,)(,)a a r t r t p p r t ρρ===
，，等
例1.2 圆桶内流体绕轴线以等角速旋转，
(1)以欧拉方法表述流体运动的速度和加速度；(2)以拉格朗日方法表述流体质点的运动方程、速度和加速度；
解：选取柱坐标系。
1）V r r e θωω=⨯= ，2a r ω=-
2）运动方程：000
, , r r t z z θθω==+=其中()000, , r z θ为质点初始坐标。
非定长流动轨迹
4、其它相关概念
1）脉线（条纹线）：不同时刻经过同一给定场点的流体质点的
连线。
2）流面和流管：在流场中取一段曲线（或一条闭合曲线）, 经过其上各点的流线组成流面（或
流管）。
* 瞬时性
* 流线不能与流面相交或穿出、
穿入流管
例如：水管
3）时间线。
欧拉方法和拉格朗日方法的联系
欧拉方法和拉格朗日方法的联系
欧拉方法和拉格朗日方法都是数学分析中常用的数值求解方法。
它们可以用来近似求解某些函数的值，特别是在解决微分方程等实际问题时非常有用。
欧拉方法是一种简单的数值求解方法，它基于欧拉公式，按照一定步长对函数进行逐步逼近。
欧拉方法的优点是易于实现和计算，但是由于其一阶精度的限制，对于复杂的函数或高阶微分方程，其精度可能会比较低。
与欧拉方法不同，拉格朗日方法是一种更高阶的数值求解方法。
它基于拉格朗日插值多项式，通过构造多项式逼近函数，从而获得更精确的解。
与欧拉方法相比，拉格朗日方法的精度更高，但是其计算量也更大。
尽管欧拉方法和拉格朗日方法有不同的特点和应用场景，但是它们之间也有联系。
事实上，欧拉方法可以看作是拉格朗日方法的一种特例，当插值多项式的次数为1时，就变成了欧拉方法。
因此，欧拉方法可以看作是拉格朗日方法的一种简化形式。
总之，欧拉方法和拉格朗日方法都是数值分析中重要的数值求解方法，它们互有优缺点，应根据具体问题进行选择。
同时，它们之间也有联系，了解它们的关系有助于更好地理解和应用这些方法。
- 1 -。
拉格朗日方法和欧拉方法
拉格朗日方法和欧拉方法
拉格朗日方法和欧拉方法均为数学中求解函数极值的方法，但两者有所不同。
具体来说：
1. 拉格朗日方法是一种使用拉格朗日乘数进行约束优化的方法。
它通常用于解决无条件约束的优化问题，即只有等式约束的情况。
拉格朗日方法将约束条件引入目标函数中，转换为一个无约束的优化问题。
然后通过求导等方法求出极值点。
这种方法常用于经济学中的最优化问题，如求解最大化利润或最小化成本等问题。
2. 欧拉方法则是一种数值计算中常用的求解微分方程的方法。
通常用于解决一些常微分方程，如一阶和二阶微分方程。
欧拉方法通过一些初值和步长，逐步计算出微分方程的解。
因此欧拉方法需要在每一步都计算出函数的导数，进而计算出下一步的函数值。
欧拉方法常用来模拟各种物理现象，比如计算力学中的运动轨迹和振动等现象。
总之，拉格朗日方法主要解决约束优化问题，欧拉方法主要用于数值计算中求解微分方程。
两者的应用领域有所不同。
拉格朗日-欧拉方法
拉格朗日-欧拉方法拉格朗日-欧拉方法是一种求解微分方程的数值方法。
它是基于拉格朗日插值和欧拉前进法的结合，能够更准确地逼近解析解。
在科学计算和工程领域中，拉格朗日-欧拉方法被广泛应用于求解各种实际问题。
拉格朗日插值是一种通过已知数据点构造一个多项式来逼近函数的方法。
该方法假设函数在每个数据点附近都可以用一个多项式来表示，并利用插值多项式的性质进行求解。
而欧拉前进法是一种基于微分方程的数值积分方法，通过迭代逼近微分方程的解。
将拉格朗日插值和欧拉前进法结合在一起，就得到了拉格朗日-欧拉方法。
拉格朗日-欧拉方法的基本思想是将求解的问题转化为插值多项式的求解问题。
首先，根据给定的初始条件，确定插值多项式的系数。
然后，利用欧拉前进法逐步迭代求解微分方程。
在每个时间步长上，利用插值多项式逼近当前的解，并根据微分方程的形式进行更新。
通过不断迭代，可以逐渐逼近微分方程的解。
拉格朗日-欧拉方法的优点在于能够更准确地逼近解析解。
由于采用了插值多项式的形式，可以在每个时间步长上更精确地逼近真实解。
同时，该方法的实现也相对简单，计算效率较高。
因此，在实际应用中，拉格朗日-欧拉方法被广泛用于求解各种微分方程，如物理模拟、流体力学、电路分析等领域。
然而，拉格朗日-欧拉方法也存在一些限制和注意事项。
首先，该方法对时间步长的选取较为敏感。
如果时间步长选取不当，可能会导致数值解的不稳定性或者精度下降。
因此，在应用该方法时，需要根据具体问题合理选择时间步长。
其次，由于采用了插值多项式的逼近形式，该方法在处理高阶微分方程时可能会引入一定的误差。
因此，在求解高阶微分方程时，需要注意误差的累积问题。
拉格朗日-欧拉方法是一种求解微分方程的常用数值方法。
通过将拉格朗日插值和欧拉前进法结合在一起，可以更准确地逼近解析解。
该方法在科学计算和工程领域有着广泛的应用，能够有效地求解各种实际问题。
然而，在应用该方法时，需要注意时间步长的选取和误差的累积问题，以确保数值解的稳定性和精度。
拉格朗日法与欧拉法
描述流体运动（连续介质变形）的两种方法
拉格朗日法是以研究单个流体质点运动过程作为基础，综合所有质点的运动，构成整个流体的运动。
以某一起始时刻每个质点的坐标位置（a、b、c），作为该质点的标志。
任何时刻任意质点在空间的位置(x、y、z)都可以看成是（a、b、c）和t
的函数
拉格朗日法基本特点: 追踪流体质点的运动
优点: 可直接运用固体力学中质点动力学进行分析
在涉及几何非线性问题的有限单元法中，通常都采用增量分析方法，它基本上可以采用两种不同的表达格式。
第一种格式中所有静力学和运动学变量总是参考于初始位形，即在整个分析过程中参考位形保持不变，这种格式称为完全的Lagrange格式。
另一种格式中所有静力学和运动学的变量参考于每一载荷或时间步长开始时的位形即在分析过程中参考位形是不断被更新的，这种格式称为更新的Lagrange格式。
欧拉法是以流体质点流经流场中各空间点的运动即以流场作为描述对象研究流动的方法。
——流场法
它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动液体质点的空间——流场为对象。
研究各时刻质点在流场中的变化规律。
将个别流体质点运动过程置之不理，而固守于流场各空间点。
通过观察在流动空间中的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
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几何非线性问题塑性变形——拉格朗日法。
边界层厚度计算方法详述
边界层厚度计算方法详述
1.拉格朗日方法：
拉格朗日方法是一种基于粒子运动的方法，其基本假设是跟踪粒子的运动轨迹，通过观察粒子运动状态的变化来计算边界层厚度。
具体步骤如下：
-使用流场模拟软件进行计算，获取流体在不同位置上的速度分布。
-设定一个壁面附近的初始点P，在该点上标记一粒子，并设定初始速度。
-模拟粒子在流体中的运动轨迹直到离开边界层或到达边界层厚度要求的位置。
-记录每个位置上粒子的速度和距离
-根据速度和距离的变化情况，推断出边界层厚度。
2.欧拉方法：
欧拉方法是一种基于流场的全局分析方法，通过分析流体的整体特性来计算边界层厚度。
具体步骤如下：
-建立流体的速度剖面模型。
常见的模型包括线性剖面模型、幂函数剖面模型和指数剖面模型等。
-使用流场模拟软件进行数值计算，得到固定位置上的速度分布。
-分析速度分布和壁面摩擦阻力等特性，进而计算边界层的厚度。
值得注意的是，在具体计算边界层厚度时
-不同流体属性的影响：边界层厚度与流体的粘性相关，较高的粘性
会导致边界层厚度增加。
-壁面状况的影响：粗糙的壁面会增加摩擦阻力，进而使边界层厚度
减小。
-局部流动特性的影响：如流动存在涡旋、偏转或分离现象，边界层
厚度的变化可能会出现非线性的特点。
总结起来，边界层厚度的计算方法主要包括拉格朗日方法和欧拉方法。
拉格朗日方法基于粒子运动的追踪来计算边界层厚度，而欧拉方法则是通
过整体流场分析来获取边界层厚度。
在具体计算中，还应考虑流体属性、
壁面状况和局部流动特性等因素的影响。
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Dt t0
t
t0 t
MM '0
MM '
第一项当t 0时M M '
r
r
r
lim V (M ',t t) V (M ',t) V (M ,t)
t 0
t
t
这一项表示场的非定常性引起速度的变化, 称为局部导数或当地导数.
r
r
r
r
r
DV lim V (M ',t t) V (M ',t) lim MM ' • lim V (M ',t) V (M ,t)
V r
r ir
所以: ar
DVr Dt
r ir
VrV r
r i
DV Dt
r i
V2 r
r ir
DVz Dt
r iz
( DVr Dt
V2 r
r )ir
( DV Dt
VrV r
r )i
DVz Dt
r iz
向心加速度 : ar
DVr Dt
V2 r
rr r xi yj zk
t
A x2 y2 z2 1 2t2
说明 D 0; 0; 0的物理意义
Dt t
D 0 表示流体质点在运动过程中密度不变.
Dt
0 表示该点密度不随时间变，各点的密度可以不同.
t
0
均质流体.在任何时侯，流场内的密度是均一 的，但并不意味着任何时侯密度保持不变，而 是整个流场密度同步变化.
r
r
r
DV lim V (M ',t t) V (M ,t)
Dt t0
t
L M’
M
按照时间和空间引起速度变化,把极限分为两部分
r
r
r
DV lim V (M ',t t) V (M ,t)LDt t0t Nhomakorabear
r
r
r
M’
lim V (M ',t t) V (M ',t) lim V (M ',t) V (M ,t)
流体力学 欧拉方法和拉格朗日方法
莱昂哈德·欧拉 约瑟夫·拉格朗日
拉格朗日方法， 微元
AB C
D
t 2 时刻
A D
BC
t 1 时刻
t0时的位置标识不同的质点。
rr rr (a,b,c,t)
(a,b, c,t)称为拉格朗日变数
x x(a,b, c,t)
rr rr (a,b,c,t)
y
y(a,b, c,t)
z z(a,b, c,t)
流体质点的速度
r V
rr (a,b, c,t)
t
x(a, b, c, t)
Vx
t
y(a, b, c, t)
Vy
t
Vz
z(a, b, c, t) t
流体质点的加速度
ar
Vr&
2rr
(a,b, c,t) t 2
总的加速度即为局部导数与迁移导数之和,称为随体导数.
或称为随流导数、物质导数（substantial derivative）、质点 导数（particle derivative），也称全导数。
rr
r
DV Dt
V t
V
V sr
其中sr是L上单位切矢量.
r
V sr
(sr
r )V
所以V
ir ir ( )，i i ( )
存在导数关系:
r
ir '( )
r ir
ir，ir
'( )
r i r
r ir
r i
r ir
r
r
加速度 : ar
DV Dt
D Dt
r (Vr ir
r V i
r Vziz )
r
r
r
DVr Dt
r ir
D
r V
Dt t
A
x2 y2 z2 t
t
rr r xti ytj ztk
A
x2 y2 z2
t
A
x2 y2 z2
rr r xti ytj ztk
2A
DVy Dt
Vy t
Vx
Vy x
Vy
Vy y
Vz
Vy z
DVz Dt
Vz t
Vx
Vz x
Vy
Vz y
Vz
Vz z
在柱坐标情况下,由于切向单位矢量和法向单位矢量的
方向是变化的,全导数的展开式比直角坐系下要复杂
单位矢量表示为转角的函数: rr rr
附加加速度 : a
DV Dt
VrV r
r i
r ir
r
对速度求导,分为局部导数和迁移导数之和的做法,
也适用于对其它量求导.
Dar
ar
r (V
)ar
Dt t
D
r V
()
Dt t
今后在不至引起混淆的时侯,用 d 表示全导数. dt
dar
ar
r (V
Dir Dt
Vr
DV Dt
r i
Di Dt
V
DVz Dt
r iz
Diz Dt
Vz
r 其中: Dir
Dt
( t
Vr
r
V
r
Vz
r z )ir
V r
r i
r Di Dt
( t
Vr
r
V
r
Vz
r z )i
Dt t0
t
t t0
MM '0
MM '
第二项当M M '时
r
r
r
lim MM ' • lim V (M ',t) V (M ,t) V V (M , t)
t t 0
MM 0
MM '
s
它代表场的不均匀性引起的速度变化,称为迁移导数或对流导数. r
其中 V 代表沿S方向移动单位长度引起的速度变化. s
r V sr
V
(sr
r )V
r (V
r )V
r DV
r V
rr (V )V
Dt t
r DV
r V
r (V
r )V
Dt t
随体加速度=当地加速度+迁移加速度
在直角坐标系中展开为:
DVx Dt
Vx t
Vx
Vx x
Vy
Vx y
Vz
Vx z
Dt t0
t
这里用 D 表示这种导数不同于牛顿定律 Dt
对速度的简单导数
速度的变化有两方面的原因:
一方面的原因, 质点由M点运动至M '点时, 时间过去了t,由于场的时间非定常性引 起速度的变化
另一方面, 质点由M点运动至M '点时, 位置 发生了变化,由于场的空间不均匀性引起 速度的变化
)ar
?
dar
ar
r V
( ar )
dt t
dt t
d
r V
()
?
d
r (V
)
dt t
dt t
r rrr
已知密度场 A x2 y2 z2 t, 速度场为V xti ytj ztk
求流体质点的密度变化率, 其中A为常数. 求质点的密度变化率.
ax
V&x
2x(a,b, c,t) t 2
ay
V&y
2 y(a,b,c,t) t 2
az
V&z
2z(a,b, c,t) t 2
空间点
位置坐标 空间点
速度向量
空间坐标 时间变量
速度 vr vr(rr,t)
在直角坐标系中:
Vx Vx (x, y, z,t) Vy Vy (x, y, z,t) Vz Vz (x, y, z,t)
t 0
t
t 0
t
M
场的非定常性
场的不均匀性
r
r
r
r
lim V (M ',t t) V (M ',t) lim MM ' • lim V (M ',t) V (M ,t)
t 0
t
t0 t
MM '0
MM '
r
r
r
r
r
DV lim V (M ',t t) V (M ',t) lim MM ' • lim V (M ',t) V (M ,t)
L
如图M点的加速度就是此时过M点
M’
的流体质点的加速度.
M
设此质点在场内运动,其 运动轨迹为L,在t时刻位于M点,
速度为V M ,t ,过了t后,该质
点运动到M '点, 速度为