整除的概念

§1.3整除的概念

注：

1. 在[]P x 中，加、减、乘封闭，但除法不封闭，整除是一种特殊关系．

2. 和中学中所学代数一样，作为形式表达式，也能用一个多项式去除另一个多项式，求得商和余式。

引例，设

32()3456f x x x x =+-+ 2()31g x x x =-+.

我们可以按下面的格式来做除法：

2323222313

456313

3931386133913317

x x x x x x x x x x x x x x -++-++-+-+-+-

于是求得商为3x+13，余式为3x-7.所得结果可以写成

3223456(313)(31)(317)x x x x x x x +-+=+-++-

这个求法实际上是具有一般性，下面就按这个想法来证明一元多项式环的一个基本性质。

一. 带余除法

对(),()[]f x g x P x ∀∈，()0g x ≠，一定存在(),()[]q x r x P x ∈，使

()()()()f x q x g x r x =+ *

成立，其中(())(())r x g x ∂<∂或()0r x =。且这样的()g x ，()r x 是唯一决定的。

(称q(x)、()r x 为 ()g x 除()f x 的商和余式)

证：1） 若()0f x = ，则令()()0q x r x ==.结论成立． 2） 若()0f x ≠，设(),()f x g x 的次数分别为,n m ，

对n 作(第二)数学归纳法．

当n

n m ≥的情形。假设当次数小于n 时，()q x ，()r x 的存在已证。

现在看次数为n 的情形。

设n m ≥，且假设对次数小于n 的()f x ，结论已成立．下证次数

n 的情形．

令,n m ax bx 分别是()f x ,()g x 的首项，n m ≥．则()1n m b ax g x --与()f x 首项相同，因而，多项式()1()()n-m f x f x b ax x -1=-g 的次数小于n 或为零多项式．

若()()f x ∂1=0，令()g x b ax =-1n-m ，()0r x =．即得证． 若()()f x >∂10，由归纳假设，存在11(),()q x r x ，使得

()()()()111f x q x g x r x =+

其中 ()()()1()f x

()()()()()111n m f x b ax q x g x r x --=++．

再证唯一性．若有

()()()()f x q x g x r x =+， ()()()()()0r x g x r x ∂<∂或＝． ()()()(),

f x q x

g x r x ''=+ ()()()()()0r x g x r x ''∂<∂或＝

则 ()()()()()()q x g x r x q x g x r x ''+=+

()()()()()()q x q x g x r x r x ''⇒－＝－ ()()()()()0,0q x q x g x r x r x ''≠≠≠若，由有－

()()()()()()()()()()()()()()()

max ,q x q x g x r x r x r r g x g x '''∴∂∂∂≤∂∂<∂<∂－＋＝－ 而 ()()()()()()()q x q x g x g x '∂∂≥∂－＋，矛盾． 所以，()()q x q x '=，从而()()r x r x '=．

二、整除

1．定义：（整除）

设(),()[]f x g x P x ∈，若()[]h x P x ∃∈，使

()()()f x g x h x =

则称()g x 整除()f x ，记作()|()g x f x

注意：

1) ()|()g x f x 时， 称()g x 为()f x 的因式， ()f x 为()g x 的倍式． 2) ()g x 不能整除()f x 时记作：()|()g x f x ．

3) ()0g x =时，()()()0()0,()[]f x g x h x h x f x P x ===∀∈ 2．定理１ （整除的判定）

(),()[],()0f x g x P x g x ∀∈≠()()|()()()0g x f x g x f x ⇔=除的余式r x

证明 如果r (x )=0,那么f (x )=q (x )g (x ),即g (x )|f (x ). 反过来，如果g(x )|f (x ),那么

()()()()()0f x q x g x q x g x ==+

即r (x )=0.证毕。

3．整除的性质

1) 对()[]f x P x ∀∈，有()|(),(f x f x f x ；（1)(=x f 0)(+x f

00)(0+=x f ）

对()[],,0f x P x a P a ∀∈∀∈≠有|()a f x ． ()

()(1x f a x f a =) 即，任一多项式整除它自身；零多项式能被任一多项式整除（或任一多项式整除零多项式)；零次多项式整除任一多项式．

2) ()|()()|()g x f x g x bf x 若，则a ，,a b 为任意常数，即当0a ≠时，()f x 与()af x 有完全相同的因式和倍式．

3) ()|()()|()g x f x f x g x 若，，则()()f x cg x c ≠＝，0． 证：()1()|()f x g x h x ⇒∃使得 ()1()()g x f x h x =； ()2()|()g x f x h x ⇒∃使得 ()2()()f x g x h x =

()()12()()f x h x h x f x ⇒=．

若()0f x =，则()0g x ＝，()()f x cg x c c ∀∈≠＝，P,0成立．

()()()()()()()()()()121212()0100

f x h x h x h x h x h x h x ≠⇒∂∂⇒∂∂若，则＝＋＝＝＝ ∴ ()()12,h x h x 皆为非零常数．故有()()f x c

g x c ≠＝，0成立

4) 若 f (x )|g (x),g (x )|h (x )，则 f (x )| h (x )(整除的传递性)。 5) 若()|()i f x g x ，i=1,2,r ， 则对()[],i u x P x i ∀∈=1,2,r ，有

()1122()|(()()()()())r r f x u x g x u x g x u x g x ++

问题：举例说明5）反之不真

5. 整除不变性：两多项式的整除关系不因系数域的扩大而改变． （在不同数域中用)(x g 除)(x f 的商和余数相同）