几种常见的概率分布
几种常见的概率分布律
的概率，其值为 ϕ4
=
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞4 ⎟⎠
=1 16
。
ϕ 3 (1 − ϕ ) 表示有三个显性基因和一个隐性基因组合出现的概率。其中
显形基因有三个，隐性基因一个，该项的系数表示这样的组合共有四种。
它们是RRYy，RRyY，RrYY和rRYY。这四种组合的概率均为
•
ϕ
3
(1
−
ϕ
)
=
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞3 ⎟⎠
上式正是二项式展开式的第x+1项，因此产生理论分布中“二项分布”这一名 称。故该式称为二项分布的概率函数。
• 二项展开式，
⎡⎣ϕ +(1−ϕ)⎤⎦n =Cn0ϕ0 (1−ϕ)n +Cn1ϕ1 (1−ϕ)n−1 +"+Cnxϕx (1−ϕ)n−x +"+Cnnϕn (1−ϕ)0 = p(0) + p(1) + p(2) +"+ p( x) +"+ p(n)
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞10 ⎟⎠
=
2−10
=
0.0009766
( ) p(1)
=
10! ⎛
1!(10 −1)!⎜⎝
1 2
⎞1 ⎟⎠
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞9 ⎟⎠
=
10
2−10
= 0.0097656
( ) p(2) =
10! ⎛ 1 ⎞2 ⎛ 1 ⎞8
2!(10 − 2)!⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
= 45
2−10
(1) 二项分布图形的形状取决于P 和 n 的大小； (2) 当P = 0.5时，无论 n 的大小， 均为对称分布； (3) 当P ≠ 0.5，n 较小时为偏态分 布，n 较大时逼近正态分布。
6个常见分布的分布律或密度函数
1.均匀分布（Uniform Distribution）: 这种分布的密度函数是一条平行于坐标轴的直线，表示所有取值的概率相同。
2.正态分布（Normal Distribution）: 这种分布又称高斯分布，是一种对称的分布，其概率密度函数是一个钟形曲线。
3.指数分布（Exponential Distribution）: 这种分布的密度函数是一条指数形的曲线，常用来描述随机事件的发生时间间隔。
4.卡方分布（Chi-square Distribution）: 这种分布常用于统计检验，其概率密度函数是一条单峰曲线。
5.t分布（t Distribution）: 这种分布常用于统计检验，其概率密度函数是一条单峰曲线，但比卡方分布的峰值低。
6.F分布（F Distribution）: 这种分布常用于统计检验，其概率密度函数是一条双峰曲线。
16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用
目录1. 均匀分布 (1)2. 正态分布（高斯分布） (2)3. 指数分布 (2)4. Beta分布（：分布） (2)5. Gamm 分布 (3)6. 倒Gamm分布 (4)7. 威布尔分布（Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布） (5)8. Pareto 分布 (6)9. Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7)210. 分布（卡方分布） (7)8 11. t分布................................................9 12. F分布 ...............................................10 13. 二项分布............................................10 14. 泊松分布（Poisson 分布）.............................11 15. 对数正态分布........................................1. 均匀分布均匀分布X ~U（a,b）是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。
2. 正态分布（高斯分布）当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量 很可能服从正态分布，记作X~N （」f 2）。
正态分布为方差已知的正态分布N （*2）的参数」的共轭先验分布。
1 空f （x ）： —— e 2-J2 兀 o'E(X)， Var(X) _ c 23. 指数分布指数分布X ~Exp （ ）是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。
其 中，.0为尺度参数。
指数分布的无记忆性：Plx s t|X = P{X t}。
f （X ）二 y oiE(X) 一4. Beta 分布（一：分布）f （X ）二 E(X)Var(X)=(b-a)2 12Var(X)二1~2Beta 分布记为X 〜Be(a,b)，其中Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数 可凸也可凹。
概率论常见的几种分布
概率论常见的几种分布常见的几种概率分布概率论是研究随机现象的数学理论，其中涉及到许多常见的概率分布。
概率分布描述了随机变量在不同取值上的概率分布情况。
本文将介绍几种常见的概率分布，包括均匀分布、正态分布、泊松分布和指数分布。
一、均匀分布均匀分布是最简单的概率分布之一，也被称为矩形分布。
在均匀分布中，随机变量在一定的取值范围内的概率是相等的。
例如，抛一枚公正的硬币，正面朝上和反面朝上的概率都是1/2。
均匀分布通常用于模拟随机数发生器的输出，或者在一定范围内随机选择一个数值。
二、正态分布正态分布是最重要的概率分布之一，也被称为高斯分布。
在正态分布中，随机变量在取值范围内的概率密度函数呈钟形曲线状。
正态分布具有许多重要的性质，例如均值、标准差等。
正态分布在自然界和社会科学中广泛应用，例如身高、体重、考试成绩等都符合正态分布。
三、泊松分布泊松分布描述了单位时间或空间内事件发生的次数的概率分布情况。
泊松分布的特点是，事件之间相互独立且平均发生率恒定。
泊松分布通常用于描述稀有事件的发生情况，例如单位时间内的电话呼叫次数、单位面积内的交通事故次数等。
四、指数分布指数分布描述了连续随机变量首次达到某一值的时间间隔的概率分布情况。
指数分布的特点是，事件之间相互独立且事件发生的概率与时间间隔成反比。
指数分布通常用于模拟随机事件的发生时间间隔，例如单位时间内的电话呼叫间隔、单位距离内的交通事故间隔等。
除了上述几种常见的概率分布外，还有许多其他概率分布，例如二项分布、伽玛分布、贝塔分布等。
每种概率分布都有其特定的应用场景和数学性质，对于不同的问题可以选择适合的概率分布进行建模和分析。
总结起来，概率论中常见的几种分布包括均匀分布、正态分布、泊松分布和指数分布。
这些分布在各自的领域有着广泛的应用，可以帮助我们理解和解决许多随机现象和问题。
对于研究概率论和统计学的人来说，熟悉这些常见的概率分布是非常重要的。
概率论中几种常用重要分布
概率论中几种常用的重要的分布摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。
其在实际中的应用。
关键词1 一维随机变量分布随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常用分布，即( 0 －1) 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布． 下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论．随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。
它是一种“定性”类型的概念。
为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值（实值或向量值）的变数。
称这种变数为随机变数。
本章内将讨论取实值的这种变数—— 一维随机变数。
定义1.1 设X 为一个随机变数，令 ()([(,)])([]),()F x P X x P Xx x=∈-∞=-∞+∞.这样规定的函数()F x 的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。
它是一个普通的函数。
成这个函数为随机函数X 的分布函数。
有的随机函数X 可能取的值只有有限多个或可数多个。
更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值12,,...,a a 使得 12([{,,...}])1P X a a ∈=称这样的随机变数为离散型随机变数。
称它的分布为离散型分布。
【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。
（1）X 可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数a ,使([])1P X a ==。
称这种随机变数的分布为退化分布。
一个退化分布可以用一个常数a 来确定。
（2）X 可能取的值只有两个。
确切地说，存在着两个常数a ，b ，使([{,}])1P X a b ∈=.称这种随机变数的分布为两点分布。
如果([])P X b p ==，那么，([])1P X a p ===-。
因此，一个两点分布可以用两个不同的常数,a b 及一个在区间（0,1）内的值p 来确定。
特殊地，当,a b 依次为0,1时，称这两点分布为零-壹分布。
概率论八大分布
概率论八大分布概率论是统计学的一个重要分支，它探究随机变量及其关联性，研究不同的现象的结果和概率分布之间的关系，提供量化的度量工具以确保实际应用的准确性。
概率论八大分布是概率论中应用最为广泛的几个分布，它们提供了研究各种随机现象的基础，影响了大量的现实问题的解决方案，其实质是根据大量试验获得的数据来拟合出不同类型的概率分布。
首先，概率论八大分布中首先涉及的是正态分布。
是一种最常见的概率分布，也称作高斯分布。
正态分布的图形可以表示为一个双峰的曲线，其特点是只有两个参数：均值μ和标准差σ，它可以用来描述平均值的概率密度分布情况，即随机变量的取值可能会靠近均值μ。
其次，另一个重要的概率分布是均匀分布。
均匀分布是一种两个参数（下限a和上限b）的概率分布，这两个参数分别代表了随机变量可能取值的范围，即该变量只能在a和b之间取值，其中每一个结果都有相同的概率。
第三，指数分布是另一种广泛使用的分布，它具有唯一的参数λ，该参数代表了随机变量的变化率。
指数分布的特性是，它可以用来衡量发生某种事件的时间间隔，以及研究受试者遭受某种不利影响的持续时间。
接下来，椭圆分布（又称偏态分布）是一种广泛应用的概率分布，它可以用来描述数据集中对称性差异。
椭圆分布有三个参数：均值μ、标准差σ和偏度γ，其中偏度γ决定了数据集中偏斜程度。
接着，卡方分布是一种常常用来拟合实验数据的分布，它用一个参数k来描述数据的分布形状。
卡方分布是一种双峰分布，它的参数k决定了其双峰形状陡峭程度。
此外，t-分布是一种密度比较大的分布，它是一种卡方分布的变种，但具有更大的连续性。
t-分布有两个参数，即自由度ν和不同的中心值μ，它主要用于检验两个样本之间的差异和单样本的参数估计。
接着，F-分布是t-分布的多变量拓展，如果两个样本是来自不同的总体，那么可以使用F-分布来检验这两个样本的差异。
F-分布的参数为两个自由度，即自由度1和自由度2，它最常用于在两个样本之间检验方差的差异。
几种常见的概率分布及应用
几种常见的概率分布及应用常见的概率分布有很多种，在统计学和概率论中，这些分布被广泛应用于各种领域，包括自然科学、工程、经济和社会科学等。
下面是几种常见的概率分布及其应用：1. 均匀分布（Uniform Distribution）：均匀分布是最简单的概率分布之一，它的概率密度函数在一个给定的区间内是常数。
这种分布广泛应用于统计推断、模拟和随机数生成等领域。
2. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布适用于具有两个可能结果的离散试验，如抛硬币、打靶等。
在二项分布中，每个试验都是独立的，并且具有相同的概率。
二项分布在实验研究和贝叶斯统计等领域有广泛的应用。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）：泊松分布适用于描述单位时间或空间内稀有事件发生次数的概率分布。
它在复杂事件模型、风险评估和可靠性分析等领域有广泛的应用。
4. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是最常见的连续概率分布之一，也被称为高斯分布。
它具有对称的钟形曲线，广泛应用于自然科学、社会科学和工程等领域。
正态分布在统计推断、回归分析、贝叶斯统计等方面发挥着重要作用。
5. 指数分布（Exponential Distribution）：指数分布适用于描述事件发生之间的时间间隔的概率分布。
它在可靠性工程、队列论、生存分析等领域有广泛的应用。
6. γ分布（Gamma Distribution）：γ分布是一类连续概率分布，用于描述正数随机变量的分布，如等待时间、寿命和利润等。
它在贝叶斯统计、过程控制和金融分析等领域被广泛使用。
7. t分布（T-Distribution）：t分布是一种用于小样本情况下的概率分布，它类似于正态分布，但考虑了样本容量较小的情况。
t分布在统计推断和假设检验等方面有广泛的应用。
8. χ²分布（Chi-Square Distribution）：χ²分布是一种用于度量变量之间的独立性和相关性的概率分布。
d 几种常见的概率分布律
三、服从二项分布的随机变量的特征数
平均数： μ=nφ
方差： σ2=nφ(1-φ)
随着样本含量的增加，偏斜度和峭度趋 向于0，二项分布逐渐接近于正态分布。
四、二项分布应用实例
例：3.2 例：3.3 例：3.4
【例3.4】
用 棕 色 正 常 毛 (bbRR) 的 家 兔 和 黑 色 短 毛 (BBrr)兔杂交，杂种F1为黑色正常毛长的 家兔，F1雌、雄兔近亲交配，问最少需要 多少只F2代的家兔，才能以99%的概率至 少得到一只棕色短毛兔？
二、二项分布概率函数表达式：
p( y) Cny y (1)ny , y 0,1,2,, n
n=试验次数（或样本含量） y=在n次试验中事件A出现的次数 φ=事件A发生的概率（每次试验都是恒定的） 1-φ=事件A的对立事件发生的概率 p(y)=Y的概率函数=P(Y=y)
例：3.1
从雌雄各半的100只动物中做一抽样试验。第一次从这100只动 物中随机抽取一只，记下性别后放回，再做第二次抽取。共 做了10次抽样，计算抽中3只和3只以下雄性动物的概率。
（5）曲线和X坐标轴所夹的面积等于1。 （6）正态分布表查出的φ(u)的值表示随机变量
U落入区间（-∞, u）的概率。 （7）累积分布函数图形的特点是围绕点
（0, 0.5）对称。 （8）正态分布的偏斜度γ1=0 ，峭度γ2=0。
5. 一些重要值
68.27%
68.27%
95.00%
95.00%
99.00%
解： n=10 y=3，2，1，0 φ=1/2 p( y) Cny y (1)ny
p(3) 10! ( 1 )3 ( 1 )7 120 (210 ) 0.1171876 3!(10 3)! 2 2
常用概率分布间简介
其中 c 为常数，解方程（1）得
f ( ) c f ( )
f
(
)
k
e
1 2
c
2
，
k
为常数.
为使 f ( ) 为概率密度函数，
f
( )d
1，
即
k
e
1 2
c
2
dy
1
故必须 c 0 ，不妨令 c 1 （ 0 ），代入（2）解得 2
k 1 ， 2 Biblioteka 于是f ( ) 1
2
e2 2 ， R ，
2
这是均值为 0，方差为 2 的正态分布的概率密度函数.
.
X
~
N(0, 2)
,
则Y
X2
~
Ga(
1 2
,
1 2
2
)
.
（1） （2）
Ga( n , 1) 2(n) . 22
m
Xi ~ N(0,1) , i 1,2,,n 且相互独立 , 则 X
X
2 i
~
2(n) .
i 1
⒊ 相当误差（比率）的概率分布
m
设
Xi
~
N(0, 2 ) ，i
1,2,, m,m 1,,m n且相互独立，则
i 1
二、随机误差的概率分布
⒈ 高斯随机误差模型 随机变量的高斯分解
可观测的指标
X
不可观测的随机干扰
指标的标准值(生产控制参数,理论均值)
原始测量误差的概率分布
由棣莫弗提出，高斯推证，拉普拉斯再证，原始测量误差的概率分布为：
~ N (0 , 2 )
高斯的推证要点如下：
设测量误差 X 的密度函数为 f ( ) ，由“最大后验概率”的原则得
几种常见的概率分布率
❖对于一般正态分布，要先进行标准化，再查表；
标准化的公式为： u = x -
u
=
x-
=
9.2 10
5
= 0.42
正态分布 σ= 10
标准正态分布 σ=1
μ=5 9.2
x
μ=0 0.42 u
例3.7 查标准正态分布u＝-0.82 及u＝1.15时的F（u）的值 例3.8 随机变量u服从正态分布N（0，1），问随机变量u的值落
在生物统计学中，正态分布占有极其重要的地位。许多生物学 现象所产生的数据，都服从正态分布。
一、 正态分布（x—N (μ,σ2)）的密度函数与分布函数
➢ 正态分布的规律是数据分布集
中在平均数附近，并且在平均
数的两侧成对称分布。正态分
布密度函数的图像，称为正态
曲线。
➢ 密度函数： f (x) =
1
正态曲线
p(x)
=
cnx
px (1-
p)n-x
=
n! x!(n -
x)!
p x (1-
p)n-x
= n(n -1)(n - 2)(n - x 1) px (1- p)n-x
=
1(1-
1
)(1-
x! x -1)
(np) x
(1-
p)n-x
（将系数的分子分母同乘以nx）
n
n
x!
= x (1- p)n-x
=
x!
2
=
1
概率函数内的λ ，不但是它的平均数，而且是
它的方差。
λ很大时， γ1和γ2则接近于0，这时的泊松分布近
似于正态分布。
三、 泊松分布应用实例
例3.5 在麦田中，平均每10m2有一株杂草，问每 100m2麦田中，有0株、1株、2株、…杂草的概率 是多少？
常见概率分布二项分布泊松分布正态分布
常见概率分布二项分布泊松分布正态分布常见概率分布概率分布是描述随机变量取值的概率的函数。
在统计学和概率论中，有许多常见的概率分布用来描述不同类型的随机变量。
本文将介绍常见的概率分布，包括二项分布、泊松分布和正态分布。
一、二项分布（Binomial Distribution）二项分布是描述在 n 次独立重复试验中，成功的次数的概率分布。
每次试验有两个可能结果，分别是成功和失败，成功的概率为 p，失败的概率为 1-p。
在 n 次试验中，成功的次数符合二项分布。
二项分布的概率质量函数可以用以下公式表示：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k) 表示成功次数为 k 的概率，C(n,k) 表示组合数，p 是每次试验成功的概率，n 是试验次数，k 是成功的次数。
二、泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布是描述在一段固定时间或空间内，事件发生次数的概率分布。
泊松分布假设事件是以恒定速率独立地发生的，并且与过去的事件发生情况无关。
泊松分布的概率质量函数可以用以下公式表示：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，P(X=k) 表示事件发生次数为 k 的概率，λ 表示单位时间或空间内事件的平均发生率，e 是自然对数的底，k! 表示 k 的阶乘。
三、正态分布（Normal Distribution）正态分布，又称高斯分布，是最常见且重要的概率分布之一。
它的形状呈钟形曲线，对称分布在均值周围。
正态分布的概率密度函数可以用以下公式表示：f(x) = (1 / σ√(2π)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，f(x) 表示随机变量 X 取值为 x 的概率密度，μ 是分布的均值，σ 是分布的标准差，π 是圆周率。
四、总结在统计学和概率论中，二项分布、泊松分布和正态分布是常见的概率分布，用来描述不同类型的随机变量。
根据实际问题的特点和要求，可以选择适合的概率分布进行推断和分析。
几种常见的概率分布
几种常见的概率分布一、 离散型概率分布1. 二项分布n 次独立的贝努利实验,其实验结果的分布(一种结果出现x 次的概率是多少的分布）即为二项分布应用二项分布的重要条件是：每一种实验结果在每次实验中都有恒定的概率，各实验之间是重复独立的平均数： (Y)np X E μ==方差与标准差：2(1)X np P σ=-;X σ=特例：(0-1）分布若随机变量X 的分布律为1(x k)p (1p)k k p -==- k=0，1;0〈p 〈1,则称X 服从参数p 的（0—1)分布2. 泊松分布泊松分布是一种用来描述一定的空间和时间里稀有事件发生次数的概率分布泊松分布变量x 只取零和正整数:0、1、2…。
其概率函数为:(x)!xp e x μμ-=泊松分布的平均数：(x)E μμ==泊松分布的方差和标准差：2σμ=、σ=3. 超几何分布P(X=k ）=k n k M N Mn NC C C -- 记X~（N ，M ，n) P=MN期望:E （X)=np方差：D （X)=np （1—p)1N n N -- 适用范围：多次完全相同并且相互独立的重复试验，如果在有限总体中不重复抽样，抽样成功的次数X 的概率分布服从超几何分布，如福利彩票二、 连续型概率分布1. 均匀分布若随机变量X 具有概率密度函数(x)f =则称X 在区间(a ，b ）上服从均匀分布，记为X ~ U （a ，b ）在区间（a ，b ）上服从均匀分布的随机变量X 的分布函数为0F(x),1x a x a a x b b a b x ⎧<⎪-⎪=≤<⎨-⎪≤⎪⎩2指数分布若随机变量X 具有概率密度函数,0(x)0,0x e x f x λλ-⎧≥=⎨<⎩ 其中0λ> 是常数,则称X 服从以λ 为参数的指数分布，记作~()X E λ ，X 的分布函数为1,0(x)0,0x e x F x λ-⎧-≥=⎨<⎩3。
正态分布正态随机变量X 的概率密度函数的形式如下：22(x )2(x),f e x μδ--=-∞<<∞式中，μ 为随机变量X 的均值；2δ 为随机变量X 的方差。
概率论常见的几种分布
概率论常见的几种分布常见的概率论分布有：均匀分布、正态分布、泊松分布和指数分布。
1. 均匀分布均匀分布是指在一段区间内，各个取值的概率是相等的。
比如在一个骰子的例子中，每个面出现的概率是相等的，为1/6。
均匀分布在实际应用中常用于随机数生成、样本抽取等场景。
2. 正态分布正态分布又被称为高斯分布，是最常见的概率分布之一。
正态分布的特点是呈钟形曲线，数据集中在均值周围，并且具有对称性。
正态分布在自然界中广泛存在，比如人的身高、体重等都近似服从正态分布。
在统计学和数据分析中，正态分布的应用非常广泛，例如在建模、假设检验和置信区间估计等方面。
3. 泊松分布泊松分布是一种离散概率分布，描述了在一段时间或空间内，某事件发生的次数的概率分布。
泊松分布的特点是事件之间是独立的，并且事件发生的平均速率是恒定的。
泊松分布在实际应用中常用于描述稀有事件的发生概率，比如电话呼叫中心的接听次数、交通事故的发生次数等。
4. 指数分布指数分布是描述连续随机变量的概率分布，用于描述时间间隔的概率分布。
指数分布的特点是事件之间是独立的，并且事件发生的速率是恒定的。
指数分布在实际应用中常用于描述如等待时间、寿命等连续性事件的概率分布。
这四种分布在概率论和统计学中都有广泛的应用。
它们分别适用于不同的场景和问题，能够帮助人们理解和分析数据。
在实际应用中，我们常常需要通过对数据进行建模和分析来确定数据的分布类型，从而更好地理解数据的特征和规律。
除了这四种常见的分布外，还有其他许多概率分布，例如二项分布、伽玛分布、贝塔分布等。
每种分布都有其独特的特点和应用领域。
在实际应用中，选择合适的分布模型对数据进行建模和分析是非常重要的，可以帮助我们更好地理解数据，做出准确的推断和预测。
概率论中常见的几种分布包括均匀分布、正态分布、泊松分布和指数分布。
每种分布都有其特点和应用场景，在实际问题中选择合适的分布模型对数据进行建模和分析是非常重要的。
通过对数据的分布进行研究，我们能够更好地理解数据的规律和特征，为决策提供科学依据。
第4章 几种常见的概率分布
6. 正态分布的单双侧临界值
面积为，已知 上侧临界值 P(U> u )= α ，下侧临界值 P (U <- u )= α (附表 3 上侧临界值)
若将一定曲线下面积α，平分到两侧尾区，则每侧曲线下面积为α/2,
即 P(
U U 2
)=
α,
U 这时的
U
2
称为α的双侧临界值。
面积为，已知
u 称为的上侧临界值。 附表3 （256页）给出了u的值。
N(0，1)
x=0 时，φ(x) 达到最大值
(1) 关于点（0，0.5）对称，该点也
是它的拐点
(2)x 取值离原点越远，φ (x) 值越小 (2) 曲线以 y = 0 和 y = 1 为渐近线；
(3)关于 y 轴对称，即φ(x)= φ (- x)
(3) Ф(1.960)－Ф(－1.960) = 0.95
种变量有它各自的概率而组成一个分布。这个分布就叫做二项概率分布，或简称二项分布
（binomial distribution) 由此得到计算二项分布任何一项概率的通式为：p(x) =Cnx φ
x(1- φ)n-x
二项分布是一种离散型随机变量的概率分布
性质
n
Cnx x (1 )nx 1
x0
m
一指定时间范围内或在指定的面积或体积内某一事件出现的个体数的分布 泊松分布是一种离散型随机变量的概率分布
实例 调查某种猪场闭锁育种群仔猪畸形数，共记录 200 窝， 畸形仔猪数的分布情况如下表所
示。试判断畸形仔猪数是否服从泊松分布。 畸形仔猪数统计分布
解：根据泊松分布的平均数与方差相等这一特征，若畸形仔猪数服从泊松分布，则由观察数 据计算的平均数和方差就近于相等。样本均数和方差 S2 计算结果如下：
几种常见概率分布
值。
二项分布具有概率分布的一切性质，即：
（ k=0,1,2,…,n） P(X = k) = P n (k) ≥0
n 二项分布的概率之和等于 1n ，即： k k n－k
∑C p q
n k =0
= (q +p) = 1
二项分布的性质
k n k P (X ≤m) = Pn (k ≤m) = C k p q n k =0 n m
μ = np σ = npq
当试验结果以事件A发生的频率k／n表示时，
μp = p
p 也称率的标准误。
σ p = (pq) /n
四、二项分布的概率计算及其应用条件
（一）概率计算 直接利用二项概率公式 [例6] 有一批种蛋，其孵化率为0.85，今在该批 种蛋中任选6枚进行孵化，试给出孵化出小鸡的
P (X ≥m) = Pn (k ≥m) =
k =m
k k n -k C np q
P(m1 ≤ X ≤m2 ) Pn (m1 ≤k ≤m2 )
k m1 k k n-k C n p q (m1 ≤m2 ) m2
三、二项分布的平均数与标准差
统计学证明，服从二项分布B(n,p)的随机变量之 平均数μ 、标准差σ与参数n、p有如下关系： 当试验结果以事件A发生次数k表示时
0 .5 P( x k ) e 0 .5 k!
k
x
(k=0,1,2…)
计算结果如表4—5所示。
表4—5 细菌数的波松分布
可见细菌数的频率分布与λ=0.5的波松分布是相
当吻合的 ， 进一步说明用波松分布描述单位容积(
或面积)中细菌数的分布是适宜的。
概率论三大分布
概率论三大分布
概率论中，三大分布指的是正态分布、泊松分布和指数分布。
这些分布都有自己独特的性质和应用。
正态分布是一种连续分布，也被称为高斯分布。
它是自然界中最常见的分布之一，例如人类身高、智力测试分数和环境因素等。
正态分布的特点是呈钟形曲线，它的中心是对称的，平均值和标准差可以用来描述它的形状。
泊松分布是一种离散分布，它通常用于描述事件发生的次数。
例如，在一段时间内到达某个地点的车辆数量或在一天内接收到的电子邮件数量。
泊松分布的特点是事件的发生是独立的，且所有事件发生的概率相等。
指数分布是一种连续分布，它通常用于描述时间间隔或持续时间。
例如，两个人之间的通话时间或两次地震之间的时间间隔。
指数分布的特点是它的概率密度函数呈指数形式衰减，即随着时间的增加，事件发生的概率逐渐减少。
这三种分布在统计学和数据分析中都有广泛的应用，特别是在模型构建和预测分析中。
因此，熟悉它们的性质和应用是非常重要的。
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生物统计学：几种常见的概率分布律
头仔猪中白色的为x头，则x为服从二项分布B(10，0.75)
的随机变量。于是窝产10头仔猪中有7头是白色的概率
为：
10! P ( x 7) C 0.75 0.25 0.75 7 0.253 0.2503 7!3!
7 10 7 3
【例3.2】 设在家畜中感染某种疾病的概率为20％，现有两 种疫苗，用疫苗A 注射了15头家畜后无一感染，用疫苗B 注射 15头家畜后有1头感染。设各头家畜没有相互传染疾病的可能， 问：应该如何评价这两种疫苗? 假设疫苗A完全无效，那么注射后的家畜感染的概率仍为20 ％，则15 头家畜中染病头数x=0的概率为
1-p=q，则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验，
简称贝努利试验(Bernoulli trials)。
在生物学研究中，我们经常碰到的一类离 散型随机变量，如孵n枚种蛋的出雏数、n头病 畜治疗后的治愈数、n 尾鱼苗的成活数等，可用 贝努利试验来概括。 在n重贝努利试验中，事件 A 可能发生0，1， 2，…，n次，现在我们来求事件A恰好发生 k(0≤k≤n)次的概率Pn(k)。
四、二项分布的平均数与标准差 统计学证明，服从二项分布B(n,p)的随机变 量之平均数μ、标准差σ与参数n、p有如下关系： 当试验结果以事件A发生次数k表示时
μ=np
(3-5)
(3-6)
npq
【例3.4】求【例3.3】平均死亡猪数及死 亡数的标准差。
以p=0.2,n=5代入 (3-5)和(3-6) 式得： 平均死亡猪数 μ=5×0.20=1.0(头) 标准差
一、波松分布的意义
若随机变量x(x=k)只取零和正整数值0，1， 2，…，且其概率分布为
k ， k=0，1，…… (3-10) P( x k ) e k!
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几种常见的概率分布
离散型概率分布
1.二项分布
n次独立的贝努利实验，其实验结果的分布(一种结果出现x次的概率是多少的分布)即为二项分布
应用二项分布的重要条件是：每一种实验结果在每次实验中都有恒定的概率，各实验之间是重复独立的
平均数：\二E(Y)二叩
方差与标准差：▽ X = np(1- P) ; = J np(1- p)
特例：(0-1 )分布
若随机变量x的分布律为
p(x = k) = p k(1 - p)1* k=o,i ；0<p<i,
则称X服从参数p的(0-1 )分布
2.泊松分布
泊松分布是一种用来描述一定的空间和时间里稀有事件发生次数的概率分布泊松分布变量x只取零和正整数：0、1、2…..其概率函数为：
p(x) e_
x!
泊松分布的平均数：」二E(x)=」
泊松分布的方差和标准差：二2二'L、二二」
3.超几何分布
C k C n —k C M C N -M
P(X=k) =C n 记X~ (N，M，n) C N
P=M
N
期望：E(X)=np
方差：D(X)=n p(1-p)
鳥
适用范围：多次完全相同并且相互独立的重复试验，如果在有限总体中不重
复抽样，抽样成功的次数X的概率分布服从超几何分布，如福利彩票
二、连续型概率分布
1•均匀分布
若随机变量X具有概率密度函数
f（X）二
则称X在区间（a，b）上服从均匀分布，记为X〜U（a，b）在区间（a，b）上服从均匀分布的随机变量X的分布函数为
x v a
F（x）X— ,a 乞x b
b — a
, X x
2指数分布
若随机变量X具有概率密度函数f（X）= e ' x - 0其中0是常数,
0,x< 0
则称X服从以’为参数的指数分布，记作X〜E（' ），X的分布函数为
F(x)=」1 -e ,x 色0 j 0,x<0
3.正态分布
正态随机变量X的概率密度函数的形式如下：
1
f （x） e 2 $ ，—：：：： x :::
式中，」为随机变量X的均值；、；2为随机变量X的方差通常对具有均值卩，方差为62的正态概率分布，记为N （卩，62）。
于是有正态随机变量X~N （ '2）。
如果从标准正态分布N (0, 1)的总体中得到n个随机变量分别为X i,X2,•…,X n 时，则由a X2得到的分布叫做自由度为n的2分布，记为X~ 2(n)
2
X ~ (n)。
2分布的数学期望和方差分别为：
E(X)= n, D(X)=2n
关于2分布的加法定理。
设X1,X2,....X k，是相互独立的随机变量，且
2
X i ~ (n i),i =1,2,....k,则
k
' X i ~ 2(n i n2 …nJ
i丄
&分布与N (0，1)分布有如下关系：
设X i,X2，...X n是相互独立的随机变量，并且X i ~ (0，1)，i=1，2，…n，则n
' X i2〜2(n)
i =1
5.t分布
设X~N (0,1)，Y〜E2(n) ，X与Y相互独立，则随机变量
X
遵从n个自由度的t分布，记为t^^ ———〜t(n)。
°Y/n
t分布的数学期望和方差如下：
当n>2 时，E(t)=O,D(t)=亠
n —2
t分布的图形是对称的。
当n<30时，t分布的分散程度比标准正态分布大，密度函数曲线比较平缓，随着n的增大，t分布逐渐逼近标准正态分布。
当n》二时，t分布渐近标准正态分布。
设随机变量X〜I nj ，Y〜/2(n2)，且X与Y相互独立，则称随机变量
X/n i
F =
Y/压
遵从自由度为g,n2）的F分布，记作F~F（n「n2）
F分布的形状为正偏态分布状，但随着n i, n2的增大，其概率密度曲线的偏斜度虽有所缓减却仍保持偏态分布，并不以正态分布为其极限分布形式。
如果t ~t（n），则t2~ F（1,n）
…1
如果F ~ F（n「n2）,贝U ~ F （n2,nj 。
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