量子力学 Dirac符号

7.4 Dirac符号
量子力学教程(第二版)
dx ' x ' dp ' p '
x' I
p' I
(9)
3.两个态矢之间的标积写法
在F表象中，两个态矢 和 之间的标积可如下计算：
| k k k k
k k k k
k
k
k

(18)
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7.4.6 表象变换 1.态的表象变换 态 在F表象中用 k ak 描述， 在F′表象中用 a 描述， 则此两个表示之间的关系可由下式给出(利用(8)式) k k (19) 即 式中
a S k ak
x x ( x x)
而动量算符的本征态的正交归一性可写为
p p ( p p)
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7.4.3 态矢在具体表象中的表示 1. 离散谱的情况 在F表象中(基矢记为 k ),任意态矢量 可用 k 展开，即 ak k (3)
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7.4 Dirac符号 Dirac符号的优点 1. 毋需采用具体表象
2. 运算简捷 7.4.1 左矢(bra)和右矢(ket)
Hilbert空间：由量子体系的一切可能状态构成.
在这个空间中，态用右矢 表示，一般写为 也可以在右矢内填上相应的量子数或本征值来表示 相应的态，如
(37)
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ˆ ( p) x ' x '' x p x
ˆ dpdp x p p p p p x
i i px px 1 dpdpe p ( p p) e 2π

*
( , ) ( , )*
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(1)
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若满足
0
则称 Baidu Nhomakorabea
若满足 1 则称 若力学量完全集F的本征态(离散)记为 k 则其正交归一性可写为
与 正交。 为归一化态矢。
k j kj
(2)
对连续谱，比如坐标算符的本征态的正交归一性可写为
k
k
(20)
S k k
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(21)
是从F→F'表象的变换，描述两个表象的基矢之间的关系。
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写成矩阵的形式，有
a1 S11 a2 S 21 可以简写成
S12 a1 S 22 a2
2 2 i ( x, t ) dx ( x x) V ( x) ( x x) ( x, t ) 2 t 2m x 2 2 ( x, t ) V ( x) ( x, t ) (46) 2 2m x
(11)
L
kj
ˆ k L j
(11)左乘 k 得
ˆ ˆ k k L k L j
j
j
(12)
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即
bk Lkj a j j bk k | ，
a j j | 分别是态矢 ,
(13)
在F表象中的表示
式(15)写成矩阵的形式，有
b1 L11 b2 L21 L12 a1 L22 a2
7.4.5 Schrö dinger方程 Schrö dinger方程可写为
ˆ i H t (16)
(41)
p2 1 T dxdx x x p 2 x x 2m 2m
1 2 dxdx * ( x)( 2 2 ) ( x x) ( x) 2m x 1 2 dx * ( x)(2 2 ) ( x) (42) 2m x
(32)
(33)
在动量表象中，动量本征态(本征值为p')表示为
(34)
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(2)坐标表象与动量表象的变换
( x ) x dp x p p 1 dp eipx / ( p) 2π 1 dp eipx / ( p) (35) 2π ( p ) p dx p x x
(22)
a Sa
(22')
(23)
其中S为么正矩阵，即满足
S S SS I
下面用Dirac符号来证明上式
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证明：在F表象中
* (S S )kj Sk S j S k S j
k



*
j
k j
k k
(5)
(5)式中 k k 是一个投影算符，用 Pk 表示，即
Pk k k
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(6)
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它对任何态矢 方向上的分量矢量
运算后，就得到态矢 在基矢 k
Pk k k ak k
式(5)中 是任意的,因此
(7)
k
k
k I
(8)
我们称算符I 为单位算符，这是基矢完备性的表现， 通过以后的学习会发现它有着非常重要的意义. 2. 连续谱的情况 在这种情况下,上述的求和要用积分代替.比如：
p
1 dpdp * ( p) p 2 ( p p) ( p) 2m 1 dp * ( p) p 2 ( p) (44) 2m
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4. Schrödinger方程在不同表象中的表示 设粒子在势场V(x)中运动， p 2 / 2m V ( x), H
dx 1 eixp / ( x) 2π
dx
1 eixp / ( x) 2π
(36)
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在坐标表象中，力学量的“矩阵”表示如下， 例如，坐标x矩阵表示为
ˆ x x x x ( x x)
而动量p的“矩阵”表示为
(25')
以下讨论连续谱表象，特别是坐标表象和动量表象 (1)在x表象中x的矩阵元很容易写出 本征方程为
ˆ x x x x
( x(实) ) (26)
本征态的正交归一关系为
x x ( x x)
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(27)
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任一量子态 在x表象中表示为 x

dpdpe 2
1
i p ( x x )
i p ( x x ) 1 i dpe 2π x
i ( x x) x
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(38)
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与此类似,可计算出,在动量表象中动量的“矩阵”表示
ˆ p p p p ( p p)
而坐标x的“矩阵”表示为
(39)
ˆ p x p i ( p p) p
3. 力学量在不同表象中的平均值
(40)
在量子态 下(设已归一化),力学量的平均值可如下求之
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在p表象中
V V dpdp p p V p p
*
dpdp ( p)V (i ) ( p p) ( p) p * dp ( p)V (i ) ( p) (43)
2
p p2 T dpdp p p p p 2m 2m
aj j ψ
力学量L的本征方程 ˆ L L' 在F表象中的表示为
ˆ ˆ k L k L j
基矢 j 方向的投影.
(14)
是 在F表象的
j L' k ,
即
j
(L
j
kj
L ' kl )a j 0
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(15)
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通常记为
( x) x
(28)
在x表象中，坐标本征态（本征值为x'）表示为
x ( x) x x ( x x)
而动量本征态(本征值为p')表示为
(29)
1 ipx / x p e 2π
(30)
类似可以给出动量的本征方程和本征态的正交归一关系为
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则Schrö dinger方程为 i (t ) H (t ) (45) t 在x表象中的表示，可如下求之。用 x 左乘（45）式 取标积，得
i x (t ) x H (t ) dx ' x H x ' x ' (t ) t
即
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例：求势能V(x)和动能 T p 2 / 2m 在x和p表象中的平均值
解： 在x表象中 V V dxdx x x V x x
dxdx * ( x)V ( x) ( x x) ( x)
dx * ( x)V ( x) ( x )
k

展开系数
ak k (4)

它是
在 k 上的投影.用列矢表示为
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a1 1| a2 2 |
(4)式代入(3)式,得
k k k k
k
a1 * k k bk*ak (b1* , b2 ,) a2 k
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k
(10)
ˆ L
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7.4.4 算符在具体表象中的表示
ˆ 设态矢 经算符 L 的作用后变成态矢 ,即
ˆ L
ˆ 在F表象中，L 的矩阵元是
在F表象中表示如下：
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i ˆ ˆ k k H k H j t j j
即
iak H kj a j
j
(17)
ˆ 在 | 态下，L 的平均值用Dirac符号表示为
ˆ ˆ L L k k L j
kj * j ak Lkj a j kj
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ˆ p p p p ( p(实) ) (31)
p p ( p p)
p p ( p p)
坐标本征态(本征值为x') 表示为 1 ixp / x ( p ) p x e 2π
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* S j L jk S k kj
kj
ˆ j Lk k
S j L jk Sk
kj
SLS

(25)
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写成矩阵的形式是
SLS SLS 1 L
ˆ L, L 分别为 L 在F'和F表象中的矩阵
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x 、p 、En
分别表示坐标、动量和能量算符的本征态.
| lm 表示角动量算符 (l 2 , lz )的共同本征态.
左矢如 | 、 x'| 等,则是上述右矢的共轭态矢.
7.4.2 标积 定义两个态矢 和 的标积 ( , ) 的形式为 ( , ) , 而
k j kj
S S I


(24)

同理可证
SS I
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2. 算符的表象变换
ˆ ˆ 算符 L 在F表象中的矩阵元为 L jk j L k
ˆ 在F'表象中的矩阵元为 L L
而
ˆ L L j