量子力学 Dirac符号
浅谈对dirac符号的认识
浅谈对dirac 符号的认识1. 从牛顿---莱布尼兹积分谈起现代科学始于17世纪牛顿----莱布尼兹创立的微积分。
尤其是莱布尼兹发明了微分号d 和积分号⎰；大大简化了数学的表达方式，也节约了人们的脑力。
数学家黎曼曾说：“只有在微积分发明之后, 物理学才成为一门科学。
” 这以后，积分学有两个主要的发展方向，一个是复变函数的围道积分，另一个是实变函数的勒贝格积分；是牛顿---莱布尼兹积分推动了经典物理的发展。
量子力学是从经典力学“脱胎”而出的，它虽与经典力学大相庭径，却又是与之有着千丝万缕联系的一门科学。
由于量子力学中许多物理概念与经典力学的截然不同，因此量子力学需要有自己的符号，或是“语言”。
Dirac 符号法是量子力学的标准“语言”，自从上世纪初有了量子力学的萌芽，就有了对于其数学符号的需求，于是Dirac 的符号应运而生。
而牛顿－莱布尼兹发明微积分时并无Dirac 符号，该积分方法可否直接运用于对Dirac 符号进行呢？这个问题在量子力学建立后相当长的一段时间没有得到足够的重视。
符号是一门科学的“元胞”；是人们用以思考的“神经元”；是反映物理概念的数学记号；中国的汉字起源于甲骨文,它是古代劳动人们从生产实践中抽象出来的象形符号并通过组合而演变成的文字符号 (见图1殷商的甲骨文，图2是苏美尔的楔形文字的演化；图3和图4分别代表阿拉伯数字和拉丁字母的起源和演化,它们并没有像形的意义,只是符号而已). 由于思想是没有声音的语言，当人们在思考时，心目中的符号便在脑海这张无形无边的“纸”上写字，例如人们在心算时，就是在脑海里对阿拉伯数字符号做演算，因此一套好的记号可以使头脑摆脱不必要的约束和负担，使精神集中于专攻，这就在实际上大量增强了人们的脑力，使人们的思考容易引入深处和问题的症结；这正如音乐有五线谱和简谱两种记录方式，但前者比后者要直观，方便和科学得多，所以国际上都采用五线谱。
诚如海森堡（Heisenberg ）在1926年所说：“在量子论中出现的最大困难 是有关语言运用问题。
量子力学之狄拉克符号系统与表象
Dirac 符号系统与表象一、Dirac 符号1. 引言我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体的 力学量空间,即某一具体的力学量表象。
量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式 A 来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(A x , A y , A z )表示一样。
量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。
这种抽象的描 述方法是由 Dirac 首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用的符号称为 Dirac 符号。
2. 态矢量（1）. 右矢空间力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢（或基组），即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢）。
右矢空间的任一矢量 |ψ> 可按该空间的某一完备基矢展开。
例如：=n na n ψ∑（2）. 左矢空间右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为 < |。
右矢空间和左矢空间称为伴空间或对偶空间，<ψ | 和 |ψ> 称为伴矢量。
<p ’ |, <x ’ |, <Q n | 组成左矢空间的完备基组，任一左矢量可按其展开，即左矢空间的任一矢量可按左矢空间的完备基矢展开。
（3）. 伴矢量<ψ | 和 |ψ>的关系 |ψ >按 Q 的左基矢 |Q n > 展开：|ψ > = a 1 |Q 1> + a 2 |Q 2> + ... + a 3 |Q 3 > + ...展开系数即相当于 Q 表象中的表示：12n a a a ψ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭<ψ| 按 Q 的左基矢 <Q n | 展开：<ψ| = a*1 <Q 1 | + a*2 <Q 2 | + ... + a*n <Q n | + ...展开系数即相当于 Q 表象中的表示：ψ+= (a*1, a*2, ..., a*n , ... )同理 某一左矢量 <φ| 亦可按 Q 的左基矢展开：<φ| = b*1 <Q 1 | + b*2 <Q 2 | +... + b*n <Q n | + ... 定义|ψ>和 <φ|的标积为：*n n nb a ϕψ=∑。
P(四章第四讲)狄拉克符号课件
n
n
n
( na*nbn n )* *
n
P(四章第四讲)狄拉克符号
波函数归一化
(,)2d3r*d3r1
本征矢的正交归一化
x | x
x|x' (x',x)(xx') ' （-'）
p |p ') (p ',p )(p ' p ) qq' （q-q'）
n | n
mn(um,un)m n lm |l'm ')(Y l'm ',Y lm )ll' m m '
t
P(四章第四讲)狄拉克符号
定义波函数演化算符：
U ˆ(t,t0)(t0)(t) (1 )
作用于 t 0 时刻的态 (t0 ) 得到t时刻的态 (t )
分析：
（1） Uˆ(t0,t0)I
U ˆ(t0,t0)(t0) (t0),
（2）求它的具体形式
i (t) H ˆ(t)
t
i tU ˆ(t,t0 ) (t0 ) H ˆU ˆ(t,t0 ) (t0 ) P(四章第四讲)狄拉克符号
算符的矩阵
设态矢 经算符 F ˆ 的作用后变成态矢 ,即
Fˆ
|1|nn n
F ˆ n n n
mmF ˆnn n
Fmn mFˆ n
bm Fmnan n
b1 F11 F12
b2
F21
F22
P(四章第四讲)狄拉克符号源自a1 a2Schrödinger方程的矩阵形式
P(四章第四讲)狄拉克符号
态矢量在具体表象中的表示 (x) x (p) p
本征态上的展开系数（投影）
n | n
mathtype狄拉克符号
Mathtype狄拉克符号1. 简介Mathtype是一款常用的数学公式编辑器，可以在Microsoft Office等文档中插入各种数学公式。
其中，狄拉克符号（Dirac notation）是一种特殊的数学表示方法，常用于量子力学和量子信息领域。
本文将详细介绍Mathtype中如何使用狄拉克符号。
2. 狄拉克符号的基本表示狄拉克符号由英国物理学家保罗·狄拉克（Paul Dirac）于20世纪提出，用于描述量子力学中的态和算符。
它采用了右尖括号和左尖括号来表示态矢量和其对应的共轭转置，形如|ψ>和<ψ|。
在Mathtype中，可以通过以下步骤插入狄拉克符号： 1. 打开Mathtype编辑器；2. 在编辑器中选择”Insert”（插入）选项；3. 在弹出菜单中选择”Brackets & Delimiters”（括号与分隔符）；4. 在下拉菜单中选择”Angle Brackets”（尖括号）；5. 选择右尖括号”<“，并输入需要表示的态矢量或共轭转置；6. 选择左尖括号”>“，并输入需要表示的态矢量或共轭转置。
例如，表示一个态矢量|ψ>，可以使用以下代码：< | ψ >表示其共轭转置<ψ|，可以使用以下代码：< ψ | >3. 狄拉克符号的运算狄拉克符号不仅可以用于表示态矢量和共轭转置，还可以进行运算。
下面介绍几种常见的运算方法。
3.1 内积（Inner Product）内积是狄拉克符号中常用的一种运算，用于计算两个态矢量之间的相似度。
在Mathtype中，可以通过以下步骤插入内积表达式： 1. 打开Mathtype编辑器； 2. 在编辑器中选择”Insert”（插入）选项； 3. 在弹出菜单中选择”Brackets & Delimiters”（括号与分隔符）； 4. 在下拉菜单中选择”Angle Brackets”（尖括号）； 5. 选择右尖括号”<“，并输入第一个态矢量； 6. 输入一个竖线”|“，用于分隔两个态矢量； 7. 选择左尖括号”>“，并输入第二个态矢量。
Dirac符号
Dirac符号
8
例如， 例如，在中心力场中能量的本征波函数为 unr lm ( r ) 可表示它为 nr lm
ˆ,L ˆ2 , L ˆ ) 的共同本征函数。 它是 ( H 的共同本征函数。 z
ˆ n r lm = E n l n r lm H r ˆ2 n lm = l ( l + 1) h 2 n lm L r r ˆ n lm = m h n lm L z r r
右矢和左矢的关系
1
展开系数即相当于 Q 表象中的表示： 表象中的表示： ψ + = (a*1, a*2, ..., a*n, ... )
1
2
2
n
n
* 定义|ψ>和 <φ| 的标积为 标积为： < φ |ψ >= ∑ bn an (4.5-1)式 n (4.5-2)式 显然 <φ|ψ >* = <ψ |φ> * 符号表示的 由标积定义得: <ψ |ψ >= ∑anan = 1 用Dirac符号表示的 波函数归一化条件 波函数归一化条件 11 n Dirac符号
Dirac符号
4
§4-5-1 量子态、 量子态、Ket矢，Bra矢(Bracket)
量子力学中的状态， 量子力学中的状态，可以看作某线性空间中的一个矢 量，量子体系的状态用态矢量代表。 代表。 态矢量有两种： 态矢量有两种：Ket矢，右矢， 右矢，刃矢， 刃矢，刃，|> Bra矢，左矢， 左矢，刁矢， 刁矢，刁，<| 右矢空间 一个状态通过一组力学量完全集的测量（ 一个状态通过一组力学量完全集的测量（ 完全测量） 完全测量 ）来 确定， 确定，通常用所测得的力学量的量子数来确定。 通常用所测得的力学量的量子数来确定。
7.4 Dirac符号
则Schrö dinger方程为 i ( t ) H ( t ) ( 4 5 ) t 在x表象中的表示，可如下求之。用 x 左乘（45）式 取标积，得
i x ( t ) x H ( t ) d x ' x H x ' xt '( ) t
即
2 2 i ( x , t ) d x 2( x xV ) ( xx ) ( x )( x , t ) t 2 m x 2 2 2 ( x , t ) V ( x )( x , t ) ( 4 6 ) 2 m x
(4)式代入(3)式,得
k
k k k k
k
( 5 )
(5)式中 k
k 是一个投影算符，用 P 表示，即 k
P k k k
( 6 )
它对任何态矢 方向上的分量矢量 式(5)中
运算后，就得到态矢
在基矢 k
P k k a k k k
是任意的,因此
kk I
p p ( p p )
7.4.3 态矢在具体表象中的表示 1. 离散谱的情况 在F表象中(基矢记为 k ),任意态矢量 可用 k 展开，即
Hale Waihona Puke ak kk( 3 )
展开系数
a k k
( 4 )
它是
在 k 上的投影.用列矢表示为
a1 1 | a 2 2 |
7.4 Dirac符号 Dirac符号的优点 1. 毋需采用具体表象
2. 运算简捷 7.4.1 左矢(bra)和右矢(ket)
二Dirac符号
态矢量先合成以后，才能计算合成后的和矢量的长短（模），以及模的平方问题。
在欧几里得空间我们不是也是这样做的吗？不过，这两个矢量有夹角，于是合成的 结果的模的平方会出现三角函数。这就是双缝干涉几率结果中的第三项。大家知道 三角函数随空间坐标是周期性变化的，有时最大，有时为0，这不就是干涉条纹吗！
有了希尔伯特空间的概念，再看叠加态是不是就好理解“薛定谔猫佯谬”了？ 在二维笛卡尔坐标系中的一个矢量，可以分解为两个坐标轴矢量的叠加：
解
ˆ 由于 a | F | b 是复数，复数的厄米共轭就是复数的复共轭，故
* ˆ ˆ ˆ ˆ a | F | b a | F | b (| b ) F ( a |) b | F | a
这就是厄米共轭算符定义的Dirac表示。 ˆ ˆ ˆ ˆ 将厄米算符的定义 F F 代入上式得： a | F | b * b | F | a 这就是厄米算符定义的Dirac 表示。
在右矢空间中的向量 | a ，应该对应在左矢空间中的向量 * a | ，这 是因为如果设 | a | c ，它在右矢空间对应 c | 。以任意| b 与
c|
作内积，再根据内积性质有：
c | b b | c b | a b | a a | b
a , b b , a a , b a , b a , b * a , b a , b c a , b a , c a , a 0
*
高等量子力学 第一章
希尔伯特空间（量子力学的表述形式）
§1-1 §1-2 §1-3 §1-4 §1-5 §1-6 量子力学的基本原理（基本假设） 量子力学的表述形式 Dirac符号 用Dirac符号表示的几个重要关系式 本征问题 谱分解定理及其应用
狄拉克(Dirac)符号
< n | F | ψ >=< n | ϕ > < n | ϕ >= ∑ < n | F | m >< m | ψ >= ∑ Fnm < m | ψ >
m m
∧
注意 ： ）式是抽象的算符方程 ， ） ）式是具体表象中的算符方程， 意： （ 24 24） 程， （ 25 25） ， （ 26 26） < m | ψ >, < n | ϕ > 是算符作用前、后的态矢在 {| n >}表象中的分量， Fnm 也是具体表象中 的矩阵元。 1.4.2 连续谱 （1）算符作用在基矢 | λ > 上
（6）
n
这里 < B | A >=< A | B > * 1.2 基矢的狄拉克符号表示 1.2.1 离散谱
| n >, | λ > 仍为抽象的本征矢
力学量完全集的本征函数 {u n } 具有离散的本征值 {Qn }时，对应的本征矢 | 1 >, | 2 >,⋯ | n > 或 | nlm > 等，构成正交归一化的完全系，可以作为矢量空间的基矢，作为基矢可表示为 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ | 1 >= ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜⋮⎟ ⎝ ⎠ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ | 2 >= ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜⋮⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜⋮⎟ | n >= ⎜ 1 ⎟ ← 第 n 行 ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜⋮⎟ ⎝ ⎠ （8）
∧ ∧
） （29 29） （30 ） 30） ） （31 31）
< λ ′ | ϕ >=< λ ′ | F | ψ >
< λ ′ | ϕ >= ∫ | < λ ′ | F | λ > dλ < λ | ψ >= ∫ Fλ ′λ < λ | ψ > dλ 例如 < x ′ | ϕ >=< x ′ | F | ψ >= ∫ Fx′x < x | ψ > dx 即为 x 表象中方程
量子化学1-4
由：
n n +1 ψ n +1 ] xψ n ( x) = [ ψ n −1 + α 2 2 1
⎡ n ⎤ dψ n n +1 = α ⎢ ψ n −1 − ψ n +1 ⎥ dx 2 ⎣ 2 ⎦
可进一步递推：
x ψn =
2
1 2α
2
[
n( n − 1)ψ n − 2 + ( 2n + 1)ψ n + (n + 1)(n + 2)ψ n + 2
F F ' = δ (λ − λ' ) λ λ
例如: 坐标算符的本征函数正交归一化条件：
x x' =δ (x − x')
3、本征矢的封闭性 对任意态矢：
|ψ >= ∑ an | n >
n
ˆ F | n >= λ n | n >
两边左乘< m | 得: 将代回原式得： 因为
n
n=
n
< m|ψ >=∑ an < m| n >=∑ anδmn = am
3、薛定谔方程
∂ ˆ i ψ = Hψ ∂t 为得到Q 表象中的表示式，用 m 左乘：
Dirac 符号:
∂ ˆ i mψ = m Hψ ∂t
得：
∂ ˆ i mψ = ∑ m H n nψ ∂t n
∑n
n
n =1
an = n ψ
am = m ψ
ˆ Hmn = m H n
∂ i am (t) = ∑Hmnan (t) ∂t n
En
n
（ En （ x' 为
ˆ 为 H 本征值）
量子力学知识：量子力学与狄拉克符号
量子力学知识：量子力学与狄拉克符号这篇文章并不是关于费恩曼讲义书中任何一章的笔记，只是单独的一篇讲狄拉克符号含义和用法的文章。
我在看书的过程中对狄拉克这个简洁又多功能的符号产生过很多疑惑，今天就尝试将这些疑惑和自己找到的答案写出来，希望对其他同学有些许帮助。
如果大家有发现错误也希望可以进行批评指正。
狄拉克符号在量子力学中是一个很神奇的符号，它的外观非常的简洁、洋气，在量子力学中的作用就像路标对开车的作用一样重要，所以受到大量学习量子力学的人的喜爱。
其含义非常简单，最基本的狄拉克符号如下所示<状态2|状态1>狄拉克符号是从右往左看的，<状态2|状态1>表示的是从状态1到状态2的概率幅（关于概率幅的含义可以看我之前的推送量子力学笔记——电子在晶格中的传播）。
状态(state)在量子力学可以用来表示很多信息，比如一个粒子它处于某一位置可以称为处于某一状态，相应的它的特定的动量、角动量等信息都可以描述为状态（因为更多人直接称之为“态”，所以下文会直接简写为态）。
值得注意的是，态是矢量，具有方向性，<态2|为左矢量，|态1>为右矢量。
狄拉克符号还可以有各种“拆卸组装转换”的方法：1、狄拉克符号可以拆分成局部，比如：<态2|，或者|态1>拆分好处一来可以减少字数，二来空缺的那一部分要补充时可以填入任何态，增加使用的灵活性。
2、狄拉克符号还可以连着使用，比如：<态3|态2><态2|态1>表示为态1到态2，然后从态2再到态3的概率幅。
3、狄拉克符号转换前后位置时需要取复数共轭：<态2|态1> = <态1|态2>*（变换的原理会在下文讲到）4、狄拉克符号还可以量化两个状态跳转的过程：<态2|Q|态1>Q的含义为一个算符(operator)，意思是态1经过算符变换到态2，这个算符可以是施加外力、旋转、使粒子穿过一个特殊设备、甚至静置一段时间，等等……对比一下同样表示概率幅的波函数，狄拉克符号没有像指数、复数这些复杂的东西，而且可以任意“拆分组装”，所以显得非常友好。
dirac符号正规乘积
§1.2 坐标、动量表象和粒子数表象表象（representation ）原指客观事物在人类大脑中的映象，量子力学中的“表象”最早由Dirac 引入，用以描述不同坐标系下微观粒子体系的状态和力学量的具体表示形式。
他把系统状态的波函数看成抽象空间中的态矢量在某个表象中的表示，力学量的本征函数即此空间的一组基矢。
完备性是基矢成为表象的必要条件，但完备性的证明则因其烦琐和缺乏普适而有力的积分方法而成为历来困扰物理学家的一个难题，这极大地限制了新表象的发现。
由于针对不同的问题选取适当的表象进行求解往往可以达到事半功倍的效果，而新表象的缺乏也使得对量子力学中某些问题的探讨变得异常困难。
IWOP 技术恰恰提供了构建各种新的表象的有效方法。
它赋予基本的坐标、动量表象完备关系以清晰的数学内涵并将其化为纯高斯积分的形式，从而使其成为对于数学家而言“如同2×2=4一样简单的东西”；它也可以简化相干态完备性的证明，其结果与通常的展开相干态为粒子数态（Fock 表象）的方法殊途同归；对于给定的基矢，通过类似的方法也可以容易地检验其完备性或做出合适的推广，导致大量新表象的出现，如多粒子纠缠态表象、相干纠缠态表象等，它们使量子力学理论绚丽多彩。
在介绍IWOP 技术之前，我们需要回顾一些必要的基础知识.令Q 、P 分别为厄米的坐标和动量算符，满足Heisenberg 正则对易关系（为普朗克常数）[] , .Q P i= （1.2.1）Q 和P 的本征态分别是q 和p ，则有(), ''Q q q q q q q q δ==-；(), ''P p p p p p p p δ==-； （1.2.2）且dq P iq dq =-， d p Q i p dp=， （1.2.3） Dirac 给出的完备性关系是1dq q q ∞-∞=⎰，1dp p p ∞-∞=⎰。
（1.2.4）Fock 态的引入可以从谐振子哈密顿量的因式分解法（factorization method ）加以说明。
量子力学之狄拉克符号系统与表象
Dirac符号系统与表象一、Dirac符号1.引言我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体的力学量空间,即某一具体的力学量表象。
量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式A来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(Ax ,Ay,Az)表示一样。
量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。
这种抽象的描述方法是由Dirac首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用的符号称为Dirac 符号。
2.（1）.（或基组）（2（3<ψ|按定义有：ψψa）在同一确定表象中，各分量互为复共轭；b）由于二者属于不同空间所以它们不能相加，只有同一空间的矢量才能相加；c）右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算，其结果为一复数。
（4）.本征函数的封闭性a）分立谱展开式：可得：因为|ψ>是任意态矢量，所以：b）连续谱对于连续谱|q>，q取连续值，任一状态|ψ>展开式为：因为|ψ>是任意态矢量，所以：这就是连续本征值的本征矢的封闭性。
c ）投影算符|Q n ><Q n |或|q><q|的作用相当一个算符，它作用在任一态矢|ψ>上，相当于把|ψ>投影到左基矢|Q n >或|q>上，即作用的结果只是留下了该态矢在|Q n >上的分量<Q n |ψ>或<q|ψ>。
故称|Q n ><Q n |和|q><q|为投影算符。
因为|ψ>在X 表象的表示是ψ(x,t)，所以显然有：在分立谱下：所以*(')()(')n n nu x u x x x δ=-∑。
在连续谱下：所以*(')()(')u ⎰。
3.（1X 即Q （2即有：4.到目前为止，体系的状态都用坐标(x,y,z)的函数表示，也就是说描写状态的波函数是坐标的函数。
量子力学教程 第二版 4.5 狄拉克符号
ˆ H n E n n ；没表象
ˆ x , x , t dx ；基本公式的通常写法 4 F x, t F i x ˆ x F x F x dx ； 表象的 Dirac 表示
ˆ F F ； 没表象
5 u m x u n x dx mn ；基本公式的通常写法
表示为 m ，其正交归一性为： , m ' , m ' ' mm'
4.封闭性 (a)连续谱情况：任何一态矢 A 在坐标表象中用波函数 x ' , t
描写， x ' , t x ' A 就是刃 A 在 x 表象中的分量。
ˆ 由于 x 在自身表象中的基矢 x ' x x ' 组成完全系，则 A
ˆ B m m B mFA
n
n
ˆ mFn
nA
ˆn nA m F n
ˆ ˆ A n n F m A F m
F
nm
Fmn
而 m 是任意的
ˆ 所以 B A F ˆ 此即为 B F A 的共轭式。
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 注：当F 为厄米算符，即F F 时， B A F 写为 B A F 。
n n
解释：将刁矢 x 左乘、刃矢x '
右乘 n n 1 两边得：
n
n
x n n x' x x' x x'
即： u x ' u n x x x ' n
n
量子力学课件：4.5 狄拉克符号
具体的态矢量： A , , En
③ 左矢与右矢的关系
是A 的A共轭矢量，即它们在同一表象中的 相应分量互为共轭复数
是 的共轭矢量
En 是 En的共轭矢量
2．左矢与右矢的标积
①定义： B A a1b1 a2b2 anbn anbn
n
②复共轭形式： B A A B
③ 正交归一化条件： 设力学量完全集 的F^本征值为Fn ，相应的本征
（1）F^算符
设 B Fˆ A 取 Q 表象：
①设Q具有分立本征谱,则基矢 Qn 或 n
B n n B bn n
n
n
A n n A an n
n
n
n n B Fˆ n n A
n
n
以 m左乘上式 ，再利用 m n mn
m n n B m Fˆ n n A
n
n
m B m Fˆ n n A
a2
0
an
（3）平均值公式
在态下，力学量 的F^ 平均值：
取Q表象：设基矢为 n
F Fˆ
a1*, a2*,
m
mn
F11 F12
F21
F22
m Fˆ n n
a1
a2
am* Fmnan
mn
如：x表象： F x dx x Fˆ x dx x
t
mnan
n
n
m Hˆ n an
i
t
am
n
n
H mn an
a1 H11 H12
i
a2
H 21
H 22
t
an
H
m1
Hm2
a1
a2
H mn
an
量子力学中的算符和Dirac符号
二、Dirac符号的引入
• 量子力学的语言是Dirac符号法，它有两个优点： 一是无需采用具体表象来讨论问题； 二是运算简洁。
• Dirac符号法，也称为q数理论，而q数理论核心 内容之一就是表象可以用以坐标为变量的波函数 Ψ (x ,t )来描写， 力学量则以作用在这种波函数上的算符来表示，这是 量子力学中态和力学量的一种具体表述方式。态还可 以用其他变量的函数作为波函数来描写体系的状态。 • 微观粒子体系的状态（量子态）和力学量的具体表示 形式称为表象。
• 线性算符的充分条件：
ˆ [ f ( x) g ( x)] A ˆ f ( x) A ˆ g ( x) A ˆ [cf ( x)] cA ˆ f ( x) A
量子力学的一个基本假设：力学量用线性厄米算符表 示，即，量子力学中表示力学量的算符一定是线性厄 米算符。 利用力学量的算符可以预言在给定状态里测量这一力 学量所得结果的期望值——平均值。 可得到给定状态里该力学量的表象
• 算符的加法满足通常的代数法则； • 算符的乘法满足通常的结合律和分配率，但一般 不满足交换律。 ˆ和B ˆB ˆ ，则称算符 A ˆ =B ˆA ˆ 是可对易的。 如果A
算符的对易
定义算符的对易关系：
ˆ与 B ˆ 满足交换律，那么就称算符可对 • 如果算符 A ˆ ,B ˆ ]= 0 易，即 [A ˆ 和B ˆ 有共同的本征函 ˆ 、 ˆ 相互对易，则 A 若A B 数系； ˆ 和B ˆ 有共同的本征函数系，则A ˆ 相互对 ˆ 和B 若A 易。 如果两个算符之间不对易，则它们不能同时有确 ˆ p和 r 定值。 如 ˆ
a , a , , a ,
* 1 * 2 * n
• 力学量 O的狄拉克符号表示：
P(四章第四讲)狄拉克符号
ˆ (t ), H ˆ ˆ (t )] A 则 d A(t ) 1 [ A dt i t
(4)
上式称为Heisenberg方程。
3）狄拉克（Dirac）绘景与狄拉克方程 也称相互作用绘景（I绘景），他把哈密顿量 分解成两部分（比如：能精确求解的和含微扰的 哈密顿量；也称不含时的和含时的哈密顿量）
展开系数构成坐标矩阵
3、描述量子力学的波函数、算符和定律等在不同表象中虽具有 不同的矩阵形式，却可相互转换（幺正变换）
狄拉克：
要这么复杂吗？我认为量子力学的波函数，算符和定律 等与具体表象无关。
1. 狄拉克(Dirac)符号 定义： 左矢(bra)、右矢(ket) （源于词：bracket）
ˆ (r )dr ( , A ˆ) A ˆ A (r )A
定义波函数演化算符：
ˆ (t , t ) (t ) (t ) U 0 0
分析： ˆ (t , t ) I （1） U 0 0
(1)
作用于 t0 时刻的态 (t0 ) 得到t时刻的态 (t )
ˆ (t , t ) (t ) (t ), U 0 0 0 0
（2）求它的具体形式 ˆ (t ) i (t ) H t ˆ ˆ ˆ (t , t ) (t ) i U (t , t0 ) (t0 ) HU 0 0 t
*量子力学到经典力学的过渡
在海森堡绘景中，只是算符随时间深化，现考察自由粒子的位 置算符随时间的演化
现令t0=0
d 1 1 iHt / 2 iHt / r (t ) [ r (t ), H ] e [ r , p / 2 m]e dt i i p iHt / p iHt / e e m m
量子力学名词解释全集
1．波粒二象性：一切微观粒子均具有波粒二象性（2分），1分）1分）1分）。
2、测不准原理：微观粒子的波粒二象性决定了粒子的位置与动量不能同时准确测量（2分），2分），h）是决定何时使用量子力学处理问题的判据（1分）。
3、定态波函数：在量子力学中，一类基本的问题是哈密顿算符不是时间的函数（2分），此时，称为定态波函数（3分）。
4、算符使问题从一种状态变化为另一种状态的手段称为操作符或算符（2分），操作符可为走步、过程、规则、数学算子、运算符号或逻辑符号等（1分），简言之，算符是各种数学运算的集合（2分）。
5、隧道效应在势垒一边平动的粒子，当动能小于势垒高度时，按经典力学，粒子是不可能穿过势垒的。
对于微观粒子，量子力学却证明它仍有一定的概率穿过势垒（3分），实际也正是如此（1分），这种现象称为隧道效应（1分）。
6、宇称宇称是描述粒子在空间反演下变换性质的相乘性量子数，它只有两个值＋1和－1 （1分）。
如果描述某一粒子的波函数在空间反演变换(r→－r)下改变符号，该粒子具有奇宇称(P＝－1 )（1分），如果波函数在空间反演下保持不变，该粒子具有偶宇称(P＝＋1)（1分），简言之，波函数的奇偶性即宇称（2分）。
7、Pauli不相容原理自旋为半整数的粒子（费米子）所遵从的一条原理，简称泡利原理（1分）。
它可表述为全同费米子体系中不可能有两个或两个以上的粒子同时处于相同的单粒子态（1分）。
泡利原理又可表述为原子内不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的4个量子数n、l、ml、ms，该原理指出在原子中不能容纳运动状态完全相同的电子，即一个原子中不可能有电子层、电子亚层、电子云伸展方向和自旋方向完全相同的两个电子（3分）。
8、全同性原理：全同粒子的不可区分性（1分）使得其组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变（4分）。
9、输运过程：扩散（1分）、热传导（1分）、导电（1分）、粘滞现象（1分）（系统内有宏观相对运动，动量从高速区域向低速区域的传递过程）统称为输运过程，这是一个不可逆过程（1分）10、选择定则：偶极跃迁中角量子数与磁量子数（1分）2分）2分）11、微扰理论在量子力学中求近似解（1分）的一种方法，核心是先求解薛定谔方程（2分），再引入微小附加项来修正（2分）12、能量均分定理处于温度为T的平衡状态（1分）的经典系统（1分），粒子能量中每一个平方项的平均值（12分）13、费米子2分）的粒子组成的全同粒子体系的波函数是反对称（2分）的，它们服从费米-迪拉克分布（1分），称为费米子，如电子，质子和中子等14、Hellmann - Feynman 定理关于量子力学体系能量本征值问题，有不少定理，其中应用最广泛的要数 Hellmann - Feynman 定理（简称 H-F定理）该定理的内容涉及能量本征值及各种力学量平均值随参数变化的规律（2）。
狄拉克符号(Dirac)
狄拉克符号（Dirac ）1狄拉克符号量子体系状态的描述，前述波动力学和矩阵力学两种方法，其共同特点是：与体系有关的所有信息都有波函数给出；极为重要的是波函数可以写成各类力学量的本征函数的线性组合，而展开系数模平方具有力学量概率的含义。
问题：能否不从单一角度描述体系，而用统一的方式全面概括体系的所有性质及概念？狄拉克从数学理论方面，构造了一个抽象的、一般矢量--态矢，并引进了一套“狄拉克符号”，简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。
1.1狄拉克符号的引入 1.1.1 态空间任何力学量完全集的本征函数系{})(x u n 作为基矢构成希尔伯特空间（以离散谱为例），微观体系的状态波函数ψ作为该空间的一个态矢，有∑=nn n u a ψ （1）n a 即为态矢ψ在基矢n u 上的分量，态矢ψ在所有基矢{}n u 上的分量{}n a 构成了态矢在{}n u 这个表象中的表示（矩阵）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= n a a a 21ψ () ,,,,**2*1n a a a =+ψ （2） 微观体系所有可以实现的状态都与此空间中某个态矢相对应，故称该空间为态空间注意：（1）式中的n u 只是表示某力学量的本征态，而抛开其具体表象；（2）式的右方是ψ的{}n u表象1.1.2 态空间中内积（标积）的定义设态空间中两个任意态矢A ψ与B ψ在同一表象{}n u 中的分量表示各为{}n a 与{}n b ，则两态矢内积的定义为()∑=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+n n n n n B A b a b b b a a a *21**2*1,,,, ψψ （3）注意：A B B Aψψψψ++≠ 1.1.3狄拉克符号的引入态空间中的ψ与+ψ在形式上具有明显的不对称性，狄拉克认为它们应该分属于两个不同的空间⇒伴随空间 引入符号>，称为右矢 [Ket 矢，Bra 矢（Bracket 括号><）]微观体系的一个量子态ψ用>ψ表示，>ψ的集合构成右矢空间，>ψ在右矢空间中的分量表示可记为矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=> n a a a 21ψ （4）约定：右矢空间的态矢 ,,,B A ψψψ一律用字母 ,,,>>>B A ψψψ表示力学量的本征态矢一律用量子数 ,,,2,1>>>>nlm n ，或连续本征值>λ表示 引入符号 <，称为左矢 微观体系的一个量子态ψ也可用ψ<表示，但在同一表象中>ψ与ψ<的分量互为共轭复数(),,,,**2*1n a a a =<ψ （5）ψ<的集合构成左矢空间引入狄拉克符号后，任意两个态矢>>B A ,的内积定义为同一表象下伴随空间中相应分量之积的和∑=++>=<nn n n n b a b a b a A B ***11| （6）这里*||>>=<<B A A B >>λ|,|n 仍为抽象的本征矢1.2 基矢的狄拉克符号表示 1.2.1 离散谱力学量完全集的本征函数{}n u 具有离散的本征值{}n Q 时，对应的本征矢>>>n |,2|,1| 或>nlm |等，构成正交归一化的完全系，可以作为矢量空间的基矢，作为基矢可表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>= 0011| ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛>= 0102| …… ←⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>= 010|n 第n 行 （7）（1）基矢具有正交归一性 mn n m δ>=<| （8） （2）展开定理 ∑>>=nn n a ||ψ （9）两边同时左乘|m <得∑∑==><>=<nm mn n nn a a n m a m δψ|| （10）说明展开系数是态矢在基矢上的分量 （3）封闭性 把>=<ψ|n a n 代入>ψ|中得，><>>=∑ψψ|||n n n所以1||=<>∑n n n（11）称为基矢的封闭性 ※狄拉克符号运算中非常重要的关系式 1.2.2 连续谱当力学量本征值构成连续谱λ时，对应的基矢记为{}>λ|（1）正交归一性 )(|λλδλλ'->='< （12） （2）展开定理 ⎰'>'>=λλψλd a || （13） >=<ψλλ|a （14） （3）封闭性 1||=<>⎰λλλd （15）注意： >>>λ|,|,|nlm n 只表示某力学量抽象的本征矢，例如>'x |只表示本征值为x '的力学量x 的本征矢，而具体的基矢形式为：x 表象中)()(|x x x u x x '-=>='<δ，动量表象中px ip e x u x p-=>=<2/1)2(1)(|π，同理 )(|x u n x n >=< )(|p u n p n >=< 1|>=<n n ),,(|ϕθψr nlm x nlm >=< px ie p x2/1)2(1|π>=<1.3 态矢在基矢下的形式 1.3.1 离散谱基矢为{}>n |，态矢记为>ψ|或 ,|,|>>B A ，用基矢展开><>>=⋅>=∑ψψψ|||1|n n n（16）展开系数>=<ψ|n a n 构成>ψ|在>n |表象中的分量，也可写成⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛><><><=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>=ψψψψ||2|1|21n a a a n （17） 相应的左矢 ∑><<=<nn n |||ψψ （18）()()><><><==<n a a a n |2|1||**2*1ψψψψ （19）1.3.2 连续谱⎰><>>=ψλλλψ|||d （20） 或 ⎰<><=<|||λλλψψd （21）1.3.3 注意：>ψ|只表示一个抽象的态矢，只有),(|t x x ψψ>=<为x 表象的波函数；n a n >=<ψ| 为>n |表象的波函数1.4 线性厄米算符的作用 1.4.1 离散谱（1）算符作用在基矢上∑∑>>=><>=∧∧nnnm n F m F n n m F ||||| （22）算符矩阵元 >=<∧m F n F nm || （23） （2）算符作用在态矢上（算符方程）>>=∧ϕψ||F （24） 即有 >>=<<∧ϕψ|||n F n （25） 或 ∑∑><>=><<>=<∧mmnm m F m m F n n ψψϕ||||| （26）注意：（24）式是抽象的算符方程，（25），（26）式是具体表象中的算符方程，><><ϕψ|,|n m 是算符作用前、后的态矢在{}>n |表象中的分量，nm F 也是具体表象中的矩阵元。
量子力学 dirac、周期场
− ikb
= C ⋅e + D⋅e , = α (C ⋅ e αb − D ⋅ e −αb ) , αa −αa C ⋅e + D⋅e ,
αb
− αb
α (C ⋅ e − D ⋅ e
αa
−αa
).
利用了Floquet定理ψ ( x + a ) = e iKa ⋅ψ ( x ).
A,B.C.D有非零解的条件是系数行列式为零 A,B.C.D有非零解的条件是系数行列式为零
n i − Ent h
| un 〉
几率|c n e
讨论：
i − En t 2 h
| =|cn|2不含t
常 数 定态
若 | un 〉 对Q是简并的，需要将各简并态 的|cn|2相加，最后结果当然也不含t。
证法2： 将 |ψ 〉按照Q、H 共同本征函数系{ | un 〉 }展开为 |ψ 〉 = ∑ cn t）un 〉 （ |
为了回到坐标表象，用〈 x | 左乘上式两边
利用关系〈 x |ψ ( t )〉 = ψ (x, t )； 〈 x|H | ψ (t)〉 =H(x,-ih∇ )〈 x|ψ (t )〉 d ih 〈 x | ψ ( t )〉 = H (x,-ih∇ )〈 x | ψ ( t )〉 dt
d i h 〈 x | ψ ( t )〉 = 〈 x | H | ψ ( t )〉 dt
对问题2 对问题2的进一步分析
若一开始处于力学量Q和能量H的共同本征态， 若一开始处于力学量Q和能量H的共同本征态，则可 以保持（以后时刻仍然是Q 的共同本征态， 以保持（以后时刻仍然是Q和H的共同本征态，其 演化只是乘了一个时间因子）！ 演化只是乘了一个时间因子）！
进一步可以给出如下定理： 进一步可以给出如下定理： 定理：对不含t的力学量Q [Q，H]=0， 定理：对不含t的力学量Q，若[Q，H]=0，则
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量子力学教程(第二版)
ˆ p p p p ( p(实) ) (31)
p p ( p p)
p p ( p p)
坐标本征态(本征值为x') 表示为 1 ixp / x ( p ) p x e 2π
7.4 Dirac符号
(41)
p2 1 T dxdx x x p 2 x x 2m 2m
1 2 dxdx * ( x)( 2 2 ) ( x x) ( x) 2m x 1 2 dx * ( x)(2 2 ) ( x) (42) 2m x
dx 1 eixp / ( x) 2π
dx
1 eixp / ( x) 2π
(36)
7.4 Dirac符号
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在坐标表象中，力学量的“矩阵”表示如下， 例如，坐标x矩阵表示为
ˆ x x x x ( x x)
而动量p的“矩阵”表示为
(11)
L
kj
ˆ k L j
(11)左乘 k 得
ˆ ˆ k k L k L j
j
j
(12)
7.4 Dirac符号
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即
bk Lkj a j j bk k | ，
a j j | 分别是态矢 ,
(13)
在F表象中的表示
式(15)写成矩阵的形式，有
b1 L11 b2 L21 L12 a1 L22 a2
7.4.5 Schrö dinger方程 Schrö dinger方程可写为
ˆ i H t (16)
在F表象中表示如下：
7.4 Dirac符号
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i ˆ ˆ k k H k H j t j j
即
iak H kj a j
j
(17)
ˆ 在 | 态下，L 的平均值用Dirac符号表示为
ˆ ˆ L L k k L j
kj * j ak Lkj a j kj
k
k
(20)
S k k
7.4 Dirac符号
(21)
是从F→F'表象的变换，描述两个表象的基矢之间的关系。
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21 可以简写成
S12 a1 S 22 a2
ˆ p p p p ( p p)
而坐标x的“矩阵”表示为
(39)
ˆ p x p i ( p p) p
3. 力学量在不同表象中的平均值
(40)
在量子态 下(设已归一化),力学量的平均值可如下求之
7.4 Dirac符号
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p
1 dpdp * ( p) p 2 ( p p) ( p) 2m 1 dp * ( p) p 2 ( p) (44) 2m
7.4 Dirac符号
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4. Schrödinger方程在不同表象中的表示 设粒子在势场V(x)中运动， p 2 / 2m V ( x), H
7.4 Dirac符号
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dx ' x ' dp ' p '
x' I
p' I
(9)
3.两个态矢之间的标积写法
在F表象中，两个态矢 和 之间的标积可如下计算：
| k k k k
k k k k
k
k
k
x x ( x x)
而动量算符的本征态的正交归一性可写为
p p ( p p)
7.4 Dirac符号
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7.4.3 态矢在具体表象中的表示 1. 离散谱的情况 在F表象中(基矢记为 k ),任意态矢量 可用 k 展开，即 ak k (3)
2 2 i ( x, t ) dx ( x x) V ( x) ( x x) ( x, t ) 2 t 2m x 2 2 ( x, t ) V ( x) ( x, t ) (46) 2 2m x
(32)
(33)
在动量表象中，动量本征态(本征值为p')表示为
(34)
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(2)坐标表象与动量表象的变换
( x ) x dp x p p 1 dp eipx / ( p) 2π 1 dp eipx / ( p) (35) 2π ( p ) p dx p x x
k
展开系数
ak k (4)
它是
在 k 上的投影.用列矢表示为
7.4 Dirac符号
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a1 1| a2 2 |
(4)式代入(3)式,得
k k k k
(37)
7.4 Dirac符号
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ˆ ( p) x ' x '' x p x
ˆ dpdp x p p p p p x
i i px px 1 dpdpe p ( p p) e 2π
(22)
a Sa
(22')
(23)
其中S为么正矩阵，即满足
S S SS I
下面用Dirac符号来证明上式
7.4 Dirac符号
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证明：在F表象中
* (S S )kj Sk S j S k S j
k
*
j
k j
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7.4 Dirac符号 Dirac符号的优点 1. 毋需采用具体表象
2. 运算简捷 7.4.1 左矢(bra)和右矢(ket)
Hilbert空间：由量子体系的一切可能状态构成.
在这个空间中，态用右矢 表示，一般写为 也可以在右矢内填上相应的量子数或本征值来表示 相应的态，如
k k
(5)
(5)式中 k k 是一个投影算符，用 Pk 表示，即
Pk k k
7.4 Dirac符号
(6)
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它对任何态矢 方向上的分量矢量
运算后，就得到态矢 在基矢 k
Pk k k ak k
式(5)中 是任意的,因此
(7)
k
k
k I
(8)
我们称算符I 为单位算符，这是基矢完备性的表现， 通过以后的学习会发现它有着非常重要的意义. 2. 连续谱的情况 在这种情况下,上述的求和要用积分代替.比如：
7.4 Dirac符号
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在p表象中
V V dpdp p p V p p
*
dpdp ( p)V (i ) ( p p) ( p) p * dp ( p)V (i ) ( p) (43)
2
p p2 T dpdp p p p p 2m 2m
7.4 Dirac符号
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x 、p 、En
分别表示坐标、动量和能量算符的本征态.
| lm 表示角动量算符 (l 2 , lz )的共同本征态.
左矢如 | 、 x'| 等,则是上述右矢的共轭态矢.
7.4.2 标积 定义两个态矢 和 的标积 ( , ) 的形式为 ( , ) , 而
则Schrö dinger方程为 i (t ) H (t ) (45) t 在x表象中的表示，可如下求之。用 x 左乘（45）式 取标积，得
i x (t ) x H (t ) dx ' x H x ' x ' (t ) t
即
7.4 Dirac符号
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通常记为
( x) x
(28)
在x表象中，坐标本征态（本征值为x'）表示为
x ( x) x x ( x x)
而动量本征态(本征值为p')表示为
(29)
1 ipx / x p e 2π
(30)
类似可以给出动量的本征方程和本征态的正交归一关系为
7.4 Dirac符号
dpdpe 2
1
i p ( x x )
i p ( x x ) 1 i dpe 2π x
i ( x x) x
7.4 Dirac符号
(38)
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与此类似,可计算出,在动量表象中动量的“矩阵”表示
*
( , ) ( , )*
7.4 Dirac符号
(1)
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若满足
0
则称
若满足 1 则称 若力学量完全集F的本征态(离散)记为 k 则其正交归一性可写为
与 正交。 为归一化态矢。
k j kj
(2)
对连续谱，比如坐标算符的本征态的正交归一性可写为
(18)
7.4 Dirac符号
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7.4.6 表象变换 1.态的表象变换 态 在F表象中用 k ak 描述， 在F′表象中用 a 描述， 则此两个表示之间的关系可由下式给出(利用(8)式) k k (19) 即 式中