近场天线测量作业

作业一：分别采用直接求和与快速Fourier 变换（FFT ）两种方法计算出)(ωF ，并与理

论计算结果比较，并比较两种方法所用时间。 1. 已知x

e x

f -=)(

求 dx e e

F x j x

πωω2)(⎰

∞

∞

--=

直接积分：2

)2(12

)(πωω+=

F (1-1)

当ω很大时，0)(≈ωF 取100=Ω时，010

)(5

≈<-ωF

故近似认为当Ω>ω时，0)(≈ωF ，即可以近似认为f （x ）是一个谱宽有限得函数，带限为2Ω，取005.02=Ω

≤∆ππ

x ，则由取样定理有 2()m x

j m x m F e

e x

πωω∞

-∆∆=-∞

=

⋅⋅∆∑

令x N n ∆=ω， ∑--

=∆-∆≈12

2

2)(N N

m N

mn j

x m x e

e F πω

令,2

k N

m =+

则有 ∑-=-∆--∆≈∆10

)2

(2)2

()(N k N

k N n j

x N

k x e

e x N n F π

∑-=∆-

-∆-=10

2)2

()

1(N k N

kn

j x N k n

e

xe

π

∑-=-=1

2)1(N k N

kn j

k

n

e

f

π (1,,1,0-=N n Λ) (1-2)

其中： ⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧

-=∆-=∆=∆-∆-1

,,212,

,1,0)2()2(N N

k xe N

k xe f x

k N

x N k k ΛΛ (1-3)

取N=2048，则1024*0.005≈5，12

<<∆-

x N e

2.Matlab 程序清单如下： clc

clear all Wp=100; dx=1/(2*Wp); N=2048; n=0:N-1;

w1=n./(N*dx);

%%%理论值 w=0:.001:Wp tic

FP=2./(1+(2*pi*w).^2); toc

%%%直接求和 tic

for n1=0:N-1 FS1=0;

for k=0:N-1;

FS2=dx.*exp(-abs((k-N/2).*dx)).*exp(i*2*pi*k*n1/N); FS1=FS2+FS1; end

FS(1,n1+1)=(-1).^n1.*FS1; end

FS=abs(FS); toc

%%%FFT k=0:N-1;

w_=n./(N*dx);

Fk=dx.*exp(-abs((k-N/2).*dx)); tic

FF=fft(Fk,N); FF=abs(FF); toc

figure(1)

subplot(1,2,1)

plot(w,FP,'--',w_,FS,'s');grid on;

title('直接求和计算结果与理论结果') legend('理论值','直接求和')

axis([0 3 0 2]);

subplot(1,2,2)

plot(w,FP,'--',w_,FF,'s');grid on;

title('FFT计算结果与理论结果') legend('理论值','FFT计算')

axis([0 3 0 2])

figure(2)

plot(w,FP,'--',w_,FS,'s',w_,FF,'o');grid on; legend('理论值','直接求和','FFT计算') axis([0 3 0 2]);

Elapsed time is 0.006355 seconds. （理论值计算见式（1-1）） Elapsed time is 10.422329 seconds. （直接求和计算见式（1-2）） Elapsed time is 0.001044 seconds. （FFT 见式（1-3）） 4.结果与讨论

由计算结果图可以看出：用直接求和计算和FFT 算法得到的结果均与理论结果吻合很好，几乎重合；由计算所用时间可以得出：FFT 算法比直接求和法具有明显的优势，当N=1024时，直接计算需要N 2

=1 048 576次乘法，然而FFT 算法只需要

51202

)

1024(log 10242 次

乘法，算法次数减小自然能节约系统资源缩短计算时间，从而比直接求和法更实用。

作业二：利用一维驻相法推导天线的远场方向函数与柱面波谱()n a h ，()

n b h 的关系式。

由远区场的表达式：

(4)(4)

,,()()()()n h n h n n n E a h M r b h N r dh ∞∞

=-∞-∞

⎡⎤=+⎣⎦∑⎰u v u u v u u v

(4)(4),,()()()()n h n h n n n R H a h N r b h M r dh j m ω∞

∞

=-∞-∞⎡⎤=

-+⎣⎦∑⎰u u v u u v u u v

其中：

))(4)(2)2

,()()()jn jhz

n h n n

jn M r H H e e ϕρρρϕρ-⎡⎤'=∧-∧∧⎢⎥⎣⎦

u u v v

))2(4)(2)

22,()()()()jn jhz

n h n n n jh nh N r H H H z e e k k ϕρρρϕρρρ-⎡⎤∧'=-∧∧+∧∧+∧⎢⎥⎣⎦

u u v v )

)(),(h b h a n n 称为场的柱面波展开波谱。

下面求天线远场的方向函数与)(),(h b h a n n 的关系：

θρsin r = 当∞→r 时∞→ρ

此时有：

1

2

(2)

4

2(,)j n j n

H j e

e π

ρρπρ-∧⎛⎫∧= ⎪∧⎝⎭

1

2

(2)

42(,)j n

j n H j e

e πρ

ρπρ--∧⎛⎫'∧= ⎪∧⎝⎭ 带入（2）式求 (4),()n h M r u u v v (4),()n h N r u u v v

将)()4(,r M h n ρ

ρ分为两项：

(2)()jn jhz

n jn

M H e e ϕρρρ

-=

∧ (2)()jn jhz n

M H e e ϕϕρ-'=∧

令

(4)

,1()()n h n n E a h M r dh

∞

∞

=-∞-∞

=

∑

⎰u u v