配方法(2)课件
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配方时， 等式两边同时加上的是一次 项系数一半的平方.
理性提升
例: 用配方法解方程
x2 6x 7 0
解: 移项得：x2 6x 7
配方得：x2 6x 32 7 32
即 (x 3)2 16
开平方得： x 3 4
∴原方程的解为：x1 1, x2 7
P7例题解析
例1：解下列方程：
1x2 8x 1 022x2 1 3x 33x2 6x 4 0
化
左边写成完全平方的形式
(x 3)2 5
的
降次
数
x3 5
学
思
x 3 5, x 3 5
解一元一次方程
想 x1 3 5, x2 3 5
可以验证， 3 5
是方程 x 2 6x 4 0
的两个根.
定义 把一元二次方程的左边配成一个完
全平方形式,然后用直接开平方法求解, 这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
填一填
(1) x2 2x __1_2 __ (x1)2
(2) x2 8x __4_2 __ (x4)2
(3)
y2
5
y
（5）2 __2___
(
y
5
2
)
2
(4)
y2
1 2
y
（1）2 __4__
(
y
1
2
)
4
它们之间有什么关系? 左边所填常数等于一次项系数一半的平方.
探究
怎样解方程 x2+6x+4=0.
21.2.1 配方法
（第2课时）
创设情境 温故探新
练一练：
1、用直接开平方法解下列方程:
(1) 9x2 1
(2) ( x 2)2 2
2、下列方程能用直接开平方法来解吗?
(1) x2 4x 4 3 (2) x2+6x+9 = 2
把两题转化成 (x+b)2=a(a≥0)的 形式，再利用开平 方法解方程
知识回顾：我们已经会解（x+3）2=5.因为它的左边 是含有x的完全平方式，右边是非负数，所以可以 直接降次解方程.
思考：能否将方程x2+6x+4=0转化为可以直接降次 的形式求解呢？
9/25/2020
体
x 2 6x 4 0
移项
现
x 2 6x 4
了
x 2 2bx b2 0
转
x 2 6x 9 4 9
移项，得2x2 - 3x -1
二次项系数化为1，得x2 3 x 1
2
2
配方x2
3
x
3
2
1
3
2 ,
2 4
2 4
x
3
2
1
4 16
由此可得
x3 1, 44
x1
1, x2
1 2
注意：方程的 二次项系数不 是1时，为便于 配方，可以让 方程的各项除 以二次项系数.
3移项，得3x2 6x 4
分析：（1）方程的二次项系数为1，直接运用配方法. （2）先把方程化成2x2-3x+1=0.它的二次项系数为2， 为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程的两 边都除以2.
P7 例1
解: 移项，得
x28x -1
配方： x2 8x 42 -1 42
(x 4)2 15 由此可得： x 4 15 ∴原方程的解为： x1 4 15 , x2 4 - 15
2、用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的步骤：
（1）移项 （2）化二次项系数为1 （3）配方 （4）开平方 （5）写出方程的解
布置作业
P17习题21.2复习巩固第3题
x1
1 2
2,
x2
1 2
2
(3) x1 3
21 3
,
x2
3
21 3
(4)
x1
3 4
21
,
x2
3
4
21
(5) 无解 (6) x1 2, x2 6
你解对了吗？
当堂测试 1
1．用配方法解下列一元二次方程时，配方有错误的是（C ）
A．x2 2x 9 0配方后得 x 12 10
源自文库
B．2x2
二次项系数化为1，得x2 2x 4 3
配方x2 2x 12 4 12 3
x 12 1
3 因为实数的平方不会是负数，
x所以x取任何实数时，x 12
都是非负数，上式都不成立， 即原方程无解.
归纳
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x n)2 p
（Ⅱ）
（1）当p>0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根
7x
4
0配方后得
x
7 4
2
81 16
C．x2 8x 9 0配方后得 x 42 25
D．3x2
4x
2
0配方后得
x
2 3
2
10 9
3 5
2.方程 x2 3x 1 0 的解是 x 2 ．
用配方法解方程： 2x2 1 3x
解：移项，得
2x2 3x 1
二次项系数化为1，得 x2 3 x 1 22
请同学们马上完成课本P9第2题
2. 解下列方程
(1) x2 10x 9 0
(3) 3x2 6x 4 0
(2) x2 x 7 0 4
(4) 4x2 6x 3 0
(5) x2 4x 9 2x 11
答案：(1) x1 1, x2 9
(6) x x 4 8x 12
(2)
配方，得
x2
3 2
x
3 4
2
1 2
3 4
2
x
3 4
2
1 16
由此可得
31 x ．
44
x1 1
，x2
1 2
拓展：
把方程x2-3x+p=0配方得到 (x+m)2= 1
2
(1)求常数p，m的值； (2)求方程的解。
小结
1、配方法：通过配方，将方程的左边化成一个含未
知数的完全平方式,右边是一个非负常数,运用直接 开平方求出方程的解的方法。
x1 n p, x2 n p;
（2）当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根
x1 x2 n; （3）当p<0时，因为对任意实数x，都有 (x n)2 0, 所以方程（Ⅱ）无实数根.
小结归纳 1
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
理性提升
例: 用配方法解方程
x2 6x 7 0
解: 移项得：x2 6x 7
配方得：x2 6x 32 7 32
即 (x 3)2 16
开平方得： x 3 4
∴原方程的解为：x1 1, x2 7
P7例题解析
例1：解下列方程：
1x2 8x 1 022x2 1 3x 33x2 6x 4 0
化
左边写成完全平方的形式
(x 3)2 5
的
降次
数
x3 5
学
思
x 3 5, x 3 5
解一元一次方程
想 x1 3 5, x2 3 5
可以验证， 3 5
是方程 x 2 6x 4 0
的两个根.
定义 把一元二次方程的左边配成一个完
全平方形式,然后用直接开平方法求解, 这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
填一填
(1) x2 2x __1_2 __ (x1)2
(2) x2 8x __4_2 __ (x4)2
(3)
y2
5
y
（5）2 __2___
(
y
5
2
)
2
(4)
y2
1 2
y
（1）2 __4__
(
y
1
2
)
4
它们之间有什么关系? 左边所填常数等于一次项系数一半的平方.
探究
怎样解方程 x2+6x+4=0.
21.2.1 配方法
（第2课时）
创设情境 温故探新
练一练：
1、用直接开平方法解下列方程:
(1) 9x2 1
(2) ( x 2)2 2
2、下列方程能用直接开平方法来解吗?
(1) x2 4x 4 3 (2) x2+6x+9 = 2
把两题转化成 (x+b)2=a(a≥0)的 形式，再利用开平 方法解方程
知识回顾：我们已经会解（x+3）2=5.因为它的左边 是含有x的完全平方式，右边是非负数，所以可以 直接降次解方程.
思考：能否将方程x2+6x+4=0转化为可以直接降次 的形式求解呢？
9/25/2020
体
x 2 6x 4 0
移项
现
x 2 6x 4
了
x 2 2bx b2 0
转
x 2 6x 9 4 9
移项，得2x2 - 3x -1
二次项系数化为1，得x2 3 x 1
2
2
配方x2
3
x
3
2
1
3
2 ,
2 4
2 4
x
3
2
1
4 16
由此可得
x3 1, 44
x1
1, x2
1 2
注意：方程的 二次项系数不 是1时，为便于 配方，可以让 方程的各项除 以二次项系数.
3移项，得3x2 6x 4
分析：（1）方程的二次项系数为1，直接运用配方法. （2）先把方程化成2x2-3x+1=0.它的二次项系数为2， 为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程的两 边都除以2.
P7 例1
解: 移项，得
x28x -1
配方： x2 8x 42 -1 42
(x 4)2 15 由此可得： x 4 15 ∴原方程的解为： x1 4 15 , x2 4 - 15
2、用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的步骤：
（1）移项 （2）化二次项系数为1 （3）配方 （4）开平方 （5）写出方程的解
布置作业
P17习题21.2复习巩固第3题
x1
1 2
2,
x2
1 2
2
(3) x1 3
21 3
,
x2
3
21 3
(4)
x1
3 4
21
,
x2
3
4
21
(5) 无解 (6) x1 2, x2 6
你解对了吗？
当堂测试 1
1．用配方法解下列一元二次方程时，配方有错误的是（C ）
A．x2 2x 9 0配方后得 x 12 10
源自文库
B．2x2
二次项系数化为1，得x2 2x 4 3
配方x2 2x 12 4 12 3
x 12 1
3 因为实数的平方不会是负数，
x所以x取任何实数时，x 12
都是非负数，上式都不成立， 即原方程无解.
归纳
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x n)2 p
（Ⅱ）
（1）当p>0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根
7x
4
0配方后得
x
7 4
2
81 16
C．x2 8x 9 0配方后得 x 42 25
D．3x2
4x
2
0配方后得
x
2 3
2
10 9
3 5
2.方程 x2 3x 1 0 的解是 x 2 ．
用配方法解方程： 2x2 1 3x
解：移项，得
2x2 3x 1
二次项系数化为1，得 x2 3 x 1 22
请同学们马上完成课本P9第2题
2. 解下列方程
(1) x2 10x 9 0
(3) 3x2 6x 4 0
(2) x2 x 7 0 4
(4) 4x2 6x 3 0
(5) x2 4x 9 2x 11
答案：(1) x1 1, x2 9
(6) x x 4 8x 12
(2)
配方，得
x2
3 2
x
3 4
2
1 2
3 4
2
x
3 4
2
1 16
由此可得
31 x ．
44
x1 1
，x2
1 2
拓展：
把方程x2-3x+p=0配方得到 (x+m)2= 1
2
(1)求常数p，m的值； (2)求方程的解。
小结
1、配方法：通过配方，将方程的左边化成一个含未
知数的完全平方式,右边是一个非负常数,运用直接 开平方求出方程的解的方法。
x1 n p, x2 n p;
（2）当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根
x1 x2 n; （3）当p<0时，因为对任意实数x，都有 (x n)2 0, 所以方程（Ⅱ）无实数根.
小结归纳 1
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.