向量的直角坐标运算

7.3.2平面向量的直角坐标运算

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6
问题: (1)已知 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 求 a b, a b的坐标. (2)已知a ( x, y )和实数 , 求 a 的坐标.
新课：平面向量的直角坐标运算：
(1)a b x1 i y1 j x2 i y2 j x1 x2 i y1 y2 j
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例2：已知 a (2,1), b ( 3, 4), 求a b, a b, 3a 4b 的坐标.
10
例4、 1已知A(2,3), B ( 3,5), 求BA 的坐标. 3,5 5, 2 . 解： BA 2,3 2), A (2,1), 求 B 的坐标. 2已知AB (1,
（2） a b ( x1 x2 , y1 y2 )
(3) a ( x1, y2 )
结论：两个向量差的横坐标等于这两个向量横坐标的差两个向量差的纵坐标等于这两个向量纵坐标的和
结论：实数与向量乘积的横坐标等于实数乘原来向量的横坐标；实数与向量乘积的纵坐标等于实数乘原来向量的纵坐标。
解：设B x,y ,
AB 1, 2 x, y 2,1 ,
1 x 2 即 2 y 1
x3 y 1
即B 3,-1 .
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11
3、已知 A( x1 , 巩固练习
AB ( x2 -x1 , y2 -y1 )
3、已知点A(X，5)关于点M (1，1)的中心对称点是 (－2，Y)，则X和Y的值分别是?
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空间向量运算的坐标表示

F1
0
,
1 4
，1 .
B
BE1
1 ,
3 4
, 1
(1 , 1 ,
0)
0
,
1 4
, 1
,
例2 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1
D1F1
A1B1 4
，求
BE1
与
DF1
所成的角的余弦值。
z
D1
F1
C1
DF1
0
,
1 4
，1 (0
,
0
,
0)
0
,
1 4
，1 .
A1
E1 B1
一、向量的直角坐标运算
设a (a1, a2, a3),b (b1,b2,b3)则 a b (a1b1,a2 b2,a3 b3) ; a b (a 1b1,a2 b2 ,a3 b3 );
a (a1,a2,a3),( R);
a b a1b1 a2b2 a3b3
;
a // b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3( R) ; a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 .
注意：
a1b1 a2b2 a3b3
;
a12 a22 a32 b12 b22 b32
（1）当 cos a , b 1 时，a 与 b 同向；（2）当 cos a , b 1 时，a 与 b 反向；
（3）当cos a , b 0 时，a b 。
思考：当 0 cos a , b 1及 1 cos a , b 0时，
2)求点A到直线EF的距离。 D1
(用向量方法）
F A1
C1 B1
E
D A
C B

向量的正交分解与向量的直角坐标运算

3.设A(2, 3)，B(5, 4)，C(7, 10) 满足设，，
AP = AB + λ AC
(1) λ为何值时点P在直线为何值时,点在直线在直线y=x上? 为何值时上 (2)设点在第三象限, 求λ的范围设点P在第三象限的范围. 设点在第三象限的范围解: (1) 设P(x, y)，则， (2) 由已知
(x－2, y－3)=(3, 1)+λ(5, 7), 5λ+5<0,7λ+4<0 , －－所以x=5λ+5，y=7λ+4. ，所以
1 解得λ 解得 = 2
所以λ<－所以－1.
2.设点在平面上做匀速直线运动速度向量设点P在平面上做匀速直线运动设点在平面上做匀速直线运动,速度向量设起始P(－秒钟后点P 设起始秒钟后点 v = (4, −3) ,设起始－10,10), 则5秒钟后点的坐标为( 的坐标为( ).
秒种后，点坐标为解：5秒种后，P点坐标为秒种后 (－10, 10)+5(4, －3)=(10, －5). －
| OC |= 1 + 36 = 37
tan α = 6 α=arctan 6
例5.已知□ABCD的三个顶点－2, 1)、B(－1, 已知的三个顶点A(－、－的三个顶点 3)、C(3, 4)，求顶点的坐标。、的坐标。，求顶点D的坐标解：OD = OA + AD = OA + BC
说明：说明：两个向量的和与差的坐标等于两个向量的相应坐标的和与差；相应坐标的和与差；数乘向量的积的坐标等与数乘以向量相应坐标的积。坐标的积。
已知A(x 的坐标. 例2.已知 1,y1）,B(x2,y2),求向量 AB 的坐标已知求向量解： AB = OB − OA =(x2,y2)－(x1,y1) － =(x2－x1，y2－y1)。。说明：一个向量的坐标等于向量终点的坐说明：一个向量的坐标等于向量终点的坐向量终点始点的坐标标减去始点的坐标。标减去始点的坐标。

空间向量的直角坐标及其运算

证：（1）∵ AP AB 1,2,12,1,4 0， AP AD 1,2,14,2,0 0 ，
∴ AP AB ， AP AD，又 AB AD A ， AP 平面 ABCD，
∴ AP 是平面 ABCD的法向量；解：（2） AB 22 12 42 21 ， AD 42 22 02 2 5 ，
∴ SABC
1 2
AB
AC
sin
A
101 。 2
7、在棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E, F 分别是 DD1、DB 中点，G 在棱CD 上，
CG
1 4
CD
，
H
是
C1G
的中点；
（1）求证： EF B1C ；（2）求 EF 与C1G 所成的角的余弦；（3）求 FH 的长。
解：如图以 D 为原点建立直角坐标系 D xyz ，
（3）证明线面平行：若直线的方向向量与平面的一个法向量垂直，则这直线与该平面平行；
（4）证明面面平行：若两个不重合平面的法向量平行，则这两个平面就互相平行。 11、用向量求异面直线所成角：
找出两条异面直线各自的一个方向向量，计算这两个向量的夹角，则（或的补角）
即为两条异面直线所成的角。
设 a、b 是异面直线， d1 是直线 a 的一个方向向量， d2 是直线b 的一个方向向量，异面
一、基本概念：
1、空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用 i, j,k
表示；
（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底 i, j,k ，以点O 为原点，分别以 i, j,k 的方向
为正方向建立三条数轴：x 轴、 y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴；我们称建立了一个空间直角坐标系 O xyz ，点O 叫原点，向量 i, j, k 都叫单位向量；通过每两个坐标轴的平

原创2：3.1.4 空间向量的直角坐标运算

解：以C为原点建立空间直角坐标系．
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)．∴||＝ 3，
∴BN的长为 3.
(2)依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
变式训练
∴ BA1＝(1，－1,2)， CB1＝(0,1,2)，
∴ BA1 ·CB1＝3.
原点O重合，得到向量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有
序实数组{x，y，z}，使得p＝
xԦi＋yԦj＋zkԦ
.把 x，y，z 称作向
量p在单位正交基底Ԧi，Ԧj，k 下的坐标，记作 p＝(x，y，z) .
走进教材
2．空间向量运算的坐标表示
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
Ԧ ∙
cos<a，b>
Ԧ ||
走进教材
3.空间中向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则
(1)＝ (a2－a1，b2－b1，c2－c1) ；
(2)d AB＝||＝
(a2−a1)2 +(b2−b1)2 +(c2−c1)2
.
(1)设|Ԧc|＝3，Ԧc∥BC，求Ԧc；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
【解析】
(1)∵BC＝(－2，－1,2)，且Ԧc∥BC，∴设Ԧc＝λBC＝(－2λ，－λ，2λ).
∴|Ԧc|＝ (－2λ)2 +(－λ)2 +(2λ)2 ＝3|λ|＝3.解得λ＝±1.
∴Ԧc＝(－2，－1,2)或Ԧc＝(2,1，－2).
＝1×(－1)＋1×0＋0×2＝－1
∴(－1,0,2)＝(x－2y，x－y,2y)

空间向量的坐标和运算

空间向量的坐标和运算一、空间向量的坐标和运算1.空间直角坐标系在单位正方体$oabc$-$d$′$a$′$b$′$c$′中，以$o$点为原点，分别以射线$oa$，$oc$，$od$′的方向为正方向，以线段$oa$，$oc$，$od$′的长为单位长，建立三条数轴：$x$轴、$y$轴、$z$轴。

这时我们说建立了一个空间直角坐标系$oxyz$，其中点$o$叫做坐标原点，$x$轴、$y$轴、$z$轴叫做坐标轴。

通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为$xoy$平面、$yoz$平面、$xoz$平面。

2.空间矢量的坐标一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

如果$a（x_1，y_1，z_1）$，$B（x_2，y_2，z_2）$，那么$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{ob}-\overrightarrow{OA}$=$（x_2-x_1$，$y_2-y_1$，$z_2-z_1）$。

3、空间向量的坐标运算设置$\boldsymbol（x_1，y_1，z_1）$，$\boldsymbol B（x_2，y_2，z_2）$，然后（1）$\boldsymbola+\boldsymbolb$=$(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$。

（2） $\boldsymbola-\boldsymbolb$=$（x_1-x_2，y_1-y_2，z_1-z_2）$（3）$\boldsymbola·\boldsymbolb$=$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$。

（4） $|\boldsymbola |=\sqrt{x^2_1+y^2_1+z^2_1}$（5）$λ\boldsymbola=（λx_1,λy_1,λz_1）$。

4.平行（共线）和垂直空间向量的充要条件设非零向量$\boldsymbola(x_1,y_1,z_1)$，$\boldsymbolb(x_2,y_2,z_2)$，则$\boldsymbola∥\boldsymbolb\leftrightarrow\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}=λ（λ∈\mathbf{r}）$$\boldsymbola⊥\boldsymbolb\leftrightarrow\boldsymbola·\boldsymbolb=0\leftrig htarrow$$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0$。

向量的直角坐标运算(教材分析)

《平面向量的直角坐标运算》教材分析《向量的直角坐标运算》，主要研究两类问题：(一)、向量的直角坐标和向量的直角坐标运算(二)、培养学生的创新精神和实践水平，履行“以学生发展为本”的教育思想。

下面对这节课的内容实行分析：本节的授课内容为《向量的直角坐标》，选自中等职业教育国家规划教材《数学》（提升版）第一册第六章第六节，我从四个方面实行教材分析。

1、教材的地位和作用向量的直角坐标将平面向量和一对有序实数建立了一一对应关系；向量的直角坐标运算，则使向量的运算完全数量化，将数与形紧密地结合起来，为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。

这样，用向量的方法解决几何问题更加方便，从而极大地提升了学生利用向量知识解决实际问题的水平。

同时，这节课的教学内容和教学过程对进一步培养学生观察、分析和归纳问题的水平具有重要意义。

2、教材的处理结合教参和学生的学习水平，《向量的直角坐标》安排能够2课时。

本节为第一课时。

根据当前学生的状况和以往的经验，我发现，虽然这节课的内容比较简单，但由于老师讲解的过多，导致学生丢失了很多重要的知识。

为了激发学生的学习热情，在平面向量分解定理为背景下，能够以复习提问的形式，引出向量的直角坐标的定义；以讨论的形式得出向量直角坐标运算的规律，直接切入本节课的知识点。

之后，由浅入深，由低到高地设计了三个层次的问题，逐步加深学生对向量直角坐标的记忆和理解。

由此，可对教材的引入、例题和练习做了适当的补充和修改。

3、教学重点与难点根据学生现状、教学要求以及教材内容，确立本节课的教学重点为：明确平面向量的坐标和点的坐标的关系并熟练地掌握向量的直角坐标运算。

由学生的实际情况——使用所学知识分析和解决实际问题的水平较差，把本节课的难点定为：向量直角坐标运算的使用。

要突破这个难点，关键在于紧扣向量直角坐标运算的相关知识，去发现解决问题的方法。

4、教学目标的分析根据教学要求，教材的地位和作用，以及学生现有的知识水平和数学水平，本节课的教学目标可确定为三个方面：（1）知识教学目标：理解向量的坐标表示法与平面向量和一对有序实数的一一对应关系；会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；（2）水平目标：利用向量的坐标能够使向量运算完全代数化，实现了形向数的转化；（3）情感、态度与价值观：理解向量与其他知识之间的紧密关系，培养学生的学习兴趣及探索精神．。

空间向量的直角坐标运算律

.空间向量的直角坐标运算律：（1）若，，则．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

（2）若，，则，，，，，；，．夹角公式：．（3）两点间的距离公式：若，，则或。

对于垂直问题，一般是利用进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．2．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式。

3．用向量法求距离的公式设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为（如图）。

向量法在求空间角上的应用平面的法向量的求法：设n=(x,y,z)，利用n与平面内的两个不共线的向a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量（如图）。

线线角的求法：设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为。

（注意：线线角的范围[00,900]）线面角的求法：设n是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为（如图）。

二面角的求法：设n1，n2分别是二面角的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）利用法向量求空间距离⑴点A到平面的距离：，其中，是平面的法向量。

⑵直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。

⑶两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。

①线线平行的判定：判定定理性质定理判定定理判定定理性质定理判定定理总结：从中可以看出，一般情况下，往往借助一些“性质定理”来构造满足“判定定理”的条件。

(2)还会考查到的位置关系：异面直线的判定。

判定方法：定义(排除法与反证法)、判定定理。

二、基本例题例1已知：分析：利用线面平行的性质与平行公理。

注意严格的公理化体系的推理演绎。

说明：过l分别作平面∴l∥m同理l∥n∴m∥n又又例2. 已知：AB是异面直线a、b的公垂线段，P是AB的中点，平面经过点P且与AB垂直，设M是a上任意一点，N是b 上任意一点。

空间向量的坐标运算精选全文完整版

| AC | | BB1 | cos 900 0 AD1 DB1 AD1 DA AD1 AB AD1 BB1 | AD1 | | DA | cos1350 | AD1 | | AB | cos 900
| AD1 | | BB1 | cos 450 0 又AD1 AC A,
AD1 DB1, AC DB1. DB1 平面ACD1.
xA‘
y B(3,4,0)
与y轴垂直的坐标平面是___x_o__z___ A'(3, 4, 5)
与z 轴垂直的坐标平面是___x_o_y____
(2)点P(2,3,4)在 xoy平面内的射影是_(_2_,3_,_0_)
在 xoz 平面内的射影是_(2_,_0_,4_)_
在 yoz平面内的射影是_(0_,_3_,4_)_
(2)a 6b 8c _(2_,_-3_,_1_)_+_(_12,0,18)+(0,0,-16)
=(14,-3,3)
练习Ｐ39 8.判定下列各题中的向量是否平行: (1) (1,2,-2)和(-2,-4,4), (2) (-2,3,5)和(16,-24,40). 解: (1) (-2,-4,4) = -2 (1,2,-2)
数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样
就建立了一个空间直角坐标系O — x y z .
点O叫做原点，向量 i, j, k
z k
都叫做坐标向量.通过每两个
y
i 坐标轴的平面叫做坐标平面。
O
j
x
三、向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向量
a ,且设 i, j, k为坐标向量，由空z a
间向量基本定理，存在唯一的有
D1 A1
D

空间向量的直角坐标运算(定稿)

轴．同时，使尽可能多的点在坐标轴上
或坐标平面内．这样可以较方便的写出点的坐标．
小结：
1、空间向量的坐标运算； 2、利用向量的坐标运算判断空间几何关系的关键：
首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。
A1
z D1 C1
B1A B xFra biblioteky D C 问题：与坐标平面平行的向量 b 的坐标有何
特点？总结：三个坐标中有一个为0，其余两个不为0
例 1．已知 a =(1，1，0)， b =(0，1，1)， c =(1，0，1)， p = a － b ， q = a +2 b － c ，求 p , q, p q 。
学习小结:
1.基本知识： (1)空间向量的坐标运算（2）向量的长度公式与两点间的距离公式；（3）两个向量的夹角公式。 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题时，
可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，
借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明.
3．关于空间直角坐标系的建立
建系时，要根据图形特点，充分利用图形中的垂直关系确定原点和各坐标
答案
空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运
算，算法是相同的，但空间向量比平面向量多一竖坐标，竖坐标的处理方式与横坐标、纵坐标是一样的．
问题已知 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则 a、b 共线 a1 b1 c1 的充要条件为＝＝，对吗？ a2 b2 c2
答案不对．∵a2，b2，c2 中会有为零的情况，只有 b 与三个坐标平面都不平行时，条件才是充要的．
i x
Oj
y

向量的直角坐标运算

2.已知点 A（-1，-3），B（0，-1），C(1，1)，求证：A，B，C 三点共线．
1．向量的直角坐标
a a 1 e 1 a 2 e 2 ( a 1 , a 2 )
2．向量的直角坐标运算
⑴两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
⑵数乘向量积的坐标等于数乘上向量相应坐标的积. ⑶一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的相应坐标．
⑵
a ( 3 ,0 )b , ( 0 ,4 )
2.已知 A，B 两点的坐标 , 求 AB , BA 坐标．
⑴ A(3， 4),B(6， 3) ⑵ A(3， 6),B(8， 7)
例4 已知点 A(2， 1)，B (1，3) , 求线段 AB 中点 M 的坐标．
解：因为 ABOBOA(1， 3)(2， 1) (3，2)．
设 a (a 1 ,a 2 ) ，b(b 1,b 2)，则 a b ( a 1 , a 2 ) ( b 1 , b 2 ) (a1b 1,a2b2)； a b ( a 1 , a 2 ) ( b 1 , b 2 )
(a1b 1,a2b2)； a ( a 1 , a 2 ) ( a 1 ,a 2 ) ．
谢谢大家! 请各位批评指正
y
A(x, y)
2 ．向量的坐标与点的坐标之间有何关系？
设点 A 的坐标为 A(x, y)
则
O x A e 1 y e 2 ( x ,y )
ye2
e2
0
e1
xe1
x
结论：
一一对应
向量 OA 的坐标
点A(x, y)
例1
如图，用基向量 e1 ，e2
分别表示向量
a,b,c,d
并求出它们的坐标．

课件5：3.1.4空间向量的直角坐标运算

|b|＝_____________________________，
a1b1＋a2b2＋a3b3
a·b
2
2
2
2
2
2
cos<a，b>＝
＝_________________________.
a
＋a
＋a
b
＋b
＋b
1
2
3
1
2
3
|a||b|
设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
2
2
2
→
x
－x
求：
（1）< ，>（精确到0.1°）；
（2）在上正投影的数量（精确到0.01）.
解：（1）由点A，B，C的坐标可得
=（-1,2,0），=（1,1,3）
||= 5 ， ||= 11 ，
||·||= -1×1+2×1+0×3=1，
因此cos< ，>=
AB·AC
5．已知向量a＝(－2,2,0)，b＝(－2,0,2)，
求向量n使n⊥a，且n⊥b.
解
设 n＝(x，y，z)，
则 n·a＝(x，y，z)·(－2,2,0)＝－2x＋2y＝0，
n·b＝(x，y，z)·(－2,0,2)＝－2x＋2z＝0.
－2x＋2y＝0，
解方程组
可得 y＝x，z＝x.
－2x＋2z＝0，

＋y
－y

＋z
－z

2
1
2
1
2
1
|AB|＝________________________________.
名师点拨：(1)空间向量的坐标是空间向量的一种形

直角坐标系中的向量运算

直角坐标系中的向量运算直角坐标系中的向量具有非常重要的地位，在物理学、力学、几何学等领域中得到了广泛应用。

通过向量运算，可以描述和求解各种复杂的几何关系和物理问题。

本文将介绍直角坐标系中的向量基本概念、向量加法、向量减法、数量积和向量积，并探讨其相应的计算方法和几何意义。

1. 向量的基本概念在直角坐标系中，向量可以用有序数对或坐标表示。

例如，一个向量a可以表示为a = (a₁, a₂, a₃)，其中a₁、a₂、a₃分别是向量a在x、y和z轴上的分量，也称作向量的坐标或分量。

2. 向量加法向量的加法满足交换律和结合律。

对于两个向量a = (a₁, a₂, a₃)和b = (b₁, b₂, b₃)，它们的和向量c = a + b的分量满足c₁ = a₁ + b₁，c₂ = a₂ + b₂，c₃ = a₃ + b₃。

直观上，向量加法表示将两个向量的相应分量相加得到一个新的向量。

3. 向量减法向量的减法可通过向量加法来实现。

对于两个向量a和b，它们的差向量c = a - b可以表示为c = a + (-b)，即向量a加上向量-b的结果。

向量-b即为向量b的每个分量取相反数得到的向量。

差向量的分量计算规则与向量加法相同。

4. 数量积（点积）数量积，也称点积（Dot Product），是两个向量的数量乘积再相加的结果。

对于两个向量a = (a₁, a₂, a₃)和b = (b₁, b₂, b₃)，它们的数量积a·b（或a*b）定义为a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。

数量积可以用来求解向量的模、夹角和判断两个向量是否垂直。

5. 向量积（叉积）向量积，也称叉积（Cross Product），是两个向量的向量乘积。

对于两个向量a = (a₁, a₂, a₃)和b = (b₁, b₂, b₃)，它们的向量积a×b定义为一个新的向量c = (c₁, c₂, c₃)，其中c₁ = a₂b₃ - a₃b₂，c₂ =a₃b₁ - a₁b₃，c₃ = a₁b₂ - a₂b₁。

3.1.4 空间向量的直角坐标运算

4. 1已知向量a 2, 4,5 , b 3, x, y , 若a / / b, 求x, y的值. a 2, 4, x , b 2, y, 2 , 若 a 2已知：的值. 6, 且a b, 求x y
2 4 5 15 解： 1因为a / /b, 所以 , 得x 6, y . 3 x y 2 2 2 4 y 2 x 0 2 因为a b且 a 6, 所以 2 2 2 2 4 x 6, x 4, x 4, 或所以x y 1或x y 3. y 3, y 1.
3.1.4
空间向量的直角坐标运算
z
O
k
a
y
i j
x
思考：如上图，在空间直角坐标系的x轴，y轴，z轴的正方向上分别作出三个单位向量i, j , k , 对于空间中的任一向量a，如何表示为这三个向量的线性组合？
1.了解空间直角坐标系的建立，理解空间向量的坐标
及点的坐标的概念，掌握空间向量运算法则，会用
C

2.已知点A 1, -2,11 , B 4, 2,3 , C 6, -1, 4 , 则ABC的形状是
直角三角形 . ____________
3.已知a 2,3,1 , b 2, 0,3 , c 0, 0, 2 则a b c
9 a 6b - 8c （ 14,3,3） ____, ________ .
坐标运算法则求向量的坐标.（重点）
2.掌握空间向量平行和垂直的条件，能够证明空间两
个向量的平行和垂直.（重点、难点）
3.掌握两个向量的夹角与向量长度的坐标计算公式. （重点）

课件1：3.1.4空间向量的直角坐标运算

4．几何中的平行和垂直可以利用向量进行判断，利用直线的方向向量的关系可以证明直线的平行和垂直；距离、夹角问题可以借助于空间直角坐标系利用数量积解决．
1．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c
－a)·(2b)＝－2，则x的值为( )
A．2
B．－2
C．0
D．1
图3－1－33
1．e1，e2，e3共面吗？
【提示】不共面． 2．试用e1，e2，e3表示A→B1. 【提示】 A→B1＝4e1＋4e2＋4e3. 3．若M为A1B1的中点，能否用e1＝4e1＋2e2＋4e3.
1．建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做单位正交基底．单位向量i，j，k都叫做坐标向量．
所以 c＝(－2，－1,2)或 c＝(2,1，－2)．
(2)由题意可知，a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，所以 ka＋b＝(k －1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，又(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，所以(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝k2＋k －2＋k2－8＝0，即 2k2＋k－10＝0，所以 k＝2 或 k＝－52.
1．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
2．空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算，先算括号里，后算括号外．
已知A，B，C三点的坐标分别为A(3，－2,3)，B(2,1，－
1)，C(－1,0,3)，求点D的坐标(O为坐标原点)，使(1)

3.1.4空间向量的直角坐标运算

七、当堂训练（ 8 分钟）
15
OA与BO的夹角
5. 已知 a (3, 2,5), b (1, 3,0), c (7, 2,1) ，求 2 | a b c | (4) cos a, b (1) a b c （2）(a b) c （3）
三、学习目标：(10s)
1. 掌握向量的坐标表示、坐标运算。 2．掌握平行向量、垂直向量坐标之间的关系。 3．掌握两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式。 4.体会类比思想在空间向量公式推导当中的应用。
四、自学指导:（7分钟）
认真阅读课本P89-P91，并注意以下问题：
1.空间向量的直角坐标运算：建立空间直角坐标系的方法以及如何用坐标表示向量的加减、数乘、数量积？ 2.空间向量平行和垂直的条件是什么？ 3.怎样表达两个向量的夹角？ 4.向量长度的坐标计算公式是什么？（限时7分钟，7分钟后进行检测，看谁能利用本节知识做对检测题）
3.空间向量平行和垂直的条件
若 a (a1 , a2 , a3 ) b (b1 , b2 , b3 )
a // b (b 0)
当b 与三个坐标平面都不平行时
a1 a 2 a3 b1 b2 b3
b1 a ___ 1 a b ( R) b2 a2 ___ a ___ 3 b
则 a
a a a
2 1 2 2
————————
Cos a, b
AB
2 2 2 a12 a 2 a3 b12 b2 b32 若 A( x1 , y1 , z1 ) B( x2 , y2 , z2 ) 则
a b ———————— = ab

直角坐标系向量叉乘公式

直角坐标系向量叉乘公式引言在数学中，向量是一个具有大小和方向的量，常用于描述物体在空间中的位置或运动。

在三维空间中，我们常使用直角坐标系来描述向量。

向量的叉乘是一种向量运算，用于求解两个向量的正交向量。

一、向量的定义在直角坐标系中，一个向量可以用其在坐标系的三个轴上的分量表示。

一个一般的向量可以表示为：A = (Ax, Ay, Az)其中，Ax、Ay和Az分别表示向量A在x、y和z轴上的分量。

二、向量的叉乘定义给定两个向量A = (Ax, Ay, Az)和B = (Bx, By, Bz)，它们的叉乘结果可以表示为：C = A × B向量C称为向量A和向量B的叉乘结果。

叉乘的结果是一个新的向量，它的方向垂直于向量A和向量B所在的平面。

三、向量叉乘的计算公式向量的叉乘可以通过以下公式来计算：Cx = AyBz - AzByCy = AzBx - AxBzCz = AxBy - AyBx其中，Cx、Cy和Cz分别表示向量C在x、y和z轴上的分量。

四、向量叉乘的几何意义从向量叉乘的计算公式可以看出，向量叉乘的结果是一个新的向量，其方向垂直于向量A和向量B所在的平面。

其长度等于以向量A和向量B为邻边所构成的平行四边形的面积。

五、叉乘的应用向量叉乘在物理学、工程学等领域有广泛的应用。

例如，在力学中，当两个物体发生碰撞时，叉乘可以用来计算作用在物体上的力矩；在电磁学中，叉乘可以用来计算磁场的方向和强度。

六、向量叉乘的性质向量叉乘具有以下性质：1.叉乘的结果是一个垂直于原来两个向量所在平面的向量。

2.叉乘满足右手法则，即当右手的拇指指向向量A，食指指向向量B时，中指的方向即为叉乘结果C的方向。

3.如果两个向量平行或反向，则它们的叉乘结果为零向量。

结论向量的叉乘是一种重要的向量运算，它可以用来求解两个向量的正交向量。

叉乘的计算公式可以帮助我们准确地获得叉乘结果的各个分量。

叉乘在数学和物理学中有广泛的应用，并具有许多重要的性质。

向量的坐标公式

向量的坐标运算公式是什么？
向量的坐标运算公式：a+b=(x+m，y+n)。

向量最初被应用于物理学．很多物理量如力速度位移以及电场强向量度磁感应强度等都是向量。

大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。

“向量”一词来自力学解析几何中的有向线段。

最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。

向量的坐标表示这个向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。

在平面直角坐标系中，分别取x轴和y轴上的基地向量i、j；作一向量a，有且只有一对实数（x，y）是a=xi+yj，把这对实数（x，y）叫做向量a的坐标。

向量的运算规则：
向量的数量积的性质
(1)a·a=∣a∣²≥0
(2)a·b=b·a
(3)k(ab)=(ka)b=a(kb)
(4)a·(b+c)=a·b+a·c
(5)a·b=0<=>a⊥b
(6)a=kb<=>a//b
(7)e1·e2=|e1||e2|cosθ=cosθ。