矩阵的乘法ppt课件
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矩阵的运算优秀课件
(A
E )n
An
Cn1 An1
C
2 n
An2
Cnn1 A
E
3. 求矩阵A的n次幂的方法. 措施一 数学归纳法
先计算A2, A3等, 发现Ak的规律,再用数学归纳法证明之.
例1
设
A
1 0
11 , 求 An
解
A2
1 0
12 1
10
11 10
11
1 0
2 1
同理,
A3
A2
A
1 0
13
猜测
An
,
求An
1
1
n
1
n n
n
解
将A分解成A
E
1 n
B,
其中B
111
1
1
1
111,容易得出B2 nB
于是 A2
(E
1 n
B)2
E2
2 n
EB
1 n2
B2
E
2 n
B
1 n2
nB
E 1 B A(幂等矩阵),故An A.
n
措施三 利用乘法结合律 若A T , 其中 , 都是n 1矩阵(列矩阵).利用乘法结合律,
三、矩阵旳幂乘
1、定义 设A是一种n阶矩阵，对于正整数k, Ak AA A
k个
称为A旳k次幂。 2、幂乘旳运算规律：任意正整数 k , l ,有
Ak Al Akl , Ak l Akl
但一般来说 ( AB)k Ak Bk ,
例题 设A, B为n阶方阵, E为n阶单位矩阵,以下式子哪些成立 ?
由矩阵相等旳定义,得
x1 x3
x2 x4
得
矩阵乘法的ppt课件
分步矩阵乘法
总结词
将矩阵乘法拆分成多个步骤，逐步进行计算。
详细描述
分步矩阵乘法是一种将矩阵乘法拆分成多个步骤，逐步进行计算的方法。这种方法可以 降低计算复杂度，提高计算效率。同时，通过逐步计算，可以更好地理解矩阵乘法的运
算过程。
04
矩阵乘法的应用
在线性代数中的应用
线性方程组的求解
矩阵乘法可以用于求解线性方程 组，通过将系数矩阵与增广矩阵 相乘，得到方程的解。
线性最小二乘法
矩阵乘法可以用于求解线性最小二乘问题，通过将系数矩阵与观测 矩阵相乘，得到最小二乘解。
插值和拟合
矩阵乘法可以用于插值和拟合数据，通过将系数矩阵与观测矩阵相 乘，得到插值或拟合函数。
在计算机图形学中的应用
3D模型变换
01
矩阵乘法在计算机图形学中广泛应用于3D模型变换，包括平移、
旋转和缩放等操作。
矩阵乘法的PPT课件
目 录
• 矩阵乘法的基本概念 • 矩阵乘法的性质 • 矩阵乘法的计算方法 • 矩阵乘法的应用 • 矩阵乘法的注意事项
01矩阵乘Βιβλιοθήκη 的基本概念定义矩阵乘法
矩阵乘法是一种数学运算，通过将一个矩阵与另一个 矩阵相乘，得到一个新的矩阵。
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，行和列都有一定 的数量。
矩阵的元素
矩阵中的每个元素都有一个行索引和一个列索引，用 于标识其在矩阵中的位置。
矩阵乘法的规则
1 2
矩阵乘法的条件
两个矩阵A和B可以进行乘法运算，当且仅当A的 列数等于B的行数。
矩阵乘法的步骤
将A的列向量与B的行向量对应相乘，然后将得 到的结果相加，得到新的矩阵C的元素。
3
矩阵代数ppt课件
特征向量
对于一个给定的矩阵A，如果存在一 个非零向量x，使得Ax = λx成立，则 称x为矩阵A的对应于特征值λ的特征 向量。
特征值与特征向量的计算
定义法
根据特征值和特征向量的定义，通过解方程组Ax = λx来计算特征值和特征向量。
幂法
通过计算矩阵A的幂来逼近特征值和特征向量，即通过计算A^n x来逼近Ax = λx的解。
04
矩阵分解
矩阵的三角分解
总结词
三角分解是一种将一个矩阵分解为一个 下三角矩阵和一个上三角矩阵之和的方 法。
VS
详细描述
三角分解也称为LU分解，它将一个矩阵A 分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩 阵U的乘积，即A = LU。这种分解对于解 决线性方程组和计算行列式值等数学问题 非常有用。
矩阵的QR分解
谱分解法
将矩阵A进行谱分解，即A = Σλi Pi，其中Σ为对角矩阵，λi为特征值，Pi为特征向量所构 成的特征矩阵。通过谱分解可以方便地计算出矩阵A的特征值和特征向量。
特征值与特征向量的性质
特征值的唯一性
一个矩阵的特征值是唯一的，但对应于同一特征值的特征向量不一定唯一。
特征向量的正交性
对应于不同特征值的特征向量是正交的，即如果λ1≠λ2，那么对应于λ1和λ2的特征向量x1和x2是正交 的。
总结词
矩阵的加法、数乘、乘法运算规则
详细描述
矩阵的加法运算规则是对应行和列的元素相加，数乘运算规则是对应元素乘以一 个常数，乘法运算规则是按照一定的规则对应元素相乘。
矩阵的逆与行列式
总结词
矩阵的逆、行列式的定义与性质
详细描述
矩阵的逆是一个特殊的矩阵，与原矩阵相乘为单位矩阵，行列式反映了矩阵的某些重要性质。
对于一个给定的矩阵A，如果存在一 个非零向量x，使得Ax = λx成立，则 称x为矩阵A的对应于特征值λ的特征 向量。
特征值与特征向量的计算
定义法
根据特征值和特征向量的定义，通过解方程组Ax = λx来计算特征值和特征向量。
幂法
通过计算矩阵A的幂来逼近特征值和特征向量，即通过计算A^n x来逼近Ax = λx的解。
04
矩阵分解
矩阵的三角分解
总结词
三角分解是一种将一个矩阵分解为一个 下三角矩阵和一个上三角矩阵之和的方 法。
VS
详细描述
三角分解也称为LU分解，它将一个矩阵A 分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩 阵U的乘积，即A = LU。这种分解对于解 决线性方程组和计算行列式值等数学问题 非常有用。
矩阵的QR分解
谱分解法
将矩阵A进行谱分解，即A = Σλi Pi，其中Σ为对角矩阵，λi为特征值，Pi为特征向量所构 成的特征矩阵。通过谱分解可以方便地计算出矩阵A的特征值和特征向量。
特征值与特征向量的性质
特征值的唯一性
一个矩阵的特征值是唯一的，但对应于同一特征值的特征向量不一定唯一。
特征向量的正交性
对应于不同特征值的特征向量是正交的，即如果λ1≠λ2，那么对应于λ1和λ2的特征向量x1和x2是正交 的。
总结词
矩阵的加法、数乘、乘法运算规则
详细描述
矩阵的加法运算规则是对应行和列的元素相加，数乘运算规则是对应元素乘以一 个常数，乘法运算规则是按照一定的规则对应元素相乘。
矩阵的逆与行列式
总结词
矩阵的逆、行列式的定义与性质
详细描述
矩阵的逆是一个特殊的矩阵，与原矩阵相乘为单位矩阵，行列式反映了矩阵的某些重要性质。
矩阵的乘法PPT精品课件
b11 b21 b31
b12
b22
b32
C
c11 c21
c12 c22
如果 c11 a11 b11 a12 b21 a13 b31
c12 a11 b12 a12 b22 a13 b32
矩阵A的第1行的行向 量与矩阵B的第1列的 列向量的数量积
c21 a21 b11 a22 b21 a23 b31 c22 a21 b12 a22 b22 a23 b32
AB
0 0
00
BA
3 3
33
(2)
AC
3 3
00
AD
3 3
0 0
(3)
(BA)C
3 3
33
2 1
3 3
9 9
00
B(
AC
)
2 2
11
3 3
00
9 9
00
(4)
A(C
D)
1 1
11
3 3Βιβλιοθήκη 226 600AC
AD
3 3
0 0
3 3
0 0
6 6
00
（1）两矩阵可乘的条件： 矩阵A的列数与矩阵B的行数是相等的。
乙同学的语文总评成绩为 900.3+700.3+800.4=80
丙同学的语文总评成绩为 600.3+800.3+900.4=78
75
C 80
78
我们还可以利用矩阵某种运算得到上述 总评成绩，这就是我们今天要学习的主题。
1. 矩阵乘法的定义
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
,
B
平衡膳食宝塔说明
第二章 矩阵的运算及与矩阵的秩ppt课件
钢笔 100 150
铅笔 300 260
.
§2.1 矩阵的基本运算
每种商品进货单价和销售单价（元）如下表：
圆珠笔 钢笔 铅笔
进货单价 6 9 3
销售单价 8 12 4
.
§2.1 矩阵的基本运算
求每个月的总进货额和总销售额。
金额 月份
总进货额
总销售额
九月 200×6+100×9+300×3 200×8+100×12+300×4
0 0 2 5
0 1 8
0
0 0
A1
A2
0 0 0 3 2 0
A3
0 0 0 0 0 9
.
二、分块矩阵的运算
§2.2 分块矩阵
1．分块矩阵相加、减
设A、B是两个用相同方法分块的同型矩阵
A11
设Amn
A21 M
A12 L A22 L MO
Ap1 Ap2 L
A1q
B11 B12 L
001 a 31 a 32 a 33 a 3 4 a 31 a 32 a 33 a 34
.
§2.1 矩阵的基本运算
1 0 0 0
a11 A(E 2,3)a21
a12 a22
a13 a23
a a1 24 40 0
0 1
1 0
0 0a a1 21 1
a13 a23
a12 a22
a14 a24
P 1 P 2LP sA Q 1 Q 2LQ tB
.
三、矩阵的转置
§2.1 矩阵的基本运算
定义2.3：把m×n矩阵A的行和列依次互换得到的一个 n×m 矩阵，称为A的转置，记作AT或A’.
人教A版高中数学选修4-2-2.1-复合变换与二阶矩阵的乘法-课件(共28张PPT)
复合变换与二阶矩阵的乘法
1. 什么是复合变换? 其变换公式是怎样 的?
2. 矩阵的乘法是怎样计算的? 它有什么 性质?
问题1. 如图,
已知向量
a=
x y
,
依次作两次旋转
变换 Rq 1, Rq 2 , 两次变换是否可以用一次变换得到? 若第一次作旋转变换 Rq 1, 第二次作关于 x 轴的反射 变换呢? 如果两次变换可以用一次变换得到? 那么变
.
（2）R90·s :
x y
=
0 1
1 0
1 2 0
0 1
x y
=
0
1 2
1 0
x y.
则复合变换公式为
x y
= =
1 2
y, x.
（3）∵ 0 1 10
1 2 0
0 1
1 0
=
0
1 2
1 0
1 0
=
0
1.
2
0 1 10
1 2 0
0 1
0 1
=
0
1 2
1 0
0 1
=
1 0
.
复合变换 R90·s 把单位正方形区域变成了以向量
x y
=
cos(q1 q2) sin(q1 q2)
sin(q1 q2) cos(q1 q2)
x y
=
xcos(q1 q2) ysin(q1 q2) xsin(q1 q2) ycos(q1 q2)
.
∴变换公式为
x y
= =
xcos(q1 q2) xsin(q1 q2)
ysin(q1 ycos(q1
q2), q2).
2 1
1 1
0 1
1. 什么是复合变换? 其变换公式是怎样 的?
2. 矩阵的乘法是怎样计算的? 它有什么 性质?
问题1. 如图,
已知向量
a=
x y
,
依次作两次旋转
变换 Rq 1, Rq 2 , 两次变换是否可以用一次变换得到? 若第一次作旋转变换 Rq 1, 第二次作关于 x 轴的反射 变换呢? 如果两次变换可以用一次变换得到? 那么变
.
（2）R90·s :
x y
=
0 1
1 0
1 2 0
0 1
x y
=
0
1 2
1 0
x y.
则复合变换公式为
x y
= =
1 2
y, x.
（3）∵ 0 1 10
1 2 0
0 1
1 0
=
0
1 2
1 0
1 0
=
0
1.
2
0 1 10
1 2 0
0 1
0 1
=
0
1 2
1 0
0 1
=
1 0
.
复合变换 R90·s 把单位正方形区域变成了以向量
x y
=
cos(q1 q2) sin(q1 q2)
sin(q1 q2) cos(q1 q2)
x y
=
xcos(q1 q2) ysin(q1 q2) xsin(q1 q2) ycos(q1 q2)
.
∴变换公式为
x y
= =
xcos(q1 q2) xsin(q1 q2)
ysin(q1 ycos(q1
q2), q2).
2 1
1 1
0 1
矩阵的乘法ppt课件
乘积的和. 即
c ij a i1 b 1 j a i2 b 2 j a ib n n,j
i 1 ,2 , ,m ;j 1 ,2 , ,p .
运算过程演示
演示
完整版课件
5
由矩阵的定义可以看出:
1. 两个矩阵的乘积AB亦是矩阵, AB的行数等
于矩阵A的行数, AB的列数等于矩阵B的列
数.
2. 前行乘后列: 乘积矩阵AB中第i行第j列的
程组也唯一地确定它的增广矩阵, 我们令
完整版课件
13
b1
B
b2
,
bm
计算矩阵乘积AX
x1
X
x2
x n
a11 AX a21
am1
a12 a22
am2
a a am 1 2n nn xxx1 n 2aa am 2 11x1 x1 x11 1 a a am 1 22 2 2 xxx2 22 a a a1 2m nnxxxnnnn,
这个计算过程可以用如下的矩阵形式来表示：
12 11 6 A 11 11 7
11 10 7
3 B 4
2
AB
123 113
1111 44 76 22
92 91
113 10472 87
完整版课件
4
定义 设A=(aij)是m×n矩阵，B=(bij)是 n×p矩阵，则A与B的乘积AB是一个m×p矩 阵，这个矩阵的第i行第j 列位置上的元素cij等 于A 的第i行的元素与B的第j列的对应元素的
因此, n阶方阵In在矩阵的乘法运算中所起的作
用相当于数1在数的乘法运算中所起的作用, 这就是
为什么把 In称为单位矩阵的原因. 我们以后还会发
现In的更多的类似于数1的性质.
c ij a i1 b 1 j a i2 b 2 j a ib n n,j
i 1 ,2 , ,m ;j 1 ,2 , ,p .
运算过程演示
演示
完整版课件
5
由矩阵的定义可以看出:
1. 两个矩阵的乘积AB亦是矩阵, AB的行数等
于矩阵A的行数, AB的列数等于矩阵B的列
数.
2. 前行乘后列: 乘积矩阵AB中第i行第j列的
程组也唯一地确定它的增广矩阵, 我们令
完整版课件
13
b1
B
b2
,
bm
计算矩阵乘积AX
x1
X
x2
x n
a11 AX a21
am1
a12 a22
am2
a a am 1 2n nn xxx1 n 2aa am 2 11x1 x1 x11 1 a a am 1 22 2 2 xxx2 22 a a a1 2m nnxxxnnnn,
这个计算过程可以用如下的矩阵形式来表示：
12 11 6 A 11 11 7
11 10 7
3 B 4
2
AB
123 113
1111 44 76 22
92 91
113 10472 87
完整版课件
4
定义 设A=(aij)是m×n矩阵，B=(bij)是 n×p矩阵，则A与B的乘积AB是一个m×p矩 阵，这个矩阵的第i行第j 列位置上的元素cij等 于A 的第i行的元素与B的第j列的对应元素的
因此, n阶方阵In在矩阵的乘法运算中所起的作
用相当于数1在数的乘法运算中所起的作用, 这就是
为什么把 In称为单位矩阵的原因. 我们以后还会发
现In的更多的类似于数1的性质.
31-23矩阵的基本运算逆矩阵分块矩阵精品PPT课件
要的基本概念之一 . 它是线性代数一个主要的研究对象,
且贯穿在线性代数的各个方面 . 矩阵的理论和方法在处
理许多实问际题问题，特方别法是计算机理应论用上是非应常用有力的.
20.10.2020
3
一、矩阵的基本运算
1、 数乘矩阵
Definitio数n 1 与矩阵 A = (aij) 的乘积，简称数乘
矩阵，记作 A
有数的，特cij 是殊的A 规的律第，i 行主与要产B 生的于第矩j 列阵的的对乘应法元运素算乘. 积的和
Definition设3 是一A 个(aij ) 矩阵， ms
B (bij )
是一个 s矩n阵，那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积
是一个 m矩n阵 b 1jai2b2j aisbsj aikbkj (i1 m ;j1 n) k 1
a11b11
a1n b1n
AB
am1 bm1
amn bmn
5
一、矩阵的基本运算
矩阵加法满足如下性质：
（1） A + B = B + A ； （2）A + (B + C) = (A + B) + C （3） A + 0 = 0 + A = A ( 0为与 A 同型的零矩阵 )
（4） ()AA A（5） (AB )AB
记为 C AB
20.10.2020
7
E xyya1y 2二y aa2 m1 21 11p、bba 1a 1l11e1 21 1 aa例x x 121 11 11aa 子1222a a bbaa1 2 设222 2 1211x x 222 2 有 aaaa两a 1a 2311 322 b3 3b33 x 个3x 313 13 线bbb132aa111性(213 11bb.变1b1 b1b22)132222换aa12tt2212 bbx 2x 2x 222 3 1 aab b b 1 3 12 21 1 1 33tttbb1 1 133 22b b b 1 3 2 2 2 2 tttt2 t2 2 12 (3.2)
矩阵的乘法
二項式定理不一定成立
( A + B ) ≠ A + 2 AB + B
2 2 2
特殊題型
因為 AI = IA = A,所以( A + I ) 2 = A2 + 2 A + I
在 X n = A 方程式中,矩陣 X 至少有 n 個解,不一定成立
(ex)
1 0 1 0 1 0 1 0 設A = , B = 0 1 , C = 0 1 , D = 0 1 , 0 1 1 0 2 2 2 2 因為A =B = C = D = = I2 0 1 則 X 2 = I 2的解不只二個, X 可以為上述的 A, B, C 或 D均可
矩陣乘法沒有交換律
AB ≠ BA
(ex)
1 若A = 0 1 AB = 0 0 0 0 0 0 , B = 0 1 , C = 0 2 則 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 = 0 0 , AC = 0 0 0 2 = 0 0 , 0 得AB = AC , 又A ≠ O但B ≠ C
求C矩陣的(2,1)元 =取A矩陣的第2列元與B矩陣的第1行元作內積。
當A×B時，取A的列與B的行作內積。 (ex)
0 1 1 3 5 1 0 2 4 6 2 3 (1,3,5) (0, 1, 2) (1,3,5) (1, 0, 3) = (2, 4, 6) (0, 1, 2) (2, 4, 6) (1, 0, 3) 1× 0 + 3 × 1 + 5 × 2 1× 1 + 3 × 0 + 5 × 3 = 2 × 0 + 4 × 1 + 6 × 2 2 × 1 + 4 × 0 + 6 × 3 7 14 = 8 16
第一章(第一二节)矩阵的概念及基本运算PPT课件
没有得到老一辈数学家们的重视。如：他曾五次将一篇
代 “五次方程不能由公式给出其解”的论文寄给在格廷根的
高斯，但都没有得到回音。由于他的不断出外求学，致使
数 经济状况十分糟糕，最后只得回到自己的故乡—挪威。没
过多久，他就在忧郁中结束了自己年仅27岁的短暂生命。
就在他死后的第三天，他的朋友通知他，他已被柏林大学
代 们称之为维是 m×n 的矩阵，简称为 m×n 矩阵，简记为
。其表[ a示ij ]形m 式n （通式）为：
数
a11 a12 a1n
a
21
a 22
a2n
a m1 a m 2 a mn 7
一、矩阵的定义
a11 a12 a1n
a
21
a 22
a2n
线
a m1 a m 2 a mn
线 们满足
(1)m = p 且n = q；
性 (2)aij=bij，其中i=1,2,…,m；j=1,2,…,n。
代
则称A与B相等，记为A=B。
数
即： A 与B 两个矩阵的维和相对应的
元均一一对应相等。
24
二、矩阵的和
定义 设A=[aij]m×n ，B=[bij]m×n ，令C= [aij+ bij]m×n , 称矩
22 35 31 21
14 61 14 45
数
49 55 45 62
5
6
59
67
a21=2； a22=12； a23=24； a31=3； a32=11； a33=27。
9
试问： 6 3 1
332
B= 8 4 3 C= 4 7 分别是否为矩阵？
线
952
3 6 1 为什么？
人教A版高中数学选修4-2-1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法-课件(共22张PPT)
的一个映射.
当
x
y
表示某个平面图形F上的任意点时，
这些点就组成了图形F，它在TM的作用下，将得到
一个新的图形F — —原象集F的象集.
★引申提高
★课堂小结
(1)二阶矩阵与平面列向量的乘法规则; (2)理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射; (3)待定系数法是由原象和象确定矩阵的常用方法。
祝愿:同学们学习天天进步！
90 85
0.6 0.6
86 75
.
请你对上述问题进行思考、总结!
（1）行向量与列向量乘法法则； （2）二阶矩阵与列向量乘法法则；
★数学建构 规定：
行矩阵 a11
a12
与列矩阵
b11 b21
的乘法法则为
a11
a12
b11 b21
＝
a11 b11
a12 b21
,
二阶行矩阵
二阶矩阵与平面列向量 的乘法
★创造情境
某电视台举行的歌唱比赛,甲、乙两选手初 赛、复赛成绩如表：
初赛 复赛
甲
80
90
乙
60
85
规定比赛的最后成绩由初赛和复赛综合裁 定,其中初赛占40%,复赛占60%.试求甲和 乙的综合成绩分别是多少?
★创造情境
甲：80 0.4 90 0.6 86;
记A 80
x y
.
★新知归纳
２ ０
０ １
就确定了一个变换：
T：(x, y) (x, y) （(2x， , 2yy）)
或
T： xy
x y
2x
y
.
上式几何变换为:纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍。
★新知归纳
一般地，对于平面向量的变换T，如果变换 规则为
线性变换、二阶矩阵及其乘法.ppt
4.运用旋转矩阵，求直线2x＋y－1＝0绕原点逆时针旋转 45°后所得的直线方程．
解：旋转矩阵 直线2x＋y－1＝0上任意一点(x0，y0)旋转变换后为(x0′，y0′)，
直线2x＋y－1＝0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线
方程是
2x 2 y 2 x 2 y 1 0,
2
2
矩阵． 2.二阶矩阵与二元一次方程组 (1)能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意
义．
(2)会用系数矩阵的逆矩阵解线性方程组． (3)理解线性方程组解的存在性、唯一性．
解线性 方程组， 如求逆 矩阵， 另外特 征值与
3.变换的不变量
特征向
(1)掌握矩阵特征值与特征向量的定义，理解特征向 量的求
量的意义．
解：(1)由题设条件， 变换：
即有 解得
代入曲线C的方程为y′2－x′2＝2， 所以将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，得到的曲线C′ 的方程是y2－x2＝2. (2)由(1)知，只需求曲线y2－x2＝2的焦点及渐近线，由于a2 ＝b2＝2，故c＝2，又焦点在y轴上，从而其焦点为(0,2)，(0， －2)，渐近线方程为y＝±x.
1．旋转变换
直线坐标系xOy内的每个点绕原点O按逆时针方向旋
转α角的旋转变换的坐标变换公式是
对应的二阶矩阵为
．
2．反射变换 平面上任意一点P对应到它关于直线l的对称点P′的线 性变换叫做关于直线l的反射．
3．伸缩变换 在直角坐标系xOy内将每个点的横坐标变为原来的k1 倍，纵坐标变为原来的k2倍，其中k1，k2为非零常数， 这样的几何变换为伸缩变换．
解：(MN)α＝ M(Nα)＝ 所以(MN)α＝M(Nα)． 又因为MN＝
NM＝
矩阵(Matrix)PPT课件
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n x1 b1
a2n
,
x
x2
,
b
b2
amn xn bn
ai1x1 ai2 x2 ain xn bi
则方程组又可表示为 Ax b.
x1ai1 x2ai2 xnain bi
a11 a21
定义成
a11 a21
x1 x1
a12 x2 a22 x2
x1
a11
a21
x2
a12
a22
x1 1 x2 2
e2
(a12 , a22 )
2
1
y ( y1, y2 )
2
A和x的乘法实质给出了 向量y在A坐标系(β1Oβ2) 下的刻划方法。
e1
(a11,1a21 )
y y1e1 y2e2
ai1b1 j ai 2b2 j a b b 1j is sj
a a a i1 i2
b2 j is
注：A的列数和B的行数相等时 b，sj AB才有意义。
• 例3 设矩阵
1 0 1
A
1
1
3
,
求乘积 AB．
解
1 0
C
AB
1
1
0 3 4 B 1 2 1
3 1 1
B
a12
a22
a1n a2n
am1
am2
y (x1, x2, , xn )
c (b1,b2, ,bm)
amn nm
则方程组又可表示为 yB c.
矩阵向量乘法意义之二：为刻划向量提供了坐标系
根据矩阵乘法定义，m n 阶矩阵A与n维列向
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②C(A+B) =CA+CB,
其中C为m×n 矩阵, A, B都为n×s矩阵.
返回
9
多个矩阵的乘积
任意给定r个矩阵A1, A2, ···, Ar, 只要前一个矩阵的
列数等于后一个矩阵的行数, 就可以把它们依次相乘,
由于矩阵的乘法满足结合律, 在作这样的乘积时, 可以
把因子任意结合, 而乘积A1A2···Ar有完全确定的意义.
特别地,一个n阶方阵A的r次方(r是正整数)有意义.
Ar=AA···A.
r个A
我们再约定A0=In . 这样, 一个n阶方阵的任意非负整数次方有意义
(以后要定义某些特殊方阵的负整数次方, 将会看到,
并不是每个方阵都有负整数次方). 10
k
例7
设A是n阶数量矩阵. 即
A
k
, k
B=(bij)是n×p矩阵 计算AB.
1
《高等代数》面向21世纪新教材
矩阵乘法的定义 矩阵乘法的性质 矩阵乘法的应用
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小结 作业 结束
2
先从一个例子开始 : 假设牛肉、羊肉、鸡蛋的价格在一周之
内不发生变化，记录近三周牛肉、羊肉、鸡
蛋的价格，得到如下价格矩阵(人民币/千克) .
第一周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：
12 11 6
CA=kC.
即C乘以数量矩阵A时,相当于用数k乘矩阵C. 这就是数量矩阵
有时也叫做数乘矩阵的原因.
11
特别地, 在n阶数量矩阵中, 当k=1时, A就变成为
1
1
In
,
1
称In为n阶单位矩阵, 这时, 有
In B = B, C In= C .
因此, n阶方阵In在矩阵的乘法运算中所起的作
用相当于数1在数的乘法运算中所起的作用, 这就是
证明
其中A=(aij)m×n, B=(bij)n×p, C=(cij)p×q.
2. 数乘结合律 k(AB)=(kA)B=A(kB),
其中k为任意实数. A=(aij)m×s ， B=(bij)s×n .
3. 分配律
① (A+B) C=AC+BC,
证明
其中A, B都为m×n矩阵, C=(cij)n×s.
和. 即
cij ai1b1 j ai2b2 j ainbnj ,
i 1,2, , m; j 1,2, , p.
运算过程演示
演示
5
由矩阵的定义可以看出:
1. 两个矩阵的乘积AB亦是矩阵, AB的行数等
于矩阵A的行数, AB的列数等于矩阵B的列
数.
2. 前行乘后列: 乘积矩阵AB中第i行第j列的
第二周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格： A 11 11 7
第三周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：
11 10 7
设某个家庭每周对牛肉、羊肉、鸡蛋的需求分
别是3千克、4千克、2千克。则需求矩阵B表示为：
3
B 4
2
3
这个家庭近三周对上述三种食品的需求开支分别为：
第一周：12 ×3+11 ×4+6 ×2=92（元） 第二周：11 ×3+11 ×4+7 ×2=91（元） 第三周：11 ×3+10 ×4+7 ×2=87（元）
元素等于A的第i行与B的第j列对应元素乘
积之和, 简称行乘列的法则。
7
想一想:
1. 矩阵要满足什么条件才能相乘呢？ 例 1
2. 矩阵的乘法是否满足交换律呢?
例2,例3
3. 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵吗？例 4
4. 矩阵的乘法适合消去律吗?
例5,例6
返回 8
矩阵乘法的性质:
1. 结合律 (AB)C=A(BC),
amn
,
AX=(A1+A2+···+An)X=A1X+A2X+···+AnX.
,
因此原线性方程组可写为
AX=B.
称此式为线性方程组的矩阵形式.
14
在上题中,令:
a11 0 0
A1
a21
am1
0 0
00,
0 a12 0
A2
0 0
a22 am 2
00,
……,
计算A1X:
a11 0
A1 X
a21 am1
0 0
0 0
An
0 0
0 0
a1n
13
b1
B
bb m2 ,
计算矩阵乘积AX
x1
X
x2 xn
a11 a12
AX
a21
am1
a22 am2
a1n x1 a11x1 a12 x2 a1n xn
a2n
amn
x2 xn
a21x1 am1x1
a22x2
am2 x2
a2n xn amn xn
为什么把 In称为单位矩阵的原因. 我们以后还会发现 In的更多的类似于数1的性质.
12
例8 考虑一般形式的线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 ,
a 21 x1
a22 x2
a2n xn
b2 ,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
这个计算过程可以用如下的矩阵形式来表示：
12 11 6 A 11 11 7
11 10 7
3 B4
2
AB
12 11
3 3
11 11
4 4
6 7
2 2
92 91
11 3 104 7 2 87
4
定义 设A=(aij)是m×n矩阵，B=(bij)是n×p 矩阵，则A与B的乘积AB是一个m×p矩阵，这 个矩阵的第i行第j 列位置上的元素cij等于A 的 第i行的元素与B的第j列的对应元素的乘积的
其系数矩阵和增广矩阵分别是
a11 a12
A
a21 am1
a22 am 2
a1n
a11 a12
a2n amn
,
A
a21 am1
a22 am2
a1n b1
a2n amn
bbm2 ,
则线性方程组可由它的增广矩阵唯一确定. 反过来, 线性方程
组也唯一地确定它的增广矩阵, 我们令
a2n
amn
,
0 x1 a11x1
a11
0 0
x2 xn
a21x1
a
m1 x1
x1
a21 a m1
,
同样计算A2X, ···, AnX 可得
15
a12
A2 X
x2
a22
am2
,
……,
所以 A=A1+A2+···+An
a1n
An X
x
n
a2n
k
AB
k
b11 b12
b21 b22
k
bn1
bn 2
b1p kb11 kb12
b2 p
k b21
k b22
bnp kbn1 kbn2
kb1p
kb2 p
kbnp
因此有AB=kB. 即用数量矩阵A乘以矩阵B时, 相当于用数k乘矩
阵B.
如果C 是m×n矩阵, 那么类似地容易验证