高考数学(理)二轮专题练习：三角函数、解三角形、平面向量(含答案)

三角函数、解三角形、平面向量
1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．
任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y
x (x ≠0)，三角函数值只与
角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．
[问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________． 答案 －1
5
2．同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin α
cos α
.
(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限
[问题2] cos 9π
4
＋tan ⎝⎭⎫－7π6＋sin 21π的值为___________________________． 答案
22－3
3
3．三角函数的图象与性质 (1)五点法作图；
(2)对称轴：y ＝sin x ，x ＝k π＋π
2
，k ∈Z ；y ＝cos x ，x ＝k π，k ∈Z ；
对称中心：y ＝sin x ，(k π，0)，k ∈Z ；y ＝cos x ，⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z ；y ＝tan x ，⎝⎛⎭⎫k π
2，0，k ∈Z . (3)单调区间：
y ＝sin x 的增区间：⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π
2＋2k π (k ∈Z )， 减区间：⎣⎡⎦
⎤π2＋2k π，3π
2＋2k π (k ∈Z )；
y ＝cos x 的增区间：[]－π＋2k π，2k π (k ∈Z )， 减区间：[2k π，π＋2k π] (k ∈Z )；
y ＝tan x 的增区间：⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π
2＋k π (k ∈Z )． (4)周期性与奇偶性：
y ＝sin x 的最小正周期为2π，为奇函数；y ＝cos x 的最小正周期为2π，为偶函数；y ＝tan x 的最小正周期为π，为奇函数．
易错警示：求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误： (1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反； (2)忘掉写＋2k π，或＋k π等，忘掉写k ∈Z ；
(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°]应写为⎣⎡⎦⎤0，π
2. [问题3] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π
3的递减区间是________． 答案 ⎣
⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5
12π(k ∈Z ) 4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β――→令α＝β
sin 2α＝2sin αcos α.
cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β――→令α＝βcos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan(α±β)＝tan α±tan β
1∓tan αtan β
.
cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，tan 2α＝2tan α
1－tan 2α.
在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝1
2
[(α＋β)＋(α－β)]．
α＋π
4
＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，α＝⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4. [问题4] 已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－3
5，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 答案 －56
65
5．解三角形
(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变
式：(ⅰ)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(ⅱ)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c
2R
；(ⅲ)a ＝2R sin A ，
b ＝2R sin B ，
c ＝2R sin C ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中A >B ⇔sin A >sin B .
(2)余弦定理：a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc
等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状．
[问题5] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________. 答案 45°
6．向量的平行与垂直
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且b ≠0，则a ∥b ⇔b ＝λa ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. a ⊥b (a ≠0)⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.
0看成与任意向量平行，特别在书写时要注意，否则有质的不同．
[问题6] 下列四个命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |；④若a ＝0，则－a ＝0.其中正确命题是________． 答案 ④ 7．向量的数量积 |a |2＝a 2＝a·a ，
a·b ＝|a||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2， cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22
，
a 在
b 上的投影＝|a |cos 〈a ，b 〉＝a·b |b|＝x 1x 2＋y 1y 2
x 22＋y 22. 注意：〈a ，b 〉为锐角⇔a·b >0且a 、b 不同向； 〈a ，b 〉为直角⇔a·b ＝0且a 、b ≠0； 〈a ，b 〉为钝角⇔a·b <0且a 、b 不反向．
易错警示：投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、负数或零．
[问题7] 已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在向量b 上的投影为________． 答案
12
5
8．当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，消去律不成立；(a ·b )c 与a (b ·c )不一定相等，(a ·b )c 与c 平行，而a (b ·c )与a 平行．
[问题8] 下列各命题：①若a ·b ＝0，则a 、b 中至少有一个为0；②若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；③对任意向量a 、b 、c ，有(a ·b )c ≠a (b ·c )；④对任一向量a ，有a 2＝|a |2.其中正确命题是________． 答案 ④
9．几个向量常用结论：
①P A →＋PB →＋PC →
＝0⇔P 为△ABC 的重心；
②P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →⇔P 为△ABC 的垂心； ③向量λ(AB →|AB →|＋AC
→
|AC →|) (λ≠0)所在直线过△ABC 的内心；
④|P A →|＝|PB →|＝|PC →
|⇔P 为△ABC 的外心．
易错点1 图象变换方向或变换量把握不准致误
例1 要得到y ＝sin(－3x )的图象，需将y ＝2
2
(cos 3x －sin 3x )的图象向______平移______个单位(写出其中的一种特例即可)． 错解 右 π4或右 π12
找准失分点 y ＝
2
2
(cos 3x －sin 3x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦
⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12. 题目要求是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π
4→y ＝sin(－3x )． 右移π4平移方向和平移量都错了；右移π
12平移方向错了．
正解 y ＝
2
2
(cos 3x －sin 3x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦
⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12， 要由y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12得到y ＝sin(－3x )只需对x 加上π12即可，因而是对y ＝22(cos 3x －sin 3x )向左平移π
12个单位．
答案 左
π12
易错点2 忽视隐含条件的挖掘致误
例2 已知cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，0<α<π2，0<β<π
2，求cos β.
错解 由0<α<π2，0<β<π
2，得0<α＋β<π，
则cos(α＋β)＝±11
14
.
由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝43
7
.
故cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝7198或1
2.
找准失分点 由0<α＋β<π，且sin(α＋β)＝5314<3
2，
∴0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π，又cos α＝17<1
2，
∴π3<α<π2，即α＋β∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，∴cos(α＋β)＝－11
14. 正解 ∵0<α<π2且cos α＝17<cos π3＝1
2，
∴π3<α<π2，又0<β<π
2
， ∴π3<α＋β<π，又sin(α＋β)＝5314<32， ∴2π
3
<α＋β<π. ∴cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－11
14，
sin α＝1－cos 2α＝
43
7
. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝1
2
.
易错点3 忽视向量共线致误
例3 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是__________．
错解 ∵cos θ＝a·b
|a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1.
因θ为锐角，有cos θ>0， ∴
2λ＋1
5·λ2＋1>0⇒2λ＋1>0，
得λ>－1
2
，λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 找准失分点 θ为锐角，故0<cos θ<1，错解中没有排除cos θ＝1即共线且同向的情况． 正解 由θ为锐角，有0<cos θ<1. 又∵cos θ＝a·b
|a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1，
∴0<
2λ＋1
5·λ2＋1≠1，
∴⎩⎨⎧
2λ＋1>0，
2λ＋1≠5·λ2
＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ>－12，λ≠2.
∴λ的取值范围是⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫λ|λ>－12且λ≠2.
答案 ⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
λ|λ>－12且λ≠2
1．(2014·大纲全国)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.3
5 C ．－35
D ．－45
答案 D
解析 因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－4
5.
2．(2014·大纲全国)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b 答案 C
解析 ∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°
cos 35°，
又0<cos 35°<1，∴c >b >a .
3．已知sin θ＋cos θ＝43 (0<θ<π
4)，则sin θ－cos θ的值为( )
A.
23 B ．－23 C.13 D ．－1
3
答案 B
解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝169，∴sin 2θ＝7
9，
又0<θ<π
4
，∴sin θ<cos θ.
∴sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2 ＝－1－sin 2θ＝－
23
. 4．已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( ) A ．[2－1，2＋1]
B ．[2－1，2＋2]
C ．[1，2＋1]
D ．[1，2＋2]
答案 A
解析 ∵a ·b ＝0，且a ，b 是单位向量，∴|a |＝|b |＝1. 又∵|c －a －b |2＝c 2－2c ·(a ＋b )＋2a ·b ＋a 2＋b 2＝1， ∴2c ·(a ＋b )＝c 2＋1.
∵|a |＝|b |＝1且a ·b ＝0，∴|a ＋b |＝2， ∴c 2＋1＝22|c |cos θ(θ是c 与a ＋b 的夹角)． 又－1≤cos θ≤1，∴0<c 2＋1≤22|c |， ∴c 2－22|c |＋1≤0， ∴2－1≤|c |≤2＋1.
5.函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ，φ∈R )的部分图象如图所示，那么f (0)等于( ) A ．－12
B ．－1
C ．－
32
D ．－ 3
答案 B
解析 由题图可知，函数的最大值为2，因此A ＝2. 又因为函数经过点⎝⎛⎭⎫π3，2，则2sin ⎝⎛⎭⎫2×π
3＋φ＝2， 即2×π3＋φ＝π
2＋2k π，k ∈Z ，
得φ＝－π
6
＋2k π，k ∈Z .
f (0)＝2sin φ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫－π
6＋2k π＝－1. 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( ) A.
32 B.22 C.12 D ．－1
2
答案 C
解析 ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab ，
又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ≤2c 2. ∴cos C ≥12.∴cos C 的最小值为1
2
.
7．(2014·山东)在△ABC 中，已知AB →·AC →
＝tan A ，当A ＝π6
时，△ABC 的面积为________．
答案 16
解析 已知A ＝π
6
，
由题意得|AB →||AC →
|cos π6＝tan π6，
|AB →||AC →|＝2
3，
所以△ABC 的面积
S ＝12|AB →||AC →|sin π6＝12×23×12＝16
. 8．(2014·江苏)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交
点，则φ的值是________． 答案 π6
解析 由题意，得sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝cos π3， 因为0≤φ<π，所以φ＝π
6
.
9．已知函数f (x )＝A sin(ω＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0，－π2<φ<π
2)，
其部分图象如图所示．若横坐标分别为－1,1,5的三点M ，N ，P 都在函数f (x )的图象上，记∠MNP ＝θ，则cos 2θ的值是________． 答案 －7
25
解析 由图可知，A ＝1，f (x )的最小正周期T ＝8， 所以T ＝2πω＝8，即ω＝π
4
.
又f (1)＝sin(π4＋φ)＝1，且－π2<φ<π
2，
所以－π4<φ＋π4<3π
4，
即φ＋π4＝π2，所以φ＝π4.
所以f (x )＝sin π
4
(x ＋1)．
因为f (－1)＝0，f (1)＝1，f (5)＝－1， 所以M (－1,0)，N (1,1)，P (5，－1)．
所以NM →＝(－2，－1)，NP →＝(4，－2)，NM →·NP →＝－6，
|NM →|＝5，|NP →
|＝25， 则cos ∠MNP ＝NM →·NP →|NM →|·|NP →
|＝－3
5，
即cos θ＝－3
5
.
于是cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－
725
. 10．(2014·天津)已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋3
4，x ∈R .
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在闭区间[－π4，π
4
]上的最大值和最小值．
解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋3
4
＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋3
4 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －3
4cos 2x ＝12sin(2x －π3
)． 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2
＝π.
(2)因为f (x )在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π
4]上是增函数，
f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－12，f (π4)＝1
4
，
所以，函数f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12
.。