椭圆知识点

个性化教学辅导教案

标准方程

122

22=+b y a x )0(>>b a 122

22=+b

x a y )0(>>b a 图形

性质

焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F

焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤

b x ≤，a y ≤

对称性

关于x 轴、y 轴和原点对称

顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±

轴长

长轴长=a 2，短轴长=b 2 长半轴长=a ，短半轴长=b （注意看清题目）

离心率

)10(<<=

e a

c

e c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1；

(p 是椭圆上一点)（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围）

注意：①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦

距、离心率等；②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等

知识点三：椭圆相关计算

1．椭圆标准方程中的三个量c

b

a,

,的几何意义2

2

2c

b

a+

=

2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长

a

b2

2

焦点弦：椭圆过焦点的弦。

3.最大角:p是椭圆上一点，当p是椭圆的短轴端点时，2

1

PF

F

∠为最大角。

4.椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。

焦点三角形的面积2

tan

2

2

1

θ

b

S

F

PF

=

∆

，其中2

1

PF

F

∠

=

θ（注意公式的推导）5.求椭圆标准方程的步骤（待定系数法）．

(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上．

(2)设方程：

①依据上述判断设方程为

2

2

2

2

b

y

a

x

+=1)0

(>

>b

a或

2

2

2

2

a

y

b

x

+=1)0

(>

>b

a

②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)．

(3)找关系，根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组．

(4)解方程组，代入所设方程即为所求．

6.点与椭圆的位置关系:

2

2

2

2

b

y

a

x

+<1,点在椭圆内；

2

2

2

2

b

y

a

x

+=1，点在椭圆上；

2

2

2

2

b

y

a

x

+>1, 点在椭圆外。

7.直线与椭圆的位置关系

设直线方程y＝kx＋m，若直线与椭圆方程联立，消去y得关于x的一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．

(1)Δ＞0，直线与椭圆有两个公共点；

(2)Δ＝0，直线与椭圆有一个公共点； (3)Δ＜0，直线与椭圆无公共点． 8.弦长公式：（注意推导和理解）

若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则弦长

221221)()(y y x x AB -+-=221221)()(kx kx x x -+-= 2121x x k -+=

2122124)(1x x x x k -++==

9.点差法：

就是在求解圆锥曲线题目中，交代直线与圆锥曲线相交所截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．

步骤:①设直线和圆锥曲线交点为 ， ，其中点坐标为

，

则得到关系式：

，

．.

②把

，

分别代入圆锥曲线的解析式，并作差，利用平方差公

式对结果进行因式分解．其结果为0))(())((21212121=+-++-y y y y n x x x x m

③利用 求出直线斜率,代入点斜式得直线方程

为 .

中点弦的重要结论（不要死记会推导）

10．参数方程cos sin x a y b θ

θ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）θ几何意义：离心角

11、椭圆切线的求法

1）切点（00x y ）已知时，22221(0)x y a b a b +=>> 切线00221x x y y

a b +=

22221(0)y x a b a b +=>> 切线00221y y x x

a b +=

2）切线斜率k 已知时， 22

221(0)x y a b a b +=>> 切线222y kx a k b =±+

22

221(0)y x a b a b

+=>>

切线222y kx b k a =±+

12、焦半径：椭圆上点到焦点的距离

22

221(0)x y a b a b +=>> 0r a ex =±（加减由长短决定）

22

221(0)y a a b a b

+=>> 0r a ey =±（加减由长短决定）

13．离心率的求法

椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方

14. 焦点三角形的周长和面积的求法

利用定义求焦点三角形的周长和面积，解焦点三角形常利用椭圆的定义和正弦正理，常